На правах рукописи
АГЛЯМЗЯНОВА ГУЛЬШАТ НАКИПОВНА
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНЫМ
ВЫРОЖДЕНИЕМ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ,
НЕОГРАНИЧЕННЫХ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ
специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Казань – 2006
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Хайруллин Равиль Сагитович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мухлисов Фоат Габдуллович кандидат физико-математических наук, доцент Плещинская Ирина Евгеньевна
Ведущая организация: Самарский государственный университет
Защита состоится 23 ноября 2006 г. в 16.00 ч. на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, ауд.
324.
С диссертацией можно познакомиться в научной библиотеке им.
Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.
Автореферат разослан 2006 года.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат.наук Липачев Е.К.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Начало этому направлению было положено в 20-х годах прошлого столетия в работах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта, в которых были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как “задача Трикоми” и “задача Геллерстедта”.
Позднее Ф.И.Франклем были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динамике. Вскоре И.Н.Векуа, А.В.Бицадзе, В.С.Виноградовым, А.А.Дезиным, В.А.Ильиным, И.А.Наместниковым были найдены и другие применения: теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака, магнитная гидродинамика. Все это явилось причиной для возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возник целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в этом направлении. Наиболее существенное влияние на эту работу оказали результаты А.М.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, Л.В.Овсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полный обзор проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А.В.Бицадзе, Т.Д.Джураева, Ю.М.Крикунова, М.М.Смирнова.
В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей характеристик, или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. По аналогии с работой С.М.Никольского и П.И.Лизоркина, будем также различать уравнения со слабым и с сильным вырождением. К первой группе отнесем те уравнения, для которых оказывается корректно поставленной классическая или весовая задача Коши с данными на особой линии. В противном случае уравнение отнесем ко второй группе.
В указанных выше монографиях, а также в книгах Е.И.Моисеева, М.М.Смирнова и Ф.Трикоми подробно изложены методы исследования основных краевых задач, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Из всех названных книг уравнениям с сильным вырождением посвящена только одна глава в монографии Ю.М.Крикунова.
Такое положение, по-видимому, явилось следствием недостаточной изученности уравнений эллиптического и гиперболического типов особенно при их сильном вырождении. В частности, при постановке и исследовании задачи Трикоми для уравнений со слабым вырождением существенно используется решение задачи Коши, в то время как для уравнений с сильным вырождением она не корректна. А других задач, заменяющих ее, не было.
Таким образом, возникли трудности даже с постановкой задачи Трикоми.
Поэтому для уравнений с сильным вырождением в первую очередь начали рассматривать задачи, в которых на особой линии задается только условие непрерывности искомой функции, и это, как правило, позволяло в отличие от задачи Трикоми последовательно строить искомую функцию сначала в одной из подобластей, а затем в другой.
Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с сильным вырождением занимались С.С.Исамухамедов, И.Л.Кароль, Ю.М.Крикунов, М.С.Салахитдинов, Н.М.Салтыкова, М.М.Смирнов, Р.С.Хайруллин, Хе Кан Чер.
В работах Р.С.Хайруллина исследована задача Трикоми для уравнения при нецелых 2 p < 1. Уравнение (1) в каждой из подобластей совпадает с уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу. При y < 0 оно в характеристических координатах принимает вид Автором доказана единственная разрешимость задачи Трикоми, причем, в случае > 0, 0 возникли n + 1 или n + 2 условия разрешимости в зависимости от значения некоторого параметра c.
уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2), к которому заменой переменных сводятся многие вырождающиеся модельные уравнения гиперболического типа. Сюда можно отнести статьи А.А.Андреева, В.Ф.Волкодавова, И.А.Наместникова, Н.Я.Николаева.
Во всех работах на параметры и накладываются условия, которые можно объединить так:
исследуется случай 2 < < 1. Таким образом, не было исследований задачи для гиперболических уравнений с сильным вырождением. Этот недостаток был частично восполнен в работах Р.С.Хайруллина, в которых разрешимости.
Из приведенного обзора видно, что в рассмотренных задачах Трикоми, 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с неравными параметрами в ряде случаев не удается получить безусловную разрешимость. Естественной ослабления на функции, входящие в постановку задач.
Основными целями работы являются: исследование краевых задач для уравнений с сильным вырождением в классе функций, неограниченных на характеристике; построение безусловного решения задач Трикоми для уравнения (1) и 2 для уравнения (2).
Методы исследования. При построения решения краевых задач используется метод интегральных уравнений. В работе также развиваются идеи и методы теории функций действительной переменной, специальных функций, дифференциальных уравнений.
Научная новизна. 1. Постановка задач Трикоми и 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа.
2. Решение задачи Трикоми для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в классе функций, неограниченных на характеристике.
