На правах рукописи

СЫРЕСИН ДЕНИС ЕВГЕНЬЕВИЧ

Разработка методов и алгоритмов вычисления

спектров радиально-неоднородных анизотропных

упругих цилиндрических волноводов

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 2012

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физикоматематических наук, профессор Петров Игорь Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Даринский Александр Николаевич, Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова РАН, ведущий научный сотрудник кандидат физико-математических наук, доцент Подлипский Олег Константинович, кафедра высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета), доцент

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН (ИВМиМГ СО РАН)

Защита состоится “ ” декабря 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9., ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физикотехнического института (государственного университета).

Автореферат разослан “ “ ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Федько О. С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертационной работе предложено два независимых метода вычисления спектральных характеристик цилиндрических упругих радиально-неоднородных анизотропных волноводов. Их эффективность исследована на моделях, имеющих большое практическое значение для задач неразрушающего контроля материалов и акустического исследования скважин.

Актуальность темы. В связи с разработкой новых материалов и усложнением конструкций, изучаемых в задачах неразрушающего контроля, задачах акустической томографии поверхностей и скважинной акустики, возникает необходимость в анализе спектров широкого класса моделей анизотропных и неоднородных цилиндрических волноводов.

Так, при рассмотрении анизотропных волноводов существует класс моделей с азимутально-зависимым тензором модулей упругости материала. Примером такой модели служит модель скважины, ось которой наклонена относительно оси анизотропии трансверсально-изотропной породы. До настоящего времени вычисление спектра таких моделей осуществлялось методами численного трехмерного моделирования волновых полей или методами теории возмущений.

Как правило, первый подход достаточно требователен к вычислительным мощностям, а второй – не всегда обеспечивает желаемую точность получаемых результатов. Альтернативой данным методам является предложенный в работе алгоритм вычисления собственных частот анизотропного волновода, основанный на применении спектрального метода для формулировки обобщенной задачи на собственные значения. Одним из преимуществ такого подхода является его меньшая требовательность к вычислительным ресурсам по сравнению с методами трехмерного моделирования, при сохранении необходимой точности вычисления спектра.

Главной сложностью при рассмотрении моделей волноводов с радиальной неоднородностью упругих свойств является отсутствие точных аналитических решений уравнений теории упругости. Учет такой неоднородности удобно проводить с помощью численных или полуаналитических методов. В данной работе предложен алгоритм расчета спектра, основанный на применении метода матричного уравнения Риккати для матричных импедансов. Идея метода заключается в вычислении матриц импеданса на границах неоднородного слоя путем численного интегрирования уравнения Риккати. Подстановка вычисленных матриц в соответствующие граничные условия позволяет получить дисперсионное уравнение, корни которого вычислялись и классифицировались с помощью метода продолжения по параметру. В настоящей работе данный алгоритм применялся для вычисления спектра различных моделей радиально-неоднородных анизотропных волноводов.

Особенность формулировки разработанных алгоритмов позволяет рассматривать широкий класс моделей. Среди задач, в которых изучается влияние неоднородности и анизотропии среды на спектр волновода, можно выделить следующие: определение влияния неоднородной зоны нарушения в скважине на дисперсию нормальных мод; изучение спектра волноводов из композиционных материалов; определение пределов применимости современных методов обработки геофизических данных. Для задач акустической томографии и неразрушающего контроля интересным также представляется исследование дисперсии спиральных волн в цилиндрических волноводах. Другим примером модели волновода, изучаемой в данной диссертации, является модель цилиндрической полости с импедансной нагрузкой на ее поверхности.

Цели диссертационной работы.

1. Разработка новых полуаналитических методов и математических моделей, предназначенных для расчета спектра широкого класса анизотропных и радиально-неоднородных волноводов.

2. Разработка программных модулей и проведение численных экспериментов для исследования ряда проблем, имеющих важное значение для задач неразрушающего контроля и скважинной акустики.

3. Исследование влияния радиально-неоднородной зоны нарушения в скважине на спектр изгибной моды и разработка алгоритма восстановления упругих параметров этой зоны по результатам измерения спектра. Определение влияния параметров матрицы импеданса поверхностной нагрузки на свойства квазирелеевских волн в цилиндрической полости.

Научная новизна.

• Предложен и реализован эффективный численный алгоритм вычисления дисперсионных кривых нормальных мод в цилиндрических волноводах с произвольным типом анизотропии среды. Данный метод основан на применении спектрального метода для формулировки обобщенной задачи на собственные значения.

• Предложен и реализован численный алгоритм вычисления спектра нормальных мод в радиально-неоднородных анизотропных волноводах, основанный на применении метода матричного уравнения Риккати.

• Для ряда моделей радиально-неоднородных анизотропных волноводов достоверность результатов, полученных с помощью предложенных алгоритмов, подтверждена путем их сравнения с данными, полученными другими численными методами.

• Показано, что для модели скважины с неоднородной зоной нарушения применение методов теории возмущений и матричного уравнения Риккати позволяет сформулировать алгоритм восстановления профиля скорости поперечной волны в породе.

