МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
На правах рукописи
Белотелов Вадим Николаевич
ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ АВТОНОМНЫМ МОБИЛЬНЫМ
РОБОТОМ С ДВУМЯ СООСНЫМИ КОЛЕСАМИ
специальность: 01.02.01 – теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2010
Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова доктор физико-математических наук,
Научный руководитель:
профессор Ю.Г. Мартыненко доктор физико-математических наук,
Официальные оппоненты:
профессор Ю.Ф. Голубев доктор физико-математических наук, профессор Г.Н. Яковенко Учреждение Российской академии наук
Ведущая организация:
Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН
Защита состоится 26 марта 2010 года в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).
Автореферат разослан 24 февраля 2010 года
Ученый секретарь диссертационного совета, доцент В.А. Прошкин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы Развитие теории аппаратов с двумя соосными колесами стимулируется многочисленными приложениями, возникшими в последнее время в промышленности, в транспорте, в робототехнике. Проблема синтеза алгоритмов стабилизации стационарных движений таких систем актуальна как в связи с разработкой теории управления неголономными неустойчивыми системами с дефицитом числа управляющих воздействий, так и с обеспечением требований безопасности сервисных гуманоидных роботов и колесных аппаратов, используемых в режиме индивидуальных транспортных средств.
Цель работы.
Целью данной диссертационной работы является исследование динамики двухколесного аппарата, корпус которого представляет собой произвольное твердое тело, построение законов управления движением такого аппарата по горизонтальной плоскости, разработка алгоритмов определения фазовых координат рассматриваемой системы при различном составе измерений.
Научная новизна.
В работе впервые построена пространственная модель движения двухколесного аппарата, корпус которого является произвольным твердым телом, шарнирно закрепленным на оси колесной пары. В модели учтено наличие редукторов между электродвигателями и колесами и ограниченность допустимых напряжений, подаваемых на двигатели. Разработаны алгоритмы управления, обеспечивающие максимальную область притяжения вертикального положения корпуса. При различном составе измерений решена задача определения параметров движения аппарата, включая построение вертикали. Предложен новый алгоритм определения фазовых переменных по показаниям двух датчиков углов поворота колес относительно корпуса.
Достоверность и обоснованность Все результаты работы получены при исследовании полной и корректной модели двухколесного аппарата. Они базируются на методах теоретической механики и теории управления. Аналитические вычисления и все численные эксперименты проводились в известной и хорошо зарекомендовавшей себя системе «Mathematica».
Теоретическая и практическая ценность.
В работе построена математическая модель аппарата, представляющего собой твердое тело на колесной паре. Проведен анализ управляемости и разработан алгоритм управления движением аппарата, реализующий максимальную область притяжения его стационарного движения при наличии ограничений на управляющие воздействия. Проведен анализ наблюдаемости и построен алгоритм определения фазовых переменных системы по показаниям двух датчиков поворота колес относительно корпуса.
Полученные результаты могут быть применены при создании мобильных роботов и транспортных средств, использующих кинематическую схему перевернутого физического маятника на колесной паре.
Апробация и публикации.
Результаты диссертации излагались автором на следующих конференциях и семинарах:
Научные конференции «Ломоносовские чтения», секция механики, Всероссийская научная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 2005 г., Конференции-конкурсы молодых ученых МГУ, 2008, 2009 гг., Всероссийская научная школа-конференция с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения», Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009, Семинар Института проблем механики РАН «Теория управления и динамика систем» под руководством академика Ф.Л. Черноусько.
Список публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.
Работа над диссертацией выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 06-01-00517а, 09-01-00593а) и Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научной сфере (программа «УМНИК»).
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем работы составляет 125 страниц, включая список использованных источников из 84 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дан обзор работ по теме диссертации, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется ее цель, а также определяется научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Описана структура диссертации и дано краткое содержание ее глав.
