На правах рукописи

Беликова Оксана Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧ

НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа – 2011

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов Марат Гаязович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Киселев Олег Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор Мухамадиев Эргаш Мирзоевич

Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита состоится 18 марта 2011 г. в 15 : 00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан февраля 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук С. В. Попенов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Дифференциальные уравнения задач небесной механики и, в особенности, классической задачи N тел занимают одно из центральных мест в общей теории динамических систем. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых – математиков, механиков, физиков и др. Благодаря работам И.Ньютона, Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, П.Лапласа, К.Якоби, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова и др. разработан ряд, ставших уже классическими, методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках. Существенный вклад в изучение таких уравнений внесли В.И.Арнольд, Г.Н.Дубошин, В.В.Козлов, А.П.Маркеев, К.Маршал, Р.Монтгомери, К.Симо, А.Шенсине и др.

Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решений, от самых простых – стационарных решений (точек либрации) – до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.

Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех тел и различных ее модификаций. Здесь разработан ряд эффективных методов исследования, решены многие важные теоретические и практические задачи. Большой вклад в разработку и развитие этих методов внесли исследования В.И.Арнольда, Е.А.Гребеникова, В.Г.Демина, В.П.Евтеева, А.П.Маркеева, Э.М.Мухамадиева, А.И.Нейштадта, Ю.А.Рябова, В.Себехея и др. Заметим, что большая часть исследований и разработанных методов относится к дифференциальным уравнениям круговой задачи трех тел, зависящим от одного параметра. Значительно меньше изучались бифуркации в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений эллиптической задачи трех, зависящих от двух или большего числа параметров, в частности, от эксцентриситета кеплеровской орбиты и параметра масс µ. Соответствующие бифуркации, как правило, имеют коразмерность равную двум, что значительно усложняет их исследование. Здесь особо важны получение признаков возникновения периодических и субгармонических колебаний и разработка методов построения возникающих колебаний.

Цель работы. Разработать методы качественного и приближенного исследования задачи о локальных бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений задач небесной механики, зависящих от двух параметров; на их основе получить признаки возникновения периодических и субгармонических колебаний, получить и обосновать асимптотические формулы для возникающих решений.

Методы исследования. В работе использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач, метод Ньютона-Канторовича.

Научная новизна определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа бифуркационных явлений в динамических системах, зависящих от двух параметров. При этом получены следующие новые научные результаты:

1. Проведен детальный анализ основных сценариев локальных бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной эллиптической задачи трех тел и некоторых ее модификаций;

2. Разработан операторный метод исследования бифуркационного поведения дифференциальных уравнений задач небесной механики в окрестностях стационарных решений, приводящий к достаточному признаку бифуркации периодических и субгармонических колебаний и процедуре построения возникающих решений;

3. Доказано существование нестационарных периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел;

4. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы для бифурцирующих решений дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы для анализа бифуркационных явлений в динамических системах, зависящих от двух параметров.

Полученные результаты доведены до расчетных и асимптотических формул.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала"(г. Магнитогорск, декабрь 2006 г.); международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика"(г. Уфа, 1-5 июня 2007 г.); научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании"(г.

Сибай, 23-24 мая 2008 г.); международной научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(г. Уфа, 1-5 декабря 2008 г.); научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Магнитогорского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Смолин Ю.Н.); научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители: д.ф.-м.н., профессор Л.А. Калякин и д.ф.-м.н., профессор В.Ю.

Новокшенов.), научных семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) Башкирского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]– [6], при этом статьи [1]–[2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ [1], [2], [4] и [5], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в обосновании предлагаемых методов исследования.

Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем работы составляет 115 страниц. Библиография содержит 74 наименования.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводятся общие сведения из теории динамических систем и локальных бифуркаций, а также основные динамические модели, возникающие в задачах небесной механики. Приводятся известные результаты относительно признаков локальных бифуркаций и используемые в диссертации схемы их приближенного исследования. Глава носит вспомогательный характер. Приведем некоторые необходимые сведения из первой главы.

Основным объектом исследования в первой главе является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра µ с T периодической по t правой частью:

Пусть система (1) при всех значениях параметра µ имеет нулевую точку равновесия x = 0, т.е. f (0, t, µ) 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде где A(t, µ) = fx (0, t, µ) – матрица Якоби вектор-функции f (x, t, µ), вычисленная в точке x = 0, а нелинейность a(x, t, µ) равномерно по t и µ удовлетворяет соотношению a(x, t, µ) = O( x 2 ) при x 0; здесь и ниже через · обозначена норма векторов в пространстве RN.

Обозначим через V (µ) матрицу монодромии линейной системы т.е. V (µ) = X(µ, T ), где X(µ, t) – фундаментальная матрица решений системы (3).

