На правах рукописи

Бычкова Светлана Михайловна

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ВЕРОЯТНОСТНЫХ

И СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСПОЗНАВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК

ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Петрозаводск – 2013

Работа выполнена на кафедре высшей математики и программного обеспечения ЭВМ ФГБОУ ВПО "Мурманский государственный технический университет"

Научный руководитель: Жарких Александр Александрович, кандидат технических наук

Официальные оппоненты: Павлов Юрий Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией теории вероятностей и компьютерной статистики ФГБУН Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН;

Пешкова Ирина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и кибернетики ФГБОУ ВПО "Петрозаводский государственный университет" ФГБУН Институт информатики и математического моде

Ведущая организация:

лирования технологических процессов Кольского научного центра РАН

Защита состоится 11 ноября 2013 г. в 11 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО "Петрозаводский государственный университет" по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Р. В. Воронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке теоретико-математических методов, применению численных методов и методов математического моделирования для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости.

Актуальность темы исследования. Разработка, исследование и реализация методов решения задач статистической теории распознавания образов относится к одному из ведущих направлений прикладной математики.

Результаты теоретических и прикладных исследований в области статистической теории распознавания образов находят применение в медицинской диагностике, радиотехнике, криминалистике, биоинформатике, прогнозировании (погода, геология, сейсмология и т. д.), анализе изображений, обработке речи. Очевидно, что этот список приложений может быть продолжен.

Решение задач, связанных с определением вероятностных и статистических характеристик распознаваемых образов, основано на статистической теории распознавания образов. Это научное направление представлено в трудах зарубежных и отечественных ученых, таких как Р. Дуда, П. Харт, Р. Гонсалес, Дж. Ту, К. Фукунага, К. Фу, Э. Патрик, Ю. И. Журавлев, А. В. Миленький, В. Н. Вапник, А. Я. Червоненкис, Я. А. Фомин, Г. Р. Тарловский, А. Л. Горелик, В. А. Скрипкин, В. В. Моттль, И. Б. Мучник и многих других.

Статистическая теория распознавания включает в себя два основных раздела – анализа и синтеза. Задачи анализа решаются методами теории вероятностей, задачи синтеза – методами математической статистики.

Раздел анализа включает в себя построение вероятностных моделей и преобразование одних вероятностных моделей в другие. При решении задач анализа применяются следующие методы и подходы: монотонные и немонотонные преобразования случайной величины; преобразование Фурье;

теория обобщённых распределений; композиция распределений независимых случайных величин, составляющих сумму; расщепление смесей распределений и др. Результатом решения задач анализа являются законы распределения вероятностей и результаты усреднения некоторых характеристик.

Задачи синтеза представляют собой оптимизационные задачи. Типичными являются задачи нахождения оптимальных решающих правил при ограничениях на некоторые характеристики, например, средний риск, вероятность ошибки, ошибка измерения и т. д. Статистический подход в задачах распознавания базируется на использовании методов математической статистики для вычисления оценок параметров объекта, плотностей и функций распределения, на проверке статистических гипотез. Исходные данные об объекте для вычисления таких оценок получают в результате наблюдений или измерений. При решении задач распознавания на основе статистического подхода используются байесовский критерий, минимаксный критерий, критерий Неймана – Пирсона и др. Детализация предметных областей приводит к более тонким и изощрённым критериям для решения задач распознавания.

Результатом решения задач синтеза являются решающие правила (алгоритмы распознавания) и их вероятностные характеристики.

В различных предметных областях требуется развитие моделей и методов статической теории распознавания образов. Отметим три из них, имеющие отношение к тематике диссертационного исследования. Это стохастическая геометрия, адаптивное поведение в биологии и случайные блуждания.

В современной стохастической геометрии исследуются задачи, в которых конечное число геометрических объектов одного вида независимо расположены и имеют сложные распределения. Например, распределения геологических структур, пористых сред, биологических тканей. Другие примеры: цельный объект, в результате взрыва распадающийся на конечное число объектов, или косяк рыб, который может двигаться целиком, а в силу каких-то причин – разделиться на конечное число подмножеств. Во всех приведённых примерах движение объекта как целого или в виде разделённых объектов можно моделировать, используя случайные аффинные преобразования.

В настоящее время развивается направление, связанное с адаптивным поведением, которое заключается в построении искусственных организмов, которые могут приспосабливаться к окружающей среде1. Движение является неотъемлемой частью взаимодействия организма со средой, при этом движение может иметь случайный характер. Например, бабочки чередуют две тактики движения, а именно движение в выбранном направлении и случайные повороты, приводящие к выбору нового направления. Движение бактерий может быть описано длинными прямыми смещениями, разделёнными периодами очень коротких случайных поворотов. Приведённые примеры движений можно отнести к классу задач о случайных блужданиях.

