На правах рукописи

МОИСЕЕВ КОНСТАНТИН ВАЛЕРЬЕВИЧ

ВЛИЯНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ВЯЗКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ НА СВОБОДНУЮ

КОНВЕКЦИЮ ЖИДКОСТИ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень 2009

Работа выполнена в Институте механики Уфимского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Урманчеев Саид Федорович

Научный консультант: кандидат физико-математических наук Ильясов Айдар Мартисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Родионов Сергей Павлович кандидат физико-математических наук, доцент Гореликов Андрей Вячеславович

Ведущая организация: Институт теплофизики СО РАН

Защита диссертации состоится 19 июня 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.274. в Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан 18 мая 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Мусакаев Н. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование процессов конвективного переноса является одной из важнейших задач современной гидродинамики, так как эти процессы широко распространены как в природе, так и в технике.

В современной промышленности для улучшения характеристик рабочих жидкостей аппаратов и машин используются различные полимерные присадки, способные изменять реологические свойства жидкости. Между тем, даже при незначительных добавках присадок, эти свойства могут претерпеть как качественные, так и количественные изменения. Например, процессы полимеризации и деполимеризации, образования и разрушения гелевых структур при изменении температуры могут привести к немонотонным температурным зависимостям вязкости. Этот факт должен учитываться при оценке режимов технологических процессов, так как оптимальные режимы тепломассопереноса могут сильно измениться.

В отечественной и зарубежной литературе достаточно широко представлены работы по изучению конвективных течений в жидкостях, вязкость которых не изменяется или монотонно убывает с ростом температуры. Тем не менее, температурная зависимость вязкости может иметь достаточно сложный характер. Вязкость гелеобратимых водных растворов метилцеллюлозы, полиакриламида, карбоксиметилцеллюлозы с ростом температуры до точки начала гелеобразования убывает и при достижении этой точки начинает резко возрастать, то есть изменяется немонотонно, и имеет в точке гелеобразования минимальное значение. Вязкость жидкой серы и ряда органических полимеров также имеет немонотонный характер: образование длинных полимерных цепочек в определенном температурном диапазоне приводит к значительному увеличению вязкости. Понижение или повышение температуры уменьшает их длину и ведет к уменьшению вязкости. Кривая температурной зависимости вязкости таких жидкостей имеет точку максимума.

Изучение эффектов конвективного переноса жидкостей с аномалией вязкости по температуре представляет собой сложную задачу, сопряженную с необходимостью проведения исследований с применением математического моделирования и современных вычислительных средств.

Закономерности поведения таких сред при свободноконвективном переносе практически не изучены и представляют большой практический и научный интерес.

Цель работы. Установление особенностей свободноконвективного переноса в двухмерной ячейке жидкостей, имеющих монотонные и немонотонные зависимости вязкости от температуры;

изучение режимов свободной конвекции в двухмерной наклонной ячейке жидкости с аномальной зависимостью вязкости от температуры.

Научная новизна.

• Изучено влияние функциональной зависимости вязкости от температуры на режимы свободной конвекции.

• Определены параметры, характеризующие интенсивность теплообмена для жидкостей с температурными зависимостями вязкости.

• Исследовано влияние угла наклона ячейки относительно горизонта на свободную конвекцию жидкости с немонотонной зависимостью вязкости.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты необходимы для более полного понимания процессов, происходящих в аппаратах и установках, рабочие жидкости которых имеют сложные зависимости вязкости от температуры. Также результаты могут быть использованы при оценках степени влияния температурной зависимости вязкости на режимы конвективных течений, распределение температуры и теплообмен. Кроме того, результаты работы могут служить теоретической основой для проектирования нагревательных приборов, теплоносители которых имеют аномалию вязкости по температуре.

Работа выполнена в рамках программы исследований по гранту Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-3483.2008.1) и при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН Динамика многофазных и неоднородных жидкостей (2006-2008 гг.).

Результаты работы использовались при составлении отчета о инв. № 02.2.00 951105 за 2009 г.

Достоверность результатов. При исследовании применялись методы, основанные на фундаментальных законах механики сплошных сред, и апробированные методы вычислительной гидродинамики. Для проверки компьютерной программы, реализующей численный метод, был проведен ряд тестовых расчетов.

Апробации работы. Основные положения и результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

• Российская научно-техническая конференция Мавлютовские чтения, посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр.

РАН, проф. Р.Р. Мавлютова, Уфа, 2006 г.

• Четвертая Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-4), Москва, 2006 г.

