Ю.Л. МУРОМЦЕВ, Д.Ю. МУРОМЦЕВ

ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

‡ 1

»«“‹–“¬ ““”

УДК 681.5(075)

ББК 965я73

М915

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор ТВВАИУ радиоэлектроники В.И. Павлов Доктор технических наук, профессор ТГТУ В.А. Погонин Муромцев, Ю.Л.

М915 Основы автоматики и системы автоматического управления :

учебное пособие / Ю.Л. Муромцев, Д.Ю. Муромцев. – Тамбов : Издво Тамб. гос. техн. ун-та, 2008. – Ч. 1. – 96 с. – 100 экз. – ISBN 978-5-8265-0680- Содержатся разделы автоматического управления: статические и динамические характеристики объектов, анализ и синтез линейных непрерывных систем. Основное внимание уделяется вопросам устойчивости и качества работы систем автоматического управления.

Предназначено для студентов дневного (3, 4 курсы) и заочного (5 курс) отделений специальности 210201, а также магистрантов (6 курс) и обучающихся по системе дистанционного образования при изучении дисциплин "Основы автоматики и системы автоматического управления", "Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов", "Анализ технических систем".

УДК 681.5(075) ББК 965я ГОУ ВПО "Тамбовский государственный ISBN 978-5-8265-0680- технический университет" (ТГТУ), Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО "Тамбовский государственный технический университет" Ю.Л. Муромцев, Д.Ю. Муромцев

ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

Часть Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации для студентов 3 – 5 курсов дневного и заочного отделений бакалавров и специальности 210201, магистрантов направления 210200 и обучающихся по системе дистанционного образования Тамбов Издательство ТГТУ Учебное издание МУРОМЦЕВ Юрий Леонидович МУРОМЦЕВ Дмитрий Юрьевич

ОСНОВЫ АВТОМАТИКИ И СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Часть Учебное пособие Редактор З.Г. Ч е р н о в а Инженер по компьютерному макетированию М.Н. Р ы ж к о в а Подписано к печати 16.04. Формат 60 84/16. 5,58 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская, 106, к.

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматического управления применяется не только к технологическим объектам, но и к задачам управления предприятиями, процессам принятия решений, системам массового обслуживания и другим сложным системам. За последние десятилетия радиотехнические системы и средства автоматизации претерпели существенные изменения, возникли новые задачи для их решения автоматическими устройствами. Эти задачи связаны с работой систем при случайных изменениях состояния, возрастанием роли радиоэлектронной борьбы, развитием систем пространственно-временной обработки и распределенных вычислений, необходимостью оперативного принятия решений в условиях неопределенности, широким использованием микропроцессорных средств, телекоммуникационного взаимодействия и другими усовершенствованиями. В связи с переходом к рыночным отношениям неизмеримо возросли требования к эффективности и конкурентоспособности систем, а следовательно, к робастности и отказоустойчивости систем автоматического управления (САУ), проблемам их проектирования.

Следует отметить, что современные САУ тесно связаны с такими направлениями развития систем телекоммуникации и связи, как цифровая обработка сигналов, теория фильтрации, беспроводные системы связи и др. САУ широко используются при создании роботов, самонаводящихся систем, оптико-локационных станций и т.д. Возрастает сложность задач, решаемых управляющими устройствами. Так, на современных самолетах устанавливаются радиолокационные станции (РЛС), оборудованные антеннами с активной фазированной решеткой, автоматическая система антенного комплекса обеспечивает практически одновременное функционирование РЛС в разных режимах и разных частотных диапазонах – в одном режиме как обычный локатор, в другом – постановщик помех для "глушения" РЛС других летательных аппаратов.

Широкое распространение получили различные информационные технологии для проектирования и использования в САУ (CASE-средства, SCADA-системы, беспроводные технологии и др.).

В первом разделе пособия кратко рассмотрены общие сведения по системам автоматического управления и примеры САУ. Второй раздел, посвященный линейным САУ, в определенном смысле является основным.

Основные методы анализа и синтеза систем управления подкрепляются численными примерами. Вместе с тем объем пособия не позволил с достаточной полнотой рассмотреть все методы синтеза систем автоматического управления, использующие сложный математический аппарат.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Под автоматикой понимают отрасль науки и техники, которая охватывает теорию и принципы построения систем управления техническими процессами, действующих без непосредственного участия человека. Математические основы теории автоматического регулирования заложены отечественными учеными И.А. Вышнеградским и А.М. Ляпуновым.

Содержанием автоматики как науки являются: исследование условий функционирования различных объектов и алгоритмов управления ими, изучение общих закономерностей САУ, разработка методов анализа и синтеза САУ, разработка принципов построения автоматических управляющих устройств. При синтезе решаются задачи выбора наиболее рациональных структур САУ, которые должны обеспечивать выполнение заданных алгоритмов функционирования. Важной задачей анализа является определение по заданной структуре САУ алгоритма функционирования и показателей качества работы системы.

В дисциплине изучаются САУ, применяемые в различных радиотехнических комплексах, системах и устройствах, предназначенных для радиолокации, радионавигации, радиоуправления и радиосвязи, т.е. системах, использующих радиосигналы. Сфера применения таких систем непрерывно расширяется, появляются новые виды радиоустройств, обеспечивающих дистанционное управление объектами.

1.1. СОСТАВ И СХЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для нормального функционирования многих объектов и процессов, т.е. чтобы они выполняли свое целевое предназначение, ими требуется управлять. Управление заключается в том, чтобы на основе имеющейся информации вырабатывать воздействия на объект, которые изменяют протекающие в нем процессы для достижения задаваемой цели управления. Следует отметить, что цели управления формулируют не разработчики автоматических систем (АС), а специалисты в области техники и знаний, к которой относится объект (технологический процесс). Целями управления могут быть, например, обеспечение постоянства частоты генератора, стабилизация напряжения на выходе блока питания, устранение ошибки радиолокатора при слежении за целью и т.д.

Объект (процесс) находится под автоматическим управлением, если цели управления достигаются при редком вмешательстве человека. Для реализации автоматического управления используются различные сигналы и элементы АС.

Сигналами называются физические процессы, параметры которых содержат информацию (информационные параметры). Например, сигнал – напряжение переменного тока, информационный параметр – частота. Основными сигналами в АС являются входные x (t ) и выходные y (t ) сигналы, в общем случае изменяющиеся во времени t. Входными сигналами наиболее часто являются задающее воздействие или заданное значение выходного сигнала yзад (t ) и возмущающие воздействия (t ). В дальнейшем входные и выходные сигналы будут рассматриваться как для всей автоматической системы, так и ее отдельных частей или элементов. При этом выходной сигнал одного элемента обычно является входным сигналом следующего элемента. Например, выходной сигнал управляющего устройства является входным для объекта управления. При анализе и синтезе АС большое значение имеет исследование таких сигналов, как помехи, шумы, сигналы ошибки и обратной связи. На схемах АС сигналы обозначаются стрелками. Каждый сигнал описывается своей математической моделью, например, алгебраической функцией, случайным процессом и др. Различают сигналы аналоговые, если информационные параметры сигнала при изменении во времени могут принимать любые значения в задаваемом интервале, и цифровые, если информационные параметры содержатся в кодированной последовательности импульсов. В дальнейшем сигналы x (t ), y (t ) будут называться входной и выходной переменными или просто входом и выходом системы.