Степень разработанности темы исследования. В различных предметных областях рассматриваемые объекты удобно представлять как множества точек плоскости. Движение таких объектов можно моделировать, используя случайные аффинные преобразования или задавая вероятности перехода из одной точки в другую, а также движение может быть комбинацией аффинных преобразований с заданием вероятности перехода из одной точки в другую. Новые координаты объекта, полученные в результате движения, могут содержать шумы различной природы. Случайные блуждания можно рассматривать как движения точки на плоскости. Случайные движения, при которых наблюдаемый объект представляется как множество точек плоскости или заменяется точкой (например, это может быть центр масс), можно наблюдать в биологии, геологии2 и т. д. При изучении различных источников не выявлено работ, в которых исследованы вероятностные характеристики (законы распределения вероятностей и начальные моменты) движения точечного объекта на плоскости, когда объект разбивается на конечное подмножество точек и каждое из этих подмножеств подвергается Мосалов О. П. и др. Модель поискового поведения анимата. Препринт Ин-та прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. М., 2003. № 19. С. 1–16.

Кириллова В. В. Распределение расстояний между точечными геологическими объектами. Вестн. Ин-та геологии Коми науч. центра Урал. отд. РАН. Сыктывкар, 2012.

№ 7. С. 15–21.

случайному повороту или отражению. Также не найдены работы, в которых бы оценивалась вероятность правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости, когда помехой движению служат случайные повороты.

Цели работы: разработка теоретико-математических методов, применение численных методов и методов математического моделирования для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости.

Задачи. Для достижения поставленных целей сформулирован и решён ряд задач. Эти задачи можно разбить на две группы.

Первая группа – это вероятностные задачи. В данной группе исследовано движение упорядоченного множества точек на плоскости. Множество точек разбивается на k произвольных подмножеств с сохранением упорядоченности в каждом из них. Решены два класса задач. Первый класс задач соответствует варианту, когда каждое подмножество с номером r (r = 1, …, k) подвергается случайному повороту. Второй класс задач соответствует варианту, когда каждое подмножество с номером r (r = 1, …, k) подвергается случайному отражению. В обоих случаях получены следующие результаты:

выражения для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между исходным и преобразованным множеством точек в виде элементарных функций, когда исходное множество целиком подвергается преобразованию и в виде несобственных интегралов I рода от произведения функций Бесселя и некоторой экспоненты, когда исходное множество разбивается на два и более произвольных подмножества, каждое из которых подвергается преобразованию;

выражения в виде конечных сумм и сходящихся числовых рядов для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек целиком подвергается преобразованию;

выражения в виде конечных сумм и сходящихся числовых рядов для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек разбивается на два подмножества, каждое из которых подвергается преобразованию;

программное средство "Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения" (разработано на языке C# в среде Microsoft Visual Studio 2005), использованное для статистического моделирования евклидовых расстояний между исходным и преобразованным множеством точек;

программы в Matlab для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний, представленных в виде несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования.

Вторую группу представляют задачи проверки статистических гипотез.

В данной группе задач рассмотрено случайное движение точки на плоскости в одном из m эквидистантных по углу направлений. Решены два класса задач. Первый класс соответствует варианту, когда помехой движению служат повороты на случайные углы. Во втором классе задач помехой движению служат изотропные гауссовские отклонения. В обоих случаях получены следующие результаты:

решающие правила для распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов;

решающее правило для распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне изотропных гауссовских отклонений;

выражения для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений за n шагов наблюдения;

программное средство "Имитационное моделирование случайного сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов и реализация асимптотически оптимального метода распознавания направления сдвига" (разработано на языке Visual Basic for Applications в среде Microsoft Office Excel 2007) для подтверждения корректности работы алгоритма распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов, основанного на полученных в диссертации решающих правилах;

программы в Matlab для подтверждения корректности алгоритма распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне изотропных гауссовских отклонений, основанного на полученном в диссертации решающем правиле;

программы в Matlab для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений.

В диссертации объектами исследования являются: 1) случайная величина (признак), которая представляет собой евклидово расстояние между множеством точек и его копией после сложного случайного движения этой копии; 2) случайное движение точек на плоскости с точно известными распределениями вероятностей параметров этого движения.

Предметами исследования являются: 1) плотности распределения вероятностей и начальные моменты евклидовых расстояний между множеством точек и его копией после сложного случайного движения этой копии;

2) вероятности распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Эти результаты представлены двумя группами.

1. Новые аналитические методы вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий. В частности можно отметить:

теоремы о виде плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

теоремы о виде начальных моментов евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

программы для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями упорядоченного множества после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

программное средство "Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения" для проведения статистического моделирования распределений евклидовых расстояний.

2. Новые статистические методы распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений. В частности можно отметить:

утверждения о решающих правилах распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений;

утверждения о вероятностях правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений;

программы для подтверждения корректности решающих правил распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

программы для расчета вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы состоит в следующем:

исследована математическая модель случайного движения множества точек на плоскости, предполагающая случайные независимые повороты или отражения отдельных подмножеств;

получены выражения для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

получены выражения для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний, когда множество точек подвергается случайному преобразованию целиком и когда исходное множество разбивается на два подмножества, каждое из которых подвергается случайному преобразованию поворота или отражения;

исследована математическая модель случайных сдвигов точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

получены выражения для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне случайных гауссовских отклонений;

предложена методика расчета вероятностей распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов, основанная на усреднении по распределениям исходных случайных параметров движения;

предложена методика расчета вероятностей распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений, основанная на использовании условных плотностей распределения вероятностей выборочных средних координат наблюдаемой точки;

произведено сравнение двух моделей случайного движения точки на плоскости, в одной сдвиг осуществляется на фоне случайных поворотов, в другой – на фоне случайных гауссовских отклонений.

