Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,

физический факультет

На правах рукописи

УДК 534.26; 517.958

Валяев Валерий Юрьевич

Экспериментальное и теоретическое

исследование дифракции акустических волн на

конусах специального вида и препятствиях

типа полосы

Специальность: 01.04.06 – акустика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА – 2012

Работа выполнена на кафедре акустики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Шанин Андрей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бобровницкий Юрий Иванович доктор физико-математических наук, профессор Делицын Андрей Леонидович

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится « 16 » февраля в 16 часов на заседании диссертационно­ го совета Д 501.001.67 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, физическая аудитория имени академика Р.В. Хохло­ ва.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического фа­ культета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » января 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.001. кандидат физико-математических наук А.Ф. Королев

Общая характеристика работы

Цели и задачи работы. В данной работе рассмотрены некоторые ска­ лярные (акустические) задачи дифракции, а именно двумерные задачи о ди­ фракции плоской волны на одной полосе, на двух полосах и на полубесконеч­ ном экране со щелью, а также трехмерные задачи дифракции на четверти плоскости и на трехгранном конусе, представляющем собой угол куба (рис. 1).

(а) (б) (в) (г) (д) Рис. 1. Рассмотренные задачи дифракции: (а) на полосе, (б) на двух полосах, (в) на полу­ бесконечном экране со щелью, (г) на четверти плоскости, (д) на трехгранном конусе.

В недавних работах [1, 2] были получены новые аналитические соотноше­ ния для волновых полей в рассматриваемых задачах. Эти результаты, поми­ мо фундаментального значения, представляют интерес тем, что потенциаль­ но могут быть положены в основу эффективных численных методов. Однако связь между новыми соотношениями и численными методами оказывается нетривиальной. Данная работа ставит одной из своих целей отчасти запол­ нить этот пробел.

Основным результатом работы [1] и ее обобщений для некоторых двумер­ ных задач дифракции является метод спектрального уравнения. Этот метод заключается в том, что после ряда упрощений исходная дифракционная за­ дача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (спектраль­ ному уравнению) для диаграмм направленности волновых полей. Процеду­ ры численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений весь­ ма эффективны. Сложность состоит в том, что коэффициенты спектрального уравнения содержат нескольких параметров, значения которых неизвестны.

Эти параметры находятся численно с помощью физически обусловленных ограничений, накладываемых на поведение решений уравнения в особых точ­ ках. Целью данной работы является разработка численных алгоритмов поис­ ка коэффициентов спектрального уравнения и вычисления диаграмм направ­ ленности волновых полей.

Задачи дифракции на конусах в настоящее время являются активно раз­ вивающейся областью теории дифракции. Основная цель при решении кони­ ческой задачи — отыскание дифракционного коэффициента (амплитуды рас­ сеяния), т.е. зависимости амплитуды сферической волны, рассеянной верши­ ной конуса, от направлений падения и рассеяния. Современный общий подход к решению конических задач был развит в работе [3]. Этот подход основан на разделении переменных в конической области на радиальную и угловую со­ ставляющие. Радиальная составляющая решения удовлетворяет уравнению Бесселя, а угловая составляющая удовлетворяет уравнению Гельмгольца на части единичной сферы, высекаемой дополнением конуса-рассеивателя с вер­ шиной в центре сферы до всего трехмерного пространства (рис. 2).

В результате дифракционный коэффициент вы­ ражается в виде интеграла по параметру разделения переменных. Подынтегральное выражение включа­ ет в себя сферическую функцию Грина уравнения Гельмгольца, которая вычисляется как решение гра­ ничного интегрального уравнения.

Данный подход является универсальным, одна­ ко он обладает существенным недостатком. Дифрак­ ционный коэффициент зависит от пары направле­ ний: направления падения и направления рассеяния. Рис. 2. Геометрия сфериче­ Среди таких пар направлений можно выделить об­ ской задачи, соответствую­ ласть, традиционно называемую «оазисом», такую, щей дифракции на трех­ что в соответствующем направлении рассеяния в Гельмгольца решается на рассеянном поле присутствует только сферическая части сферы, показанной волна. В направлениях рассеяния, не принадлежа­ белым.

щих оазису, могут присутствовать также плоская отраженная волна и ци­ линдрические волны, рассеянные ребрами. В пределах оазиса интегральное представление, полученное в [3], обладает экспоненциальной сходимостью.

Вне оазиса интеграл расходится. Расходящийся интеграл может быть регу­ ляризован и вычислен с помощью предельной процедуры [4], однако соответ­ ствующие вычисления весьма громоздки.

В работе [2] была предложена модификация этого метода для задачи о дифракции на четверти плоскости. В рамках этой модификации были по­ лучены новые интегральные представления дифракционного коэффициента двух типов. Представления первого типа, названные трехмерными формула­ ми расщепления, выражают дифракционный коэффициент в виде интегралов по ребрам рассеивателя от комбинации диаграмм направленности трехмер­ ных краевых функций Грина — функций Грина, соответствующих источни­ ку, расположенному в некоторой точке на ребре рассеивателя. С помощью трехмерных формул расщепления были обоснованы интегральные представ­ ления того же типа, что и представление из работы [3]. При этом удалось существенно расширить область экспоненциальной сходимости интегрально­ го представления дифракционного коэффициента путем исключения плоской отраженной волны и цилиндрических волн, образующихся при дифракции падающей волны на ребрах рассеивателя.

Одной из целей данной диссертационной работы является дальнейшее развитие методов вычисления дифракционных коэффициентов при дифрак­ ции на конусах. Развитие происходило в следующих направлениях.

Были исследованы важные свойства модифицированного преобразова­ ния Конторовича–Лебедева. Данное преобразование представляет собой фор­ му, в которой дифракционный коэффициент представляется, например, в [3].

От обычного преобразования Конторовича–Лебедева модифицированное пре­ образование отличается контуром интегрирования. Для модифицированного преобразования построены аналоги формулы Планшереля и теоремы о сверт­ ке. Полученные свойства позволяют искать дифракционный коэффициент в конической области в виде однократного контурного интеграла.

