На правах рукописи

Козлова Елена Александровна

ЗАДАЧИ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ

ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород 2013

Работа выполнена на кафедре Прикладная математика и информатика феде рального государственного бюджетного образовательного учреждения высше го профессионального образования Самарский государственный технический университет.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, до цент Андреев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты: Боровских Алексей Владиславович, док тор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, меха нико-математический факультет, профессор кафедры Дифференциальные уравнения Половинкин Игорь Петрович, кандидат фи зико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО Воронежский государственный уни верситет, доцент кафедры Математиче ский и прикладной анализ

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, фа культет вычислительной математики и ки бернетики

Защита состоится 23 апреля 2013 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при ФГАОУ ВПО Белгородский государственный нацио нальный исследовательский университет по адресу: 308007, г. Белгород, ул.

Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО Белгородский государственный национальный исследовательский университет.

Автореферат разослан 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08 Гриценко С.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Возникновение теории управления во многом свя зано с развитием техники. Появившаяся необходимость регулирования или под держания в заданных пределах текущих значений некоторых кинематических характеристик машин или других объектов управления привела к созданию математического аппарата теории управления.

В 50-е г.г. XXв. в связи с прикладными потребностями возникла необходи мость решения задач управления и оптимизации. Наиболее известны работами в этой области Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Ми щенко, изучавшие вопросы управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений, а также Р. Беллман, разработав ший методы динамического программирования.

Различным аспектам теории оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Н. Н. Красовского, А. Б. Кур жанского, Ф. П. Васильева, И.В. Гайшуна, Л. Янга и многих других.

Дальнейшее развитие прикладных исследований привело к необходимости управления более сложными объектами, поведение которых описывается с помо щью уравнений с частными производными. Соответствующие задачи управле ния были рассмотрены в работах А. Г. Бутковского, А. И. Егорова, Ж.-Л. Лион са, К. А. Лурье, Т. К. Сиразетдинова, В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, С. А. Авдо нина, С. А. Иванова, М. И. Белишева, Ю. С. Рожкова, Ю. Е. Аниконова, А. В. Бо ровских, Л. Н. Знаменской и других.

Исследованию задач граничного управления посвящена большая серия ста тей В. А. Ильина, Е. И. Моисеева. Для волнового и телеграфного уравнений ав торы рассматривают задачи с начальными и финальными условиями, устанав ливают возможность перевода описываемого уравнением объекта из начального состояния в финальное с помощью граничных функций и строят управления в явном виде. Построения производятся в классах W2 (Ql,T ), W2 (Ql,T ), L2 (Ql,T ).

Граничные функции, построенные В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым, позво лили им перейти к решению задачи об оптимальном управлении, когда сре ди множества решений необходимо выделить то, которое доставляет минимум некоторому заданному функционалу.

Результаты В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, а также А. И. Егорова, Л. Н. Зна менской, А. А. Андреева и С. В. Лексиной являются основой для исследования задач управления для уравнений и систем гиперболического типа, представлен ного в настоящей работе.

Целью диссертационной работы является построение решений задач граничного управления для систем уравнений гиперболического типа второго порядка (системы-аналога телеграфного уравнения и системы, содержащей сме шанную производную) в случае коммутативных матричных коэффициентов.

Методы исследования. В настоящей работе использованы аналитиче ские методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, алгебраические и аналитические методы матричного исчисления, аппарат спе циальных функций, методы теории управления процессами, описываемыми ги перболическими уравнениями.

Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- построено решение задачи граничного управления для системы гипер болических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными (аналог телеграфного уравнения) при различных формах входящих в нее ком мутативных матричных коэффициентов;

- найдено решение задачи граничного управления для уравнения гипербо лического типа второго порядка с двумя независимыми переменными, содер жащего смешанную производную, для различных видов характеристических областей;

- найдено решение задачи граничного управления для системы гипербо лических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, со держащей смешанную производную, при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Работа но сит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной рабо те, могут быть использованы для дальнейших исследований задач граничного управления и некорректных задач для систем гиперболических уравнений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Условия существования и граничные управляющие функции, переводя щие объект, описываемый системой уравнений гиперболического типа второго порядка (аналогом телеграфного уравнения) при различных формах входящих в нее коммутативных матричных коэффициентов, из заданного начального со стояния в заданное финальное за определенное время.

2. Условия существования и явный вид граничных управляющих функций, переводящих объект, описываемый уравнением гиперболического типа второго порядка, содержащим смешанную производную, из заданного начального состо яния в заданное финальное в случае малого времени управления.