При рассмотрении систем автоматического управления первоначально исследуется объект (процесс), которым надо управлять, и цель управления. В объекте выделяют протекающие в нем физические процессы и модели, описывающие эти процессы. Формулировка цели управления должна включать: чего требуется достичь в результате управляющих воздействий (высокой производительности, точности и т.п.), какими переменными следует управлять, какой необходим уровень действий.

Элементы, образующие автоматическую систему, как правило, обладают свойством однонаправленности, т.е. сигнал, поступающий на вход элемента, преобразуется в нем в выходной сигнал. Важную роль в автоматических системах играют следующие элементы: датчики, элементы сравнения, управляющие устройства, исполнительные механизмы, линии связи.

Датчики позволяют оценивать состояние управляемого объекта. Если необходимые для целей управления переменные недоступны непосредственному измерению, то во многих случаях необходимую информацию получают из других источников, используя так называемые виртуальные датчики.

Исполнительные механизмы выполняют функцию перевода объекта (процесса) из текущего состояния в желаемое в соответствии с сигналами, вырабатываемыми устройствами обработки информации. В качестве этих устройств используются разнообразные вычислительные средства – программируемые контроллеры, ломиконты и др.

Для соединения между собой датчиков, управляющих устройств, исполнительных механизмов и объектов управления используются различные линии связи, к которым предъявляются требования по отсутствию искажений и задержек при передаче сигналов. Во многих случаях сигналы в САУ передаются на большие расстояния, что накладывает дополнительные требования к линиям связи – их надежности, помехоустойчивости и т.д.

Необходимо отметить, что в связи с широким использованием микропроцессорной техники в САУ, важной составной частью автоматических систем стало программное обеспечение автоматического управляющего устройства. Более того, наблюдается тенденция замены некоторых аппаратных средств программными средствами.

Выделяют три основных принципа, используемых при управлении объектами [1, 2].

1. Принцип разомкнутого управления или разомкнутого цикла. В системах, работающих по этому принципу, реальные значения выхода y (t ) объекта не учитываются управляющим устройством, что не позволяет обеспечить высокую точность управления (рис. 1.1, а).

2. Принцип компенсации или управления по возмущению. В этих системах производится измерение возмущающих воздействий (t ), и результаты измерений учитываются при выработке управления u (t ), что позволяет повысить точность автоматической системы (рис. 1.1, б).

3. Принцип обратной связи (ОС), который предусматривает сравнение выхода y(t ) с задаваемым значением yзад (t ) с помощью канала обратной связи и элемента сравнения (рис. 1.1, в).

Для повышения качества управления объектом в АС могут использоваться комбинация принципов ОС и компенсации, такие системы называют комбинированными (рис. 1.1, г).

Каналы прямой и обратной связей в АС образуют основной контур управления (рис. 1.1, г). Значение выходной (управляемой) переменной y(t ) объекта на элементе сравнения постоянно сопоставляется с заданным (эталонным) значением yзад (t ). Сигнал ошибки e(t ) = yзад (t ) y(t ) используется для выработки управления u (t ), чтобы достичь цели управления – сделать yзад (t ) и y(t ) наиболее близкими, несмотря на возмущения различного рода, помехи и шумы.

Изменения выхода y(t ) вызываются не только управляющими u (t ), но и возмущающими воздействиями (t ). Последние стремятся нарушить требуемую функциональную связь между u (t ) и y(t ). Например, порывы ветра оказывают значительное влияние на положение антенны радиолокационной станции.

В общем случае под системой автоматического управления понимается активная динамическая система, стремящаяся сохранять в допустимых пределах отклонение e(t ) между требуемым yзад (t ) и действительным y(t ) значениями управляемой переменной при помощи их сравнения на основе принципа ОС и использования получающегося при этом сигнала для управления объектом.

В зависимости от характера изменения yзад (t ) выделяют три основных типа САУ: 1) системы автоматической стабилизации и регулирования, в них yзад (t ) = const ; 2) системы программного управления, в этих системах yзад (t ) изменяется в соответствии с известной функцией времени или программой; 3) следящие системы, здесь yзад (t ) представляют собой неизвестные заранее функции времени. Наряду с этими САУ широко используются системы оптимального управления, экстремальные системы и др.

1.2. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В РАДИОСВЯЗИ

Современные радиотехнические комплексы, решающие задачи управления движением различных летательных аппаратов и слежения за ними, обеспечения радиосвязью, функциями радиоэлектронной борьбы и защиты от помех, а также другие комплексы, использующие радиосигналы для самонаведения, определения местоположения объектов, обследования рельефа местности и т.д., содержат большое число автоматических устройств, обеспечивающих их нормальное функционирование. К этим устройствам, прежде всего, относятся системы: автоматической подстройки частоты (АПЧ); фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ); автоматической регулировки усиления (АРУ); автоматического сопровождения по направлению (АСН) движущихся объектов; автоматического сопровождения по дальности (АСД) движущихся объектов; автоматического слежения за временем (АСВ) прихода импульсов и др. Перечисленные устройства входят в состав различных радиолокационных станций (РЛС), систем радиоуправления, спутниковых радионавигационных систем и других радиотехнических систем.

П ри ме р 1.1. Устройства автоматической подстройки частоты широко применяются в различных радиопередающих и радиоприемных устройствах. Простейшая схема системы АПЧ для стабилизации частоты генератора приведена на рис. 1.2, а. Здесь формально роль y зад играет эталонная частота эт, соответствующий сигнал вырабатывается генератором эталонных частот (ГЭЧ).

Если частота г стабилизируемого генератора (СГ) отличается от задаваемой эталонной частоты эт, то в зависимости от разности = г эт дискриминатор вырабатывает сигнал управления u д, который через управляющий элемент (УЭ) корректирует частоту генератора. Для этого используется зависимость uд = f1 () значения сигнала u д на выходе дискриминатора от ошибки, называемая статической характеристикой дискриминатора (рис. 1.2, б). Под действием управляющего воздействия u на выходе управляющего элемента рассогласование устраняется в соответствии со статической характеристикой = f 2 (u ) (рис. 1.2, в).

Следует заметить, что в некоторых системах АПЧ частота г поддерживается постоянной, отличающейся от эт на строго фиксированную величину.

