И.Н.ДУБИНА

ОснОвы теОрии

экОнОмических

игр

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

по образованию в области прикладной информатики

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по специальности 080801

«Прикладная информатика в экономике»

и другим экономическим специальностям

УДК 330(075.8)

ББК 65.5я73

Д79

Рецензенты:

О.П. Мамченко, декан экономического факультета Алтайского государственного университета, заведующая кафедрой информационных систем в экономике, д-р экон. наук, проф., Н.М. Оскорбин, директор ООО «Научно-инновационное объединение «Градиент+», д-р техн. наук, проф.

Дубина И. Н.

Д79 Основы теории экономических игр : учебное пособие / И. Н. Дубина. — М. : КНОРУС, 2010. — 208 с.

ISBN 978-5-406-00338- В простой и доступной форме изложены основы теории игр и рассмотрены ее многочисленные приложения в экономике, управлении и бизнесе. Подробно представлена логика теоретико-игрового анализа. Рассмотрены такие классы игр, которые имеют отчетливые и понятные практические приложения. Математический и логический аппарат теории игр анализируется преимущественно с экономико-прикладных позиций и широко иллюстрируется модельными и реально возникающими ситуациями и проблемами. Учебное пособие включает в себя более 150 практических примеров, задач и упражнений.

Для студентов экономических специальностей и направлений, а также для всех,  кто интересуется методами принятия стратегических решений.

УДК 330(075.8) ББК 65.5я Дубина Игорь Николаевич

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИГР

Изд. № 2348. Подписано в печать 24.12.2009. Формат 6090/16.

Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 13,0. Уч.изд. л. 10,9. Тираж 2000 экз. Заказ №.

ООО «Издательство КноРус».

129110, Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7.

Тел.: (495) 6807254, 6800671, 6801278.

Email: [email protected] http://www.knorus.ru Отпечатано в ОАО «Московская типография № 2».

129085, Москва, пр. Мира, 105.

© Дубина И. Н., ISBN 978-5-406-00338-1 © ООО «Издательство КноРус», Оглавление Введение........................................ Глава 1. Базовые понятия теории игр и возможности ее применения для решения социально-экономических задач... 1.1. Игровые ситуации. Принципы и особенности применения теории игр.................................. 1.2. Базовая терминология........................... 1.3. Прототипные игры............................. 1.4. Классификация игр............................. 1.5. Проблема оптимальности и подходы к нахождению оптимального решения игры....................... 1.6. Рациональное и квазирациональное поведение в условиях риска. Функция полезности и ее интегрирование в теоретико-игровые модели....................... Упражнения и вопросы для дискуссии.................... Глава 2. Антагонистические игры......................... 2.1. Критерии оптимальности и принципы решения матричных игр в чистых стратегиях.......................... 2.2. Смешанное расширение матричных игр................ 2.3. Графоаналитическое решение игр вида (2n) и (m2)......... 2.4. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования................. 2.5. Итеративный метод приближенного решения матричных игр... 2.6. Антагонистические игры с непрерывными стратегиями...... Упражнения и вопросы для дискуссии................... Глава 3. Неантагонистические бескоалиционные игры.......... 3.1. Подходы к решению биматричных игр и возможности анализа с учетом коммуникации игроков............... 3.2. Статические игры с непрерывными стратегиями и полной информацией. Теоретико-игровые модели конкуренции..... 3.3. Динамические игры с полной информацией.

Иерархические игры........................... 3.4. Повторяющиеся и эволюционные игры................ Упражнения и вопросы для дискуссии................... Глава 4. Кооперативные игры и их экономическая интерпретация... 4.1. Основные понятия теории кооперативных игр........... 4.2. Принципы оптимальности решения кооперативных игр..... •Оглавление Упражнения и вопросы для дискуссии................... Теория игр представляет собой комплекс математических моделей и логико-математический аппарат для анализа и разработки стратегий и принятия оптимальных решений в условиях конфликта интересов и неопределенности поведения. Изучение и использование инструментария теории игр становится неотъемлемой частью современного экономического образования, поскольку теоретикоигровые подходы стали одним из основных инструментов экономического анализа. Теория игр, с одной стороны, сыграла ключевую роль в становлении современной экономической теории, а с другой предлагает пути и методы решения сложных стратегических задач в самых различных областях.