Практическая значимость работы состоит в следующем: предложенные методы и алгоритмы могут использоваться для анализа случайного движения физических и биологических объектов на плоскости, а также в экономико-математическом моделировании. Аналитические методы и программные средства, разработанные в диссертации, могут быть использованы в учебном процессе.

Методология и методы исследования. Выполненное в диссертации исследование базируется на методологии статистической теории распознавания образов. Для решения поставленных задач в диссертации использовались теоретико-математические методы, методы математического моделирования и численные методы. В качестве теоретико-математических использованы следующие методы: теории вероятностей, математической статистики, математического анализа, теории функции комплексного переменного, теории обобщенных функций, теории преобразования Фурье. В качестве методов математического моделирования использовались методы статистического и имитационного моделирования. В качестве численных методов использовались методы численного интегрирования несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования.

Положения, выносимые на защиту:

теоретико-математические методы, базирующиеся на доказанных теоремах, для вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между двумя упорядоченными копиями множества точек на плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

результат применения численного метода для расчета несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

программное средство "Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения" для расчета нормированных гистограмм распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий;

результат применения программного средства "Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения";

теоретико-математические методы, базирующиеся на обоснованных утверждениях для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений;

результат применения численного метода для вычисления несобственных интегралов I рода с управлением пределами интегрирования для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных помех;

обоснованные утверждения о решающих правилах для распознавания направления сдвига точки, когда помехой является случайный поворот или когда помехой являются изотропные гауссовские отклонения;

программа "Имитационное моделирование случайного сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов и реализация асимптотически оптимального метода распознавания направления сдвига" (разработана на языке Visual Basic for Applications в среде Microsoft Office Excel) для подтверждения корректности решающих правил распознавания направления сдвига точки на фоне случайных поворотов и программы в Matlab для подтверждения корректности решающего правила распознавания направления сдвига точки на фоне изотропных гауссовских отклонений.

Степень достоверности результатов исследования подтверждена совпадением характеристик, полученных в результате теоретического исследования, и применения разработанных программных средств.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и семинарах:

XV Международная конференция "Ломоносов" (Москва, 2008 г.);

XIV Всероссийская конференция "Математические методы распознавания образов" (Суздаль, 2009 г.);

Международная научно-техническая конференция "Наука и образование – 2010" (Мурманск, 2010 г.);

Международный молодежный научный форум "Ломоносов" (Москва, 2010 г.);

Международная конференция "Интеллектуализация обработки информации – 2010" (Пафос, респ. Кипр, 2010 г.);

Международная конференция "Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies – 2010" (Санкт-Петербург, 2010 г.);

XV Всероссийская конференция "Математические методы распознавания образов" (Петрозаводск, 2011 г.);

семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 3 ноября 2011 г.);

Международная конференция "Идентификация систем и задачи управления SICPRO '12" (Москва, 2012 г.);

XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия) (Сочи-Вардане, 1–8 октября 2012 г.);

семинар кафедры ВМ и ПО ЭВМ МГТУ "Математические модели и численные методы в естественнонаучных, инженерных и социальноэкономических исследованиях" (Мурманск, 6 декабря 2012 г.);

Международная научно-техническая конференция "Наука и образование – 2013" (Мурманск, 2013 г.).

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации предложены теоретико-математические методы для исследования математических моделей случайного движения точек на плоскости. Проверка достоверности полученных теоретических результатов выполнялась с использованием численных методов и разработанных программных средств.

Таким образом, выполненное исследование соответствует формуле специальности 05.13.18 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ) и пунктам 2, 3, 5, 8 паспорта данной специальности.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, в том числе 6 статей в журналах, входящих в перечень рецензируемых изданий ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Замечание: часть работ автора выполнено под фамилией Лясникова.

Это девичья фамилия С.М. Бычковой.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, списка литературы из 82 наименований и 15 приложений. Общий объём работы – 148 страниц, включая 48 рисунков и 3 таблицы.

Во введении обоснована актуальность работы, её теоретическая и практическая ценность. Приведены методики исследования. Сформулированы задачи, поставленные и решённые в диссертации. Описывается общая структура диссертации и приводится краткое изложение содержания работы.

В первой главе даётся краткий обзор литературы по научной проблеме, избранной для данной диссертации. Отмечены основные направления статистической теории распознавания образов. Рассмотрены различные модели движения точек на плоскости в контексте их использования для моделирования механических, технических и биологических систем.

Во второй главе представлены теоретико-математические и численные методы вычисления вероятностных характеристик евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений.

