На правах рукописи

Щербаков Виктор Викторович

Оптимальное управление формой и структурой

тонких включений в задачах теории упругости

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Новосибирск – 2014

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Хлуднев Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

Колпаков Александр Георгиевич, доктор физико-математических наук, Феде­ ральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего про­ фессионального образования «Сибирский государственный университет теле­ коммуникаций и информатики», профессор кафедры телекоммуникационных сетей и вычислительных средств Назарова Лариса Алексеевна, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение нау­ ки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук, заведующая отделом

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учрежде­ ние науки Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Рос­ сийской академии наук

Защита состоится 14 апреля 2014 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук (ИГиЛ СО РАН) по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 15. Факс: (383) 333-16-12, e-mail: [email protected]

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГиЛ СО РАН.

Автореферат разослан « » 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Кургузов В.Д.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описываю­ щих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоени­ ем. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Синьорини), задан­ ные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.

Актуальность темы исследования. Интерес к вопросам оптимального проектирования формы и внутренней структуры упругих конструкций, содер­ жащих тонкие жесткие и упругие включения, обусловлен широким распростра­ нением композиционных материалов с тонкими волокнами. Подобные материа­ лы применяются в строительной отрасли, машиностроении, авиации, космиче­ ской технике, медицине. В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещины. Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противопо­ ложных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуа­ ций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов трещины друг в друга.

Впервые задача о равновесии трехмерного упругого тела с трещиной при краевом условии непроникания, выражающемся в неотрицательности скачка нормальных перемещений на берегах, была рассмотрена Э. Санчес-Паленсией в связи с изучением вопросов усреднения. Условие непроникания дополнялось следующими требованиями на берегах трещины: равенство нулю касательных напряжений, равенство противоположных нормальных напряжений, которые будут нулевыми в случае раскрытия трещины и неположительными в точках ее смыкания. Таким образом, полный набор краевых условий представляет со­ бой модель трещины с возможным контактом берегов при нулевом трении. В целом такая задача равновесия является нелинейной, принадлежит к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов заранее неизвестны и находятся в процессе решения задачи, а ее слабая формулировка может быть дана в виде вариационного неравенства на выпуклом множестве всех кинема­ тически допустимых перемещений.

Последние десятилетия характеризуются интенсивным развитием теорети­ ческих и численных методов исследования вариационных задач равновесия для различных моделей теории упругости с жесткими и упругими включениями, а также трещинами при краевых условиях непроникания. Существенный вклад в изучение указанного класса задач внесли отчественные и зарубежные ученые:

А.М. Хлуднев, В.А. Ковтуненко, Н.П. Лазарев, Е.М. Рудой, M. Hintermller, K.-H. Hoffmann, D. Hoemberg, D. Knees, K. Kunisch, G. Leugering, M. Negri, K. Ohtsuka, J. Sokolowski, A. Tani.

В теоретическом плане рассматриваемые в диссертации задачи управле­ ния формой и структурой тонких включений интересны тем, что изучаются свойства решений для нелинейных моделей, описывающих процессы в сильно неоднородных деформируемых телах.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной ра­ боты заключается в исследовании проблем оптимального управления формой и структурой отслоившихся тонких включений в краевых задачах теории упру­ гости с условиями непроникания и, в частности, в получении результатов об их разрешимости.

Основные результаты диссертации:

1. Доказано существование оптимального параметра жесткости для тон­ кого включения, расположенного в двумерном упругом теле с трещиной, при котором реализуется наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения дальнейшего развития трещины.

2. Изучена задача оптимального управления для двумерного упругого те­ ла с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыка­ ющей к нему трещиной. Роль функции управления играет положение точки излома, разбивающей включение на два взаимодействующих тонких жестких включения. Функционал качества совпадает с производной функционала энер­ гии по длине трещины. Установлено существование точки излома, обеспечиваю­ щей наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса.

3. Исследована задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоив­ шимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхно­ стью. Показана непрерывная зависимость решения от формы жесткого включе­ ния. В частности, доказано существование экстремальной формы тонкого жест­ кого включения, минимизирующей среднеквадратичное интегральное отклоне­ ние вектора поверхностных сил от заданной на внешней границе вектор-функ­ ции.

