«ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

УДК 519.21

Демичев Вадим Петрович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

ОТ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор А. В. Булинский Москва 2013 2 Оглавление Введение Глава 1. Ковариационные и моментные оценки для слабо зависимых случайных полей 1.1 Ассоциированность случайных полей и родственные понятия... 1.2 Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин.................................... 1.3 ЦПТ для эмпирических функций распределения.......... 1.4 Моментная оценка для сумм (BL, )-зависимых случайных величин 1.5 ФЦПТ для (BL, )-зависимых случайных величин......... Глава 2. Предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств случайных полей 2.1 ЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей............................ 2.2 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей............................ 2.3 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств квазиассоциированных случайных полей.................. Глава 3. Предельные теоремы для функций от случайных мер 3.1 Обобщение ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам.. 3.2 ФЦПТ для интегралов по случайным мерам............ 3.3 ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса................................ 3.4 ФПТ для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым полями дробового шума... 3.5 Предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса... Заключение Список литературы Введение Исследование разнообразных функций от случайных полей играет важную роль в современной теории вероятностей. При этом многие теоретические проблемы и прикладные задачи требуют рассмотрения нелинейных функций, что часто сопряжено со значительными трудностями. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при изучении эмпирических распределений, разнообразных непараметрических статистик, а также экскурсионных множеств. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке техники получения предельных закономерностей для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей. Установленные результаты применяются к обобщению ряда известных теорем теории вероятностей и случайных процессов.

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования.

Во введении дается краткий обзор содержания диссертации и проводится сопоставление полученных результатов с предшествующими. При этом точные формулировки доказанных утверждений отнесены в основную часть работы, а во введении указываются номера соответствующих результатов и формул.

Начиная с 80-х годов прошлого века активно исследуются случайные поля, обладающие свойством ассоциированности или каким-либо родственным типом зависимости. Интерес к ним обусловлен с одной стороны простотой проверки этого свойства для широкого класса случайных объектов, а с другой наличием развитой техники получения предельных теорем для таких полей.

В этой связи укажем на монографию А. В. Булинского и А. П. Шашкина [10].

Ассоциированность позволяет устанавливать множество предельных закономерностей при наложении ограничений исключительно на моменты рассматриваемого поля и на его ковариационную функцию. Так, например, согласно теореме Ньюмена [82] строго стационарное ассоциированное случайное поле = {k, k Zd } L2 удовлетворяет центральной предельной теореме (ЦПТ), если выполнено условие конечной восприимчивости (1.6), т.е. его ковариационная функция суммируема. Ч. Ньюменом также была выдвинута гипотеза, что вместо (1.6) достаточно потребовать всего лишь, чтобы функция K, определяn N, была медленно меняюемая соотношением K (n) = n cov(0, k ), щейся на бесконечности. Однако через четыре года данная гипотеза была опровергнута в работе Н. Херрндорфа [69]. Позднее А. П. Шашкин [38] показал, что требование выполнения условия конечной восприимчивости является в определенном смысле оптимальным. Наконец, в 2011-м году А. В. Булинским [7] был установлен критерий, обеспечивающий справедливость ЦПТ для положительно ассоциированных случайных полей с медленно меняющейся функцией K.

Доказанная в работе А. В. Булинского и Э. Шабанович [9] ковариационная оценка (1.2) для липшицевых функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных полей является основным инструментом, позволяющим устанавливать предельные теоремы для таких полей. В последствии квадратично интегрируемые случайные поля, удовлетворяющие неравенству (1.2), были названы А. В. Булинским и Ш. Сюкэ [53] квази-ассоциированными (QA).

Оказалось, что на класс QA полей можно распространить множество предельных результатов, доказанных ранее в предположении ассоциированности. В [53] был также определен класс (BL, )-зависимых случайных полей, расширяющий класс квази-ассоциированных полей, заданных на целочисленной решетке и удовлетворяющих условию конечной восприимчивости. (BL, )-зависимые поля часто возникают при рассмотрении липшицевых фукнций от элементов QA полей, причем как представляющие самостоятельный интерес случайные объекты, так и как аппроксимации некоторых нелипшицевых функций от наборов величин, входящих в QA поле.

Если элементы исследуемого поля представимы в виде нелипшицевой функции от элементов положительно или отрицательно ассоциированного поля, то задача проверки условия конечной восприимчивости является нетривиальной и обычно требует применения различных приемов аппроксимации. В случае, когда рассматриваются индикаторные функции, для ее решения можно использовать ковариационную оценку, доказанную в работах И. Багай и Б. Пракаса-Рао [41], а также Хао Ю [101], и имеющую вид (1.7). В дальнейшем эта оценка была обобщена в статье П. Матулы и М. Зиемба [77] на случай неограниченности плотностей рассматриваемых случайных величин. П. Матула [76] также доказал несколько ее уточнений при наложении на характер зависимости случайных величин X и Y (фигурирующих в (1.7)) достаточно жестких ограничений. Оценка (1.7) играет основополагающую роль при доказательстве предельных теорем во множестве работ, посвященных анализу асимптотического поведения самых разных случайных объектов. В частности, она имеет ряд приложений к теории непараметрических статистик. Для семейств независимых величин многие их свойства хорошо исследованы (см., напр., [31] и там же ссылки), однако перенос классических результатов на случай зависимых величин часто сопряжен со значительными трудностями. В предположении ассоциированности оценка (1.7) позволила получить варианты ЦПТ, например, для U -статистики [61] и T -статистики [62]. Отметим, что величина показателя степени в правой части (1.7) напрямую влияет на ограничения, которые приходится налагать на скорость убывания на бесконечности ковариационной функции рассматриваемого случайного поля. В данной работе мы показываем, что показатель степени может быть сколь угодно близок к 1/2. Более того, полученная нами оценка является оптимальной с точностью до постоянного множителя.

В качестве примера применения доказанной нами ковариационной оценки мы ослабляем ограничения на скорость убывания ковариационной функции ассоциированной случайной последовательности в ЦПТ для эмпирических функций распределения, полученной Хао Ю [101]. Подобные варианты ЦПТ играют важную роль в математической статистике. Среди результатов для случайных полей со структурой зависимости типа ассоциированности следует отметить также функциональную центральную предельную теорему (ФЦПТ) в пространстве Скорохода для эмпирических функций распределения, доказанную вначале Хао Ю [101], и в дальнейшем обобщенную в работах К.-М. Шао и Хао Ю [94] и С. Луиши [75]. П. Оливейрой и Ш. Сюкэ [88], а затем В. Морелем и Ш. Сюкэ [80] исследовались и ФЦПТ для эмпирических функций распределения в пространствах интегрируемых функций.

В первой главе мы также доказываем (теорема 1.4.1) оценку для Lp норм сумм мультииндексированных (BL, )-зависимых случайных величин, взятых по многомерным блокам. Подобные моментные оценки находят широкое применение при анализе предельного поведения траекторий случайных полей. Так, например, на них опирается ряд методов доказательства принципов инвариантности. Для ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также (BL, )-зависимых полей результаты в этой области были получены Т. Биркелом [44], А. В. Булинским [5], К.-М. Шао и Хао Ю [94], А. П. Шашкиным [37], Т. Кристофидесом и Е. Ваггелату [55], А. В. Булинским и А. П. Шашкиным [51], М. А. Вронским [12]. Отметим также моментную оценку Н. Ю. Крыжановской [25] для сумм по произвольным множествам, доказанную с применением методов секционирования из [28] и [4]. Установленный нами результат обобщает оценку из [94]. Кроме того, одно из его следствий является обобщением моментного неравенства из [51].

Полученная в диссертации моментная оценка применяется к доказательству ФЦПТ типа Донскера-Прохорова для (BL, )-зависимых случайных полей. Задачи, связанные с исследованием подобных ФЦПТ, образуют крупную область современной теории случайных процессов. Толчком к рассмотрению так называемых слабых принципов инвариантности послужила появившаяся в 1946-м году работа П. Эрдеша и М. Каца [64], в которой доказывалась сходимость распределений четырех функционалов от процессов частных сумм независимых случайных величин к распределениям соответствующих функционалов от броуновского движения. В общей постановке варианты ФЦПТ были установлены М. Донскером [63] и Ю. В. Прохоровым [32]. В дальнейшем было доказано множество подобных утверждений для случайных полей c тем или иным характером зависимости. Так, например, для случайных величин, обладающих свойством перемешивания, результаты, относящиеся к принципу инвариантности, изложены в монографии П. Биллингсли [3]. Рассмотрению ассоциированных, положительно или отрицательно ассоциированных, а также (BL, )-зависимых полей посвящены работы Ч. Ньюмена и А. Райта [84], Булинского и М. Кина [49], Л.-К. Жанга и Дж. Вена [102], А. П. Шашкина [36], А. В. Булинского и А. П. Шашкина [10]. Результаты такого рода также установлены А. В. Булинским и Э. Шабанович [9]. В диссертации удалось обобщить одновременно варианты ФЦПТ из [49] и [10] (теорема 5.1.5, (д)).

Изучение различных геометрических характеристик случайных поверхностей является одной из самых динамично развивающихся областей современной стохастической геометрии, см., напр., труд Р. Адлера и Дж. Тэйлора [39] и там же ссылки. Особое место в рамках данной теории занимает исследование свойств экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей, см., напр., недавнюю книгу Ж.-М. Азаиса и М. Вшебора [40]. В монографии Н. Н. Леоненко и А. В. Иванова [26] среди прочих результатов была установлена ЦПТ для объемов экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, заданных на последовательности расширяющихся шаров Доказательство этого результата было проведено с помощью техники, основанной на разложении рассматриваемой функции (в данном случае эта функция индикатор) по системе полиномов Чебышева-Эрмита. В дальнейшем ряд результатов, касающихся свойств экскурсионных множеств гауссовских случайных полей, был получен в работах Д. Н. Запорожца, И. А. Ибрагимова, А. П. Шашкина и Д. Мешенмозера (см., напр., [20], [30], [95]). В 2012-м году А. В. Булинским, Е. Сподаревым и Ф. Тиммерманном [52] был разработан новый метод, позволивший получить ЦПТ для объемов экскурсионных множеств QA полей. Существенную роль при этом сыграло понятие (BL, )-зависимости случайных полей, заданных на пространстве Rd, предложенное А. В. Булинским в [48]. Отметим также статью Д. Мешенмозера и А. П. Шашкина [78], в которой доказывается ФЦПТ в пространстве Скорохода D(R) для объемов экскурсионных множеств, индексированных уровнем экскурсии u R. Эта теорема представляет собой аналог ФЦПТ для эмпирических функций распределения, только вместо последовательности случайных величин в ней рассматривается некоторое случайное поле на Rd.

Во второй главе диссертации доказаны три предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств строго стационарных случайных полей. Первая из них (теорема 2.1.1) представляет собой вариант ЦПТ из [52] для ассоциированных полей. Замена требования квази-ассоциированности более жестким условием ассоциированности позволила применить полученную в первой главе диссертации ковариационную оценку для индикаторных функций и, таким образом, ослабить ограничения, налагаемые на ковариационную функцию исследуемого случайного поля. Вторая предельная теорема (теорема 2.2.1) является функциональным вариантом первой. Рассматриваются объемы экскурсионных множеств на блоках (0, n1 t1 ] · · · (0, nd td ], t = (t1,..., td ) [0, 1]d, n = (n1,..., nd ) Nd, и доказывается их сходимость по распределению в пространстве непрерывных функций C([0, 1]d ) при n (в секвенциальном смысле). Наконец, мы также доказываем подобную ФЦПТ и для QA случайных полей (см. теорему 2.3.1). Отметим, что обе ФЦПТ установлены при тех же ограничениях на ковариационную функцию случайного поля, что и соответствующие ЦПТ. Их доказательства опираются на моментную оценку для (BL, )-зависимых случайных полей из первой главы диссертации и теорему Морица [81].