Решена задача нахождения плотностей распределения вероятностей и начальных моментов евклидовых расстояний между упорядоченными копиями множества точек на плоскости после случайных поворотов или отражений одной из копий. Пусть задано конечное упорядоченное множество точек на плоскости {Ai(xi,yi)}, i = 1, …, N. Упорядоченность означает, что при любом геометрическом (аффинном) преобразовании точек на плоскости T(x, y) = (x', y')T порядок точек множества не меняется. Предполагается, что номера точек связаны с каким-либо параметром: интенсивностью свечения, цветом, температурой или др. Множество точек разбивается на k произвольных подмножеств с сохранением упорядоченности в каждом из них. Каждое из подмножеств подвергается случайному преобразованию.

Введение упорядоченности позволяет сравнивать подмножества точек на основе евклидовой метрики:

Тогда расстояние между двумя копиями множества точек после сложного случайного поворота или отражения одной из копий имеет вид:

Результаты исследования вероятностных распределений таких расстояний представлены шестью теоремами о виде плотностей распределения вероятностей и четырьмя теоремами о виде начальных моментов евклидовых расстояний. Теоремы 1 и 2 – о виде плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний, когда множество целиком подвергается преобразованию поворота или отражения. В этих теоремах плотность распределения вероятностей евклидовых расстояний выражается через элементарные функции. Теоремы 3 и 4 – о виде плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний, когда множество разбивается на два подмножества, а затем подвергается одному из преобразований.

В этих теоремах плотность распределения вероятностей евклидовых расстояний выражается в виде несобственных интегралов I рода от произведений двух функций Бесселя и некоторой экспоненты. С помощью метода математической индукции результаты Теорем 1–4 были обобщены на случай, когда исходное множество разбивается на произвольное число подмножеств.

Это обобщение представлено в Теоремах 5 и 6. Теоремы 7, 8, 9 и 10 – о виде начальных моментов евклидовых расстояний, когда исходное множество подвергается целиком преобразованию и когда исходное множество разбивается на два произвольных подмножества, каждое из которых подвергается преобразованию. Ниже приведены формулировки Теорем 5 и 6.

Теорема 5. Имеется упорядоченное множество точек плоскости {Ai(xi, yi)}, i = 1, …, N. Пусть это множество разбивается на k произвольных подмножеств с сохранением упорядоченности в каждом из подмножеств.

Подмножество с номером r (r = 1, …, k) подвергается случайному преобразованию: поворачивается относительно фиксированной точки (x0r, y0r) на случайный угол. Углы поворотов равномерно распределены в полуинтервале [0; 2). Тогда плотность распределения вероятностей евклидовых расстояний Pk между исходным множеством точек и полученным в результате преобразования определяется выражением:

где Pk (P в нижнем индексе – это большое греческое) – случайная величина, евклидово расстояние; k – число произвольных подмножеств, k = d r – текущее значение (реализация) евклидова расстояния между исходным множеством точек и множеством точек, полученным после преобразования исходного множества (текущее значение случайной величины Pk);

dr – это евклидово расстояние между r-м подмножеством точек и этим же подk множеством после преобразования поворота r = 1, …, k; 2 k = d max r ;

i – мнимая единица; J0(·) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Теорема 6. Имеется упорядоченное множество точек плоскости {Ai(xi, yi)}, i = 1, …, N. Пусть это множество разбивается на k произвольных подмножеств с сохранением упорядоченности в каждом из подмножеств. Подмножество с номером r (r = 1, …, k) подвергается случайному преобразованию:

отражается относительно прямой, повернутой на случайный угол относительно фиксированной точки (x0r, y0r). Углы поворотов равномерно распределены в полуинтервале [0; 2). Тогда плотность распределения вероятностей евклидовых расстояний Pk между исходным множеством точек и полученным в результате преобразования определяется выражением:

где Pk (P в нижнем индексе – это большое греческое) – случайная величина, евклидово расстояние; k – число произвольных подмножеств;

k = d r – текущее значение (реализация) евклидова расстояния между исходным множеством точек и множеством точек, полученным после преобразования исходного множества (текущее значение случайной величины Pk);

dr – это евклидово расстояние между r-м подмножеством точек и этим же подмножеством после преобразования отражения r = 1, …, k;

G(k, {Er }r = 1, w) = J 0 ( Er w) ; i – мнимая единица; J0(·) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Сходимость интегралов, представленных в Теоремах 5 и 6, исследована. Разработаны программы на языке Matlab для расчета плотностей распределения евклидовых расстояний. Некоторые графики плотностей распределения вероятностей приведены на Рисунках 1 и 2.

