«УДК 53 (023) ББК 22.3я721+74.262.22 М82 Учебное издание Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А. М82 Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005. ...»

УДК 53 (023)

ББК 22.3я721+74.262.22

М82

Учебное издание

Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В.,

Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А.

М82

Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005.

Приложение: олимпиады 2006 и 2007: Под ред. М. В. Семёнова,

А. А. Якуты — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2007. —

696 с.: ил. — ISBN 978–5–94057–320–3.

В сборнике содержится 475 задач, предлагавшихся с 1986 г. по 2005 г. на тео­ ретических турах Московских городских олимпиад школьников по физике. В книгу вошли наиболее интересные задачи с подробными решениями. В приложение вклю­ чены задачи олимпиад 2006 и 2007 гг. с решениями (всего 68), а также исторические материалы и задачи первых олимпиад 1939–1948 годов.

Для школьников 8-х – 11-х классов, абитуриентов, студентов младших кур­ сов вузов, школьных учителей, руководителей школьных физических кружков, пре­ подавателей заочных и вечерних физических школ и подготовительных курсов.

Книга может быть полезна преподавателям вузов, занимающимся организацией различных физических олимпиад для школьников и студентов.

ББК 22.3я721+74.262. c Московский центр непрерывного математического образования, 2005–2007, оригинал-макет.

c Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А., ISBN 978-5–94057–320–3 2005–2007, тексты решений задач.

Варламов Сергей Дмитриевич, Зинковский Василий Иванович, Семёнов Михаил Владимирович, Старокуров Юрий Владимирович, Шведов Олег Юрьевич, Якута Алексей Александрович Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – (приложения: 2006 и 2007) Технический редактор Кулыгин А. К.

Корректоры Ботова С. А., Вельтищев Д. Н., Кулыгин А. К., Щербаков Д. Е.

Подготовка иллюстраций:

Старокуров Ю. В., Виноградов М. П., Селиверстов А. В., Вельтищев М. Н.

Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 30.10.2007.

Формат 70100 1 /16. Печать офсетная. Объём 43,5 печатных листов.

Заказ 2153. Тираж 3000 экз.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский переулок, дом 11.

Тел. (495)241–05–00, (495)241–12–37. http://www.mccme.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография Наука“ ».

” 121099, Москва, Шубинский переулок, дом 6.

С. Д. ВАРЛАМОВ В. И. ЗИНКОВСКИЙ М. В. СЕМЁНОВ Ю. В. СТАРОКУРОВ О. Ю. ШВЕДОВ А. А. ЯКУТА

ЗАДАЧИ

МОСКОВСКИХ

ГОРОДСКИХ

ОЛИМПИАД

ПО ФИЗИКЕ

1986 – ПРИЛОЖЕНИЕ: ОЛИМПИАДЫ 2006 И Издание второе, исправленное и дополненное Под редакцией М. В. Семёнова, А. А. Якуты Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для абитуриентов и студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010701 — Физика.

Москва Издательство МЦНМО Предисловие Олимпиада по физике в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова была впервые организована на физическом факультете в 1939 году, и с тех пор её проведение стало традиционным1.

С 1978 года эта олимпиада была одновременно Московской городской олимпиадой школьников по физике, а в настоящее время она является Московской региональной олимпиадой и предшествует заключительно­ му этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике. В 2005 году Московская физическая олимпиада прошла в МГУ в 66-й раз.

До 1989 года Московская городская олимпиада проводилась для учеников трёх старших классов (с 8-го по 10-й), а в некоторые годы предпринимались попытки проведения олимпиады и для учеников 7-го класса (например, в 1987 году). Начиная с 1990 года, в связи с началом перехода на одиннадцатилетнюю систему обучения в средней общеоб­ разовательной школе, произошла перенумерация старших классов (без изменения образовательных программ), и олимпиада стала проводиться для учеников 9-х – 11-х классов. В 1998 году было решено начать регу­ лярное проведение олимпиады для восьмиклассников (7 кл. по старой нумерации); опыт оказался успешным. Начиная с 1999 года, олимпиада проводится также и для учеников 7 класса (6 кл. по старой нумерации).

В настоящее время городская олимпиада включает в себя три эта­ па: школьный этап, окружной (теоретический) этап и городской этап, состоящий из трёх туров — двух теоретических и одного эксперимен­ тального. Последний тур (на него приглашаются московские школь­ ники 9-х – 11-х классов, ставшие победителями и призёрами олимпи­ ады) фактически является отборочным при формировании команды г. Москвы для участия в заключительном этапе Всероссийской олимпи­ ады школьников по физике. Окружной этап проходит в административ­ ных округах и вузах г. Москвы, теоретические туры городского этапа проводятся на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова (при участии Московского государственного педагогического университета в проведении олимпиады для 7-го класса), а экспериментальный тур — в Московском институте открытого образования. Экспериментальный Олимпиада не проводилась только в 1942–1943 годах, во время войны.

тур проводится с первых лет существования олимпиады. Когда-то его участникам предлагались задачи студенческого практикума физическо­ го факультета МГУ (некоторые работы сохранились в практикуме до сих пор), затем жюри стало придумывать специальные эксперименталь­ ные задачи. Условия и решения задач экспериментальных туров плани­ руется выпустить в виде отдельной книги.

Московская городская олимпиада школьников по физике бога­ та традициями. В течение многих лет в составе её жюри работали известные учёные и преподаватели физического факультета МГУ — С. Э. Хайкин, Г. С. Ландсберг, С. Г. Калашников, А. Б. Млодзеевский, С. П. Стрелков, В. И. Иверонова, С. Т. Конобеевский, В. С. Фурсов, К. Ф. Теодорчик, И. А. Яковлев, Д. В. Сивухин, Э. И. Адирович, Б. И. Спасский, М. П. Шаскольская, И. А. Эльцин, В. Г. Зубов, В. П. Шальнов, Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев, В. В. Керженцев, Г. Я. Мякишев, В. И. Григорьев, В. Д. Кривченков, Г. Е. Пустовалов, В. К. Петерсон, В. А. Погожев и другие. В организации первых олимпиад принимали участие также многие студенты и аспиранты МГУ, в частности М. М. Бонгард-Полонский, М. Е. Герценштейн, Н. Н. Константинов, Е. А. Либерман, Дж. М. Мышкис, М. И. Подгорецкий, А. Г. Свешников, А. И. Старобинский, И. М. Тернов, Р. В. Хохлов. Мно­ гие из них впоследствии стали известными учёными и преподавателями.

Во времена первых школьных олимпиад в Московском универси­ тете (вторая половина тридцатых – сороковые годы XX века)2 неотъем­ лемой их частью были лекции, читаемые известными учёными (попу­ лярные лекции по физике школьникам читали А. Б. Млодзеевский, Г. С. Ландсберг, С. Э. Хайкин и др., иногда олимпиадные задания цели­ ком посвящались прочитанной ранее лекции), а также школьные круж­ ки, руководили которыми в основном студенты. Физические кружки в 1939–1940-х годах вели А. М. Яглом, М. И. Подгорецкий, А. Д. Сахаров, в послевоенные годы — М. М. Бонгард-Полонский и Е. А. Либерман, позднее — И. И. Иванчик и Н. Н. Константинов.

Неоценимую помощь и поддержку руководителям кружков и орга­ низаторам олимпиад оказывал талантливый экспериментатор С. И. Уса­ гин, работавший в Кабинете физических демонстраций физического факультета МГУ.

Кружки для гимназистов существовали в Московском университете и в кон­ це XIX – начале XX века. Например, детский кружок математической и естественно­ научной направленности в эти годы вёл Б. К. Млодзеевский (отец А. Б. Млодзеев­ ского). К этому же времени относятся и упоминания о конкурсах, проводившихся для гимназистов по различным предметам.

К сожалению, полностью восстановить историю первых олимпиад и список их организаторов невозможно3.

Задачи, предлагавшиеся на Московской физической олимпиаде, послужили основой для составления наиболее известных и популяр­ ных в настоящее время задачников по физике для поступающих в вузы [1, 2, 3, 4]. Позднее активное участие в работе жюри прини­ мали А. И. Буздин, В. А. Ильин, И. В. Кривченков, С. С. Кротов и Н. А. Свешников, которыми был подготовлен к изданию и выпущен в свет в 1988 году сборник [5]. В него вошли около 250 задач, предлагав­ шихся на Московских олимпиадах с 1968 по 1985 г.

Настоящий сборник продолжает традиции предыдущих изданий и содержит 475 задач, которые предлагались учащимся 8-х – 11-х классов на теоретических турах городских этапов Московских олимпиад школь­ ников по физике с 1986 г. по 2005 г. Все задачи снабжены подробными решениями. Авторский коллектив, составляя сборник, стремился наибо­ лее полно отразить тематику и уровень сложности задач, характерных для Московской городской физической олимпиады. В книге представ­ лены как достаточно сложные задачи, дававшиеся ученикам 10-го и 11-го классов на втором теоретическом туре, так и весьма простые, рас­ считанные на учеников 8-х – 9-х классов. Поэтому решения некоторых задач достаточно длинные и иногда напоминают небольшие статьи; в то же время другие решения занимают всего несколько строк.

Для удобства работы с книгой задачи в ней разбиты на четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика», «Электричество и маг­ нетизм», «Волны. Оптика. Кванты.». Иногда отнесение задачи к тому или иному разделу книги является достаточно условным, так как при решении многих задач требуется знание законов, изучаемых в различ­ ных разделах школьного курса физики. Поскольку изучению разных разделов этого курса в школе уделяется разное количество времени, и одни разделы начинают изучаться раньше, чем другие, то и количе­ ство задач в разделах неодинаково. Наибольшее число задач содержит­ Первые московские олимпиады по физике были тесно связаны с математически­ ми олимпиадами, возникшими на несколько лет раньше — в 1935 году. Здесь мы попытались отразить историю первых лет именно физической олимпиады, восполь­ зовавшись информацией из [26, 27], предисловия к книге [1], а также любезно предо­ ставленной непосредственными участниками тех событий (см. стр. 614). К сожале­ нию, многие организаторы первых олимпиад и участвовавшие в них школьники не вернулись с Великой Отечественной войны, а некоторые стали жертвами репрессий.

Нынешнее жюри считает необходимым по мере возможности восстановить историю Московской физической олимпиады и просит читателей сообщать известные им исто­ рические сведения.

ся в разделе «Механика», на втором месте по числу задач стоит раздел «Электричество и магнетизм», вслед за ним идёт раздел «Молекуляр­ ная физика», и наименьшее число задач — в разделе «Волны. Оптика.

Кванты.». Такое распределение задач по разделам вполне отражает их соотношение в заданиях Московских городских олимпиад школьников по физике за последние 20 лет.

