«А.А. Усольцев ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 Усольцев А.А. Общая электротехника: Учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 301 с. Изложены основные положения теории линейных и нелинейных ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

А.А. Усольцев

ОБЩАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Учебное пособие

Санкт-Петербург 2009 Усольцев А.А. Общая электротехника: Учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 301 с.

Изложены основные положения теории линейных и нелинейных электрических и магнитных цепей. Даны основы теории электрических машин, их основные характеристики, а также приведены сведения об электроприводе, электроснабжении и электробезопасности при эксплуатации электроустановок.

Пособие предназначено для студентов технических направлений подготовки (специальностей) неэлектротехнического профиля.

Рекомендовано к печати учёным советом факультета компьютерных технологий и управления, 11.11.2008, протокол № В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, © Усольцев А.А.,

ВВЕДЕНИЕ

Электротехника является общетехнической дисциплиной и служит базой для изучения специальных дисциплин, связанных с автоматизацией технологических процессов, электроснабжением и электрооборудованием соответствующих отраслей.

Настоящее пособие составлено в соответствии с типовой программой и предназначено для помощи студентам неэлектротехнических специальностей при самостоятельной подготовке.

Понимание процессов, происходящих в электротехнических устройствах, требует знания определённых разделов курсов математики и физики. Из курса математики студенты должны знать алгебру комплексных чисел, решение простейших дифференциальных уравнений, операции с векторами, свободно пользоваться соответствующим математическим аппаратом. Из курса физики студенты должны знать основные понятия и законы механики и электричества.

Часть первая. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 1. Электрические цепи постоянного тока 1.1. Электрическая цепь.

Электрическая цепь представляет собой совокупность технических устройств и физических объектов, по которым протекает электрический ток, т.е. происходит упорядоченное направленное движение электрических зарядов.

Для того чтобы заряды перемещались им необходимо передать некоторую энергию и устройство, выполняющее эту функцию, называется источником электрической энергии. Источник электрической энергии является составным элементом электрической цепи. Энергия, передаваемая источником движущимся зарядам, может быть получена только путём преобразования других видов энергии (тепловой, химической, механической, световой) или путём воздействия на электрические заряды магнитным полем, возбуждаемым другим источником.

Создаваемый источником электрический ток может вызывать различные явления: нагревать элементы, по которым он протекает, вызывать свечение веществ, создавать механические усилия. Технические устройства, в которых получают требуемый эффект от протекания электрического тока называют приёмниками электрической энергии, т.к. в них происходит преобразование электрической энергии в другие виды.

Совместная работа источника и приёмника возможна только при наличии путей движения зарядов между ними. Причём, перемещение зарядов должно происходить с минимальными потерями энергии. Эту функцию в электрических цепях выполняют соединительные линии или провода.

Таким образом, электрическая цепь в общем случае состоит из трёх элементов: источника электрической энергии, приёмника и соединительных проводов.

Состав и связи электрических цепей бесконечно разнообразны, поэтому для их представления используют наборы символов, имеющих различную степень абстракции и называемых схемами. Более всего соответствует реальному объекту (рис. 1.1, а) монтажная схема (рис. 1.1, б). Она удобна для монтажа и ремонта изображённого на ней устройства. На принципиальной схеме (рис. 1.1, в) показывают условные изображения элементов цепи и их соединения. Эти схемы удобны для изучения принципа работы. Наиболее абстрактное представление об электрической цепи дают схемы замещения (рис.

1.1, г). Они предназначены для исследования электромагнитных процессов и являются расчётной моделью соответствующего устройства. Реальные элементы электрической цепи заменяют в схеме замещения расчётными моделями, в которых учитывают только существенные параметры и свойства. Так химический источник (аккумулятор) заменяют идеальным источником ЭДС Рис. 1.1.

E и включают последовательно с ним резистор r, соответствующий потерям энергии внутри аккумулятора. Амперметр и вольтметр заменяют их входными сопротивлениями (RA и RV) Соединительные провода считаются идеальными проводниками без потерь, т.е. обладающими нулевым сопротивлением.

Если входное сопротивление амперметра RA существенно меньше сопротивления лампы накаливания RL, а входное сопротивление вольтметра RV существенно больше, то их исключают из схемы замещения (рис. 1.1, д).

Если параметры всех элементов схемы замещения известны, то, пользуясь законами электротехники, можно определить их состояние в любой момент времени. В дальнейшем вместо термина схема замещения электрической цепи мы будем пользоваться сокращёнными терминами – схема цепи или просто схема.

В любой схеме электрической цепи можно выделить один или несколько участков, подключённых к остальной части двумя проводами. Такой участок электрической цепи называется двухполюсником. В простейшем случае двухполюсник состоит из одного элемента цепи, например, лампа накаливания, вольтметр и амперметр на рис. 1.1 являются двухполюсниками. Если двухполюсник не содержит источников электрической энергии, то он называется пассивным, в противном случае двухполюсник относится к активным двухполюсникам. Двухполюсник на рис. 1.1, г-д, состоящий из источника ЭДС E и внутреннего сопротивления r аккумулятора и подключённый к точкам ab схемы замещения, является активным двухполюсником При анализе процессов в электрических цепях используют некоторые топологические (геометрические) понятия. К ним относятся понятия узла, ветви и контура. Узлом электрической цепи называют соединение трёх и более элементов (например, точка ef рис. 1.2, а-б и точки a, d, ec рис. 1.2, в-г. Но цепи является необходимым и достаточным условием равенства тока в них.

Ветвью электрической цепи называют связную совокупность элементов, образующих путь для протекания тока между двумя узлами (например, R1R2, E, R3, R4 и R5 на рис 1.2, в-г. Из признака отсутствия узлов внутри ветви следует, что по всем её элементам протекает одинаковый ток. Контуром называется замкнутый путь вдоль ветвей электрической цепи (например, ebae, eade, dcd, adcba на рис 1.2, в-г. Узлы, ветви и контуры являются топологическими параметрами цепи и не изменяются при любых преобразованиях схемы, производимых без разрыва связей. Пример такого преобразования показан на рис.

1.2, в-г.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое электрическая цепь?

2. Что такое источник (приёмник) электрической энергии?

3. Какие виды схем используются в электротехнике? Что такое монтажная схема, принципиальная схема и схема замещения?

4. Что такое двухполюсник?

5. Чем отличается пассивный двухполюсник от активного?

6. Дайте определение узла, ветви и контура?

7. Почему во всех элементах ветви протекает одинаковый ток?

1.2. Основные величины, характеризующие электрическую цепь Электрический ток это направленное движение носителей электрического заряда. Носителями заряда в металлах являются электроны, в плазме и электролите – ионы. В полупроводниках носителями заряда являются также дефекты электронных оболочек ядер кристаллической решётки – «дырки».

Функционально они эквивалентны положительным зарядам.

Наличие электрического тока проявляется в виде трёх эффектов:

• в окружающей среде возникает магнитное поле;

• проводник, по которому протекает ток, нагревается;

• в проводниках с ионной проводимостью возникает перенос вещества.

Величина электрического тока определяется как количество заряда q, переносимое через какую-либо поверхность в единицу времени, т.е.

Такой поверхностью, в частности, может быть поперечное сечение проводника.

Если количество заряда q переносимого за одинаковые промежутки времени неизменно, то такой ток называется постоянным и для него справедливо выражение I = q / t, где q – заряд, переносимый за время t.

Из выражения (1.1) получается единица измерения электрического тока [ I ] = [q ]/[t ] = Кл/с=А [ампер].

Направлением тока принято считать направление движения положительных зарядов под действием электрического поля, т.е. направление противоположное движению электронов в проводниках. Если такое направление неизвестно, то для любой ветви электрической цепи его можно выбрать произвольно и считать положительным направлением. После расчёта режима работы цепи некоторые значения тока могут получиться отрицательными.

Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному.

этом участке действует сила, приводящая их в движение, т.е. электродвижущая сила (ЭДС). Участок цепи, на котором действует ЭДС, является источником электрической энергии (энергии движущихся носителей электрических зарядов). Источником энергии для получения ЭДС могут быть различные физические явления, при которых возникает воздействие на заряжённые частицы – химические, тепловые, электромагнитные и др. процессы. Численно ЭДС равна работе по перемещению единичного заряда на участке её действия. Отсюда единицу ЭДС можно получить как [ E ] = [ A]/[q] = Дж/Кл=В (вольт).

Электрическое напряжение. На участках электрической цепи, где отсутствует ЭДС, движение носителей зарядов сопровождается расходом полученной ранее энергии путём преобразования её в другие виды. Этот процесс можно охарактеризовать падением напряжения или просто напряжением U.

Оно численно равно работе, затраченной на перемещение заряжённых частиц по участку электрической цепи, к величине перемещённого заряда В случае движения зарядов в безвихревом электрическом поле это определение идентично понятию разности потенциалов участка электрической цепи, т.е. U ab = a b, где a, b – потенциалы границ участка. Следует заметить, что потенциал отдельной точки определить невозможно, т.к. он равен работе по перемещению единичного заряда из бесконечности в данную точку. Однако разность потенциалов между двумя точками всегда можно определить, если потенциал одной из них принять за точку отсчёта, т.е. нуль.

Единица измерения напряжения и разности потенциалов такая же, как и ЭДС: [U ] = [ A]/[q ] = Дж/Кл=В (вольт).

За положительное направление напряжения на участке цепи принимают направление от точки с большим потенциалом к точке с меньшим, а т.к. на участках где отсутствует ЭДС положительные заряды также перемещаются от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким, то положительное направление напряжения на этих участках совпадает с положительным направлением протекающего тока. За положительное направление ЭДС принимают направление от точки с меньшим потенциалом к точке с большим. Это направление указывают стрелкой в условном изображении источника на схеме (рис. 1.1, 1.2).

