Механико-математический факультет

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Мельниченко Никита Сергеевич

Аппроксимация задач фильтрации

в анизотропных средах

на нерегулярных сетках

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

Москва – 2011

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

кандидат физико-математических наук,

Научный руководитель:

доцент, Богачев Кирилл Юрьевич доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доцент, Федотов Евгений Михайлович кандидат физико-математических наук, Капырин Иван Викторович Московский энергетический институт

Ведущая организация:

(технический университет)

Защита состоится «22» сентября 2011 г. в 16 часов 00 минут на заседании дис­ сертационного совета Д 212.081.21 при ФГАОУВПО «Казанский (Приволж­ ский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлев­ ская, д. 18, корп. 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачев­ ского ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан « » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Задворнов О. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. С ростом производительности современных вы­ числительных систем увеличивается сложность гидродинамических моделей, используемых при анализе месторождений. В настоящее время начинает пре­ обладать точка зрения, что расчет динамики течения в резервуаре надо произ­ водить на геологических моделях, чтобы избежать потерь данных при укруп­ нении сетки (upscaling). Описание сложных геологических структур (таких как разломы, выклинивание и др.) может потребовать использования неструк­ турированных сеток.

В традиционном методе конечных объемов, применяемом для точного выполнения закона сохранения, возникает задача аппроксимации потока каж­ дой из фаз через грань между соприкасающимися блоками сетки. В наиболее часто используемой двухточечной аппроксимации (TPFA) этот поток прибли­ жают по значениям в этих двух соприкасающихся блоках, что приводит к большой погрешности, если поток не ортогонален общей грани блоков, а так­ же к так называемому «ориентационному эффекту», когда значение потока в пространстве зависит от выбора сетки.

Для сокращения погрешности используют различные многоточечные ме­ тоды (MPFA) — базисов связей, -метод, -метод и др. — которые для вычис­ ления потока через грань между двумя блоками сетки привлекают значения в соседних к ним блоках. Эти методы хорошо приближают поток, не ортого­ нальный грани блока, но не решают проблему ориентационного эффекта и до­ бавляют еще одну проблему — возникновение нефизичных потоков из блока с меньшим давлением в блок с большим давлением при сильной неортогональ­ ности граней координатным осям и сильной анизотропии тензора абсолютной проницаемости.

Таким образом, проблема создания метода многоточечной аппроксима­ ции, при котором решение будет полностью согласовано с физической карти­ ной явления, является открытой.

Цели диссертационной работы:

1. Предложить новый (или являющийся существенной модификацией су­ ществующего) метод аппроксимации, который позволит сократить недо­ статки многоточечных методов.

2. Реализовать полученный метод в виде параллельного модуля к промыш­ ленному гидродинамическому симулятору.

3. Проверить адекватность метода на тестовых и реальных наборах данных геологического масштаба, а также провести его сравнение с другими методами аппроксимации.

Научная новизна. В диссертационной работе предложен новый метод многоточечной аппроксимации потока для задач фильтрации вязкой сжимае­ мой жидкости в пористой анизотропной среде — метод подсеток. Выполнена реализация метода в качестве кроссплатформенного параллельного модуля к современному российскому промышленному комплексу гидродинамического моделирования. Результаты расчета на тестовых и реальных наборах данных со сложными сетками позволяют утверждать, что при использовании метода подсеток нефизичные перетоки практически отсутствуют, метод подсеток снижает ориентационный эффект схемы.

Таким образом, разработанный метод превосходит по качеству другие мето­ ды MPFA, что делает использование многоточечной аппроксимации более до­ ступным при адаптации реальных месторождений геологического масштаба.

Практическая значимость. Корректная адаптация гидродинамических наборов данных к историческим данным является одной из главных состав­ ляющих успешной разработки нефтегазового месторождения и оптимизации финансовых затрат. Для приближения расчетной области применяется специ­ альное программное обеспечение, которое строит в ней сетку, основываясь на геологическом наборе данных месторождения. При этом для выгруженных се­ ток характерны неструктурированность, неортогональность, наличие выкли­ нивания, резкое изменение физических свойств между соседними блоками при наличии высокой анизотропии. Математическая модель месторождения должна быть дискретизирована таким образом, чтобы полученное в результа­ те вычислений решение было согласовано с физическими свойствами задачи.