В первой главе описана конструкция аппарата (рис. 1), который состоит из корпуса 1, шарнирно закрепленного на горизонтальной оси колесной пары с двумя одинаковыми колесами 2,3 радиуса r. Центр масс C1 корпуса находится выше оси вращения колес, проходящей через их центры масс C2 и C3. Колеса 2,3 жестко скреплены с шестернями радиуса r1, которые находятся в зацеплении с шестернями радиуса r2, жестко скрепленными с роторами двигателей 4, 5. Статоры двигателей установлены на корпусе 1. Оси вращения колес и роторов двигателей являются осями симметрии соответствующих центральных эллипсоидов инерции, а корпус представляет собой произвольное твердое тело.
Предполагается, что во все время движения отрыва колес от горизонтальной плоскости Oxy не происходит.
(угол поворота вокруг оси Az1 колесной пары, отсчитываемый от оси x), – угол поворота маятника (угол между осями Az1 и Azb ), 2,3 – абсолютные абсолютные углы поворота роторов электродвигателей относительно своих осей вращения, Т – знак транспонирования.
Условия отсутствия проскальзывания колес аппарата приводят к трем независимым уравнениям неголономных связей Условия отсутствия проскальзывания в точках зацепления шестерен имеют вид Здесь = r2 / r1 отношение радиусов шестерен — коэффициент редукции.
Таким образом, на восемь обобщенных координат налагается пять уравнений связей (1), (2), и рассматриваемая система имеет три степени свободы.
Связь между векторами обобщенных скоростей q и псевдоскоростей = (V,, ) записывается в матричном виде Для вывода уравнений движения используется система аналитических вычислений «Mathematica». В этой системе была написана программа, автоматизирующая вывод уравнений из общих теорем динамики, а также с применением формализма Маджи и Аппеля для неголономных систем.
В работе электродвигатели аппарата считаются одинаковыми, а момент на валу двигателя определяется выражением:
где CU, CV – постоянные коэффициенты, определяемые паспортными характеристиками двигателя, а подаваемые на правый и левый двигатели напряжения U R,L ограничены по абсолютной величине Кинематические и динамические уравнения движения аппарата в безразмерной форме:
управляющие воздействия U S = U R + U L, U D = U R U L, При этом uS = U S / U *, u D = U D / U *, U * = a11 gr / ( CU ). Штрих означает дифференцирование по безразмерному времени, и использованы следующие обозначения для безразмерных комплексов:
которые составлены из размерных параметров аппарата m1, m2 = m3, m4 = m5 – соответственно масса корпуса, колеса, ротора, J1b – тензор инерции корпуса в осях xb yb zb, J 2 = J 3, J 4 = J 5 – тензоры инерции колес и роторов в главных центральных осях инерции, которые коллинеарны осям x1 y1 z Уравнения, получаемые с помощью теорем динамики, содержат реакции связей. В работе определяются вертикальные компоненты реакций опорной плоскости, приложенных к колесам, и сумма составляющих этих реакций, направленных параллельно оси вращения колес.
Уравнения движения аппарата с динамически симметричным корпусом образуются из уравнений (7), если в формулах (9) величину b2 смещения центра масс корпуса в сторону от плоскости геометрической симметрии принять равной нулю.
Проведенное сравнение «объема» уравнений (число символов до приведения подобных членов, которые образуются при многократном умножении матриц ориентации при выводе уравнений) показало, что уравнения Маджи содержат 7 тысяч символов, а уравнения Аппеля – 11 тысяч. После приведения подобных слагаемых уравнения Маджи и Аппеля совпадают.
Во второй главе найдено семейство стационарных решений системы (6), (7), которые в случае динамически симметричного корпуса ( j5 = j6 = j7 = 0, j10 = 0 ) представляют собой такие движения аппарата, при которых центр колесной пары движется с постоянной скоростью по прямой (формула (10) или по окружности (формула (11), а маятник (корпус) находится в верхнем (неустойчивом) положении.
переменных от стационарных значений, в общем случае имеет вид Здесь вектор 6 в случае движения по прямой состоит из отклонений (, v,, y,, ), а в случае движения по окружности – из отклоT В системе (12) выделяются две подсистемы – подсистема продольного движения с парой ( A s, b s ) и скалярным управлением us и подсистема бокового движения с парой ( A d, b d ) и скалярным управлением ud.