Внутри каждого раздела задачи распределены по темам в соответ­ ствии с примерным порядком изучения данного раздела курса физики в школе. Задачи раздела, относящиеся к одной и той же теме, распо­ ложены, как правило, в порядке возрастания их сложности. Для при­ мерной оценки уровня сложности той или иной задачи может служить информация, помещённая после номера каждой задачи. Там в круглых скобках указаны год, в котором данная задача предлагалась на Мос­ ковской городской олимпиаде по физике, а также класс, для которого она предназначалась в год проведения олимпиады (некоторые задачи предлагались на олимпиаде одновременно в вариантах разных классов, в таких случаях указывается самый младший класс), и номер теорети­ ческого тура (1-й или 2-й). В квадратных скобках перед этими сведе­ ниями указаны современные номера классов, для которых эта задача может быть рекомендована в настоящее время (в 2006 году). Например, запись [10–11] (1988, 9–2) означает, что данная задача предлагалась в 1988 году для 9 класса на 2-м теоретическом туре, а в настоящее время она рекомендуется ученикам 10-х – 11-х классов (следует учитывать, что, начиная с 1990 года, нумерация классов совпадает с используемой в настоящее время). Для удобства чтения условия задач, сопровождае­ мые рисунками, отмечены ромбиком — например, 2.2. [9] (1986, 8–1).

Условия наиболее трудных задач, как это принято в задачниках, обозначены звёздочкой — например, 3.94*. [11] (1990, 10–1). При реше­ нии таких задач следует иметь в виду, что многие из них в своё время были включены в число олимпиадных заданий в расчёте на учеников профильных школ и классов с углублённым изучением физики и мате­ матики. Поэтому для решения этих задач может понадобиться владе­ ние основами дифференцирования и интегрирования, а также знание некоторых физических законов, изучение которых в настоящее время не предусмотрено программой общеобразовательной школы.

Приведённые в настоящем сборнике условия задач теоретических туров были отредактированы, а решения — написаны или отредактиро­ ваны авторами данной книги. Многие из помещённых в данный сборник задач в разные годы были опубликованы в журнале «Квант» [21] и в газете «Физика» издательского дома «Первое сентября» [22].

В приложениях к сборнику содержатся условия и подробные реше­ ния 68 задач, предлагавшихся на Московских городских олимпиадах по физике в 2006 и 2007 годах. Далее помещена программа заключитель­ ного этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике, в соот­ ветствии с которой составляются задачи, предлагаемые на Московской физической олимпиаде в последние годы. Затем для удобства учителей и преподавателей приведены типовые варианты олимпиадных заданий, которые можно размножать на копировальной технике и использовать при подготовке школьников 8-х – 11-х классов к олимпиадам по физи­ ке. Потом воспроизведены условия задач первых московских олимпиад по физике (1939–1948 годы), а также отчёт о самой первой олимпиаде по физике4, первый тур которой состоялся на физическом факультете МГУ 6 апреля 1939 года (опубликован в журнале «Физика в школе»

№ 4 за 1939 г. [27]).

В конце книги предлагаются примерные программы элективных занятий для профильного обучения школьников по различным темам курса физики, разработанные Ю. В. Старокуровым, а также краткий список литературы, включающий задачники и сборники олимпиадных задач разных лет [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17] и адреса материалов в интернете [18, 19, 20, 21, 22, 23, 25], которые, по мнению авторов данной книги, также могут быть полезны при подго­ товке к олимпиадам.

За 20 лет, которые охватывает настоящий сборник, в жюри олимпиады в разное время работали несколько десятков препода­ вателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов физическо­ го факультета МГУ и ряда московских вузов. Мы с благодарно­ стью упоминаем здесь сотрудников жюри, активно участвовавших в подготовке Московской городской олимпиады в течение ряда лет.

Это А. В. Андрианов, К. С. Бедов, А. И. Буздин, К. С. Ванаг, М. П. Виноградов, Д. Ю. Григорьев, К. В. Дмитриев, А. Р. Зильберман, Р. Ю. Компанеец, С. С. Кротов, А. К. Кулыгин, Д. А. Купцов, В. О. Милицын, О. Ю. Овчинников, В. К. Петерсон, В. А. Погожев, И. Ю. Потеряйко, В. В. Птушенко, Г. Е. Пустовалов, С. Б. Рыжиков, А. В. Селиверстов, А. И. Семёнов, Р. А. Сеннов, П. В. Синило, С тех пор прошло более 60 лет. За это время устарели некоторые представления о физических явлениях, обозначения, принятый стиль изложения и даже отдель­ ные слова и правила русского языка. Сейчас эти тексты следует рассматривать в первую очередь не как учебные материалы по физике (хотя многие задачи первых олимпиад очень интересны и даже стали классическими), а скорее как интересный исторический документ.

А. Ю. Смирнов, В. С. Степанюк, А. В. Ткачук, Д. Э. Харабадзе, К. В. Шокикиу, М. М. Цыпин.

Им, наряду с авторами данного сборника, принадлежат идеи мно­ гих включённых в него оригинальных задач. Мы признательны и дру­ гим сотрудникам жюри Московских городских физических олимпиад последних лет, а также целому ряду учителей физики и школьников, которые ознакомились с этой книгой на стадии её подготовки к печати и высказали ценные замечания, которые были по возможности учтены при окончательном редактировании текста сборника.

Книгу можно рекомендовать ученикам 8-х – 11-х классов, кото­ рые желают углубить свои знания в области физики и подготовиться к участию в физических олимпиадах различного уровня сложности — от окружных (районных) до заключительного этапа Всероссийской олим­ пиады школьников по физике. Она также может быть полезна студен­ там младших курсов вузов, абитуриентам, школьным учителям, руко­ водителям школьных физических кружков, преподавателям заочных и вечерних физико-математических школ и подготовительных курсов.

Ряд полезных сведений из данной книги могут почерпнуть и препо­ даватели, ведущие занятия на подготовительных отделениях вузов, а также занимающиеся организацией различных физических олимпиад для школьников и студентов.

Во втором издании настоящего сборника исправлены замеченные опечатки, недочёты полиграфического оформления, отредактированы решения нескольких задач, добавлены (в качестве приложения) условия и решения задач Московских городских (региональных) олимпиад по физике 2006 и 2007 годов, а также обнаруженные с момента первого издания материалы, касающиеся истории олимпиады.

Нумерация задач полностью соответствует первому изданию.

Авторы будут признательны за любые конструктивные замечания по содержанию книги, которые можно присылать по электронной почте [email protected] или обычной почтой по адресу: 119992, г. Москва, ГСП–2, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, кафедра общей физики, КФД.

1.1*. [8–9] (1998, 8–1) Автомобиль в 12 час. 40 мин. находился на пути из Анискино в Борискино где-то между 25-м и 50-м километровы­ ми столбами. Мимо отметки 75 км автомобиль проехал где-то между 13 час. 50 мин. и 14 час. 20 мин. В 15 час. 10 мин. он находился между 125-м и 150-м километровыми столбами. Когда следует ожидать при­ бытия автомобиля в Борискино, если он движется с постоянной ско­ ростью, а на въезде в Борискино стоит километровый столб с отмет­ кой 180 км?

1.2. [8–9] (2000, 8–2) Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,..., 10,.... Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне стол­ бик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с циф­ рой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

1.3. [8–9] (2001, 9–1) Эскалатор метро движется со скоростью v.

Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следу­ ющим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по сту­ пенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад?

Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

1.4. [8–9] (2002, 8–2) По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна v1 = 36 км/ч, то через каждые t1 = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скоро­ сти v2 = 90 км/ч через каждые t2 = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомоби­ ли колонны мимо инспектора, если он остановится?

1.5. [8–9] (1999, 8–1) На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени рас­ стояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мото­ циклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?

1.6. [8–9] (1991, 8–1) В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью v1 = 2 · 107 м/с, а второй — со скоростью v2 = 3 · 107 м/с. В некото­ рый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через t = 2,4 с после отправления. Радиосигналы распространяются со скоро­ стью c = 3 · 108 м/с, которая не зависит от скорости источника, посы­ лающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент:

1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?

1.7*. [9–10] (2003, 10–1) В автомобиле спидометр и счётчик прой­ денного пути регистрируют скорость автомобиля и пройденный им путь относительно поверхности, по которой движется автомобиль. Авто­ мобиль последовательно проехал по двум конвейерам (движущимся дорожкам) длиной L = 500 м каждый. Полотна конвейеров движутся в одну сторону с постоянными скоростями v1 = 20 км/ч и v2 = 30 км/ч.

По первому конвейеру автомобиль ехал с некоторой постоянной скоро­ стью, а по второму конвейеру — с другой постоянной скоростью. Что показывал спидометр во время движения по каждому из конвейеров, если с момента въезда на первый конвейер до съезда со второго про­ шло время t = 72 с, а счётчик пути показал, что при этом был пройден путь L. Расстоянием между конвейерами и временем переезда с первого конвейера на второй пренебречь.

1.8. [8–9] (2004, 8–2) На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный — в течение следующих 30 секунд.

При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

1.9*. [8–9] (1997, 10–2) Мэр одного городка начал получать жало­ бы на большую автомобильную пробку перед светофором на главной улице. Скорость машин при движении составляла 6 м/c, а средняя ско­ рость продвижения по пробке — всего 1,5 м/с. При этом время свечения светофора зелёным светом было равно времени свечения красным (вре­ мя свечения жёлтым светом мал). Мэр распорядился увеличить время свечения светофора зелёным светом в два раза, а время свечения крас­ ным светом оставить прежним. Чему станет равна средняя скорость продвижения машин по пробке? Считайте, что скорость машин при движении не изменилась. Учтите, что при включении зелёного света автомобили начинают двигаться не одновременно.

1.10. [8–9] (2005, 8–2) На длинном прямом шоссе автомобили дви­ жутся с постоянной скоростью V1 всюду, за исключением моста, на кото­ ром автомобили движутся с другой постоянной скоростью V2. На рисун­ ке изображён график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найдите скорости V1 и V2, а также длину моста.

1.11. [9–10] (1997, 9–1) Тело движется по прямой. Гра­ фик зависимости его скоро­ сти v от координаты x приве­ дён на рисунке. Найдите уско­ рение тела в точке с координа­ той x = 3 м. Найдите также мак­ симальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

Автомобиль проехал по пятики­ лометровому участку дороги. Специальный прибор при этом записывал показания спидометра через каждые 10 метров. В результате получи­ лась зависимость скорости автомобиля v от пройденного пути x, пока­ занная на рисунке. Оцените, за какое время t автомобиль проехал эти пять километров.

1.13. [9–10] (2000, 9–1 и 10–1) Материальная точка движется вдоль прямой. Постройте графики зависимостей скорости и координа­ ты точки от времени, если график зависимости её скорости v от коор­ динаты x представляет собой: а) прямоугольник; б) окружность (при определённом выборе масштабов осей).

1.14. [9] (1989, 8–1) Автобус движется с постоянной скоростью u = 60 км/ч, подолгу стоя на остановках. Идёт дождь с ветром. Дожде­ вые капли образовали на боковом стекле автобуса следующую картину (см. рисунок). Скорость и направление ветра не меняются. Какова ско­ рость падения капель дождя v? Что можно сказать о скорости ветра w?

