РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Математический институт им. В. А. Стеклова
Отдел геометрии и топологии
На правах рукописи
Устиновский Юрий Михайлович
Топология и геометрия комплексных
многообразий с максимальным действием тора.
01.01.04 – Геометрия и топология
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2014
Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования. Настоящая диссертация посвяще на пространствам с действием тора = ( 1 ). Исследуется топология таких пространств, изучается возможность введения гладких и комплексно-аналити ческих структур на пространствах с действием “большого” тора, решаются некоторые вопросы касательно геометрии комплексных структур в случае их существования.
Объекты, обладающие богатой группой симметрией, на протяжении по следних 30 лет привлекают особенное внимание[1]. Развитию интереса к про странствам с действием торов способствовало появление торической гео метрии — науки об алгебраических многообразиях, допускающих действие алгебраического тора (C* ) с открытой плотной орбитой[2,3]. Наличие боль шой группы симметрий позволяет установить взаимно-однозначное соответ ствие между торическими многообразиями и комбинаторно-геометрическими объектами — веерами. Это соответствие открыло глубокие связи между гео метрическими характеристиками торических многообразий и свойствами соот ветствующих комбинаторных объектов и нашло многочисленные приложения.
Батырев[4] использовал торические многообразия для явного построения пар многообразий Калаби-Яу со свойствами, предписываемыми зеркальной симмет рией. Поммерсхейм[5] доказал формулу для класса Тодда особой торической по верхности и использовал ее для доказательства теоретико-числовых тождеств, связывающих Дедекиндовы суммы. Стенли[6], применив сильную теорему Леф шеца к проективным торическим многообразиям, первым доказал необходи мость неравенств МакМюллена в задаче об -векторах простых многогранни ков.
Возможности торической геометрии, позволяющие доказывать внешние по отношению к алгебраической геометрии результаты при помощи изучения гео метрии и топологии торических многообразий, мотивировали построение более общих пространств с действием тора. Дэвис и Янушкевич[7] определили топо логический аналог проективных торических многообразий — квазиторические многообразия. Эти пространства уже не несут алгебраической структуры, од нако обладают многими важным топологическими свойствами. Бухштабер и Рэй[8,9] ввели на каждом квазиторическом многообразии, снабженном допол [1] Глен Бредон. Введение в теорию компактных групп преобразований. Наука, Москва, 1980.
[2] В. И. Данилов. Геометрия торических многообразий. Успехи метем. наук, 33:85–134, 1978.
[3] J.-L. Brylinski. Eventails et varits toriques. Lecture Notes in Math., 777:247–288, 1980.
ee [4] Viktor Batyrev. Dual polyhedra and mirror symmetry for calabi-yau hypersurfaces in toric varieties. J.
Algebraic Geom., (3):493–535, 1993.
[5] J.E. Pommersheim. Toric varieties, lattice points and dedekind sums. Math. Ann., 295:1–24, 1993.
[6] Richard P. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra, volume 41. Birkhuser, Boston, 1996.
a [7] M. W. Davis and T. Januszkiewicz. Convex polytopes, coxter orbifolds and torus actions. Duke Math. J., 62(2):417–451, 1991.
[8] V. Buchstaber and N. Ray. Flag manifolds and the landweber–novikov algebra. Geom. Topol., 2:79–101, 1998.
[9] Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of нительными комбинаторными данными, каноническую стабильно-комплексную структуру и явно описали способ построения квазиторических образующих в кольце комплексных кобордизмов. Ключевым шагом в создании торической топологии стала работа Бухштабера и Панова[10], в которой была существенно переработана конструкция Дэвиса и Янушкевича и для каждого симплициаль ного комплекса были определены общие момент-угол-комплексы — цен тральный объект новой области исследований. Авторы доказали, что момент угол-комплекс, отвечающий симплициальному многограннику = *, до пускает эквивариантную гладкую структуру и может быть реализован в виде невырожденного пересечения вещественных квадрик в C. При таком описа нии, всякое квазиторическое многообразие над многогранником оказывается пространством орбит свободного действия подтора на пространстве. Этот подход нашел применение в работе Бухшатбера Панова и Рэя[11], в которой авторы использовали теорию аналогичных многогранников для опре деления операции связной суммы на уровне квазиторических многообразий, снабженных стабильно-комплексной структурой, тем самым в каждом классе комплексных кобордизмов был построен связный торический представитель. Ре ализация общих момент-угол-комплексов в виде -степеней привела к появле нию смежной области — гомотопической теории полиэдральных произведений, которая в настоящее время активно развивается. Так, в работах Грбич, Терио и Грбич, Терио, Панова и Ву[12,13] удалось описать явный гомотпический тип момент-угол-комплексов, отвечающих специальным классам симплициальных комплексов.