Электрическая энергия и мощность. Из понятия ЭДС следует, что она является работой, совершаемой при перемещении единичного заряда между полюсами источника электрической энергии. Для перемещения всех зарядов, проходящих через источник, требуется совершить работу в q раз большую, т.е. затратить энергию В приёмнике электрической энергии или в нагрузке энергия преобразуется или рассеивается. Её также можно определить, пользуясь понятием напряжения на участке электрической цепи, как работы по перемещению единичного заряда. Отсюда энергия, преобразуемая в нагрузке – Интенсивность преобразования энергии характеризуется понятием мощности. Численно она равна энергии, преобразуемой в электрической цепи в единицу времени. Для цепи постоянного тока мощность источника равна а нагрузки – Единицами измерения энергии и мощности электрической цепи являются джоуль (Дж) и ватт (Вт).

На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии в цепи должна быть равна мощности преобразуемой в другие виды энергии в нагрузке:

где – алгебраическая сумма мощностей, развиваемых источниками, а UI – сумма мощностей всех приёмников и потерь энергии внутри источников.

Выражение (1.3) называется балансом мощности электрической цепи.

Мощность, преобразуемая в нагрузке, всегда положительна, в то время как источники могут работать как в режиме генерирования так и в режиме рассеяния электрической энергии, т.е. быть нагрузкой для внешней электрической цепи. Режим работы источника определяется взаимной направленностью ЭДС и тока, протекающего через источник. Если направление действия ЭДС и направление тока в источнике совпадают, то источник отдаёт энергию в цепь и соответствующее произведение в левой части (1.3) положительно.

Если же направление тока противоположно, то источник является нагрузкой и его мощность включают в баланс с отрицательным знаком. Следует заметить, что при составлении баланса мощности должно учитываться реальное направление тока в источнике, т.е. направление, полученное в результате расчёта электрической цепи, а не условно положительное направление, принимаемое в начале решения.

Вопросы для самоконтроля.

1. По каким признакам можно определить наличие тока в электрической цепи?

2. Что такое постоянный электрический ток?

3. Что такое электродвижущая сила?

4. Почему невозможно определить электрический потенциал какойлибо одной точки электрической цепи?

5. Какое направление принято считать положительным для электрического тока (напряжения)?

6. Что такое баланс мощности электрической цепи?

1.3. Пассивные элементы электрической цепи Пассивными называют элементы электрической цепи не способные производить электрическую энергию. К ним относятся: резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

Для перемещения зарядов в электрической цепи требуется совершение работы, величина которой определяется свойствами среды, в которой движутся заряды, преодолевая её противодействие. Энергия, затрачиваемая на преодоление этого противодействия, необратимо преобразуется в тепло. Величиной, характеризующей затраты энергии на перемещение зарядов по данному участку цепи, является электрическое сопротивление или просто сопротивление. Оно равно отношению величины напряжения на участке цепи к току в нём Выражение (1.4) является одной из форм записи закона Джоуля-Ленца.

Если в электрической цепи с сопротивлением R протекает ток i, то за время dt в ней выделяется количество тепла dQ = i 2 Rdt. При этом в тепло преобразуется элементарная энергия dA, затрачиваемая на перемещение заряда dq, т.е. dA = dQ. Отсюда dA = dQ = i Rdt = idqR dA / dq = u = iR.

Единицей измерения сопротивления является [ R] = [u ]/[i ] = В/А=Ом (ом).

Величина обратная сопротивлению называется проводимостью G=1/R и измеряется в сименсах (См).

Электрическое сопротивление является основным параметром элемента электрической цепи, используемого для ограничения тока и называемого реРис. 1.4.

зистором. Идеализированный резистор обладает только этим параметром и называется резистивным элементом.

Величина сопротивления резистора зависит от свойств материала, из которого он изготовлен, а также от его геометрических размеров. Но может зависеть также от величины и/или направления протекающего по нему тока.

Если зависимости от тока нет, то вольт-амперная характеристика (ВАХ) резистора представляет собой прямую линию (рис. 1.4, а) и он является линейным элементом электрической цепи. При этом из уравнения вольт-амперной характеристики (1.4) следует, что сопротивление можно определить как тангенс угла наклона ВАХ (рис. 1.4, а) где mu, mi – масштабы осей напряжения и тока ВАХ.

Пользуясь выражениями (1.2 б) и (1.4) можно определить мощность рассеяния электрической энергии резистором Протекание тока в электрической цепи сопровождается возникновением магнитного поля в окружающей среде. Магнитному полю присуща энергия, равная работе, совершаемой электрическим током i в процессе создания поля и численно равная Wм = L i 2 / 2. Коэффициент L, определяющий энергию магнитного поля называется индуктивностью.

Величина индуктивности участка электрической цепи зависит от магнитных свойств окружающей среды, а также от формы и геометрических размеров проводников, по которым протекает ток, возбуждающий магнитное поле. Чем больше величина магнитного потока, сцепляющегося с контуром (пронизывающего контур) участка электрической цепи, тем больше, при прочих равных условиях, величина его индуктивности. Сумма сцепляющихся с контуром цепи элементарных магнитных потоков Ф k называется потокосцеw плением – = Ф k. Для увеличения потокосцепления проводнику придают форму цилиндрической катушки. Тогда с каждым витком сцепляется практически один и тот же магнитный поток Ф и потокосцепление становится равным = w Ф, где w – число витков катушки. Такая катушка предназначена для формирования магнитного поля с заданными свойствами и называется катушкой индуктивности. Идеализированная катушка, основным и единственным параметром которой является индуктивность, называется индуктивным элементом.

Индуктивность численно равна отношению величины потокосцепления участка цепи к величине протекающего по нему тока Единицей измерения индуктивности является [ L] = [ ]/[i ] = Вб/А=Гн (генри).

Связь потокосцепления с током индуктивного элемента называется вебер-амперной характеристикой (ВбАХ). В случае линейной зависимости между этими величинами индуктивный элемент будет линейным и индуктивность может быть определена как тангенс угла наклона ВбАХ (рис. 1.4 б) где m, mi – масштабы осей потокосцепления и тока ВбАХ.

Изменение потокосцепления катушки вызывает появление ЭДС самоиндукции Знак минус в выражении (1.7) показывает, что ЭДС, в соответствии с правилом Ленца, действует встречно по отношению к вызвавшему её изменению тока. Для того чтобы в катушке протекал ток, ЭДС самоиндукции должна уравновешиваться равным и встречно направленным напряжением Отсюда можно определить ток в индуктивном элементе где i (0) – ток на момент начала интегрирования.

Электрические заряды в цепи могут не только перемещаться по её элементам, но также накапливаться в них, создавая запас энергии Wэ = C u 2 / 2, где u – напряжение на элементе электрической цепи, а C – коэффициент, определяющий запас энергии и называемый электрической ёмкостью или просто ёмкостью.

Величина ёмкости участка электрической цепи зависит от электрических свойств окружающей среды, а также от формы и геометрических размеров проводников, в которых накапливаются заряды. Исторически первые накопители представляли собой плоские проводники, разделённые тонкой прослойкой изоляционного материала. Чем больше площадь проводников и чем меньше толщина изолирующей прослойки, тем больше, при прочих равных условиях, величина их ёмкости. Такая совокупность проводников, предназначенных для накопления энергии электрического поля, называется конденсатором. Идеализированный конденсатор, основным и единственным параметром которого является ёмкость, называется ёмкостным элементом.

Ёмкость численно равна отношению величины электрического заряда на участке электрической цепи к величине напряжения на нём Единицей измерения ёмкости является [C ] = [q ]/[u ] = Кл/В=Ф (фарада).

Связь заряда с напряжением на ёмкостном элементе называется кулонвольтной характеристикой (КВХ). В случае линейной зависимости между этими величинами ёмкостный элемент будет линейным и ёмкость может быть определена как тангенс угла наклона КВХ (рис. 1.4 в) где mq, mu – масштабы осей заряда и напряжения КВХ.

Изменение напряжения на конденсаторе вызывает изменение количества зарядов на электродах, т.е. электрический ток. Это следует из уравнения (1.8). Если взять производную по времени от числителя и знаменателя, считая, что C = const, то Отсюда можно определить напряжение на ёмкостном элементе где u (0) – напряжение на момент начала интегрирования.

элемента цепи Резистивный R [Ом] Ёмкостный Ёмкость C [Ф] Таким образом, из выражений (1.1-1.10) следует, что электромагнитные процессы в электрической цепи полностью описываются понятиями электродвижущей силы, напряжения и тока, а количественные соотношения между этими величинами определяются тремя параметрами элементов: сопротивлением, индуктивностью и ёмкостью. При этом следует отметить, что все рассмотренные элементы электрической цепи (резистор, катушка индуктивности и конденсатор) обладают всем набором параметров (R, L и C), т.к. в любом физическом объекте при протекании электрического тока происходит необратимое преобразование энергии с выделением тепла, возникают процессы, связанные с накоплением и перераспределением электрических зарядов, а в окружающей среде создаётся магнитное поле. Однако при определённых условиях то или иное свойство объекта проявляется сильнее и, соответственно, большее значение имеет параметр, связанный с этим свойством, в то время как остальными свойствами и соответствующими параметрами можно просто пренебречь.

Из трёх рассмотренных элементов цепи только резистивный элемент связан с необратимым преобразованием электрической энергии. Индуктивный и ёмкостный элементы соответствуют процессам накопления энергии в магнитном и электрическом полях с последующим возвратом её в источник в том же количестве, в котором она была накоплена.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

2. Какие параметры являются основными для резистора, катушки индуктивности и конденсатора?

3. Что такое сопротивление, индуктивность и ёмкость?

4. Чем определяется величина сопротивления, индуктивности и ёмкости?

5. Чем отличается резистор от остальных пассивных элементов?

6. Какими величинами и параметрами полностью описываются электромагнитные процессы в электрической цепи?

1.4. Активные элементы электрической цепи Активными элементами электрической цепи являются источники электрической энергии. Свойства источников, как элементов электрической цепи характеризуются вольт-амперной характеристикой, называемой в этом случае внешней характеристикой источника. Внешняя характеристика это зависимость выходного напряжения источника от тока, отдаваемого нагрузке.

Также как все остальные элементы электрической цепи источники могут быть линейными и нелинейными. Линейные источники обладают линейной внешней характеристикой.