Дорога прямая, автобус не разворачивается.

1.15. [9] (1988, 8–1) Осколочный снаряд летит со скоростью u по направлению к плоской стенке. На расстоянии l от неё снаряд взрыва­ ется и распадается на множество осколков, летящих во все стороны и имеющих скорость v относительно центра масс снаряда. Какая область на поверхности стенки будет поражена осколками? Силой тяжести и сопротивлением воздуха пренебречь.

1.16. [9–10] (1990, 9–1) Колобок, имею­ щий форму шара, застигнут дождём в точке A (см. рисунок). Капли дождя имеют верти­ кальную скорость, равную V, а горизонталь­ ную — равную v и направленную под углом к направлению AB (в точке B находится дом Колобка). С какой скоростью Колобок должен бежать по линии AB, чтобы как можно меньше промокнуть?

1.17. [9–10] (1991, 9–1) Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью v = 20 км/ч, заметил, что ему в откры­ тый рот попадает N1 = 50 снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает N2 = 30 снежинок в минуту. Оцените дальность прямой видимости в снегопад, если площадь рта спортсмена S = 24 см2, а размер снежинки l = 1 см.

1.18*. [9–10] (1998, 9–2) Автобус и велосипедист едут по одной прямой дороге в одном направлении с постоянными скоростями 63 км/ч и 33 км/ч. Грузовик едет по другой прямой дороге с постоянной ско­ ростью 52 км/ч. Расстояние от грузовика до автобуса всё время равно расстоянию от грузовика до велосипедиста. Найдите скорость грузови­ ка относительно автобуса.

1.19. [8–9] (2004, 8–1) На вездеходе установлен курсограф — само­ писец, записывающий зависимости от времени текущей скорости (верх­ ний график) и направления движения этого вездехода (нижний гра­ фик). На рисунке показаны такие записи для некоторого маршрута, пройденного вездеходом. Определите с точностью до километра, где (относительно начала пути) вездеход оказался в конце маршрута.

1.20*. [9–10] (2001, 9–1) Две материальные точки 1 и 2 и точечный источник света S совершают равномерное прямолинейное движение по горизонтальной плоскости. Тени от материальных точек 1 и 2 движутся со скоростями u вдоль вертикальных стенок, которые перпендикулярны друг другу. Скорости материальных точек равны v = 2u/ 3 и направ­ лены под углом = 30 к соответствующим стенкам (см. рисунок).

Чему равна и куда направлена скорость источника S?

1.21. [9] (2003, 9–1) Два корабля находятся в море и движутся рав­ номерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направ­ лении на восток. Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточнее того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг. На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли и в какой момент времени это случилось?

1.22. [9–10] (2003, 9–2) Один корабль идёт по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой — навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго — на северо-запад (см. рисунок). Определите величину и направление скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м.

1.23. [10] (1993, 10–2) По двум пересекающимся под углом = дорогам движутся к перекрёстку два автомобиля: один со скоростью v1 = 10 м/с, второй — с v2 = 10 3 17,3 м/с. Когда расстояние между автомобилями было минимальным, первый из них находился на рассто­ янии S1 = 200 м от перекрёстка. На каком расстоянии S2 от перекрёстка в это время находился второй автомобиль?

1.24*. [10–11] (1999, 11–1) Две материальные точки A и B дви­ жутся в пространстве. На рисунке приведены графики зависимости их декартовых координат от времени. Определите, в какой момент време­ ни материальные точки находились на минимальном расстоянии друг от друга, и найдите это расстояние.

1.25. [9–10] (2004, 9–1) Тело бросили вертикально вверх с поверх­ ности земли. Расстояние l между этим телом и неподвижным наблю­ дателем изменяется со временем t по закону, показанному на графике (см. рисунок). На какой высоте над землёй и на каком расстоянии от линии, по которой движется тело, находится наблюдатель? Чему равна начальная скорость тела? Величины l0, l1 и l2 считайте известными, ускорение свободного падения равно g.

1.26. [9–10] (2001, 9–2) Один автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку дороги. Другой автомобиль рав­ номерно движется по дуге окружности радиусом R = 200 м. График зависимости модуля относительной скорости автомобилей от времени изображён на рисунке. Найдите величины скоростей автомобилей.

1.27. [9–10] (2004, 10–2) Две одинаковые дощечки плывут вдоль берега по прямому широкому каналу, вода в котором течёт с постоян­ ной скоростью, одинаковой по всей ширине канала. В некоторый момент времени им сообщили скорость относительно воды, равную по величине V0 = 1 м/с. При этом скорость первой дощечки оказалась перпендику­ лярной берегу в связанной с ним неподвижной системе отсчёта, а ско­ рость второй дощечки оказалась перпендикулярной берегу в системе отсчёта, связанной с водой. Через достаточно большое время, когда дви­ жение дощечек относительно воды прекратилось, расстояние от первой дощечки до берега увеличилось на S1 = 4 м, а от второй — на S2 = 5 м.

Найдите скорость течения воды в канале.

1.28*. [9–10] (1999, 9–2) На рисунке вы видите изображение идущих часов, полученное с помощью компьютерного сканера. Прин­ цип его работы прост. Мощная лампа создаёт на сканируемом объекте узкую освещённую полоску, а отражённый свет попадает на набор фото­ датчиков, которые расположены в виде линейки, параллельной этой полоске. И лампа, и линейка датчиков расположены на подвижной каретке. Каретка движется с постоянной скоростью, и датчики через равные интервалы времени передают в компьютер изображение. Таким образом, при перемещении каретки получается много «срезов» объекта, из которых и состоит изображение. Пользуясь данным изображением, определите направление и скорость движения каретки сканера, если длина секундной стрелки (от оси до острия) составляет 15 мм.

1.29. [10–11] (1989, 10–2) По гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v едет автомобиль, к бамперу которого шарнир­ но прикреплён невесомый стержень с грузом массой m на конце. Стер­ жень образует с горизонтом угол. На поверхности перпендикулярно направлению движения установлены невысокие гладкие стальные стен­ ки, наклонённые под углом к горизонту (см. рисунок). Груз начинает «подскакивать» на стенках. Считая, что удары груза о все поверхности абсолютно неупругие (груз — «мешок с песком»), найдите скорость, с которой он «отскакивает» от стенок.

1.30*. [10–11] (2000, 10–2) Мальчик, запуская воздушный змей, бежит по горизонтальной поверхности навстречу ветру со скоростью u.

Нить, привязанная к змею, сматывается с катушки, которую мальчик держит в руке. В некоторый момент времени нить, которую можно счи­ тать прямолинейной, составляет с горизонтом угол, а змей поднима­ ется вертикально вверх со скоростью v. Какова в этот момент време­ ни скорость узелка на нити, который находится на расстояниях L от катушки и l от змея?

1.31*. [9–11] (1995, 9–2) Лебедь, рак и щука тянут телегу. Ско­ рость лебедя в два раза больше скорости щуки, скорость рака в два раза меньше скорости щуки. В некоторый момент времени верёвки, связыва­ ющие телегу с каждым из животных, лежат в горизонтальной плоско­ сти и направлены так же, как и скорости соответствующих животных, причём угол между скоростями лебедя и щуки равен. Как при этом должна быть направлена скорость рака?

1.32*. [10–11] (2000, 11–2) Ромб составлен из жёстких стержней длиной L. Стержни скреплены на концах шарнирами. В начальный момент два противоположных шарнира находятся рядом (очень близ­ ко) и имеют нулевые скорости. Один из этих шарниров закреплён. Вто­ рой начинают двигать с постоянным ускорением a. Найдите величину ускорения остальных шарниров ромба в тот момент, когда ромб пре­ вратится в квадрат, если все стержни двигаются, оставаясь в одной плоскости.

1.33*. [9–11] (2000, 9–1) На одной стороне магнитофонной кассе­ ты от начала до конца без перерывов записано N = 45 коротких песе­ нок с продолжительностью звучания = 1 мин. каждая. Время быст­ рой перемотки ленты от начала до конца с постоянной угловой скоро­ стью вращения ведущей оси равно T1 = 2 мин. 45 с. На какую песню мы попадём, если перемотаем ленту с самого начала вперёд в течение T2 = 1 мин. 50 с? Для данной кассеты радиус оси с намотанной на неё всей лентой равен R = 25 мм, а без ленты r = 10 мм.

1.34. [9–11] (1999, 9–2) Какой минимальный путь за время t может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением a ?

1.35. [9–10] (1989, 8–2) Муха, пролетая параллельно поверхности стола со скоростью v на высоте H, заметила в некоторый момент вре­ мени точно под собой каплю мёда. При помощи крыльев муха может развивать в любом направлении ускорение, не превышающее a. За какое минимальное время муха сможет достигнуть капли мёда? Какое ускоре­ ние и в каком направлении она должна для этого развить? Сила тяже­ сти отсутствует (допустим, дело происходит в космосе).

1.36. [10–11] (1998, 10–1) Космический корабль движется в откры­ том космосе со скоростью V. Требуется изменить направление скорости на 90, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сооб­ щать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее a. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

1.37. [10–11] (2000, 10–2) Шарик падает с некоторой высоты без начальной скорости на горизонтальную плоскость. Удары шарика о плоскость абсолютно упругие. За первые t секунд шарик прошёл путь S.

Сколько раз за это время он успел удариться о плоскость? Ускорение свободного падения равно g.

1.38*. [9–11] (1994, 9–2) Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь S. Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Уско­ рение свободного падения равно g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.39. [9–10] (1992, 10–1) На невесомый жёсткий стержень, шар­ нирно закреплённый одним концом, надели массивную бусинку, кото­ рая может скользить по нему без трения. Вначале стержень покоился в горизонтальном положении, а бусинка находилась на расстоянии l от закреплённого конца. Затем стержень отпустили. Найдите зависимость угла, который составляет стержень с горизонталью, от времени.

1.40. [9–10] (1992, 9–1) Из одной точки горизонтально в противо­ положных направлениях одновременно вылетают две частицы с началь­ ными скоростями v1 и v2. Через какое время угол между скоростями частиц станет равным 90 ? Ускорение свободного падения равно g.

1.41. [9–10] (1986, 8–1) Пуш­ ка стоит на самом верху горы, любое вертикальное сечение кото­ рой есть парабола y = ax (см. рисунок). При какой мини­ мальной начальной скорости сна­ ряда, выпущенного под углом к горизонту, он никогда не упадёт на поверхность горы? Ускорение сво­ 1.42. [9–10] (1996, 9–1) Небольшая лампочка освещает вертикальную стену. Проходящий вдоль стены хулиган швырнул в лампочку камень под углом 45 к горизонту и попал в неё. Найдите закон движения h(t) тени от камня по стене, считая, что лампочка и точка броска находятся на одной и той же высоте h = 0, а в момент броска хулиган находился на расстоянии L от лампочки.