0. P(d) 0. Рисунок 1 – Плотность распределения вероятностей евклидовых расстояний между вероятностей евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек, когда одна двумя копиями множества точек, когда одна из преобразованию поворота. Параметры для преобразованию отражения. Параметры для построения: k = 10, dmax1 = 69, dmax2 = 15, построения: k = 10, A1 = 14, A2 = 34, A3 = 21, dmax3 = 38, dmax4 = 21, dmax5 = 40, dmax6 = 41, A4 = 56, A5 = 81, A6 = 36, A7 = 75, A8 = 44, A9 = 19, Для подтверждения правильности полученных теоретических результатов проведено статистическое моделирование распределений евклидовых расстояний между упорядоченным множеством точек плоскости и этим же множеством после сложных случайных поворотов или отражений. Для этого использовано разработанное программное средство "Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения". Некоторые гистограммы распределения относительных частот евклидовых расстояний приведены на Рисунках 3 и 4.

0. Рисунок 3 – Гистограмма распределения отно- Рисунок 4 – Гистограмма распределения относительных частот евклидовых расстояний сительных частот евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек, когда между двумя копиями множества точек, когда одна из копий подвергнута случайному преобразованию поворота. Параметры для построения: см. Рисунок В третьей главе разработаны и обоснованы статистические методы распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных помех.

Исследована математическая модель движения точки на плоскости, процедура отслеживания её движения наблюдателем (измерение координат), алгоритм принятия решения, методика вычисления вероятности правильного распознавания направления и техника её численного расчета. Проведено сравнение решающих правил для распознавания направления сдвига точки, когда помехой является случайный поворот и когда помехой являются изотропные гауссовские отклонения.

Движение точки осуществляется в дискретном времени. За единицу времени происходит один шаг движения. За этот шаг точка и центр вращения точки смещаются вдоль некоторого направления на величину S с вероятностью p, либо с вероятностью q = 1 – p на величину 0. На завершающем этапе шага точка поворачивается относительно указанного центра на случайный угол, равномерно распределённый в полуинтервале [0; 2). Радиус вращения точки на каждом шаге равен R. Таким образом, предполагается, что модель содержит две жёстко связанные точки, расстояние между которыми равно R.

Обе эти точки, как связанный объект, сдвигаются в одном из m заданных направлений. Для описания случайных сдвигов точки используется симметричная модель. Считается, что сдвиг точки осуществляется в одном из m направлений (m 2) на плоскости, разделённых углами величины 2/m.

Наблюдателю известны значение m и одно из направлений. Это позволяет ему определить все направления и выбрать систему координат, направление оси абсцисс которой совпадает с одним из них. В процессе движения точки её координаты измеряются, записываются и используются для распознавания направления сдвига. Предполагается, что точка двигалась до случайного момента начала наблюдений. Для удобства обозначим точку, с которой мы начали наблюдение B0. Движение точки можно описать следующими формулами:

где (xB0; yB0) – координаты точки B0, с которой началось наблюдение;

R = const – радиус вращения точки относительно центра; – случайный угол, равномерно распределенный в полуинтервале [0; 2) (показывает возможные положения центра вращения начальной точки наблюдения B0);

mk – дискретная случайная величина (показывает число сдвигов, которые совершила точка за k шагов движения); S = const – величина сдвига;

r – угол, задающий направление истинного сдвига; k – случайный суммарный угол поворота точки относительно центра за k шагов, равномерно распределённый в полуинтервале [0; 2).

Выборочные средние координат наблюдаемой точки (5), с учётом того, что точку, с которой начали наблюдение, можно принять за начало координат, имеют вид:

где R = const – радиус вращения точки относительно центра; – случайный угол, равномерно распределённый в полуинтервале [0; 2); mk – дискретная случайная величина (показывает число сдвигов, которые совершила точка за k шагов движения); S = const – величина сдвига; r – угол, задающий направление истинного сдвига; k – случайный суммарный угол поворота точки относительно центра за k шагов, равномерно распределённый в полуинтервале [0; 2); n – число наблюдений.

Обосновано решающее правило для нахождения истинного направления сдвига точки. Для этого исследовано поведение выборочных средних (6) при n.

Утверждение 1. Пусть точка осуществляет движение, которое описывается формулами (5). Тогда для любого > 0 справедливо следующее:

где X – это случайная величина с нормальным законом распределения, маn + 1) мальным законом распределения, математическим ожиданием M (Y ) = R sin + r – номер истинного направления сдвига.

Утверждение 2. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (5). Тогда алгоритм распознавания направления сдвига на фоне случайных поворотов реализуется в виде следующего асимптотически оптимального решающего правила:

принимается решение.

Пара статистик ( xn, r, yn, r ) (если r – истинное направление), соответствующих истинному направлению движения, асимптотически стремится к (x0 = Rcos, y0 = Rsin ). Пары статистик ( xn, t, yn, t ), не соответствующих истинному направлению, в асимптотике зависят линейно от n + 1. Величина n, t достигает минимума на истинном направлении сдвига t = r.

Задача нахождения минимума (8) эквивалентна задаче нахождения максимума:

Проведено имитационное моделирование, подтверждающее корректную работу полученных решающих правил. На Рисунках 5 и 6 представлены графики, визуализирующие поведение выборочных средних xn, t и yn, t с поправкой на движение на истинном направлении сдвига точки на фоне случайных поворотов.

среднего xn, t на истинном направлении Рисунок 7 иллюстрирует принятие решения по правилу минимума (8).

