«В. М. Марченко, Н. П. Можей, Е. А. Шинкевич ЭКОНОМЕТРИКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего ...»

А1 произвести ремонт своими силами; А2 ремонт будут выполнять приглашенные специалисты; А3 заменить оборудование. Вторым игроком здесь следует считать природу П комплекс внешних условий, в которых функционировало оборудование на протяжении k лет и которые определили три возможных состояния П1, П2 и П3, указанные в условии задачи. «Выигрышами» игрока А будут затраты, связанные с реализацией решений (чистых стратегий) А1, А2 и А3 и составляющие платежную матрицу (табл. 80).

Так как = 10; = 6, игра не имеет седловой точки и у игрока А нет доминируемых стратегий. Поскольку известны вероятности qj состояний природы П, то пользуемся критерием Байеса.

Находим средние «выигрыши» ai игрока А при каждой его чистой стратегии:

Оптимальной по Байесу будет чистая стратегия А1, т. к. именно при ней средний «выигрыш» достигает максимального значения:

Таким образом, руководству предприятия следует произвести ремонт своими силами, т. к. средние затраты при этом будут минимальными (5,2 ден. ед.).

Модели управления запасами Пример 18. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организационные издержки для одной партии составляют 20 тыс. ден. ед. Цена единицы товара равна 1 тыс. ден. ед., а издержки содержания телевизоров составляют 0,1 тыс. ден. ед. за один телевизор в год. Найти оптимальный размер партии, число поставок и продолжительность цикла.

Решение. По условию задачи = 2000; k = 20; s = 1; h = 0,1.

Общие издержки в течение года:

Оптимальный размер партии составляет 894 телевизора, число поставок 2,24, продолжительность цикла 163 дня.

Пример 19. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой видеомагнитофонов составляет 2000 шт. в год. Организационные издержки равны 20 тыс. ден. ед. Цена видеомагнитофона составляет 1 тыс. ден. ед., издержки хранения равны 0,1 тыс. ден. ед. в год в расчете на один видеомагнитофон. Запасы на складе пополняются со скоростью 4000 видеомагнитофонов в год. Производственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено q видеомагнитофонов.

Найти размер партии, который минимизирует все затраты.

Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение. Данная модель задачи является моделью производственных поставок со следующими параметрами: = 2000; k = 20;

h = 0,1; s = 1; = 4000.

График изменения запасов представлен на рис. 32.

Средний уровень запасов:

Уравнение издержек:

Решив уравнение Найдем оптимальные значения поставок, продолжительность поставки, продолжительность цикла:

За каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 видеомагнитофонов, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки 115 дней, продолжительность цикла 230 дней.

Сетевое планирование и управление Пример 20. Для организации производства и сбыта новой продукции необходимо выполнить комплекс работ (табл. 81).

С этой целью создана группа из R = 10 специалистов.

РабоОписание работы предшествующие житель- исполта заключение договоров 1. Составить сетевой график выполнения проекта.

2. Найти ранние и поздние сроки свершения событий и их резервы времени. Определить критический путь.

3. Определить ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Найти резервы времени работ (четыре типа).

4. Построить график Ганта и график интенсивности использования ресурса.

Решение. Составим сетевой график комплекса работ. Исходное событие (1) означает момент начала выполнения проекта. Работам А и Б не предшествуют никакие работы, следовательно, на графике они изображены дугами, выходящими из исходного события. Работе В предшествует работа Б, поэтому на графике дуга В непосредственно следует за дугой Б. Событие (2) означает момент окончания работы А и начала работ, которым она предшествует. Работе Д предшествуют работы А и В. На графике эта зависимость отражена с помощью введения фиктивной работы (2; 4). Аналогично с учетом взаимосвязей изображаются на графике (рис. 33) все оставшиеся работы. Завершающее событие (7) означает момент выполнения всего проекта.

Номера, присвоенные событиям (рис. 33), соответствуют правилам ранжирования. Работу, соединяющую соседние события с номерами i и j, теперь будем обозначать (i; j). В новых обозначениях работа В примет вид (3; 4), ее продолжительность t34 = 4.

Найдем ранний срок свершения каждого события:

Итак, завершающее событие (7) может свершиться лишь на шестнадцатый день от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта, оно определяется самым длинным полным путем. Ранний срок свершения события (7) совпадает с критическим временем: tр (7) = tкр.

Найдем поздний срок свершения каждого события:

tп (2) = min {tп (4) t24 ; tп (5) t25} = min {4 0; 10 3} = 4; tп (1) = 0.

Расчеты для данного примера приведены на рис. 34.

Вычисляем временные параметры работ примера и заносим результаты в табл. 82.