В приемном устройстве РЛС основное усиление принятого отраженного сигнала uc (t ) осуществляется усилителем промежуточной частоты (УПЧ) на промежуточной частоте пр = c г ; здесь c – частота входного сигнала; г – частота гетеродина. Преобразование uc (t ) в uпр (t ) происходит в смесителе (СМ). Вследствие нестабильности частота гетеродина г и влияния других дестабилизирующих факторов частота пр может отличаться от номинального значения пр.н, что приводит к ухудшению работы приемного тракта. Для устранения отклонения частоты от номинального, т.е. = пр пр.н, в частотном дискриминаторе (ЧД) вырабатывается напряжение u д. Характеристика дискриминатора имеет вид, аналогичный показанному на рис. 1.2, б. Если 0, то управляющий сигнал u д через фильтр низких частот (ФНЧ) воздействует на гетеродин (Гет), чтобы обеспечить пр = пр. н. На рис. 1.3 приведена структурная схема АПЧ, обеспечивающая поддержание на заданном уровне промежуточной частоты пр.

П ри ме р 1.2. Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) используются в перестраиваемых по частоте генераторах колебаний и радиоприемных устройствах. На рис. 1.4 приведена схема ФАПЧ перестраиваемого генератора (ПГ). Измерителем рассогласования здесь служит фазовый дискриминатор (ФД), на выходе которого сигнал пропорционален разности фаз напряжений эталонного опорного генератора (ЭГ) частотой э и перестраиваемого генератора (ПГ) частотой г. Вырабатываемый ФД сигнал через фильтр нижних частот (ФНЧ) и управляющий элемент (УЭ) подается на ПГ. В результате происходит изменение частоты ПГ, при этом устраняется разность фаз двух гармонических колебаний и частота ПГ становится равной частоте ЭГ.

ЭГ ФД ПГ

Процесс автоподстройки в системе ФАПЧ описывается нелинейным дифференциальным уравнением здесь н = э г. н – начальное рассогласование частот ЭГ и ПГ; г. н – начальная частота ПГ; F ((t )) – дискриминационная характеристика ФД; уд – полоса удержания системы, т.е. максимальное значение н, которое может быть скомпенсировано в системе. В установившемся режиме разность фаз постоянна и г = э.

П ри ме р 1.3. В радиоприемных устройствах для стабилизации уровня выходного сигнала u вых (t ) при больших изменениях уровня входного сигнала u вх (t ) широко применяется автоматическая регулировка усиления (АРУ). Так, в РЛС диапазон изменения u вх (t ) может составлять 60…100 дБ, отсутствие или нарушение работы АРУ здесь может приводить к срыву сопровождения цели [3].

На рис. 1.5 приведена схема системы АРУ для усилителя с регулируемыми каскадами РК1, …, РКN. Выходное напряжение усилителя u вых (t ) через детектор (Д) подается на усилитель постоянного тока (УПТ) и затем фильтр (Ф). Напряжение u y с выхода фильтра воздействует на коэффициент усиления усилителя.

Рассмотренные примеры автоматических устройств представляют собой системы с одним входом и одним выходом или SISO-системы (Single-Input Single-Output) [4]. Как видно из примеров, канал обратной связи здесь может содержать различные функциональные элементы – дискриминаторы, усилители, фильтры и др. Техническая реализация этих элементов сильно различается в зависимости от частотного диапазона, в котором функционирует соответствующая система.

Если в качестве примера взять какой-либо радиотехнический комплекс, то он, как правило, имеет несколько входов и несколько выходов. При этом отдельные входы могут оказывать влияние на разные выходы, а некоторые выходы зависеть от нескольких входов. Такие комплексы рассматриваются с позиции MIMO-систем (Multi-Input Multi-Output).

Некоторые САУ имеют один вход и несколько выходов (SIMO-системы) или несколько входов и один выход (MISO-системы). Например, наземная РЛС, предназначенная для слежения за воздушной целью, может рассматриваться как SIMO-система. Здесь на вход поступает отраженный от цели сигнал, а на выходах вырабатывается информация о дальности до цели и направлении на цель.

1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Системы автоматического управления классифицируются по различным признакам. В разделе 1.1 были рассмотрены системы, различающиеся используемым принципом управления, т.е. разомкнутые, с компенсацией по возмущению, с обратной связью и комбинированные. Там же выделены три типа САУ с различным характером изменения заданного значения выходной переменной – это системы программного управления, автоматической стабилизации и следящие. В разделе 1.2 определены системы, различающиеся числом входов и выходов (SISO-, MIMO-, MISO- SIMO-системы), а также приведены примеры автоматических устройств, выполняемых разные функции. Для решения задач анализа и синтеза САУ наиболее важными по характеру внутренних динамических процессов в системе являются следующие классификационные признаки: линейность (или нелинейность) уравнений, описывающих динамические процессы; непрерывность (или дискретность) динамических процессов во времени; стационарность (нестационарность) и сосредоточенность (распределенность) параметров системы, а также особенности работы при различных состояниях функционирования.

САУ называется линейной, если динамические процессы в ней описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями. Статические характеристики всех звеньев системы должны быть линейными. Если динамика какого-либо звена САУ описывается линейным уравнением с временной задержкой, то такая система называется линейной системой с временным запаздыванием. В уравнение, описывающем процессы в линейной системе, все переменные (входные, выходные, фазовые координаты) входят аддитивно и в первой степени. Например, уравнение динамики линейной системы в векторно-матричной форме имеет вид а при наличии временного запаздывания по каналу входного воздействия здесь z, x, y – векторы фазовых координат, входа и выхода; A, B, C, D матрицы параметров соответствующих размерностей; z = dz / dt.

Если хотя бы в одном звене САУ условие линейности не выполняется (z или x в уравнении записываются не в первой степени или в виде произведения и т.п.), то система называется нелинейной. Например, где x, y – скалярные вход и выход; a, b – параметры модели системы.

Во многих случаях используется линеаризация нелинейных систем в окрестности некоторой рабочей точки. Таким образом, по характеру связей между переменными системы и их производными все САУ делятся на два больших класса – линейные и нелинейные. В качестве отдельного подкласса здесь могут быть выделены линеаризованные системы.

САУ называется системой непрерывного действия, если во всех ее звеньях непрерывным изменениям входных величин соответствуют непрерывные изменения выходных переменных. Одно из условий непрерывных систем заключается в том, чтобы статические характеристики звеньев в них были непрерывными. Модели (1.1) – (1.3) соответствуют САУ непрерывного действия.

Если в САУ имеются звенья, в которых при непрерывном изменении входной величины выходная имеет вид последовательности импульсов, то система относится к классу систем дискретного действия. К этому классу относятся системы импульсного регулирования, системы с ЭВМ в контуре управления и др. Динамические режимы дискретных АС описываются разностными уравнениями, например, где T0 – период следования импульсов; F, G, С, D – матрицы параметров дискретной системы.