Были найдены важные свойства различных решений уравнения Гельм­ гольца на единичной сфере. А именно, были получены важные тождества, связывающие между собой собственные функции сферической задачи, дву­ мерные сферические краевые функции Грина и сферическую функцию Гри­ на. Эти тождества были названы сферическими формулами расщепления.

Двумерной сферической краевой функцией Грина называется сферическая функция Грина с источником, находящимся в вершине рассеивателя. Рас­ сеивателем в данном случае является разрез (для дифракции на четверти плоскости) или недостающая треугольная часть сферы (для дифракции на угле куба). Полученные соотношения позволяют непосредственно осуществ­ лять преобразования интегральной формулы из [3].

Были построены новые интегральные представления дифракционного коэффициента для задачи о дифракции на трехгранном конусе, занимающем 1/8 пространства (на угле куба).

В работе [2] было указано, что расходящиеся интегралы в трехмерных формулах расщепления (представлениях дифракционного коэффициента че­ рез диаграммы направленности трехмерных краевых функций Грина) тре­ буют регуляризации. При этом способ регуляризации построен не был. В настоящей работе строится физически обоснованный способ регуляризации данных интегральных представлений.

При решении сложных задач достоверность теоретического исследова­ ния часто подтверждается экспериментальными измерениями. Эксперимен­ тальные исследования задач дифракции на конусах в акустическом случае сопряжены с рядом трудностей. Амплитуда рассеянной вершиной конуса сфе­ рической волны мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Из-за этого для измерения дифракционного коэффициента необходима методика, обеспечивающая хорошее отношение сигнал/шум. Для этого можно использо­ вать метод М-последовательностей (MLS). Он давно и успешно применяется к изучению акустики помещений, однако его использование для исследования дифракционных задач представлено в литературе крайне слабо. Этот метод позволяет измерять импульсные отклики линейных стационарных систем. В случае акустических измерений система включает в себя неидеальные излу­ чающий и приемный тракты, влияние которых требуется учитывать. Одной из целей данной работы является усовершенствование метода М-последова­ тельностей, позволяющее выделять часть импульсного отклика, связанного только с дифракционным процессом, а также измерение дифракционного ко­ эффициента трехгранного конуса.

Кратко сформулируем основные цели работы:

1. Разработать численные алгоритмы решения двумерных задач дифрак­ ции акустических волн на полосе, двух полосах и полубесконечном экране со щелью методом спектрального уравнения. Проанализировать их точность и эффективность.

2. Построить технику конструктивного преобразования трехмерных фор­ мул расщепления в однократные контурные интегралы по параметру разделения переменных.

3. Найти связь между новыми выражениями дифракционного коэффици­ ента четверти плоскости в виде контурных интегралов и общей форму­ лой для конических задач дифракции акустических волн.

4. Применить построенные методы к задаче дифракции акустических волн на трехгранном конусе.

5. Для конических задач дифракции акустических волн построить физиче­ ски обоснованную процедуру регуляризации расходящихся интегралов, входящих в трехмерные формулы расщепления.

6. Провести акустический эксперимент по измерению дифракционного ко­ эффициента трехгранного конуса.

Актуальность работы. Работа преследует цели развития новых чис­ ленных методов отыскания волновых полей на основе недавно полученных аналитических свойств этих полей (для двумерных задач дифракции), а так­ же вывода новых интегральных представлений дифракционного коэффици­ ента (для задач дифракции на конусах). Такие исследования стали возможны благодаря последним достижениям в теории дифракции. Некоторые ключе­ вые идеи, относящиеся к задаче о дифракции на полосе (формулы расщеп­ ления, спектральное уравнение, эволюционные уравнения) были сформули­ рованы в работе [5], однако свое развитие они получили лишь в последнее десятилетие в работах Н. Биггса, Д. Портера, Д. Стирлинга, Р. Крастера, Н. Горенфло, К. Линтона.

Метод исследования дифракции на конических препятствиях, положен­ ный в основу третьей главы диссертации, был развит в работах В.П. Смышля­ ева, В.М. Бабича и др. в 1990 – 2000 гг. При этом многие аспекты дифракции на конусах остаются не исследованными до конца. В частности, до сих пор представляет интерес построение асимптотик волновых полей в различных областях вне «оазиса», а также дифракция на импедансном и прозрачном ко­ нусах. Наконец, существующая процедура вычисления дифракционного ко­ эффициента, предложенная в [3], весьма трудоемка и требует большого вре­ мени счета при табуляции. Это заставляет искать возможности усовершен­ ствования данной процедуры.

Все сказанное свидетельствует об актуальности работы.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Применение теории Вайнштейна об излучении из открытого конца вол­ новода для модификации методики дифракционного акустического экс­ перимента, использующей в качестве входного сигнала М-последова­ тельность и включающей в себя процедуру восстановления дифракци­ онной части импульсного отклика методом двух микрофонов, позволя­ ет измерить дифракционный коэффициент конического препятствия с точностью 10%.

2. Построенные алгоритмы численного решения двумерных акустических задач дифракции на препятствиях типа полосы методом спектрального уравнения позволяют достичь любой наперед заданной точности реше­ ния. Для задачи о полосе эффективность алгоритма превосходит эф­ фективность метода граничных интегральных уравнений, если требуе­ мая относительная точность вычисления дифракционного коэффициен­ та превышает 104 или если произведение волнового числа на полуши­ рину полосы больше единицы.

3. Для акустических задач дифракции на четверти плоскости и на трех­ гранном конусе справедливы регуляризованные трехмерные формулы расщепления, выражающие дифракционный коэффициент через диа­ граммы направленности источников специального вида, помещенных вблизи ребер рассеивателей.

4. Для модифицированного преобразования Конторовича–Лебедева, выра­ жающего акустические поля в трехмерном пространстве через контур­ ные интегралы по параметру разделения переменных, справедливы ин­ тегральные соотношения, представляющие собой аналоги формул План­ шереля и свертки для преобразования Фурье.