Предложенный в работе метод подсеток сочетает в себе преимущества многоточечных методов перед двухточечным, позволяя иметь высокий поря­ док аппроксимации потока на нерегулярных сетках и в анизотропной среде с полным тензором проницаемости, вместе с сокращением таких недостат­ ков MPFA, как нефизичные перетоки и ориентационный эффект. При этом увеличивается время инициализации программы, а также может возрасти рас­ четное время задачи по сравнению с некоторыми методами многоточечной аппроксимации. В работе излагаются способы сокращения общего времени, реализованные в разработанном программном модуле и позволяющие добить­ ся скорости расчета, близкой к другим методам MPFA. Таким образом, метод подсеток может быть использован для получения физичных результатов при практически тех же временных затратах, которые характерны для других ме­ тодов многоточечной аппроксимации.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Предложен новый метод многоточечной аппроксимации потока для за­ дач фильтрации — метод подсеток.

2. Приведено теоретическое обоснование качества аппроксимации потока для изотропной однородной среды.

3. Разработан программный модуль, реализующий данный метод, для про­ мышленного комплекса гидродинамического моделирования, и произве­ дена проверка адекватности метода на основе его сравнительного ана­ лиза с другими методами MPFA и согласованности численных экспери­ ментов с физической картиной явления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на различных конференциях и семинарах. Среди них 4-я международная кон­ ференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к совре­ менным проблемам естествознания» (Обнинск, 2008 г.), конференция «Ло­ моносовские чтения» (Москва, 2008, 2009 гг.), научный семинар кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им.

М.В. Ломоносова (Москва, 2008 г.), научный семинар Института математиче­ ского моделирования РАН (Москва, 2008 г.), научный семинар кафедры диф­ ференциальных уравнений Московского энергетического института (Москва, 2009 г.), научный семинар кафедры прикладной математики МГТУ им Н.Э. Ба­ умана (Москва, 2010 г.), научный семинар кафедры вычислительной матема­ тики Казанского федерального университета (Казань, 2011 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей в реферируе­ мых журналах [1–5], четыре из которых рекомендованы ВАК РФ для публи­ кации результатов кандидатских диссертаций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликован­ ные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, об­ зора литературы, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем дис­ сертации 124 страницы, из них 117 страниц текста, включая 52 рисунка и таблицу. Библиография включает 55 наименований на 7 страницах.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована проблема, описывается структура диссертации.

В обзоре литературы содержится обзор основных работ, посвященных моделированию задач фильтрации. Приведена постановка задачи. Рассматри­ ваются стандартные уравнения многофазной изотермической модели черной нефти в трехмерной области:

где — количество компонентов смеси; g,o — растворимость газа в нефтя­ ной фазе; — коэффициент объемного расширения фазы, = o (oil), g (gas), w (water); — пористость среды;, — молярная доля компонента в фазе ;

— молярная плотность фазы ; k — тензор абсолютной проницаемости; — относительная проницаемость фазы ; — вязкость фазы ; — величина вер­ тикального градиента гидростатического давления в фазе ; — функция глу­ бины; og — капиллярное давление в системе нефть–газ; ow — капиллярное давление в системе вода–нефть; — источник компонента (скважина).

Неизвестными в этой системе являются:

1. = (,,, ) — молярная плотность компонента (для модели чер­ ной нефти компонентами служат вода, нефть и газ);

Для системы уравнений (1) задаются начальные условия, а также на внешней границе резервуара ставятся однородные условия Неймана (непро­ текания).

Описаны основные особенности сеток реальных месторождений, вклю­ чая нерегулярность и анизотропию. Приведен обзор основных методов мно­ готочечной аппроксимации, которые применяются в настоящее время при мо­ делировании задач фильтрации, в том числе метода базисов связей, -метода и -метода. Подробно рассматриваются такие недостатки, как нефизичное те­ чение и ориентационный эффект, раскрывается мотивация исследования.

Для иллюстрации нефизичного течения рассмотрим систему из трех блоков (см. рис. 1). Пусть тензор про­ ницаемости единичный и давление в блоке равно. Нормаль к грани, внешняя по отношению к 1, рав­ в центре 1, построенное по методу базисов связей равно где — расстояние между центрами блоков и. Если окажется, что т.е. будет переток из 1 в 3 (хотя 3 > 1 > 2 ), увеличивающийся тем сильнее, чем меньше давление 2. В анизотропной среде для блоков, размеры которых отличаются в десятки раз по различным направлениям, этот эффект проявляется еще сильнее.