Критерием управляемости подсистемы продольного движения является неравенство нулю определителя матрицы управляемости Критерием управляемости подсистемы бокового движения является неравенство нулю определителя матрицы управляемости Физический смысл условия (13) заключается в том, что при достаточно большом моменте инерции корпуса относительно вертикальной оси выражение ( j1 + j4 ) может стать отрицательным (см. формулы (8) и (9)), и система может стать неуправляемой при некоторых скоростях 0 стационарного движения.
Неравенство (14) в сделанных предположениях о свойствах аппарата выполнено всегда, и подсистема бокового движения всегда управляема.
Условие реализуемости стационарного движения, заключающееся в положительности вертикальных составляющих реакций опорной плоскости во время движения, сводится к ограничению на центростремительное ускорение Линеаризованная система продольного движения имеет одно собственное значение 1 в правой полуплоскости. Выделяется «неустойчивая» переменная, которая является линейной комбинацией переменных продольного движения s. Алгоритм, в котором управление us строится в виде линейной обратной связи по неустойчивой переменной, реализует максимальную область притяжения стационарного движения в случае ограниченного напряжения us :
Другой алгоритм в виде линейной обратной связи по всем переменным продольного движения позволяет назначать собственные значения замкнутой системы, однако, он уменьшает область управляемости по сравнению с законом управления (16).
Для стабилизации бокового движения использовался метод назначения корней аналогично (17):
Проверка работоспособности полученных алгоритмов управления в полной нелинейной модели с учетом ограничений на управляющие напряжения проводилась численно. График динамики угла наклона корпуса при использовании управления (16) и (17) приведен на рис. 3.
Рис. 3. Динамика угла наклона корпуса (в градусах) в нелинейной модели при движении по окружности с использованием алгоритма управления (16) (левый рисунок) и (17) В случае динамически несимметричного корпуса ( j5 0 ) в системе существуют только стационарные решения, соответствующие движению по прямой с постоянной скоростью. Система, линеаризованная в окрестности такого стационарного решения, не разделяется на продольное и боковое движение.
Рис. 4. Миграция корней системы, замкнутой обратной собственные значения такой системы мигрируют, но остаются в левой полуплоскости (рис. 4). Это подтверждает возможность стабилизации линеаризованной системы в случае несимметричного корпуса законом управления, построенным для «симметричной» системы.
Численные эксперименты с нелинейной моделью, в которой корпус несимметричен, показали применимость законов управления, построенных для симметричной модели.
В третьей главе рассматривается задача определения фазового вектора системы, необходимого для замыкания системы управления. Исследована возможность определения фазовых переменных непосредственно при помощи двух двухкомпонентных акселерометров, а также показана принципиальная возможность и предложен метод определения фазовых переменных (наблюдатель Люенбергера) при использовании показаний двух датчиков угла поворота колес относительно корпуса. Верификация предложенных моделей и алгоритмов проводилась с помощью вычислительных экспериментов и аналитически с применением системы «Mathematica».
Рис. 5. Расположение акселерометров на корпусе вращения корпуса вокруг оси вращения колес (рис. 5).
Проекции ускорений точек крепления акселерометров на оси, параллельные осям xb и zb, обозначены соответственно aix и aiz, i = 1,2. Для них имеют место следующие формулы:
Для угла наклона корпуса получена формула Истинное значение угла может принадлежать одной из ветвей выражения (20), и необходимым условием смены ветви для определения угла является обращение в ноль подкоренного выражения в формуле (20).
В задаче определения фазовых переменных продольного движения, v, по измерению углов поворота колес относительно корпуса аппарата рассматривается система с измерением z =. Здесь введена переменная =. Критерием наблюдаемости системы (21) является неравенство нулю определителя матрицы наблюдаемости Физический смысл выражения (22) состоит в том, что рассматриваемая система наблюдаема тогда и только тогда, когда ее общий центр масс не лежит на оси вращения колес.