Со временем выяснилось, что пространства, изучаемые в торической то пологии, зачастую допускают сложные геометрические структуры, сохраняе мые действием тора. Основываясь на реализации момент-угол-многообразий в виде пересечения невырожденных квадрик в C, Миронов и Панов[14,15] по строили новые семейства гамильтоново-минимальных лагранжевых погруже ний в C и в общие симплектические торические многообразиях. Хорошо из вестный результат Дельзана[16] гласит, что все компактные симплектические многообразия с гамильтоновым действием тора половинной размерности реали polytopes. Int. Math. Res. Not., (4):193–219, 2001.
[10] В. М. Бухштабер and Т. Е. Панов. Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра.
Успехи метем. наук, 55(5):825–921, 2000.
[11] V. M. Buchstaber, T. E. Panov, and N. Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds.
Mosc. Math. J., 7(2):219–242, 2007.
[12] Jelena Grbi and Stephen Theriault. The homotopy type of the polyhedral product for shifted complexes.
Advances in Mathematics, 245:690–715, 2013.
[13] Jelena Grbi, Taras Panov, Stephen Theriault, and Jie Wu. The homotopy types of moment-angle complexes fo flag complexes. Preprint, 2013.
[14] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия в торических многообразиях. Успехи метем. наук, 68(2):203–204, 2013.
[15] А. Е. Миронов and Т. Е. Панов. Пересечения квадрик, момент-угол-многообразия и гамильтоново-мини мальные лагранжевы вложения. Функц. анализ и его прил., 47(1):47–61, 2013.
[16] Thomas Delzant. Hamiltoniens priodiques et images convexes de l’application moment. Bulletin de la Socit Math. de France, 116(3):315–339, 1988.
зуются неособыми проективными торическими многообразиями. Оказывается, что, если ослабить условие существования симплектической структуры до усло вия существования инвариантной почти комплексной структуры, квазиториче ские многообразия предоставляют множество новых примеров. Так, в работе Кустарева[17] приведены необходимые и достаточные условия существования на квазиторических многообразиях инвариантной почти комплексной структу ры, эквивалентной данной стабильно комплексной. Благодаря подходу к ква зиторическим многообразиям, развитому в работах Бухштабера и Панова[18], Кустареву удалось дать явный ответ в терминах геометрических и комбина торных данных, задающих многообразие. Естественно возникающий вопрос об интегрируемости этих почти комплексных структур решен в работе Каршон и Исиды[19], где изучаются комплексные структуры на компактных многообрази ях с действием тора половинной размерности, имеющим неподвижную точку.
В этой работе, в частности, доказано, что интегрируемыми оказываются лишь структуры соответствующие компактным торическим многообразиям. Этот ре зультат интересен тем, что, как правило, вопрос об интегрируемости почти ком плексных структур крайне труден (например, до сих пор открыт вопрос о су ществовании комплексной структуры на шестимерной сфере), однако в рамках обширного класса многообразий, предоставляемого торической топологией, он может быть полностью решен.
С построением комплексных структур на многообразиях с действием то ра связана другая серия работ[20,21,22,23], мотивированных вопросами голоморф ной динамики. В этих работах удалось построить комплексные структуры на обширном классе многообразий, заданных невырожденной системой ве щественных квадрик специального вида в C. Построенные примеры явля ются далеко идущими обобщениями классических многообразий Хопфа[24] и Калаби-Экманна[25]. Все многообразия данных семейств за исключением триви альных случаев некэлеровы, и к ним неприменимы большинство методов ком плексной геометрии. Однако, явная конструкция и наличие большой группы [17] А. А. Кустарев. Эквивариантные почти комплексные структуры на квазиторических многообразиях.
Труды МИАН, 266:140–148, 2009.
[18] V. M. Buchstaber and T. E. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics, volume 24. Univ. Lecture Ser., AMS, 2002.
[19] H. Ishida and Y. Karshon. Completely integrable torus actions on complex manifolds with fixed points. to appear in Mathematical Research Letters, 2012.