В то время, как для стационарных задач эффект нефизичного течения лишь локально сказывается на точности решения, для нестационарной моде­ ли он может оказаться настолько критичным, что в некоторый момент будет невозможно сделать новый шаг по времени. Дело заключается в том, что мы находимся в предположениях положительного давления и насыщенностей фаз.

Продолжить модель в область с отрицательным давлением не представляется возможным, поскольку многие функции для параметров не имеют физическо­ го смысла в этом случае, и модель становится неадекватной. При наличии нефизичного течения может обнаруживаться сильный переток из области с меньшим давлением в область с большим. Если в этот момент окажется, что в области с меньшим давлением уже содержалось малое количество вещества, то оно целиком перейдет в область с большим давлением, а решение системы уравнений для неявной схемы будет давать отрицательное давление в некото­ рых блоках сетки.

Нефизичные перетоки присутствуют для других многоточечных методов.

Каждый из методов имеет область применимости, вне которой использова­ ние метода нежелательно, поскольку это приводит к нефизичным эффектам.

Среди остальных методов -метод имеет наибольшую область применимости, однако на реальных грубых сетках он довольно часто приводит к аномальному течению. Таким образом, появление нефизичных перетоков является одной из главных проблем многоточечных методов.

Необходимо отметить, что шаблоны всех рассмотренных методов вырож­ даются в двухточечный на ортогональной сетке. Это повышает скорость рас­ чета задачи в определенных случаях, но также свидетельствует о том, что методы обладают теми же недостатками, что и TPFA, по крайней мере на сетках, близких к ортогональным. К таким недостаткам относится ориента­ ционный эффект, когда мгновенное значение потока в пространстве зависит от выбора сетки. Такое поведение наблюдается только на крупных сетках, с которыми гидродинамическому симулятору приходится иметь дело; при из­ мельчении сетки эффект снижается. Полностью избавиться от него не пред­ ставляется возможным, поскольку он включает в себя погрешность решения, вызванную переходом от непрерывной задачи к дискретной.

Рис. 2. Схема перетоков при наличии ориента­ ционного эффекта ствует, а во втором случае — присутствует, что говорит о зависимости потока от выбранной сетки. Подобное поведение может приводить к запаздыванию фронта и аналогичным проблемам, особенно на крупных сетках. Таким обра­ зом, ориентационный эффект обнаруживается для многих современных мно­ готочечных методов и оказывает влияние на качество решения.

В первой главе подробно изложен многоточечный метод подсеток.

В разделе 1.1 приведена пространственная аппроксимация уравнений и отмечен общий ход решения задачи. Сетка представляется в виде набора мно­ жеств узлов, блоков и интерфейсов, через которые происходят пере­ токи. Введены понятия шаблона метода относительно интерфейса и коэффи­ циентов проводимости, которые определяют действие дискретного аналога оператора (·, ) на сеточную функцию (здесь, а матрица со­ держит тензор абсолютной проницаемости k). В случае, когда в шаблон вхо­ дит ровно две точки для всех интерфейсов, метод аппроксимации называется двухточечным (TPFA, Two Point Flux Approximation), а когда существуют ин­ терфейсы с более чем двумя точками в шаблоне — многоточечным методом (MPFA, Multipoint Flux Approximation).

Рассматриваются способы хранения шаблона и коэффициентов, а так­ же их основные свойства и особенности. Чем больше элементов в шаблоне ме­ тода, тем больше ненулевых элементов в строке итоговой системы линейных уравнений и тем медленнее происходит расчет модели по времени. Поэтому использование метода с меньшим шаблоном предпочтительнее. Поскольку для многих методов многоточечной аппроксимации имеет место обнуление коэф­ фициентов проводимости в регулярных случаях, то появляется возможность повысить скорость решения системы за счет выбрасывания заведомо нулевых слагаемых.

В разделе 1.2 описывается по­ строение подсетки внутри так назы­ ваемой области взаимодействия во­ в виде набора базовых тетраэдров содержащего узел ребра, — центр содержащего его интерфейса, — центр содержащего его блока.

Построение подсетки в области взаимодействия осуществляется пу­ Рис. 3. Область взаимодействия в трехмерном тем разбиения базовых тетраэдров на случае более мелкие, которые будут являться элементами подсетки. Для этого задается единый параметр разбиения 2, который означает количество узлов подсетки на ребре базового тетраэдра.