3. Общий вид граничных функций, осуществляющих управление в услови ях первой краевой задачи процессом, моделируемым гиперболическим уравне нием второго порядка, содержащим смешанную производную, в случае доста точно большого времени управления.

4. Условия, при которых осуществимо управление процессом, моделируе мым системой уравнений гиперболического типа второго порядка, содержащей смешанную производную, для различного времени управления.

5. Граничные функции, осуществляющие управление в условиях первой краевой задачи процессом, описываемым системой гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную, при различных соотношениях между входящими в нее коммутативными матричными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на сле дующих научных конференциях и семинарах: второй, третьей международных конференциях Математическая физика и ее приложения (2010г.,2012г.), г.

Самара; восьмой Всероссийской научной конференции с международным уча стием Математическое моделирование и краевые задачи в СамГТУ (2011г.);

шестнадцатой Саратовской зимней школе Современные проблемы теории функ ций и их приложения (2012г.) в СГУ; научном семинаре кафедры функциональ ного анализа и его применений факультета вычислительной математики и ки бернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносо ва (руководитель семинара академик РАН, д.ф.-м.н. Е. И. Моисеев) (2012г.);

научном семинаре Неклассические задачи математической физики кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара д.ф.-м.н. Л. С. Пулькина) (2013г.); научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственно го технического университета (руководитель семинара д.ф.-м.н. В. П. Радчен ко) (2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 11 публика циях, из них 7 в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 133 наименования. Общий объем диссертации составляет 123 страницы.

Содержание работы Во введении приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач иссле дования, основные результаты и подход к исследованию, а также некоторая дополнительная информация о работе.

В первой главе рассмотрена задача граничного управления для системыаналога телеграфного уравнения вида где u(x, t) n-мерная вектор-функция, A, C постоянные коммутативные мат рицы (nn) с положительными собственными значениями (a2,..., a2, c2,..., c2 ).

Заданы начальные и финальные условия (соответственно):

необходимо найти граничные управления Задача рассмотрена в области Q = [0, l] [0, T ]. Вектор-функции 0 (x), 0 (x), 1 (x), 1 (x), µ(t), (t) имеют размерность n; µk (t), k (t) C[0, T ], k = 1, n.

В разделах 1.1, 1.2 произведены необходимые предварительные построе ния: приведены решения задач Коши с начальными и финальными условиями, задач с данными на характеристиках, вычислены следы решений данных задач на граничных прямых x = 0, x = l. Результаты сформулированы в виде лемм.

В координатах (x, t) рассмотрено уравнение с начальными условиями вида (2) или финальными условиями вида (3) (значе ния функций в данном случае из R).

Лемма. Если функции 0 (x) C 2 [0, l], 0 (x) C 1 [0, l] (1 (x) C 2 [0, l], 1 (x) C 1 [0, l]), то классическое решение задачи Коши (5), (2) ( (5), (3)) в T l/2a t T }) имеет вид (соответственно):

где 0 F1 (; z) вырожденная гипергеометрическая функция.

В разделе 1.2 рассмотрены начальные и характеристические задачи для системы уравнений с кратными характеристиками вида utt uxx + Cu = 0, собственные значения матрицы C положительны.

В разделе 1.3 построено решение задачи граничного управления (1)–(3) для матриц A и C различной структуры. Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения в формулах (1)–(3) выполнена замена u = Sw (при det S = 0) и совершен переход к задаче вида где A = S 1 AS, C = S 1 CS. Выделены следующие возможности для струк туры матрицы A: собственные значения кратности 1; собственные значения, у которых алгебраическая кратность равна геометрической кратности (> 1); соб ственные значения, каждому из которых соответствует одна жорданова клетка (размерности > 1); собственные значения, каждому из которых соответствуют несколько жордановых клеток (хотя бы одна из которых размерности > 1).

В случае различных собственных значений матрицы A задача (6)–(8) до пускает разделение на n отдельных задач граничного управления:

Для задачи (9)–(11) найдены условия управляемости вида:

и построены управляющие функции µk (t), k (t) для различных величин T. Ре зультаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.1. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] поставлена задача граничного управления (9) (11) с начальными и финальными функци ями 0, 1 C 2 [0, l], k, k C 1 [0, l], для которых при 0 < T < 2ak выполня граничные управления µk (t), k (t) C[0, T ] имеют вид:

Теорема 1.2. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] при T > alk поставлена задача граничного управления (9) (11) с начальными и финаль ными функциями 0, 1 C 2 [0, l], k, k C 1 [0, l], то граничные управления µk (t), k (t) C[0, T ] определяются формулами (16), (17) при T alk t T, а при 0 t < T alk имеют вид:

Теорема 1.3. В условиях задачи (1)-(3) в прямоугольной области Q = = [0, l] [0, T ] при 0, 1 C 2 [0, l] и k, k C 1 [0, l], k = 1, n, управление возможно, если для всех задач (9)-(11) выполнены необходимые условия из теорем 1.1, 1.2. При этом векторы управления µ(t), (t) могут быть полу чены с помощью формул µ(t) = S µ(t), (t) = S (t), где S матрица, использовавшаяся при переходе к задаче (6)-(8) и одновременно при водящая матрицы A и C к диагональной форме, а µk (t), k (t) C[0, T ] есть решения задач управления (9)-(11).