Особый подкласс по отношению к непрерывности изменения переменных во времени образуют САУ релейного действия. К ним относятся системы, содержащие звенья, в которых при непрерывном изменении входной величины для определенных ее значений выходная величина изменяется скачком. Статические характеристики таких звеньев, называемых релейными, имеют точки разрыва (рис. 1.6). Следует заметить, что релейные системы всегда нелинейные. Наряду с непрерывными и дискретными системами иногда в отдельные классы выделяют непрерывно-дискретные САУ и системы с цифровой обработкой сигналов. К этим классам относятся большинство современных САУ, использующих микропроцессорную технику.

САУ (линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные) называются стационарными, если их динамические режимы описываются уравнениями с постоянными коэффициентами. Например, системы, представленные моделями (1.1) – (1.4), относятся к стационарным, в них матрицы параметров А, В и другие не зависят от времени.

Если коэффициенты уравнений динамики являются переменными (зависят от времени), то САУ называются нестационарными. Например, для нестационарной линейной непрерывной системы модель динамики, аналогичная (1.1), записывается в виде Все рассмотренные САУ с моделями (1.1) – (1.5) являются системами с сосредоточенными параметрами, т.е. их динамические режимы описываются обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями.

Если изменение переменных системы или объекта управления описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, то такие системы называются системами с распределенными параметрами. Например, широко используемое при описании тепловых процессов стационарное уравнение теплопроводности имеет вид где Т – температура (непрерывная функция координат); Q – источник теплоты внутри рассматриваемого тела;,, – коэффициенты теплопроводности по соответствующим направлениям;,, – пространственные координаты. В радиотехнике распространенными объектами с распределенными параметрами являются длинные линии и волноводы.

Важным для проектирования САУ с учетом условий реальной эксплуатации является выделение классов систем на множестве состояний функционирования (МСФ) [5]. Для учета возможных состояний работоспособности частей системы, изменения режимов работы и других факторов, которые приводят к изменению параметров системы, цели управления, выполняемых функций и т.п., вводится переменная состояния функционирования h. Например, различными значениями h могут быть: h0 – работа РЛС в нормальных условиях; hп – работа РЛС в условиях помех; hгр – работа РЛС при слежении за групповой целью и т.д. Изменение h может приводить к изменениям модели динамики системы (ее вида и параметров), алгоритма работы управляющего устройства и т.д. В зависимости от характера изменения переменной h и возможности идентификации ее значений на временном интервале управления [t 0, t к ] можно выделить четыре основных класса систем управления на множестве состояний функционирования H.

САУ принадлежит: к первому классу на множестве H, если при реальной эксплуатации системы значение переменной h к моменту времени t0 известно и сохраняется постоянным на временном интервале [t 0, t к ] ; ко второму классу, если значение переменной h на интервале [t 0, t к ] постоянно, но неизвестно; к третьему классу, если значение h на интервале [t 0, t к ] может изменяться, при этом в каждый момент времени t [t0, tк ] известно, и к четвертому классу, если переменная h на интервале [t 0, t к ] может изменяться, при этом информация об изменении h либо отсутствует, либо не может быть учтена управляющим устройством.

Существует большое число других признаков классификации, используемых в теории автоматического управления.

Например, по числу контуров в структурной схеме САУ различают одноконтурные и многоконтурные системы управления. По целевому назначению выделяют САУ наведения, самонаведения и т.д., по сложности – простые и сложные. В последнее время интенсивно развивается теория нечетких, адаптивных, робастных, цифровых и интеллектуальных систем управления.

Приведенные сведения по классификации САУ необходимы для определения "местоположения" исследуемой системы среди множества самых различных САУ и выбора соответствующих методов решения задач анализа и синтеза.

1. Помехи и шумы в АС являются входными или выходными сигналами?

2. Какие три принципа используются при управлении объектами?

3. Перечислите основные структурные элементы систем автоматического управления?

4. В чем особенность автоматических устройств систем радиосвязи в общем классе автоматических систем?

5. Какие функциональные элементы используются в устройствах АПЧ, АРУ?

6. Приведите примеры входных и выходных сигналов в САУ?

7. Приведите примеры систем автоматической стабилизации.

8. Приведите примеры следящих автоматических систем.

9. Приведите примеры автоматических систем со многими входами и многими выходами.

10. Определите, к каким классам относится РЛС.

2. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Класс линейных САУ составляет основу и наиболее полно исследован в классической теории автоматического управления. Важнейшим свойством линейных систем является то, что для них справедлив принцип суперпозиции или наложения, который заключается в следующем: реакция системы на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. В линейных непрерывных САУ входные и выходные сигналы являются непрерывными функциями времени.

Во многих случаях исследуемые САУ рассматриваются как линейные, это обусловлено рядом причин. Во-первых, математический аппарат, используемый для анализа и синтеза линейных систем значительно проще, чем для нелинейных. Во-вторых, многие нелинейные системы могут быть с помощью методов линеаризации представлены как линейные в некотором ограниченном интервале изменения переменных. В-третьих, класс линейных систем исключительно широк и охватывает системы с переменными параметрами, системы с распределенными параметрами, системы с запаздыванием, импульсные и цифровые системы, системы, подверженные воздействию помех, и др. В табл. 2.1 приведено деление линейных систем на подклассы по различным признакам.

1. Характер изменения 2. Постоянство параметров 3. Распределенность параметров в пространстве 3.1. С распределенными параметрами 4. Определенность

2.1. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

При анализе линейных систем различают переходные и установившиеся процессы. Свойства систем и их элементов (звеньев) для этих процессов определяются динамическими и статическими характеристиками.

В общем случае статическая характеристика (СХ) для системы с сосредоточенными параметрами с одним входом и одним выходом представляет собой зависимость выходной переменной у от значения входной переменной х в установившемся режиме и записывается в форме алгебраического уравнения где Х – область значений х.

Уравнение (2.1) называют уравнением статики. Для объектов с т входами статическая характеристика записывается в виде функции у от нескольких входных переменных, т.е.

В случае линейной системы с одним входом и одним выходом СХ (2.1) записывается как уравнение прямой линии здесь K 0, K – постоянные коэффициенты, коэффициент K называют передаточным коэффициентом или коэффициентом усиления.

Для линейной системы с m входами статическая характеристика имеет вид а для многомерной системы с m входами и m выходами СХ записывается как система линейных уравнений:

Для объектов с распределенными параметрами статическая характеристика записывается в форме дифференциальных уравнений в частных производных, например, вида (1.6).

Звенья САУ, имеющие СХ, называют статическими звеньями, а объекты управления – объектами с самовыравниванием. Знание статической характеристики объекта управления необходимо для выбора режимов работы, определения области, в пределах которой объект можно считать линейным, расчета функций чувствительности к изменению входных переменных и т.д.