5. Для дифракционного коэффициента трехгранного конуса справедливо выражение в виде интеграла по параметру разделения переменных от комбинации двумерных сферических краевых функций Грина.

6. Справедливы сферические формулы расщепления, выражающие нетри­ виальные связи между собственными функциями, сферической функци­ ей Грина и сферическими краевыми функциями Грина для уравнения Гельмгольца на единичной сфере с разрезом.

Научная новизна. Новым является проведенный эксперимент по изме­ рению дифракционного коэффициента трехгранного конуса в акустическом случае. Также новым в контексте MLS-эксперимента является использование теории Вайнштейна об излучении из открытого конца волновода для обработ­ ки экспериментальных данных.

Соотношения метода спектрального уравнения (формула расщепления, спектральное уравнение, задача об отыскании коэффициентов) для задачи о двух полосах были получены в работе [1]. В данной работе эти соотно­ шения были переформулированы для задач дифракции на одной полосе и на полубесконечном экране со щелью. Новым является численный алгоритм отыскания коэффициентов спектрального уравнения по известным оценкам роста решений.

Выражения для дифракционного коэффициента четверти плоскости, в виде контурных интегралов от сферических краевых функций Грина были получены в работе [2]. Однако одно из них было обосновано с помощью трех­ мерной формулы расщепления, содержащей расходящиеся интегралы. Кроме того все эти выражения были сначала угаданы, а затем обоснованы. В данной работе они получаются конструктивным образом с помощью модифицирован­ ного преобразования Конторовича–Лебедева, а для расходящихся интегралов предлагается физически обоснованная процедура регуляризации.

Указанное преобразование является новым и отличается от классическо­ го выбором цилиндрической функции в ядре и контуром интегрирования.

В результате удается избежать проблем со сходимостью интегралов, однако функции, участвующие в преобразовании, перестают быть ортогональными.

Тем не менее, для введенного преобразования удается доказать справедли­ вость формул Планшереля и свертки без использования ортогональности.

Сферические формулы расщепления являются новыми и позволяют уста­ новить связь между общим выражением для дифракционных коэффициентов конических препятствий и новыми выражениями для дифракционного коэф­ фициента четверти плоскости.

Трехмерная формула расщепления и выражение дифракционного коэф­ фициента трехгранного конуса в виде контурного интеграла от комбинации сферических краевых функций Грина являются новыми.

Достоверность экспериментальных результатов обеспечивается тести­ рованием методики на простых случаях (распространение в пустом полупро­ странстве, дифракция на торце цилиндра), при котором полученные резуль­ таты сравнивались с точным решением и результатами численного модели­ рования. Кроме того, измеренные значения дифракционного коэффициента сравниваются с вычисленными по общей формуле для дифракционного ко­ эффициента конических препятствий.

Достоверность результатов, относящихся к двумерным задачам дифрак­ ции обеспечивается сравнением с решениями соответствующих интегральных уравнений для задач об одной и о двух полосах и проверкой выполнения граничных условий для восстановленного поля в случае полубесконечного экрана со щелью.

Достоверность аналитических результатов, относящихся к коническим задачам, обеспечивается корректным использованием математического аппа­ рата при их обосновании.

Практическая значимость. Методика эксперимента, описанная в пер­ вой главе диссертации, может быть использована для исследования дифрак­ ции на препятствиях сложной формы, а также для экспериментального опре­ деления дифракционного коэффициента различных конических рассеивате­ лей.

Построенные алгоритмы численного решения плоских задач дифракции могут быть использованы для эффективного вычисления полей, рассеянных конечными многоэлементными дифракционными решетками. Основной ин­ терес представляет тот факт, что исследование полубесконечного экрана со щелью производится с помощью той же процедуры, что и исследование ди­ фракции на одной и двух полосах. С точки зрения граничного интегрально­ го уравнения (а это основной метод для практических вычислений в данном случае) задача о нескольких полосах существенно отличается от задачи о полубесконечном экране. Последняя задача предполагает интегрирование по полубесконечному интервалу, что существенно усложняет «традиционные»

вычисления.

Задачи рассеяния на конических препятствиях представляют существен­ ный практический интерес как канонические задачи теории дифракции. В рамках геометрической теории дифракции Келлера (а также идеологически близких к ней теорий П.Я. Уфимцева и В.А. Боровикова) постулируется прин­ цип локальности, т.е. дифракционное поле представляется набором лучей, рассеянных (возможно, многократно) небольшими участками препятствий.

В качестве таких участков могут выступать конические элементы–углы, пре­ вращающие падающий луч в веер дифрагированных лучей. Таким образом, отыскание дифракционного коэффициента для конических препятствий от­ крывает перспективу приближенного решения задач рассеяния на сложных препятствиях, в частности, для практически важных задач радио- и гидро­ локации и для моделирования распространения волн в городских условиях (дифракция на углах зданий).

Заметим, что для задач дифракции на полосе и четверти плоскости су­ ществуют точные решения, получаемые при помощи метода разделения пере­ менных. Однако эти решения не являются привлекательными с точки зрения практических вычислений, поскольку расчеты на их основе включают табу­ лирование функций Матье или Ламэ. Кроме того, эти решения не выявляют асимптотических свойств волновых полей. Из-за этого, несмотря на наличие точных решений, задачи о полосе и четверти плоскости постоянно привлека­ ют внимание исследователей.

Все сказанное позволяет сделать вывод о практической значимости по­ лученных в работе результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Дни дифракции’09, 26 – 29 мая 2009, Санкт-Петербург;

2. XII Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны 2010»), 24 – 29 мая 2010, Звенигород, Московская об­ ласть, пансионат «Университетский»;

3. Дни дифракции’10, 8 – 11 июня 2010, Санкт-Петербург;

4. XXII Сессия Российского акустического общества, 15 – 17 июня 2010, 5. Дни дифракции’11, 30 мая – 3 июня 2011, Санкт-Петербург, а также на семинарах Санкт-Петербургского отделения математического ин­ ститута им. Стеклова РАН (руководитель В.М. Бабич) и Восточно-Европей­ ской ассоциации акустиков (институт проблем машиноведения РАН, руково­ дитель Д.П. Коузов).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных ра­ ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 3 статьи в сборниках тру­ дов конференций и 2 в тезисах докладов.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов прово­ дилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяю­ щим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Об­ щий объем диссертации 160 страниц, включающих 61 рисунок и 2 таблицы.