Логические пути нахождения оптимальных стратегий в математической формулировке предлагались еще в начале XVII в. (Баше де Мезирак). Проблемы производства и ценообразования в условиях олигополии, которые позднее стали хрестоматийными в теории игр, разбирались в XIX в. в работах А. Курно и Ж. Бертрана. Идея создания математической теории игры как конфликта интересов формируется с начала XX в. в трудах Э. Ласкера, Э. Цермело, Э. Бореля.

Отдельные разработки в области теории игр начали публиковаться с 1920-х гг., но систематическое изложение основ теории игр было представлено в 1944 г. в монографии Дж. фон Неймана1 и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» [16]. Название и содержание этой монографии указывали на то, что теория игр претендовала на революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Год ее первого издания и стал считаться годом рождения теории игр.

Джон фон Нейман (John von Neumann) (1903—1957) — венгро-немецко-американский математик, внесший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен разработкой современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике, а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр и концепции клеточных автоматов. Получил степень доктора философии по математике (с элементами экспериментальной физики и химии) в университете Будапешта. С 1926 по 1930 г. работал приват-доцентом в Берлине. В 1930 году фон Нейман был приглашен на работу в престижный Принстонский университет, где до самой смерти занимал профессорскую должность.

•Введение Дальнейшее развитие теория игр получила в трудах американского математика Дж. Нэша1, в которых он разработал принципы «управленческой динамики». Упомянутый труд Неймана и Моргенштерна получил известность благодаря преимущественно исследованию антагонистических игр, в которых победа одной стороны одновременно означает поражение другой, хотя в их книге не меньшее внимание уделено анализу игр с непротивоположными интересами. Анализируя как различные управленческие стратегии в экономике и бизнесе, так и стратегии поведенческие, Нэш отметил, что в условиях антагонизма эти стратегии всегда приводят к тому, что кто-то всегда выигрывает, а кто-то другой всегда проигрывает, т.е. всегда есть победители и проигравшие. Дж. Нэш задался вопросом: как найти равновесие, в котором нет победителей и побежденных — никто не выиграл, но никто и не проиграл? Такие стратегии сделали бы революцию в переговорах, решении конфликтов и поиске других компромиссных решений.

Нэш разработал методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Примером такой игры могут быть переговоры об увеличении заработной платы между профсоюзом и руководством компании. Эта ситуация может завершиться либо длительной забастовкой, в которой пострадают обе стороны, либо достижением взаимовыгодного соглашения. Нэш смоделировал ситуацию, впоследствии получившую название «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», при которой обе стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равДжон Нэш (John Nash) (р. 1928) — американский математик. В 1948 году, после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами — бакалавра и магистра — поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Дж. фон Неймана.

В 1949 году написал диссертацию по теории игр. Сорок пять лет спустя он получил за эту работу Нобелевскую премию по экономике с формулировкой: «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр». В 1951 году Джон Нэш стал работать в Массачусетском технологическом институте (MIT) в Кембридже. Благодаря своим исследованиям в области теории игр Нэш стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны». В июле 1958 г. журнал Fortune назвал Нэша восходящей звездой Америки в «новой математике». Но в 30 лет Нэш из-за болезни должен был оставить работу. Состояние Нэша улучшилось в 1980 г., и он продолжил работать в Принстоне.

Людям, даже далеким от математики, Нэш стал известен благодаря фильму Р. Ховарда A Beautiful Mind (в русском прокате — «Игры разума»), снятого в 2001 г. по мотивам книги A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash («Превосходный ум: жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша»), написанной в 1998 г. американской журналисткой и профессором экономики Колумбийского университета С. Назар. Книга стала бестселлером, а фильм получил четыре «Оскара», «Золотой глобус» и был отмечен другими призами.

новесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение.

Дж. Нэш показал, что классический подход А. Смита к экономическому развитию (двигатель развития — конкуренция, при которой «каждый сам за себя») — неоптимален. Более эффективны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других. Так фактически произошел переворот всего, на чем строилась экономическая теория на протяжении 150 лет.

Первоначально теория игр представлялась весьма формализованной теорией, интересной лишь математикам. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но и в биологии, кибернетике, технике, антропологии. А еще во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

Теория игр прошла различные этапы своего развития с разной степенью интереса к ней. В 1950-е годы применение ее методов казалось чрезвычайно перспективным, но в 1960—1970 гг. интерес к теории игр угас, несмотря на значительные математические результаты, полученные в ее рамках. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое освоение методов теории игр, и сейчас вряд ли можно найти дисциплины, связанные с экономикой и бизнесом (микро- и макроэкономика, финансы, маркетинг, менеджмент и т.д.), в которых основные концепции теории игр не были бы необходимыми для понимания современной литературы по этим дисциплинам [21].

В ходе своего развития теория игр превратилась в общую логикоматематическую теорию конфликтов. На основе теории игр можно осуществить анализ конфликтных явлений и процессов, наметить и спрогнозировать сценарии поведения сторон, участвующих в конфликте, предложить рекомендации по его разрешению и предотвращению опасных последствий.

За последние 20—30 лет значение теории игр и интерес к ней существенно возросли во многих областях экономических и социальных наук, а современная экономическая теория без нее просто невозможна [21]. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр. В настоящее время эта теория является, с одной стороны, достаточно абстрактным математическим направлением, с другой стороны — довольно эффективным инструментом анализа и исследования экономических, политических, правовых, военных, технических и других проблемных ситуаций; известны приВведение ложения теории игр в сферах сельского хозяйства, медицины, экологии, спорта, антропологии, психологии, педагогики, социологии и др.

Теория игр в современной экономике и бизнесе имеет самые разнообразные практические приложения. Ее аппарат может использоваться для анализа ситуаций, связанных с необходимостью принятия стратегических решений, конкуренцией, кооперацией, риском и неопределенностью. На макроуровне теория игр применяется, например, при принятии решений о международной торговле, конкуренции, налогообложении, о протекционистских действиях стран или в создании картелей типа ОПЕК и последующей оценке вклада каждого из его участников при соответствующем распределении прибылей.

На микроуровне теория игр может помочь, например, в определении оптимальных затрат на рекламу в условиях конкурентного рынка, организации производства или при выработке наилучшего поведения во время торгов (аукционов). На основе теории игр можно принимать решения об объединении компаний для осуществления совместных проектов, построения прогнозных сценариев поведения конкурентов, нахождения механизмов межрегиональных взаимодействий и схем распределения доходов. Теоретико-игровые модели используются при планировании и прогнозировании, разработке стратегий развития компаний, определении ценовой политики, ведении переговоров, в частности, при согласовании интересов и взаимоотношений компаний-партнеров, собственников активов, работодателей и работников, а также других агентов экономической деятельности. Известны случаи, когда с помощью теории игр анализировалось даже поведение мафиозных группировок и выстраивались стратегии политической борьбы.

Теория игр обеспечивает:

— формальный и четкий язык исследования различных экономических явлений, процессов и систем;

— возможность проверки решений, вырабатываемых интуитивно или на уровне здравого смысла, на согласованность и применимость к решаемой проблеме;

— принципы, критерии и методы нахождения оптимальных решений.

Одним из хрестоматийных и самых ярких примеров успешного применения теории игр является организация и проведение Федеральной комиссией по связи США в 1994 г. аукциона на право использования частот для операторов мобильной связи. От аукциона предполагалось выручить не менее 3,5 млн дол., однако с помощью привлечения спеВведение циалистов в области теории игр реальная выручка составила около 8 млрд [28].