Многие годы активно развивается теория дифференциальных уравнений с частными производными, начальные данные для которых задаются некоторыми случайными объектами. Уравнение Бюргерса является одним из наиболее интенсивно исследуемых. Известно, что с помощью так называемой подстановки Хопфа-Коула его можно свести к уравнению теплопроводности, так что решение задачи Коши для уравнения Бюргерса представимо в явном виде как отношение двух интегралов с определенными ядрами. Данное уравнение описывает множество физических явлений (см., напр., [13]), причем немаловажную роль играют модели, в которых начальный потенциал задается некоторым стационарным случайным полем {x, x Rd }. Так, например, подобные стохастические конструкции возникают при анализе крупномасштабного строения Вселенной. Исследованию асимптотических свойств преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными посвящены работы М. Розенблатта, А. В. Булинского, С. А. Молчанова, Я. Г. Синая, Д. Сургаилиса, В. Войчинского, Н. Н. Леоненко, Ю. Ю. Бахтина и многих других (см., напр., [91], [45], [8], [96], [46], [47], [97], [73], [1], [2], [98], [74]). При этом часто задача анализа асимптотики решений сводится к получению ЦПТ для интегралов от определенных гладких функций по случайной мере M (dx) = ex dx. В третьей главе диссертации установлен ряд ЦПТ и ФЦПТ для интегралов по случайным мерам, которые затем применяются к обобщению ФЦПТ Бахтина для решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.

В первом параграфе третьей главы доказывается обобщение ЦПТ Эванса [66] для интегралов от ограниченных интегрируемых функций по стационарным квадратично интегрируемым случайным мерам. Потребность в таком результате обусловлена желанием иметь возможность применить подобную ЦПТ к мерам вида M (dx) = F (x )dx (где F неотрицательная липшицева функция) для достаточно широкого класса квази-ассоциированных случайных полей, в то время как ЦПТ Эванса применима только к ассоциированным случайным мерам. Во втором параграфе рассматриваются интегралы по случайным мерам от гладких функций с параметром. При этом предложен новый метод оценки второго момента приращений подобных интегралов на блоках, позволяющий установить для них ФЦПТ при весьма широких ограничениях на рассматриваемую меру и интегрируемую функцию. Наконец, в третьем параграфе с помощью этой ФЦПТ выводится обобщение теоремы Бахтина.

Важным примером квадратично интегрируемой случайной меры является пуассоновский точечный процесс и его различные модификации. В четвертом параграфе в качестве начальных потенциалов в задаче Коши для уравнения Бюргерса рассматриваются порожденные им случайные поля дробового шума. Подобная модель изучалась в работах А. В. Булинского [45], [46], А. В. Булинского и С. А. Молчанова [8], Д. Сургаилиса и В. Войчинского [97], а также других исследователей. Распределение пуассоновского точечного процесса характеризуется его интенсивностью. Мы рассматриваем случай, когда интенсивность равна натуральному n, и устанавливаем функциональную предельную теорему (ФПТ) для соответствующих решений уравнения Бюргерса при n. При этом интересно отметить, что функциональную сходимость удалось доказать не только в пространстве непрерывных функций, но и получить более сильный результат в пространстве гладких функций.

В пятом параграфе третьей главы рассматривается дважды стохастический пуассоновский процесс Z = {Z(t), t 0}, называемый также процессом Кокса, и некоторая последовательность случайных величин X = {Xn, n N}, не зависящая от Z. В недавних работах В. Ю. Королева и соавторов ([22], [23]) исследуется предельное поведение макс-обобщенного процесса Кокса {maxk=1,...,Z(t) Xk, t 0} в случае, когда X состоит из независимых одинаково распределенных величин. Этот процесс имеет ряд приложений к теории риска (см. монографию [24]). В диссертации рассмотрена более общая модель, когда случайные величины Xn, n N, вообще говоря, зависимы, и распределение Xn может зависеть от n. Оказывается, что если для их максимумов Mn = maxk=1,...,n Xk справедлива определенная предельная теорема при n, то можно без каких-либо дополнительных ограничений на распределение X получить предельный результат для соответствующих макс-обобщенных процессов Кокса.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [14]-[19] и [58]-[60] (без соавторов).

Обозначения и сокращения. Все рассматриваемые случайные объекты предполагаются заданными на полном вероятностном пространстве (, F, P).

Сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю, а произведение единице.

В работе используются следующие общепринятые обозначения:

множество неотрицательных целых чисел, меньших q N;

множество неотрицательных действительных чисел;

·, · евклидово скалярное произведение;

|A| число элементов конечного множества A, либо объем измеримого множества A Rd ;

B(E) борелевская -алгебра топологического пространства E;

EX или E(X) математическое ожидание случайной величины X;

VarX или Var(X) дисперсия случайной величины X;

X Y или X = Y совпадение законов распределения случайных элементов X и Y ;

p [1, ];

норма измеримой действительной функции f на Rd в пространстве Lp (Rd ) = Lp (Rd, B(Rd ), mes), p [1, ], где mes мера Лебега;

PA случайное поле положительно ассоциировано;

NA случайное поле отрицательно ассоциировано;

QA случайное поле квази-ассоциировано;

(BL, ) случайное поле является (BL, )-зависимым;

Lp элементы случайного поля принадлежат пространству Lp ;

ЦПТ центральная предельная теорема;

ФЦПТ функциональная центральная предельная теорема;

ФПТ функциональная предельная теорема;

ф.р. функция распределения;

Благодарности. Автор очень признателен профессору А. В. Булинскому за постановку задач, постоянное внимание и неоценимую помощь в работе. Автор также благодарен доценту А. П. Шашкину за полезные замечания.

Глава 1. Ковариационные и моментные оценки для слабо В данной главе исследуются ковариационные и моментные оценки для определенных классов слабо зависимых случайных полей, а также даются приложения этих оценок к выводу предельных теорем для таких полей. Основными результатами главы являются теоремы 1.2.1 и 1.2.2, посвященные доказательству оценки ковариации индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин и проверке ее оптимальности, теорема 1.4.1, обобщающая ряд известных ранее моментных оценок для сумм слабо зависимых случайных полей, и теорема 1.5.1, обобщающая ФЦПТ Булинского-Кина. Результаты данной главы применяются далее в главе 2.

1.1. Ассоциированность случайных полей и родственные понятия Напомним несколько основных понятий.

Определение 1.1.1 ([65]). Семейство случайных величин = {t, t T } называется ассоциированным (пишут A), если для любых конечных множеств I = {t1,..., tn } T, J = {s1,..., sm } T и ограниченных покоординатно неубывающих функций F : Rn R и G : Rm R выполнено неравенство Определение 1.1.2 ([83]). Семейство = {t, t T } слабо ассоциировано или положительно ассоциировано (пишут PA), если соотношение (1.1) справедливо для любых конечных множеств I = {t1,..., tn } T, J = {s1,..., sm } T таких, что I J =, и ограниченных покоординатно неубывающих функций F : Rn R и G : Rm R.

Определение 1.1.3 ([70]). Семейство = {t, t T } отрицательно ассоциировано (пишут NA), если левая часть (1.1) неположительна, когда I, J и F, G удовлетворяют условиям из определения 1.1.2.

Будем также говорить, что случайный вектор = (1,..., n ), n N, обладает одним из перечисленных выше типов зависимости, если этим свойством обладает множество случайных величин, составленное из его компонент.

Очевидно, что ассоциированность семейства случайных величин влечет положительную ассоциированность. В то же время обратное утверждение неверно даже для двухэлементных семейств (см. [65]). Нетрудно показать, что система независимых случайных величин является (см., напр., [10], теорема 1.1.8) одновременно ассоциированной и отрицательно ассоциированной.

Кроме того, любое гауссовское случайное поле с неотрицательной ковариационной функцией будет ассоциированным [89]. Также известно [70], что гауссовский вектор, различные компоненты которого неположительно коррелированы, отрицательно ассоциирован.

i = 1,..., n положим и введем Lip(F ) = maxi=1,...,n Lipi (F ). Легко видеть, что Lip(F ) является липшицевой константой функции F по отношению к l1 норме в пространстве Rn.

В работе [9] показано, что если семейство = {t, t T } L2 является положительно или отрицательно ассоциированным, то для произвольных непересекающихся конечных множеств I = {t1,..., tn } T, J = {s1,..., sm } T и ограниченных липшицевых функций F : Rn R и G : Rm R справедливо соотношение Неравенство (1.3) играет ключевую роль при доказательстве предельных теорем для подобных полей. Поэтому естественным расширением класса квадратично интегрируемых положительно или отрицательно ассоциированных случайных полей является класс L2 полей, удовлетворяющих (1.2). В [53] этот класс был назван классом квази-ассоциированных случайных полей. Он включает в себя не только PA и NA поля. Согласно [35] любое гауссовское случайное поле, ковариационная функция которого, вообще говоря, может принимать как положительные, так и отрицательные значения, удовлетворяет (1.2). В [6] предложено несколько более общее определение квази-ассоциированности:

Определение 1.1.4 ([6]). Случайное поле = {t, t T } L2 называется квази-ассоциированным (пишут QA), если соотношение (1.3) справедливо для любых конечных множеств I = {t1,..., tn } T, J = {s1,..., sm } T таких, что I J =, и ограниченных липшицевых функций F : Rn R и Это определение мы и будем использовать в данной работе.

Отметим, что с понятием квази-ассоциированности тесно связано понятие (BL, )-зависимости, также введенное в [53].

Определение 1.1.5 ([53]). Случайное поле называется (BL, )-зависимым (пишут (BL, )), если найдется такая монотонно убывающая к нулю функция (r), r N, что для произвольных непересекающихся конечных множеств I = {t1,..., tn } Zd, J = {s1,..., sm } Zd и ограниченных липшицевых функций F : Rn R и G : Rm R справедливо соотношение где dist(I, J) = inf xI,yJ x y.

Множество примеров случайных полей, удовлетворяющих перечисленным выше определениям, можно найти в монографии [10]. Отметим, что в [57] рассматривается ряд близких мер зависимости систем случайных величин.

задается так называемый коэффициент Кокса-Гримметта поля вида (1.4).

Если u (0) <, т.е.

то говорят, что поле удовлетворяет условию конечной восприимчивости.

Легко видеть, что если для квази-ассоциированного случайного поля вида (1.4) выполнено условие конечной восприимчивости, то в силу (1.3) является (BL, )-зависимым с функцией (r) = u (r), r N. Отметим также, что любое (BL, )-зависимое случайное поле = {k, k Zd }, для которого удовлетворяет условию конечной восприимчивости (см., напр., [10], замечание 3.1.10).

Нам также понадобится следующий вариант свойства (BL, )-зависимости, предложенный в [48] для полей на Rd. Для произвольного положительного рассмотрим решетку T () = (Z/)d, d N.

Определение 1.1.6 ([48]). Случайное поле = {t, t Rd } называется (BL, )-зависимым, если найдется такая монотонно убывающая к нулю функция (r), r > 0, что при любом, превосходящем некоторое 0 > 0, для произвольных непересекающихся конечных множеств I = {t1,..., tn } T (), J = {s1,..., sm } T () и ограниченных липшицевых функций F : Rn R и G : Rm R справедливо соотношение В случае, когда поле является (BL, )-зависимым в одном из этих двух смыслов с некоторой функцией, мы будем часто писать вместо. Понятие (BL, )-зависимости можно естественным образом распространить на случайные поля, заданные на некоторых подмножествах соответственно Zd или Rd.

1.2. Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных Пусть X, Y квадратично интегрируемые случайные величины, имеющие соответственно функции распределения (ф.р.) FX, FY и ограниченные плотности pX, pY. В [41] показано, что если (X, Y ) A, то для любого T > где I{·} обозначает индикатор события. Здесь и далее C1, C2,..., c1, c2,...

некоторые положительные константы. Минимизируя последнее выражение по T > 0, получаем Записывая эту оценку для случайных величин k1 X, k2 Y и минимизируя правую часть по k1, k2 > 0, имеем Отметим, что оценка вида (1.7) также фигурирует в работе [101]. Позже в [76] (теоремы 1 и 3) были получены более точные оценки, однако при весьма жестких ограничениях на характер зависимости рассматриваемых случайных величин. В статье [77] оценка (1.7) была обобщена на случай, когда плотности, вообще говоря, не ограничены, но принадлежат пространству Lp (R), p > 1.