4. Установлена разрешимость задачи оптимального управления для урав­ нений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением. В качестве управления выбирается форма вклю­ чения, а целевой функционал характеризует среднеквадратичное интегральное отклонение изгибающего момента от заданной на внешней границе функции.

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, явля­ ются новыми и получены автором самостоятельно, их достоверность подкреп­ лена строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теорети­ ческий характер. Полученные в ней результаты могут служить основой для дальнейшего теоретического и численного анализа задач оптимального управ­ ления формой и структурой тонких включений, а также быть использованы при исследовании обратных задач идентификации формы жестких включений в деформируемых телах.

Методы исследования. Для доказательства существования решения за­ дач оптимального управления применяются прямые методы, базирующиеся на априорных оценках решений задач равновесия. При этом существенно исполь­ зуются общие методы функционального анализа, вариационного исчисления, теории пространств Соболева, анализа чувствительности форм, а также свой­ ства решений систем уравнений в частных производных эллиптического типа.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации доклады­ вались и обсуждались на XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Ново­ сибирск, 2012), IV, V Международных молодежных научных школах-конфе­ ренциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных за­ дач" (Новосибирск, 2012, 2013), Международной конференции по математиче­ ской теории управления и механике (Суздаль, 2013), Международной конферен­ ции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Ново­ сибирск, 2013), Всероссийской конференции по математике и механике, посвя­ щенной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию меха­ нико-математического факультета (Томск, 2013), Международной научной кон­ ференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященной 85-летию со дня рождения академика А.С. Алексеева (Новосибирск, 2013), семинаре "Краевые задачи в областях с негладкими гра­ ницами" под руководством д.ф.-м.н. А.М. Хлуднева (ИГиЛ СО РАН), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела под руководством академика Б.Д. Аннина (ИГиЛ СО РАН).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикаци­ ях [1–10], три из которых — статьи в рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Общий объем диссертации составляет 84 стра­ ницы, включая 2 рисунка. Библиография содержит 106 наименований на страницах.

Содержание работы Во введении приведен обзор литературы, близкой к теме данной работы, сформулирована цель и представлены выносимые на защиту научные положе­ ния, показана практическая значимость полученных результатов, а также дано краткое описание содержания работы по главам.

В первой главе рассматривается задача управления параметром жестко­ сти тонкого включения, расположенного в двумерном упругом теле. Предпола­ гается, что в теле имеется трещина, часть которой проходит вдоль включения.

На берегах трещины задаются краевые условия, имеющие вид равенств и нера­ венств и описывающие взаимное непроникание берегов трещины. Пусть R — ограниченная область с липшицевой границей. Предположим, что кривая делит область на две подобласти 1 и 2 с липшицевыми границами и 2, причем meas( ) > 0, = 1, 2; а части, кривой на плоскости Обозначим через = (1, 2 ) вектор единичной нормали к, пусть также = ( ). В наших рассуждениях соответствует тонкому включе­ нию с параметром жесткости [0, ], а — трещине в упругом теле.

Предельные случаи = 0 и = отвечают трещине и тонкому полужест­ кому включению, а случай (0, ) описывает тонкое упругое включение.

Упругие свойства тела характеризуются симметричным, положительно опреде­ ленным тензором модулей упругости = { },,,, = 1, 2, = const.

В разделе 1.1 представлены формулировки задач равновесия для упругих тел с тремя видами включений. Рассмотрим случай, когда определяет трещи­ ну. В области необходимо найти вектор перемещений 0 = (0, 0 ) и тензор напряжений 0 = { },, = 1, 2, такие, что Здесь = (1, 2 ) 1 ()2 — заданные внешние силы, (0 ) = { (0 )} — скачок вектора на, где ± соответствует значениям на положительном и отрицательном берегах кривой по отношению к выбранной нормали.

Уравнения (1) представляют собой уравнения равновесия, соотношения (2) — линейный закон Гука. Краевые условия (4) обеспечивают взаимное непрони­ кание берегов трещины с нулевым трением.