Получим критический путь из событий с нулевыми резервами:

Построим график Ганта (рис 35).

Из рис. 35 видно, что на промежутках (1; 2), (3; 4), (5; 6) имеющихся ресурсов в количестве R = 10 чел. недостаточно для удовлетворения потребности в них. Поэтому график подлежит корректировке с целью приведения сроков выполнения работ в соответствие с имеющимися трудовыми ресурсами.

ДЛЯ АУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

Занятие 4: 3А28; 3А29; 3А30.

Занятие 5: 3А36; 3А37; 3А38.

Занятие 6: 3А45; 3А46; 3А47.

Занятие 7: 3А56; 3А57; 3А58.

Занятие 8: 3А71; 3А72; 3А73.

6.1. ТРЕНИРОВОЧНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1А. По условным данным матрице коэффициентов прямых затрат А и вектору Yпл :

определить валовую продукцию первой отрасли и количество продукции, которое вторая отрасль будет поставлять первой отрасли в плановом периоде.

2А. По заданному сетевому графику (рис. 36) найти: 1) критическое время; 2) полный резерв времени работы (2; 6) и работы (3; 4).

3А+Б. Построить размеченный граф состояний устройства, записать систему уравнений Колмогорова, найти финальные вероятности и сделать анализ полученных решений. Устройство может находиться в одном из трех состояний: S0, S1, S2. Интенсивности потоков, переводящих устройство из состояния в состояние, приведены в табл. 83.

Интенсивность 4Б. Мастерская по ремонту обуви рассчитана на выполнение не более 10 тыс. заявок в год. Будем считать, что поток заявок выражается цифрами 4, 6, 8 и 10 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что прибыль от ремонта пары обуви составляет 10 ден. ед., а потери, вызванные отказом в ремонте из-за недостатка мощностей, оцениваются в 5 ден. ед., убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок составляют 4 ден. ед. в расчете на каждую пару. Используя различные критерии (параметр критерия Гурвица = 0,7), составить платежную матрицу и выяснить, какое решение о работе мастерской целесообразно принять, чтобы минимизировать потери.

1А. В справочное бюро аэропорта поступает в среднем 8 запросов за 1 мин. Заявки принимают 2 телефонистки. Средняя длительность разговора 0,5 мин. Изобразить граф состояний системы.

Установить все характеристики СМО.

2А. За бригадой закреплено 210 га пашни. Трудовые ресурсы составляют 2500 чел.-дней, запас минеральных удобрений 600 ц.

С 1 га посевов планируется получить 40 ц зерновых и 120 ц овощей.

Для обеспечения такой урожайности на 1 га зерновых культур необходимо внести 2 ц минеральных удобрений, на 1 га овощных культур 5 ц, а также затратить на 1 га посевов зерновых 7 чел.-дней, на 1 га посевов овощей 20 чел.-дней. Цены на зерновые и овощные культуры составляют 45 и 20 ден. ед. за 1 ц. Составить математическую модель задачи; найти такое сочетание посевных площадей зерновых и овощных культур, которое обеспечило бы максимум денежных поступлений от реализации произведенной продукции.

3А+Б. Для развития трех отраслей в плановом году необходимо произвести 100 ед. валовой продукции II отрасли, а для I и III отраслей выпустить в сферу конечного потребления соответственно 44 и 10 ед. конечной продукции. Матрица коэффициентов прямых затрат известна: А = 0 0,1 0.

Найти, чему равен валовой выпуск I отрасли и конечная продукция II отрасли.

4Б. Построить сетевой график, если он включает семь работ и при этом работы а3 и а4 выполняются после работы а1, работа а5 после работ а2 и а3, работа а6 может быть выполнена после работ а2 и а3, работа а7 после работ а4 и а5. Известны также продолжительности работ: а1 – 4 дн.; а2 – 6 дн.; а3 – 2 дн.; а4 – 6 дн.; а5 – 3 дн.; а6 – 3 дн.;

а7 – 5 дн. Найти критическое время выполнения всего проекта, построить линейный график выполнения работ проекта.

6.2. ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ 1. В модели межотрас- а) общий объем продукции отрасли i за данлевого баланса Xi обо- ный промежуток времени валовой выпуск б) объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью в процессе производства;

в) объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, объем конечного потребления;

матричной игры опрев) min min aij ; г) max min aij.

3. Наиболее раннее вре- а) минимальной длине пути из данного узмя наступления собы- ла в конечный;

тия равно: б) максимальной длине пути из данного д) минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла.

4. В модели задачи а) объем i-й продукции;

линейного программи- б) расход i-го ресурса на единицу j-й прорования (оптимального дукции;

распределения ресур- в) стоимость произведенной продукции;

сов) компоненты векто- г) ни один из приведенных ответов не верен.