Оценка (1.7) позволяет контролировать поведение ковариации индикаторных функций от ассоциированных случайных величин с помощью ковариации самих случайных величин. Поэтому она играет основополагающую роль при доказательстве предельных результатов для ряда функций от ассоциированных случайных полей, таких, например, как эмпирические функции распределения ([41], [101], [88], [72], см. также [86], теоремы 5.37 и 5.38) некоторые другие статистики ([92], [61], [62], [68]), объемы экскурсионных множеств [52] (отметим, что в последней работе рассматривается более общий случай QA поля).

Обзор результатов, полученных с помощью упомянутой оценки, также дается в монографии [90]. Таким образом, несомненный интерес представляет задача уточнения (1.7).

Введем функцию f, которая строго монотонно и непрерывно отображает отрезок [0, 1] на себя, формулой:

Следующая теорема улучшает оценку (1.7).

Теорема 1.2.1. Если квадратично интегрируемый случайный вектор (X, Y ) положительно или отрицательно ассоциирован, и существуют ограниченные плотности pX, pY, то имеет место неравенство x,yR где f inv обратная функция к f.

Оптимальность этой оценки демонстрирует Теорема 1.2.2. Для любого r (0, 1] найдется случайный вектор Прежде чем приступить к доказательству теорем, мы выведем простое Следствие 1.2.3. Для любого 0 < < 1/2 найдется такое C = C() > 0, что если (X, Y ) PA L2 или (X, Y ) NA L2, а соответствующие плотности pX и pY существуют и ограничены. В то же время оценку вида (1.9) нельзя получить при = 1/2.

Доказательство. Вначале установим соотношение (1.9) при (0, 1/2).

некоторая положительная функция. Подставляя в (1.11) a = f inv (), где A(·) Полагая = 1, имеем оценку Искомое утверждение вытекает из последнего неравенства и теоремы 1.2.1 при Перейдем теперь к доказательству невозможности получить оценку вида (1.9) при = 1/2. По теореме 1.2.2 найдутся последовательность действительных чисел rn (0, 1], rn 0, n, и последовательность случайных векторов (Xn, Yn ) с cov(Xn, Yn ) = rn, удовлетворяющих условиям из формулировки теоремы 1.2.2, такие, что Подставляя a = f inv (rn ) и b = 1 в равенство (1.10), имеем Искомое утверждение теперь вытекает из того факта, что f inv (rn ) 0, а значит, 1 + log f inv1(rn ), когда n. Следствие доказано.

где FX,Y или (X, Y ) NA, то H соответственно неотрицательна или неположительна на всей области определения. Нам потребуется следующий вариант формулы Хефдинга.

непрерывные на любом ограниченном промежутке из R. Тогда для произвольных случайных величин X, Y имеет место соотношение если интеграл Лебега в правой части (1.12) существует.

Отметим, что в силу (1.12) при (X, Y ) PA L2 или (X, Y ) NA L верно равенство |cov(X, Y )| = H 1.

Так как и левая и правая части соотношения (1.8) инвариантны относительно домножения X и Y на положительные числа, чтобы доказать теорему 1.2.1 достаточно проверить выполнение неравенства для всех положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин X, Y L2 таких, что Действительно, требуется показать, что соотношение (1.13) влечет оценку функции H. Кроме того, в силу (1.13) Из (1.10) вытекает неравенство Нам понадобится следующее Предложение 1.2.4. Предположим, что случайные величины X, Y имеют ограниченные плотности, и выполнено равенство (1.14). Тогда функция H обладает следующими свойствами:

Если к тому же (X, Y ) PA, то справедливо соотношение Если же (X, Y ) NA, то свойствами (A1)-(A3) обладает функция G(x, y) = H(x, y), x, y R.

имеем = FX,Y (x, y) + FX,Y (x + x, y + y) FX,Y (x + x, y) FX,Y (x, y + y) (FX (x)FY (y) + FX (x + x)FY (y + y) FX (x + x)FY (y) FX (x)FY (y + y)) (FX (x)FY (y)+FX (x+x)FY (y+y)FX (x+x)FY (y)FX (x)FY (y+y)).

В то же время FX (x)FY (y) + FX (x + x)FY (y + y) FX (x + x)FY (y) FX (x)FY (y + y) 1 проверяется аналогичным образом). Для x, y R, x Кроме того, Последнее выражение не меньше xy в силу свойства (A1) функции H.

Свойство (A2) функции G вытекает из свойства (A2) функции H.

Свойство (A3) функций H и G проверяется тривиально.

Предложение доказано.

Легко видеть, что теорема 1.2.1 будет доказана, если мы установим следующий результат.

Лемма 1.2.5. Для любой функции H : R2 R, обладающей свойствами (A1)-(A3), выполнено неравенство (1.13).

Теорема 1.2.2 является следствием следующих двух утверждений.

Лемма 1.2.6. Для каждого r (0, 1] найдется такая действительная функция H на R2, обладающая свойствами (A1) и (A3), что (1.16).

Лемма 1.2.7. Для каждой функции H, удовлетворяющей условиям из формулировки леммы 1.2.6, найдется такой случайный вектор (X, Y ) PA L2, что выполнено (1.14), и H(x, y) = cov(I{X > x}, I{Y > y}), x, y R.

Прежде чем перейти непосредственно к доказательству лемм 1.2.5-1.2.7, мы установим еще несколько вспомогательных утверждений.

Введем класс G, состоящий из финитных непрерывных действительных функций g, заданных на (, 0]. Определим оператор S формулой Напомним, что a+ = a 0, a = (a)+, a R.

Предложение 1.2.8. Для любых g, g1, g2 G и допустимых значений аргументов справедливы следующие утверждения:

(B4) если для любых x1 < x2 выполнено неравенство g1 (x2 ) g1 (x1 ) g2 (x2 ) g2 (x1 ), то S[g1 ](x) S[g2 ](x) при всех x.

Доказательство. Утверждения (B1) и (B2) вытекают непосредственно из определения S. Докажем (B3). Пусть S[g](x) > 0 для некоторого x 0. Обозначим x0 = sup{s < x : S[g](s) = 0}. При t (x0, x] справедливо соотношение Следовательно, (inf s x g(s)) = (inf s g(s)). Действительно, предполоx этому 0 < S[g](s0 ) = g(s0 ) + ( inf g(s)) Получили противоречие. Таким образом, Докажем (B4). В силу (B2) для любых x1 < x Следовательно, (B4) вытекает из (B3). Предложение доказано.

Предложение 1.2.9. При любых w > 0, y равенство В силу (B2) последнее выражение неотрицательно. Значит, по свойству (B4) выw w полнено неравенство S[Ty [g]](x) S[Ty [S[g]]](x), x 0. Остается проверить, что S[Ty [g]](x) S[Ty [S[g]]](x), x Для любого x 0 справедливы равенства (S[Ty [g]](x2 ) S[Ty [g]](x1 )) (Ty [S[g]](x2 ) Ty [S[g]](x1 )) и (1.17), очевидно, выполнено. Рассмотрим случай s2 > x1. Имеем (S[Ty [g]](x2 ) S[Ty [g]](x1 )) (Ty [S[g]](x2 ) Ty [S[g]](x1 )) = ( inf (g(s) y(s + w)+ )) ( inf (g(s) y(s + w)+ )) (g(s2 ) g(s1 ) ).

Кроме того, Поэтому (S[Ty [g]](x2 ) S[Ty [g]](x1 )) (Ty [S[g]](x2 ) Ty [S[g]](x1 )) Предложение доказано.

и интегрируема, supx,yR H(x, y) достигается в некоторой точке. Без ограничения общности предполагаем, что H(0, 0) = H > 0. Отметим, что можно считать функцию H финитной по x: supp(H) [1, 1] R. Действительно, положим Проверим теперь, пользуясь оценкой 2, что G обладает свойствами (A1), (A2). Для x, y R, x, y 0 имеем |H(x+x, y)(x+x)H(x+x, y)(x)|+|H(x+x, y)(x)H(x, y)(x)| следовательно, Lip1 (G) 1. Поскольку справедливо неравенство Lip2 (G) 1/3. Кроме того, Таким образом, (G) По свойству (B4) оператора S функция U (x, y) не возрастает по y при всех x 0. Непосредственно из определений операторов S и Ty, y 0, вытекает вложение supp(U ) [1, 0] [0, ). В силу оценки Lip1 (H) 1 функция Ty [H(·, 0)] неположительна и не возрастает при y 1, следовательно, supp(U ) [1, 0] [0, 1]. Так как H обладает свойством (A1), для любых H U 1. Кроме того, очевидно, U (0, 0) = H(0, 0). А значит, достаточно U (0, yk+1 ) U (x, yk+1 ) = S[Tyk+1 [H(·, 0)]](0) S[Tyk+1 [H(·, 0)]](x) = S[Tyk+1 yk [Tyk [H(·, 0)]]](0) S[Tyk+1 yk [Tyk [H(·, 0)]]](x) = S[Tyk+1 yk [S[Tyk [H(·, 0)]]]](0) S[Tyk+1 yk [S[Tyk [H(·, 0)]]]](x) По свойству (B2) последнее выражение не меньше Следовательно, Заметим, что если подставить x = 1 в (1.18), мы получим неравенство Поэтому интегрируя обе части неравенства (1.19) по x [1, 0], приходим к оценке Обозначая dk = U (0, yk ) U (0, yk+1 ), k = 1,..., N, получаем Поскольку U (0, y) = 0 при y k = 1,..., N. Функция Лагранжа имеет вид Верна следующая система уравнений Если 0 = 0, то последнее уравнение влечет равенство k = N +1, k = 1,..., N, которое противоречит первым двум уравнениям. Поэтому без ограничения общности полагаем 0 = 1. Если N +1 = 0, то k = kdk, k = 1,..., N. В силу третьего уравнения имеем dk = 0, k = 1,..., N, что противоречит (1.21). Пусть N +1 > 0. Пятое уравнение дает представление Используя третье уравнение, видим, что k = 0, k = 1,..., N, а значит, С помощью четвертого уравнения находим Таким образом, в силу (1.22) Доказательство леммы 1.2.6. Пусть a = f 1 (r) (0, 1], N = 4/a.

Введем dk = a/(64k log N ), k N. Рассмотрим монотонно возрастающую функцию g(x), x 0, вида g(x) = Введем ky = (4y log N )1 N, y > 0.

ствительно, если ky = N, то это утверждение очевидно, поскольку g(x) = 0, ходит (в тех точках, где она существует) Поэтому производная кусочно линейной функции Ty [g] = g(x) y(x + 1/4)+ на [1/4, 16 ] неположительна (в тех точках, где она существует). В то же время на (, 1/4) функция Ty [g] тождественно равна нулю. Таким обka разом, Ty [g] неположительна и не возрастает на (, 16 ], откуда и следует равенство H(·, y) нулю на этом промежутке. Отметим, что так как ky = 0 при 1/4, то supp(H) [1/4, 0] [0, 1/4].

H(x2, y)H(x1, y) = Ty [g](x2 )Ty [g](x1 ) = g(x2 )g(x1 )y(x2 x1 ). (1.23) На промежутке 16, 0 производная g не меньше (в тех точках, где она суy ществует) Следовательно, на этом промежутке Ty [g] не убывает. Поэтому при x 16, 0 имеет место равенство Таким образом, приращения H(·, y) на 16, 0 равны приращениям Ty [g].

Как следствие, функция H(·, y) тоже не убывает на x 16, 0.

Кроме того, по предложению 1.2.9 и свойству (B2) Учитывая оценку (1.24), имеем Подставляя y2 = 1/4 в (1.25), получаем откуда Lip1 (H) Продолжим H(x, y) на R2, полагая H(x, y) = H(x, y) = H(x, y) = H(x, y), (x, y) (, 0] [0, ).