К настоящему времени количество работ (статей, монографий, учебных пособий) по вопросам теории игр исчисляется уже десятками тысяч. Но, несмотря на долгую историю теории игр, научное сообщество оценило ее сравнительно недавно. Начало исследований будущих лауреатов Нобелевской премии Дж. Нэша, Р. Зелтена, Л. Гурвица, Р. Майерсона и др. пришлось на 50-е гг. прошлого века. При этом первая Нобелевская премия за разработки в теории игр была присуждена только в 1994 г., и это стало первым признаком широкого научного признания значимости теории игр. После этого на протяжении менее чем 15 лет Нобелевская премия по экономике еще четыре раза присуждалась за работы, связанные с теорией игр1. В частности, Р. Ауманн получил Нобелевскую премию по экономике 2005 г. за то, что в течение долгих лет доказывал, что теория игр — это мощный инструмент моделирования экономических процессов в контексте конфликтов и сотрудничества.

Специальные курсы по теории игр читаются в большинстве российских и зарубежных высших учебных заведений для студентов экономических и других специальностей. Отдельные элементы теории игр изучаются студентами экономических специальностей также в рамках таких курсов, как «Исследование операций», «Экономико-математические методы и модели» и др. Однако выпускники вузов очень часто имеют весьма поверхностное представление о теории игр. В лучшем случае они могут вспомнить название прототипных игр вроде «Дилеммы узников» или «Семейного спора», а еще реже формулировку этих игровых моделей. Знакомство с теорией игр у студентов-экономистов Лауреаты Нобелевской премии по экономике, присужденной за исследования в области теории игр: 1994 г. — Джон Нэш, Райнхард Зелтен, Джон Харсаньи: «За фундаментальный анализ равновесия в теории некооперативных игр»; 1996 г. — Уильям Викри, Джеймс Миррлис: «За фундаментальный вклад в экономическую теорию стимулов и асимметричной информации»; 2001 г. — Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц: «За анализ рынков с асимметричной информацией»; 2005 г. — Роберт Ауманн, Томас Шеллинг: «За углубление понимания сути конфликта и сотрудничества путем анализа теории игр»; 2007 г. — Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон: «За создание основ теории оптимальных механизмов» (работы по механизмам принятия решений в условиях неполной (асимметричной) информации).

Роберт Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann) (р. 1930) – израильский математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Родился в Германии, вырос в НьюЙорке, окончил Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. С 1956 г. живет и работает в Израиле. Специализируется в «повторяющихся играх», анализируя развитие конфликта во времени. Работал советником Агентства США по контролю за вооружениями и разоружению.

•Введение многих российских вузов ограничивается, как правило, рассмотрением класса антагонистических игр, причем достаточно формальным и абстрактным.

Среди большого количества учебников и учебных пособий по теории игр, в том числе адресованных студентам-экономистам, наблюдается явная поляризация. В значительной части учебников довольно глубоко рассматривается исключительно математический аппарат теории игр, ее концепции и модели, при этом материал иллюстрируется лишь несколькими абстрактными примерами, что создает впечатление невозможности эффективного использования теории игр для экономического анализа реальных проблем. Эти работы отличаются высокой степенью формальной абстракции и одновременным упрощением реальных ситуаций, что делает рассматриваемые теоретико-игровые модели малопригодными для практического использования. Отрыв от практики проявляется в упрощении как вводимых предположений, так и получаемых выводов, которые не всегда сопровождаются содержательными интерпретациями в контексте поставленной задачи или не доводятся до конкретных управленческих предложений по выработке поведенческой стратегии в контексте анализируемой ситуации.

Данное положение является одной из причин существующего скептицизма по отношению к теории игр со стороны менеджеров и экономистов-практиков. Еще одна причина подобного скептицизма, ограничивающего практическое применение теории игр, заключается в достаточной сложности этой теории. И основная сложность заключается даже не столько в ее математическом аппарате, сколько в логике.