Вначале строится множество узлов разбиения тетраэдра (см. рис. 4, а). Их ется на маленькие элементы-тетраэдры трех типов. Элементы первого типа (см. рис. 4, б) подобны базовому и их количество равно ( 1). Второй тип элементов (см. рис. 4, в) появляется уже при = 3. В этом случае при отбрасывании всех четырех элементов первого типа (углы тетраэдра) оста­ ется октаэдр, который разделяется внутренним отрезком на 4 тетраэдра. При увеличении множество таких октаэдров растет, а общее количество получен­ ных из них элементов второго типа равно 4 ( 2). Элементы третьего типа (см. рис. 4, г) появляются при 4. Они находятся в окружении октаэдров, являются подобными базовому, их количество равно ( 3). Таким обра­ зом, число маленьких тетраэдров при разбиении одного базового составляет ( 1)3.

Описанное разбиение устроено таким образом, что все грани базовых тет­ раэдров разбиты одинаково на ( 1)2 треугольников. Это позволяет рассмат­ ривать подсетку как структурированную сетку из тетраэдров на всей области взаимодействия.

В разделе 1.3 представлены различные варианты краевых задач на под­ сетке. Рассматривается задача о нахождении приближения функции дав­ ления в конечномерном пространстве непрерывных функций, линейных в каждом элементе подсетки. Это позволит в дальнейшем вычислить поток через части интерфейсов сетки, попавших в область взаимодействия. Для это­ го сначала находятся приближенные значения в граничных узлах подсетки, а затем вычисляется дискретный аналог решения задачи div = 0.

Особое внимание в этом разделе уделено составлению граничных усло­ вий задачи. Граница области взаимодействия может быть представлена в виде объединения поверхности 1, принадлежащей границе резервуара, и поверх­ ности 2, проходящей внутри расчетной области. На 1 выбираются гранич­ ные условия резервуара, а на 2 специальным образом ставятся условия пер­ вого рода, основываясь на значениях функции в центрах блоков и граничных условиях на соседних интерфейсах сетки.

Обозначим 1,..., давления в блоках сетки, попавших в область взаи­ модействия, величины давления на интерфейсах первого рода через 1,..., 1, а величины потока на интерфейсах второго рода — через 1,..., 2 (значения, 1, 2 зависят от области взаимодействия). Тогда значения в граничном узле подсетки представляются в виде где 0,, 1,, 2, — коэффициенты, зависящие только от геометрии области и тензора проницаемости.

После задания граничных условий задача становится полностью опреде­ ленной, и приближение может быть найдено методом конечных элементов. В силу (2) решение представимо в виде Для его получения необходимо решить ( + 1 + 2 ) систем линейных урав­ нений с одинаковой положительно определенной симметричной матрицей.

В разделе 1.3.2 детально описан метод вычисления и правых частей систем по данным на сетке и подсетке. Сами системы предлагается решать методом сопряженных градиентов с предобуславливателем неполная факторизация Хо­ лецкого.

В разделе 1.4 приведен алгоритм вычисления коэффициентов проводи­ мости и шаблона, основываясь на решениях (3). Отмечено, что составление и решение задач на подсетке является независимым для различных узлов сетки, и эффективность распараллеливания метода подсеток будет высокой.

Во второй главе изложены способы вычисления параметров метода под­ сеток, а также доказана теорема о порядке аппроксимации потока. Проана­ лизированы различные аспекты реализации метода, включая вычисления на параллельной ЭВМ.

В разделе 2.1 подробно изложено построение различных структур и отоб­ ражений для подсетки, которое было опущено в предыдущей главе. Описы­ вается алгоритм создания подсетки в такой же форме, как и сетка — в виде множеств узлов, граней, элементов. Строятся дополнительные отоб­ ражения, связывающие эти множества между собой и с данными на сетке, необходимые для вычислений на подсетке, приводится оценка количества за­ нимаемой памяти.

В разделе 2.2 описан один из способов приближения градиента функ­ ции, который учитывает тензор абсолютной проницаемости исходной задачи и позволяет поставить для локальной краевой задачи на подсетке граничные условия вида (2).

В разделе 2.3 предложен способ выбора граничных условий в этой форме (среди условий, дающих высокий порядок аппроксимации), который повыша­ ет качество приближения потока с помощью метода подсеток.