• Российская конференция Механика и химическая физика сплошных сред, Бирск, 2007 г.

• Международная конференция Потоки и структуры в жидкостях, Санкт-Петербург, 2007 г.

• IV Всероссийская конференция Актуальные проблемы прикладной математики и механики, посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2008 г.

Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах в Институте механики Уфимского научного центра РАН под руководством профессора С. В. Хабирова, профессора В. Ш. Шагапова и в Тюменском филиале Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН под руководством профессора А. А. Губайдуллина.

В 2009 г. работа была удостоена гранта Республики Башкортостан на конкурсе работ молодых ученых и молодежных научных коллективов.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 6 печатных работах, список которых представлен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 113 страниц, 7 таблиц и 80 рисунков. Список литературы включает 82 наименования работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отражена актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации, сформулированы цели исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложена структура диссертации.

В первой главе выполнен обзор литературы, посвященной теоретическим и экспериментальным исследованиям в области свободно-конвективных течений. Выписана математическая модель свободной конвекции жидкости с учетом зависимости коэффициента вязкости от температуры.

Во второй главе описан численный метод и представлены результаты тестовых расчетов. Дано подробное описание метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE (Semi – Implicit Method for Pressure – Linked Equations). Проверка используемого в работе численного метода была проведена на ряде тестовых расчетов: течение изотермической жидкости в канале, свободная и вынужденная конвекции в квадратной ячейке. Оценена погрешность численного метода на вложенных сетках по правилу Рунге.

В третьей главе численно исследуется влияние зависимости вязкости от температуры на свободную конвекцию ньютоновской несжимаемой жидкости в квадратной ячейке, подогреваемой снизу.

Вертикальные границы ячейки считались адиабатическими, горизонтальные изотермическими.

Выписана безразмерная система уравнений свободной конвекции жидкости с вязкостью, зависящей от температуры в двухмерной области:

где u и v горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости; p отклонение от гидростатического давления; температура и µ() динамическая вязкость как функция температуры.

Параметры подобия: число Прандтля Pr = и число Грасгофа кинематической вязкости и коэффициента температуропроводности;

µ0 и 0 характерные динамическая вязкость и плотность; T1 и T размерные температуры верхней и нижней границ ячейки (T2 > T1 );

коэффициент объемного расширения; g ускорение свободного падения; L характерный размер ячейки. Кроме того, при изучении процессов свободно-конвективных течений используем число Рэлея Ra = Pr · Gr.

Полагалось, что функция вязкости в размерном виде µ(T ) определена на интервале температур T1 T T2, а область значений разбивалась на область больших µ0 µ µsup и меньших µinf µ µ0 по отношению к µ0 вязкостей. Неоднородность значений вязкости задавалась параметром r, который в области больших вязкостей полагался равным r = µsup /µ0, а в области меньших вязкостей r = µ0 /µinf.

В обеих областях исследовалась свободная конвекция жидкостей с монотонными и немонотонными зависимостями вязкости от температуры.

Монотонные зависимости вязкости от температуры моделировались показательными функциями.

В качестве немонотонных зависимостей вязкости от температуры использовались квадратичные функции, при этом полагалось, что экстремум функции вязкости достигается в средней точке температурного интервала T0. Графики исследуемых зависимостей приведены на рис. 1(а),(б).

Рис. 1. Графики исследуемых зависимостей в области больших вязкостей (а) и в области меньших вязкостей (б) Исследуемые зависимости вязкости, удовлетворяющие приведенным выше требованиям, в безразмерном виде можно представить формулами:

Полагалось, что в начальный момент времени жидкость находилась в состоянии покоя:

Для компонент вектора скорости на всех границах задавались условия прилипания (u = 0 и v = 0). Граничные условия для температуры в соответствии с постановкой задачи записывались в виде:

Для исследования интенсивности теплообмена на изотермических границах вычислялись числа Нуссельта:

где NuH и NuC числа Нуссельта на подогреваемой и охлаждаемой границах соответственно.

При изучении колебательных режимов свободной конвекции исследовался спектр мощности чисел Нуссельта где t и безразмерное время и безразмерная круговая частота соответственно.

Все расчеты проводились на сетке 50 50 контрольных объемов для фиксированных параметров Pr = 118 и r = 10. Числа Грасгофа варьировались в пределах 1 Gr 40000.