Другая заметная часть учебной литературы сконцентрирована на очерчивании экономических ситуаций, которые могут описываться игровыми моделями, без должного внимания к методам и инструментам нахождения решений, что маскирует возможности инструментария теории игр. В результате специалисты-практики, получив представление о возможности приложения теории игр, часто не понимают, как использовать ее инструментарий. Получается, что практические результаты, приводимые в учебной литературе по теории игр, либо тривиальны, либо очень сложны [21, с. 246].

При подготовке данного учебного пособия автор пытался выдержать баланс между этими крайними подходами, чтобы избежать тривиализации как экономических принципов, так и концепций теории игр. Ориентирами служили работы [3; 7; 8; 21; 28; 32]. Первое издание книги вышло в свет в начале 2009 г. (Издательство Алтайского государственного университета). В настоящем издании устранены обнаруженные опечатки, уточнены формулировки основных понятий и положений теории игр, унифицированы обозначения, значительно переработан §2.5.

Автор этой книги не склонен преувеличивать возможности теории игр, что порой встречается в литературе по этой теме. Теоретикоигровые модели — это инструмент, которым нужно уметь пользоваться и знать, где и когда его можно применять, а где и когда нельзя. Модели теории игр, как и любые модели, всегда обеспечивают лишь более или менее адекватное приближение к реальным ситуациям и событиям.

Но это вовсе не означает, что модели не могут быть работоспособными и эффективными при решении практических проблем и задач. Теория игр сама по себе не является универсальным средством представления реальной жизни в математических формах и средством решения любых задач. Успешное практическое применение теории игр требует как знания ее логико-математического аппарата, так и знания предметной области, в которой этот аппарат предполагается использовать.

Действительно, теория игр и ее положения могут представляться довольно абстрактными и не всегда применимыми на практике, но самое главное практическое применение теории игр — это, на наш взгляд, развитие особого «стратегического видения» ситуации, даже не всегда формализуемого, но помогающего осуществить более качественный, полный и строгий ее анализ.

Структура книги в целом традиционна для учебных изданий по теории игр. В учебном пособии выделены разделы по антагонистическим играм, бескоалиционным неантагонистическим играм и кооперативным играм, но в рамках выделенных разделов рассматриваются и другие, более узкие классы игр. При этом рассмотрены в основном такие классы игр, которые выходят в практическую плоскость и имеют отчетливые и понятные студентам практические приложения.

В книге приводится широкий спектр ситуаций из различных областей экономики, чтобы показать возможности теории игр для их анализа и решения. Данная работа посвящена не только теории  игр, но и возможностям ее применения для решения задач, возникающих в управлении, экономике, бизнесе. Математический и логический аппарат теории игр анализируется преимущественно с экономикоприкладных позиций и широко иллюстрируется модельными и реально возникающими ситуациями и проблемами. Несмотря на то, что в учебном пособии предлагаются в основном довольно простые •Введение задачи, они хорошо демонстрируют возможности теоретико-игрового моделирования и позволяют студентам освоить его основные принципы и методы.

В отличие от большинства учебной литературы по теории игр в данной книге очень подробно рассмотрена логика теоретико-игрового анализа. Теоретические материалы снабжены множеством примеров, иллюстрирующих основные понятия и концепции. Сравнительный анализ различных теоретико-игровых подходов и моделей, рассмотренных в книге, позволяет лучше освоить технику работы с аппаратом теории игр и оценить возможность более широкой содержательной интерпретации, что особенно важно для студентов экономических специальностей.

Предполагается, что студент, работающий с этим учебным пособием, знаком в рамках базовых вузовских курсов с экономической теорией (микро- и макроэкономикой), математическим анализом и основами теории оптимизации.

Работа с этой книгой поможет студентам не только познакомиться с основными понятиями и концепциями теории игр, но и выработать практические навыки построения теоретико-игровых моделей для анализа конкретных экономических ситуаций, умение работать с инструментарием теории игр при принятии стратегических решений, а также развить общие навыки строгих математико-экономических и логически точных рассуждений о конфликте интересов и возможностях соглашений. Автор надеется, что данное учебное пособие будет полезно не только студентам, но и аспирантам, преподавателям, а также специалистам-практикам в различных областях экономики и менеджмента.