Таким образом определенная функция H, очевидно, обладает свойством (A3), Интегрируя все функции последнего соотношения по y (0, 1/4], получаем оценку где 0 < C6 1/4. Следовательно, Доказательство леммы 1.2.7. Пусть FX (t) = FY (t) = (t + 1/2)+ 1, t R. Условие (1.14), очевидно, выполнено. Положим FX,Y (x, y) = H(x, y) + FX (x)FY (y), x, y R. Заметим, что FX,Y является функцией распределения некоторого случайного вектора (X, Y ). Действительно, в силу (A1) приращение FX,Y на любом прямоугольнике неотрицательно. Легко видеть, что FX,Y обладает и другими свойствами ф.р. Кроме того, cov(I{X > x}, I{Y > y}) = FX,Y (x, y) FX (x)FY (y) 0 при всех x, y R, откуда вытекает положительная ассоциированность (X, Y ) (см., напр., [10], теорема 1.1.5). Лемма доказана.

1.3. ЦПТ для эмпирических функций распределения Следствие 1.2.3 позволяет обобщить центральную предельную теорему для эмпирических функций распределения, полученную в работе [101].

Пусть X = {Xk, k Z} строго стационарная последовательность случайных величин, имеющих непрерывную ф.р. F. Введем случайные процессы n, n N, формулой Теорема 1.3.1. Предположим, что X PA NA, и при некотором (0, 1/2). Тогда конечномерные распределения процессов n сходятся при n к конечномерным распределениям центрированного гауссовского случайного процесса с ковариационной функцией В [101] ЦПТ доказана для = 1/3 и случая ассоциированной последовательности X. Заметим также, что в [75] функциональная ЦПТ для эмпирических функций распределения получена при условии cov(F (X0 ), F (Xk )) = O(k ), k, для некоторого > 4.

Доказательство теоремы 1.3.1. Отметим, что поскольку X PA или X NA, а функция F не убывает, случайные величины (с.в.) F (Xk ), k Z, соответственно тоже положительно или отрицательно ассоциированы (см., напр., [10], теорема 1.1.8). Поэтому, согласно рассуждению из [101] (с. 358), в силу непрерывности F достаточно проверить искомое утверждение для F (x) = x+ 1, x R. Далее предполагаем X PA. Случай X NA рассматривается аналогично. Воспользуемся приемом Крамера-Уолда и покажем, при n. Заметим, что из (1.3) вытекает (BL, )-зависимость с.в. k = ui }, k Z. Действительно, последовательность случайных векi=1 ci I{Xk где C = C() фигурирует в (1.9). Таким образом, в силу ЦПТ для (BL, )-зависимых случайных полей из [10] (теорема 3.1.12) с.в. Bn сходятся по распределению при n к центрированной гауссовской с.в. с дисперсией Теорема доказана.

1.4. Моментная оценка для сумм (BL, )-зависимых случайных величин Введем семейство блоков в пространстве Rd, d N, положив граница B.

Пусть Ud Bd подмножество блоков, вершины которых имеют целочисленные координаты. Нами установлена положим, что найдется 2 < s Тогда для любого блока U Ud, и всех p (2, s) и > 0 выполнено неравенство K |U |1+ max E|Xk |p +|U | C (sp)/(s2) Ms Здесь K = K(d, s, p,, ) > 0, = max{(s(p 1) p (s p)/d)/(s 2), 1 + }, Подобные моментные оценки играют ключевую роль при доказательстве принципов инвариантности для случайных полей (см., напр., [10], гл. 5).

Данный результат обобщает неравенство из [94]. В работе [5] показано, что оценка (1.27) является в определенном смысле оптимальной. Кроме того, в [5] получена схожая оценка для ассоциированных случайных полей, но в несколько более общей постановке задачи. Отметим, что метод доказательства, примененный в [5], не допускает непосредственного обобщения на случай (BL, )-зависимых полей, поскольку существенно опирается на неравенство cov(X, F (Y )) Lip(F )cov(X, Y ), справедливое для ассоциированных квадратично-интегрируемых случайных величин X и Y, но, вообще говоря, неверное, если заменить требование ассоциированности условием (BL, )-зависимости.

Заметим, что при выполнении условий теоремы 1.4.1 верно неравенство uX (0) <, поскольку (BL, )-зависимые случайные поля с равномерно ограниченным вторым моментом обладают свойством конечной восприимчивости.

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, мы установим следующий вспомогательный результат.

Лемма 1.4.2. Предположим, что условия теоремы 1.4.1 справедливы где sp = s(p 1) p.

Доказательство следует подходу, предложенному в [94]. Возьмем A > и рассмотрим функции f (x) = (x+ A)p1, g(x) = xp1 f (x). Имеем В силу наложенного условия (BL, )-зависимости случайного поля X справедливо неравенство Кроме того, Следовательно, Положим При A = (ba1 )1/(+) выражение aA + bA обращается в 2(a b )1/(+). Так как справедливо неравенство Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1.4.1 следует плану, предложенному в [44] и получившему дальнейшее развитие в [5] и [94]. Идея доказательства состоит в разделении определенным образом области суммирования U на несколько меньших областей с последующим применением предположения индукции (по |U |) к каждой из них. База индукции тривиальна, поскольку при |U | = 1 левая часть (1.27) не превосходит maxkU E|Xk |p. Установим шаг индукции. Доказательство проведем для s (2, ): случай s = рассматривается аналогично. Без ограp/2 1 и U = (0, n1 ] · · · (0, nd ], ничения общности можно считать, что случае искомое соотношение имеет место при K = K0 = a(p1)d в силу неравенства треугольника в пространстве Lp.

обеспечивает оценку m < n1, которая понадобится нам, чтобы применить предa1 > 2, следовательно, n Введем обозначения где сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю. Используя неравенство |a + b|r (2r1 1)(|a|r + |b|r ), a, b R, r > 0, получаем Имеем Кроме того, При получении последнего неравенства мы воспользовались тем (см. [10], теос.в., то {|X|} i = 1,..., N справедлива оценка Здесь и далее множители 0 < D, D1,... зависят только от s и p. Таким образом, Заметим, что при любом i {1,..., N } 2(s1)(p1)(p2)/sp (E|S1 (U )|p )(s1)(p2)/sp + (E|i |p )(s1)(p2)/sp.

Кроме того, поскольку в силу соотношения (4.27) из [94] имеет место неравенство В итоге имеем По лемме 4.4 из [94] последнее неравенство влечет оценку Кроме того, Поэтому Аналогичным образом устанавливается соотношение +(a|U |)(s(p1)p(sp)/d)/(s2)(1+) C (sp)/(s2) Ms Последние два слагаемых можно сделать меньше соответствующих слагаемых искомой оценки, поделенных на два, путем выбора достаточно большого K = K(a, D4 ). Внутри скобки, домножаемой на D4 a1 K, каждое слагаемое содержит a в степени не менее чем 1 +, соответственно, при сокращении с получаем искомое утверждение. Теорема доказана.

В дальнейшем нам потребуются следующие два следствия теоремы 1.4.1.

Следствие 1.4.3. Если выполнены условия теоремы 1.4.1, то найдется множитель D > 0 и такое p (2, s), что для любого блока U Ud верна оценка Доказательство. Можно считать s (2, ). Достаточно найти p (2, s) такое, что Такое p существует тогда и только тогда, когда s(2/d + 2) > 2(s + 2/d), т.е.

2/d(s 2) > 0. Последнее неравенство справедливо при любых s > 2 и d N.

Следствие доказано.

Следствие 1.4.3 обобщает оценку из [51], поскольку в последней работе налагаются дополнительные ограничения на. Еще одно обобщение оценки из [51] было получено в [25], где вместо сумм по параллелепипедам рассматривалось суммирование по произвольным конечным множествам. Далее мы применим следствие 1.4.3 к доказательству слабого принципа инвариантности для (BL, )-зависимых случайных полей. Отметим, что неравенства вида (1.29) также используются, например, для оценки скорости сходимости в статистическом варианте ЦПТ для таких полей [50].

Следствие 1.4.4. Предположим, что условия теоремы 1.4.1 выполнены при s =. Тогда оценку (1.27) можно записать в виде где K зависит только от d, M, p, и.

Следствие 1.4.4 понадобится нам при доказательстве ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств.

1.5. ФЦПТ для (BL, )-зависимых случайных величин n = n1... nd. Будем говорить, что поле X удовлетворяет слабому принципу инвариантности (функциональной центральной предельной теореме), если имеет место сходимость по распределению в пространстве Скорохода D([0, 1]d ) (см., напр., [43], с. 1662) где W есть d-параметрическое броуновское движение (случайное поле ВинераЧенцова или броуновский лист; см., напр., [29], с. 33), а некоторое неотрицательное число. Здесь и далее сходимость при n, где n Nd, понимается в секвенциальном смысле: для любой последовательности место, и предел не зависит от выбора такой последовательности.

Нами установлена Теорема 1.5.1. Предположим, что описанное выше случайное поле X является (BL, )-зависимым, и где > 0. Пусть также справедливо соотношение (1.26). Тогда X удовлетворяет слабому принципу инвариантности, причем В [49] соотношение (1.31) доказывается при более жестких условиях на поле X: вместо (BL, )-зависимости требуется ассоциированность, и, соответственно, вместо X (r) = O(r ) используется соотношение uX (r) = O(r ), где uX коэффициент Кокса-Гримметта случайного поля X (см. (1.5)). Теорема 1.5.1 также обобщает пункт (д) теоремы 5.1.5 из [10], в котором тоже рассматриваются (BL, )-зависимые случайные поля, однако при этом вводятся дополнительные ограничения на.

Интересно отметить, что при определенных условиях для выполнения (1.31) необязательно требовать справедливость оценки (1.26). Пусть поле X квадратично интегрируемо и строго стационарно. Тогда если X является (BL, )-зависимым, и > 3d, где фигурирует а (1.32), то имеет место (1.31) (см. [36]). Соотношение (1.31) также выполнено и для отрицательно ассоциированного поля X (см. [102]). Кроме того, с помощью красивого применения техники демимартингалов в работе [84] принцип инвариантности был установлен для случая X PA и d 2. К сожалению, этот метод не работает при размерности d 3, поскольку требует, чтобы естественный частичный порядок на множестве Rd1 являлся отношением порядка.

Отметим, что впервые результат, устанавливающий сходимость (1.31), был получен в работе [63] для независимых одинаково распределенных квадратично интегрируемых случайных величин. В дальнейшем он получил множество обобщений. Скажем, вариант ФЦПТ для случайных величин, обладающих свойством перемешивания, содержится в [3] (теорема 20.1). Ряд работ также посвящен доказательству слабого принципа инвариантности в пространстве L2 (см., напр., [85], [87]).

Доказательство теоремы 1.5.1. Сходимость конечномерных распределений случайных полей Wn к конечномерным распределениям поля W является следствием теоремы 3.1.21, а также лемм 5.1.8 и 5.1.9 из [10]. Секвенциальная плотность распределений Wn вытекает из следствия 1.4.3, леммы 5.1.7 (случай (б)) и теоремы 5.1.3 из [10]. Остается отметить, что слабая сходимость мер в пространстве Скорохода D([0, 1]d ) следует из их плотности и сходимости конечномерных распределений (см., напр., [43], с. 1663). Теорема доказана.

Глава 2. Предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств случайных полей В данной главе рассматриваются приложения полученных в первой главе ковариационных и моментных оценок к исследованию асимптотических свойств объемов экскурсионных множеств стационарных случайных полей. Основными результатами главы являются теоремы 2.2.1 и 2.3.1, устанавливающие ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных и квазиассоциированных случайных полей. Ряд вспомогательных результатов данной главы используется далее в главе 3.

2.1. ЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей В последние годы активно исследуются различные геометрические характеристики экскурсионных множеств и множеств уровня случайных полей. Интерес к подобным стохастическим объектам обусловлен широким кругом как математических, так и естественнонаучных приложений, в которых они возникают (см., напр., [39], [40]). В монографии [26] (теорема 2.4.6) получена ЦПТ для объемов экскурсионных множеств гауссовских случайных полей с непрерывной ковариационной функцией, заданных на последовательности расширяющихся шаров. В [52] ЦПТ такого рода установлена для более широкого класса квазиассоциированных случайных полей. Отметим также, что в [78] доказана ФЦПТ в пространстве Скорохода D(R) для объемов экскурсионных множеств ассоциированных полей, рассматриваемых как функции экскурсионного уровня.

