На правах рукописи

АРБУЗОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Теория и методы анализа диэлектрических спектров, описываемых

дробно-степенными выражениями с действительными и

комплексно-сопряженными показателями

Специальность: 01.04.02 – теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

Казань – 2009

Работа выполнена на кафедре теоретической физики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Нигматуллин Равиль Рашидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Новиков Геннадий Фёдорович доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Игорь Васильевич

Ведущая организация: Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 22 октября 2009 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.15 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, д.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И.

Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «» августа 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Ерёмин М.В.

Общая характеристика работы

Работа посвящена обобщению фрактальной теории диэлектрической релаксации (основанной на усреднении многочисленных самоподобных движений отдельных диполей и носителей заряда к нескольким коллективным (групповым) процессам [1]) и разработке новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексносопряжёнными показателями. Приведены аналитические расчёты, модельные исследования (компьютерная симуляция эксперимента), а также обработка реальных данных, подтверждающая полученные теоретические результаты.

Актуальность темы Современная диэлектрическая спектроскопия анализирует поведение комплексной диэлектрической проницаемости (,Т) изучаемого материала в o o широком частотном ( = 10-4 … 1012 Гц) и температурном (T = -170 C … + 300 C) интервале. Такое широкое температурно-частотное окно способствует получению уникальной информации по релаксационной динамике исследуемого образца.

Основная цель диэлектрической спектроскопии (как метода анализа электрическиактивного вещества) заключается в том, чтобы связать структурные и динамические параметры анализируемого материала с параметрами правильно подобранной аппроксимирующей функции на промежуточном (мезоскопическом) уровне пространственных и временных масштабов. Эта проблема имеет фундаментальный интерес, так как зачастую мы понимаем физику, контролирующую поведение отдельных атомов и молекул («микроскопику») и «макрофизику», объясняющую поведение больших макроскопических частей вещества. Но в большинстве случаев мы мало знаем о сложном поведении молекул внутри кластеров (объединений молекул, диполей), а эти знания могут быть положены в основу понимания сильнокоррелированных коллективных движений молекул в области мезомасштабов, включащих в себя диапазон размеров 10-9-10-6 м.

Главной проблемой диэлектрической спектроскопии является отсутствие единой непротиворечивой теории диэлектрических спектров. В настоящее время (как и ранее) для описания широкополосных диэлектрических данных большого класса исследуемых материалов зачастую используется набор эмпирических формул или их линейных комбинаций. Очевидно, что при таком описании желаемая связь подгоночных параметров со структурой материала и протекающими релаксационными процессами не может быть установлена.

Отметим, что в последние десятилетия резко возрос интерес к изучению самоподобных структур (фракталов) [2] и дробного исчисления [3], [4] (области математики, изучающей уравнения, содержащие дробные производные и интегралы). Однако работ, в которых этот непростой математический аппарат применяется для изучения реальных процессов диэлектрической релаксации в различных сложных системах, очень немного. Зачастую исследователи, работающие в области диэлектрической спектроскопии, плохо знакомы с дробным исчислением и не могут его уверенно применить для анализа спектров. А специалисты по дробному исчислению не стремятся глубоко проникнуть в суть явления диэлектрической релаксации и попытаться извлечь качественно новую информацию из обработки и анализа реальных данных.

В последних работах проф. Р.Р. Нигматуллина и его коллег были реализованы первые этапы построения фрактальной теории диэлектрической релаксации, основанной на предположении о самоподобии исследуемой среды.

Было показано, что «универсальное» дробно-степенное поведение проницаемости следует из усреднения (редуцирования) многочисленных микродвижений, которые сводятся к небольшому числу коллективных (групповых) движений частиц (далее именуемых процессами) на промежуточном масштабе частот (далее мезо/наномасштаб). Данный эффект аналитически доказан для слабо- [1] и сильнокоррелирующих [5] фрактальных структур, обладающих сферической симметрией.