Рисунок 8 иллюстрирует принятие решение по правилу максимума (9).

16 n,t Рисунок 7 – Пример работы решающего Рисунок 8 – Пример работы решающего правила минимума (8). Параметры движе- правила максимума (9). Параметры движения: p = 1, R = 2, S = 0.3, n = 50, m = 6, ния: p = 1, R = 2, S = 0.3, n = 50, m = 6, r = Утверждение 4. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (5); количество направлений сдвига m > 2. Тогда вероятность правильного распознавания направления сдвига за n шагов наблюдения на основе решающего правила (8) или (9) определяется выражением:

где i – мнимая единица; J0(·) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; n – число наблюдений; S = const – величина сдвига; R = const – радиус поворота точки относительно её центра; p – вероятность осуществления сдвига; q = 1 – p; m – число направлений.

Утверждение 5. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (5); количество направлений сдвига m = 2. Тогда вероятность правильного распознавания направления сдвига за n шагов наблюдения на основе решающего правила (8) или (9) определяется выражением:

где i – мнимая единица; J0(·) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; n – число наблюдений; S = const – величина сдвига; R = const – радиус поворота точки относительно её центра; p – вероятность осуществления сдвига; q = 1 – p.

Формулы (10) и (11) получены усреднением по распределениям исходных параметров: сдвига, поворотов и начальной неопределённости положения центра вращения в начальный момент наблюдения. Повторно формулы были получены на основе двумерной условной плотности распределения вероятностей выборочных средних координат наблюдаемой точки (эта условная плотность представлена в Утверждении 3 диссертации). Получение одного и того же результата разными способами ещё раз подтвердило его правильность.

Сходимость интегралов, входящих в (10) и (11), доказана.

С использованием численного интегрирования построены графики зависимостей вероятностей распознавания направления сдвига от числа наблюдений (вычисления произведены в Matlab). На Рисунках 9 и 10 представлена зависимость вероятностей правильного распознавания направления от числа наблюдений, когда помехой движению служат повороты на случайные углы.

Вероятность распознавания (Ptrue) Рисунок 9 – Зависимость вероятностей Рисунок 10 – Зависимость вероятностей правильного распознавания направления правильного распознавания направления сдвига от числа наблюдений, сдвига от числа наблюдений, когда помехой движению служит поворот когда помехой движению служит поворот на случайный угол. Параметры движения: на случайный угол. Параметры движения:

Проведено сравнение полученных результатов с аналогичной моделью движения точки на плоскости, когда помехой служат изотропные гауссовские отклонения. Модель движения описывается формулами:

где i и i – случайные отклонения с нормальным распределением, имеют нулевые средние, одинаковые дисперсии и не коррелируют между собой.

Остальные параметры аналогичны параметрам в (5).

Утверждение 6. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (12). Тогда алгоритм распознавания направления сдвига на фоне случайных гауссовских отклонений реализуется в виде следующего решающего правила:

где ( xn ; yn ) – это выборочные средние от разности координат последующей и предыдущей наблюдаемой точки; l – номер направления, в пользу которого принимается решение.

Решающее правило (13) получено с помощью критерия Байеса.

Проведено компьютерное моделирование, подтверждающее корректность решающего правила (13) (моделирование проведено в Matlab). Рисунок 11 иллюстрирует принятие решение по правилу максимума (13).

xncos(r)+ynsin(r) Утверждение 7. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (12); количество направлений сдвига m = 2. Тогда вероятность правильного распознавания направления сдвига за n шагов наблюдения на основе решающего правила (13) определяется выражением:

где n – число наблюдений; i – мнимая единица; S = const – величина сдвига;

– среднее квадратическое отклонение; p – вероятность осуществления сдвига, q = 1 – p.

Утверждение 8. Пусть точка совершает движение, которое описывается формулами (12); количество направлений сдвига m > 2. Тогда вероятность правильного распознавания направления сдвига за n шагов наблюдения на основе решающего правила (13) определяется выражением:

где n – число наблюдений; i – мнимая единица; S = const – величина сдвига;

– среднее квадратическое отклонение; p – вероятность осуществления сдвига; q = 1 – p.

Доказана сходимость интегралов, входящих в выражения (14) и (15).

Построены графики зависимостей вероятностей правильного распознавания сдвига от числа наблюдений n (расчеты произведены в Matlab). На Рисунке представлена зависимость вероятности правильного распознавания направления сдвига точки от числа наблюдений, когда помехой движению служат случайные гауссовские отклонения.

В обеих моделях движениях формулы для нахождения вероятностей правильного распознавания направления сдвига имеют сходную структуру.

Это связано со сходством моделей движения и решающих правил распознавания.

В заключении подводятся краткие итоги, относящиеся к полученным в диссертации результатам, сформулированы рекомендации по использованию полученных результатов и перспективы дальнейшего развития темы.

1. Получены выражения для вычисления плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний между двумя упорядоченными копиями множества точек на плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий.

