E.С. Вентцель

л.А. ОВчАрОВ

ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

Рекомендовано Министерством образования и науки

Российской Федерации

в качестве учебного пособия

для студентов

высших технических учебных заведений

Пятое издание, стереотипное УДК 519.21 ББК 22.171 В29 Рецензент Н.А. Кузнецов, директор Института проблем передачи информации РАН, академик Вентцель Е.С.

В29 Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учебное пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — 5-е изд., стер. — М. :

КНОРУС, 2010. — 480 с.

ISBN 978-5-406-00565- В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т. д. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой.

Второе издание вышло в 2000 г.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом случайных процессов.

УДК 519.21 ББК 22. Вентцель Елена Сергеевна Овчаров Лев Александрович ТЕоРия ВЕРояТНоСТЕй и ЕЕ иНжЕНЕРНыЕ пРиложЕНия Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.003365.04.09 от 01.04.2009 г.

Изд. № 2184. Подписано в печать 30.10.2009. Формат 6090/16.

Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 30,0. Уч.изд. л. 14,5. Тираж 2000 экз. Заказ № ООО «Издательство КноРус».

129110, Москва, ул. Большая Переяславская, 46, стр. 7.

Тел.: (495) 680-7254, 680-0671, 680-1278.

E-mail: [email protected] http://www.knorus.ru Отпечатано в ОАО «Московская типография № 2».

129085, Москва, пр. Мира, 105.

© Вентцель Е.C. (наследники), Овчаров Л.А., © ЗАО «МЦФЭР», ISBN 978-5-406-00565-1 © ООО «Издательство КноРус», Оглавление предисловие....................................... Введение......................................... Глава 1. основные понятия теории вероятностей 1.1. Случайное событие. Его вероятность................ 1.2. Непосредственный подсчет вероятностей............. 1.3. Частота или статистическая вероятность события........ Глава 2. Аксиоматика теории вероятностей. правила сложения и умножения вероятностей и их следствия 2.1. Элементарные сведения из теории множеств........... 2.2. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правило сложения вероятностей................... 2.3. Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.............................. 2.4. Примеры применения основных правил теории вероятностей.............................. 2.5. Формула полной вероятности.................... 2.6. Теорема гипотез (формула Бейеса).................. Глава 3. Случайные величины. их законы распределения 3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины....... 3.2. Функция распределения случайной величины.

Ее свойства................................ 3.3. Функция распределения дискретной случайной величины.

Индикатор события.......................... 3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.............................. 3.5. Смешанная случайная величина.................. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин 4.1. Роль и назначения числовых характеристик.

Математическое ожидание случайной величины........ 4.2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение............................... Глава 5. Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин •Оглавление Глава 6. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин Глава 7. Системы случайных величин (случайные векторы) 7.2. Функция распределения системы двух случайных 7.3. Система двух дискретных случайных величин.

7.4. Система двух непрерывных случайных величин.

7.5. Зависимые и независимые случайные величины.

7.6. Числовые характеристики системы двух случайных 7.7. Условные числовые характеристики системы случайных 7.8. Закон распределения и числовые характеристики Глава 8. Числовые характеристики функций случайных величин 8.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных 8.3. Применение теорем о числовых характеристиках 8.4. Числовые характеристики часто встречающихся 8.5. Числовые характеристики суммы случайного числа 8.6. Числовые характеристики минимальной и максимальной 8.7. Числовые характеристики модулей функций случайных 8.9. Характеристическая функция случайной величины и ее Глава 9. Законы распределения функций случайных величин 9.1. Закон распределения функции одного случайного 9.2. Получение случайной величины с заданным распределением 9.3. Законы распределения функции двух случайных 9.4. Закон распределения суммы двух случайных величин.

9.5. Закон распределения функции нескольких случайных величин. Композиция нескольких законов 9.6. Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых 9.7. Законы распределения функций от нормально 9.8. Вероятностная смесь распределений. Закон распределения суммы случайного числа случайных Глава 10. предельные теоремы теории вероятностей 10.2. Центральная предельная теорема................. Глава 11. Элементы математической статистики 11.2. Первичная статистическая совокупность. Ее упорядочение.

11.6. Оценка числовых характеристик случайных величин по 11.7. Точность и надежность оценок числовых характеристик 11.9. Проверка значимости расхождений между двумя Книга представляет собой систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических инженерных приложений. Интересы этих приложений определяют и отбор материала, и стиль изложения, и его методическую основу. Книга изобилует примерами решения практических задач, требующих применения вероятностных методов и относящихся к самым различным специальностям:

кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т. п. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой, единой системой подходов.

Эта книга относительно небольшого объема написана на базе лекций по теории вероятностей, читанных авторами в различных втузах на протяжении последних десятилетий. Она предназначена для инженеров и научных работников разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные со случайными явлениями и требующие вероятностного подхода. Книга адресована широкому кругу читателей, она может быть использована и в учебном процессе студентами и преподавателями втузов, и как пособие для самообразования. Изложение ведется на уровне, доступном читателю, знакомому с математикой в объеме обычного втузовского курса. Там, где по ходу дела приходится пользоваться более сложными понятиями, они поясняются.

Главный упор делается не на тонкости математического аппарата, а на методическую сторону вопроса и на непосредственные практические приложения. Многолетний опыт авторов в преподавании теории вероятностей и смежных с ней дисциплин во втузах, а также обширный опыт применения вероятностных методов в самых различных областях инженерной практики показывает, что именно такой, а не формальный подход к изложению теории вероятностей больше всего пригоден тем, для кого изучение теории вероятностей не самоцель, а средство решения конкретных инженерных задач и примеров. Окончание решения примера или задачи отмечается знаком ().

Вместе с тем, авторы стремились нигде не поступаться точностью формулировок и должной математической строгостью и изложить маПредисловие териал в соответствии с современным уровнем развития науки о случайных явлениях.

В книгу не вошли теория случайных процессов, теория массового обслуживания, специальные главы математической статистики и их инженерные приложения. Ограниченный отбор материала в данную книгу определялся тем, что авторы предполагают по каждому из указанных выше разделов написать отдельное руководство, где, так же как и здесь, основное внимание будет уделено инженерным приложениям.

Авторы приносят глубокую благодарность академику АН СССР В. С. Пугачеву и профессору В. Н. Тутубалину за ценные советы и поддержку, которую они оказали при составлении проекта книги; членукорреспонденту АН СССР Н. А. Кузнецову, любезно согласившемуся отрецензировать рукопись и сделавшему ряд полезных замечаний; доценту Г. В. Данилову, оказавшему авторам большую помощь при подготовке книги к изданию, а также доктору физико-математических наук А. Д. Вентцелю за ряд ценных предложений.