Аналогичным образом решена задача граничного управления для случая A = a2 E. При этом использован метод Римана для систем гиперболических уравнений. Результат сформулирован в виде теоремы.

Если нормальная жорданова форма матрицы A представляет собой един ственную жорданову клетку (порядка > 1), то система (6) содержит как одно родные, так и неоднородные уравнения.

Теорема 1.5. Если в прямоугольной области Q = [0, l] [0, T ] поставле на задача граничного управления (6)-(8) с начальными и финальными вектор функциями 0, 1 с компонентами из C n+2k [0, l], 0, 1 с компонентами из C n+1k [0, l], для которых для заданной величины T выполняются соотноше ния, указанные в теоремах 1.1, 1.2, то компоненты граничных управлений µk (t), k (t) C[0, T ] имеют вид:

где fk (x, t) решение соответствующей однородной задачи, a = 2a a, c = 2c c, ck Во второй главе рассмотрена задача граничного управления для систе мы гиперболических уравнений вида где B, C постоянные коммутативные матрицы размерности n n, u(x, t) n-мерная вектор-функция. Заданы начальные условия (2) и финальные усло вия (3), необходимо найти граничные управления (4). Задача рассматривается в прямоугольнике Q = [0, l] [0, T ]. Раздел 2.1 содержит необходимые пред варительные построения, включая решения задач Коши с начальными и фи нальными условиями и задач с данными на характеристиках для уравнения, соответствующего системе (18) (b2 > c):

обозначим p = b b2 c, q = b + b2 c, = (q p)1. Приведены следы решений данных задач на прямых x = 0, x = l. Результаты сформулированы в виде лемм.

Раздел 2.2 содержит решение задачи граничного управления для уравне ния (19) для случаев q > p > 0 и q > p > 0. Получены следующие соотноше ния, при которых управление возможно:

где = 1 q/p, = 1 p/q, F L (s) (а также GR (s), GL (s)) функции, полу ченные при продолжении начальных условий.

Теорема 2.1. Если в прямоугольной области Q = [0, l] [0, T ] постав лена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > p > 0) с начальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при T < l выполняются соотношения (20)-(22), а при l T < l/q соотношения (20), (22), то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] имеют вид:

Теорема 2.2. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > p > 0) с начальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при l/q < T l/p выполняется соотношение (23), то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] имеют вид:

(t) = Теорема 2.3. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > p > 0) с начальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при T > l/p выполняется соотношение то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] имеют вид:

при l/p < T < l/q l/p и при T l/q l/p.

Теорема 2.4. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > p > 0) с начальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при T q выполняются соотношения 0 x (q p)T, то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] имеют вид:

Теорема 2.5. Если в прямоугольной области Q = [0, l][0, T ] поставлена задача граничного управления (19), (2), (3) (в случае q > p > 0) с начальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при q < T p выполняются соотношения для 0 x l pT, то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] имеют вид:

чальными и финальными функциями 0, 1 C 2 [0, l], 0, 1 C 1 [0, l], для которых при T > p выполняется соотношение (26), то граничные управления µ(t), (t) C[0, T ] определяются соотношениями (24), (27), (25), (28) и В разделе 2.3 рассмотрена задача граничного управления для системы уравнений (18) с начальными и финальными условиями (2), (3). Как и в первой главе, с помощью невырожденной замены u = Sw совершен переход к задаче для системы где B = S 1 BS, C = S 1 CS, с условиями (7), (8) Для структуры матрицы B выделены те же возможности, что и для матрицы A в первой главе.

Раздел 2.3.1 содержит решение задачи управления для системы (18), содер жащей простую матрицу B с различными собственными значениями. В этом случае преобразованная система (29) распадается на n отдельных уравнений вида (b2 > ck ), каждому из которых соответствуют условия (10), (11). На основе полученных в разделе 2.2 результатов сформулированы обобщающие теоремы.

В разделе 2.3.2 выделен случай: матрица B имеет вид bE, матрица C содер жит единственную жорданову клетку с собственным значением c. Это означает, что среди уравнений системы (29) есть неоднородные.