поверхности цилиндрической полости на дисперсионные свойства квазирелеевских волн. Исследована область параметров нагрузки и описаны условия для возбуждения или подавления таких волн.

Практическая ценность.

Быстродействие и приемлемая точность представленных математических методов и численных алгоритмов дает возможность их широкого применения в геофизических приложениях и для решения задач неразрушающего контроля цилиндрических конструкций. Разработанный комплекс программ применяется в исследовательском офисе компании “Шлюмберже” для исследования волновых процессов в скважинах. Данная работа поддержана грантом Американского акустического общества для иностранных студентов и аспирантов номер RUX1-33047-XX-11.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Формулировка и программная реализация метода вычисления дисперсионных кривых и волновых полей в радиально-неоднородных анизотропных волноводах, основанного на применении матричного уравнения Риккати.

2. Разработка и реализация спектрального метода вычисления спектра цилиндрических волноводов с произвольным типом анизотропии среды.

3. Возможность применения представленных методов и алгоритмов для исследования влияния радиальной неоднородности и анизотропии среды на спектр нормальных мод широкого класса моделей волноводов.

4. Аналитическое решение задачи о влиянии параметров матрицы импеданса нагрузки на свойства квазирелеевской волны в цилиндрической полости.

Апробация.

Основные положения диссертации докладывались на: Седьмой международной научно-практической конференции “Геофизика 2009” (Санкт-Петербург, 2009);

Международных конференциях “Days on Diffraction 2010” и “Days on Diffraction 2011” (Санкт-Петербург, 2010 и 2011); Международном конгрессе по ультразвуку ICU 2011 (Гданьск, Польша, 2011); Двадцать четвертой и двадцать пятой сессии Российского Акустического Общества (Саратов, 2011 и Таганрог, 2012); Девятнадцатом международном конгрессе по звуку и вибрациям ICSV (Вильнюс, Литва, 2012).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из которых четыре [1–4] – в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК РФ. В работах с соавторами лично соискателем были предложены формулировки математических моделей, методы и алгоритмы вычисления спектров радиальнонеоднородных анизотропных цилиндрических волноводов, разработан соответствующий комплекс программ и проведены численные эксперименты.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованных источников, состоящего из 164 наименований. Текст диссертации содержит 158 страниц.

Содержание работы Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертационной работы, содержится постановка целей исследования, кратко изложены научная новизна и практическая значимость результатов.

В главе 1 приведен обзор публикаций, посвященных методам вычисления спектра анизотропных радиально-неоднородных цилиндрических волноводов и их приложениям в задачах акустического исследования скважин и неразрушающего контроля цилиндрических конструкций. В разделах 1.1 и 1. описаны основные методы вычисления спектра анизотропных неоднородных волноводов, обсуждаются условия применимости аналитических, полуаналитических и численных методов. В разделе 1.3 внимание уделяется некоторым вопросам вычисления и классификации корней дисперсионного уравнения, формулировке и решению задачи на собственные значения, и анализу экспериментальных данных методом Прони. В разделе 1.4. приводится обзор работ, посвященных применению описанных методов вычисления спектра на моделях, представляющих интерес для задач неразрушающего контроля и акустического исследования скважин. В третьей части раздела 1.4 приводится обсуждение вопроса о возможности возбуждения, распространения и измерения спиральных волн в цилиндрических волноводах.

В главе 2 описан алгоритм расчета спектра цилиндрических анизотропных радиально-неоднородных волноводов с помощью формализма матричного уравнения Риккати. В первом разделе обсуждаются вопросы формулировки дисперсионного уравнения с помощью матричного уравнения Риккати для изотропных волноводов, для которых упругие параметры Ламэ и плотность являются кусочно-непрерывными функциями координаты.

Решение управляющих уравнений можно представить в виде, где связывающего компоненты вектора нормальных напряжений движения, можно прийти к системе матричных телеграфных уравнений Матрицы третьего порядка #, ", & и % зависят от вида кусочно-непрерывных уравнение (1) позволяет сформулировать матричное уравнение Риккати Оно описывает эволюцию матрицы внутри радиально-неоднородного слоя.

Матричные коэффициенты #, ", & и % не зависят от радиальных производных матриц импеданса на границах между упругими слоями.

этой границе в виде дисперсионного уравнения:

образом, для формулировки и решения уравнения (3) внутри неоднородного слоя необходимо задать граничные условия для слоя в виде матриц импеданса изотропного материала. Показано, что для незатухающих мод, эти матрицы являются эрмитовыми. Из этого условия и свойств матриц #, ", & и % следует, что решение уравнения (2) для незатухающих волн также соответствует эрмитовой матрице, что упрощает численное решение этого уравнения.

Во втором разделе главы 2 данный метод расширен на случай анизотропных волноводов, тензор модулей упругости 5 которых является кусочнонепрерывной функцией координаты. Независимость данного тензора от 6 и Фурье компонентам и. Нарушение этого условия приводит к невозможности разделения переменных в плоскости аксиального числа и управляющие уравнения имеют следующий вид:

где 9 – единичная матрица. Входящие в уравнения (6) матрицы выражаются приводит к уравнению Риккати, аналогичному (2), в котором матричные