ра С = (с1,..., сn) обозначают:

5. Одна работница об- а) многоканальную с ограниченной очеслуживает 30 ткацких редью;

станков, обеспечивая их б) одноканальную с неограниченной очезапуск после разрыва редью;

нити. Модель такой си- в) одноканальную с ограниченной очередью;

стемы массового обслу- г) многоканальную с неограниченной очеживания можно охарак- редью;

теризовать как: д) систему с отказами.

6. В основной модели а) прямо пропорционален величине спроса управления запасами на продукт за период, обратно пропорциооптимальный размер нален удельным издержкам хранения за обратно пропорционален удельным издержкам хранения за период;

на продукт за период и удельным издержкам хранения за период, обратно пропорционален стоимости заказа;

г) прямо пропорционален стоимости заказа и удельным издержкам хранения за период, обратно пропорционален величине д) прямо пропорционален удельным издержкам хранения за период, обратно пропорционален величине спроса на продукт 1. В модели межотрас- а) общий объем продукции отрасли i за левого баланса Xi обо- данный промежуток времени валовой б) объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью в процессе производства;

в) объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, объем конечного потребления;

2. Указать, какой из сле- а) p = (0; 3/2; 0; –1/2; 0);

дующих векторов яв- б) p = (1/3; 1/3; 0; 1/3; 0);

ляется некоторой сме- в) p = (0; 1; 0; 0);

шанной стратегией мат- г) p = (1/4; 3/4; 0; 0).

ричной игры:

3. Для того чтобы со- а) сократить время выполнения каждой кратить время выпол- работы на критическом пути;

нения проекта, необхо- б) сократить время выполнения одной радимо: боты на критическом пути;

4. В модели задачи ли- а) стоимость произведенной продукции;

нейного программиро- б) расход i-го ресурса на единицу j-й прования (оптимального дукции;

распределения ресур- в) объем i-й продукции;

сов) компоненты век- г) ни один из приведенных ответов не ветора – решения задачи рен.

обозначают:

5. Ремонт вышедших из а) многоканальную с ограниченной очестроя компьютеров осу- редью;

ществляют 3 специали- б) одноканальную с неограниченной очеста, работающих одно- редью;

временно и независимо в) одноканальную с ограниченной очередруг от друга. Модель дью;

такой системы массо- г) многоканальную с неограниченной очевого обслуживания мо- редью.

жно охарактеризовать как:

6. Оптимальный раз- a) Эрланга;

мер заказа в идеальной б) Уилсона;

модели управления за- в) Колмогорова;

пасами вычисляется по г) Маркова.

формуле:

ЛИТЕРАТУРА

1. Дегтярев, Ю. И. Исследование операций: учебник для вузов по специальности АСУ / Ю. И. Дегтярев. – М.: Высшая школа, 1986. – 320 с.

2. Кузнецов, А. В. Высшая математика. Математическое программирование: учебник для вузов / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод. – Минск: Вышэйшая школа, 1994. – 351 с.

3. Кузнецов, А. В. Руководство к решению задач по математическому программированию: учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Н. И. Холод, Л. С. Костевич; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Вышэйшая школа, 2001. – 448 с.

4. Курицкий, Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 / Б. Я. Курицкий. – СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1997. – 384 с.

5. Марченко, В. М. Методы оптимизации и статистической обработки результатов измерений: учеб. пособие для студентов физ.-хим. и инж.-техн. специальностей / В. М. Марченко, Т. Б. Копейкина. – Минск: БГТУ, 2007. 140 с.

6. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: учеб. пособие / И. Л. Акулич [и др.]. – Минск: БГЭУ, 2003. – 348 с.

7. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н. И. Холод [и др.]; под общ. ред. А. В. Кузнецова. 2-е изд. – Минск: БГЭУ, 2000. – 412 с.

8. Альсевич, В. В. Математическая экономика. Конструктивная теория: учеб. пособие для студентов экон. специальностей вузов / В. В. Альсевич. Минск: ДизайнПРО, 1998. 240 с.

9. Вентцель, Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология: учеб. пособие / Е. С. Вентцель. – М.: Дрофа, 2004. 208 с.

10. Герасимович, А. И. Математическая статистика: учеб. пособие для инж.-техн. и экон. специальностей вузов / А. И. Герасимович. – Минск: Вышэйшая школа, 1983. 279 с.

11. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2006. 479 с.

12. Гурский, Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для техн. и экон. вузов / Е. И. Гурский. 3-е изд., перераб. – Минск: Вышэйшая школа, 1984. 223 с.

13. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 543 с.

14. Маталыцкий, М. А. Теория массового обслуживания и ее применение: учеб. пособие / М. А. Маталыцкий, О. М. Тихоненко, А. В. Паньков. – Гродно: ГрГУ, 2008. 771 с.

15. Мацкевич, И. П. Высшая математика: теория вероятностей и математическая статистика / И. П. Мацкевич, Г. П. Свирид. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. 272 с.

16. Минюк, С. А. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие / С. А. Минюк, Е. А. Ровба, К. К. Кузьмич. – Минск: ТетраСистемс, 2002. – 432 с.

17. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д. Т. Письменный. – М.: Айриспресс, 2004. 256 с.

18. Пыжкова, О. Н. Линейное программирование: учеб.-метод.

пособие для студентов специальностей 1-36 05 01 «Машины и оборудование лесного комплекса», 1-46 01 01 «Лесоинженерное дело», 1-46 01 02 «Технология деревообрабатывающих производств», 1-75 01 01 «Лесное хозяйство», 1-75 02 01 «Садовопарковое строительство» / О. Н. Пыжкова, Л. Д. Яроцкая.

Минск: БГТУ, 2007. 70 с.

19. Рыжиков, Ю. И. Управление запасами / Ю. И. Рыжиков. – М.: Наука, 1969. – 344 с.

20. Харин, Ю. С. Основы имитационного и статистического моделирования: учеб. пособие / Ю. С. Харин [и др.]; под общ. ред.

Ю. С. Харина Минск: ДизайнПРО, 1997. 287 с.

21. Шинкевич, Е. А. Экономико-математические методы и модели: практикум для студентов специальностей 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии», 1-25 01 08 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1-26 02 02 «Маркетинг», 1-26 «Менеджмент» / Е. А. Шинкевич, В. И. Янович. – Минск БГТУ, 2003. 78 с.

22. Экономико-математические методы и модели: учеб.метод. пособие по выполнению расчетных заданий с использованием табличного процессора Excel для студентов экономических специальностей / авт.-сост. Е. А. Шинкевич. – Минск:

БГТУ, 2005. 72 с.

23. Янович, В. И. Экономико-математические методы и модели: лабораторный практикум для студентов специальностей 1-25 01 07 «Экономика и управление», 1-25 01 08 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1-26 02 02 «Маркетинг», 1-26 «Менеджмент» / В. И. Янович, Н. В. Балашевич. – Минск: БГТУ, 2002. 66 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Учебная программа

1.1. Тематический план курса

1.2. Содержание дисциплины

2. Конспект лекций

2.1. Модели оптимального планирования

2.1.1. Задачи и этапы экономико-математического моделирования

2.1.2. Модели оптимального планирования в промышленности и АПК

2.1.3. Модели финансов и кредита. Модели в коммерческой деятельности

2.2. Модели межотраслевого баланса

2.2.1. Основные понятия

2.3.1. Основные понятия

2.3.2. Аналитический расчет характеристик СМО. Уравнения Колмогорова

2.3.3. СМО с отказами

2.3.5. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди

2.4. Элементы теории игр

2.4.1. Основные понятия

2.4.3. Решение матричных игр 22

2.4.4. Статистические игры

2.5. Модели управления запасами

2.5.1. Основные понятия

2.5.5. Точка заказа

2.6. Сетевое планирование и управление

2.6.1. Основные понятия

2.6.2. Временные параметры сетевого графика.................. 2.6.3. Построение линейного графика (графика Ганта).

Учет потребностей в ресурсах

3. Практикум

3.1. Занятие 4. Модели межотраслевого баланса

3.2. Занятие 5. Методы и модели массового обслуживания....... 3.3. Занятие 6. Элементы теории игр

3.4. Занятие 7. Модели управления запасами

3.5. Занятие 8. Сетевое планирование и управление................. 4. Лабораторный практикум

4.1. Лабораторная работа «Модели распределения ресурсов.

Элементы теории двойственности»

4.2. Лабораторная работа «Экономико-математические методы и модели теории игр»

4.3. Лабораторная работа «Модели межотраслевого баланса» 4.4. Лабораторная работа «Элементы сетевого планирования и управления»

5. Теоретический и практический минимум

5.1. Теоретический минимум

5.2. Практический минимум

5.3. Минимум для аудиторной работы

6. Приложения

6.1. Тренировочная контрольная работа

6.2. Варианты тестовых заданий

Литература

ЭКОНОМЕТРИКА

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Часть 2. Экономико-математические Подписано в печать 01.02.2012. Формат 60841/16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Издатель и полиграфическое исполнение:

«Белорусский государственный технологический университет».