Пусть при µ = µ0 система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1; тогда точка равновесия x = 0 системы (1) при µ = µ0 является негиперболической. В этом случае значение µ0 будем называть точкой бифуркации системы (1) в задаче о вынужденных колебаниях. Этот термин охватывает различные сценарии бифуркационного поведения системы (1). В частности, при близких к µ0 значениях µ у системы (3) в окрестности точки равновесия x = 0 могут возникать T -периодические решения (вынужденные колебания), nT -периодические решения при n 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др.

Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений некоторых задач небесной механики, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций и посвящена диссертационная работа.

В первой главе приводится также операторная схема приближенного исследования задачи о точках бифуркации вынужденных колебаний системы (1). Эта задача различными способами может быть сведена к эквивалентной задаче о бифуркациях в окрестности нулевого решения операторного уравнения где матрица B() гладко зависит от параметра, а нелинейность b(x, ) содержит слагаемые второй и более высоких степеней по x: b(x, ) = o( x ) при x 0.

При этом матрица B(0 ) имеет собственное значение 1 (простое или полупростое кратности 2).

Пусть e RN – некоторый ненулевой вектор. Значение 0 параметра называют правильной точкой бифуркации уравнения (4) по направлению вектора e, если существуют 0 > 0 и определенные при [0, 0 ) непрерывные функции = () и x = x() такие, что (0) = 0 и x(0) = 0, при этом x() e = o() при 0 и для каждого 0 вектор x() является решением уравнения (4) при = ().

Правильные точки бифуркации уравнения (4) имеет смысл искать лишь среди тех 0, при которых матрица B(0 ) имеет собственное значение 1. Рассматриваемая в работе задача о вынужденных колебаниях такова, что приводит к уравнению вида (4) с матрицей B(0 ), имеющей при некотором = 0 полупростое собственное значение 1 кратности 2. Параметр в этом случае является двумерным. Пусть = (, ), где и – скалярные параметры. Положим B(, ) = B(), 0 = (0, 0 ) и B0 = B(0, 0 ).

Пусть e, g, e, g – линейно независимые собственные векторы операторов B и B0, отвечающие полупростому собственному значению 1. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений: (e, e ) = (g, g ) = 1, (e, g ) = (g, e ) = 0. В работе используется следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть оператор B0 = B(0, 0 ) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть det(Q) = 0, где Тогда 0 является правильной точкой бифуркации уравнения (4) по направлению собственного вектора e.

Здесь B и B – операторы, полученные дифференцированием оператора B(, ) по и соответственно.

Приведем схему получения асимптотических формул для существующих в условиях теоремы 1 периодических решений x() уравнения (4) и соответствующих значений двумерного параметра = ((), ()). Пусть H0 является собственным подпространством оператора B0, отвечающим полупростому собственному значению кратности 2. Пространство RN может быть представлено в виде RN = H0 H 0, где H 0 – дополнительное к H0 инвариантное для B0 подпространство. По построению существует оператор (I B0 )1 : H 0 H 0.

Определим действующий в пространстве RN оператор где Здесь функционалы J (y) и J (y) – это компоненты вектора J(y) = (J (y), J (y)), который вычисляется по формуле J(y) = Q1 (y), где Q – матрица (5) и (y) = ((y, e ), (y, g ))T.

Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для операторного уравнения (4), учитывающих только квадратичные слагаемые.

Теорема 2. Пусть нелинейность b(x,, ) в уравнении (4) представляется в виде где b2 (x,, ) содержит квадратичные по x слагаемые, а нелинейность b3 (x,, ) удовлетворяет соотношенияю b3 (x,, ) = O( x 3 ) при x 0. Тогда существующие в условиях теоремы 1 решения x() уравнения (4) и соответствующие значения параметра = (), () вычисляются по следующим формулам:

где Основным объектом исследования во второй главе являются дифференциальные уравнения некоторых задач небесной механики. При этом основное внимание уделено дифференциальным уравнениям плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел, которые в координатах (, ) Нехвила 1 имеют вид кеплеровской орбиты, t - истинная аномалия, m0, m1 – массы активно гравитирующих тел, штрихами обозначены производные по t.

Система (8) имеет пять стационарных решений – точек либрации: три из них L1, L2, и L3 лежат на одной прямой (прямолинейные точки либрации), а две другие L4 и L5 образуют с телами m0 и m1 равносторонние треугольники (треугольные точки либрации). Треугольные точки либрации имеют координаты L4, и L5,. Координаты прямолинейных точек либрации, в отличие от треугольных, зависят от значения параметра µ и явно не выписываются. Найти их можно лишь приближенно.