3. Решение задачи 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в случае нецелого первого параметра в классе неограниченных функций.
4. Доказательство некорректности задачи 2 для уравнения ЭйлераПуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в случае целого первого параметра.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в исследованиях по уравнениям с частными производными.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Казанского государственного архитектурно-строительного университета (2001-2002 гг.), на Итоговой научной конференции Казанского университета (2001 г.), на Международной научной конференции “Актуальные проблемы математики и механики” (г. Казань, 2000 г.), на XI научной межвузовской конференции “Математическое моделирование и краевые задачи” ( г. Самара, 2001г.), на Международной молодежной научной школе-конференции (г. Казань, г.) и на Международной научной конференции “Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы” (г. Стерлитамак, 2003 г.).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1] - [9], список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 88 страниц, включая список литературы, состоящей из наименований.
Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.
В главе 1 рассмотрена задача 2 для уравнения (2) в области, ограниченной характеристиками AD : = 0, CD : = 1, AB : = 0, BC : = 1.
В § 1 исследована задача 2 для уравнения (2) при 0 < + n < 1 и Задача 2. В области найти функцию u (, ) со свойствами:
2) u (, ) имеет непрерывные производные u, u и u и удовлетворяет уравнению (2) в 1 2 ;
3) существуют пределы из областей i, i = 1,2, и на линии вырождения AC выполняется условие склеивания 4) u (, ) удовлетворяет краевым условиям следующему условию.
может иметь особенности при = 1 порядка ниже, а производная ( n ) ( ) ( ) C n 1 (0;1] C n (0;1) и имеет особенности при = 0 порядка ниже, а производная ( n ) ( ) может иметь особенности при = 1 порядка ниже 0 ;
особенности при = 1 порядка ниже + k, а производная ( n ) ( ) при = ( ) C n 1 (0;1] C n (0;1) и имеет особенности при = 0 порядка ниже + k, а производная ( n ) ( ) может иметь особенности при = 1 порядка ниже 0 + 0.
специальный известный вид.
Решение строится в классе функций ( ), i ( ), удовлетворяющих условию 2.
производная ( n ) ( ) может иметь особенности при = 0 и = 1 порядка ниже 0 ; функции i ( ) C (0;1) и могут иметь особенности при = 0 и = порядка ниже 1 ;
( n ) ( ) может иметь особенности при = 0 и = 1 порядка ниже 0 + 0 ;
функции i ( ) C (0;1) и могут иметь особенности при = 0 и = 1 порядка ниже 1 + k.
Методом интегральных уравнений задача сводится к эквивалентной относительно функции (x). Показано, что она всегда разрешима и зависит от некоторого количества произвольных постоянных. В результате доказана Теорема 1. Если заданные функции ( ), ( ) удовлетворяют условию 1, то задача 2 имеет решение в классе функций, удовлетворяющих условию 2, причем оно будет содержать k n 1 произвольное постоянное.
Здесь также исследовано поведение решения u (, ) на характеристиках CD и AB.
особенность порядка ниже, если 1 < 0 + 0 < 2, и ниже + k, если В § 2 исследована задача 2 для уравнения (2) при 0 < + n < 1 и = k + 1. Функции ( ), ( ) заданы в классе функций, удовлетворяющих условию, аналогичному условию 1.
Решение построено в классе функций ( ), i ( ), удовлетворяющих условию, аналогичному условию 2.
В результате доказаны теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.
В § 3 рассмотрена задача 2 для уравнения (2) при = n + 1 и 0 < + k < 1. Функции ( ), ( ) заданы в классе функций, удовлетворяющих Условию 3. Функция ( ) C n1 [0;1) C n (0;1) и может иметь особенности при = 1 порядка ниже, а производная ( n ) ( ) при = 0 может иметь особенности порядка ниже 1; функция ( ) C n 1 (0;1] C n (0;1) и имеет особенности при = 0 порядка ниже, а производная ( n ) ( ) может иметь особенности при = 1 порядка ниже 1.
Решение строилось в классе функций ( ), i ( ), удовлетворяющих условию 4.
Условие 4. Функция ( ) C n 1 [0;1] C n (0;1), производная ( n ) ( ) может иметь особенности при = 0 и = 1 порядка ниже 1; функции i ( ) C (0;1) и могут иметь особенности при = 0 и = 1 порядка ниже 1.
выполнении условия разрешимости и решение определяется с точностью до одной произвольной функции.
В § 4 исследована задача 2 для уравнения (2) при = n и = k.
Функции ( ), ( ) заданы в классе функций, удовлетворяющих условию, аналогичному условию 3.
Решение строилось в классе функций ( ), i ( ), удовлетворяющих условию, аналогичному условию 4.
В этом случае, как и в предыдущем, получено условие разрешимости.