В разделе 2.4 доказана теорема о порядке аппроксимации потока в одно­ родном изотропном случае. Предположим, что в некоторый момент времени мы точно знаем значения функции в центрах блоков, а диаметр области вза­ имодействия равен. Будем говорить, что векторы 1,..., удовлетворяют -критерию, если где 1,..., — объем -мерного параллелепипеда, натянутого на векторы, 1, 2 > 0 — фиксированные константы. При этом тетраэдр удовлетво­ ряет -критерию, если векторы,, удовлетворяют -критерию.

Теорема 1. Пусть все базовые тетраэдры области взаимодействия удо­ влетворяют -критерию. Тогда порядок аппроксимации потока через часть интерфейса, попавшую в область взаимодействия внутреннего узла сет­ ки, при расчете с помощью метода подсеток равен mes()() для функции Таким образом, теорема показывает, что при естественных ограничениях (-критерий позволяет исключить из рассмотрения вырожденные случаи) в однородном изотропном случае метод подсеток дает такую аппроксимацию потока, которая по порядку не хуже, чем у других многоточечных методов.

В третьей главе представлены численные результаты для проверки адек­ ватности метода, сравнения его с двухточечной схемой, а также с другими многоточечными аппроксимациями.

В разделе 3.1 рассматривается сравнение метода с двухточечной схемой.

Для тестирования методов используются специальные синтетические наборы данных для одного и того же резервуара в форме параллелепипеда с различ­ ными сетками и тензорами проницаемости. В центральный блок добавлена нагнетательная скважина, которая закачивает в резервуар воду, а в углы — добывающие скважины, выкачивающие из него жидкость для стабилизации давления. Мы будем приводить изображения карты насыщенности нефти в верхнем слое, где цветом отмечен каждый блок сетки в зависимости от этой величины по прошествии некоторого времени после включения скважин.

На наборах данных с ортогональной структурированной сеткой с диа­ гональным тензором проницаемости результаты расчетов совпадают. Показа­ но, что при искажении сетки фронт распространения изменений при расчете методом подсеток близок к окружности прежнего радиуса, тогда как двухто­ чечный дает эллипс, ось которого наклонена вдоль характерного искривле­ ния сетки, что противоречит физической картине течения (см. рис. 5). Для наборов данных проводится исследование поведения радиуса «оптимальной»

окружности, полученной в результате минимизации специальной штрафной функции, с помощью которой измеряется отличие линии фронта от окружно­ сти. Получено, что при расчете набора данных с искривленной сеткой двух­ точечный метод дает увеличивающийся штраф и такой радиус окружности, который сильно отличается от радиуса на ортогональной сетке, тогда как для Рис. 5. Нефтенасыщенность для набора данных с параллелограммами (а). Набор данных с анизотропным тензо­ (б). Срезы множества блоков с насыщенно­ Рис. 7. Карты давления (атм.) для тестового набора данных при расчете различными мето­ дами; по центру — начальное давление, слева — конечное давление при расчете -методом, справа — конечное давление при расчете методом подсеток; числами отмечен порядок прони­ цаемости в блоках Рис. 8. Нефтенасыщенность для тестового набора данных с ГРП метода подсеток значения штрафной функции убывают, а радиус окружности сближается с радиусом на ортогональной сетке.

В разделе 3.2 рассмотрены тесты с недиагональным тензором проница­ емости. Для набора данных с ортогональной сеткой и тензором проницае­ мости, который является диагональным в системе координат, повернутой на 45, фронт принял форму эллипса, повернутого на тот же угол (см. рис. 6, а).

Исследования показали, что использование сеток различной сложности (с ло­ кальным сгущением, сдвигами и пр.) вызывают незначительные оптические искажения фронта и также дают качественно правильный результат (иллю­ страции приведены в работе). Для полноразмерного набора данных в одно­ родной анизотропной среде фронт имеет форму эллипсоида (см. рис. 6, б), что согласуется с теорией. Таким образом, метод подсеток определяет каче­ ственно правильное поведение модели.

В разделе 3.3 приведено сравнение метода подсеток с другими много­ точечными методами. Как правило для оценки сложности метода используют количество элементов в шаблоне относительно внутреннего блока квазиравно­ мерной сетки (иначе говоря, минимальному количеству значений давления в некоторых блоках сетки, достаточному для определения потока через все гра­ ни рассматриваемого блока). Для метода подсеток шаблон состоит, как и для -метода, из максимального количества — 27 точек. Кроме того, этот шаблон не подвержен вырождению на ортогональной сетке с диагональным тензором, в отличии от шаблонов остальных рассмотренных методов. Автоматическое вырождение позволяет повысить скорость расчета в некоторых случаях, од­ нако уменьшение шаблона метода означает, что метод плохо справляется с ориентационным эффектом, поскольку отсутствует течение «по диагонали» в равномерном случае. Метод подсеток всегда имеет полный шаблон, но за счет этого позволяет снизить ориентационный эффект, вносимый комбинацией ис­ пользуемых сетки и тензора. Это хорошо видно на следующем примере.