1.43*. [10–11] (1996, 10–1) Маленький упругий шарик бросают со скоростью v = 1 м/с под углом = 45 к горизонту. Коэффициент вос­ становления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, R = 0,99.

На каком расстоянии S от точки бросания шарик перестанет подпры­ гивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяет­ ся? (Коэффициентом восстановления называется отношение скорости после удара к скорости до удара).

1.44. [8–9] (2001, 8–2) Худож­ ник нарисовал «Зимний пейзаж»

(см. рисунок). Как вы думаете, в каком месте на Земле он мог писать с такой натуры?

1.45. [9] (1986, 8–2) Ранней весной, шагая по скользкой дорож­ ке, Вы внезапно поскользнулись и начинаете падать на спину. Совер­ К задаче 1.44.

шенно машинально Вы взмахивае­ те руками, и таким образом избегаете падения (или, увы, нет). Опиши­ те, какие движения руками наиболее оптимальны в этой ситуации, и объясните, почему они помогают восстановить равновесие.

1.46. [9–10] (1993, 9–1) Лёгкий самолёт может планировать с выключенным мотором с минимальной постоянной горизонтальной ско­ ростью 150 км/ч под углом 5 к горизонту (при попытке уменьшить скорость или угол самолёт свалится в штопор). Оцените, какую мини­ мальную силу тяги должен создавать движитель самолёта, чтобы он мог взлететь с полосы. Масса самолёта M = 2 т. Считайте, что корпус самолёта всегда параллелен направлению его скорости.

1.47. [9–10] (2002, 9–1) Для организации транспортно­ го сообщения между населённы­ ми пунктами A и B, располо­ женными на одной горизонта­ ли на небольшом расстоянии l друг от друга, между ними про­ рывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участ­ ков (см. рисунок). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения без­ моторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тон­ неля h, чтобы время поездки от A до B было минимальным? Чему равно это время? Считайте, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величи­ на скорости не изменяется.

1.48. [9–10] (1997, 9–2) Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время t1 = 50 минут, а с двумя моторами — время t2 = t1 /2. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.

1.49*. [9–11] (2002, 9–2) Тело массой m = 10 кг подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально.

Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет F0 = 5 Н. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направ­ ленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёв­ ки при следующих значениях ускорения лифта: a1 = 1 м/с2, a2 = 2 м/с2.

Ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.

1.50. [10–11] (2005, 11–1) Имеются два одинаковых длинных одно­ родных лёгких бруска, которые используют для проведения эксперимен­ тов по изучению прочности древесины. В первом эксперименте деревян­ ный брусок положили концами на спинки двух стоящих стульев, а к его середине подвесили сосуд, который начали медленно заполнять водой.

Когда масса сосуда с водой достигла величины m = 4,8 кг, брусок сло­ мался. Во втором эксперименте брусок положили на гладкий горизон­ тальный стол, к его концам прикрепили два груза малых размеров с массами m1 = 6 кг, а к середине — груз массой m2 = 10 кг и верёвку, за которую стали тянуть с плавно возрастающей силой F, перпендикуляр­ ной бруску и направленной горизонтально. При какой величине силы F брусок сломается? Считайте g = 10 м/с2.

1.51. [9–10] (2004, 9–2) На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой M с углом 45 при основании. По его наклонной грани может двигаться без трения небольшое тело массой m (см. рису­ нок). Чему должна быть равна и куда (вправо или влево) направлена горизонтальная сила, приложенная к клину, чтобы ускорение тела мас­ сой m было направлено: (а) вертикально; (б) горизонтально; (в) состав­ ляло угол 45 с вертикалью? Клин не опрокидывается, ускорение сво­ бодного падения равно g.

1.52. [9–10] (2003, 9–2) В системе, изображённой на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежа­ щих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны M. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой F. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Тре­ ния нет, движение грузов считайте поступательным.

1.53. [10–11] (2003, 10–2) На гладком горизонтальном столе нахо­ дятся два груза массами 1 кг и 2 кг, скреплённые невесомой и нерастя­ жимой нитью. К середине нити между грузами прикреплена ещё одна такая же нить, за которую тянут с силой 10 Н. В некоторый момент времени все отрезки нитей натянуты, расположены горизонтально и составляют между собой углы 90, 120 и 150. Известно, что в этот же момент скорость более лёгкого груза равна 1 м/с, более тяжёлого 2 м/с, а вектор скорости каждого груза направлен перпендикулярно к отрезку нити, который прикреплён к данному грузу. Найдите ускорения грузов в рассматриваемый момент времени, если известно, что они одинаковы по величине.

1.54. [10–11] (1999, 10–1) В системе, изобра­ жённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны m1 и m2. Найдите ускорение оси блока A, к которой приложена в вертикальном направлении сила F. Ускорение свободного падения равно g.

1.55*. [9–11] (2001, 9–2) В системе, изобра­ жённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Вначале нить удержи­ вают так, что груз m висит неподвижно, а груз 2m касается пола. Затем конец нити начинают тянуть вверх с постоянной скоростью v. Как при этом будут двигаться оба груза? Ускорение свободного падения равно g.

1.56. [9–11] (1997, 9–2) В системе, показанной на рисунке, отрез­ ки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Найдите ускорение гру­ за массой m2, подвешенного на нити к лёгкой оси подвижного блока.

Масса оси другого подвижного блока равна m, масса первого груза рав­ на m1. Трением и массой всех блоков пренебречь. Все нити невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения равно g.

1.57*. [10–11] (2004, 10–2) Найдите ускорение груза массой m в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому бло­ ку с радиусами r и R. Один конец нити закреплён на этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой m2. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.

Ускорение свободного падения равно g.

1.58*. [10–11] (2003, 11–2) Найдите уско­ рение груза 1 в системе, изображённой на рисунке. Горизонтальная плоскость гладкая, трения между грузами нет, нить и блоки неве­ сомы, нить нерастяжима, массы всех трёх гру­ зов одинаковы. В начальный момент все тела покоятся. Ускорение свободного падения рав­ К задаче 1.58.

но g.

1.59. [9–10] (1986, 8-1) Два связанных тела массой m2 и m3 сколь­ зят по двум гладким наклонным поверхностям неподвижного клина (см. рисунок). К телу m2 прикреплена нить, соединяющая его с телом массой m1, лежащим на гладкой горизонтальной поверхности. Найдите силу натяжения T этой нити. Трением можно пренебречь, нити счи­ тайте невесомыми и нерастяжимыми. Ускорение свободного падения равно g.

1.60*. [9–11] (1998, 9–1) Телу, находящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности, сообщили скорость v вдоль этой поверхно­ сти. За первые t секунд оно прошло путь S. Каким может быть коэф­ фициент трения тела о поверхность?

1.61. [9–11] (1992, 9–2) На горизон­ тальном шероховатом столе лежат длин­ ная линейка AB и ластик C. Линей­ ку двигают равномерно и поступатель­ но в направлении, показанном стрелкой на рисунке (вид сверху), и перемещают на расстояние H. Угол между линейкой К задаче 1.61.

и этим направлением равен. Найдите величину и направление перемещения ластика относительно стола.

Коэффициент трения ластика о линейку равен µ.

1.62*. [9–11] (2000, 9–2) На горизонтальном обледеневшем участ­ ке дороги лежит длинная доска массой M. На эту доску мальчик поста­ вил радиоуправляемую модель автомобиля массой m, а затем, подав радиосигнал, включил двигатель автомобиля. Зная, что автомобиль движется вдоль доски с постоянной относительно неё скоростью v и что коэффициент трения доски о лёд равен µ, найдите зависимость скорости автомобиля относительно дороги от времени.

1.63*. [9–11] (1998, 9–2) На лежащий на горизонтальном столе клин массой m с углом при основании = 45 аккуратно положили гладкий брусок массой 1000m. С какой силой скользящий вдоль кли­ на брусок давит на клин, если коэффициент трения между клином и столом равен µ = 0,2?

1.64. [9–11] (1996, 9–1) Катапульта представляет собой платформу с толкате­ лем, который может приложить к грузу мас­ сой m силу F mg под любым заданным углом к горизонту (см. рисунок). Масса К задаче 1.64.

самой катапульты много меньше m, коэффи­ циент трения между платформой и землёй µ. Какое максимальное гори­ зонтальное ускорение может сообщить грузу такая катапульта?

1.65*. [10–11] (1995, 10–2) Через вращающийся с постоянной угло­ вой скоростью шероховатый шкив переброшена невесомая нерастяжи­ мая верёвка, к концам которой подвешены два груза. В начальный момент времени скорости грузов равны нулю, а ускорение первого гру­ за направлено вверх и равно a1. Если изменить направление вращения шкива, то при нулевой начальной скорости второй груз будет двигаться вверх с ускорением a2. Найдите отношение масс грузов.

1.66. [9–11] (1989, 8–2) На шероховатой железнодорожной плат­ форме стоит равномерно заполненный контейнер высотой H и дли­ ной L, имеющий с одной стороны маленькие колёса (см. рисунок). При разгоне поезда вправо контейнер начинает сползать влево по платфор­ ме, если ускорение разгона превышает a. С каким минимальным ускоре­ нием должен затормозить поезд, чтобы контейнер начал сползать впра­ во? Трением качения пренебречь.

1.67*. [9–11] (1988, 8–2) В системе, изображённой на рисунке, тело массой M может скользить без трения по горизонтальной плоскости.

Коэффициент трения между телами M и m равен µ. Найдите ускорение a тела M. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь. Ускорение свободного падения равно g.

1.68. [9–11] (1996, 9–2) У двух автомобилей расстояние между ося­ ми передних и задних колёс L = 3 метра, а центр масс находится на высоте H = 0,7 м над дорогой на одинаковом расстоянии от каждого из четырёх колёс. Коэффициент трения колёс о дорогу µ = 0,8. Масса каждого из автомобилей m = 1000 кг. Один из автомобилей передне­ приводный, а другой заднеприводный. Автомобили снабжены мотора­ ми с одинаковой мощностью N = 100 кВт. Какой из автомобилей побе­ дит в заезде на S = 10 м по прямой при старте с нулевой начальной скоростью? На какое время победитель обгонит отставшего? Водители «выжимают» из своих автомобилей всё возможное. Считайте ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

1.69. [10–11] (2005, 10–1) Автомобиль с передними ведущими колё­ сами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участ­ ку шоссе, поднимающемуся вверх под углом к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии H от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колёс, которые расположены на рас­ стоянии 2L друг от друга. Коэффициент трения колёс о дорогу равен µ, радиус колёс R. Найдите максимальную величину угла. Укажите условия, при которых автомобиль массой m сможет преодолеть этот участок шоссе.

1.70*. [10–11] (1990, 10–1) Цилиндр радиусом R и массой m плот­ но вставлен в жёстко закреплённое кольцо. Ось цилиндра вертикальна.