некорректна, так как она разрешима только при наличии зависимости между заданными функциями и решение при этом содержит произвольную функцию.
подобласть которой D1 совпадает со всей верхней полуплоскостью, а ограниченный характеристиками AB : x + y = 0, BC : x y = 1 и отрезком AC оси абцисс.
Здесь рассмотрен случай нецелых 2 p < 1, где 2 p = +. Введены также В § 1 приведена постановка задачи.
Задача Т. Найти функцию u ( x, y ) со свойствами:
1) u ( x, y)C (D1 D2 AB {(x;0)}) и ограничена на бесконечности;
2) u ( x, y ) C 2 (D1 D2 ) и удовлетворяет уравнению (1) в D1 D2 ;
3) существуют пределы i = 1, 2 и на AC выполняется условие склеивания где 4) u ( x, y ) удовлетворяет краевым условиям Здесь (x) - заданная функция, удовлетворяющая условию 5.
Условие 5. Функция C [0;1), при x = 0 имеет нуль порядка выше 1, а при x = 1 имеет особенность порядка ниже.
Решение задачи Трикоми строилось в классе функций ( x), i ( x), удовлетворяющих условию 6.
x = 1 имеет особенность порядка ниже, (x ) при x = 0 имеет нуль порядка выше 1 ; функции i ( x) C n (0;1) могут иметь особенности при x = 1 порядка ниже 1, при x = 0 - порядка ниже m. Здесь > 1.
В § 2 рассмотрена задача Дирихле (3), (4), которая использована для вывода основного соотношения из эллиптической подобласти. В итоге доказана Теорема 4. Основное соотношение из эллиптической подобласти имеет вид В § 3 приведен вывод основного соотношения из гиперболической подобласти. При этом отдельно рассмотрены случаи Результатом этого параграфа является следующая Теорема 5. Основное соотношение из гиперболической подобласти имеет вид В § 4 приведен вывод и решение интегрального уравнения. С помощью условия склеивания, используя основные соотношения из эллиптической и гиперболической подобластей, получено уравнение Обе части равенства (8) при x = 0 имеют особенности порядка ниже m.
Это не позволяет использовать известные схемы его преобразования, построенные ранее. Поэтому для обращения полученного уравнения были использованы другие интегральные операторы. В результате было получено уравнение Далее сформулирована и доказана Теорема 6. Если функция (x) удовлетворяет условию 5, то в классе функций ( x), i ( x), удовлетворяющих условию 6, задача Трикоми имеет единственное решение.
В § 5 исследовано поведение решения u ( x, y ) на характеристике BC отдельно для случаев (5) – (7). Результатом является Теорема 7. Решение u ( x, y ) при t 1 имеет особенность порядка ниже Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю постоянную помощь в работе и поддержку.
неограниченных на характеристике : материалы 54-й респуб. науч. конф. Сб.
науч. тр. аспирантов / Г. Н. Аглямзянова. – Казань : Каз. гос. архитектурностроительная академия, 2002. – 192 с.
2. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми для одного уравнения в классе неограниченных функций : материалы междунар. молодежной науч. школыконф. / Г. Н. Аглямзянова. – Труды / Матем. центр им. Н.И.Лобачевского. – Казань : Изд-во Казанского математического общества, 2002. – Т. 18 :
Казанское математическое общество. Лобачевские чтения – 2002. – 112 с.
3. Аглямзянова Г. Н. К задаче Трикоми для уравнения ЭйлераПуассона-Дарбу : труды междунар. конф. «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», Стерлитамак, 24– 28 июня 2003 г. / Г. Н. Аглямзянова. – Уфа : Гилем, 2003 – Т. 2. – 283 с.
неограниченных на характеристике / Г. Н. Аглямзянова, Р.С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. – 2004. – № 4. – С. 3 – 7.
5. Зайнуллина Г. Н. Задача 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе функций, неограниченных на характеристике / Г. Н. Зайнуллина // Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 3. – С. 15 – 19.
6. Зайнуллина Г. Н. Задача 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением : материалы 53-й респуб. науч. конф. Сб. науч. тр.
аспирантов / Г. Н. Зайнуллина. – Казань : Каз. гос. архитектурностроительная академия, 2001. – 192 с.
7. Зайнуллина Г. Н. Задача 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением : материалы междунар. науч. конф. / Г. Н.
Зайнуллина. – Труды / Математический центр им. Н.И.Лобачевского. – Казань: УНИПРЕСС, 2000. – Т. 15 : Актуальные проблемы математики и механики. – 311 с.
8. Зайнуллина Г. Н. К задаче 2 для уравнения Эйлера-ПуассонаДарбу: труды двенадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. – Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2002. – 141 с.
9. Зайнуллина Г.Н. К задаче 2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу:
труды одиннадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. – Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2001. – 142 с.
«