Библиография включает 195 наименований на 15 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В обзоре литературы рассмотрены основные существующие подходы к решению рассмотренных в диссертации задач, а также некоторые работы, посвященные применению М-последовательностей.

В первой главе подробно описывается применение M-последовательно­ стей к акустическому дифракционному эксперименту. Также в ней предла­ гается метод восстановления импульсного отклика, относящегося к дифрак­ ционному процессу и не связанного со структурой источника. Метод исполь­ зует измерение объемной скорости источника с помощью двух микрофонов.

Построенная методика применяется для измерения дифракционного коэффи­ циента трехгранного конуса (угла куба).

В §1.1 описывается методика эксперимента. Общая схема такова. На вход системы подается М-последовательность { }. Этот сигнал через ЦАП и уси­ литель подается на источник акустических волн. Микрофон располагается вблизи рассеивателя или на его поверхности. Сигнал с микрофона усилива­ ется и преобразуется в цифровой вид. После этого вычисляется взаимнокор­ реляционная функция { } выходного и входного сигналов. В силу свойств М-последовательности сигнал { } близок к импульсному отклику всей си­ стемы. Он включает в себя, помимо чисто волновой части, еще и отклики источника и электрических трактов. Вопрос выделения из него полезной ча­ сти рассматривается ниже.

Для такой постановки эксперимента не требуется использовать безэхо­ вые помещения, так как полезный сигнал от рассеивателя появляется в им­ пульсном отклике раньше помех, приходящих от акустического окружения.

В данной работе в качестве входного сигнала использовалась М-последовательность порядка = 17. Частота дискретизации ЦАП и АЦП состав­ ляла = 32768 Гц. Источником служил Bruel&Kjaer 4295 OmniSource с адаптер адаптером, позволяющим измерять объемную ско­ Рис. 3. Схема источника с адаптером для измерения скую головку, помещенную в продолговатый пласти­ объемной скорости. ковый корпус с узким отверстием ( 3,75 см). Такая конструкция позволяет создавать акустическое поле, близкое к полю точеч­ ного монопольного источника. Адаптер представляет собой пластиковую ци­ линдрическую трубку, плотно пригнанную к выходному отверстию источни­ ка. Внутрь трубки помещены два микрофона, сигналы с которых исполь­ зуются для восстановления объемной скорости источника. Для регистрации сигнала в точке наблюдения использовался Bruel&Kjaer 4957 1/4 inch Array Microphone, характеристики которого близки к характеристикам микрофо­ нов в адаптере.

Сигнал { } необходимо очистить, выделив импульсный отклик дифрак­ ционного процесса. Основные помехи вносятся источником из-за многочис­ ленных переотражений в его корпусе. Так как используемый источник бли­ зок к монопольному, давление в точке наблюдения () связано с объемной скоростью источника соотношением где () — производная объемной скорости источника по времени, а и есть интересующая нас часть импульсного отклика.

Если измерить объемную скорость источника, то можно будет най­ ти с помощью перехода в частотную область:

Здесь предполагаются идеальными электрические тракты и микрофоны, что с хорошей точностью выполняется в рассматриваемом диапазоне частот (до 5 кГц).

Предложенная процедура выделения части импульсного отклика, связан­ ной только с дифракционным процессом, никак не использует преимуществ метода М-последовательностей. Действительно, и и пропорциональ­ ны спектру входного сигнала, а значит, при любом достаточно широкополос­ ном входном сигнале формула (2) дает возможность восстановить функцию (). Тем не менее, использование М-последовательностей позволяет по­ высить качество восстановления.

Длительность используемого в эксперименте сигнала (4 с) соответствует более чем 1 км пути, проходимого волной. При этом нас интересуют только первые несколько метров импульсного отклика, а вся остальная его часть является помехой. Чтобы ослабить влияние этой помехи, используем для вы­ числения Фурье-образов только начальную часть сигналов () и (). Дли­ тельность этой части следует взять такой, чтобы в нее попала вся существен­ но ненулевая часть сигнала (). В проведенных экспериментах использо­ вались первые 50 м сигналов () и (), что соответствует примерно переотражениям в корпусе источника.

Для измерения объемной скорости источника применялся адаптер с дву­ мя микрофонами. Предположив, что внутри адаптера распространяются толь­ ко поршневые моды (элементарный анализ показывает, что для частот ниже 5 кГц моды высших порядков можно не рассматривать), и воспользовавшись теорией Вайнштейна об излучении из открытого конца волновода, можно по­ лучить следующее выражение для производной объемной скорости:

где — радиус трубки адаптера, и — расстояния от микрофонов до от­ крытого конца трубки адаптера.

В §1.2 описываются эксперименты, проведенные для отработки и провер­ ки методики, а именно измерение импульсного отклика пустого полупростран­ ства и изучение дифракции на торце цилиндра. В первом случае результаты измерений сравнивались с точным решением, во втором — с результатами численного моделирования. Найдено хорошее согласие результатов. Также демонстрируется необходимость использования теории Вайнштейна.

В §1.3 построенная методика была исполь­ зована для измерения дифракционного коэф­ фициента жесткого трехгранного конуса (угла куба). Схема измерений показана на рис. 4.

Куб со стороной 1 м был собран из фанеры толщиной 10 мм. Источник помещался в фик­ сированную точку на биссектрисе верхней гра­ ни куба. Микрофон помещался в различные Рис. 4. Схема эксперимента по изу­ положения, задаваемые углами и.