Если напряжение на выходе источника постоянно и не зависит от тока в нагрузке, то такой источник называется источником ЭДС или источником напряжения. Его внешняя характеристика представляет собой горизонтальную линию (линия 1 на рис. 1.5, д), а т.к. тангенс угла наклона ВАХ соответствует сопротивлению элемента электрической цепи, то это означает, что сопротивление источника ЭДС равно нулю. На схемах он изображается окружностью со стрелкой, указывающей направление действия ЭДС, т.е. направление возрастания электрического потенциала (рис. 1.5, а).

Можно создать также источник электрической энергии, формирующий в нагрузке неизменный ток. Внешняя характеристика такого источника будет вертикальной прямой линией (линия 2 на рис. 1.5, д), а сам источник будет двойной стрелкой внутри, направление которой указывает направление протекания тока (рис. 1.5, в).

Источники ЭДС и тока называются идеальными источниками электрической энергии. Это связано с тем, что в них нет потерь энергии, т.к. их проводимость и сопротивление бесконечны ( I 2 0 = 0; U 2 / = 0 ). На самом деле не существует технических устройств, в которых в той или иной форме не происходили бы необратимые преобразования энергии. Однако эти потери можно компенсировать за счёт источников энергии внешних по отношению к рассматриваемой электрической цепи и тогда реальное техническое устройство будет обладать свойствами идеального источника по отношению к нагрузке. Простейшим примером такого устройства является стабилизированный источник питания, в котором с помощью внутренней обратной связи обеспечивается компенсация потерь внутри источника за счёт энергии питающей сети. Тем самым обеспечивается постоянство выходного напряжения до определенного значения тока нагрузки, после чего он переключается в режим работы с постоянным током, реализуя в этих двух режимах работы оба идеальных источника.

Если потери электрической энергии внутри источника не компенсируются, то он имеет наклонную внешнюю характеристику (линия 3 на рис. 1.5, д). Такие источники часто называют реальными источниками. Их схему замещения можно представить в виде источника ЭДС и последовательно включённого внутреннего сопротивления r (рис. 1.5, б). Уравнение внешней характеристики в этом случае имеет вид Решая его совместно с уравнением нагрузки U н = Rн I н, мы получим значение тока в цепи Графически это решение соответствует точке a пересечения внешней характеристики источника (линия 3 на рис. 1.5, д) с вольтамперной характеристикой нагрузки (линия 4 на рис. 1.5, д). При изменении сопротивления нагрузки будет меняться угол ВАХ и точка a будет скользить по внешней характеристике, определяя режим работы электрической цепи.

При Rн = ток в цепи равен нулю (рабочая точка b на рис. 1.5 д) и этот режим работы называется холостым ходом. Из выражения (1.11) следует, что в режиме холостого хода напряжение на выводах источника Uх равно его ЭДС E, что позволяет произвести её измерение вольтметром с большим входным сопротивлением.

При Rн = 0 напряжение на выводах источника равно нулю (рабочая точка c на рис. 1.5 д) и этот режим работы цепи называется коротким замыканием. В режиме короткого замыкания ток в цепи I к = E / r ограничивается только внутренним сопротивлением источника r, что крайне опасно, т.к.

обычно это сопротивление имеет очень малую величину и ток в цепи может достигать значений, при которых источник может выйти из строя.

На всём остальном множестве точек внешней характеристики источника выделяют два режима работы цепи: номинальный и согласованный. Номинальный режим работы это режим, при котором элементы электрической цепи работают в условиях соответствующих проектным. Для элементов электрических цепей номинальными параметрами, обеспечивающими номинальный режим работы, являются ток, напряжение и мощность.

Согласованный режим работы цепи это режим, при котором источник отдает в нагрузку максимально возможную мощность. Из выражений (1.5) и (1.12) можно найти мощность, рассеиваемую на сопротивлении нагрузки Очевидно, что эта функция (линия 5 на рис. 1.5, д) имеет максимум, т.к. она обращается в нуль при Rн = 0 I н = I к и Rн = I н = 0. Взяв производную dP / dRн и приравнивая её нулю, найдём значение сопротивления нагрузки, соответствующее максимуму мощности. Это условие имеет вид Rн = r, что соответствует току I н = I к / 2. Ток нагрузки, равный половине тока короткого замыкания источника в силовых электрических цепях недопустим. Кроме того, КПД электрической цепи, как отношение мощности рассеиваемой в нагрузке, к мощности, рассеиваемой во всей цепи – в согласованном режиме составляет 0,5. Столь низкий КПД также недопустим для силовых электрических цепей. Для его повышения в них стремятся обеспечить условие r Rн и работают в режиме левее точки максимума (точки d и e на рис. 1.5, д). В то же время, в маломощных устройствах (например, в радиоэлектронных) согласованный режим работы является основным, т.к. обеспечивает в приёмнике сигнал максимальной мощности.

В некоторых случаях оказывается удобным представить реальный источник электрической энергии параллельной схемой замещения с источником тока (рис. 1.5, г). Такая возможность следует из уравнения (1.11), если обе его части разделить на величину внутреннего сопротивления r. Тогда где I х = U / r = Ug – ток холостого хода источника с внутренней проводимостью g = 1/ r ; J = E / r = I к ток источника J равный току короткого замыкания источника с последовательной схемой. Сопоставляя уравнения (1.11) и (1.13), получим соотношения параметров последовательной и параллельной схем замещения Обе схемы по отношению к нагрузке полностью эквивалентны, т.к. эквивалентны их внешние характеристики. Однако сами источники реализованные по этим схемам будут работать по-разному в одинаковых режимах работы нагрузки. В режиме холостого хода в источнике с последовательной схемой рассеяние мощности будет равно нулю, а в источнике с параллельной – J 2 / g, т.е. этот режим для него будет аварийным, т.к. вся мощность источника J будет рассеиваться на внутренней проводимости (сопротивлении). В режиме короткого замыкания в источнике с параллельной схемой замещения рассеяния мощности не будет, а источник с последовательной схемой будет работать в аварийном режиме, рассеивая на внутреннем сопротивлении мощность E 2 / r. Единственным режимом работы цепи, в котором обеспечивается эквивалентность преобразования схемы замещения по отношению к источнику, является согласованный режим.

С практической точки зрения имеет большое значение задача определения внутренних параметров источника E и r. Их можно определить по данным измерений напряжения и тока в режимах холостого хода и короткого замыкания, но, как уже упоминалось выше, режим короткого замыкания представляет опасность для источников с малым внутренним сопротивлением, а режим холостого хода для источников с большим внутренним сопротивлением. Поэтому эти параметры можно определить, измерив ток и напряжение в нагрузке в двух произвольных режимах – I1, U1, I2, U2, а затем из уравнения (1.11) найти Выражения (1.14) упрощаются, если одним из режимов будет холостой ход ( I1 = 0; U1 = U х = E ) или короткое замыкание ( U1 = 0; I1 = I к ) – В источниках малой мощности можно определить внутреннее сопротивление экспериментально с помощью вольтметра. Для этого нужно измерить напряжение на выходе источника в режиме холостого хода, а затем, подключив переменное сопротивление Rн, найти такое значение, при котором напряжение будет равно половине напряжения холостого хода, т.е. в цепи наступит согласованный режим и Rн будет равно r.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое внешняя характеристика источника электрической энергии?

2. Чем отличаются внешние характеристики источников ЭДС, тока и реального источника электрической энергии?

3. Почему источники ЭДС и тока называются идеальными?

4. Можно ли технически реализовать источники ЭДС и тока?

5. Перечислите типовые режимы электрической цепи.

6. Что такое согласованный режим, и в каких устройствах он применяется?

7. Почему согласованный режим не используют в силовых цепях?

8. Какие режимы и почему опасны для источников с высоким и низким внутренним сопротивлением?

1.5. Основные законы электрических цепей постоянного тока Основой для расчёта режима работы любой электрической цепи являются законы Ома и Кирхгофа. С их помощью, зная параметры элементов электрической цепи можно определить протекающие в ней токи и действующие напряжения. Можно также решить обратную задачу определения параметров цепи, обеспечивающих требуемые токи и напряжения.

Закон Ома устанавливает связь между током и напряжением на участках цепи.

Для любого участка цепи, не содержащего активных элементов справедливо соотношение Закон Ома можно записать и для участков цепи, содержащих источник ЭДС (рис. 1.6). В этом случае его называют обобщённым законом Ома. Пусть ток на участке ac протекает от точки a к точке c. Это означает, что потенциал a выше, чем c и напряжение U ac = a c > 0, т.е. положительное направление U ac совпадает с направлением тока. Прибавим и вычтем из U ac потенциал точки b. Тогда U ac = a b + b c = U ab + U bc. Напряжение на резисторе участка ab всегда совпадает с направлением тока и равно U ab = a b = RI, а напряжение на выводах источника ЭДС всегда противоположно E, т.е. U bc = b c = E. Отсюда U ac = RI E. Если направление действия ЭДС будет противоположным направлению протекания тока, то изменятся направление и знак напряжения Положительный знак в (1.16) соответствует согласному направлению тока и ЭДС, а отрицательный встречному.

Участок электрической цепи может содержать в общем случае n источников ЭДС и m резисторов. Тогда, используя тот же ход рассуждений, получим В выражении (1.17) знак ЭДС в сумме принимается положительным, если её направление совпадает с положительным направлением протекания тока.

Законы Кирхгофа являются частным случаем фундаментальных физических законов применительно к электрическим цепям.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей, объединённых в узел электрической цепи, и, по сути, является принципом непрерывности электрического тока. Поскольку узел является идеальным элементом цепи и в нем не происходит накопления или преобразования энергии, то, мысленно охватив его некоторой замкнутой поверхностью (S на рис. 1.7), мы можем утверждать, что количество электрических зарядов входящих внутрь этой поверхности за любой промежуток времени, равно количеству зарядов выходящих из неё. Если при этом учесть, что заряды в электрической цепи перемещаются по проводникам и образуют электрический ток, то сказанное выше можно записать в виде Выражения (1.18) представляют собой первый закон Кирхгофа, который гласит, что алгебраическая сумма токов в узлах электрической цепи равна нулю (1.18 а) или, что сумма токов направленных к факт, что при обходе контура и возвращении в исходную точку её электрический потенциал остаётся неизменным.