Чтобы его продвинуть, надо приложить в вертикальном направлении силу, не меньшую F (F mg). Цилиндр начинают вращать с посто­ янной угловой скоростью, не прикладывая при этом вертикальной силы. Найдите требующийся для этого момент силы и скорость верти­ кального перемещения цилиндра. Трение цилиндра о кольцо является сухим.

1.71. [9–11] (1994, 9–1) Деревянный шарик, опущенный под воду, всплывает в установившемся режиме со скоростью v1, а точно такой же по размеру пластмассовый тонет со скоростью v2. Куда и с какой скоростью будут двигаться в воде эти шарики, если их соединить нит­ кой? Сила сопротивления пропорциональна скорости, гидродинамиче­ ским взаимодействием шариков можно пренебречь. Считайте, что на движущийся шарик действует такая же сила Архимеда, как и на поко­ ящийся.

1.72*. [10–11] (1999, 11–2) Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром d1 = 1 мм всплывает в жидкости плотно­ стью ж = 1 г/см3 со скоростью v1 = 0,5 см/с. Пузырёк диаметром d2 = 2 мм всплывает со скоростью v2 = 2 см/с, а сферическая метал­ лическая дробинка такого же диаметра плотностью д = 5 г/см3 тонет со скоростью v3 = 8 см/с. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью = (2/3) г/см3 и диамет­ ром d = 3 мм? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.

1.73. [9–11] (1989, 8–1) Шарик массой m и объёмом V под дей­ ствием силы тяжести падает в жидкости плотностью с постоянной скоростью v. Сила сопротивления жидкости движению шарика пропор­ циональна квадрату скорости. К шарику прилагается дополнительно горизонтально направленная сила f. Какой станет вертикальная состав­ ляющая скорости шарика v1 ?

1.74. [10–11] (1999, 10–1) Футбольный мяч при движении в возду­ хе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату ско­ рости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч дви­ гался в воздухе горизонтально со скоростью v1 = 20 м/с и с ускорением a1 = 13 м/с2. После удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью v2 = 10 м/с. Каково ускорение мяча сразу после удара?

1.75*. [10–11] (1999, 10–2) В неоднородной вязкой среде (см. рису­ нок) сила сопротивления, действующая на тело массой m, пропорцио­ нальна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности зависит от координаты тела x в направлении движения (то есть выра­ жение для силы сопротивления имеет вид f = (x)vv). Какой должна быть зависимость (x), чтобы при любой начальной скорости, направ­ ленной вдоль оси x, тело, пущенное из точки x = 0, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте.

1.76. [9–11] (1987, 8–1) Кусок мыла массой m соскальзывает в ван­ ну, профиль которой изображён на рисунке. Высота ванны h, радиусы закруглений R. Начертите график зависимости силы давления куска мыла на ванну от пройденного мылом пути. Трение между мылом и ванной отсутствует, начальная скорость равнялась нулю.

1.77*. [10–11] (1998, 11–1) Шерлок Холмс и доктор Ватсон пере­ ходили Бейкер-стрит. В это время профессор Мориарти на своём каб­ риолете выехал из бокового переулка и, не притормаживая, помчался по Бейкер-стрит, чуть не сбив их.

— Холмс, — воскликнул доктор, — этот маньяк катается по Лон­ дону с бешеной скоростью!

— Неправда, Ватсон. Я заметил, что «зайчик» от бокового стекла его авто, освещённого заходящим солнцем, некоторое время оставался вот на том фонарном столбе, в десяти футах от кабриолета. Он не мог ехать быстрее двадцати миль в час!

— Но как Вы догадались, Холмс?

— Элементарно, Ватсон!..

Воспроизведите рассуждения великого сыщика. Учтите, что 1 фут 0,3 м, а 1 миля 1,6 км.

1.78. [10–11] (1995, 10–1) Тяжёлая нерастяжимая верёвка (пры­ галка), концы которой закреплены на одной высоте на некотором рас­ стоянии друг от друга, провисает на величину h. Увеличится или умень­ шится эта величина, если прыгалку раскрутить вокруг оси, проходящей через точки закрепления, со столь большой скоростью, что можно пре­ небречь силой тяжести? Ответ обоснуйте.

1.79. [10–11] (1999, 10–1) Согласно сериалу «Звёздные войны», космические истребители земного флота имеют форму косого креста, где на концах консолей расположены четыре одинаковых ракетных дви­ гателя (вид истребителя спереди изображён на рисунке). Одним из пилотажных манёвров такого истре­ бителя является быстрый разворот на 180, когда два соседних двигате­ ля работают на «полный вперёд», а два остальных — на «полный назад»

с такой же тягой. Вокруг какой оси — А или Б — нужно совершать такой разворот, чтобы он занял меньше вре­ мени? Считайте, что практически вся масса истребителя сосредоточена в его двигателях и что сила тяги не зависит от скорости. Манёвр совершается в открытом космосе.

1.80*. [10–11] (1986, 9–2) Зависимость силы натяжения F от удли­ нения x для лёгкого резинового шнура с начальной длиной l0 = 20 см показана на рисунке. К одному из концов шнура прикрепляют малень­ кий шарик массой m = 500 г, другой конец прикрепляют к вертикаль­ ной оси, и затем весь шнур с шариком на конце помещают в горизон­ тальную гладкую трубку, прикреплённую к той же оси. Систему начи­ нают медленно раскручивать вокруг этой оси. При каком значении угло­ вой скорости 0 шнур разорвётся?

1.81. [9–11] (1995, 9–1) Витую пружину с начальной длиной l, жёсткостью k и массой m свернули в кольцо и соединили концы. После этого её раскрутили с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Найдите радиус кольца R как функцию. Диаметр витков пружины много меньше её длины.

1.82. [9–11] (1987, 8–2) Нерастяжимая, но очень гибкая и длинная цепь движется между блоками по траектории, изображённой на рисун­ ке. При какой скорости v движения цепи она практически не будет давить на блоки? Сила натяжения цепи T, масса единицы её длины ;

система находится в невесомости.

1.83. [10–11] (1994, 10–1) К нижнему концу стержня, расположен­ ного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, при­ креплена нить длиной L. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости рас­ стояния R между шариком и вертикальной линией, на которой распо­ ложен стержень, от угловой скорости вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.

1.84. [10–11] (1994, 10–2) Маленькую шайбу массой m запустили со скоростью v0 по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой M и радиусом a. Найдите величину силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

1.85*. [10–11] (1995, 11–2) Жёсткий невесомый стержень шарнир­ но подвешен за один из концов к потолку. К свободному концу и к сере­ дине стержня прикреплены два одинаковых маленьких тяжёлых шари­ ка. Стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, образуя с этой осью угол. Найдите угол между верти­ калью и силой, с которой верхний шарик действует на стержень.

1.86. [9–11] (1994, 9–1) По внутренней поверхности гладкой конической воронки, сто­ ящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах h1 и h2 от вер­ шины конуса две маленькие шайбы (см. рису­ нок). Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квад­ ратов их периодов обращения вокруг оси конуса.

1.87. [11] (1994, 11–1) Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной l. Один раз его отклоняют на неко­ торый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направ­ лении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения T. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите макси­ мальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.

1.88. [9–11] (1996, 9–1) Закрытая трубка длиной l, полностью заполненная жидкостью, составляет угол с вертикальной осью, про­ ходящей через её нижний конец (см. рисунок). В жидкости плавает лёгкая пробка. До какой угловой скорости нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?

1.89*. [9–11] (1987, 8–2) Цилиндрическое ведро, наполовину запол­ ненное водой, жёстко закреплено на краю лопасти ветряной мельницы (см. рисунок). При какой угловой скорости вращения лопастей вода не будет выливаться из ведра? Длина лопасти L много больше высоты ведра h и диаметра его дна d. Ускорение свободного падения равно g.

1.90. [9–11] (1989, 8–1) Лёгкая шероховатая планка BC шарнирно подвешена на параллельных невесо­ мых стержнях AB и CD (см. рисунок).

Длина стержней L. На расстоянии h от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой M. На план­ ке лежит лёгкая шайба. Система сво­ бодно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.

1.91*. [10–11] (1992, 11–2) Велосипедное колесо радиусом R = = 50 см немного деформировали — оно осталось плоским, но превра­ тилось в эллипс с разностью полуосей = a b = 1 см. При какой ско­ рости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать?

Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности 2 + 2 = 1 переходит в уравнение эллипса 2 + 2 = 1.

1.92. [9–11] (1997, 9–2) На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить дли­ ной L, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело мас­ сой m. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол. Какова скорость v подъёма конца нити?

1.93*. [10–11] (1999, 11–1) На тонкую вер­ тикальную спицу надели кольцо радиусом r и, толкнув его, закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости кольцо будет устойчиво вра­ щаться, не падая вниз? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен µ.

1.94*. [10–11] (2002, 10–2) Маленькая шай­ ба скользит по винтовому желобу с углом накло­ на к горизонту и радиусом R с постоянной ско­ К задаче 1.94.

ростью v (см. рисунок). Ось желоба вертикаль­ на, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения µ между шайбой и желобом?

1.95*. [10–11] (1995, 10–2) Мальчик, управляя кордовой моделью самолёта массой m, перемещает конец кордов длиной L в горизонталь­ ной плоскости по окружности радиусом r. Самолёт летит по окруж­ ности радиусом R > r на высоте h над плоскостью движения руки с постоянной скоростью v. Центры обеих окружностей лежат на одной вертикали. Ось самолёта направлена горизонтально по касательной к его траектории, плоскость крыльев также горизонтальна. Определите подъёмную силу, действующую на модель.

1.96. [9–10] (1990, 9–1) Орбитальная станция имеет форму тора, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью = 1 рад/с. Из клетки вылетели два попугайчика и полетели по коридору в разные стороны. Оказалось, что одному лететь гораздо легче, чем другому.

Объясните, какому и почему. Считая, что попугай летает со скоростью v = 5 м/с, оцените радиус станции.

1.97*. [10–11] (1987, 9–2) При перелёте с орбитальной станции «Мир» на станцию «Салют-7» наши космонавты затормозили свой корабль, перешли с основной орбиты на более низкую, промежуточ­ ную орбиту и за время t = 30 часов нагнали «Салют-7», который летел впереди «Мира» по основной орбите на расстоянии L = 3000 км. После этого они, разогнав корабль, снова поднялись на основную орбиту и состыковались с «Салютом-7». Считая орбиты круговыми, определите, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной. Высоты орбит много меньше радиуса Земли.

1.98*. [10–11] (1996, 10–2) Спутник массой m, движущийся со ско­ ростью v почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испы­ тывает действие постоянной тормозящей силы F. Зная ускорение g сво­ бодного падения на поверхности Земли, найдите скорость vс снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточ­ но медленно.

1.99*. [10–11] (2001, 11–1) Снаряд выле­ тел из ствола орудия под углом = 3 к гори­ зонту со скоростью v = 10000 м/с. Оцените, на каком расстоянии L от орудия он упадёт на Землю. Сопротивлением воздуха и вращением К задаче 1.100.