Из-за того, что сигнал, рассеянный вершиной куба, оказывается очень слабым, применялся следующий подход. В первом измерении записывался им­ пульсный отклик при наличии куба, а затем куб убирался и производилось второе измерение, при этом положения источника и микрофона оставались неизменными. Разность двух сигналов позволяет наблюдать сигнал, рассеян­ ный вершиной куба. Типичный вид получаемых сигналов показан на рис. 5.

Показано, что в случае достаточной удаленности источника и точки на­ блюдения от вершины куба рассеянный сигнал должен иметь вид где () – временной профиль волны, излучаемой источником, (, 0 ) – дифракционный коэффициент, и 0 — расстояния от вершины куба до точки наблюдения и до источника соответственно.

H prop Рис. 5. Типичные наблюдаемые сигналы. Слева показаны импульсные отклики при нали­ чии и в отсутствии куба. Справа — их разность, то есть сигнал, рассеянный вершиной куба.

Чтобы сделать полученный результат применимым, требуется удалить из рассеянного сигнала низкие частоты, для которых неверны предположе­ ния о достаточной удаленности источника и микрофона от вершины. На экспериментальный сигнал накладывается окно, выделяющее часть сигнала, формируемую рассеянием на вершине куба. Полученный сигнал пропускает­ ся через фильтр верхних частот. Указанная процедура приводит к хорошему совпадению форм экспериментального и теоретического сигналов. Подбирая амплитуду теоретического сигнала, можно определить дифракционный коэф­ фициент с помощью формулы (4).

На рис. 6 показаны измеренные значения дифракционного коэффициен­ та в сравнении с теоретическими значениями, вычисленными по общей фор­ муле для конических дифракционных коэффициентов (16). Видно согласие теории с экспериментом с точностью порядка 10%.

Рис. 6. Экспериментальная оценка дифракционного коэффициента в сравнении с теорети­ ческими значениями. Координаты и показаны на рис. 4.

В §1.4 Кратко сформулированы основные результаты главы. Результаты первой главы частично опубликованы в работах [3, 7].

Во второй главе описывается применение метода спектрального урав­ нения к задачам дифракции на одной и на двух полосах, а также к задаче дифракции на полубесконечном экране со щелью. Все построения подробно описываются на примере простейшей из рассмотренных задач — задачи о дача дифракции плоской волны на отрезке (, ) оси (рис. 7), на котором заданы граничные условия Дири­ хле: + 0 = 0; = + ; (, 0) = 0 при || <. Рис. 7. Геометрия за­ Основной искомой величиной является дифракционный дачи о полосе.

коэффициент (, ), то есть зависящая от направлений падения и рассе­ яния амплитуда цилиндрической волны, являющейся главной компонентой рассеянного поля вдали от рассеивателя:

Метод спектрального уравнения заключается в следующем.

на: рассматриваются поля, создаваемые источника­ u2 a ми, расположенными на расстоянии от вершин отрезка (рис. 8) и имеющих силу /. Краевыми функциями Рис. 8. К определе­ Грина 1,2 называются пределы полей 1,2 при 0. ций Грина.

Для них по аналогии с (5) вводятся диаграммы направ­ ленности 1,2 ().

Затем доказывается справедливость формулы расщепления, выражаю­ щей дифракционный коэффициент через диаграммы направленности крае­ вых функций Грина:

Эта формула является точной, т.е. при ее выводе не делается никаких пред­ положений о соотношении длины волны и размера рассеивателя. Ее преиму­ щества очевидны: функция двух переменных простым образом выражается через две функции одной переменной.

Следующий шаг — вывод уравнения, которому удовлетворяют диаграм­ мы направленности краевых функций Грина:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение и называется спектральным уравнением. Его коэффициент содержит две априори неизвестных постоян­ ных матрицы K±. Начальные условия также неизвестны. Основной задачей, решаемой в данной работе, является построение алгоритмов вычисления этих данных.

В §2.1 описывается общая схема метода спектрального уравнения и об­ суждаются его преимущества перед традиционными методами. Главным из них является то, что дифракционная задача сводится к обыкновенному диф­ ференциальному уравнению (в противоположность уравнению в частных про­ изводных или интегральному уравнению). Численное решение обыкновенного дифференциального уравнения может быть осуществлено за ( ) опера­ ций, где — число точек на контуре интегрирования.

Задача отыскания коэффициентов спектрального уравнения решается следующим образом. Из физической постановки задачи (условия излучения, требование конечности энергии) выводится ряд ограничений, которым долж­ но удовлетворять решение спектрального уравнения. Эти ограничения во-пер­ вых позволяют утверждать, что матрицы K± зависят от набора неизвестных параметров, = 1... ( = 2 для случая одной полосы, = 8 для двух полос, = 4 для полубесконечного экрана со щелью), а во-вторых позволя­ ют сформулировать систему уравнений, которым должны удовлетворять эти параметры. Система формулируется в неявном виде: (1,..., ) = 0, = 1..., где функции выражаются через решения спектрального урав­ нения вдоль некоторых контуров. Для решения этой системы используется метод секущих. В результате решения системы также находятся и начальные данные для спектрального уравнения.

Предлагаемый алгоритм поиска коэффициентов оказывается весьма эф­ фективным. Его общие затраты составляют порядка 10 – 20 актов решения обыкновенного дифференциального уравнения. Таким образом, метод имеет высокий потенциал к сокращению машинного времени, требуемого для чис­ ленного решения рассматриваемых двумерных задач дифракции.

В §2.2 подробно описывается постановка задачи о дифракции на полосе.

К упомянутым выше условиям добавляется требование конечности энергии в любой конечной области, а на рассеянное поле накладываются условия из­ лучения Зоммерфельда.

В §2.3 описываются математические факты, лежащие в основе метода спектрального уравнения (вводятся краевые функции Грина, выводятся фор­ мула расщепления и спектральное уравнение). Результаты данного парагра­ фа, в основном, являются переложением результатов работы [1] со случая двух полос на случай одной полосы.