Для определения фазовых переменных продольного движения построен наблюдатель Люенбергера, переменные которого использовались в законе управления (17) вместо отклонений фазовых переменных.
неаризованной в окрестности стационарного движения с постоянной скоростью, 4 - переменные наблюдателя, C4 = (1 1 0 0 ) - вектор-строка измерения, K 4 = ( k k ) Численный эксперимент показал применимость такого способа определения фазовых переменных в полной нелинейной модели, замкнутой обратной связью вида (17) по переменным наблюдателя, учитывающей ограничения на управляющее напряжение us (рис. 6, 7) ной обратной связью по отклонениям фазовых переменных (слева) и по переменным наблюдателя (справа). Пунктиром показана динамика переменной наблюдателя.
Рис. 7. Суммарное размерное напряжение на двигателях U s (в вольтах) при стабилизации нелинейной модели линейной обратной связью по отклонениям фазовых переменных (слева) и по переменным наблюдателя (справа). Точечной линией обозначено предельное значение напряжения, равное 7.2 В.
В заключении перечислены основные результаты диссертации:
1. Построена пространственная модель движения аппарата, представляющего собой произвольное твердое тело, шарнирно закрепленное на колесной паре. Колеса аппарата управляются двумя независимыми электродвигателями постоянного тока.
2. Найдены стационарные решения, которые соответствуют движению центра колесной пары аппарата по окружности или по прямой с постоянной скоростью. Исследована управляемость линеаризованных в окрестности стационарных движений уравнений аппарата.
3. Построен алгоритм управления в виде линейной обратной связи, который стабилизирует движение аппарата по окружности заданной кривизны (в том числе и нулевой, т.е. по прямой) с заданной постоянной продольной скоростью. Данный алгоритм обеспечивает максимальную область притяжения при наличии ограничений на управляющие воздействия (напряжения на электродвигателях).
4. Проведены численные эксперименты по исследованию применимости алгоритма управления, которые показали возможность его использования в полной нелинейной модели.
5. Поставлена и решена задача определения фазовых координат продольного движения по измерениям углов поворота колес относительно корпуса аппарата. Найдено необходимое и достаточное условие наблюдаемости. Построен линейный наблюдатель Люенбергера. Проведены численные эксперименты, показавшие возможность его использования в полной нелинейной Список литературы 1. Белотелов В.Н. Алгоритмы управления пространственным движением двухколесной роботизированной платформы // Всероссийская научная школа-конференция с международным участием «Теория управления:
новые методы и приложения», Переславль-Залесский, 22-26 сентября 2009. Тезисы доклада (сборник тезисов на электронном носителе).
2. Белотелов В.Н. Вычислительная сложность уравнений динамики антропоморфных мобильных роботов, получаемых системами символьных вычислений // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2004 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. Университета, 2004, cтр. 35.
3. Белотелов В.Н. Математическое моделирование систем связанных твердых тел // Сб. трудов конф. «Математика. Компьютер. Образование»
2005, вып. 12, Ижевск: РХД. Тезисы доклада, стр. 87.
4. Белотелов В.Н., Мартыненко Ю.Г. Алгоритмы стабилизации мобильного робота на базе платформы Segway RMP // Труды конференции - конкурса молодых ученых. 12-17 октября 2005г. М.: Изд-во Моск. университета, 2006, стр. 52-62.
5. Белотелов В.Н., Мартыненко Ю.Г. Автоматизация моделирования динамики систем твердых тел // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. Апрель 2005 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. университета, 2005, стр. 42.
6. Белотелов В.Н., Мартыненко Ю.Г. Управление пространственным движением перевернутого маятника, установленного на колесной паре// Изв.
РАН. Механика твердого тела, №3, 2006 г., стр. 25-42.
7. Белотелов В.Н., Мартыненко Ю.Г.. Управление пространственным движением несимметричной двухколесной роботизированной платформы. // Мобильные роботы и мехатронные системы. Материалы научной школыконференции 24-29 марта 2008 г. М.:, Изд-во Моск. университета, 2009, стр. 70-85.