Теорема 2.9. Если в прямоугольнике Q = [0, l] [0, T ] поставлена за дача граничного управления (29), (7), (8) с начальными и финальными век тор-функциями с компонентами 0, 1 C n+2k [0, l], k, k C n+1k [0, l], для которых при различных соотношениях между коэффициентами p и q и заданной величины T выполняются соотношения теорем 2.1-2.6, то компо ненты граничных управлений µk (t), k (t) C[0, T ] представимы в виде:

где 1 = qp p q, 1 f f, fk (x, t) решение соответствующей однород ной задачи.

В разделе 2.3.3 рассмотрена матрица B, содержащая единственную жорда нову клетку (порядка >1), матрица C приведена к треугольному виду. Решение задачи управления построено аналогично решению задачи раздела 1.3.3 (теоре ма 1.5) с использованием операторов 1 и 2 = qp p p q q. Результат сформулирован в виде теоремы.

Заключение 1. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, не со держащей смешанную производную, получены решения задачи управления в условиях первой краевой задачи для произвольного времени управления.

2. Определены условия, при которых управление объектом, описываемым данной системой, возможно.

3. Для гиперболического уравнения второго порядка, содержащего сме шанную производную (в случае отсутствия младших членов), сформулирована задача граничного управления, в зависимости от относительного расположения характеристик определены области построения решения данной задачи.

4. Получены условия существования и явный вид граничных управляющих функций, переводящих объект, описываемый гиперболическим уравнением вто рого порядка, содержащим смешанную производную, из заданного начального состояния в заданное финальное в случае малого времени управления.

5. В случае достаточно большого времени управления построен общий вид управляющих функций в условиях первой краевой задачи.

6. Для системы уравнений гиперболического типа второго порядка, содер жащей смешанную производную, сформулирована задача граничного управле ния и определены условия, при которых управление осуществимо.

7. Построены граничные функции, осуществляющие управление в услови ях первой краевой задачи процессом, описываемым системой гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную, при различных соотношени ях между входящими в нее коммутативными матричными коэффициентами.

Основные публикации по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Козлова, Е. A. Задача управления для системы телеграфных уравнений / Е. A. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. 2011.

№ 3(24). С. 162–166.

[2] Козлова, Е. A. Задача о полном успокоении для гиперболического урав нения, содержащего смешанную производную / Е. A. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. 2011. № 4(25). С. 37–42.

[3] Козлова, Е. A. Задача управления для гиперболического уравнения в слу чае характеристик с угловыми коэффициентами одного знака / Е. A. Коз лова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. 2012. № 1(26).

[4] Козлова, Е. A. Задача граничного управления для телеграфного уравне ния / Е. A. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. 2012.

[5] Козлова, Е. A. Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений второго порядка / Е. A. Козлова // Вестник СамГТУ. Серия физ.-мат. науки. 2012. № 3(28). С. 47–52.

[6] Козлова, Е. A. Задача Коши для системы гиперболических уравнений, со держащей смешанную производную / Е. A. Козлова // Вестник СамГТУ.

Серия физ.-мат. науки. 2012. № 4(29). С. 218–221.

[7] Козлова, Е. A. Задача граничного управления для системы уравнений гиперболического типа / Е. A. Козлова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.

Математика. Механика. Информатика. 2013. № 1, Ч.2. С. 51–56.

Другие публикации:

[8] Козлова, Е. A. Задача граничного управления для системы телеграфных уравнений / Е. A. Козлова // В сб.: Математическое моделирование и кра евые задачи. Тр. восьмой Всероссийской научной конф. с международным участием. Ч. 3. Самара: СамГТУ. 2011. С. 95–98.

[9] Козлова, Е. A. Задача о полном успокоении для гиперболического уравне ния, содержащего смешанную производную / Е. A. Козлова // В сб.: Со временные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга. 2012. С. 86.

[10] Козлова, Е. A. Граничное управление процессами, описываемыми систе мами гиперболических уравнений / А. А. Андреев, Е. A. Козлова, С. В. Лексина // В сб.: Материалы третьей международной конф. Ма тематическая физика и ее приложения. Самара: СамГТУ. 2012.

[11] Козлова, Е. A. Задача Коши для системы гиперболических уравнений, со держащей смешанную производную / Е. A. Козлова // В сб.: Материалы третьей международной конф. Математическая физика и ее приложе ния. Самара: СамГТУ. 2012. С. 168.

Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д 212.015. ФГАОУ ВПО НИУ БелГУ (протокол №2 от 05.03.2013г.) 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.