Для удобства анализа спектральное уравнение переформулируется для спектральных функций, представляющих собой Фурье-образы краевых функ­ ций Грина и их нормальных производных, взятых на различных частях оси. Говоря точнее, вводятся функции (), = 1, 2, = 0, 1, 2:

Введенные функции обладают рядом важных свойств. Во-первых, они непо­ средственно связаны с диаграммами направленности :

Во-вторых, справедливы следующие уравнения:

В-третьих, эти функции имеют следующие асимптотики в точках ±0 и :

Доказывается, что задача отыскания краевых функций Грина эквива­ лентна задаче отыскания функций (), удовлетворяющих функциональ­ ным уравнениям (11) и имеющих указанные асимптотики.

Доказывается, что матрица U, составленная из спектральных функций ([U], = ), удовлетворяет спектральному уравнению В §2.4 обсуждаются свойства спектрального уравнения.

Из геометрической симметрии следует, что матрицы K± связаны соотношениями ( ), = (+ )3,3, поэтому нужно найти только K+.

Из самой структуры уравнения (12) следует, что у него есть решения с нужными асимптотиками на бесконечности. Для существования решений с нужными асимптотиками в точках ±0 необходимо и достаточно, чтобы матрица K+ имела собственные значения 0 и 1/2 и приводилась диагональ­ ному виду. Легко видеть, что данное требование фиксирует эту матрицу с точностью до 2-х скалярных комплексных параметров 1,2.

Более сложной задачей является обеспечение нужных связей между ре­ шениями с рассматриваемыми асимптотиками в особых точках. Например, в случае произвольно заданных параметров 1,2 решение, имеющее в точке корневую асимптотику, может оказаться регулярным в точке 0 и т.п. Дока­ зывается, что ограничения, накладываемые на связи между асимптотиками, позволяют однозначно определить параметры 1,2.

Эти ограничения формализуются следующим образом. Рассмотрим три базиса пространства решений спектрального уравнения:

1. пара столбцов Z1,2, ведущих себя в точке 0, как столбцы U1,2 ;

2. пара столбцов W0,2, ведущих себя на бесконечности, как столбцы U0,2 ;

3. пара столбцов E1,2 таких, что (E1 (0), E2 (0)), =,.

Обозначим через Z, W и E матрицы составленные из указанных столбцов.

Введем матрицы связи M+, M и M+ такие, что E = ZM+ = WM, Z = WM+. Эти матрицы зависят от параметров 1,2, и M+ = M (M+ )1.

Доказывается, что если выполнены равенства то среди решений уравнения (12) существуют столбцы U (), удовлетворяю­ щие сформулированной выше функциональной задаче.

В §2.5 описывается численный алгоритм поиска Im k мощью метода секущих (итерационного градиентно­ го алгоритма). Ядром процедуры является алгоритм Матрица M вычисляется следующим образом. трального уравнения для Спектральное уравнение с начальными условиями, вычисления матриц связи.

соответствующими базису E1,2, численно решается вдоль контура, пока­ занного на рис. 9. В результате получается матрица E( ), где = + · 0.

Затем строятся стандартные асимптотические ряды, представляющие реше­ ния W0,2 в окрестности точки + + · 0:

Коэффициенты f0,2 определяются из рекуррентных соотношений, возни­ кающих при подстановке этих рядов в спектральное уравнение. Сумма пер­ вых нескольких членов этих рядов дает приближенное значение матрицы W( ). По определению, M = W1 ( )E( ). Указанный выбор точки делает матрицу W( ) хорошо обусловленной.

Матрица M+ может быть вычислена ана­ логично, однако при этом невозможно выбрать точку в окрестности 0 так, чтобы соответствую­ щая матрица была хорошо обусловленной. Поэто­ му используется альтернативный подход. Спек­ тральное уравнение решается вдоль контура, шение Z1 меняет знак, а решение Z2 не меняет­ ся. Пусть решения (E1, E2 ) принимают после об­ от параметров алгоритма.

(M ) являются собственными векторами мат­ рицы (E1, E2 ).

В §2.6 приводятся результаты моделирова­ ния и анализируются точность и эффективность построенного алгоритма.

Точность оценивается по отклонениям от решения соответствующего инте­ грального уравнения. На рис. 10 приведены типичные зависимости относи­ тельной ошибки от параметров алгоритма и. Здесь — шаг дискретизации, 0 (, 0 ) — опорное реше­ ние, а (, 0 ) — решение, ошибка которого оценива­ ется.

Эффективность оценивается сравнением ма­ шинного времени, требуемого для вычисления ди­ фракционного коэффициента с заданной точностью Рис. 11. Зависимость отно­ методом граничных интегральных уравнений ( ) и шения / при заданной методом спектрального уравнения ( ). На рис. 11 относительной ошибке от показана зависимость отношения / от парамет­ параметра 0.

ра 0 для различных значений заданной относительной ошибки. Как вид­ но, метод спектрального уравнения является более эффективным, если тре­ буется достижение высокой точности, а также при 0 1.

В §2.7 и §2.8 метод спектрального уравнения применяется к задачам дифракции на двух полосах и на полубесконечном экране со щелью.

В §2.9 Кратко сформулированы основные результаты главы. Результаты второй главы частично опубликованы в работах [2, 8, 9].

В третьей главе рассматриваются задачи дифракции плоской волны на четверти плоскости и на трехгранном конусе. Основной задачей являет­ ся вычисление дифракционного коэффициента — зависящей от направлений падения и рассеяния амплитуды сферической волны, рассеянной вершиной конуса. Большая часть главы посвящена задаче о четверти плоскости.

Решается стационарная акустическая задача ди­ фракции падающей с направления 0 плоской вол­ ны на четверти плоскости (рис. 12) с граничны­ ми условиями Дирихле: + 0 = 0, = +, |0,0,=0 = 0. Рассеянное поле формируется плоской отраженной волной, цилиндрическими вол­ Рис. 12. Геометрия задачи.

нами, рассеянными ребрами, а также сферической волной, рассеянной вер­ шиной. В той области направлений рассеяния, куда при данном направлении падения попадает только сферическая волна, вдали от вершины рассеянное поле имеет вид Амплитуду сферической волны (, 0 ), зависящую от направления падения 0 и направления рассеяния, называют дифракционным коэффициентом.