Однако на настоящий момент фрактальная теория диэлектрической релаксации находится на стадии проверки, и некоторые проблемы остаются попрежнему не решенными. Во-первых, данная теория разработана для сферическисимметричных систем, а далеко не все системы обладают сферической симметрией.

Во-вторых, были получены приближённые решения функциональных уравнений для функции памяти рассматриваемой среды, содержащие лишь релаксационные члены, что не позволяло описывать диэлектрическую проницаемость материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Не разработан также надежный инструментарий (набор методов анализа диэлектрических спектров), позволяющий с большой долей достоверности распознавать, обосновывать выбор аппроксимирующей функции (т.е. позволяющий найти наиболее подходящую модель для описания данного спектра и, соответственно, вещества) и интерпретировать диэлектрические спектры, описываемые дробно-степенными частотными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями степени.

Несомненно, что обобщение и развитие фрактальной теории диэлектрической релаксации и современных методов анализа диэлектрических спектров, а также проверка полученных результатов на реальных данных представляет собой актуальную задачу.

Цель работы Целями данной работы являлись обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации [1] (предполагающей сферическую симметрию дипольных кластеров среды) на случай кластеров цилиндрической симметрии и разработка новых методов анализа диэлектрических спектров, описываемых дробно-степенными выражениями с действительными и комплексносопряжёнными показателями. Попутно с решением главной задачи необходимо было выяснить возможности применения полученных результатов к сходным проблемам в других областях, например, в электрохимии.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанное обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации на случай дипольных кластеров осевой симметрии содержит выражение для комплексной проницаемости, состоящее из релаксационных и резонансных слагаемых, и справедливое, таким образом, на высоких (терагерцовых) частотах.

2. Анализ диэлектрических спектров винилпирролидона, акриламидных гидрогелей, сельскохозяйственных растений, а также специально-сконструированных модельных данных подтверждает основные положения полученного обобщения.

3. Новые методы анализа диэлектрических спектров существенно улучшают процедуру распознавания наиболее приемлемой гипотезы и последующую аппроксимацию диэлектрических данных.

4. Найденные функциональные уравнения позволяют анализировать различные самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии, причём импеданс данных цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями.

Научная новизна результатов заключается в следующем:

- впервые получено выражение для комплексной диэлектрической проницаемости, содержащее релаксационные и резонансные слагаемые, которое позволяет анализировать системы в широком диапазоне частот, включая переходную релаксационно-резонансную терагерцовую область;

- разработаны новые методы анализа диэлектрических спектров, позволяющие отличать друг от друга различные подгоночные функции, в том числе содержащие дробно-степенные слагаемые с комплексно-сопряжёнными показателями степени;

- впервые показано, что диэлектрические спектры, полученные в ходе реакции полимеризации винилпирролидона и набухания акриламидных гидрогелей, описываются дробно-степенными выражениями с комплексно-сопряжёнными показателями;

- удалось впервые рассмотреть самоподобные электрические цепи трёхмерной структуры, моделирующие двойной электрический слой и самоподобный электролит, и показать, что импеданс таких цепей обладает дробно-степенной частотной зависимостью с комплексно-сопряжёнными показателями.

Научно-практическая значимость результатов диссертации Научно-практическая значимость работы заключается в том, что было разработано обобщение фрактальной теории диэлектрических спектров, позволяющее анализировать системы с осевой симметрией, например, тонкие плёнки, а также ансамбли макромолекул, не обладающих сферической симметрией.

Более того, найденное выражение для комплексной проницаемости содержит и релаксационные, и резонансные слагаемые, что позволяет анализировать диэлектрические спектры исследуемых материалов на высоких (терагерцовых) частотах.

Также были созданы новые методы представления диэлектрических данных, позволяющие более точно и доказательно интерпретировать диэлектрические спектры, описываемые дробно-степенными частотными выражениями с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями. Показано, что на основе диэлектрических спектров можно делать вывод о структуре кинетических уравнений в дробных производных, описывающих поведение макроскопической поляризации в некоторой гетерогенной среде, что, в свою очередь, способствует более детальному пониманию структуры вещества.