Обнаружено, что функциональная зависимость вязкости от температуры сказывается на картинах течений в установившихся режимах свободной конвекции. Так, для жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры вида µ1 () обнаружено существование трех типов стационарных течений. При последовательном увеличении числа Грасгофа сначала появляется одновихревой (рис. 2(а)), затем двухвихревой симметричный (рис. 2(б)), и наконец, двухвихревой асимметричный (рис. 2(в)) режимы, в то время, как для жидкости с постоянной вязкостью µ0 при заданном числе Прандтля (Pr = 118) выявлен только стационарный одновихревой режим.

Рис. 2. Линии тока в установившихся режимах конвекции: одновихревом (а), двухвихревом симметричном (б) и двухвихревом асимметричном (в).

Зависимость вязкости от температуры вида µ1 () Для жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры вида µ3 (), как и для жидкостей с монотонными температурными зависимостями вязкости µ5 (), µ6 (), µ7 () и µ8 () обнаружено существование двух установившихся режимов. Свободная конвекции начинается с одновихревого течения, а при увеличении числа Грасгофа происходит переход к двухвихревому симметричному режиму.

Немонотонные зависимости вязкости от температуры с отрицательной второй производной µ2 () и µ4 () качественных изменений в картины установившихся течений свободной конвекции не вносят.

Для жидкостей с этими функциональными зависимостями, как и для жидкости с постоянной вязкостью µ0, обнаружены стационарные одновихревые режимы свободной конвекции.

Для жидкостей с монотонными зависимостями вязкости от температуры µ5 (), µ6 (), µ7 () и µ8 () установлено, что в одновихревом режиме конвекции для монотонно возрастающих функций вязкости µ6 () и µ8 () (µ > 0) циркуляция происходит против часовой стрелки, а для монотонно убывающих µ5 () и µ7 () (µ < 0) по часовой. Также обнаружено влияние знака первой производной функции вязкости на направления вихрей в двухвихревом симметричном режиме. Для жидкостей с монотонно возрастающими зависимостями выявлены течения с нисходящим движением в центре ячейки, а для жидкостей с монотонно убывающими зависимостями с восходящим движением в центре.

Направления вихрей в свободно-конвективных режимах жидкостей с немонотонными температурными зависимостями вязкости носят случайный характер: в одновихревом режиме с равной вероятностью появляются течения, направленные как по часовой, так и против часовой стрелки, а в двухвихревом как с восходящим движением, так и с нисходящим движением в центре ячейки.

Рис. 3. Изменение чисел Нуссельта со временем (а) и спектр мощности числа Нуссельта на подогреваемой границе (б) в автоколебательном режиме конвекции. Зависимость вязкости от температуры вида µ2 () Увеличение числа Грасгофа приводит к потере устойчивости стационарных течений и возникновению автоколебательных режимов свободной конвекции (рис. 3). Колебания тепловых потоков вызваны симметрично-инверсионными перезамыканиями вихревых структур относительно центральной вертикальной оси ячейки. Вначале наблюдаются периодические колебания, которые с ростом числа Грасгофа переходят в многочастотные квазипериодические (рис. 4).

Данные режимы свободной конвекции обнаружены для всех исследуемых в работе зависимостей. Области существования этих режимов для жидкостей с различными температурными зависимостями вязкости различны.

Рис. 4. Спектр мощности числа Нуссельта на подогреваемой границе (а) и проекция фазового пространства (u, v, du/dt, dv/dt) в фиксированной точке ячейки (x = 0, 5; y = 0, 04) на двумерную плоскость (v, dv/dt) (б) в квазипериодическом режиме конвекции. Зависимость вязкости от температуры вида µ4 () При последующем увеличении числа Грасгофа свою устойчивость теряют автоколебательные режимы свободной конвекции, нарушается симметрия течений, происходит существенная рассинхронизация тепловых потоков на изотермических границах (рис. 5), в проекции фазового пространства наблюдается странный аттрактор (рис. 6(б)). Все это, а также анализ спектра мощности числа Нуссельта на подогреваемой границе (рис. 6(а)), свидетельствует о возникновении хаотического режима свободной конвекции. Для жидкостей с различными зависимостями вязкости от температуры границы существования этого режима отличаются.