Земли пренебречь.

1.100. [9–10] (1988, 8–1) Маленький шарик падает без начальной скорости на плоскость A, составляющую с горизонтом угол (см. рис.).

Через какое время он ударится о плоскость B? Плоскости A и B образу­ ют прямой угол, удары о них абсолютно упругие. Расстояние от места начала падения до плоскости B равно l, ускорение свободного падения g.

1.101. [10–11] (1994, 10–2) С какой скоростью упругий шарик дол­ жен приближаться к краю A прямоугольной ямы шириной L и глуби­ ной H, чтобы точно попасть в её противоположный край B (см. рису­ нок)? Стенки и дно ямы абсолютно гладкие, потерь энергии нет.

1.102. [9–10] (1993, 9–1) Лестница состоит из одинаковых ступе­ нек, ширина и высота которых равны. Некто с размаху бросает об эту лестницу маленький упругий тяжёлый мяч («суперболл») сверху вниз под углом 30 к горизонту. В каком направлении отскочит мяч? Силой тяжести можно пренебречь, вращение мяча не учитывайте.

1.103. [9–10] (1992, 9–2) Внутри полого горизонтального цилин­ дра прыгает шарик, упруго отражаясь от его стенок. Ускорение силы тяжести g. Известно, что шарик движется по замкнутой траектории, отскакивая от стенок в двух точках, находящихся на одной высоте. Най­ дите все возможные траектории.

1.104*. [10–11] (1997, 10–2) Маленький шарик падает без началь­ ной скорости с некоторой высоты H на систему из двух закреплён­ ных клиньев, верхние грани которых образуют углы с горизонтом (см. рисунок). Место падения находится на расстоянии l по горизонта­ ли от линии касания клиньев. Испытав три абсолютно упругих удара о клинья, шарик вновь поднимается на ту же высоту. Укажите воз­ можные виды траекторий движения шарика и рассчитайте высоту H в наиболее простом случае.

1.105. [10–11] (2002, 10–1) На мас­ сивный гладкий цилиндр радиусом R, движущийся поступательно со скоро­ стью u, налетает маленький шарик, дви­ жущийся навстречу цилиндру перпенди­ кулярно его оси со скоростью v (см. рису­ нок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилин­ дра, равно L (L < R). Найдите величину скорости шарика v1 после абсо­ лютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.

1.106. [9–11] (1996, 9–1) В середине ящика массой m лежит груз такой же массы m. Вся эта конструкция движется со скоростью v по горизонтальной плоскости по направлению к стенке (см. рисунок). Как будет происходить удар этой конструкции о стенку? Какими будут ско­ рости ящика и груза, когда все соударения закончатся? Трения нигде нет, все удары абсолютно упругие. При абсолютно упругих ударах тела равной массы обмениваются скоростями.

1.107. [10–11] (1987, 10–1) В цилиндрической коробке радиусом R, стоящей на горизонтальном столе, находится маленькая шайба, мас­ са которой совпадает с массой коробки, причём расстояние от центра коробки до шайбы составляет половину радиуса коробки. В некоторый момент времени коробке сообщили скорость u, направленную вправо, а шайбе — такую же по модулю скорость, направленную влево (см. рису­ нок — вид сверху). Определите траекторию движения центра коробки по столу. Удары абсолютно упругие, трение отсутствует.

1.108*. [9–11] (2002, 9–2) На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь S1, а вторая — путь S2. Чему могут быть равны началь­ ная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами?

Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.

1.109*. [10–11] (1996, 10–1) Известно, что при абсолютно упру­ гом нелобовом ударе движущегося шара о такой же покоящийся шары разлетаются под углом 90. Найдите условия, при которых после абсо­ лютно упругого нелобового соударения двух одинаковых движущихся шаров один из них остановится.

1.110*. [10–11] (1994, 11–1) Упругая шайба, движущаяся со скоро­ стью v0 по гладкой горизонтальной плоскости, испытывает два последо­ вательных соударения с такими же первоначально покоившимися упру­ гими шайбами. Найдите величины и направления скоростей шайб после ударов, если известно, что одна из них после соударений продолжает движение со скоростью v0 /2 в том направлении, в котором двигалась первая шайба до ударов.

1.111. [9–11] (1988, 8–2) По закреплённой тонкой трубке без тре­ ния движутся вправо с одинаковыми скоростями четыре одинаковых маленьких шарика так, что расстояния между ними равны l1, l2 и l (см. рисунок). Трубка заткнута пробкой. Как будут расположены и как будут двигаться шарики после того, как все соударения прекратятся?

Все удары шариков друг о друга и о пробку абсолютно упругие.

1.112. [10–11] (1992, 10–1) Между двумя неподвижными горизон­ тальными плоскостями, верхняя из которых расположена на высоте H над нижней, движется маленький шарик массой m, упруго отскакивая от них. Скорость шарика после отражения от нижней плоскости равна v0 и направлена вертикально вверх. Найдите средние силы, действую­ щие на каждую из плоскостей со стороны шарика.

1.113. [10–11] (1986, 9–2) Между двумя идеально отражающими стенками, расстояние между которыми равно L, находятся N одинако­ вых упругих шаров радиусом R. Центры шаров располагаются на одной прямой, перпендикулярной стенкам. В начальный момент времени ско­ рости всех шаров одинаковы и направлены вдоль этой прямой, vi = v0.

Учитывая столкновения между шарами, а также шаров со стенками, найдите среднюю силу давления шаров на одну из стенок. Масса шара равна m, сила тяжести отсутствует.

1.114*. [10–11] (1998, 10–2) N абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость v в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в про­ тивоположном направлении. Какова максимально возможная величи­ на конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а N = 101?

1.115*. [10–11] (2002, 10–2) В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях L = 1 м друг от друга лежат N = 2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на = 1%.

Самому тяжёлому шарику в момент времени t = 0 сообщили скорость v = 1 м/с в направлении остальных шариков. Считая все удары абсо­ лютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт дви­ гаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения прене­ бречь.

1.116*. [10–11] (1996, 10–2) На полубесконечный гладкий стер­ жень нанизано бесконечно много маленьких шариков. Массы шари­ ков с нечётными номерами m, с чётными (m + m), причём m m (см. рисунок). В начальный момент времени, когда первый шарик запу­ стили по направлению ко второму со скоростью v0, расстояние между соседними шариками равнялось l0, а все шарики, кроме первого, поко­ ились. Через какое время скорость самого быстрого из шариков станет меньше (3/4)v0 ? Все удары абсолютно упругие.

1.117. [10–11] (1998, 11–2) Грузовой поезд массой m, поданный на шахте под загрузку углём, начинает движение под действием постоян­ ной силы тяги локомотива одновременно с началом погрузки. За равные промежутки времени на платформы высыпаются равные массы угля.

Скорость поезда изменяется со временем t по закону: v =, где v и t0 — постоянные величины. Найдите силу тяги локомотива.

1.118. [10–11] (2000, 11–1) На горизонтальном столе лежит одно­ родное кольцо массой M с насаженной на него маленькой бусинкой мас­ сой m. В начальный момент времени бусинка имеет скорость v, а коль­ цо покоится. Определите минимальное значение кинетической энергии бусинки в процессе дальнейшего движения. Трения нет.

1.119*. [10–11] (2001, 10–2) В результате взрыва снаряда мас­ сой m, летевшего со скоростью v, образовались два одинаковых оскол­ ка. Пренебрегая массой взрывчатого вещества, найдите максимальный угол разлёта осколков, если сразу после взрыва их общая кинетическая энергия увеличилась на величину W.

1.120*. [10–11] (1997, 11–1) На вбитом в стену гвозде на нити дли­ ной L висит маленький шарик. Под этим гвоздём на одной вертикали с ним на расстоянии l < L вбит второй гвоздь. Шарик отводят вдоль стены так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Найдите расстояния l, при которых шарик перелетит через нижний гвоздь. Нить невесома и нерастяжима, трения нет.

1.121*. [10–11] (2002, 11–2) На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находя­ щейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минималь­ но возможную скорость тела в момент его падения на плоскость. Сопро­ тивление воздуха не учитывайте.

1.122. [9–11] (1993, 9–1) Альпинистская капроновая верёвка под­ чиняется закону Гука, пока не разрывается при силе натяжения T = 22000 Н, будучи растянутой на = 25% от своей первоначаль­ ной длины. Стандартный способ испытания верёвки такой: один конец верёвки длиной L закрепляют на стене, и с высоты, равной L, сбрасы­ вают груз массой m, привязанный к другому концу (см. рисунок). При каком максимальном грузе m верёвка обязана выдержать рывок?

1.123*. [10–11] (1999, 10–2) Края симметричной относительно цен­ тра невесомой сетки из упругих нитей закреплены на неподвижном горизонтальном обруче (см. рисунок). В горизонтальном положении сет­ ка не натянута. С какой высоты H гимнаст должен упасть без началь­ ной скорости в центр сетки, чтобы её максимальный прогиб оказался равным L, если под неподвижно лежащим в центре сетки гимнастом этот прогиб равен l? Размеры гимнаста, величины L и l много меньше радиуса обруча. Известно, что при || 1 справедлива формула 1.124*. [11] (1988, 10–2) На горизонтальной поверхности покоит­ ся однородный тонкий обруч массой M и радиусом R (см. рисунок).

Горизонтальный диаметр обруча представляет собой лёгкую гладкую трубку, в которую помещён шарик массой m, прикреплённый к обручу двумя пружинами жёсткостью k каждая. Удерживая обруч неподвиж­ ным, шарик отклонили влево на расстояние x, после чего предостави­ ли систему самой себе. Найдите ускорение центра обруча в начальный момент времени. Проскальзывание обруча отсутствует.

1.125*. [10–11] (1994, 10–2) В вертикальную стену на одной высо­ те вбиты два гвоздя. К одному гвоздю прикреплена невесомая нерас­ тяжимая нить. На нить надето маленькое кольцо. Другой конец нити перекинут через второй гвоздь. К кольцу и к свободному концу нити прикреплены два одинаковых груза (см. рисунок). Определите уско­ рения грузов в момент прохождения ими положения равновесия, если в начальном положении нить между гвоздями была горизонтальна, а начальные скорости грузов были равны нулю. Ускорение свободного падения равно g. Трение не учитывайте.

1.126*. [10–11] (1990, 10–2) Через два небольших блока перекинута невесомая нерас­ тяжимая нить, к концам которой подвешены одинаковые грузы массой M каждый (см. рису­ нок). В начальный момент грузы уравновеше­ ны и покоятся. На нить с высоты h строго посе­ редине между блоками падает небольшое тело массой m так, что при падении оно цепляется К задаче 1.126.