Для системы, состоящей из n последовательно соединенных линейных звеньев со статическими характеристиками когда выход одного звена является входом другого ( yi = xi+1 ), СХ всей системы со входом x = x1 и выходом y = y n имеет аналогичный вид, т.е.

при этом передаточный коэффициент K системы равен произведению передаточных коэффициентов звеньев, т.е.

Передаточный коэффициент системы при параллельном соединении звеньев, когда равен сумме значений K i, т.е. K = K i.

В случае соединения звеньев по схеме отрицательной обратной связи (рис. 1.1, в), когда статическая характеристика замкнутой САУ имеет вид где K yy, K 0 передаточные коэффициенты управляющего устройства и объекта, соответственно.

Следует заметить, что при описании статической характеристики звена важно указать диапазон значений изменения x, при котором зависимость выхода y от x можно считать линейной, а для статической характеристики САУ следует указать диапазоны линейности, входящих в ее состав звеньев.

Некоторые звенья (системы, объекты) не имеют СХ. Например, если у электродвигателя в качестве выходной величины y рассматривать угол поворота якоря, а в качестве входной x – подводимое напряжение, то при x 0 установившегося значения y не наступает. Такие звенья называют астатическими звеньями, а объекты – объектами без самовыравнивания.

В астатических звеньях может существовать однозначная зависимость производной выходной величины dy / dt от постоянного значения входной. Для некоторых звеньев постоянной в установившемся режиме является вторая, третья или более высокого порядка производная y. В этих случаях говорят, что звено обладает астатизмом соответствующего порядка, т.е. первого, второго, третьего и т.д.

Понятия статизма и астатизма применительно к системам автоматического управления, в частности регулирования, имеют следующий смысл. Если при любом постоянном значении задающего воздействия y зад установившаяся ошибка yзад y (t = ) не равна нулю, то САУ называют статической по отношению к задающему воздействию.

Если при любом постоянном значении y зад установившаяся ошибка равна нулю, то САУ называется астатической с астатизмом соответствующего порядка. Для астатической САУ первого порядка ошибка yзад y (t = ) равна нулю при yзад = const и имеется установившаяся ошибка при изменении y зад с постоянной скоростью. Астатическая САУ второго порядка имеет установившуюся ошибку при изменении y зад с постоянным ускорением, а задающие воздействия yзад = const и dy зад / dt = const отрабатывает без установившейся ошибки. Аналогично даются определения статической и астатической САУ по отношению к возмущающему воздействию.

Свойства объекта, САУ и отдельных ее звеньев в переходных процессах (динамических режимах) определяются с помощью динамических характеристик (ДХ). В зависимости от свойств системы и решаемых задач анализа и синтеза для описания переходных процессов в САУ используются дифференциальные уравнения, передаточные функции, частотные и временные характеристики.

В табл. 2.2 приведены основные задачи, решаемые с использованием различных ДХ применительно к непрерывным САУ. Дифференциальные уравнения (ДУ) наиболее часто используются в качестве моделей динамических режимов как объектов управления, так и САУ. По известному ДУ можно получить любые другие ДХ системы. Так, для определения временных характеристик необходимо решить ДУ при соответствующем входном сигнале, передаточная функция находится с использованием преобразования Лапласа, а амплитудно-фазовая частотная характеристика – преобразования Фурье. Обычно ДХ составляет основу математической модели исследуемой системы.

Известные ДХ В табл. 2.3 приведены способы получения различных динамических характеристик по известным другим ДХ. Динамические характеристики САУ по известным ДХ входящих в ее состав частей обычно получают с использованием передаточных функций (ПФ). Это объясняется тем, что по известной структурной схеме САУ и передаточным функциям ее звеньев с использованием простых алгебраических операций легко получить ПФ всей системы.

Передаточной функцией системы (или звена) W ( p ) с входом x(t ) и выходом y (t ) называется отношение преобразования Лапласа выхода Y ( p ) = L [ y (t )] к преобразованию Лапласа входа X ( p ) = L [x (t )] (при нулевых начальных условиях), т.е.

где р – параметр преобразования Лапласа.

В табл. 2.4 приведены наиболее употребительные оригиналы сигналов f (t ) и соответствующих изображений по Лапласу F ( p ), т.е.

а в табл. 2.5 – теоремы и правила.

Передаточная функция системы Wc ( p ) находится по передаточным функциям Wi ( p ) ее элементарных звеньев с использованием следующих формул:

• последовательное соединение n звеньев, когда выходная величина предыдущего звена является входной для последующего (рис. 2.1, а) • параллельное соединение n звеньев (здесь входная величина одновременно подается на входы всех звеньев, а выходная равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис. 2.1, б) • соединение с отрицательной обратной связью (частный случай встречно-параллельного соединения звеньев W1 ( р ) и W oc ( р )), когда на вход соединения одновременно с входной величиной x системы, подается ее выходная величина у, прошедшая через звено обратной связи с передаточной функцией Woc ( p ), (рис. 2.1, в) • соединение с положительной обратной связью (другой частный случай встречно-параллельного соединения (рис.

2.1, г)) Единичная ступенчатая функция Степенная функция Экспонента Смещенная экспонента Синусоида Косинусоида Рис. 2.1. Соединения звеньев: последовательное (а), параллельное (б), встречно-параллельное с отрицательной обратной связью (в) и с положительной обратной связью (г) Свойство линейности Теорема запаздывания Теорема подобия Правило дифференцирования при нулевых начальных Правило интегрирования при нулевых начальных усf (t ) dt Дифференцирование функции F (p) комплексной плоскости Свертка При решении задач анализа и синтеза автоматических радиоэлектронных устройств широко используются частотные характеристики – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Это объясняется тем, что многие сигналы в радиосистемах представляют в виде суммы гармонических сигналов, возможностью экспериментального определения частотных характеристик и удобством их использования при рассмотрении структурных схем САУ, исследовании устойчивости и других свойств системы.

АФЧХ или комплексная частотная характеристика W ( j ) определяется как отношение преобразования Фурье F выхода системы к преобразованию Фурье входа т.е.

здесь – угловая частота; j = 1; y (t ), x (t ) – односторонние функции, т.е. y (t ) = 0, x (t ) = 0 при t < 0.

Сигналы на входе и выходе можно записать в виде Тогда где Здесь M () есть АЧХ, () – ФЧХ, P() – действительная (вещественная) частотная характеристика; Q () – мнимая частотная характеристика.

Таким образом, АЧХ есть зависимость отношения амплитуд выходных y(t ) = M y sin t + y и входных x(t ) = M x sin (t + x ) колебаний от частоты, а ФЧХ представляет собой зависимость разности фаз выходных и входных колебаний от частоты.