1 Координаты Нехвила - это прямоугольная система координат O, такая, что в качестве независимой переменной рассматривается истинная аномалия кеплеровской орбиты, связанная с реальным временем.

Система (8) содержит два параметра – эксцентриситет 0 и параметр масс 0 < µ < 1. При этом система (8) является неавтономной с 2-периодической правой частью. При изменении параметров и µ поведение системы, вообще говоря, меняется, что может сопровождаться различными бифуркациями, в частности, в окрестностях точек либрации. Основной задачей, рассматриваемой во второй главе, является исследование вопроса об основных сценариях бифуркаций вынужденных колебаний системы (8) в окрестностях точек либрации L1,..., L5, а также определение необходимых условий соответствующих бифуркаций. В качестве точек бифуркации рассматриваются значения = 0 и µ (0, 1).

От системы (8), путем введения новых переменных u1 =, u2 =, u3 =, u4 =, перейдем к нормальной системе:

т.е. к системе вида где F (u,, µ, t) – вектор-функция, определяемая правой частью системы (9). При = 0 (круговой случай) система (10) является автономной:

здесь F0 (u, µ) - вектор-функция, определяемая правой частью системы (9) при = 1.

Точки либрации системы (8) соответствуют постоянным решениям системы (10).

В частности, треугольные точки либрации L4 и L5 соответствуют решениям В работе изучены основные сценарии бифуркационного поведения системы (10) в окрестностях треугольных точек либрации. Ограничимся здесь приведением основных результатов, полученных для точки 4.

Перенесем начало координат системы (10) в точку либрации 4, т.е. произведем в ней замену h = u 4. В результате система (10) примет вид Состояние равновесия h = 0 системы (12) соответствует точке либрации 4 системы (10) На первом этапе исследования системы (12) рассмотрим случай = 0, т.е. систему Система (13) является автономной системой дифференциальных уравнений и соответствует круговой задаче. Поведение системы (13) в окрестности решения h = определяется поведением собственных значений матрицы A0 (µ). Характеристическое уравнение для матрицы A0 (µ) имеет вид:

Корни биквадратного уравнения (14) определяются по формулам Здесь следует различать три случая:

В работе обсуждаются все эти случаи. В каждом случае определяется топологический тип точки либрации. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть выполнено условие S1). Тогда при всех малых > 0 точка равновесия h = 0 системы (12) является гиперболической.

Теорема 4. Пусть выполнено условие S2) или S3). Тогда h = 0 является негиперболической точкой равновесия системы (12). При этом значение (0, µ0 ) векторного параметра (, µ) при любом µ0, удовлетворяющем условию S2) или S3), является точкой бифуркации системы (12) в задаче о вынужденных колебаниях.

Из второго утверждения следует, что малейшее изменение параметров и µ системы (12) вблизи точки (0, µ0 ) может привести к качественному изменению фазового портрета этой системы в окрестности решения h = 0, т.е. к тем или иным сценариям бифуркации. Приведем некоторые из результатов второй главы, полученных при изучении таких бифуркаций, при этом ограничимся рассмотрением случая S3), являющегося основным в работе.

Наряду с системой (12) будем рассмотривать линейную систему Обозначим через V (, µ) - матрицу монодромии системы (16), т.е. V (, µ) = X(, µ, T ), где T = 2, а X(, µ, t) – фундаментальная матрица решений системы (16).

Пусть µ0 удовлетворяет соотношению S3). В этом случае система (16) имеет две пары мультипликаторов вида e±21 (µ0 )i, e±23 (µ0 )i. Здесь возможны различные ситуации, связанные с тем, каковыми являются показатели Флоке 1 (µ0 )i и 3 (µ0 )i системы (16). В работе основное внимание уделяется случаю, когда одно из чисел 1 (µ0 ) и 3 (µ0 ) рационально, а другое – иррационально. В этом случае возможны два основных сценария бифуркации: бифуркация субгармонических колебаний (этот сценарий соответствует рациональному показателю Флоке) и бифуркация квазипериодических колебаний (соответствует иррациональному показателю Флоке).

В случае бифуркации субгармонических колебаний при переходе векторного параметра (, µ) через точку (0, µ0 ) в окрестности точки h = 0 могут возникать или исчезать периодические решения с периодами 2q; здесь i – рациональный поq казатель Флоке. В случае квазипериодических колебаний при переходе векторного параметра (, µ) через точку (0, µ0 ) в окрестности точки h = 0 могут возникать или исчезать длиннопериодические или квазипериодические колебания.