за нить. Какова будет максимальная скорость грузов в процессе движения, если 1.127*. [10–11] (2004, 10–2) Лёгкая нерастяжимая нить длиной L = 2 м удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой M = 1 г, изогнутый в виде перевёрнутой буквы U. Нить выдерживает максимальную силу натяжения F = 5 Н. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направле­ ниях с одинаковыми скоростями V = 1 м/с. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.

1.128. [10–11] (2003, 10–2) В машине Атвуда (см. рисунок) мас­ сы грузов равны m1 и m2, блок и нить невесомы, трение отсутствует.

Вначале более тяжёлый груз m1 удерживают на высоте h над горизон­ тальной плоскостью, а груз m2 стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту подни­ мется груз m1 после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Уско­ рение свободного падения равно g, блок находится достаточно далеко от грузов.

К задаче 1.128.

1.129*. [10–11] (1987, 9–2) Тело массой M падает с высоты H на конец невесомого абсолютно жёсткого горизонтального рычага с пле­ чами длиной L и l, на другом конце которого лежит тело массой m (см. рисунок). На какую высоту h взлетит тело m после удара? Тела считайте абсолютно упругими, а их размеры — малыми.

1.130. [9–11] (1994, 9–1) На гладкой горизонтальной плоскости стоят две одинаковые гладкие горки высотой H и массой M каждая.

На вершине одной из них находится маленькая шайба массой m M (см. рисунок). Шайба соскальзывает без начальной скорости в направ­ лении второй горки. Найдите скорости горок после завершения процес­ са всех столкновений.

1.131*. [10–11] (1986, 10–2) В тонком гладком трубопроводе скользит гибкий шнурок (см. рису­ нок). Участки AB и BC трубопровода представля­ ют собой полуокружности радиусом R; длина шнур­ ка L = 2R. В некоторый момент времени нижний конец шнурка находится в точке C, а верхний — в точке A. Найдите все точки на шнурке, в которых К задаче 1.131.

сила его натяжения в этот момент равна нулю.

1.132. [9–11] (1996, 9–2) На вершине клина массой M с высотой h и углами и при основании удерживаются два небольших тела одинаковой массой m (см. рисунок). Клин стоит на гладкой горизон­ тальной плоскости. После освобождения тела соскальзывают с клина в разные стороны и застревают внизу в специальных улавливателях, уста­ новленных в конце каждой из наклонных плоскостей клина. На какое расстояние сдвинется клин после соскальзывания тел?

1.133*. [10–11] (1990, 10–1) На гладкой горизонтальной поверхно­ сти лежат два клина с массами M1 и M2 и углами при основаниях и (см. рисунок). На клинья опускают без начальной скорости гладкий цилиндр массой M так, что он касается клиньев своими образующими.

Найдите отношение скоростей клиньев после того, как цилиндр коснёт­ ся горизонтальной поверхности.

1.134*. [10–11] (1991, 10–2) Тележка, состоящая из двух пар колёс, соединённых лёгким и абсолютно жёстким стержнем дли­ К задаче 1.134.

ной l, наезжает со скоростью v на наклон­ ную плоскость с углом наклона (см. рисунок). Определите скорость тележки u сразу после того, как она полностью въедет на плоскость.

Вся масса M каждой колёсной пары сосредоточена в её оси, удары абсо­ лютно неупругие (то есть шины «мягкие»). Трением пренебречь.

1.135. [10–11] (1987, 9–1) Поезд длиной L = 500 м движется по инерции без трения по горизонтальному участку железной дороги, пере­ ходящему в горку (см. рисунок). При какой минимальной скорости v поезд перекатится через горку? Основание горки имеет длину l = 100 м, длины склонов l1 = 80 м и l2 = 60 м. Склоны горки можно считать пря­ молинейными, участки закруглений — малыми.

1.136. [10–11] (1994, 10–1) На конце жёсткого невесомого стержня длиной l, закреплённого шарнирно другим своим концом в точке O и находящегося в поле тяжести g, прикреплён груз массой m (см. рисунок).

В начальный момент времени, когда груз находится в положении устойчивого равновесия, ему сообщают направленную влево скорость u и далее раскачивают К задаче 1.136.

его следующим образом: когда груз останавливается, ему сообщают скорость u в плоскости рисунка перпендикулярно стерж­ ню по направлению к устойчивому положению равновесия. Чему равна полная энергия маятника через достаточно большой промежуток вре­ мени? Потенциальная энергия отсчитывается от точки O, трение отсут­ ствует.

1.137*. [10–11] (2001, 10–2) Т-образный маятник состоит из трёх одинаковых жёстко скреплён­ ных невесомых стержней длиной L, два из которых являются продолже­ нием друг друга, а третий перпенди­ кулярен им (см. рисунок). К свобод­ ным концам стержней, находящих­ ся в одной вертикальной плоскости, прикреплены точечные грузы мас­ сой m. Маятник может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку скреп­ ления стержней и перпендикулярной им. Маятник отклонили от поло­ жения равновесия на угол < 90 и отпустили без начальной скорости.

Найдите величину и направление силы, с которой стержень действует на груз № 3 сразу после отпускания маятника.

1.138*. [9–11] (1994, 9–2) Горизонтальная штанга, жёстко связан­ ная с вертикальной осью OO, вращается вокруг неё с постоянной угло­ вой скоростью (см. рисунок). Постоянство угловой скорости обеспечи­ вает мотор, связанный с вертикальной осью. На штангу надета неболь­ шая муфта массой m. Вначале муфта удерживается на расстоянии l от оси OO. В некоторый момент времени муфта освобождается и начина­ ет двигаться вдоль штанги. На другом конце штанги имеется заглушка (утолщение с тонкой мягкой прокладкой), кото­ рая не позволяет муфте соскочить со штан­ ги. Удар муфты о заглушку является абсолют­ но неупругим. Максимальное удаление муфты от оси OO равно L. Какую работу совершает мотор в процессе перемещения муфты по штан­ ге? Трение не учитывать.

1.139. [10–11] (2001, 10–1) Пренебрегая влиянием воздуха и вращением Земли, опреде­ лите, как зависит кинетическая энергия W искусственного спутника массой m, движущегося по круговой орбите вокруг Земли, от работы A, которую произвёл над ним ракетоноситель при выводе на эту орбиту.

Постройте график зависимости W (A). Радиус Земли RЗ, ускорение сво­ бодного падения на её поверхности равно g.

1.140. [10–11] (1986, 9–2) Искусственный спутник Земли находит­ ся на круговой орбите высотой h = 200 км. Включается двигатель, и скорость спутника за несколько минут возрастает на v = 5 км/с.

В результате он улетает в межпланетное пространство. Найдите ско­ рость спутника v вдали от Земли. Радиус Земли RЗ = 6370 км, уско­ рение свободного падения на её поверхности g = 9,8 м/с2.

1.141. [10–11] (2003, 10–1) Космический корабль стартовал в вертикальном направлении с поверхности невращающегося сферически симметричного небес­ ного тела, лишённого атмосферы.

После выключения двигателя зависимость скорости корабля от времени имеет вид, показанный на рисунке. На каком расстоянии от центра небесного тела был выключен двигатель?

1.142. [10–11] (1996, 10–1) Оценить минимальную массу звезды, при которой свет, исходящий с её поверхности, не достигнет внешнего наблюдателя. Радиус звезды R.

1.143*. [9–11] (1993, 9–2) Палочка длиной l = 1 м с надетой на неё бусинкой находится на расстоянии r = 100 000 км от центра Земли.

Палочка направлена на центр Земли, бусинка находится на расстоя­ нии b = 1 см от «нижнего» конца палочки (см. рисунок). Эта конструк­ ция начинает свободно падать без начальной скорости. За какое время бусинка соскользнёт с палочки? Какое расстояние палочка пролетит за это время? Трение отсутствует. Радиус Земли RЗ = 6400 км.

1.144. [9–11] (1993, 9–1) Средневековые лучники натягивали тетиву от вытянутой левой руки «до уха» (правого, см. рисунок), причём это требовало всей физической силы воина, и не каждому это удавалось. Оцените: 1) скорость стрелы, выпущенной таким образом; 2) даль­ ность прицельной стрельбы (можно сравнить с литературой — «Айвенго», «Робин Гуд»). Мас­ су стрелы оценить трудно, но поскольку десяток таких стрел успешно таскали в колчане на боку, считайте её равной 200 граммам.

1.145. [10–11] (1986, 10–1) Полый каток массой M = 200 кг поко­ ится на шероховатом асфальте. Затем к нему прицепляют трактор, который начинает тянуть каток с постоянной силой F = 400 Н. До какой скорости разгонится каток за L = 18 м пройденного пути? Поте­ рями энергии пренебречь.

1.146*. [10–11] (1988, 9–1) Некто сконструировал педальный вер­ толёт с такими параметрами: масса очень мала, диаметр винта d = 8 м.

Сможет ли пилот массой M = 80 кг взлететь на такой машине? (Срав­ ните требуемую мощность с мощностью лошади.) Молярная масса воз­ духа µ = 29 г/моль.

1.147*. [10–11] (1995, 11–1) Оцените частоту писка летящего кома­ ра. Длина его туловища равна длине каждого из двух крыльев и состав­ ляет l = 3 мм, толщина туловища равна ширине крыла d = 0,5 мм. Плот­ ность воздуха 1 = 1,2 кг/м3, плотность комара 2 = 1000 кг/м3.

1.148. [9–11] (1991, 9–1) Предложен следующий проект ракет­ ного двигателя: луч лазера направляется на кусок льда, помещённо­ го в резервуар с отверстием площадью S. Мощность лазера N полно­ стью идёт на испарение льда, в который добавлен чёрный краситель.

Удельная теплота испарения льда равна, плотность образовавшихся паров. Найдите силу тяги такого двигателя.

1.149. [10–11] (1993, 11–2) Двигатель современного истребителя развивает постоянную силу тяги, равную начальному весу истребителя.

За сколько минут полёта в таком режиме истребитель истратит всё топливо — керосин с удельной теплотой сгорания q = 4,5 · 107 Дж/кг, если его запас составляет треть массы самолёта, и практически вся энергия топлива переходит в кинетическую энергию реактивной струи?

1.150. [9–11] (1994, 9–1) Механическая мощность, развиваемая мотором автомобиля, с момента старта линейно возрастает со временем:

N = t. Как зависит от времени скорость автомобиля? Потерь энергии в трансмиссии нет, сопротивлением воздуха пренебречь. Масса автомо­ биля m.

1.151. [10–11] (2000, 10–1) Гоночный автомобиль имеет привод на все четыре колеса. Его двигатель выдаёт максимальную мощность N = 60 кВт при любой скорости движения. Пренебрегая сопротивлени­ ем воздуха, вычислите время разгона этого автомобиля от старта до скорости v = 20 м/c. Масса автомобиля m = 1 т, коэффициент трения между колёсами и дорожным покрытием не зависит от скорости и равен µ = 0,6.