Говорят, что последовательность ограниченных измеримых множеств Vn Rd, n N, растет в смысле Ван Хова, если |Vn |, и для любого > 0 справедливо соотношение последовательность конечных множеств, что то Un, n N, называют регулярно растущей. Известно (см., напр., [10], лемма 3.1.5), что если последовательность Vn Zd, n N, растет в смысле Ван Хова, то последовательность Un = Vn Zd является регулярно растущей.

строго стационарное случайное поле с непрерывной ковариационной функцией.

некоторое ограниченное измеримое подмножество Rd. Возьмем произвольное u R и введем экскурсионное множество Заметим, что Пусть Vn, n N, последовательность множеств, растущая в смысле Ван Хова. В [52] показано, что если случайное поле квази-ассоциировано, и где > 3d, то при любом действительном уровне экскурсии u последовательность случайных величин |A(Vn, u)|, n N, удовлетворяет центральной предельной теореме:

где Если наложить на более жесткое условие ассоциированности и воспользоваться следствием 1.2.3, то можно получить ЦПТ (2.4) при менее строгих ограничениях на ковариационную функцию.

Теорема 2.1.1. Если описанное выше случайное поле A, и (2.3) справедливо при некотором > 2d, то имеет место (2.4).

Доказательство является упрощенным вариантом доказательства из [52], в котором вместо оценки (1.7) (точнее ее версии для квазиассоциированных случайных величин) используется следствие 1.2.3. Введем множества Положим В силу (2.2) справедливо неравенство Последнее выражение стремится к нулю при n, поскольку где функция C фигурирует в (1.9). Таким образом, по лемме Слуцкого достаточно установить ЦПТ (2.4) для случая Vn = Un (0, 1]d, где Un, n N, регулярно растущая последовательность подмножеств Zd.

Рассмотрим случайное поле X = {Xk, k Zd }, где Xk = |A(k (0, 1]d, u)|, k Zd. Легко видеть, что X удовлетворяет условию конечной восприимчивости. Поэтому для того, чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно показать, что X является ассоциированным, а затем применить ЦПТ для (BL, )-зависимых случайных полей (см. [10], теорема 3.1.12). Рассмотрим последовательность ассоциированных полей Для N N и k Zd имеем п.н.

Введем семейство функций Возьмем произвольное > 0. Заметим, что При l Zd и t (k + l/N (0, 1/N ]d ) справедлива цепочка неравенств В силу непрерывности ковариационной функции R и произвольности выбора > 0 имеем E|Xk Xk | 0, N. Значит, конечномерные распределения случайных полей X (N ) сходятся к конечномерным распределениям X, когда N. Следовательно, X также является ассоциированным (см., напр., [10], теорема 1.1.8). Теорема доказана.

2.2. ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей Зафиксируем некоторое действительное число u и рассмотрим случайное поле = {t, t Rd }, удовлетворяющее условиям теоремы 2.1.1. Введем семейство полей где A определено в (2.1). Следующее утверждение является функциональным вариантом теоремы 2.1.1.

Теорема 2.2.1. Случайные поля Sn сходятся по распределению в пространстве C([0, 1]d ) при n к центрированному гауссовскому случайному движение.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, мы установим несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 2.2.2. При каждом p > 2 и любом > 0 найдется такой множитель D > 0, что для произвольного блока B Bd верна оценка а значит, неравенство (2.8) выполнено при D = 1. Рассмотрим случай |B| > 1.

Без ограничения общности можно считать, что B = (0, b1 ] · · · (0, bd ], где Заметим, что при j = 1,..., q справедливо неравенство bj > 1. Для таких j Легко видеть, что Действительно, при j = 1,..., q 1 имеем В то же время при j = q Введем строго стационарное случайное поле X = {Xi, i Zq } формулой где Отметим, что Точно так же, как и при доказательстве теоремы 2.1.1, получаем, что случайное поле X является ассоциированным. В силу (2.11) и (2.13) коэффициент Кокса-Гримметта uX (r) при любом r N допускает оценку Пусть = (,, d) некоторое число из интервала (d/, 1/2), выбор которого мы уточним далее. По следствию 1.2.3 правая часть соотношения (2.14) не превосходит и справедливо неравенство Здесь R ковариационная функция случайного поля, а D1, D2 > 0 зависят только от a, d,, и R. Введем Заметим, что в силу (2.11) Без ограничения общности можно предполагать, что |U |1+ |U |p/2. По следствию 1.4.4 имеем = K D1 (2d |B|)(1+)(p()/d) + (D2 + 1)(2d |B|)p/2.

Осталось показать, что можно выбрать (d/, 1/2), для которого имеет место оценка Однако последнее соотношение вытекает из неравенства которое справедливо при любом (1/2 d/, 1/2). Лемма доказана.

Bd1 Bd1, B1 = (a, b] B1. Определим по индукции приращение функции f на блоке B формулой Легко видеть, что значение f (B) инвариантно относительно изменения порядка нумерации координат в пространстве Rd.

с п.н. непрерывными траекториями, заданное на замыкании блока B Bd.

Пусть для некоторых B Bd, выполнено неравенство Тогда Доказательство. Без ограничения общности можем рассмотреть B = (0, s], s Rd. Поскольку траектории S непрерывны с вероятностью единица, по лемме Фату имеет место равенство Поэтому достаточно доказать при каждом N N оценку функция f : R+ R+ имеет непрерывную неотрицательную вторую производную на (0, ), и f (0) = 0. Тогда для x y > 0 имеем Значит, f супераддитивна. Покажем теперь, что для любых c, c > 0 вторая производная функции g µ (x) = (c x + c x )µ неотрицательна при x (0, ).

Справедливо представление При этом Имеем Поэтому Супераддитивность fB,N установлена.

Введем случайное поле X = {Xk, k Zd } формулой Рассмотрим произвольный блок U = (u1 1, v1 ] · · · (ud 1, vd ] Ud, где |B| = N d |B||U |. Поэтому По теореме Морица ([81]; см. также [10], теорема 2.1.2) найдется такой множитель K > 0, зависящий только от d, и µ, что выполнено неравенство Лемма доказана.

справедлива оценка Тогда семейство распределений случайных полей S,, в пространстве C([0, 1]d ) является плотным.

Доказательство. Воспользуемся многомерной версией критерия плотности в пространстве непрерывных функций. А именно, покажем, что для любого > 0 справедливо соотношение имеет место равенство Здесь и далее мы используем обозначения ti = t, ei, i = 1,..., d, где ·, · скалярное произведение векторов. Достаточно установить (2.16) для случая i = 1.

При i = 2,..., d доказательство полностью аналогично. Зафиксируем произвольное. Нетрудно показать, что при (0, 1) верна оценка Возьмем некоторое w [0, 1) Z. Рассмотрим t [0, 1]d и z (0, 2] такие, Имеем Поэтому В силу леммы 2.2.3 справедлива оценка Таким образом, левая часть (2.16) не превосходит Лемма доказана.

Замечание 2.2.5. Утверждение леммы 2.2.4 остается верным, если заменить [0, 1]d на произвольный замкнутый блок из Rd.

Доказательство теоремы 2.2.1. Выберем p (1 + /(2d), /d) и (0, /(2d) p/2). Имеем По лемме 2.2.2 случайные поля Sn, n Nd, удовлетворяют условиям леммы 2.2.4, а значит, соответствующее семейство распределений плотно в пространстве C([0, 1]d ). Остается доказать сходимость конечномерных распределений Sn к конечномерным распределениям (u)W при n. Введем ассоциированное случайное поле X = {Xk, k Zd } формулой Используя оценку (2.14), получаем, что X удовлетворяет условиям теоремы 1.5.1, причем Рассмотрим семейство случайных полей Wn, n Nd, определенных в (1.30).

Для любых t [0, 1]d, n Nd в силу (2.2) имеем Поэтому по лемме Слуцкого искомое утверждение вытекает из теоремы 1.5.1.

Теорема доказана.

Следующий результат является функциональным вариантом ЦПТ из [52].

Теорема 2.3.1. Если вместо ассоциированности случайного поля в формулировке теоремы 2.2.1 потребовать лишь квази-ассоциированность, то утверждение теоремы 2.2.1 остается справедливым при дополнительном предположении, что соотношение (2.3) имеет место при некотором > 3d.

строго стационарное случайное поле с непрерывной ковариационной функцией R(t) = cov(0, t ), t Rd, и некоторый блок B = (0, b] Bd, b = (b1,..., bd ), функция. Введем случайное поле X = {Xk, k Zq } формулой где k (0) = (k, 0,..., 0) = (k1,..., kq, 0,..., 0) Zd. Предположим, что функция |R| непосредственно интегрируема по Риману на Rd (см. [33], XI.1, с. 426).

Тогда X является (BL, )-зависимым, причем X завит только от d, Lip(F ), X (r) Доказательство следует подходу, предложенному в [48] и [52]. Прежде всего отметим, что непосредственная интегрируемость по Риману функции |R| на Rd влечет соотношение Легко видеть, что в силу (1.3) случайное поле является (BL, )-зависимым, и Рассмотрим последовательность (BL, )-зависимых случайных полей X (N ) = {Xk, k Zq }, N N, заданных формулой где T (N ) = (Z/N )d. Как и при доказательстве теоремы 2.1.1, имеем липшицевы функции. В силу (2.20) и (2.19) справедливо соотношение lim Lip(G1 )Lip(G2 )Lip2 (F ) |(N B) (0, 1]d |(|I| |J|)N d 2d Db0 (dist(I,J)1) Таким образом, X (r) Следовательно, при r = откуда и вытекает искомая оценка. Лемма доказана.

Лемма 2.3.3. Пусть случайное поле = {t, t Rd } удовлетворяет условиям теоремы 2.3.1. Тогда при каждом p > 2 и любом > 0 найдется такой множитель D > 0, что для любых u R, > 0 и B Bd верна оценка где функция hu, определена в (2.6).

D = 1. Рассмотрим случай |B| > 1. Без ограничения общности можно считать, Bi, i Zq, согласно (2.9), (2.10) и (2.12) соответственно. Введем строго стационарное случайное поле X = {Xi, i Zq } формулой Отметим, что справедливы соотношения (2.11) и (2.13). По лемме 2.3.2 поле X является (BL, )-зависимым, причем Здесь D1 > 0 зависит только от d, и R. Кроме того, по лемме 1 из [52] справедливо неравенство Действительно, по формуле Хефдинга (1.12) Таким образом, Положим U = (1, k1 1]· · ·(1, kq 1] Uq. Как и при доказательстве леммы 2.2.2, имеем |U | справедлива оценка K |U |1+ + D1 2 |U |(1+)(p1(d)/q) + (D2 |R|1/3 1 )p/2 |U |p/ K D1 2 (2d |B|)(1+)(p1(d)/d) + ((D2 |R|1/3 1 )p/2 + 1)(2d |B|)p/2.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2.3.1. Вначале установим секвенциальную плотность распределений Sn, n Nd, в пространстве C([0, 1]d ). А именно, проверим, что для любого > 0 справедливо соотношение Без ограничения общности можно считать i равным единице. Мы покажем, что Случай, когда под знаком вероятности в (2.24) вместо Sn (t + zei ) Sn (t) стоит Sn (t) Sn (t + zei ) рассматривается аналогично. Введем семейство случайных полей n Nd определим поле С помощью оценки (2.7) нетрудно показать, что условие (2.24) вытекает из соотношения определенный в (2.17). Обозначим x B = {x b, b B}, x Rd, B Rd.

Имеем Поскольку a n (2.24).

Чтобы установить (2.25), достаточно убедиться, что семейство случайных полей Zn, n Nd, удовлетворяет условиям леммы 2.2.4. Пусть p > 2, > 0, B Bd. В силу леммы 2.3.3 верна оценка Остается отметить, что supnNd Dn <, если взять Секвенциальная плотность распределений Sn доказана.