Он является основной искомой величиной.

К данной задаче применим общий метод вычисления дифракционных коэффициентов конических препятствий, развитый в работе [3].

В §3.1 кратко описывается этот общий метод, а также обсуждается его модификация для задачи дифракции на четверти плоскости, предложенная в работе [2].

Общий метод основан на отделении радиальной перемен­ ной, и изучении возникающих при этом задач на единичной сфере с вырезанной конусом-рассеивателем частью. В слу­ чае дифракции на четверти плоскости эта часть представ­ ляет собой сферу с разрезом в виде четверти экватора Рис. 13. Сфера с (рис. 13). Направления падения и рассеяния отождествляют­ разрезом.

ся с точками на сфере. Общее выражение дифракционного коэффициента содержит сферическую функцию Грина (, 0, ), то есть решение уравне­ ния ( + 2 1/4) = ( 0 ), обращающееся в нуль на разрезе. Здесь — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах, — параметр разделения переменных.

Рис. 14. Контур.

которой присутствует только сферическая рассеянная волна, рассматривае­ мый интеграл можно преобразовать в экспоненциально сходящийся. В тех областях направлений, в которых распространяются рассеянные ребрами ци­ линдрические волны, интеграл приходится вычислять путем громоздкой пре­ дельной процедуры [4].

Предложенная в работе [2] модификация общего мето­ да для случая задачи о чет­ верти плоскости основывается на введении трехмерных кра­ евых функций Грина, и двумерных сферических крае­ вых функций Грина 1,2. Эти Рис. 15. К определению краевых функций Грина: (а) функции вводятся аналогично двумерных сферических ( ), (б) трехмерных ( ).

описанному выше случаю задачи о полосе. Рассматриваются поля источни­ ков силы /, лежащих на расстоянии от ребра четверти плоскости или вершины разреза сферы (рис. 15). Пределы этих полей и называются краевы­ ми функциями Грина. Для трехмерных функций Грина вводятся диаграммы направленности, по аналогии с (15).

Основным результатом работы [2] является следующее выражение для дифракционного коэффициента четверти плоскости:

части оператора Лапласа на сфере с разрезом; 2 — ко­ эффициент в краевой асимптотике функции 1 в окрест­ Рис. 16. Контур.

ности -вершины разреза (и 2 у -вершины);, и 0, — проекции векторов и 0 на оси и соответственно.

Интеграл в этом представлении может быть преоб­ разован в экспоненциально сходящийся в более широкой области направлений, чем интеграл в общей формуле (16): это становится возможно сделать для тех направ­ лений, в которые не попадают вторичные цилиндриче­ Рис. 17. Вторичная ские волны (рис. 17). Такие волны существуют даже не волна.

при всех направлениях падения. Таким образом, формула (17) удобнее для вычислений, чем общая формула (16).

Тем не менее, в работе [2] остался незаполненным ряд пробелов: требова­ лась регуляризация расходящихся интегралов в промежуточных формулах, не было предложено конструктивного способа вывода формул такого типа и осталась невыявленной связь между общим и модифицированным выражени­ ями для дифракционного коэффициента). В настоящей работе эти пробелы заполняются, и построенные методы применяются к задаче дифракции на трехгранном конусе, представляющем собой угол куба.

В §3.2 подробно описывается постановка задачи о дифракции на чет­ верти плоскости и вводятся трехмерные и двумерные сферические краевые функции Грина.

В §3.3 решается вопрос о регуляризации расходящихся интегралов, вхо­ дящих в трехмерную формулу расщепления. Эта формула выражает дифрак­ ционный коэффициент в виде интегралов по ребрам четверти плоскости от комбинации диаграмм направленности трехмерных краевых функций Грина и является основой для вывода формулы (17).

Вводится определение регуляризованного значения интеграла. Пусть неко­ торая функция () интегрируема на любом отрезке [, ] при 0 < <, и имеет следующую асимптотику при 0: () = + (1 ), где < 1. Тогда предел будем называть регуляризованным значением интеграла 0 ().

Доказывается справедливость регуляризованной трехмерной формулы расщепления:

Здесь, () = 0 (, ), (0 ; ), а — коэффициент в краевой асимптотике функции в окрестности ребра и у ребра.

В §3.4 решается вопрос о конструктивном способе вывода формул класса (17) из формул класса (19). Для этого вводится модифицированное представ­ ление Конторовича–Лебедева. Пусть функции () и (, ),, 0, могут быть представлены в виде Здесь < = min(, ) и > = max(, ); контур показан на рис. 14.

Представления функций () и (, ) в виде (20) и (21) называются мо­ дифицированным представлением Конторовича–Лебедева для функций од­ ной и двух переменных соответственно. Функции () и () называются трансформантами функций () и (, ) соответственно. В отношении транс­ формант предполагается, что они являются четными функциями, имеют сингулярности только в виде простых действительных полюсов, регулярны при = 0 и экспоненциально убывают при | Im |.

Доказываются два важных свойства этого представления.

Формула свертки: пусть функции () и (, ) имеют представления (20) и (21) с трансформантами и соответственно. Тогда Формула Планшереля: пусть функции 1 () и 2 () имеют представления (20) с трансформантами 1 и 2 соответственно. Тогда Показывается, что функции, и, входящие в трехмерные формулы расщепления, имеют представления, схожие с (20) и (21). Отличие заключает­ ся в наличии дополнительных степенных множителей перед интегралами, но оно оказывается непринципиальным. С помощью построенной техники преоб­ разования интегралов из регуляризованной трехмерной формулы расщепле­ ния (19) конструктивным образом выводится формула (17). Эта формула бы­ ла предложена в работе [2], однако там она была обоснована с помощью трех­ мерной формулы расщепления, содержащей расходящиеся интегралы. Кроме того она была сначала угадана, а затем обоснована.