Если известна передаточная функция W ( p ), то АФЧХ W ( j) получается заменой аргумента р (в общем случае комплексной величины) на j. При этом сохраняются основные свойства, приведенные в табл. 2.5, т.е.

• дифференцирования • интегрирования Широкое распространение на практике получили логарифмические частотные характеристики – амплитудные (ЛАЧХ) и фазовые (ЛФЧХ). Достоинством логарифмических характеристик при исследовании линейных стационарных систем является возможность по виду этих характеристик восстановить структурную схему системы и определить параметры элементарных динамических звеньев, входящих в систему. Полученные результаты можно использовать для определения передаточной функции и затем дифференциального уравнения.

Для получения ЛАЧХ и ЛФЧХ исходную АФЧХ W ( j) = M () e j() логарифмируют или Обычно в качестве ЛАЧХ используется функция L () = 20 lg M (), измеряемая в децибелах. Здесь предполагается, что в качестве входов x и выходов y рассматриваются напряжения или токи в электрических цепях. Если в качестве x, y используются мощности, то L () = 10 lg M (). При построении ЛАЧХ и ЛФЧХ по оси абсцисс откладывают угловые частоты в логарифмическом масштабе.

Временные характеристики системы представляют собой реакции системы на стандартные входные воздействия:

• единичная ступенчатая функция • дельта-функция или единичная импульсная функция • прямоугольный импульс Переходная функция (характеристика) h (t ) представляет собой процесс изменения y (t ) на выходе звена (системы) при подаче на вход x (t ) = 1 (t ). Если на вход подается произвольная ступенчатая функция, т.е. x (t ) = N 1 (t ), то на выходе будет y (t ) = Nh (t ). Реакцию объекта на ступенчатую функцию часто называют кривой разгона.

Функция веса (импульсная переходная функция) W (t ) представляет собой реакцию системы на дельта-функцию.

Она удовлетворяет двум следующим условиям:

1) условию физической осуществимости (причинности) W (t ) = 0, t < 0, т.е. переходный процесс W (t ) не может возникнуть раньше подачи на вход сигнала (t ) при t = 0 ;

2) условию, определяющему устойчивость системы Нетрудно показать, что W (t ) =.

Рассматривая различные виды ДХ следует отметить, что важно знать, во-первых, при решении каких задач следует использовать соответствующую характеристику, и, во-вторых, как получить необходимую ДХ по известной другой. Наиболее часто при решении задач анализа и синтеза САУ и особенно при решении задач оптимального управления применяется описание динамики в виде дифференциального уравнения. Задачи структурного синтеза, когда по ДХ элементарных звеньев требуется получить ДХ системы, решаются с использованием передаточных функций и частотных характеристик. Для обеспечения требуемых свойств САУ на основе введения корректирующих звеньев обычно используются логарифмические частотные характеристики. При определении ДХ по экспериментальным данным предпочтение отдается временным и частотным характеристикам.

2.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

В структурном анализе и синтезе САУ широко используются типовые (элементарные, простейшие) динамические звенья (ТДЗ). Простейшее звено имеет один вход x и один выход y. Знание характеристик звеньев, из которых состоит система, позволяет получить характеристики и исследовать свойства всей системы.

Обычно выделяют три группы ТДЗ: позиционные (безынерционное, апериодические первого и второго порядков, колебательное), интегрирующие (идеальное интегрирующее, инерционное интегрирующее изодромное) и дифференцирующие (идеальное дифференцирующее, инерционное дифференцирующее и форсирующее) [1]. Динамика этих звеньев описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка, в частности здесь Этому уравнению соответствует передаточная функция При обращении в нуль одного или нескольких коэффициентов ai, bi (или их звена) меняется тип звена и его свойства. Если два устройства различной природы – механическое, электрическое или др. – имеют одинаковый вид дифференциального уравнения, а следовательно, передаточной функции или других ДХ, то эти устройства характеризуются одинаковыми свойствами в смысле изменения y (t ) в зависимости от x(t ). Наряду с выделенными тремя группами ТДЗ, к типовым относится также звено чистого запаздывания.

Апериодическим (инерционным) звеном первого порядка называется звено, переходный режим которого описывается дифференциальным уравнением или в нормальной форме Параметр K называется коэффициентом усиления, а T – постоянной времени, которая определяет инерционные свойства объекта. Связь между параметрами K, T и a, b в (2.11), (2.12) определяется равенствами Если при t dy / dt 0, то из уравнения (2.11) видно, что статическая характеристика звена представляет собой Переходный процесс при подаче на вход звена произвольного сигнала x (t ), t > t 0 определяется уравнением или Используя формулы (2.14), (2.15), легко получать временные характеристики звена. Полагая t0 = 0, y (t 0 ) = 0 и x(t ) = 1 (t ), получаем выражение для переходной функции Если в формулу (2.15) подставить x(t ) = (t ) или продифференцировать h (t ), то находим функцию веса или импульсную переходную функцию, т.е.

Графическое представление h (t ) и W (t ) показано на рис. 2.2. Из рис. 2.2, а виден геометрический смысл параметров K и T. Параметр K соответствует отрезку по оси y между двумя установившимися значениями, а постоянная времени T равна проекции отрезка касательной к кривой h (t ).

Из уравнения (2.11) легко получить передаточную функцию звена с помощью преобразования Лапласа. Так как то, используя свойство суммирования (табл. 2.3), получаем Легко убедиться, что, используя преобразование Лапласа для экспоненты, имеет место Частотные характеристики звена находятся заменой в формуле (2.18) p на j. В результате АФЧХ определяется выражением Другие частотные характеристики получаются простейшими преобразованиями:

т.е.

Графическое представление этих частотных характеристик приведено на рис. 2.3, а – д.

Логарифмические частотные характеристики показаны на рис. 2.5, е, где пунктиром выделено точное значение ЛАЧХ, т.е.

и сплошной линией асимптотическая ЛАЧХ La (). Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков: горизонтального с La () = 20lgK при < (этот отрезок называется первой асимптотой) и отрезка с отрицательным наклоном 20 децибел на декаду при > (вторая асимптота).

Из рассмотрения частотных характеристик видно, что колебания низких частот < "проходят" через звено с отношеT нием амплитуд выходного у и входного х сигналов, близким к значению коэффициента усиления (передачи) K (рис. 2.3, г). При увеличении частоты > происходит сильное ослабление амплитуды входного сигнала, а сигналы с высокиT ми частотами вообще не "пропускаются" звеном. Диапазон частот ; определяет полосу пропускания сигнаT T лов, ширина полосы пропускания определяется как п = 2/T. Таким образом, чем меньше постоянная времени Т, тем шире полоса пропускания частот.

Таким образом, на примере апериодического звена подробно рассмотрены вопросы получения одних динамических характеристик по известным другим. Далее для остальных ТДЗ все динамические характеристики даются в форме справочного материала.