2. Получены выражения в виде конечных сумм и сходящихся числовых рядов для вычисления начальных моментов евклидовых расстояний между двумя упорядоченными копиями множества точек на плоскости после сложного случайного поворота или отражения одной из копий.

3. Достоверность результатов из пунктов 1 и 2 данного списка подтверждается результатами, полученными методами численного интегрирования и статистическим моделированием. (Статистическое моделирование проводилось разработанным программным средством (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012612834 от 21.03.2012 г.)).

4. Получены решающие правила для распознавания направления сдвига точки, когда помехой движению служат случайные повороты или изотропные гауссовские отклонения. Корректность работы полученных решающих правил подтверждена имитационным моделированием (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012618106 от 7.09.2012 г.).

5. Получены выражения для вычисления вероятностей правильного распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или на фоне изотропных гауссовских отклонений. С помощью методов численного интегрирования построены графики зависимостей вероятности правильного распознавания от числа наблюдений.

Рекомендации:

1. Полученные выражения для плотностей распределения вероятностей евклидовых расстояний могут быть использованы в задачах анализа сложных движений точек на плоскости, возникающих в разных предметных областях. В частности эти исследования будут полезны при анализе случайных движений в механике и биологии.

2. Полученные решающие правила для распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов или изотропных гауссовских отклонений могут быть использованы в задачах синтеза, связанных с автоматизацией наблюдений за случайным движением механических и биологических объектов на плоскости.

3. Полученные выражения для вероятности правильного распознавания могут быть использованы для оценки потенциальных возможностей распознавателей движения точек на плоскости.

Перспективы дальнейшей разработки темы В дальнейшем возможно исследовать вероятностные характеристики евклидовых расстояний между двумя копиями множества точек плоскости, когда одна из копий разбивается на конечное число подмножеств, каждое из которых подвергается последовательности случайных преобразований, таких как поворот, отражение и перенос. Базируясь на полученных результатах по распознаванию направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных помех, возможно в дальнейшем исследовать задачи, в которых требуется определять моменты времени, когда наблюдаемый движущийся объект меняет направление сдвига. Также задачи, решённые в диссертации в предположении, что движение осуществляется на плоскости, можно обобщить на случаи движения точечных объектов в пространстве.

Статьи, опубликованные в российских рецензируемых научных журналах, 1. Жарких, А. А. Исследование распределений евклидовых расстояний между упорядоченными множествами точек плоскости при случайных поворотах и отражениях / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Вестн. МГТУ :

Тр. Мурман. гос. техн. ун-та. – Мурманск, 2010. – Т. 13, № 3. – С. 592–606.

2. Жарких, А. А. Распознавание направления случайного переноса точки на фоне случайных поворотов / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Вестн. МГТУ : Тр. Мурман. гос. техн. ун-та. – Мурманск, 2010. – Т. 13, № 4/2.– С. 1 039–1 043.

3. Zharkikh, A. A. Strong theorems on the form of probability distributions of Euclidean distances between an ordered sets of points in the plane upon random rotations or reflections of their subsets / A. A. Zharkikh, S. M. Bychkova // Pattern Recognition and Image Analysis. – 2011. – Vol. 21, № 2. – P. 215–218.

4. Zharkikh, A. A. Distributions of Euclidean distances between copies of the set of 2D points when one copy is randomly rotated or reflected / A. A. Zharkikh, S. M. Bychkova // Pattern Recognition and Image Analysis. – 2012. – Vol. 22, № 3. – P. 433–445.

5. Жарких, А. А. Вычисление вероятностей распознавания направления переноса точки на плоскости на фоне случайных поворотов / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Вестн. МГТУ : Тр. Мурман. гос. техн. ун-та. – Мурманск, 2013. – Т. 16, № 1. – С. 81–92.

6. Жарких, А. А. Два способа вычисления вероятностей распознавания направления переноса точки на плоскости на фоне случайных поворотов / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Проблемы управления / Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. – М., 2013. – № 2. – С. 9–15.

7. Лясникова, С. М. Вероятностные характеристики расстояний между точками евклидова пространства, отличающимися случайными поворотами или отражениями [Электронный ресурс] / С. М. Лясникова // Мат. докл. XV Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов – 2008 : сб. ст. / отв. ред. И. А. Алешковский, П. Н. Костылев, А. И. Андреев. – М. : Изд-во МГУ ; СПб. : Мысль, 2008. – 1 электрон. опт. диск (CDROM); 12 см. – Систем. требования: ПК с процессором 486 + ; Windows 95 ;

дисковод CD-ROM ; Adobe Acrobat Reader. – Загл. с этикетки диска.

8. Лясникова, С. М. Исследование распределений расстояний точек евклидова пространства при случайных аффинных преобразованиях / С. М. Лясникова, А. А. Жарких // Математические методы распознавания образов : сб. докл. XIV всерос. конф., г. Суздаль, 21–26 сент. 2009 г. / РАН, Отд-ие мат. наук РАН ; ВЦ им. А. А. Дородницына, при поддержке Рос. Фонда фундаментальных исслед. компании Forecsys. – М., 2009. – С. 49–51.