Рис. 5. Линии тока (а) и изменение чисел Нуссельта со временем (б) в хаотическом режиме конвекции. Зависимость вязкости от температуры вида µ5 () Рис. 6. Спектр мощности числа Нуссельта на подогреваемой границе (а) и проекция фазового пространства (u, v, du/dt, dv/dt) в фиксированной точке ячейки (x = 0, 5; y = 0, 04) на пространство (u, du/dt, dv/dt) (б) в хаотическом режиме конвекции. Зависимость вязкости от температуры вида µ4 () На рис. 7 представлено изменение числа Нуссельта на подогреваемой границе ячейки в зависимости от числа Рэлея для жидкостей с немонотонными (рис. 7(а)) и монотонными (рис. 7(б)) температурными зависимостями вязкости, сплошной линией обозначена кривая Nu(Ra) для жидкости с постоянной вязкостью µ0. Видно, что интенсивность теплообмена для жидкостей с зависимостями вязкости от температуры µ1 (), µ2 (), µ5 () и µ6 () ниже, а для жидкостей с функциями вязкости µ3 (), µ4 (), µ7 () и µ8 () выше, чем интенсивность теплообмена для жидкости с постоянной вязкостью µ0. Также нетрудно заметить, что кривые Nu(Ra) для жидкостей с монотонными функциями вязкости µ5 () (µ5 < 0) и µ6 () (µ6 > 0), так же, как и для жидкостей с зависимостями µ7 () (µ7 < 0) и µ8 () (µ8 > 0), практически совпадают. То есть для жидкостей с монотонными зависимостями вязкости от температуры интенсивность теплообмена не зависит от знака первой производной функции вязкости по температуре. Для жидкостей с немонотонными зависимостями картина представляется более сложной.

Рис. 7. Изменение числа Нуссельта на подогреваемой границе ячейки в зависимости от числа Рэлея для жидкостей с немонотонными (а) и монотонными (б) зависимостями вязкости от температуры Для лучшего понимания влияния зависимости вязкости на теплообмен вводилось понятие характерной вязкости. Характерная вязкость определялась как удвоенная ордината центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осью µ = 0 и графиком исследуемой зависимости вязкости в размерном виде µ(T ) в данном интервале температур Установлено, что интенсивность теплообмена для жидкостей с монотонными зависимостями вязкости от температуры определяется характерной вязкостью жидкости: чем выше характерная вязкость жидкости, тем ниже интенсивность теплообмена.

Для жидкостей с немонотонными температурными зависимостями вязкости выявлено, что интенсивность теплообмена зависит от характерной вязкости и знака второй производной функции вязкости по температуре. Для жидкостей с характерными вязкостями одного порядка интенсивность теплообмена будет выше у той жидкости, вторая производная функции вязкости которой принимает отрицательные значения.

Четвертая глава посвящена численному исследованию влияния угла наклона квадратной ячейки относительно горизонта на свободную конвекцию жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры с минимумом µ1 (). Верхняя и нижняя границы ячейки считались изотермическими, боковые адиабатическими. Полагалось, что жидкость подогревается снизу.

В качестве математической модели использовалась безразмерная система уравнений свободной конвекции (1)-(4), в которой отклонение ячейки на угол учитывалось в проекциях уравнений движения Навье – Стокса на оси координат:

В качестве безразмерных параметров выступали числа Прандтля и Грасгофа. Для компонент вектора скорости на границах ячейки задавались условия прилипания. Считалось, что в начальный момент жидкость покоится.

Расчеты проводились на сетке 50 50 контрольных объемов для значений параметров Pr = 118, r = 10 и фиксированных углов = 15, 30, 45, 60, 75, 90. Числа Грасгофа изменялись в интервале 1 Gr 40000.

В отличие от угла наклона = 0, при = 15 было обнаружено существование двух типов стационарных режимов свободной конвекции. При последовательном увеличении числа Грасгофа сначала появляется одновихревой режим, затем его сменяет одновихревой с вложенными внутренними вихрями. Дальнейшее увеличение чисел Грасгофа приводит к возникновению автоколебательных режимов.

Установлено существование режима одночастотных колебаний, в котором числа Нуссельта на подогреваемой и охлаждаемой границе колеблются в противофазе (рис. 9). Также выявлен режим двухчастотных синфазных колебаний (рис. 8).

При = 30, 45, 60, 75, 90 обнаружены только стационарные одновихревые течения и стационарные течения с вложенными внутренними вихрями. С ростом угла наклона колебаний интегральных тепловых потоков на изотермических стенках не обнаружено.

На рис. 10(а) представлено изменение числа Нуссельта на подогреваемой границе в зависимости от числа Рэлея при различных углах наклона ячейки. Видно, что с ростом угла наклона интенсивность теплообмена повышается, однако для угла = 90 становится меньше, чем для углов наклона = 60, 75. На рис. 10(б) показано изменение числа Нуссельта на подогреваемой границе в зависимости от угла наклона ячейки при фиксированных числах Рэлея. Видно, что интенсивность теплообмена изменяется немонотонно и при угле наклона 75 достигает своего максимального значения.