Дифференциальная постановка задачи о равновесии двумерного упругого тела с трещиной и полужестким включением состоит в следующем. В области требуется найти функции = (1, 2 ), = 0 на, 0 (), и = { },, = 1, 2, такие, что ет равенство нулю главного вектора сил и главного момента, действующих на Формулировка задачи равновесия в случае упругого включения будет та­ кой. Найти поле перемещений = (1, 2 ), тензор напряжений = { },, = 1, 2, и перемещения тонкого включения, определенные в,, соответственно, такие, что Уравнение (13) представляет собой дифференциальное уравнение четвертого порядка для прогиба тонкого упругого включения, которое изгибается в направ­ лении оси 2 в рамках приближенной гипотезы балок Бернулли — Эйлера. В соответствии с третьим условием в (16) вертикальные перемещения упругого тела на совпадают с перемещениями тонкого включения.

Задачи (1)–(4), (5)–(10), (11)–(17) допускают вариационную постановку:

каждая из них может быть сформулирована в виде минимизации функционала потенциальной энергии на выпуклом замкнутом множестве всех допустимых перемещений.

В разделе 1.2 для каждой из рассмотренных выше задач равновесия при­ ведена формула производной функционала энергии по длине трещины. Счи­ таем, что кривая 1 задается графиком функции 3 (0, 1 ), т. е.

1 = { (1, 2 ) | 2 = (1 ), 0 < 1 < 1 }, а трещина описывается частью Обозначим через гладкую срезающую функцию с носителем вблизи верши­ ны трещины (, ()), равную единице в достаточно малой окрестности точки (, ()). Единую для всех [0, ] формулу производной функционала энер­ гии по длине криволинейной трещины можно записать в виде где Здесь ( ; ) = 2 (,, +,, ) — трансформированный тензор дефор­ маций, совпадает с решением задачи равновесия (5)–(10), = (0, ), () = ((), (1 )()).

В разделе 1.3 изучается вопрос существования оптимального параметра жесткости тонкого включения, который позволяет указать наиболее без­ опасную трещину с точки зрения критерия Гриффитса. Из определения про­ изводной функционала энергии по длине трещины следует, что для любого рию Гриффитса трещина начинает развиваться, если () достигает крити­ ческого значения (заданного материального параметра). Задача нахождения оптимального параметра формулируется следующим образом:

Теорема 1.1. Существует решение задачи оптимального управления (18).

Во второй главе рассматривается задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. При этом предполагается, что тонкое включение разбивается точкой излома на два взаимодействующих тон­ ких жестких включения. Роль функции управления играет положение точки излома.

В разделе 2.1 описана геометрия задачи равновесия, которая в целом сов­ падает с геометрией задачи, рассмотренной в главе 1, также приведены две постановки задачи: дифференциальная и вариационная. Для малого > 0 обо­ значим = (1 +, ) {0}. Считаем, что тонкое жесткое включение имеет излом в точке 0, то есть = 1 2 {0 }, причем 1 и 2 являют­ ся тонкими жесткими включениями. Это означает, что перемещения точек суть элементы пространств ( ) инфинитезимальных жестких перемещений, которые определяются следующим образом:

Дифференциальная постановка задачи о равновесии двумерного упругого тела с трещиной и тонкими жесткими включениями 1,2, которые отслаиваются на +, состоит в следующем. Найти поле перемещений = (1, 2 ), функции ( ), тензор напряжений = { },, = 1, 2, такие, что Условия равновесия тонких жестких включений 1, 2 описываются интеграль­ ным соотношением (25). Сформулированная задача примыкает к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов, т. е. точки, в которых [] = 0 на, заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи.

Задача (19)–(25) разрешима и допускает вариационную формулировку. Дей­ ствительно, пусть ( ) = { 1 ( ) | = 0 на }, где 1 ( ) — простран­ ство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе с первыми производ­ ными в. Определим выпуклое замкнутое в ( )2 множество допустимых перемещений Существует единственное решение задачи минимизации коэрцитивного, полу­ непрерывного снизу, строго выпуклого функционала потенциальной энергии на множестве, удовлетворяющее вариационному неравенству Постановки (19)–(25) и (26) эквивалентны на достаточно гладких решениях: лю­ бое гладкое решение краевой задачи (19)–(25) удовлетворяет (26), и обратно, все соотношения (19)–(25) можно получить из (26), предполагая дополнительную гладкость решения и выбирая подходящие пробные функции.