9. Бычкова, С. М. Методика имитационного моделирования случайных величин и процессов / С. М. Бычкова, А. А. Жарких // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения : мат. Междунар. науч.техн. конф., Москва, 7–11 дек. 2009 г. / под ред. чл.-корр. РАН А. С. Сигова. – М., 2009. – Ч. 4. – С. 84–87.

10. Бычкова, С. М. Имитационное моделирование плотностей распределения вероятностей расстояний между множествами точек плоскости при случайных поворотах и отражениях [Электронный ресурс] / С. М. Бычкова, А. А. Жарких // Наука и образование – 2010 : мат. Междунар. науч.техн. конф., 5–12 апр. 2010 г. / Мурман. гос. техн. ун-т. – Мурманск, 2010.

С. 75–78. Электрон. текст дан. (1 файл : 597 Кб). – Доступ из локальной сети Мурман. гос. техн. ун-та. – Загл. с экрана.

11. Бычкова, С. М. Вероятностные характеристики в задаче определения направления движения точки в одной модели случайного движения / С. М. Бычкова // Мат. Междунар. молодёж. науч. форума "Ломоносов – 2010" / отв. ред. И. А. Алешковский [и др.]. – М. : МАКС Пресс, 2010. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; 12 см. – Систем. требования: ПК с процессором 486+ ; Windows 95 ; дисковод CD-ROM ; Adobe Acrobat Reader. – Загл. с этикетки диска.

12. Жарких, А. А. Вероятности распознавания направления переноса в одной модели случайного движения точки на плоскости / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Интеллектуализация обработки информации : сб. докл.

VIII Междунар. конф., Республика Кипр, г. Пафос, 17–24 окт. 2010 г. / РАН, Отд-ие матем. наук РАН [и др.]. – М., 2010. – С. 346–349.

13. Zharkikh, A. A. Faithful theorems about the form of probability : Distributions of Euclidean distances between ordered sets of points on a plane under random rotations or reflections their subsets / A. A. Zharkikh, S. M. Bychkova // 10th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis : New Information Technologies (PRIA-10-2010) : Conference Proceedings. Vol. I-II.

Vol. I., St. Petersburg, 5–12 December 2010 year. – SPb., 2010. – P. 385–388.

14. Zharkikh, A. A. Statistical theory of recognition of direction of random shift of point on a plane/ A. A. Zharkikh, S. M. Bychkova // 10th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis : New Information Technologies (PRIA-10-2010) : Conference Proceedings. Vol. I-II. Vol. I., St. Petersburg, 5–12 December 2010 year. – SPb., 2010. – P. 131–134.

15. Жарких, А. А. Распознавание направления переноса точки на плоскости на фоне случайных гауссовских отклонений / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Математические методы распознавания образов : сб. докл. XV Всерос. конф., г. Петрозаводск, 11–17 сент. 2011 г. / РАН, Отд-ие матем. наук РАН ; ВЦ им. А. А. Дородницына, при поддержке Рос. Фонда фундаментальных исслед. компании Forecsys. – М., 2011. – С. 346–349.

16. Zharkikh, A. A. Modeling of the recognition algorithm of direction of random shift of point on a plane on a random rotations background / A. A. Zharkikh, S. M. Bychkova // Pattern Recognition and Information Processing (PRIP'2011) :

Proceedings of the 11th International Conference, 18–20 May 2011 year, Minsk, Republic of Belarus. – Minsk, 2011. – P. 43–47.

17. Жарких, А. А. Точные формулы для вычисления вероятностей распознавания направления переноса точки на плоскости на фоне случайных поворотов / А. А. Жарких, С. М. Бычкова // Идентификация систем и задачи управления : тр. IX Междунар. конф., 30 янв. – 2 февр. 2012 г. / Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. – М., 2012. – С. 1 130–1 139.

18. Бычкова, С. М. Об асимптотической оптимальности решающего правила распознавания направления сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов / С. М. Бычкова, А. А. Жарких // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2012. – Т. 19, вып. 2. – С. 237–239.

19. Бычкова, С. М. Исследование сходимости рядов, представляющих начальные моменты евклидовых расстояний между упорядоченными копиями множества точек плоскости, когда одна из копий подвергается случайному повороту / С. М. Бычкова, А. А. Жарких // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2012. – Т. 19, вып. 4. – С. 543–544.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ 20. Бычкова, С. М. Моделирование псевдослучайных чисел с различными законами распределения : Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012612834 / С. М. Бычкова ; правообладатель: ФГБОУ ВПО "МГТУ". – Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 21 марта 2012 г.

21. Бычкова, С. М. Имитационное моделирование случайного сдвига точки на плоскости на фоне случайных поворотов и реализация асимптотически оптимального метода распознавания направления сдвига : Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012618106 / С. М. Бычкова ; правообладатель: ФГБОУ ВПО "МГТУ". – Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 7 сентября 2012 г.

Издательство МГТУ. 183010, Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 26.09.2013. Подписано в печать 07.10.2013. Формат 60841/16.

Бум. типографская. Уч.-изд. л. 1,0. Заказ 249. Тираж 150 экз.