Во второй главе работы рассмотрены также вопросы об основных сценариях бифуркационного поведения системы (10) в окрестностях прямолинейных точек либрации 1, 2, 3. Описан топологический тип этих точек при различных значениях параметра µ. Заметим, что в отличие от треугольных точек либрации, прямолинейные точки можно найти только численно. Поэтому описание основных сценариев бифуркаций в окрестностях этих точек проводилось на основе компьютерного моделирования.

Основной задачей исследования в третьей главе является задача о бифуркации субгармонических колебаний в окрестностях треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Будем говорить, что значение (0, µ0 ) векторного параметра (, µ) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода 2k (k 2) системы (12), если существуют = () и µ = µ(), зависящие от некоторого малого параметра и такие, что:

a) при = () и µ = µ() система (12) имеет нестационарное 2k-периодическое решение h = h(t, );

Приводятся достаточные условия бифуркации, устанавливающие, что при определенных значениях параметра масс µ и экцентрисистета в окрестностях треугольных точек либрации возникают нестационарные 2k-периодические решения.

Рассмотрим систему (10) в предположении, что параметр µ определен равенством Собственные значения (15) соответствующей матрицы A0 (µ2 ) будут равны Рассматриваемый случай отвечает приведенной выше ситуации S3). Значения параметров = 0 и µ = µ2 будут бифуркационными в окрестностях точек либрации 4 и 5 системы (12). Основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (10) в окрестностях точек либрации 4 и 5 нестационарных 4-периодических решений, т.е. бифуркация удвоения периода.

Основным утверждением третьей главы является следующая Теорема 5. Значение (0, µ2 ) является точкой бифуркации субгармонических 4периодических колебаний системы (8) в окрестности точки либрации 4.

Для доказательства этой теоремы система (12) ассоциируется с дискретной динамической системой, описываемой уравнением:

где hn R4, U (,, µ) : R4 R4 – оператор сдвига по траекториям системы (12) за время от 0 до T, где T = 2. Неподвижные точки оператора U (,, µ) определяют начальные значения T -периодических решений системы (12). Так как f (0, t,, µ) (здесь f (0, t,, µ) – правая части системы (12)), то система (17) при всех значениях двумерного параметра (, µ) имеет неподвижную точку h = 0, т.е. U (0,, µ) 0.

Задача о локальных бифуркациях системы (12) в окрестности решения h = 0 в естественном смысле равносильна аналогичной задаче для системы (17).

Оператор U (,, µ) представим в виде здесь V (, µ) = X(, µ, T ), где X(, µ, t) – фундаментальная матрица решений системы (16), а нелинейность (, µ, h) удовлетворяет соотношению:

Задача о бифуркации субгармонических 4-периодических колебаний системы (12) в окрестности решения h = 0 равносильна соответствующей задаче о локальных бифуркациях операторного уравнения здесь При = 0 и µ = µ2 оператор V 2 (, µ) имеет полупростое собственное значение кратности 2.

Для доказательства теоремы 5 используется достаточный признак, приведенный в теореме 1. Проверка этого достаточного признака (т.е. соотношения det(Q) = 0) потребовала решения ряда специальных задач для дифференциального уравнения (12), а также необходимость выбора соответствующих собственных векторов оператора V 2 (0, µ2 ), по направлению которых решается задача о правильных точках бифуркации операторного уравнения (19).

Вторая группа результатов третьей главы содержит схему получения асимптотических формул для приближенного представления возникающих в теореме 5 4-периодических решений системы (12). Предлагаемая схема позволяет получать асимптотические (по степеням малого параметра 0) формулы вида Эти формулы получены на основе соответствующих равенств, некоторые из которых приведены в теореме 2; при этом в качестве основного рассматривается операторное уравнение (19).

В работе также рассмотрены аналогичные вопросы о бифуркации субгармонических колебаний системы (8) периода 2m при m 3. Получены аналогичные теореме 5 утверждения.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю М.Г.Юмагулову за неоценимую помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрономический журнал, 2009 г., т.86, №2. С. 170- 2. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел // Известия вузов. Математика. 2010 г., №6. С. 82- 3. Беликова О.Н. Итерационная процедура численного исследования периодических решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Сборник научных трудов "Новые программные средства для предприятий Урала", вып. 5.

Магнитогорск, 2006. С. 91- 4. Беликова О.Н., Юмагулов М.Г. Периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел. // Труды Уфимской международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика", 1 - 5 июня 2007 г.

5. Беликова О.Н., Юмагулов М.Г. Семейство периодических решений в окрестностях точек либрации ограниченной задачи трех тел. // Материалы научнопрактической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании", Сибай, 2008 г. С. 98- 6. Беликова О.Н. Сценарии бифуркаций в окрестностях треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Материалы региональной научно-практической конференции "Уральский регион Республики Башкортостан: человек, природа, общество". Сибай, 2009 г. С 352-356.