Найденные функциональные уравнения позволяют анализировать различные самоподобные электрические цепи, представляющие интерес для электрохимии.

Результаты данной работы также могут помочь в развитии новых технологий неразрушающего контроля качества продуктов, основанных на изучении взаимосвязи между параметрами, характеризующими качество продукции и подгоночными параметрами, описывающими диэлектрическую проницаемость исследуемых материалов.

Мы надеемся, что данная работа окажется полезной и для специалистов по диэлектрической спектроскопии (как одна из немногих работ, в которой выводится универсальная дробно-степенная зависимость спектров из общих принципов), а также для исследователей, активно ищущих новых и убедительных применений математического аппарата дробного исчисления для решения реальных задач, встречающихся в природе.

Апробация работы Основные результаты работы были доложены на международных конференциях по диэлектрической спектроскопии: 4th Conference International Dielectric Society and 9th International Conference Dielectric and Related Phenomena (г.

Познань, Польша, 2006 г.) и 5-th International Conference on Broadband Dielectric Spectroscopy and Its Applications (г. Лион, Франция, 2008 г.); шестой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (г. Санкт-Петербург, 2008г.); пятом международном междисциплинарном симпозиуме «Фракталы и прикладная синергетика в нанотехнологиях»; девятой международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» (г. Казань, 2009г.); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (г. Уфа, 2008 г.); VII и VIII научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов научно-образовательного центра Казанского государственного университета «Материалы и технологии XXI века» (г. Казань, 2007 и 2008 гг.); итоговой научно-образовательной конференции студентов Казанского государственного университета (г. Казань, 2007 г.); научнопрактической конференции студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города» (г. Казань, 2008 г.).

Публикации. Основное содержание работы

отражено в 19 научных публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы – 139 страниц печатного текста, включая 51 рисунок, 4 таблицы и библиографию из 110 наименований.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формируются цели и задачи диссертации, даётся общая характеристика работы и её составных частей, а также приводится список основных публикаций и тезисов по работам конференций.

В первой обзорной главе даны основные понятия, формулы и выражения, используемые в диссертации, а также рассмотрены проблемы интерпретации диэлектрических спектров, которые часто возникают при их обработке и анализе (наиболее существенными являются отсутствие единой теории и надёжных методов обработки диэлектрических спектров).

Во второй главе изложено обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации. В первой части главы применяется метод Мори-Цванцига [6], и записывается цепочка уравнений для полной поляризации P(t):

где k1 ( t ), k2 ( t ) – это функции памяти соответствующих порядков. Первое уравнение интегрируется и, после осуществления преобразования Лапласа, представляется в следующем виде (s – параметр преобразования Лапласа):

Далее, для расцепления бесконечной цепочки уравнений (1), рассматривается процесс диэлектрической релаксации в гетерогенном материале, имеющем самоподобную структуру и обладающем цилиндрической симметрией. Этот процесс создан совокупностью электрически активных кластеров (каждый кластер состоит из группы сильно коррелирующих диполей), существующих в данном материале.

Предполагается, что элементарный акт релаксационного процесса с термостатом, связанный с объемом Vn, описывается микроскопической функцией f ( s n1 n2 ). Здесь n1, n2 – это характерные масштабные (релаксационные) времена, описывающее процесс релаксации с термостатом для группы сильно коррелированных диполей, находящихся в кластере объема Vn, вдоль продольной оси и вдоль радиуса цилиндра, соответственно. Если n-ый кластер содержит N n1n2 диполей, то процесс релаксации для совокупности слабо коррелированных кластеров описывается функцией памяти:

Функция релаксации рассмотрена в общем виде (z = s0, где 0 10-15 c – характерное время поворота диполя):

Предполагается, что распределения значений N n1n2 и набора времен релаксации n1 n2 удовлетворяют следующим граничным условиям:

где bi и i – это геометрические и динамические параметры самоподобной структуры, соответственно. Удаётся показать, что функция памяти M(z) в этом случае удовлетворяет точному функциональному уравнению:

После разложения f(z) в ряд Лорана, а возникающих периодических функций в ряд Фурье, решение уравнения (6) представляется в следующем виде:

где i = ln bi ln i, ni = 2 ni ln (1 ) ln ( 2 ), U n – параметры, возникающие при разложении f(z) в ряд Лорана (имеют сложный вид и здесь не приводятся). Расчёты показывают, что бесконечный ряд Фурье в (7) часто может быть приближенно заменен тремя членами. Подставляя полученное выражение для функции памяти M(z) в (2) и переходя во временную область, получаем следующее уравнение:

где выражение определяет оператор дробного дифференцирования ( q > 0 ) и интегрирования ( q < 0 ) Римана-Лиувилля [4]. Таким образом, для самоподобных систем с функцией памяти (3) удаётся записать кинетические уравнения для полной поляризации (8), содержащие дробные производные/интегралы, в виде специфических триад.

Каждая триада содержит линейную комбинацию дробных операторов: один с действительным показателем и пару с комплексно-сопряженными показателями.

Эти уравнения применимы к описанию явления релаксации/переноса в гетерогенном материале, имеющем специфическую функцию памяти. Специфика связана со счетным набором размеров, генерируемых фрактальной структурой, которая, в свою очередь, диктуется соответствующим релаксационным процессом.

Для случая 0, логопериодические члены сохраняются. Они хранят память о корреляции самоподобных временных интервалов на различных масштабах.

Комплексно-сопряженные показатели исчезают ( = 0), если соответствующая среда становится абсолютно случайной; тогда фрактальная структура становится близкой к непрерывной. Для такого случая, набор самоподобных временных интервалов становится некоррелированным.

Из уравнения (9) можно легко найти стационарное решение в присутствии переменного электрического поля и получить искомое выражение для комплексной диэлектрической проницаемости:

Данное решение содержит релаксационные (дробно-степенные) и резонансные (содержащие частоту в целой степени) члены, которые доминируют на разных частотах: релаксационные члены проявляют себя на низких частотах, а резонансные на высоких. Предполагается, что для многих веществ вклады сравнимы в переходной терагерцовой области. Таким образом, полученное решение справедливо и на высоких частотах.

Можно показать, что в частном случае выражение (10) переходит в формулу Дебая. Для этого, во-первых, необходимо предположить, что b1 = b2 и 1 = 2 (т.е.

рассмотреть случай кластеров сферической симметрии). Во-вторых, сузить исследуемую область частот и предположить, что Ni » 1, чтобы пренебречь резонансными слагаемыми. В-третьих, рассмотреть абсолютно случайную фрактальную среду, что приведёт к случаю = 0. И, наконец, в-четвертых, положить b =, чтобы = 1. Таким образом, формула Дебая в общем случае соответствует сферически-симметричной абсолютно случайной фрактальной среде, у которой геометрический (b) и динамический () параметры равны друг другу.

Если теперь дополнительно предположить, что b = = 1 и N0 = 1 (т.е. все кластеры равны друг другу и содержат один диполь), а также предположить, что установление равновесия происходит по экспоненциальному закону, и все диполи имеют одинаковое время релаксации, то в этом (частном) случае мы получаем теорию Дебая.

Во второй части данной главы выводится зависимость степенных показателей i от характерных времен релаксации i. Показано, что известная ранее формула Рябова-Фельдмана-Пузенко сохраняет свой вид, но характерные параметры претерпевают изменения.

В третьей части главы анализируется взаимосвязь между зависящим от времени среднеквадратичным смещением носителей заряда и функцией проводимости (j). Проведённые исследования дают новую возможность для классификации различных типов коллективных движений, вовлеченных в процесс релаксации/переноса. Результаты приведены в таблице.