Рис. 8. Линии тока (а) и изменение чисел Нусельта со временем (б), Ra = 354 · Рис. 9. Изменение числа Нуссельта со временем (а) и спектр мощности числа Нуссельта на подогреваемой границе ячейки (б), Ra = 1888 · 0.0x10+00 2.0x10+06 4.0x10+ Рис. 10. Зависимость числа Нуссельта на подогреваемой границе от числа Рэлея при фиксированных углах наклона ячейки (а) и зависимость чисел Нуссельта от угла наклона ячейки при фиксированных числах Рэлея (б) Обнаружено, что с ростом угла наклона минимальные критические числа Рэлея убывают.

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведено численное исследование свободной конвекции жидкостей с монотонными и немонотонными зависимостями вязкости от температуры. Установлено, что вид зависимости вязкости от температуры влияет на стационарные режимы конвекции. Для жидкостей с монотонными зависимостями и немонотонными зависимостями с положительной второй производной были обнаружены установившиеся одновихревые и двухвихревые режимы конвекции. Для жидкостей с немонотонными зависимостями с отрицательной второй производной, как и для жидкости с постоянной вязкостью, только установившиеся одновихревые режимы.

2. Обнаружено, что для жидкостей с монотонными температурными зависимостями вязкости интенсивность теплообмена не зависит от знака первой производной функции вязкости по температуре и определяется характерной вязкостью жидкости.

Чем выше характерная вязкость жидкости, тем ниже интенсивность теплообмена.

3. Выявлено, что интенсивность теплообмена для жидкостей с немонотонными зависимостями вязкости зависит от характерной вязкости и знака второй производной функции вязкости по температуре. Для жидкостей с характерными вязкостями одного порядка интенсивность теплообмена будет выше у той жидкости, вторая производная функции вязкости которой принимает отрицательные значения.

4. Установлено, что увеличение угла наклона ячейки относительно горизонта оказывает стабилизирующее воздействие на режимы свободной конвекции для жидкости с температурной зависимостью вязкости, как и для жидкости с постоянной вязкостью. При углах наклона ячейки > 300 в исследуемом диапазоне чисел Грасгофа обнаружены только стационарные режимы свободной конвекции.

5. Обнаружено, что с ростом угла наклона ячейки минимальные критические числа Рэлея убывают, а интенсивность теплообмена изменяется немонотонно и имеет локальный максимум.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Численное моделирование термоконвекции жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры / А. М. Ильясов, К. В. Моисеев, С. Ф. Урманчеев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. VIII, № 4(24).

2. Численное исследование термогравитационной конвекции жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры / К. В. Моисеев, А. М. Ильясов // Мавлютовские чтения: Российская научно - техническая конференция: сб. трудов. Уфа:

УГАТУ, 2006. Т. 4. С. 74-79.

3. Численное моделирование конвекции термовязкой жидкости в квадратной полости / А. М. Ильясов, К. В. Моисеев // Труды четвертой российской национальной конференции по теплообмену: в 8 томах. Т. 3. Свободная конвекция. Тепломассообмен при химических превращениях. М.: Издательский дом МЭИ, 4. Влияние угла наклона полости на теплообмен при свободной конвекции аномально термовязкой жидкости / К. В. Моисеев // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 4 / Под ред. С. Ф. Урманчеева, С. В. Хабирова.

Уфа: Изд-во Гилем, 2007. С. 166-173.

5. Численное исследование свободноконвективных течений термовязких жидкостей / А. М. Ильясов, К. В. Моисеев, С. Ф. Урманчеев // Сборник докладов международной конференции Потоки и структуры в жидкостях. Санкт-Петербург.

6. Численное исследование конвекции термовязкой жидкости с границей раздела / К. В. Моисеев, С. Ф. Урманчеев // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции Актуальные проблемы прикладной математики и механики, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова. Екатеринбург: УрО РАН, 2008.

Моисеев Константин Валерьевич

ВЛИЯНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

ВЯЗКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ НА СВОБОДНУЮ

КОНВЕКЦИЮ ЖИДКОСТИ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Лицензия на издательскую деятельность Подписано в печать 18.05.2009 г. Формат 60x84/16.

Усл. печ. л. 1,38. Уч.-изд. л. 1,44.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.