Этот закон можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма падений напряжения в любом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме действующих в нём ЭДС. Для контура с числом m резисторов и n источников ЭДС второй закон Кирхгофа можно записать в виде Положительные знаки в уравнении (1.19) имеют напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с направлениями протекания токов в соответствующих элементах цепи, а отрицательные – напряжения и ЭДС, направленные встречно по отношению к токам.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте правило выбора знака ЭДС в обобщённом законе 2. Какому фундаментальному физическому закону (принципу) соответствует первый (второй) закон Кирхгофа?

3. Сформулируйте первый (второй) закон Кирхгофа. Почему алгебраическая сумма электрических токов в узлах цепи равна нулю?

4. Сформулируйте правило выбора знаков в уравнениях, составляемых для узлов электрической цепи.

5. Сформулируйте правило выбора знаков в уравнениях, составляемых для контуров электрической цепи.

6. Почему число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, не может быть равно числу узлов электрической цепи?

7. Сформулируйте правило выбора контуров электрической цепи.

1.6. Эквивалентные преобразования электрических цепей В электрических цепях различают следующие соединения элементов:

последовательное, параллельное, смешанное, звездой и треугольником. Часто задачу анализа цепи можно существенно упростить, если заменить одно соединение другим эквивалентным.

вторым законом Кирхгофа и законом Ома т.е. эквивалентное сопротивление m последовательного соединённых резисторов равно сумме их сопротивлений Параллельное соединение это соединение элементов цепи, в котором все они подключены к одной паре узлов (рис. 1.8, б). Это означает, что падение напряжения на всех элементах одинаково и равно разности потенциалов узлов.

Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома можно записать:

Отсюда эквивалентная проводимость параллельного соединения равна На практике в качестве параметра резистивных элементов обычно используют сопротивление. Поэтому выражение (1.21) можно преобразовать В наиболее часто встречающихся случаях параллельного соединения двух и трёх резисторов эквивалентное сопротивление определяется как Следует заметить, что, в отличие от последовательного соединения, понятие параллельного соединения используется также для соединения ветвей, т.е. параллельно соединёнными можно найти эквивалентное сопротивление путём последовательных эквивалентных преобразований отдельных элементов. Рассмотрим эту задачу параллельно, т.к. обе соединены с узлами a и b. Однако из этого не следует, что параллельно соединены между собой элементы этих ветвей. Это было бы справедливо только в том случае, если бы обе ветви состояли из одного элемента.

На первом этапе эквивалентное преобразование возможно только для последовательного соединения R2 и R3 во второй ветви, т.к. в цепи нет других соединений, которые можно определить как параллельные или последовательные. Отсюда R23 = R2 + R3.

Теперь каждая из параллельных ветвей состоит из одного элемента, и В результате мы получили последовательное соединение с эквивалентным сопротивлением В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя свести к комбинации последовательных и параллельных. К ним относятся соединения трёхлучевой звездой и треугольником (рис. 1.10). Взаимное преобразование этих соединений часто позволяет получить более простые смешанные соединения и после этого решать задачу подобно тому, как это было сделано выше.

Условиями эквивалентности преобразования являются равенство токов, подходящих к точкам a, b и c, а также напряжений между ними в обеих схемах.

Составим для контура треугольника и узлов a и b схемы рис. 1.10, б уравнения Кирхгофа и решим полученную систему относительно тока I ab Отсюда можно определить U ab Но в соединении звездой U ab = Ra I a Rb I b. Приравнивая множители при токах в этих двух выражениях, получим:

По аналогии можно записать для третьего сопротивления:

Из уравнений (1.23) можно определить сопротивления резисторов эквивалентного треугольника:

треугольником Rca, Rcd, Rad ; Rbc, Rcd, Rdb. В результате преобразования любого из четырёх соединений мостовая схема приводится к смешанному соединению. На рис. 1.11, б показан результат преобразования треугольника Rca, Rcd, Rad, а на рис. 1.11, в – звезды Rad, Rcd, Rdb. В первом случае мы получаем смешанное соединение с сохранением всех узлов мостовой схемы и их потенциалов, а во втором информация о потенциале узла d утрачивается.

Преобразование ветвей с источниками ЭДС. При последовательном включении n источников ЭДС и m резисторов (рис. 1.12, а) напряжение на входе цепи можно определить по второму закону Кирхгофа как Отсюда параметры эквивалентной цепи Полученное выражение U = RI + E соответствует последовательному соедиn нению резистора и источника с ЭДС E = ± Eq. Причём, ЭДС источника Eq включается в сумму с положительным знаком, если направление ЭДС совпадает с направлением тока в цепи.

Подставляя значения токов в исходное уравнение, получим:

Отсюда Здесь также как в последовательном соединении положительный знак в сумме ЭДС соответствует согласному направлению ЭДС и тока в ветви. В случае отсутствия источника ЭДС в какой-либо ветви в числителе эквивалентной ЭДС будет отсутствовать соответствующее слагаемое (на рис. 1.12, б En1 = 0 ).

Вопросы для самопроверки:

1. Как меняется общее сопротивление последовательно соединённых резисторов при подключении нового элемента?

2. Как меняется общая проводимость параллельно соединённых резисторов при подключении нового элемента?

3. Возможно ли последовательное соединение ветвей электрической 4. Возможно ли параллельное соединение ветвей электрической цепи?

5. К какому виду приводится последовательное соединение резисторов и источников ЭДС при эквивалентных преобразованиях?

6. К какому виду приводится параллельное соединение резисторов и источников ЭДС при эквивалентных преобразованиях?

7. Сформулируйте правило выбора знаков ЭДС источников при эквивалентных преобразованиях последовательного и параллельного 1.7. Методы расчёта электрических цепей Расчёт электрической цепи производится с целью получения данных о режиме её работы или для определения параметров, обеспечивающих заданный режим. Первая задача, задача определения токов, напряжений и мощностей на участках или элементах электрической цепи при заданной схеме, параметрах элементов и источников электрической энергии называется анализом цепи. Вторая задача заключается в определении состава электрической цепи и параметров ее элементов, обеспечивающих требуемый режим работы одного или нескольких из них, называется синтезом цепи и в пределах данного курса не рассматривается. Не входит в задачу данного курса и анализ цепей с источниками тока, которые обычно рассматриваются в курсах теоретических основ электротехники.

Основой для анализа электрической цепи являются законы Ома и Кирхгофа, а также методы, разработанные на их основе для оптимального решения определённого класса задач.

1.7.1. Метод непосредственного применения закона Ома Закон Ома применяется для расчёта режимов отдельных участков электрической цепи, состоящих из одного или нескольких резисторов и источников ЭДС. Однако в сочетании с эквивалентными преобразованиями он может использоваться для более сложных задач. В частности, его можно использовать для задач определения тока в какой-либо ветви двухконтурной электрической цепи или напряжения на отдельном элементе.

Для определения напряжения по закону Ома нужно знать ток I2, протекающий через R21. Его можно найти, поэтапно преобразовав схему к цепи, состоящей из одного контура (рис. 1.13, в), и вначале вычислить ток I1 в первой ветви.

Эквивалентное сопротивление последовательно включённых резисторов R21 и R22 равно R2 = R21 + R22, а параллельно включённых R2 и R3 – R23 = R2 R3 /( R2 + R3 ).

Ток в цепи рис. 1.13, в можно определить с помощью обобщённого закона Ома для участка ab:

Теперь можно найти напряжение Uab:

а затем ток I2 и искомое напряжение:

1.7.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа Законы Кирхгофа являются универсальным средством анализа электрических цепей. При расчёте режима цепи с их использованием рекомендуется определённая последовательность решения.

Вначале нужно определить число ветвей N в и число узлов N у цепи.

Число ветвей определяет общее число уравнений Кирхгофа, т.к. неизвестными величинами являются токи в ветвях.

Для всех N у узлов цепи можно составить уравнения по первому закону Кирхгофа, однако только N у 1 уравнений будут независимыми, т.к. последнее уравнение является суммой остальных. Поэтому число уравнений составляемых по первому закону равно N1 = N у 1, а число уравнений по второму закону – N 2 = N в N1 = N в N у + 1.

крайней мере, одной ветвью.

После этого составляют уравнения для выбранных узлов цепи, считая токи, направленные к узлам положительными, а от узлов отрицательными.

Затем составляют уравнения для контуров, включая в левую часть уравнений напряжения на пассивных элементах, а в правую ЭДС источников. При этом напряжения на элементах, у которых направление протекания тока совпадает с направлением движения при обходе контура, включаются в уравнение с положительным знаком, а остальные с отрицательным. ЭДС источников также включаются в уравнение с учётом направлений их действия и направлений обхода контура: с плюсом, если эти направления совпадают, и с минусом при встречных направлениях.

Рассмотрим алгоритм составления уравнений Кирхгофа для конкретной цепи, приведенной на рис. 1.14.

Общее количество неизвестных токов в цепи равно шести. Цепь имеет четыре узла, поэтому для неё можно составить три уравнения по первому закону Кирхгофа и три по второму.

На рисунке 1.14 б) стрелками показаны произвольно выбранные направления токов во всех ветвях (индексы элементов цепи соответствуют номеру ветви). По отношению к узлу b токи I 2, I 3, I 5 получились ориентированными одинаково. Это означает, что в результате решения один или два тока из трёх будут отрицательными, т.е. будут протекать в направлениях противоположных выбранным. Выберем из четырех узлов три, например, a, b и c и составим для них уравнения Кирхгофа:

Выберем теперь произвольно три замкнутых контура так, чтобы в них входили все ветви. Всего для рассматриваемой цепи можно составить семь контуров: aecba, abdga, bcfdb, aecfdga, aecfdba, aecbdga, abcfdga. Любые три из них можно использовать при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, но лучше ограничиться малыми контурами, т.к. при этом уравнения будут более компактными, а для результата выбор контуров не имеет значения.

Примем направления обхода контуров по часовой стрелке и составим уравнения:

Следует заметить, что направления обхода могут быть любыми, в том числе и различными для разных контуров.

Решить систему уравнений (1.27-1.28) можно любым способом, но в современных математических пакетах есть средства, позволяющие легко получить результат, если представить задачу в матричной форме:

Столбцами матрицы являются множители соответствующих токов в уравнениях Кирхгофа, а в вектор-столбец правой части включены алгебраические суммы ЭДС источников, действующих в контурах.