1.152*. [10–11] (2001, 11–2) Для подтверждения своей води­ тельской квалификации автомобилист должен выполнить следующее упражнение: за ограниченное время проехать расстояние L = 50 м между точками 1 и 2, начав движение в точке 1 и остановившись в конце пути, в точке 2. Какое наименьшее время t для этого необходи­ мо, если наибольшая мощность, развиваемая двигателем автомобиля, N = 80 кВт, а тормозной путь автомобиля при скорости v = 80 км/ч составляет lт = 50 м? Масса автомобиля m = 1000 кг.

1.153. [10–11] (2002, 11–1) Телу массой m, находящемуся на гори­ зонтальной поверхности, сообщили скорость v0 в направлении оси X.

График зависимости скорости тела v от его координаты x изображён на рисунке. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты x.

1.154. [10–11] (2002, 10–1) Маленькую шайбу запустили по шеро­ ховатой горизонтальной поверхности со скоростью v0 = 5 м/с. График зависимости скорости шайбы v от пройденного ею пути S изображён на рисунке. Какой путь пройдёт шайба до полной остановки, если её запу­ стить из той же точки в том же направлении со скоростью v1 = 4 м/с?

1.155*. [10–11] (2003, 10–1) На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую — шероховатый. На столе лежит однород­ ная доска длиной L = 1 м. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреп­ лён один конец невесомой пружины, имеющей жёсткость k = 4 Н/м.

Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сто­ рону шероховатой поверхности. Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу A = 17,5 Дж. Найдите, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности, коэффициент трения доски об эту поверхность — постоянная величина.

1.156*. [10–11] (2003, 10–1) На рисунке 1 приведена зависимость силы упругости f, возникающей при растяжении резинового стержня, от величины l его удлинения. Стержень очень медленно протягива­ ют через щель, имеющую достаточно узкие закруглённые края-щёчки, так, как показано на рисунке 2. Каждая из щёчек прижимается к стерж­ ню с постоянной силой F = 30 Н. Коэффициент сухого трения между резиной и материалом щёчек µ = 0,5, длина стержня в нерастянутом состоянии L = 10 см. Какую работу совершат силы трения, действую­ щие на стержень, к тому моменту, когда он весь будет протянут через щель?

1.157*. [10–11] (2001, 10–1) Два тела имеют одинаковые ребри­ стые поверхности (см. рисунок). Какую среднюю силу в горизонталь­ ном направлении, перпендикулярном рёбрам, нужно приложить к верх­ нему телу массой m, чтобы медленно тащить его по неподвижной гори­ зонтальной поверхности второго тела с постоянной (в среднем) скоро­ стью? Все рёбра одинаковые, симметричные, имеют ширину l и высо­ ту h. Поверхности граней рёбер гладкие, их соударения абсолютно неупругие.

1.158. [10–11] (1987, 9–1) Строительный вибратор представляет собой металлическую платформу, на которой установлен приводимый в движение электромотором тяжёлый асимметричный маховик, соверша­ ющий при включённом моторе n = 50 оборотов в секунду вокруг гори­ зонтальной оси, жёстко закреплённой на этой платформе. Оцените, с какой скоростью вибратор будет перемещаться по очень шероховато­ му бетонному полу, если его толкать в горизонтальном направлении с силой F = 100 Н? Масса вибратора M = 50 кг.

1.159*. [10–11] (1988, 9–2) На тяжёлую ось насажены два лёгких колеса в форме десятиугольных звёздочек. Эта конструкция может ска­ тываться с наклонной плоскости (см. рисунок — вид сбоку).

а) Конструкция покоится, мы постепенно увеличиваем угол, который эта плоскость образует с горизонтом. При каком значении конструкция покатится, если проскальзывания нет?

б) При каких значениях конструкция, если её подтолкнуть, будет катиться по наклонной плоскости сколь угодно долго, не останав­ ливаясь? Удары углов звёздочек об эту плоскость считайте абсолютно неупругими.

Примечание: sin 18 0,31; cos 18 0,95. В случае б) можно най­ ти приближённый ответ.

1.160*. [10–11] (1996, 11–1) Модель водяного колеса устроена сле­ дующим образом (см. рисунок): на ободе колеса радиусом R = 1 м равномерно расположены N ячеек, причём N = 201. Когда очередная ячейка проходит верхнее положение, в неё сбрасывается (без началь­ ной скорости относительно земли) груз массой m = 100 г. Когда ячейка проходит нижнее положение, груз вываливается из неё без начальной скорости относительно колеса. Масса самого колеса мала, все удары абсолютно неупругие, трения нет. Найдите установившуюся угловую скорость вращения колеса.

1.161. [10–11] (1995, 10–1) На боковой поверхности длинного цилиндра массой M и радиусом R равномерно распределены N малень­ ких крючков (как на застёжке-«липучке»). Цилиндр кладут на наклон­ ную плоскость, образующую угол с горизонтом, так, что его ось горизонтальна (см. рисунок). Поверхность плоскости покрыта, как и на «липучке», петлями. Каждый крючок, коснувшийся поверхности, цеп­ ляется за петлю, причём работа по его отрыву от петли равна A. При каком соотношении между R, M, N и A цилиндр будет скатываться с плоскости?

1.162. [9–10] (1989, 8–1) С длинной ледяной горки, образующей угол с горизонтом, без начальной скорости съезжают санки. Средняя треть длины горки посыпана песком и имеет коэффициент трения µ.

При каких значениях µ санки доедут до конца горки? Чистый лёд счи­ тайте абсолютно гладким.

1.163. [10–11] (2004, 10–1) Какую работу необходимо совер­ шить, чтобы достаточно медленно переместить небольшой ящик мас­ сой m из точки O в точку B по гор­ ке, действуя на него силой, направ­ ленной по касательной к траекто­ рии его движения? Профиль горки показан на рисунке, коэффициент трения ящика о горку равен µ, ускорение свободного падения равно g.

Указанные на рисунке значения координат считайте известными.

1.164*. [10–11] (1998, 11–1) На горизонтальной плоскости, плав­ но переходящей в наклонную плоскость, составляющую угол с гори­ зонтом, на расстоянии L от наклонной плоскости находится маленькая шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскости равен µ, на участке сопряжения плоскостей трение отсутствует. Шайбе толчком сообщают скорость v в сторону наклонной плоскости в направлении, перпенди­ кулярном линии сопряжения плоскостей. На каком расстоянии l от начального положения шайба окончательно остановится, если tg > µ, v > 2µgL, участок сопряжения по длине много меньше L?

1.165*. [10–11] (2003, 10–1) Магазин пистоле­ та представляет собой металлический пенал, внут­ ри которого имеется лёгкий поршень, подпираемый пружиной. Когда магазин пуст, поршень касается его крышки. Магазин устроен таким образом, что из него можно вынимать только находящийся у крыш­ ки патрон — через небольшое отверстие в боковой стенке. После вынимания патрона поршень под дей­ ствием пружины перемещается и передвигает всё К задаче 1.165.

оставшиеся в магазине патроны к крышке.

В магазин вставили N одинаковых патронов массой m и длиной L, после чего вынули по очереди все патроны, держа магазин крышкой вверх (см. рисунок). Коэффициенты трения между патронами, а также между патроном и крышкой и между патроном и поршнем одинаковы и равны µ. На сколько работа против сил трения при опустошении мага­ зина будет больше, если при вынимании патронов держать его крыш­ кой вниз? Трением между боковыми стенками магазина и патронами, а также массой пружины пренебречь.

1.166*. [9–11] (1990, 9–1) Мяч падает на твёрдый пол со стола высотой H = 1 м. При каждом ударе о пол половина энергии мяча переходит в тепло. Масса мяча m = 0,2 кг, избыточное давление в нём p = 0,2 атм, радиус R = 10 см. Сколько раз мяч ударится о пол?

1.167*. [9–11] (1998, 9–1) Брусок мас­ сой M положен на другой такой же бру­ сок с небольшим сдвигом a (см. рисунок).

Эта система как целое скользит по гладко­ му горизонтальному полу со скоростью v0.

На её пути стоит вертикальная стена, пер­ пендикулярная направлению вектора ско­ рости v0 и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками µ. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.

1.168*. [10–11] (1989, 9–2) Небольшой упругий брусок массой m может двигаться без трения внутри прямоугольной коробки такой же массы. Коробка находится на столе, покрытом тонким слоем масла.

Сила трения коробки о стол зависит только от скорости v движения коробки по столу и равна F = v. В начальный момент времени короб­ ка покоится, а брусок находится у её левой стенки и имеет скорость v0, направленную вправо. Сколько ударов о коробку совершит брусок, если длина коробки L много больше размеров бруска?

1.169*. [11] (1997, 11–2) На горизонтальной шероховатой поверх­ ности находятся две одинаковые длинные тонкостенные трубы, оси которых параллельны. Одна из труб покоится, а вторая катится по направлению к ней без проскальзывания со скоростью v. Происходит абсолютно упругий удар. Трением труб друг о друга можно прене­ бречь. Коэффициент трения скольжения между трубами и поверхно­ стью равен µ. На каком максимальном расстоянии друг от друга ока­ жутся трубы после удара?

1.170. [8–9] (2001, 8–1) Груз неизвестной массы взвешивают, урав­ новешивая его гирькой с известной массой M на концах тяжёлого пря­ мого коромысла; при этом равновесие достигается, когда точка опоры коромысла смещается от его середины на x = его длины в сторону гирьки. В отсутствие же груза на втором плече коромысло остаётся в равновесии при смещении его точки опоры от середины в сторону гирьки на y = его длины. Считая коромысло однородным по длине, найдите массу взвешиваемого груза m.

1.171*. [8–9] (1997, 9–1) «Хитрый»

продавец на рынке торгует рыбой, взве­ шивая её на весах, сделанных из палки и верёвки (см. рисунок), причём не обманы­ вает покупателей. Покупателю разрешает­ ся взвесить рыбу самому, но при условии, что рыба помещается только на левую чаш­ ку весов и не снимается до момента распла­ ты. Продавец разрешает провести макси­ К задаче 1.171.

мум два взвешивания, предоставляя поку­ пателю набор гирь. Как определить массу понравившейся вам рыбы?

«Коромысло» весов с пустыми чашками занимает горизонтальное поло­ жение.

1.172. [8–9] (2004, 8–1) Известно, что при помощи подвижного блока можно получить выигрыш в силе в 2 раза. Школьник Вася изоб­ рёл такую схему из подвижных и неподвижных блоков, которая даёт выигрыш в силе в 7 раз. Придумайте и нарисуйте возможные варианты этой схемы.

1.173. [8–9] (2000, 8–1) Через два неподвижных блока, находящих­ ся на одной высоте, перекинута длинная лёгкая нить, к концам которой прикреплены два груза одинаковой массы (см. рисунок). Нить начина­ ют медленно оттягивать вниз за точку, находящуюся посередине меж­ ду блоками. График зависимости силы F, прикладываемой к нити, от смещения x этой точки приведён на рисунке. Найдите приблизительно массу m каждого из грузов. Трения нет.