[20] Santiago Lpez de Medrano and Alberto Verjovsky. A new family of complex, compact, non-symplectic manifolds. Bol. Soc. Mat. Brasil., 28:253–269, 1997.
[21] Jean-Jacques Loeb and Marcel Nicolau. On the complex geometry of a class of non-khlerian manifolds. Israel J. Math., 110:371–379, 1999.
[22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.
Ann., pages 79–115, 2009.
[23] Laurent Meersseman and Alberto Verjovsky. Holomorphic principal bundles over projective toric varieties. J.
Reine Angew. Math., 572:57–96, 2004.
[24] H. Hopf. Zur topologie der komplexen mannigfaltigkeiten. Studies and Essays, Interscience Publishers, Inc., New York, pages 167–185, 1948.
[25] E. Calabi and B. Eckmann. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. Annals of Mathematics, 58:494–500, 1953.
симметрий позволяют получать нетривиальные результаты об их геометрии.
Так, Меерсманн[22] при некоторых ограничениях описал поле мерофорфных функций на этих многообразиях и вычислил универсальное пространство де формаций комплексных структур. Кроме нетривиальной геометрии, многооб разия из работ Меерсманна имеют сложную топологию. Лопез де Медрано[26] явно описал в частном случае их дифференциальный тип и доказал, что они являются связной суммой произведений сфер. Недавно Босио и Меерсманн[27] установили, что все эти многообразия являются момент-угол-комплексами, со ответствующими выпуклым многогранникам, и использовали результаты об их когомологиях для построения компактных комплексных многообразий с пред писанным кручением в когомологиях.
Помимо прочего, торическая топология предоставляет массу примеров для анализа различных гипотез эквивариантной геометрии. Упомянем отдельно классическую гипотезу о торическом ранге, являющуюся до сих пор открытой.
Она была сформулирована Гальпериным[28] для действия торов = ( 1 ).
Сама гипотеза дает нижнюю оценку на ранг кольца когомологий конечномер ного пространства с почти свободным действием тора. Пуппе[29] доказал линейную по оценку на ранг кольца когомологий и, как следствие, устано вил, что гипотеза верна при 3. Частные результаты для различных классов пространств с действием тора приведены в книге Феликса, Опреа и Тома[30].
Цели и задачи диссертационной работы: исследование связи меж ду топологической гипотезой о торическом ранге и алгебраической гипотезой Хоррокса, доказательство оценок на размерности биградуированных компонент когомологий момент-угол-комплексов. Исследование возможности введения на момент-угол-комплексах, не покрываемых результатами Бухштабера и Па нова, гладких и комплексных структур. Построение модели для вычисления когомологий Дольбо главных расслоений со слоем комплексный тор. Изучение геометрии компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, яв ляются новыми и заключаются в следующем:
1) Установлена связь между классической гипотезой Хоррокса о размерно стях модулей Tor 1,..., ] (, Q) и гипотезой Гальперина-Карлссона. Дока зана гипотеза Гальперина-Карлссона для индуцированных действий торов [22] Laurent Meersseman. A new geometric construction of compact complex manifolds in any dimension. Math.
Ann., pages 79–115, 2009.
[26] Santiago Lpez de Medrano. Topology of the intersection of quadrics in. Lecture Notes in Math., 1370:280–292, 1989.
[27] F. Bosio and L. Meersseman. Real quadrics in, complex manifolds and convex polytopes. Acta Math, 197;1:53–127, 2006.
[28] S. Halperin. Rational homotopy and torus actions. London Math. Soc. Lecture Notes, 93:293–306, 1985.
[29] V. Puppe. Multiplicative aspects of the halperin-carlsson conjecture. Georgian Mathematical Journal, 16(2):369–379, 2009.
[30] Y. Flix, J. Oprea, and D. Tanr. Algebraic Models in Geometry. Oxford University Press, 2008.
на момент-угол-комплексах. Доказан градуированный вариант гипо тезы Гальперина-Карлссона для момент-угол-комплексов, и, как след ствие, получены новые неравенства на биградуированные числа Бетти,2 () общих симплициальных комплексов.
2) Доказано, что четномерные момент-угол-комплексы и некоторые их ча стичные факторы, отвечающие полным симплициальным веерам, допуска ют гладкие и комплексно-аналитические структуры. Тем самым описаны все компактные комплексные многообразия, допускающие максимальное действие тора.