Определив токи I1 … I 6, можно по закону Ома найти напряжения на всех резисторах ( U k = Rk I k ), а также составить баланс мощностей цепи:

где PR – мощность, рассеваемая на m сопротивлениях цепи, а PS – мощность, доставляемая n источниками ЭДС. Причём, мощность источника считается положительной, если направление тока в нём совпадает с направлением ЭДС.

1.7.3. Метод контурных токов Метод контурных токов используют для расчёта сложных цепей с большим количеством узлов. Он позволяет исключить уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа. Метод основан на предположении, что в каждом контуре цепи протекает собственный ток независимый от токов в других контурах, а истинные токи в ветвях являются алгебраической 1.14 методом контурных токов. Пусть в произвольно выбранных контурах протекают независимые контурные токи I I, I II, I III (рис. 1.15).

Направление этих токов также выберем произвольно и независимо одно от другого.

по второму закону Кирхгофа, включив в левую часть падения напряжения на элементах контура, создаваемые протекающими по ним токами, а в правую часть – ЭДС источников, действующих в контуре. ЭДС источников будем считать положительными, если направление их действия совпадает с направлением протекания контурного тока. Падения напряжения, создаваемые собственными токами контура, будем всегда считать положительными, а падения напряжения, создаваемые в элементах контура токами смежных контуров, будем считать положительными, если ток смежного контура протекает через смежную ветвь в том же направлении, что и собственный ток контура.

Для схемы рис. 1.15 уравнения контурных токов имеют вид:

или в матричной форме:

При известном навыке уравнения (1.30) можно составлять сразу в матричной форме, если учесть, что матрица коэффициентов этой системы симметрична относительно главной диагонали, на которой расположены суммы всех сопротивлений, входящих в соответствующие контуры. Эти суммы называются собственными сопротивлениями контуров. Элементы матрицы вне главной диагонали представляют собой алгебраическую сумму сопротивлений смежных ветвей соответствующих контуров, называемых также общими или взаимными сопротивлениями. Эти сопротивления включаются в сумму с положительным знаком, если контурные токи в смежной ветви имеют одинаковое направление. Элементы вектора-столбца правой части уравнений представляют собой алгебраическую сумму ЭДС действующих в соответствующем контуре. Знаки ЭДС в сумме соответствуют правилу, принятому при составлении уравнений (1.30).

После решения системы уравнений (1.30) можно определить токи в ветвях цепи как алгебраическую сумму протекающих в них контурных токов:

1.7.4. Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов позволяет исключить уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа. Метод основан на применении закона Ома и уравнений Кирхгофа для узлов электрической цепи. С помощью закона Ома можно определить ток в ветви, если известна разность потенциалов узлов, к которым подключена ветвь, а также её проводимость и действующая в ветви ЭДС. Если затем все токи ветвей связать условиями, соответствующими закону Кирхгофа для узлов цепи, то получится система уравнений, в которой неизвестными величинами будут потенциалы узлов. Решив систему с пассивными элементами, а в ветвях с источниками ЭДС примем за положительное направление тока, совпадающее с направлением где Gk = 1/ Rk.

В любой электрической цепи имеет смысл только понятие разности потенциалов. Поэтому потенциал одного из узлов можно принять за нулевую точку отсчёта для остальных потенциалов. Произвольно примем потенциал узла d равным нулю и составим для остальных узлов уравнения Кирхгофа:

Подставляя в эту систему уравнений выражения (1.31), получим:

или в матричной форме:

Матрица проводимостей симметрична относительно главной диагонали, на которой расположены суммарные проводимости ветвей, сходящихся в соответствующих узлах. Вне главной диагонали расположены элементы матЭто условие не является обязательным, но существенно упрощает выбор знаков ЭДС в уравнениях рицы, представляющие собой суммарные проводимости всех ветвей, соединяющих соответствующие узлы, взятые с отрицательным знаком. Элементами вектора-столбца правой части уравнений являются алгебраические суммы ЭДС источников ветвей, сходящихся в узле, умноженные на проводимости этих ветвей. ЭДС источников входят в сумму с плюсом, если они направлены к узлу и с минусом, если от узла. Пользуясь этими правилами можно составлять уравнения или проверять правильность уже составленных.

После определения потенциалов из уравнений (1.32) не составляет труда найти токи в ветвях по выражениям (1.31).

Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов. Как следует из его названия, он используется для расчёта электрических цепей, имеющих два только узла. Тогда потенциал одного из них принимается равным нулю, а потенциал другого определяется как Знак ЭДС в числителе выбирается положительным, если она направлена к узлу, и отрицательным в противном случае.

Пример электрической цепи, для расчёта которой можно использовать метод двух узлов, приведён на рис. 1.17.

1.7.5. Принцип и метод суперпозиции (наложения) Для линейных электрических цепей справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что реакция электрической цепи на суммарное воздействие равно сумме реакций на элементарные воздействия. Под реакцией электрической цепи понимается режим работы, который устанавливается в результате действия ЭДС источников электрической энергии. Метод наложения непосредственно следует из принципа суперпозиции и заключается в том, что ток в любой ветви линейной электрической цепи можно определить в виде суммы токов, создаваемых каждым источником в отдельности. Очевидно, что этот метод целесообразно применять в цепях с небольшим количеством источников.

Рассмотрим применение метода наложения на примере цепи рис. 1.18. В ней действуют два источника ЭДС. Отключим второй источник, заменив его внутренним сопротивлением ( r = 0 ). Тогда схема цепи будет соответствовать рис. 1.18, б, и для неё токи можно легко рассчитать, пользуясь, например, эквивалентными преобразованиями и законом Ома:

Ток I 21 получен в результате следующих выкладок которые можно успешно использовать при анализе других цепей и сформулировать на их основе правило распределения тока по двум параллельным ветвям: ток в каждой из ветвей пропорционален отношению сопротивления другой ветви к суммарному сопротивлению обеих ветвей.

Отключим теперь первый источник и аналогичным методом определим токи в цепи рис. 1.18, в:

Складывая токи, создаваемые отдельными источниками с учётом их направлений, получим искомые токи:

1.7.6. Метод эквивалентного источника (генератора) Метод эквивалентного источника является прямым следствием теоремы Тевенена гласящей, что ток в любой ветви сколь угодно сложной цепи можно найти, разделив напряжение, которое будет в точках подключения ветви в разомкнутом состоянии, на сумму сопротивления ветви и эквивалентного сопротивления всей цепи относительно точек подключения. Из этой теоремы следует, что по отношению к выделенной ветви всю остальную цепь можно рассматривать как источник электрической энергии с ЭДС, равной напряжению в точках подключения ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному сопротивлению цепи относительно точек подключения.

Рассмотрим в качестве примера задачу определения тока в резисторе R, включённом в диагональ неуравновешенного моста (рис. 1.19, а).

Отключим резистор и определим напряжение U cd в точках его подключения (рис. 1.19, б). Для этого составим уравнение Кирхгофа для контура cdbc Ветви acb и adb соединены параллельно, поэтому токи в них независимы и равны:

Далее нужно исключить источник, заменив его внутренним сопротивлением ( r = 0 ), и найти общее сопротивление цепи относительно точек cd ( Rcd на рис. 1.19, в. После замены источника нулевым сопротивлением резисторы R1, R2 и R3, R4 образуют два параллельных соединения, включенных последовательно между точками cd. Поэтому Теперь внешнюю по отношению к резистору R цепь можно заменить эквивалентным источником (ЭИ на рис. 1.19, г) и найти искомый ток по закону Ома:

Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте правило выбора знака мощности источника в балансе мощностей электрической цепи.

2. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод 3. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод узловых потенциалов.

4. Сформулируйте правило выбора знаков ЭДС источников в методе 5. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод наложения.

6. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод эквивалентного источника.

2. Электрические цепи синусоидального переменного тока.

Понятие синусоидальный ток относится ко всем периодическим токам, изменяющимся во времени по синусоидальному закону. Этот вид тока имеет по сравнению с постоянным целый ряд преимуществ, обусловивших его широкое распространение в технике. Производство, передача и преобразование электрической энергии наиболее удобно и экономично на переменном токе.

Синусоидальные токи широко используются в радиоэлектронике, электротехнологии. Всё бытовое электроснабжение также производится на переменном токе. В связи с этим, изучение явлений, закономерностей и свойств электрических цепей синусоидального переменного тока имеет особое значение, как для последующих разделов курса, так и для применения полученных знаний на практике.

2.1. Основные понятия теории и законы электрических цепей синусоидального тока 2.1.1. Синусоидальные ЭДС, токи и напряжения.

Синусоидальные или гармонические величины математически описываются функциями вида:

время t. Все остальные величины – константы. Значение функции в данный момент времени называется мгновенным значением и по Максимальное значение функции называется амплитудой или амплитудным значением и обозначается прописной буквой с индексом m ( Em, I m, U m ). Аргумент синуса называется фазой, т.е. состоянием функции, а его значение в момент начала отсчёта времени (при t = 0 ) – начальной фазой ( e, i, u ).

Величину f = 1/ T, обратную периоду, называют частотой. Она связана с угловой частотой отношением: = 2f. Промышленная сеть в России имеет частоту 50 Гц.

Амплитуды функций (2.1) измеряются в единицах, соответствующих величин, т.е. в вольтах и амперах. Период измеряется единицами измерения времени, а частота в герцах (1 Гц=1/c).

Мгновенные значения величин и их параметры по отдельности не дают представления об энергетических параметрах цепи, т.е. не позволяют судить о работе, совершаемой источниками электрической энергии или о мощности, рассеиваемой или преобразуемой в её элементах. Для этого требуются величины, включающие в оценку фактор времени. В цепях постоянного тока введение таких величин не требовалось, т.к. ЭДС, напряжения и токи были временными константами. На переменном токе вводится понятие действующего значения, как эквивалента теплового действия тока. По закону Джоуля-Ленца на участке электрической цепи с сопротивлением r, по которому протекает ток i, в течение элементарного промежутка времени dt выделится i 2 r dt джоT улей тепла, а за период T – i 2 r dt джоулей. Обозначим через I постоянный ток, при котором за тот же промежуток времени T в сопротивлении r выделится столько же тепла. Тогда:

Величина I называется действующим, эффективным или среднеквадратичным значением переменного тока i. Подставляя выражение для синусоидального тока (2.1) и интегрируя, получим:

По аналогии определяются действующие значения напряжения и ЭДС:

U = U m / 2 0,707U m ; E = Em / 2 0,707 Em. Понятие действующего значения очень широко используется в цепях переменного тока. Большинство измерительных приборов градуируются в действующих значениях. Технические данные электротехнических устройств указываются в действующих значениях. В записи для действующих значений по соглашению используют прописные буквы без индекса, подчёркивая тем самым сходство этих понятий с аналогами на постоянном токе.