В §3.5 выводятся сферические формулы расщепления, выражающие нетривиальные связи между собственными функциями, сферической функцией Грина и сферическими краевыми функциями Грина. Приведем пример такой формулы:

Она справедлива, если и ± 1 не принадлежат спектру. Схожие формулы получаются для собственных функций сферической задачи и сферической функции Грина. С их помощью формула (17) напрямую выводится из (16).

В §3.6 приводится пример вычисления дифракционного коэффициента четверти плоскости по одной из новых формул.

В §3.7 построенные методы применяются к задаче дифракции на трех­ гранном конусе = {(,, )| 0, 0, 0}.

Постановка задачи аналогична постановке задачи о четверти плоскости.

ветствующих монопольным и дипольным источникам, помещенным на реб­ ра рассеивателя. По аналогии с (15) для них вводятся диаграммы направ­ ленности,,. Также вводятся шесть сферических краевых функций Грина,, (, ).

Доказывается справедливость трехмерной формулы расщепления и формулы:

В §3.8 Кратко сформулированы основные результаты главы. Результаты третьей главы частично опубликованы в работах [1, 4–6, 10].

В Приложение вынесены технически сложные и громоздкие обоснова­ ния соотношений для конических задач.

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Предложена модификация экспериментальной методики исследования акустических дифракционных задач, использующей в качестве входно­ го сигнала М-последовательность. Составной частью методики являет­ ся процедура восстановления объемной скорости источника акустиче­ ских волн с помощью метода двух микрофонов. Основу модификации составляет использование теории Вайнштейна об излучении из откры­ того конца волновода. На основании предложенной методики впервые был измерен дифракционный коэффициент жесткого трехгранного ко­ нуса. Результаты измерений согласуются с теоретически вычисленными значениями с точностью 10%.

2. Построен численный алгоритм решения скалярных (акустических) за­ дач о дифракции плоской волны на препятствиях типа полосы мето­ дом спектрального уравнения. Основу алгоритма составляет процеду­ ра отыскания коэффициентов уравнения по известному из физической постановки задачи поведению решений в особых точках. Показано, что для задачи о полосе метод спектрального уравнения более эффективен по сравнению с традиционным методом граничного интегрального урав­ нения в том случае, если требуется высокая точность решения а также в случае среднего и большого волнового размера полосы.

3. Предложены новые методы построения аналитических решений для за­ дач дифракции на многогранных конусах. Предложенные методы поз­ волили строго обосновать точные выражения для дифракционного ко­ эффициента четверти плоскости и получить новое выражение для ди­ фракционного коэффициента трехгранного конуса.

Цитированная литература 1. Shanin A. V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips // Quart. Journ.

Mech. Appl. Math. 2003. Vol. 56. Pp. 187–215.

2. Shanin A. V. Modified Smyshlyaev’s formulae for the problem of diffraction of a plane wave by an ideal quarter-plane // Wave motion. 2005. Vol. 41.

Pp. 79–93.

3. Smyshlyaev V. P. Diffraction by conical surfaces at high frequencies // Wave motion. 1990. Vol. 12. Pp. 329–339.

4. Babich V. M., Smyshlyaev V. P., Dement’ev D. B., Samokish B. A. Numeri­ cal calculation of the diffraction coefficients for an arbitrary shaped perfectly conducting cone // IEEE transactions on antennas and propagation. 1996.

Vol. 44. Pp. 740–747.

5. Williams M. Diffraction by a finite strip // Quart. Journ. of Mech. and Appl.

Math. 1982. Vol. 35. Pp. 103–124.

Список публикаций A1. Skelton E. A., Craster R. V., Shanin A. V., Valyaev V. Yu. Embedding for­ mulae for scattering by three-dimensional structures // Wave motion. 2010.

Vol. 47. Pp. 299–317.

A2. Valyaev V. Yu., Shanin A. V. Numerical procedure for solving the strip prob­ lem by the spectral equation // Journal of computational acoustics. 2011.

Vol. 19. Pp. 269–290.

A3. Валяев В. Ю., Шанин А. В. Метод последовательностей максимальной длины в дифракционном эксперименте // Акуст. Журн. 2011. Т. 57.

С. 420–425.

A4. Валяев В. Ю., Шанин А. В. Модифицированное преобразование Конто­ ровича–Лебедева и его применение к решению канонических конических задач дифракции // Акуст. Журн. 2011. Т. 57. С. 755–762.

A5. Valyaev V. Yu., Shanin A. V. Embedding formulae for Laplace–Beltrami problems on the sphere with a cut // Wave Motion. 2012. Vol. 49. Pp. 83–92.

A6. Valyaev V. Yu., Shanin A. V. Derivation of modified Smyshlyaev’s formulae using integral transform of Kontorovich-Lebedev type // Proceedings of the international conference «Days on diffraction»2010 / Ed. by I. V. Andronov, A. P. Kiselev, M. V. Perel, A. S. Kirpichnikova. St. Petersburg: 2010. — June.

Pp. 174–180.

A7. Валяев В. Ю., Шанин А. В. Экспериментальное изучение дифракции акустической волны на жестком цилиндре MLS-методом // Сборник трудов участников XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явле­ ния в неоднородных средах» («Волны-2010»). Звенигород: 2010. — Май.

С. 53–54.

A8. Валяев В. Ю., Шанин А. В. Численный алгоритм решения задачи ди­ фракции плоской волны на двух полосах // Сборник трудов XXII сессии Российского акустического общества и Сессии Научного совета РАН по акустике. Т. 1. Москва: ГЕОС, 2010. — Июнь. С. 257–260.

A9. Valyaev V. Yu., Shanin A. V. Spectral equation for a strip/slit diffraction problem: numerical algorithm // Days on diffraction’2009, Abstracts. St.

Petersburg: 2009. — May. P. 92.

A10. Valyaev V. Yu., Shanin A. V. Embedding formulae for Laplace—Beltrami problems on the sphere with a cut // Days on diffraction’2011, Abstracts.

St. Petersburg: 2011. — May/June. P. 96.