Приступим к проверке сходимости конечномерных распределений случайных полей Sn к конечномерным распределениям (u)W при n. Заметим, что Для любого x Rd и всех > 0 соотношение (2.22) влечет оценку где D1 > 0 зависит только от a. В силу (2.3) при > 3d функция |R|1/3 является интегрируемой. Поэтому по теореме Лебега о мажорируемой сходимости имеем () 0, 0. А значит, причем эта сходимость равномерна по n Nd.

Зафиксируем некоторое > 0. Введем случайное поле X = {Xk, k Zd } формулой По лемме 2.3.2 поле X удовлетворяет условиям теоремы 1.5.1. Положим Снова используя (2.22), имеем при любом x Rd неравенство где D2 > 0 зависит только от a. Поэтому по теореме Лебега о мажорируемой сходимости Проводя рассуждения, как при доказательстве теоремы 2.2.1, и используя лемму 2.3.2, получаем, что в силу теоремы 1.5.1 конечномерные распределения случайных полей Sn, сходятся при n к конечномерным распределениям поля (u)W. Учитывая соотношения (2.26), (2.27) и применяя лемму 5.1.14 из [10], получаем искомый результат. Теорема доказана.

Глава 3. Предельные теоремы для функций Данная глава посвящена доказательству ряда предельных теорем для функций от случайных мер. Основными результатами главы являются теорема 3.1.1, обобщающая ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам, теорема 3.2.1, представляющая собой ее функциональный вариант, теорема 3.4.1, устанавливающая сходимость по распределению в пространстве гладких функций решений уравнения Бюргерса с начальными потенциалами, задаваемыми определенными полями дробового шума, а также теорема 3.5.2, описывающая предельное поведение макс-обобщенных процессов Кокса.

3.1. Обобщение ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам Рассмотрим B0 (Rd ) семейство ограниченных борелевских подмножеств Rd , d N. Пусть M (, B) стационарная случайная мера на Rd, d N, т.е.

для почти всех функция M (, ·) является локально конечной мерой на -алгебре борелевских подмножеств Rd, а M (·, B) случайная величина для каждого B B0 (Rd ). Стационарность случайной меры означает, что для любых B1,..., Bk B0 (Rd ) и для произвольного t из Rd распределения случайных векторов (M (B1 ),..., M (Bk )) и (M (B1 t),..., M (Bk t)) совпадают.

Нас будет интересовать ситуация, когда мера M квадратично интегрируема, т.е. EM 2 (B) < при любом B B0 (Rd ). Для таких случайных мер обозначим и положим если этот ряд сходится абсолютно. Для T > 0 и произвольной борелевской функции f определим если интеграл существует почти наверное. Рассмотрим следующие два условия:

(C1) найдется M R+ такое, что для всех q N (C2) случайное поле {M (B1 (k))}kZd является (BL, )-зависимым.

Отметим, что если для любых ограниченных борелевских множеств B1 и B2 справедливо неравенство то (C1) вытекает из условия конечной восприимчивости для случайной меры M, которое формулируется следующим образом: M <. Если мера M ассоциирована (т.е. соответствующее семейство случайных величин, индексированное множествами из B0 (Rd ), является ассоциированным), то соотношение (3.1) автоматически выполнено.

Мы будем использовать (C1) для оценки дисперсий интегралов MT [f ], тогда как условие (C2) позволит нам свести ЦПТ для MT [f ] к ЦПТ для (BL, )-зависимых случайных полей. Положим Нами установлена Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия (C1) и (C2). Тогда для любой функции f L1 (Rd ) L (Rd ) имеет место сходимость по распределению:

В [66] (теорема 4.4) аналогичное утверждение доказывается для ассоциированных случайных мер с M <. Теорема 3.1.1 позволяет рассматривать более широкий класс стационарных случайных мер. Отметим, что ЦПТ в [66] устанавливается для измеримой по Лебегу функции f. Однако для любой такой функции найдется некоторая измеримая по Борелю функция f, такая что f (x) = f (x) для п.в. x Rd. Поэтому понятие интеграла по стационарной квадратично интегрируемой случайной мере M легко распространить на класс измеримых по Лебегу функций, определив M [f ] как элемент L2 формулой M [f ] = M [f ]. Корректность подобного определения является очевидным следствием следующего утверждения.

Предложение 3.1.2. Пусть M описанная выше случайная мера. Тогда если множество E Rd имеет меру нуль, то M (E) = 0 п.н.

Доказательство. Заметим, что в силу стационарности M верно равенство Рассмотрим K кольцо всевозможных конечных объединений непересекающихся блоков из семейства {Bq (k)}kZd,qN. В силу (3.2) справедлива формула Отметим, что K порождает борелевскую -алгебру на Rd. Так как |E| = 0, то для любого > 0 найдется последовательность непересекающихся множеств Kn K, n N, такая, что Поскольку с вероятностью единица M является локально конечной мерой на Rd, имеет место оценка Устремляя к нулю, получаем равенство EM (E) = 0, которое и влечет искомое утверждение. Предложение доказано.

Будем говорить, что функция f является простой, если она представляется в виде где q, m N, k (1),..., k (m) Zd, и c1,..., cm R. Можно считать, что k (i) = k (j) при i = j. Нам потребуется следующий результат, являющийся тривиальным следствием леммы 8.1.8 из [10].

Лемма 3.1.3 ([10]). Пусть финитная функция f L1 (Rd ) L (Rd ), и supp(f ) [K, K]d для некоторого положительного K. Тогда существует последовательность простых функций fn, n N, которая п.в. сходится supp(fn ) [K 1, K + 1]d, n N.

Ключевую роль при доказательстве теоремы 3.1.1 играет оценка дисперсий интегралов по случайным мерам, удовлетворяющим (C1). В [66] (лемма 4.2) аналогичное неравенство выводится для ассоциированных случайных мер.

Лемма 3.1.4. Если для описанной выше случайной меры M выполнено условие (C1), то для каждой функции f L1 (Rd ) L (Rd ) верна оценка Доказательство этого утверждения проведем в несколько этапов.

Шаг 1. Вначале рассмотрим простую функцию f вида (3.3). Имеем Шаг 2. Пусть теперь f L1 (Rd ) L (Rd ), и supp(f ) [K, K]d для некоторого K > 0. Возьмем последовательность простых функций fn, n N, фигурирующую в формулировке леммы 3.1.3. Применяя предложение 3.1.2 и теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем, что с вероятностью единица M [fn ] M [f ], n. Так как мы можем снова применить теорему Лебега. Имеем Шаг 3. Рассмотрим теперь случай произвольной f из L1 (Rd ) L (Rd ).

В силу леммы 3.1.3 найдется такая сходящаяся п.в. к f I{[K, K]d } последовательность простых функций {fK,n }nN, что для всех n N выполнено неравени supp(fK,n ) [K 1, K + 1]d. Лемма о монотонной сходимости влечет соотношение Представляя f в виде разности двух неотрицательных функций f = f+ f и применяя полученную выше формулу, имеем Аналогичным образом можно показать, что EM 2 [|f |] <. Поэтому по теореме Лебега о мажорируемой сходимости Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.1.1 следует схеме, предложенной в [66].

Вначале установим искомое утверждение для простой функции f вида (3.3).

Покажем, что имеет место сходимость случайных векторов по распределению где Im единичная матрица порядка m. Достаточно установить (3.4) при T вида nq, n N. Действительно, положим Tq =q T /q. Введем отображение M : B0 (Rd ) R по формуле Для T Легко видеть, что последнее выражение стремится к нулю, когда T.

При T = nq, n N, справедливо равенство Поэтому сходимость (3.4) вытекает из (C2) и ЦПТ для (BL, )-зависимых случайных полей (см. [10], следствие 3.1.17).

Рассмотрим теперь случай функции f общего вида. Для каждого K > существует такая сходящаяся п.в. к f I{[K, K]d } последовательность простых функций {fK,n }nN, что для всех натуральных n выполнено неравенство fK,n f. В силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости имеем Так как существует последовательность простых функций gn, gn f, сходящаяся в пространстве L1 к функции f. Кроме того, при всех натуральных n справедливо соотношение Имеем является следствием леммы 5.1.14 из [10]. Теорема доказана.

Следствие 3.1.5. Пусть = {t, t Rd } строго стационарное измеримое квадратично интегрируемое случайное поле, QA. Предположим, что ковариационная функция непрерывна, и ее модуль непосредственно интегрируем по Риману на Rd. Тогда для любой функции f из L1 (Rd ) L (Rd ) и произвольной липшицевой F : R R+ имеет место сходимость по распределению при T, где Для доказательства следствия 3.1.5 нам понадобится Лемма 3.1.6. Пусть = {t, t Rd } строго стационарное измеримое квадратично интегрируемое случайное поле c ковариационной функцией отображение M из B(Rd ) в R+ {} формулой (Далее при выполнении (3.5) будем писать M (dt) = t dt.) Тогда если R L1 (Rd ), то M является стационарной квадратично интегрируемой случайной мерой, причем справедливо соотношение (C1) при M = R 1.

Доказательство. По теореме Фубини M (E) является случайной величиной при E B0 (Rd ) в силу измеримости и интегрируемости. Кроме того, теорема Фубини обеспечивает локальную интегрируемость траекторий и квадратичная интегрируемость M следуют из стационарности и квадратичной интегрируемости поля. Кроме того, Лемма доказана.

Доказательство следствия 3.1.5. Введем функцию M формулой M (dt) = F (t )dt. В силу леммы 3.1.6 можно утверждать, что M является стационарной квадратично интегрируемой случайной мерой, удовлетворяющей (C1).

Рассмотрим B = B1 (0), q = d. По лемме 2.3.2 поле X, определенное в (2.18), является (BL, )-зависимым. А значит, M удовлетворяет и условию (C2). Таким образом, искомое утверждение вытекает из теоремы 3.1.1. Следствие доказано.

Оказывается, что аналог следствия 3.1.5 можно доказать и для функций F, не являющихся липшицевыми. Мы рассмотрим случай F (x) = ex, x R, который понадобится нам при исследовании решений уравнения Бюргерса.

Следствие 3.1.7. Пусть выполнены условия следствия 3.1.5. Предположим, что для некоторых C > 0, 0 < < 1 и p 2 справедливы следующие соотношения:

1/p + 1/q = 1.

Тогда случайная мера M (dt) = et dt удовлетворяет (C1), и для любой функции f L1 (Rd ) L (Rd ) имеет место сходимость по распределению при T, где Нам потребуется Лемма 3.1.8. При выполнении условий следствия 3.1.7 найдется такой множитель D > 0, что оценка Доказательство. Вначале заметим, что если R(t) = 0, то 0 и t независимы (см. [10], следствие 1.5.5), и (3.7) выполнено. Если |R(t)| 1, то (3.7) является следствием (D2). Поэтому мы будем рассматривать случай 0 < |R(t)| < 1.

Положим a = ( 1) log(|R(t)|)/2 > 0. В силу квази-ассоциированности случайного поля и (D3) имеем Лемма доказана.

Доказательство следствия 3.1.7. Отметим, что лемма 3.1.8 влечет интегрируемость ковариационной функции (t) = cov(e0, et ), t Rd. Поэтому по лемме 3.1.6 мера M удовлетворяет (C1) при M = 1. Докажем теперь (3.6).

Рассмотрим случайные поля Отметим, что по теореме Лебега о мажорируемой сходимости Легко видеть, что при каждом n N для поля n выполнены условия следствия 3.1.5, а мера, задаваемая соотношением Mn (dt) = et n (t) dt, удовлетворяет (C1) по лемме 3.1.6. В силу леммы 3.1.4 для любого T > 0 имеем Пользуясь оценкой где D фигурирует в (3.7), снова применяем теорему Лебега и получаем, что Отсюда вытекает (см. [10], лемма 5.1.14) искомое утверждение. Следствие доказано.

3.2. ФЦПТ для интегралов по случайным мерам Пусть M квадратично интегрируемая стационарная случайная мера на Rm, удовлетворяющая условиям (C1) и (C2), или же M (dt) = et dt, и для = {t, t Rm } выполнены условия следствия 3.1.7. Пусть также чениями в R. Введем семейство случайных полей ZT [f ], T > 0, формулой если при всех x Rn интегралы в правой части равенства существуют с вероятностью единица.