Рассмотрим специальный набор данных с сеткой из четырех блоков с таким начальным давлением, как показано на рис. 7. Для левого нижнего и правого верхнего блоков зададим недиагональный тензор, направленный по диагонали, а для двух других — оставим скалярный, но уменьшим его по величине на два порядка. В этом случае расчет -методом получается по ха­ рактеру очень похожим на расчет двухточечной схемой — переток идет только через блоки с низкой проводимостью. В то же время при расчете методом подсеток появляется течение «по диагонали». Чтобы проверить адекватность такого поведения, повернем систему координат на 45. Матрица тензора в каждом блоке при этом становится диагональной, и мы можем выполнять рас­ чет двухточечной схемой, если наложим на резервуар мелкую ортогональную сетку. Полученные в работе результаты для такого набора данных говорят в пользу метода подсеток, показывая, что наблюдается течение между блоками с высокой проводимостью.

Описанное свойство метода подсеток снижать ориентационный эффект нашло свое применение при моделировании трещин, возникающих при гид­ роразрыве пласта (ГРП), который широко применяется в настоящее время для увеличения нефтеотдачи действующих добывающих скважин. Может оказать­ ся, что полученная с помощью ГРП трещина не проходит вдоль координат­ ных осей, а имеет сложную структуру. Проводимость вдоль трещины бывает в 30–50 раз выше, чем проводимость самого пласта. Это вызывает сильную анизотропию с недиагональным тензором проницаемости. На рис. 8 изобра­ жены карты насыщенностей для набора данных с диагональной трещиной и без нее. Видно, что прорыв воды при наличии ГРП происходит раньше, что может существенно сказаться на режиме работы скважины.

Исследование поведения на крупных наборах данных геологического мас­ штаба со сложными неструктурированными неортогональными сетками, с на­ личием выклиниваний, разломов, с резким изменением анизотропного тензора абсолютной проницаемости показало, что метод подсеток значительно снижа­ ет количество групп блоков, в которых появляется нефизичные перетоки. Его использование совместно с -методом и упрощенным методом подсеток, ко­ гда для задач на подсетке ставятся условия непротекания, по специальной ме­ тодике, описанной в работе, позволяет практически избавиться от аномальных течений.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы 1. Предложен новый метод многоточечной аппроксимации потока для за­ дач фильтрации — метод подсеток.

2. Приведено теоретическое обоснование качества аппроксимации потока для изотропной однородной среды.

3. Разработан программный модуль, реализующий данный метод, для про­ мышленного комплекса гидродинамического моделирования, и произве­ дена проверка адекватности метода на основе его сравнительного ана­ лиза с другими методами MPFA и согласованности численных экспери­ ментов с физической картиной явления.

В работе было показано, что метод подсеток влечет повышенное время предстартовой загрузки программы и имеет невырождающийся шаблон, что снижает скорость вычислений, но позволяет справиться с нефизичным тече­ нием и снижает ориентационный эффект.

Список публикаций 1. Богачев К. Ю., Мельниченко Н. С., Шелков В. Г. Применение метода опорных операторов для эффективного гидродинамического моделирова­ ния пластов на неструктурированных неортогональных сетках // Нефтяное хозяйство. 2008. № 2. С. 58–59.

2. Богачев К. Ю., Мельниченко Н. С. О пространственной аппроксимации методом подсеток для задачи фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в пористой среде // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9.

С. 191–199.

3. Богачев К. Ю., Мельниченко Н. С., Шелков В. Г. Применение метода подсе­ ток для гидродинамического моделирования в анизотропной среде на нере­ гулярных сетках // Нефтех. 2008. № 4. С. 8–12.

4. Мельниченко Н. С. Граничные условия локальной задачи в методе подсе­ ток // Программные продукты и системы. 2009. № 3. С. 11–13.

5. Мельниченко Н. С. Об адаптивной аппроксимации задачи фильтрации вяз­ кой сжимаемой жидкости в трещиноватой пористой среде // Вестник Мос­ ковского Университета. Серия 1: Математика, Механика. 2009. № 6.

С. 51–52.