В разделе 2.2 выписана производная функционала энергии по длине кри­ волинейной трещины, вычисленная на решении задачи (19)–(25).

Раздел 2.3 посвящен формулировке и доказательству основного результа­ та главы 2. Рассмотрим производную функционала энергии, обозначаемую че­ рез, как функционал, зависящий от положения точки излома: = (0 ).

Задача нахождения точки излома, которая обеспечивает наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса, заключается в следующем:

Теорема 2.1. Существует решение задачи оптимального управления (27).

В третьей главе изучается задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой дву­ мерной поверхностью.

В разделе 3.1 представлены дифференциальная и вариационная постанов­ ки задачи равновесия. Для решения вариационной задачи найдена точная ин­ терпретация всех краевых условий на берегах трещины отслоения в подходя­ щих функциональных пространствах. Пусть R3 — ограниченная область с границей класса 2, а — гладкая поверхность без самопересечений, = ; =. Для заданных внешних нагрузок = (1, 2, 3 ) тре­ буется найти поле перемещений = (1, 2, 3 ), функцию 0 (), тензор напряжений = { },, = 1, 2, 3, такие, что кососимметрическая матрица, — постоянный вектор.

В разделе 3.2 рассматривается задача оптимального управления формой включения, расположенного в однородном изотропном упругом теле. Пусть = (1, 2, 3 ) — единичный вектор нормали к, R2 — ограниченная область с липшицевой границей, а 0 () — непустое выпуклое замкну­ тое и ограниченное множество. Считаем, что каждая поверхность, задаваемая графиком функции, лежит в области, строго внутренней по отношению Задача оптимального управления формой тонкого жесткого включения состоит в том, чтобы среди элементов множества допустимых управлений выбрать такой, при котором отклонение вектора поверхностных сил от за­ данной вектор-функции * 2 ()3 будет наименьшим. Другими словами, тре­ буется решить задачу с функционалом качества () = () * ; 2 ()3.

Побудительным мотивом к исследованию проблемы (34) является обратная задача идентификации для модели (28)–(33), где наряду с полем перемещений и тензором напряжений, неизвестной является форма включения. При этом в качестве дополнительной информации о решении используется значение * вектора поверхностных сил на внешней границе..

Основной результат третьей главы заключается в доказательстве следую­ щего утверждения.

Теорема 3.1. Существует решение задачи оптимального управления (34).

Четвертая глава посвящена изучению задачи оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отсло­ ившимся тонким жестким включением. Условие непроникания точек пласти­ ны и включения имеет более сложную структуру по сравнению с ситуациями, представленными ранее: его правая часть содержит первые производные от про­ гибов срединной поверхности, что осложняет исследование задачи управления формой включения.

В разделе 4.1 описана геометрия рассматриваемой задачи равновесия, при­ ведены дифференциальная и вариационные постановки задачи. Пусть — огра­ ниченная область в пространстве R2 с границей класса 4, — глад­ кая кривая без самопересечений, =. Обозначим через = (1, 2 ) и = (1, 2 ) единичные нормали к и соответственно. Отождествим сре­ динную поверхность пластины с областью, считая при этом, что кривая соответствует тонкому жесткому включению. Для описания вертикальных перемещений точек нам понадобится пространство непрерывных аффинных Постановка задачи о равновесии однородной изотропной пластины с тон­ ким жестким включением, которое отслаивается на +, состоит в следующем.

Найти горизонтальные = (1, 2 ) и вертикальные перемещения, функции 0 (), 0 (), такие, что Здесь = (1, 2 ) 1 ()2, 1 () — заданные внешние нагрузки;

— множество допустимых перемещений пластины. Компоненты тензоров уси­ лий () = { ()} и деформаций () = { ()} связаны линейным законом Гука. Изгибающий момент и перерезывающая сила определяются по формулам