Рассмотрим C(Rn ) пространство действительных непрерывных функций на Rn, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах.

Функциональным вариантом теоремы 3.1.1 является Теорема 3.2.1. Пусть f (·, y) C n (Rn ) при каждом y Rm. Предположим, что для любого компакта K Rn найдется такая ограниченная интегрируемая действительная функция K на Rm, что при y Rm справедлива оценка |f (x, y)| K (y), x K, и все частные производные f (x, y) по переменным x1,..., xn вплоть до порядка n включительно также не превосходят по модулю K (y), когда x K. Тогда семейство распределений случайных полей ZT [f ], T > 0, в пространстве C(Rn ) является плотным, и ZT [f ] сходится по распределению в этом пространстве при T к центрированному гауссовскому полю Z с ковариационной функцией Далее мы воспользуемся этим результатом при исследовании предельного поведения параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными. Чтобы доказать теорему 3.2.1, нам потребуются несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1. Тогда при любом T > 0 траектории случайного поля ZT [f ] непрерывны с вероятностью единица.

Доказательство. Достаточно установить искомое утверждение при T = 1, поскольку где Выберем некоторое a > 0 и докажем п.н. непрерывность Z1 [f ] на K = [a, a]n.

Непрерывность функции очевидна. Поэтому достаточно установить п.н. непрерывность M [f (x, ·)] по x K. В силу определения случайной меры и леммы 3.1.4 с вероятностью x K, y Rm, интеграл сходится равномерно по x K. А значит, функция g непрерывна на K. Лемма доказана.

Тогда для любого блока B Bn справедлива оценка Доказательство проведем индукцией по n. База индукции при n = вытекает из формулы Лагранжа. Установим шаг индукции. Представим блок B в виде Введем функцию h(y) = g(Bn1, y), y R. В силу формулы Лагранжа для некоторого из интервала (a, b). По предположению индукции имеем Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.2.1. Вначале установим сходимость конечномерных распределений случайных полей ZT [f ], T. Воспользуемся приемом Крамера-Уолда. Возьмем произвольные c1,..., cp R и x(1),..., x(p) Rn.

Имеем этому выполнены условия теоремы 3.1.1 (либо, соответственно, следствия 3.1.7).

Таким образом, имеет место сходимость по распределению Кроме того, Чтобы завершить доказательство теоремы, остается проверить плотность распределений ZT [f ], T > 0, в пространстве C([a, a]n ) для произвольного функция, равная единице при x [a, a]n и нулю при x Rn \[a 1, a + 1]n.

Введем Легко видеть, что Поэтому достаточно установить плотность распределений ZT [g], T > 0, в пространстве C(K), где K = [a 1, a + 1]n. В силу гладкости a найдется такой множитель D > 0, что что при y Rm справедлива оценка |g(x, y)| DK (y), x K, и все частные производные g(x, y) по переменным x1,..., xn вплоть до порядка n включительно также не превосходят по модулю DK (y), когда x K. Возьмем произвольный блок B Bn. В силу лемм 3.1.4 и 3.2. где D1 не зависит от T и B. Таким образом, плотность распределений ZT [g], T > 0, вытекает из леммы 2.2.4. Теорема доказана.

Замечание 3.2.4. Утверждение теоремы 3.2.1 остается верным, если вместо x Rn и C(Rn ) рассмотреть x U и C(U ), где U = (0, ) Rn1.

3.3. ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса Рассмотрим задачу Коши для уравнения Бюргерса Это уравнение используется при описании ряда физических явлений, таких, например, как ударные волны и турбулентность [13]. С помощью подстановки Хопфа-Коула оно сводится к уравнению теплопроводности, поэтому решение задачи Коши для уравнения Бюргерса допускает явное представление в виде отношения двух интегралов с определенными ядрами. Мы будем рассматривать модель, в которой начальный потенциал задается некоторым стационарным случайным полем (см. [100]). Возникает она, например, при исследовании крупномасштабного строения Вселенной (см. [93]).

ЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса впервые была получена в работе [8]. Параболическое преобразование интенсивно исследовалось в дальнейшем ([47], [46], [67], [73] и др.). Асимптотические свойства гиперболически преобразованных решений изучались, например, в [79]. Ряд работ также посвящен исследованию предельных свойств решений уравнения Бюргерса c внешней силой: как случайной (напр., [96]), так и неслучайной ([42], [74] и др.). В [1] и [2] были впервые доказаны варианты ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения Бюргерса. Отметим, что обзор некоторых задач, связанных с изучением решений уравнения Бюргерса со случайными начальными данными, можно найти в [98].

Мы обобщим результат [2]. Для упрощения выкладок без потери общности считаем = 1/2. С помощью подстановки Хопфа-Коула (см., напр., [54]) решение (3.8) можно представить в виде Полагая формально M (dy) = ey dy, для t > 0 и x Rd имеем Функции A и B мы далее будем также обозначать как A[] и B[]. Следуя [8] для T 1 введем параболическое преобразование решения уравнения Бюргерса формулой где Нас будут интересовать предельные свойства случайных полей VT в случае, когда M стационарная квадратично интегрируемая случайная мера.

Доказательства следующих трех утверждений следуют схемам доказательств лемм 4 и 5, а также теоремы 2 из [2] (эти доказательства можно найти в [10]: леммы 8.2.1 и 8.2.2, теорема 8.2.3), установленных для ассоциированной случайной меры M. Отличие состоит в том, что нами используются лемма 3.1.4 и теорема 3.1.1 (либо следствие 3.1.7) вместо аналогичных результатов из статьи [66]. Поэтому здесь мы приведем лишь формулировки требуемых нам утверждений.

Лемма 3.3.1 ([2]). Предположим, что M удовлетворяет условиям (C1) и (C2), или случайное поле = {t, t Rd } удовлетворяет условиям следствия 3.1.7. Тогда конечномерные распределения случайных полей AT сходятся при T к конечномерным распределениям центрированного гауссовского случайного поля A = (A,i )i=1,...,d с ковариационной функцией Лемма 3.3.2 ([2]). В условиях леммы 3.3.1 для любых t > 0 и x Rd имеP ет место сходимость по вероятности BT (t, x) aM (2t)d/2, когда T.

Лемма 3.3.3 ([2]). Пусть выполнены условия леммы 3.3.1. Тогда конечномерные распределения случайных полей VT сходятся при T к конечномерным распределениям центрированного гауссовского случайного поля V = (V,i )i=1,...,d с ковариационной функцией Отметим, что ковариационная функция вида (3.10) была впервые получена в работах [46] и [47], в которых изучались решения задачи Коши для уравнения Бюргерса с начальным потенциалом, задаваемым некоторым полем дробового шума.

Рассмотрим C((0, )Rd, Rd ) пространство непрерывных на (0, )Rd функций со значениями в Rd, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах.

Следующая теорема обобщает аналогичное утверждение для ассоциированных случайных мер, доказанное в [2]. А именно, применение теоремы 3.2. убывания к нулю коэффициента Кокса-Гримметта рассматриваемой случайной меры, а также от требования существования у нее моментов достаточно высоких порядков.

Теорема 3.3.4. При выполнении условий леммы 3.3.1 случайные поля VT сходятся при T по распределению в пространстве C((0, ) Rd, Rd ) к центрированному гауссовскому полю с ковариационной функцией, задаваемой формулой (3.10).

Доказательство. Сходимость конечномерных распределений следует из леммы 3.3.3, поэтому остается проверить плотность распределений VT, T 1. Легко видеть, что достаточно доказать плотность распределений пов C((0, ) Rd ) для каждого i = 1,..., d, где лей VT,i = AT,i /(tBT ), T AT = (AT,1,..., AT,d ). Проведем рассуждение для i = 1. Отметим, что достаточно установить плотность распределений AT,1 и BT, T 1 (см. доказательство теоремы 8.2.7 из [10]). Имеем где Таким образом, плотность распределений AT,1, T 1, вытекает из замечания 3.2.4. Поскольку математическое ожидание является непрерывной функцией от t и x и не зависит от T, плотность распределений BT, T 1, также является следствием замечания 3.2.4. Теорема доказана.

3.4. ФПТ для решений уравнения Бюргерса, соответствующих начальным потенциалам, задаваемым полями дробового шума Нам понадобятся некоторые свойства пространств гладких функций.

Пусть U k Z+ {}, m N, пространство k раз непрерывно-дифференцируемых функций на U, принимающих значения в Rm, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах всех частных производных вплоть до порядка k включительно (производной нулевого порядка считаем саму функцию).

Пусть {Kn } последовательность компактов из U таких, что Kn Kn+1, согласно лемме 10.1 из [99]). Здесь K множество граничных точек компакта K. Легко видеть, что топология на C k (U, Rm ) задается метрикой где полунормы dn,l,m определяются формулой Здесь Отметим, что справедливо представление C k (U, Rm ) = C k (U, R)m.

Введем также C k (U, C) = C k (U, R2 ), n N. Пространство C k (U, R) можно рассматривать как замкнутое подмножество C k (U, C). Известно (см. [99], с. 87), что C k (U, C) является полным, а значит, C k (U, R) тоже полное как замкнутое подмножество полного пространства. Кроме того, полиномы с комплексными коэффициентами образуют всюду плотное подмножество C k (U, C) ([99], с. 160, следствие 4). Следовательно, семейство полиномов с действительными коэффициентами плотно в C k (U, R). Поскольку любой такой полином можно приблизить в C k (U, R) полиномом с рациональными коэффициентами, пространство C k (U, R) является сепарабельным. Таким образом, пространства C k (U, Rm ), m N, являются полными и сепарабельными как конечные топологические произведения полных сепарабельных пространств.

Борелевская -алгебра в сепарабельном метрическом пространстве порождается открытыми шарами. Любой открытый относительно метрики (3.12) шар порождается системой конечных пересечений множеств вида В то же время любое такое множество в силу непрерывности всех производных вплоть до порядка k функций из пространства C k (U, Rm ) является не более чем счетным пересечением множеств вида Таким образом, конечные пересечения множеств (3.13) образуют -систему AU,k,m, которая порождает борелевскую -алгебру на C k (U, Rm ). А значит, класс AU,k,m является определяющим меру классом (см. [11], гл. V, с. 169, определение 8) измеримого пространства (C k (U, Rm ), B(C k (U, Rm ))). Кроме того, любое случайное поле на U со значениями в Rm и п.н. k-раз непрерывно дифференцируемыми траекториями является случайным элементом со значениями в (C k (U, Rm ), B(C k (U, Rm ))).

Рассмотрим задачу Коши (3.8) для уравнения Бюргерса при = 1/2. Интерес представляет изучение предельного поведения решений, если начальный потенциал задается некоторым случайным полей дробового шума (см., напр., [45], [8], [97]). Мы будем исследовать модель, в которой t = Sn [h](t), t Rd, n N, где Sn [h] имеет вид Здесь h(·) L1 (Rd ), {xn,i } пуассоновский точечный случайный процесс интенсивности n (в силу леммы 9.1.13 из [56] можно считать, что xn,i, n, i N, случайные векторы) с независимыми одинаково распределенными (н.о.р.) марками {an,i }, Ean,i = µ, Var(an,i ) = 2, > 0, семейства {an,i } и {xn,i } независимы при всех натуральных n. Известно, что при этих условиях ряд в правой части (3.14) абсолютно сходится с вероятностью единица, и случайные поля Sn [h], n N, интегрируемы (см. [10], доказательство леммы 1.3.6).

и введем для > Следующий результат устанавливает ФПТ для решений уравнения Бюргерса с начальными потенциалами, задаваемыми полями Sn [h], при n N.

торого > 0, то имеет место сходимость по распределению в пространстве C ((0, ) Rd, Rd ) случайных полей vn = v[Sn [h]] (v[·] определено в (3.9)) к центрированное гауссовское поле на Rd с ковариационной функv[Z], где Z цией Перед тем, как приступить непосредственно к доказательству теоремы 3.4.1, мы установим ряд вспомогательных результатов, касающихся полей дробового шума. Положим Лемма 3.4.2. При выполнении условий теоремы 3.4.1 траектории Sn [h] п.н. непрерывны и конечномерные распределения Un [h] сходятся к конечномерным распределениям Z при n.