Другой интегральной величиной, используемой в цепях переменного тоT ка, является среднее значение i dt, т.е. площадь, ограниченная линией функции и осью времени на протяжении периода. Но для синусоидальных функций эта величина тождественно равна нулю, т.к. площади положительной и отрицательной полуволн равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому условились под средним значением понимать среднее значение функции за положительный полупериод, т.е.:

и аналогично для напряжения и ЭДС – Вопросы для самопроверки 1. Какими параметрами определяются синусоидальные функции 2. Какое явление положено в основу понятия действующего значения 3. Поясните названия: действующее, эффективное, среднеквадратичное значение.

4. Как связаны между собой амплитудное и действующее значение синусоидальной величины?

5. Как определяется среднее значение синусоидальной величины?

2.1.2. Получение синусоидальной ЭДС.

являются электромеханические генераторы, преобразующие энергию вращательного движения в электрическую.

Простейшей реализацией такого источника является проводник в форме прямоугольной рамки, равномерно вращающийся с угловой скоростью в постоянном однородном магнитном поле (рис. 2.2). При вращении рамки изменяется величина магнитного потока, проходящего через её плоскость. В положении, когда плоскость рамки перпендикулярна к магнитным линиям поля поток Ф максимален – Рис. 2.2. уменьшается и становится нулевым, когда плоскость рамки располагается вдоль линий поля. Затем направление потока меняет свой знак, и он начинает увеличиваться. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется в зависимости от угла её поворота по закону:

где – угол между направлением линий магнитного поля и нормалью к плоскости рамки. Если рамка вращается равномерно с угловой скоростью и в момент времени, принятый за начало отсчёта, она находилась в угловом положении e, то = t + e и магнитный поток изменяется во времени в соответствии с выражением:

По закону электромагнитной индукции, в рамке наводится ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока, т.е.:

Отсюда следует, что угловая частота ЭДС равна угловой скорости вращения рамки, а начальная фаза – начальному угловому положению. Амплитуда ЭДС пропорциональна максимальному значению магнитного потока и скорости вращения рамки. Амплитудное значение ЭДС по времени соответствует положению рамки, когда пронизывающий её поток нулевой, а скорость пересечения магнитных линий максимальна.

По принципу действия промышленные генераторы переменного тока ничем не отличаются от рассмотренного элементарного устройства, кроме того, что рамка, в которой индуцируется ЭДС, в них неподвижна, а магнитное поле вращается вокруг неё.

2.1.3. Изображение синусоидальных функций векторами.

Аналитическое представление синусоидальных функций неудобно при расчётах, т.к. приводит к громоздким тригонометрическим выражениям, из которых часто бывает невозможно определить интересующий нас параметр в общем виде. Поэтому при анализе цепей переменного тока эти функции представляют в виде векторов, что позволяет перейти от тригонометрических к алгебраическим выражениям и, кроме того, получить наглядное представление о количественных и фазовых соотношениях величин.

Произвольная синусоидальная функция времени a(t ) = Am sin(t + a ) (рис. 2.3, б) соответствует проекции на ось 0Y вектора с модулем равным Am, вращающегося на плоскости X0Y с постоянной угловой скоростью из начального положения, составляющего угол a с осью 0X (рис. 2.3, а). Если таким же образом на плоскости изобразить несколько векторов, соответствующих разным синусоидальным функциям, имеющим одинаковую частоту, то они будут вращаться совместно, не меняя взаимного положения, которое определяется только начальной фазой этих функций. Поэтому при анализе цепей, в которых все функции имеют одинаковую частоту, её можно исключить из параметров, ограничившись только амплитудой и начальной фазой. В этом случае векторы, изображающие синусоидальные функции будут неподвижными (рис. 2.3, в).

В то же время, любой вектор на плоскости можно представить совокупностью двух координат: либо двумя проекциями на оси декартовой системы координат, либо в полярной системе координат в виде модуля (длины) и угла с осью принятой за начало отсчёта (аргумента). Обе координаты в обоих случаях можно объединить в форме комплексного числа или, иначе говоря, построить вектор, изображающий синусоидальную функцию на плоскости комплексных чисел. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, проведённый из начала координат в эту точку, соответствуют комплексному числу Am = p + jq *, где p – координата вектора по оси вещественных чисел, а q – по оси мнимых чисел. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической формой. Представив вещественную и мнимую часть вектора через его длину и угол с осью вещественных чисел, мы получим новую запись: Am = Am cos a + jAm sin a, которая называется тригонометрической e = cos a + j sin a, можно перейти от тригонометрической к показательной форме: Am = Am (cos a + j sin a ) = Ame j a. Здесь амплитуда синусоидальной функции является модулем комплексного числа, а начальная фаза аргументом.

Алгебраическая и показательная формы записи комплексных чисел используются в расчётах. Первая для выполнения операций суммирования, а вторая – для умножения, деления и возведения в степень. Тригонометрическая форма является просто развёрнутой записью перехода от показательной формы к алгебраической. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется с помощью очевидных геометрических соотношений:

Множитель вида e j = cos + j sin играет исключительно важную роль в анализе цепей переменного тока. Он называется оператором поворота и представляет собой единичный вектор, развёрнутый относительно вещественной оси на угол. Название оператора связано с тем, что умножение на него любого вектора приводит к развороту последнего на угол. Вещественобозначается буквой j, т.к. буквой i принято обозначать мгновенВ электротехнике мнимая единица ное значение тока.

ные и мнимые числа 1, j, –1, –j можно рассматривать как операторы поворота 1 = e j 0 ; j = e j / 2 ; 1 = e j ; j = e j / 2, что облегчает восприятие преобразований векторов, связанных с операциями умножения на эти числа.

Комплексное число Am, модуль которого равен амплитуде синусоидальной функции, называется комплексной амплитудой. Но амплитуда и действующее значение синусоидальной функции связаны между собой константой 1/ 2 0,707, поэтому расчёт можно вести сразу для действующих значений, если использовать комплексные числа с соответствующим модулем A = Am / 2. Число A называется комплексным действующим значением или просто комплексным значением. Применительно к ЭДС, напряжению и току такие комплексные величины ( E, U, I ) называют просто комплексной ЭДС, комплексным напряжением и комплексным током.

Применение законов Ома и Кирхгофа предполагает использование понятия направление: направление протекания тока, направление действия ЭДС, направление по отношению к узлу и др. Но в цепях переменного тока все величины (ЭДС, напряжения и токи) дважды за период меняют свои направления. Поэтому для них используют понятие положительное направление, т.е.

направление соответствующее положительным мгновенным значениям определяемой величины. При изменении выбора направления начальная фаза синусоидальной величины изменяется на. Следовательно, комплексные значения величин могут быть определены только с учётом выбора положительного направления. Для пассивного элемента положительное направление можно выбрать произвольно только для одной из величин – тока или напряжения. Направление второй величины должно совпадать с направлением первой, иначе будут нарушены фазовые соотношения между ними, вытекающие из физических процессов преобразования энергии. Положительное направление действия ЭДС считается заданным. Оно указывается стрелкой в условном обозначении и относительно этого направления определяется её начальная фаза.

Для анализа количественных и фазовых соотношений величин на переменном токе на комплексной плоскости строят векторы, соответствующие режиму работы электрической цепи. Такая совокупность векторов называется векторной диаграммой.

Вопросы для самопроверки 1. Почему ЭДС рамки, вращающейся в однородном магнитном поле, изменяется по синусоидальному закону?

2. Чем определяется амплитуда ЭДС, наводимой в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле?

3. Какие параметры синусоидальной функции времени отражаются изображающим её вектором?

4. Какие формы представления комплексных чисел используют для изображения синусоидальных функций?

5. Для каких математических операций используют алгебраическую и показательную форму комплексных чисел?

6. Что такое оператор поворота?

7. Что такое комплексная амплитуда (комплексное значение)?

8. Что такое векторная диаграмма?

2.1.4. Основные элементы и параметры электрической цепи.

В разделах 1.3 и 1.4 были рассмотрены основные элементы электрических цепей и их параметры. Приведённые там соотношения справедливы и на переменном токе, если в них в качестве ЭДС, напряжений и токов подставить соответствующие синусоидальные функции времени.

Резистивный элемент. При протекании синусоидального тока iR = I m sin(t + i ) по резистивному элементу на нём по закону Ома возникает падение напряжения:

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

Умножив комплексный ток I R на R, получим закон Ома для резистивного элемента в комплексной форме:

Отсюда ток в резистивном элементе в комплексной форме равен:

График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для резистивного элемента показаны на рис. 2.4, а и б.

Мгновенная мощность, рассеиваемая на резистивном элементе равна:

т.е. она изменяется во времени с двойной частотой и колеблется в пределах от нуля до 2UI. В любой момент времени значения тока и напряжения имеют одинаковый знак, поэтому p 0. Кривая изменения мощности показана на рис. 2.4, а. Среднее за период значение мощности называется активной мощностью Заштрихованная площадь на рис. 2.4, а соответствует электрической энергии, необратимо преобразуемой резистивным элементом в неэлектрические виды энергии.

Индуктивный элемент. Пусть через индуктивный элемент протекает ток iL = I m sin(t + i ). Тогда его потокосцепление равно:

а ЭДС самоиндукции – Отсюда напряжение на индуктивном элементе:

Следовательно, амплитуда и начальная фаза напряжения равны:

Разделив выражение для амплитуды на 2, получим соотношение действующих значений напряжения и тока для индуктивного элемента:

где X L = L – величина, имеющая размерность сопротивления и называемая индуктивным сопротивлением. Обратная величина BL = 1/ X L = 1/ L называется индуктивной нении. При увеличении частоты её значение стремится к бесконечности, а на постоянном токе ( = 0 ) индуктивное сопротивление равно нулю. Индуктивное сопротивление и индуктивная проводимость являются параметрами индуктивного элемента.

