На правах рукописи

ХАЗИРИШИ ЭНВЕР ОСМАНОВИЧ

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

И ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСОБЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 – математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2009

Работа выполнена на кафедре математического анализа Адыгейского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Габдулхаев Билсур Габдулхаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Габбасов Назим Салихович доктор физико-математических наук, профессор Кац Борис Александрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (НИВЦ МГУ)

Защита состоится 18 июня 2009 г. в 17 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Казанском государственном университете по адресу:

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И.

Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан “_" 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Липачёв Е.К.

к. ф.-м. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

задачи математики, механики, физики и других областей приводят к различным классам сингулярных интегральных и синг3улярных интегродифференциальных уравнений (кратко: СИУ и СИДУ) с интегралами Гильберта и Коши, понимаемыми в смысле главного значения по КошиЛебегу.

Из теории для таких уравнений известно, что найти решение точно, т.е. в замкнутой форме, удается лишь в очень редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять соответствующие сингулярные интегралы. Поэтому для теории и, в особенности, для приложений важное значение имеет разработка приближенных методов решения СИУ и СИДУ с соответствующим теоретико-функциональным обоснованием, а также приближенных методов вычисления участвующих в уравнениях сингулярных интегралов.

За последние десятилетия в решении указанной проблемы достигнут значительный прогресс, в основном благодаря работам отечественных математиков и механиков, а также ряда зарубежных авторов. Подробный обзор полученных в этой области результатов можно найти в специальных обзорных работах Б.Г. Габдулхаева (1980 г.), В.В. Иванова (1965 г.), И.К. Лифанова и Е.Е.

Тыртышникова (1990 г.), В.А. Цецохо (1983 г.), в монографиях С.М.

Белоцерковского и И.К. Лифанова (1985 г.), Б.Г. Габдулхаева (1980, 1994, 1995 гг.), В.А. Золотаревского (1991 г.), В.В. Иванова (1968 г.), И.К. Лифанова (1995 г.), З.Т.

Назарчука (1989 г.), В.В. Панасюка, М.П. Саврука и З.Т. Назарчука (1984 г.), З.

Пресдорфа (1979 г.), М.А. Шешко (2003 г.), а также в диссертациях Л.А.

Апайчевой (1986 г.), М.Г. Ахмадиева (1988 г.), Л.Б. Ермолаевой (1987 г.), И.Н.Мелешко (1975 г. и 2003 г.) Л.А. Онегова (1979 г.), Э.Н. Самойловой (2004 г.) и др. Однако, несмотря на сказанное, в этой области вс еще остается много нерешенных задач. Данная диссертационная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.

Цель работы – дальнейшее развитие методов приближенного вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта и разработка полиномиальных и сплайновых методов решения СИУ и СИДУ на отрезке вещественной оси и на замкнутом контуре, охватывающем начало координат, с соответствующим теоретическим обоснованием, под которым, следуя академику Л.В. Канторовичу, понимается следующий круг вопросов:

аппроксимирующих уравнений;

2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;

3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

Методика исследования. При разработке и обосновании приближенных методов в диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории СИУ и СИДУ; при этом мы следуем операторных уравнений, изложенной в монографиях Б.Г. Габдулхаева полиномиальных и сплайновых методов решения ряда классов СИУ и квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов с ядрами Гильберта и Коши.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории приближения функций и теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения различных классов сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений и вычисления сингулярных интегралов. Они также могут найти применения при решении различных прикладных задач механики, физики, техники, описываемых СИУ и СИДУ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных республиканских конференциях ГССР (г. Батуми 1981г., г. Телави конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики» (г. Казань, 1984 г.), на всесоюзном симпозиуме по методам комплексного анализа и интегральным уравнениям (г. Сухуми, 1987 г.), на Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (г.

Саратов, 1987 г.), на V всесоюзном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Одесса, 1991 г.), на госуниверситета (г. Майкоп, 2000 г.), на международных летних школахконференциях по теории функций и смежным вопросам (г. Казань, 2002гг.), на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета (1980-1985 гг. и 2002-2006 гг.). Результаты также сингулярных интегральных уравнений» (руководитель – академик АН ГССР Б.В. Хведелидзе) (1986-1990 гг.), на городском семинаре при КГУ «Теория аппроксимации и её приложения» (руководитель – проф. Б.Г.

Габдулхаев) (1980-1987, 1997-1999, 2003-2007 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 12 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично диссертантом.

страницы состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы из 116 наименований. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация формул и результатов (теорем и лемм).

актуальность темы исследования, приводится обзор литературы по исследуемой теме и краткое содержание диссертации.

В Главе I (§§ I.1 – I.3) получен ряд новых квадратурных формул (кратко:

к.ф.) для сингулярных интегралов (кратко: с.и.) с ядрами Коши и Гильберта, для которых получены эффективные оценки погрешности для известных классов функций. В ряде случаев доказана оптимальность в определенном смысле полученных приближенных формул.

В §I.1 приводится ряд вспомогательных результатов из конструктивной полнота соответствующей системы, получены для них рекуррентные соотношения и дифференциальные уравнения, решениями которых являются указанные многочлены.

В §1.2 рассматривается сингулярный интеграл вида Для вычисления с.и. (I.1) предлагается к.ф.

фундаментальные интерполяционные многочлены Лагранжа. Коэффициенты квадратурной формулы (I.2) вычислены в явном виде. Доказаны теоремы о сходимости (поточечной и равномерной) квадратурного процесса (I.2) для соответственно формулами где многочлен Лагранжа.

В §I.3 решена задача оптимизации к.ф. для с.и. с ядром Гильберта на ранее не исследованных классах аналитических, гармонических и целых функций. Получены на соответствующих классах функций порядковые величины оптимальных оценок погрешностей и указаны к.ф., реализующие эти оценки.

, допускающих аналитическое продолжение в полосу {z=t+iu, -h < u < h}, причем – класс целых функций, для которых константа М в (I.6) удовлетворяет соотношению где, h, v – положительные числа, а контакта зависит лишь от.

С использованием тригонометрических интерполяционных полиномов по узлам,, по предложенной Б. Г. Габдулхаевым методике для с.и.

(I.5) получены к.ф.

Приведём здесь одну из известных задач оптимизации к.ф. для с.и. (I.5).

Пусть с.и. (I.5) вычисляется приближенно с помощью всевозможных к.ф. вида система попарно неэквивалентных узлов, а – произвольная система непрерывных функций.

называется оптимальной оценкой погрешности класса к.ф. (I.11).

Определение 10. Квадратурная формула называется оптимальной по порядку на классе F, если выполняется условие Теорема 1.13. Справедливы двусторонние оценки