Доказательство. Зафиксируем n N. Отметим, что согласно рассуждениям из [8] (лемма 1; см. также [10], Приложение, теорема 3.1) можно считать, Здесь n,m P ois(n), ym,j, j N, равномерно распределены на m (0, 1]d, а bm,j a1,0. При этом предполагается, что с.в. n,m, ym,j и bm,j, m Zd, j N, являются независимыми в совокупности. Для t Rd имеем Используя аналогичные рассуждения и применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем равенство При любых s, t Rd и l, m Zd, l = m, схожим образом выводится соотношение Тогда как при l = m Имеем Таким образом, следует, что E|Sn [g]| <, а значит, для всех t0 Rd ряд (3.14) с вероятностью единица сходится равномерно на множестве {t : |t t0 | }, откуда и вытекает непрерывность траекторий Sn [h] п.н. Пусть теперь S (k) [h], k N, независимые копии S1 [h]. Тогда Поэтому утверждение о сходимости конечномерных распределений следует из центральной предельной теоремы для н.о.р. случайных векторов. Лемма доказана.

Лемма 3.4.3. При выполнении условий теоремы 3.4.1 для произвольного a > 0 найдется такой множитель C = C(a, ) > 0, что для всех M > справедливо неравенство Доказательство. Пусть (t) = a (t), t Rn, некоторая гладкая функция, равная единице при t [a, a]d и нулю при t Rn \[a1, a+1]d. Рассмотрим семейство функций gx (t) = h(t + x)(t), t, x Rd. Существует C1 = C1 (a) такое, что Pd [gx ](t) B [a 1, a + 1]d, имеем Поэтому найдется такое C2 = C2 (a, ), что для всех блоков B Bd, B [a 1, a + 1]d, справедлива оценка Поскольку случайные поля Un [h] обращаются в нуль на границе множества [a 1, a + 1]d, то в силу теоремы 1 из [43] существует такое C = C(a, ), что для каждого M > 0 выполнено неравенство Лемма доказана.

Лемма 3.4.4. При выполнении условий теоремы 3.4.1 случайные поля Un [h] сходятся по распределению в пространстве C(Rd ) к полю Z.

Доказательство. Сходимость конечномерных распределений является следствием леммы 3.4.2. Возьмем любое a > 0 и рассмотрим функцию = a, фигурирующую в доказательстве леммы 3.4.3. В силу оценки (3.16) и леммы 2.2.4 последовательность распределений случайных полей Un [h], n N, плотна в пространстве C([a 1, a + 1]d ). А значит, последовательность распределений полей Un [h], n N, плотна в пространстве C([a, a]d ). Поскольку a > 0 было выбрано произвольным, лемма доказана.

Лемма 3.4.5. Предположим, что строго стационарные случайные поля n = {n (t), t Rd } сходятся п.н. при n к строго стационарному полю = {(t), t Rd } в пространстве C(Rd ). Пусть также существует такое C > 0, что для любого M > 0 справедлива оценка Зафиксируем некоторое r (0, 1). Предположим, что действительная функция p(t, x, y) непрерывна на [r, 1/r] R2d и удовлетворяет при некоторых A, > 0 неравенству Тогда последовательность случайных полей сходится по вероятности в пространстве C([r, 1/r] Rd ) при n к полю Доказательство. Вначале покажем, что I[p, n ], n N, и I[p, ] являются случайными полями с п.н. непрерывными траекториями. Установим это для поля I[p, ]. Введем случайные величины Зафиксируем некоторое a > 0. При (t, x) [r, 1/r] [a, a]d имеем неравенство Для любого K1 N, K1 > K0, и произвольного M > 0 верны оценки При M 1 справедливо неравенство (3.19) стремится к нулю при M. Поэтому ряд (3.18) сходится с вероятностью единица.

Легко видеть, что Поэтому 1 стремится к нулю п.н., когда n. Рассмотрим произвольное > 0. Используя те же рассуждения, что и при выводе оценки (3.19), имеем Выберем K1 так, что P(2 > /2) < /2 при любом n N. Возьмем N N такое, что В силу произвольности выбора > 0 и a > 0 лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.4.1. Прежде всего покажем, что траектории случайных полей vn, n N, принадлежат пространству C ((0, )Rd, Rd ).

Отметим, что vn = v[Sn [h]] = v[Un [h]]. Рассмотрим поля An = A[Un [h]] = (An,1,..., An,d ) и Bn = B[Un [h]]. Поскольку случайные поля Bn, n N, являются п.н. строго положительными на (0, ) Rd, достаточно проверить, что с вероятностью единица траектории An,i, i = 1,..., d, и Bn, n N, бесконечно дифференцируемы. Проведем доказательство для поля An,1 при некотором натуральном n (для Bn рассуждения полностью аналогичны). Покажем, что для любого Zd+1 производная D 1,...,xd An,1 существует и непрерывна с вероятt,x ностью единица. Положим где f1 определена в (3.11). Выберем произвольное r (0, 1). Функция p, очевидно, удовлетворяет условиям леммы 3.4.5 при некоторых A = A(, r) и = (, r). Из доказательства леммы 3.4.5 следует, что интеграл сходится равномерно по (t, x) [r, 1/r] [a, a]d п.н. при любом a > 0. Применяя индукцию по и правило Лейбница дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, получаем, что с вероятностью единица на [r, 1/r]Rd существует непрерывная производная По лемме 3.4.4 случайные поля Un [h] сходятся к Z по распределению в пространстве C(Rd ) при n. Воспользуемся теоремой Скорохода о переходе к одному вероятностному пространству (см., напр., [11], теорема 5.11). Найдется последовательность случайных полей n, n N, сходящаяся к полю в C(Rd ) при n п.н., такая, что n = Un [h], n N, = Z. В силу лемм 3.4. и 3.4.4 к случайным полям n, n N, и применима лемма 3.4.5. А значит, для произвольной функции p : (0, ) R2d R, удовлетворяющей условиям леммы 3.4.5 при любом r (0, 1), имеет место сходимость по вероятности в пространстве C((0, ) Rd ) Пусть p(1),..., p(m), действительные функции на (0, ) R2d, для которых выполнены условия леммы 3.4.5 при любом r (0, 1). Рассмотрим Ae|y|, y R. Поэтому справедлива оценка |f (y)| где k, k Zd, фигурируют в (3.17). Так же, как и сумма в правой части (3.18), ряд (3.22) сходится с вероятностью единица. Соответственно, п.н. верно равенство Кроме того, легко видеть, что Следовательно, имеет место совпадение распределений в пространстве C((0, ) Rd )m Отметим, что для производных полей A[], A[Z] и B[], B[Z] справедливы формулы, аналогичные (3.20). Поэтому совпадают распределения в пространстве C ((0, ) Rd, Rd ) случайных полей v[] и v[Z] (поскольку определяющим меру классом данного пространства является система цилиндрических множеств A(0,)Rd,,d ). Аналогичным образом получаем совпадение распределений v[n ] и v[Un [h]], n N.

Соотношение (3.21) влечет сходимость по вероятности в пространстве Поскольку случайное поле B[] строго положительно с вероятностью единица, отсюда, как и при доказательстве теоремы 3.3.4, вытекает сходимость Теорема доказана.

3.5. Предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса Рассмотрим систему, на которую в случайные моменты времени действует некоторый фактор случайной интенсивности. Важной задачей является оценка вероятности того, что за определенный промежуток времени величина воздействия этого фактора превысит заданный уровень. О практических приложениях, где возникает эта проблема, можно прочесть в монографии [24] (см. также [22] и [21]). Нас будет интересовать оценка упомянутой вероятности в том случае, когда моменты действия фактора описываются так называемым процессом Кокса.

Пусть {N (t), t 0} пуассоновский процесс единичной интенсивности, а {(t), t 0} некоторый независящий от него процесс. Будем предполагать, что {N (t), t 0} и {(t), t 0} имеют п.н. неубывающие и непрерывные справа траектории, выходящие из нуля. Тогда процесс Кокса вводится формулой Подобные дважды стохастические пуассоновские процессы активно используются при исследовании ряда задач теории риска. Отметим также, что имеются работы (см., напр., [71], [34]) посвященные рассмотрению многомерных обобщений процесса Кокса.

Предположим, что существуют неограниченно возрастающая функция d(t) > 0, t [0, ), и случайная величина такие, что Пусть Xn, n N, некоторая последовательность случайных величин, характеризующих воздействие фактора на систему. Будем считать, что совокупности.

и рассмотрим случайный процесс M (t) = MZ(t), t 0, называемый максобобщенным процессом Кокса. Отметим, что M (t) является случайной величиной при каждом t 0, поскольку любой случайный процесс с дискретным временем (в частности, Mn, n N) измерим.

Положим F (x) = P(X1 < x), x R. Допустим, что функция 1 F (x) является правильно меняющейся (в смысле Карамата), т.е. для некоторого > справедливо соотношение Введем В статье [22] показано, что если случайные величины Xn, n N независимы и одинаково распределены, то Мы обобщим этот результат, рассмотрев зависимые и, вообще говоря, неодинаково распределенные случайные величины Xn, n N.

Определим удовлетворяющая условию Нам понадобится простая равномерна по y на любом промежутке [0, C], C > 0.

Доказательство. Предположим, что сходимость неравномерная, т.е. существуют > 0 и последовательность {ynk }, ynk [0, C], где nk N, nk, k, для которых h(ynk, nk ) >. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что ynk y0 при k. Найдется k0 N такое, что если k > k0, то справедлива оценка |ynk y0 | < /4. Поэтому при всех достаточно больших k имеем Значит, Пришли к противоречию. Лемма доказана.

Теорема 3.5.2. Пусть выполнены условия (E1) и (E2). Тогда если для всех y 0 имеет место сходимость то для каждого a > где L(a) = Eea.

[x]A = (|x| A)sgn(x), x R. Легко видеть, что Поэтому достаточно установить соотношение при каждом A > 0. Имеем По формуле Стирлинга для любого натурального n верно неравенство 2nnn en. Следовательно, при n 2eAd(t) справедлива оценка Поэтому найдется такое N N, что для всех n > N и y [0, 2eAa] верна оценка h(y, n) <. Таким образом, Так же, как и при оценке S2, получаем, что А значит, Теорема доказана.

Покажем, что теорема 3.5.2 обобщает (3.24). Действительно, допустим, что Xn, n N, независимые одинаково распределенные случайные величины.

Если справедливо соотношение (3.23), то Поэтому Введем Определим функцию h на R+ формулой При y > 0 имеем В то же время Таким образом, справедливо (3.25). Зафиксируем некоторое x > 0. Подставляя a = x в (3.26), получаем сходимость Заметим, что если an, bn > 0, n N, две неограниченно возрастающие последовательности, то в силу (3.23) к формуле Кроме того, используя (3.23), получаем соотношение Выберем произвольное (0, 1). Применяя (3.29) и (3.30) при y = x(1 ) и y = x(1 + ), имеем Поэтому найдется t0 такое, что при t > t В силу произвольности выбора (0, 1) соотношение (3.24) вытекает из (3.28).

Отметим, что если случайные величины Xn, n N, одинаково распределены, но, вообще говоря, зависимы, достаточные для выполнения (3.25) условия можно найти, например, в [27].

В диссертации рассмотрены взаимосвязанные задачи, относящиеся к исследованию асимптотических свойств нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей. Получена оптимальная оценка ковариации индикаторных функций от положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин. Кроме того, установлена новая оценка моментов сумм зависимых случайных величин. С ее помощью ослаблены условия, обеспечивающие выполнение функциональной центральной предельной теоремы типа ДонскераПрохорова для случайных полей. Новые оценки применены и к выводу предельных теорем для объемов экскурсионных множеств. В диссертации также изучено предельное поведение ряда функций от случайных мер. В частности, получено обобщение теоремы Эванса.