Начальная фаза напряжения отличается от фазы тока на + / 2, т.е. ток в индуктивном элементе отстаёт по фазе от напряжения на 90°.

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

Отсюда, пользуясь выражениями (2.7-2.8), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:

Ток в индуктивном элементе в комплексной форме равен:

Величины jX L и jBL, входящие в выражение (2.9), называются комплексным индуктивным сопротивлением и комплексной индуктивной проводимостью.

Пользуясь выражениями (2.5)-(2.6) комплексное напряжение на индуктивном элементе можно выразить также через комплексное потокосцепление График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для индуктивного элемента показаны на рис. 2.5, а и б.

Определим мгновенную мощность, поступающую в индуктивный элемент из внешней цепи:

т.е. мгновенная мощность изменяется синусоидально с двойной частотой, поэтому её среднее значение за период равно нулю.

Энергия магнитного поля, соответствующая индуктивному элементу, равна:

Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до LI 2 (рис. 2.5, а). В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, соответствующая индуктивному элементу, положительна и энергия накапливается в магнитном поле (положительная заштрихованная площадь на рис. 2.5, а). В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в магнитном поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точности то количество энергии, которое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом, в индуктивном элементе происходят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену между магнитным полем и внешней цепью без каких-либо потерь.

Ёмкостный элемент. Если напряжение на выводах ёмкостного элемента изменяется синусоидально uC = U m sin(t + u ), то в соответствии с (1.9) ток в нём:

т.е. ток в ёмкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой и начальной фазой:

Разделив выражение для амплитуды на 2, получим соотношение действующих значений напряжения и тока для ёмкостного элемента:

Величина BC = C, имеющая размерность проводимости, называется ёмкостной проводимостью. Обратная величина X C = 1/ BC = 1/ C называется ёмкостным сопротивлением. Физически наличие ёмкостного сопротивления индуктивного, его значение равно бесконечности на постоянном токе и нулю при бесконечном значении частоты. Ёмкостное сопротивление и ёмкостная проводимость являются параметрами ёмкостного элемента.

Начальная фаза тока отличается от фазы напряжения на + / 2, т.е. ток в ёмкостном элементе опережает по фазе напряжение на 90°.

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

Отсюда, пользуясь выражениями (2.10)-(2.12), получим закон Ома в комплексной форме для ёмкостного элемента:

Падение напряжения на ёмкостном элементе:

Величины jX C и jBC, входящие в выражение (2.13), называются комплексным ёмкостным сопротивлением и комплексной ёмкостной проводимостью.

График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для ёмкостного элемента показаны на рис. 2.6, а и б.

Определим мгновенную мощность, поступающую в ёмкостный элемент из внешней цепи:

т.е. мгновенная мощность изменяется синусоидально с двойной частотой, поэтому её среднее значение за период равно нулю.

Энергия электрического поля, соответствующая ёмкостному элементу, равна:

Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до CU 2 (рис. 2.6, а). В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, поступающая в ёмкостный элемент, положительна и энергия накапливается в электрическом поле (положительная заштрихованная площадь на рис. 2.6, а). В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в электрическом поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точности такое количество энергии, какое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом, в ёмкостном элементе происходят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену электрическим полем и внешней цепью без каких-либо потерь.

Вопросы для самопроверки 1. Что такое идеальные элементы электрической цепи?

2. Как соотносятся по фазе ток и напряжение резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента?

3. Как изменяется во времени энергия, соответствующая резистивному (индуктивному, ёмкостному) элементу?

4. Что такое активная мощность и чему равно её значение для резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента?

5. Какие энергетические процессы связаны с протеканием переменного тока через резистивный (индуктивный, ёмкостный) элемент?

6. Чему равно индуктивное (ёмкостное) сопротивление при постоянном токе (при очень высокой частоте)?

7. Какой знак имеет комплексное индуктивное (ёмкостное) сопротивление (проводимость)?

8. Чему равно среднее значение мощности индуктивного (ёмкостного) элемента и почему?

9. В чём принципиальное отличие резистивного элемента от индуктивного и ёмкостного?

10. Во что преобразуется электрическая энергия соответствующая резистивному элементу электрической цепи?

2.1.5. Закон Ома. Пассивный двухполюсник.

Закон Ома устанавливает соотношение между током, протекающим по участку электрической цепи и падением напряжения на нём. Рассмотрим некоторый произвольный участок, подключённый к остальной цепи в двух точках и не содержащий источников электрической энергии. Такой участок цепи называется пассивным двухполюсником. Напряжение и ток в точках подключения двухполюсника называются входным напряжением и входным током.

Если эти величины представить в комплексной форме U = Ue ju, I = Ie ji, то их отношение и называется полным сопротивлением.

Аргумент комплексного сопротивления = u i определяет фазовое соотношением между напряжением и током, т.е. сдвиг фаз между ними.

Причём, для обеспечения правильного соотношения между начальными фазами угол должен отсчитываться от вектора тока (рис. 2.7, а). Тогда при опережающем напряжении сдвиг фаз будет > 0, а при опережающем токе – < Комплексное сопротивление можно представить также в алгебраической форме:

Вещественная часть комплексного сопротивления называется активным сопротивлением, а мнимая – реактивным сопротивлением. Активное сопротивление всегда положительно, а реактивное может иметь любой знак. Если составляющие комплексного сопротивления изобразить векторами на плоскости, то активное, реактивное и полное сопротивления образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником сопротивлений (рис. 2.7, б). Для компонентов этого треугольника справедливы соотношения:

Таким образом, сдвиг фаз между током и напряжением на участке цепи определяется соотношением реактивного и активного сопротивлений. При отсутствии активной составляющей фазовый сдвиг, как следует из закона Ома для рассмотренных выше идеальных элементов цепи, составляет +90° при индуктивном характере реактивного сопротивления и –90° при ёмкостном характере. Наличие активной составляющей определяет для фазового смещения секторы: 0 < < 90° при активно-индуктивном характере комплексного сопротивления и 0 > > 90° при активно-ёмкостном характере.

При отсутствии реактивной составляющей комплексного сопротивления сдвиг фаз между током и напряжением отсутствует, т.е. = 0.

Если в выражении (2.14) представить комплексное сопротивление в алгебраической форме:

то комплексное напряжение на входе двухполюсника можно разделить на две составляющие. Одна из них U а = IR совпадает по направлению с вектором тока и называется комплексным активным напряжением. Вторая U р = jI X – перпендикулярна току и называется комплексным реактивным напряжением (рис. 2.7, а). Соотношение тока и напряжения в выражении (2.15) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.7, в. На ней составляющие комплексного сопротивления представлены в виде последовательного соединения, называемого последовательной схемой замещения. Активное напряжение в этой схеме соответствует напряжению на активном сопротивлении, а реактивное – на реактивном сопротивлении.

Для составляющих комплексного напряжения очевидны соотношения:

причём активное напряжение может быть только положительным, а знак реактивного напряжения определяется знаком фазового сдвига.

Вектор напряжения вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений.

Так же как в цепи постоянного тока, соотношение между током и напряжением на входе двухполюсника можно определить с помощью понятия проводимости:

где Y = 1/ Z – комплексная проводимость; Y = 1/ Z = I / U – модуль комплексной проводимости, называемый полной проводимостью; = u i – аргумент комплексной проводимости.

Если в выражении (2.17) представить комплексное сопротивление в алгебраической форме:

то мы получим выражения для вещественной и мнимой части комплексной G= 2 = 2 называется активной проводимостью, а мнимая B= 2 = 2 – реактивной. Следует заметить, что активная и реактивR +X Z ная проводимости, в отличие от комплексной и полной проводимости, не являются обратными величинами активного и реактивного сопротивлений.

Каждая из составляющих комплексной проводимости зависит от обеих составляющих комплексного сопротивления.

Комплексная проводимость и её составляющие образуют на комплексной плоскости прямоугольный треугольник, называемый треугольником проводимостей (рис. 2.7, д). Для компонентов этого треугольника справедливы соотношения:

Из выражения (2.18) можно определить составляющие комплексного сопротивления через составляющие комплексной проводимости:

Пользуясь понятием комплексной проводимости, можно разделить комплексный ток на входе двухполюсника на две составляющие, аналогично выполненному ранее разделению комплексного напряжения:

где I а = UG – вектор комплексного активного тока, совпадающий по направлению с вектором напряжения; I р = jU B – вектор комплексного реактивного тока, перпендикулярный вектору напряжения (рис. 2.7, г). Соотношение тока и напряжения в выражении (2.19) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.7, е. На ней составляющие комплексной проводимости представлены в виде параллельного соединения, называемого параллельной схемой замещения. Активный ток в этой схеме соответствует току, протекающему через элемент с активной проводимостью, а реактивный – с реактивной проводимостью.

Для составляющих комплексного тока очевидны соотношения:

причём активный ток может быть только положительным, а знак реактивного тока определяется знаком фазового сдвига.

Вектор тока вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником токов. Треугольники сопротивлений, напряжений, проводимостей и токов подобны друг другу, т.к. являются различными формами представления соотношения между током и напряжением на участке цепи, выражаемого законом Ома. Отличие треугольников сопротивлений и проводимостей от других треугольников заключается в том, что они строятся всегда в правой полуплоскости, т.к. активное сопротивление и проводимость всегда вещественны и положительны.

Активное и реактивное сопротивление, а также активная и реактивная проводимость являются параметрами двухполюсника. Последовательная и параллельная схемы замещения (рис. 2.7, в и е) полностью эквивалентны друг другу и используются при анализе электрических цепей в соответствии с конкретными условиями задачи.