В усилительном (пропорциональном или безынерционном) звене связь между выходом и входом определяется простейшим уравнением где K – коэффициент пропорциональности (передачи).

В принципе усилительное звено является некоторой идеализацией реальных процессов в ограниченном диапазоне изменения x и y.

Все ДХ усилительного звена автоматически получаются из характеристик апериодического звена, если принять T = 0. Эти характеристики (рис. 2.4) имеют вид:

• передаточная функция • переходная функция • функция веса В устройствах автоматики примерами усилительного звена являются усилители, делители напряжения, датчики сигналов, механические редукторы и др.

Дифференциальное уравнение для данного звена записывается в виде или в нормальной форме Значения параметров звена T1, T2, K (соответственно a1, a2, b ) должны удовлетворять условию обеспечения вещественности корней характеристического уравнения T22 p 2 + T1 p +1 = 0, т.е.

Для параметров a1, a2 это эквивалентно условию a2 4a1.

Используя операционную форму записи (2.33) T22 p 2 + T1 p +1 y = Kx, можно получить передаточную функцию звена где Из (2.36) видно, что инерционное звено второго порядка можно рассматривать как последовательное соединение двух апериодических звеньев с постоянными времени T3, T4. Такое звено иногда называют двойным апериодическим.

Временные характеристики звена приведены на рис. 2.5, их аналитические выражения, получаемые с использованием обратного преобразования Лапласа, имеют вид:

Следует заметить, что вторая асимптота в формуле (2.51) пересекает ось абсцисс в точке = K / T. Графики частотных характеристик приведены на рис. 2.7, а – г.

Временные характеристики звена определяются выражениями:

где Ai, Bi – амплитуды колебаний, показанные на рис. 2.7, д, е; – коэффициент затухания переходного процесса; – частота затухающих колебаний.

При значениях > 1 колебательное звено превращается в апериодическое звено второго порядка. К колебательным звеньям относятся RLC-цепи, колебательные контуры, гироскопические элементы, упругие механические передачи. Следует заметить, что рассмотренные звенья обладают самовыравниванием и считаются устойчивыми. Свойство самовыравнивания проявляется в том, что при ступенчатом изменении входной величины они самопроизвольно приходят в новое установившееся состояние с y (t ) = const.

Данное звено представляет собой частный случай колебательного звена при относительном коэффициенте затухания, равном нулю. Это имеет место, например, если в колебательной RLC-цепи положить R = 0. Графическое представление частотных и временных характеристик показано на рис. 2.8.

ДХ консервативного звена легко получить из характеристик колебательного, если положить = 0. В этом случае ДХ записываются в виде Рис. 2.8. Частотные и временные характеристики консервативного звена:

Выделяют три вида интегрирующих звеньев: идеальное, инерционное интегрирующее (с замедлением) и изодромное. ДХ этих звеньев приведены в табл. 2.6 и на рис. 2.9 – 2.11.

НаименоИнерционное характеристик Дифференциальное & уравнение точная АФЧХ ФЧХ Функция веса –180° Рис. 2.9. Частотные и временные характеристики идеального а – АФЧХ; б – АЧХ; в – ФЧХ; г – ЛАЧХ; д – переходная функция; е – функция веса m, то САУ является устойчивой.

Анализ устойчивости можно производить без вычисления корней характеристического уравнения системы. Правила, позволяющие делать выводы об устойчивости системы без вычисления корней характеристического уравнения, называются критериями устойчивости. Все применяемые критерии определяют условия, при которых корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости комплексной переменной р. В ряде случаев критерии устойчивости позволяют выяснить влияние параметров системы и ее структурных изменений на устойчивость. Математически различные виды критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения являются левыми. Наиболее широкое применение находят алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Критерии, которые позволяют определить, устойчива ли система, с помощью только алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называют алгебраическими.

Критерий Гурвица. Для применения данного критерия составляется n n матрица из коэффициентов характеристического уравнения. По главной диагонали в матрице размещаются элементы a1, a2,..., an. Затем столбцы матрицы дополняются снизу и сверху коэффициентами следующим образом:

M M M MMM M M

Если индекс коэффициента меньше нуля или больше п, а также при отсутствии данного коэффициента в характеристическом уравнении, на соответствующее место в матрице (2.97) записывается нуль.

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство a0 > 0 и определители Гурвица 1, 2,..., n были положительны.

Для характеристических уравнений с большим п порядок определителей возрастает, и практическое вычисление их обычным путем становится громоздким. В этих случаях можно использовать необходимое (но недостаточное) условие устойчивости, которое заключается в том, что в случае уравнения п-го порядка все коэффициенты an, a n 1,..., a0 должны быть положительны и не один из них не должен равняться нулю.

Пример 2.1. Используя критерий Гурвица, получим условия устойчивости для систем с n = 2, 3, 4.

или a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0.

Для случая n = 3, т.е. B( p ) = a3 p3 + a2 p 2 + a1 p + a0 = 0 из рассмотрения определителей Гурвица следует, что условия устойчивости имеют вид:

Если САУ имеет характеристическое уравнение четвертого порядка B( p ) = a4 p 4 + a3 p3 + a2 p 2 + a1 p + a0 = 0, то и условиями устойчивости являются:

Так как an > 0, то достаточно проверить, чтобы положительными были определители Гурвица от 1 до n 1.

Система находится на границе устойчивости, если определители Гурвица 1,..., n 1 положительны, а главный определитель an, n1 равен нулю.

Если an = 0, a n1 > 0, то один из корней характеристического уравнения равен нулю (система находится на границе апериодической устойчивости). В случае, когда an 0, а n1 = 0, два комплексно сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси и система находится на границе колебательной устойчивости. Следует заметить, что иногда матрицу Гурвица (2.97) записывают в другом виде, например,

M M M MMM M M

В этом случае система устойчива, если Полином (2.109) может быть записан в виде Если корни полинома не содержат положительных вещественных частей, то его называют полиномом Гурвица. Если же все корни имеют отрицательные вещественные части, то полином называется строгим по Гурвицу.

Критерий Льенара-Шипара является некоторым упрощением критерия Гурвица. Он формулируется следующим образом: если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы среди определителей Гурвица 1, 2,..., n были положительными все определители с четными индексами или все определители с нечетными индексами, т.е. должно выполняться или Применение алгебраических критериев для систем с характеристическими уравнениями выше четвертого порядка дает возможность определять устойчивость при заданных численных значениях коэффициентов, однако исследование влияния отдельных параметров системы на ее устойчивость встречает здесь значительные трудности.

Широкое распространение на практике получили частотные критерии устойчивости, которые позволяют обойтись без вычисления корней характеристического уравнения. В этих критериях исследуется уравнение характеристической кривой, получающейся заменой в (2.94) р на j Критерий Михайлова. В соответствии с данным критерием САУ будет устойчивой, если при возрастании частоты от до вектор B( j) повернется на угол n / 2. Другими словами, САУ устойчива, если годограф вектора B( j) при изменении частоты от 0 до + последовательно "обходит" п квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки).

На рис. 2.21, а показаны примеры годографов для устойчивых систем с n = 1, n = 2,..., n = 5. Так, при n = 2 изменение аргумента равно и годограф проходит через два квадранта. На рис. 2.21, б приведен годограф неустойчивой системы с n = 4. Система находится на границе устойчивости, если ее годограф пересекает начало координат, обходя при этом n 1 квадрантов. Здесь частота является одновременно корнем уравнений P () = 0 и Q() = 0.

На основе рассмотрения функций P (), Q() (0, ) формулируется критерий перемежаемости корней: если между двумя соседними корнями Q() = 0 лежит корень уравнения P () = 0 (или между двумя соседними корнями P () = 0 находится корень уравнения Q() = 0 ), и сума корней равна n, то система будет устойчива.

На рис. 2.22, а при n = 4 изображены кривые P (), Q(), соответствующие устойчивой системе, а на рис. 2.22, б – неустойчивой.

Критерий Найквиста (Найквиста-Михайлова или амплитудно-фазовый критерий устойчивости). Данный критерий позволяет делать вывод об устойчивости САУ с обратной связью на основе рассмотрения частотных характеристик разомкнутой системы.

Для разомкнутой САУ критерий формулируется следующим образом: САУ с включенной обратной связью будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы Wраз ( j) при возрастании частоты от 0 до не охватывает точки с координатами ( 1, j 0) (рис. 2.29, а, б). Заметим, что случай, представленный на рис. 2.23, а соответствует абсолютной устойчивости, а на рис. 2.23, б – относительной. Относительно устойчивая система при уменьшении передаточного коэффициента может стать неустойчивой. Если годограф проходит через точку ( 1, j 0) (рис. 2.23, в), то система находится на границе устойчивости, и если АФХ Wраз ( j) охватывает точку ( 1, j 0), то замкнутая САУ будет неустойчива (рис. 2.23, г).

В случае многоконтурных САУ с местными обратными связями и систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может быть неустойчивой. Здесь замкнутая САУ будет устойчивой, если АФХ Wраз ( j) охватывает точку ( 1, j 0) в положительном направлении n1 / 2 раз, где n1 – число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью для разомкнутой системы. За положительное направление принимается переход Wраз ( j) из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании, переход из нижней полуплоскости в верхнюю считается отрицательным.

Рис. 2.23. Годографы разомкнутой САУ для устойчивой системы в замкнутом состоянии (а, б), на границе устойчивости (в) и Часто используется следующая формулировка критерия: замкнутая САУ устойчива, если разность между положительными переходами Wраз ( j) отрезка действительной оси (, 1 ) равна ± n1 / 2. При этом, если Wраз ( j) начинается (при = 0 ) на отрезке действительной оси (, 1 ), то считается, что Wраз ( j) совершает при = 0 половину перехода.

В случае n1 = 0, т.е. при устойчивой или нейтрально устойчивой разомкнутой САУ, замкнутая система будет устойчивой, если число положительных и отрицательных переходов Wраз ( j) на отрезке (, 1 ) одинаково.

Важным достоинством критерия Найквиста-Михайлова является то, что он может применяться для исследования устойчивости по экспериментально полученным АФХ разомкнутой САУ или ее звеньев, а также делать оценки по качеству переходных процессов.

Для проверки устойчивости наряду с Wраз ( j) могут использоваться логарифмическая амплитудная характеристика Lраз () и логарифмическая фазовая характеристика раз () разомкнутой системы [1] (рис. 2.24).

Рис. 2.24. Логарифмические характеристики разомкнутой системы для Если точка пересечения Lраз () с осью нуля децибел (точка 1) лежит левее точки, где раз () = 180 o (точка 2), то замкнутая САУ будет абсолютно устойчива или относительно устойчива (рис. 2.24, а, б). Если точка 1 и 2 совпадают, то имеет случай колебательной границы устойчивости замкнутой системы (рис. 2.24, в), а если точка 1 расположена правее точки 2, то замкнутая САУ будет неустойчива (рис. 2.24, г).

Для обеспечения работоспособности САУ в процессе эксплуатаций важную роль играет создание при проектировании системы требуемого запаса устойчивости. Этот запас может оцениваться с использованием частотных и переходных характеристик.

На рис. 2.25, а приведены показатели запаса устойчивости по модулю и фазе, получаемые из рассмотрения годографа Wраз ( j) разомкнутой системы относительно критической точки ( 1, j 0). Запасом устойчивости по модулю называется минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической и ближайшей точкой пересечения годографа Wраз ( j) с действительной осью (точка 1), а минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку 2 пересечения годографа Wраз ( j) с окружностью единичного радиуса и отрицательной частью оси P ( j), называют запасом устойчивости по фазе.

Система обладает требуемым запасом устойчивости по модулю h и фазе, если годограф Wраз ( j) не заходит в заштрихованную область, выделенную на рис. 2.25, б, огибая ее снизу.

Если при анализе устойчивости используются логарифмические частотные характеристики (рис. 2.25, в), то запас устойчивости системы по модулю характеризует отрезок l = 20 lg h при частоте 1, соответствующей раз (1 )= –180°.

Запас устойчивости системы по фазе равен углу, определяемому по значению раз (1 ) и линией –180° (рис. 2.25, в).

Для определения запаса устойчивости САУ может использоваться также переходная характеристика y (t ), получаемая при отработке скачкообразного входного воздействия. Если переходной процесс колебательный, то запас устойчивости характеризуется показателем, который называемый перерегулированием. Перерегулирование рассчитывается по формуле здесь предполагается, что установившееся значение y ( ) после завершения переходного процесса, отлично от нуля.

Допустимое значение перерегулирования для САУ устанавливается на основе опыта эксплуатации подобных систем. Обычно считается, что запас устойчивости достаточен, если величина не более 10…30 %. Дополнительно к величине перерегулирования может задаваться допустимое число колебаний за время переходного процесса, оно не должно превышать 1…3.

При анализе качества работы САУ с обратной связью, в которой выходная величина y (t ) должна по возможности мало отличаться от входной x (t ) = y зад (t ) обычно используются тестовые (типовые) входные воздействия, которые неблагоприятны для системы. Если для тестового входного сигнала выходной сигнал удовлетворяет требуемым условиям, то с большей вероятностью можно предполагать, что y (t ) будет соответствовать этим условиям и при других воздействиях.

Наиболее часто в качестве тестовых сигналов используются ступенчатая функция, дельта-функция и другие, приведенные на рис. 2.26.

Если x(t ) = 1(t ), то изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях для одномерной линейной стационарной САУ имеет вид