В общем случае ток и напряжение на входе двухполюсника смещены по фазе друг относительно друга на некоторый угол. Пусть u = U m sin(t + u ) и i = I m sin(t + u ) (рис. 2.8). Скорость поступления энергии в двухполюсник в каждый момент времени или, что то же самое, мгновенное значение мощности равно:

отрицательная – возврату энергии во внешнюю цепь. Так как мощность определяется произведением тока и напряжения, то потребление энергии двухполюсником происходит в интервалы времени, когда обе величины имеют одинаковый знак (рис. 2.8, а). Баланс поступающей и возвращаемой энергии соответствует среднему за период значению мощности или активной мощности:

Активная мощность – это мощность, которая преобразуется в двухполюснике в тепловую или другие виды неэлектрической энергии, т.е. в большинстве случаев это полезная мощность. Выражение (2.22) поясняет физический смысл понятий активный ток и активное напряжение. Они соответствуют той части тока или напряжения, которая расходуется на преобразование энергии в двухполюснике. Выражения для активной мощности позволяют также определить активное сопротивление и проводимость, как параметры интенсивности преобразования энергии двухполюсником. Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].

Все технические устройства рассчитываются на работу в определённом (номинальном) режиме. Проводники рассчитываются на определённый ток, изоляция на определённое напряжение. Поэтому мощность, приводимая в технических данных и определяющая массогабаритные показатели и стоимость изделия, соответствует произведению действующих значений тока и напряжения и называется полной или кажущейся мощностью:

Полная мощность не имеет физического смысла, но её можно определить как максимально возможную активную мощность, т.е. активную мощность при cos = 1. Размерность полной мощности такая же, как и активной мощности, но для отличия единицей измерения полной мощности выбран вольт-ампер [ВА].

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности:

Он равен косинусу угла сдвига фаз между током и напряжением на входе двухполюсника. Для лучшего использования оборудование должно работать с возможно более высоким коэффициентом мощности. Разработчики электроустановок стремятся обеспечить его максимальное значение. Но коэффициент мощности многих устройств, таких как трансформаторы, электродвигатели и др., сильно зависит от величины нагрузки. При снижении нагрузки он снижается, поэтому при эксплуатации оборудования нужно обеспечивать нагрузку близкую к номинальной. Кроме того, коэффициент мощности потребителей электрической энергии можно улучшить установкой конденсаторов и компенсаторов реактивной мощности.

Высокий коэффициент мощности нагрузки нужен также для снижения потерь при передаче энергии. Ток в линии передачи определяется нагрузкой и равен:

Отсюда потери энергии в линии с сопротивлением проводников Rл:

т.е. потери в линии передачи очень сильно зависят от cos, т.к. они обратно пропорциональны квадрату его значения.

Помимо преобразования электрической энергии двухполюсник постоянно обменивается ей с внешней цепью. Интенсивность этого обмена характеризуют понятием реактивной мощности:

Выражения (2.24) поясняют смысл понятий реактивный ток и напряжение, а также реактивное сопротивление и проводимость. Первая пара величин определяет долю тока или напряжения, расходуемых в двухполюснике на формирование магнитных или электрических полей, а вторая пара является параметрами, определяющими интенсивность обмена энергией.

Размерность реактивной мощности такая же, как у активной и полной мощности, но для отличия её измеряют в вольт-амперах реактивных [ВАр].

Из выражений (2.22)-(2.24) следует взаимосвязь активной, полной и реактивной мощности.

Они соответствуют сторонам прямоугольного треугольника, называемого треугольником мощностей и подобного треугольникам сопротивлений, проводимостей, токов и напряжений.

Этот треугольник можно представить также комплексным числом:

где S – комплексная мощность или комплекс мощности двухполюсника; I – комплексное сопряжённое значение тока. Модуль комплекса мощности равен полной мощности | S |= UI. Активная мощность является вещественной составляющей комплекса мощности, а реактивная – мнимой.

В соответствии с законом сохранения энергии активная мощность, создаваемая источниками в электрической цепи, должна полностью преобразовываться в приёмниках где I p, I q – действующие значения токов, протекающих в p-м источнике и qм резистивном элементе. Можно показать, что для реактивной мощности справедливо аналогичное равенство:

где X Lp, X Cq – индуктивное и ёмкостное сопротивления p-го и q-го элементов. Но тогда справедливо и равенство полных мощностей источников и примников электрической цепи:

Выражения (2.25)-(2.27) называются балансом мощностей.

Вопросы для самопроверки 1. Что такое пассивный двухполюсник?

2. Что такое полное, активное и реактивное сопротивление?

3. Какой параметр электрической цепи определяет сдвиг фаз между В каких пределах может находиться сдвиг фаз между током и напряжением в пассивной электрической цепи?

5. В каких пределах может находиться сдвиг фаз между током и напряжением в электрической цепи с активно-индуктивным (активно-ёмкостным) характером комплексного сопротивления?

От какого вектора должен отсчитываться сдвиг фаз?

7. Что такое активное (реактивное) напряжение?

8. Какие параметры комплексной проводимости являются обратными величинами по отношению к параметрам комплексного сопротивления?

Влияет ли величина активного (реактивного) сопротивления на величину реактивной (активной) проводимости двухполюсника?

10. Что такое активный (реактивный) ток?

11. Как соотносятся между собой положительные направления тока и напряжения в пассивных элементах?

12. Что такое активная (реактивная, полная) мощность?

13. Что такое коэффициент мощности?

14. Что такое треугольник напряжений (токов, сопротивлений, проводимостей, мощностей)?

15. Сформулируйте условие баланса мощностей электрической цепи.

2.1.6. Законы Кирхгофа.

Как уже отмечалось при рассмотрении цепей постоянного тока, законы Кирхгофа являются формой представления фундаментальных физических законов и, следовательно, должны соблюдаться в цепях переменного тока.

Получаемый как следствие принципа непрерывности электрического тока первый закон Кирхгофа, справедлив для мгновенных значений токов в узлах, и формулируется как: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узлах цепи равна нулю Токи, положительные направления которых выбраны к узлу, включаются в сумму с положительным знаком, а от узла – с отрицательным.

Представляя токи в комплексной форме, получим:

На рис. 2.9 в качестве примера показаны токи одного из узлов. При выбранных положительных направлениях уравнение Кирхгофа для узла имеет вид: i2 + i3 i1 = 0 i2 + i3 = i1. Проверить справедливость этого выражения можно в любой точке временной диаграммы рис. 2.9, а, если сложить ординаты токов i2 и i3. Это же уравнение можно записать для комплексных токов и изобразить графически в виде векторных диаграмм (рис. 2.9, б и в).

Векторы на диаграммах можно строить из начала координат (рис. 2.9, б), но для взаимосвязанных величин, таких как токи в узлах или падения напряжения в контурах, их можно строить последовательно, принимая за начальную точку следующего вектора конец предыдущего (рис. 2.9, в). В этом случае на векторной диаграмме лучше прослеживается взаимосвязь изображаемых величин.

Второй закон Кирхгофа, как одна из форм закона сохранения энергии, справедлив для любого момента времени, т.е. алгебраическая сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура электрической цепи в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС источников, действующих в контуре:

или в комплексной форме:

Знаки в выражениях (2.29) выбирают положительными, если положительное направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и отрицательными в случае несовпадения.

или в комплексной форме:

Комплексное напряжение на ёмкостном элементе в развёрнутой записи уравнения поменяло знак, т.к. комплексное ёмкостное сопротивление отрицательно.

2.2. Анализ электрических цепей синусоидального тока 2.2.1. Неразветвлённая цепь синусоидального тока.

Пусть к участку электрической цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов (рис. 2.11) приложено напряжение u = U m sin(t + u ) и по нему где Z = R + j ( X L X C ) – комплексное сопротивление. Реактивное сопротивление включает обе составляющие: индуктивную и ёмкостную. Если X L > X C X > 0, то фазовый сдвиг напряжения и тока составляет 0 < < 90° и участок электрической цепи имеет активноиндуктивный характер. Если X L < X C X < 0, то 0 > > 90° и характер участка цепи активно-ёмкостный. Изменение реактивного сопротивления в пределах < X < + приводит к изменению фазового сдвига от 90° до +90°. При равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений они компенсируют друг друга и сопротивление цепи число активное. В случае отсутствия в цепи резистивного элемента ( R = 0 ), комплексное сопротивление цепи будет чисто реактивным, а угол сдвига фаз = 90° X > X ; = 90° X < X.

На рис. 2.12 приведены временные и векторные диаграммы напряжений и тока для случаев активно-индуктивного и активно-ёмкостного характера цепи, а также треугольники сопротивлений.

Начальная фаза входного напряжения выбрана произвольно. При условии X L > X C (рис. 2.12, а) ток отстаёт от напряжения на некоторый угол, определяемый соотношением реактивной X и активной R составляющих комплексного сопротивления Z. Напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током, поэтому вектор U R совпадает по направлению с вектором I. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, а на ёмкостном отстаёт от него на такой же угол. Поэтому векторы U L и U C перпендикулярны направлению вектора тока и направлены в разные стороны. В результате сложения векторов U R, U L и U C мы, в соответствии с законом Кирхгофа для контура цепи, приходим в точку конца вектора U.

Построение векторной диаграммы для случая X L < X C (рис. 2.12, б) аналогично, но ток при этом опережает входное напряжение.

Для последовательного соединения m резистивных, n индуктивных и p ёмкостных элементов (рис. 2.13) можно составить уравнение Кирхгофа в комплексной форме аналогично тому, как это было сделано для соединения одиночных элементов, и преобразовать его с помощью закона Ома:

Отсюда:

Следовательно, участок электрической цепи с произвольным количеством резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов можно заменить соединением одиночных элементов с эквивалентными сопротивлениями соответствующего типа, равными сумме сопротивлений элементов входящих в соединение.

Раскрывая суммы индуктивных и ёмкостных сопротивлений в (2.31), можно получить значения эквивалентных индуктивностей и ёмкостей:

В случае последовательного соединения n элементов с одинаковыми параметрами выражения (2.31)-(2.32) упрощаются:

Последнее равенство в (2.30) соответствует двухполюснику с активной и реактивной составляющими комплексного сопротивления. В случае неравенства ёмкостного и индуктивного сопротивления ( X L X C ) одна из реактивных составляющих полностью компенсирует другую и схему двухполюсника можно представить в виде последовательного соединения R и L или R и C.