3) Введено каноническое голоморфное слоение на компактных комплексных многообразиях с максимальным действием тора. Найдено достаточное условие для существования трансверсально-кэлеровой относительно кано нического слоения формы. Построена конечномерная модель для вычисле ния когомологий Дольбо многообразий, для которых листы канонического слоения компактны и изоморфны друг другу.
4) При дополнительных ограничениях на комбинаторные и геометрические данные, определяющие компактное комплексное многообразие с макси мальным действием тора, описаны все их аналитические подмножества и мероморфные функции.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа носит теоретиче ский характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специали стами в области алгебраической топологии, комплексной дифференциальной геометрии, комбинаторики и торической топологии.
Методы исследования. В работе используются методы эквивариантной топологии, рациональной теории гомотопий (минимальные модели расслоен ных пространств), коммутативной алгебры, теории торических многообразий и дифференциальной комплексной геометрии. Также используется техника спек тральных последовательностей Лере-Серра и Бореля.
Апробация результатов. Содержащиеся в диссертации результаты до кладывались на следующих международных научных конференциях:
1. «Ломоносов 2010», г. Москва, 12-15 апреля 2010 г.;
2. «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвящен ная 120-летию Б.Н. Делоне, г. Москва, 16-20 августа 2010 г.;
3. «Торическая топология и автоморфные функции», г. Хабаровск, 5-10 сен тября 2011 г.;
4. «Toric topology meeting», г. Осака, Япония, 28-30 ноября 2011 г.;
5. «Александровские чтения», г. Москва, 21-25 мая 2012 г.;
6. «Рождественские математические встречи фонда “Династия”», г. Москва, 8-11 января 2013 г.;
7. «Действия торов: топология, геометрия, теория чисел», г. Хабаровск, 2- сентября 2013 г.;
и научно-исследовательских семинарах:
1. «Алгебраическая топология и её приложения» им. М.М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, проф. А.В. Чернавского, проф. И.А. Дынникова, проф. Т.Е. Панова, доц. Л.А. Алания и доц.
Д.В. Миллионщикова, МГУ, март 2011 г.;
2. Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, тополо гия и математическая физика» под руководством академика РАН С.П. Новикова и чл.-корр. РАН В.М. Бухштабера, МИАН, 25 апреля 3. «Комплексные задачи математической физики» под руководством проф.
А.Г. Сергеева и доц. А.В. Домрина, МИАН, 1 апреля 2013 г.;
4. «Петербургский геометрический семинар им. А.Д. Александрова» под ру ководством проф. Ю.Д. Бураго, ПОМИ, 18 апреля 2013 г.;
5. Cеминар лаборатории «Дискретная и вычислительная геометрия» им.
Б.Н. Делоне, ЯрГУ, 13 сентября 2013 г.;
6. «Mathematics and Physics seminar» под руководством проф. T. Пантева, University of Pennsylvania, 5 ноября 2013 г.;
7. «Algebraic Topology Seminar» под руководством проф. T. Бари, Princeton University, 7 ноября 2013 г.;
8. «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством проф.
Э.Б. Винберга, проф. А.Л. Онищика, проф. И.В. Аржанцева и доц.
Д.А. Тимашева, МГУ, 5 марта 2014 г.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в шести печатных работах в рецензируемых научных журналах, список которых приве ден в конце автореферата [1–6]. Из совместной публикации с научным руково дителем Тарасом Евгеньевичем Пановым [3] на защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опублико ванные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации 83 страниц. Библиография включает 72 наименования на 4 стра ницах.
Краткое содержание работы Во введении приведен краткий исторический обзор исследований по то пологии и комплексной геометрии пространств с действием тора, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные результаты рабо ты.
Глава 1 носит вводный характер. В ней определяются комбинаторные, геометрические и топологические понятия, необходимые для дальнейшего из ложения. В разделах 1.1–1.3 даются определения симплициальных комплексов, выпуклых многогранников, конусов и вееров, колец Стенли-Райснера. В разде ле 1.4 приведена классическая конструкция торических многообразий и сфор мулирована фактор-конструкция Кокса-Батырева. В разделе 1.5 определяется общая категорная конструкция -степеней и вводятся момент-угол-комплек сы. Также формулируются хорошо известные результаты о топологии мо мент-угол-комплексов, включая описания колец когомологий и эквивариантных когомологий.
Глава 2 посвящена гипотезе Гальперина-Карлссона, которая дает ниж нюю оценку на ранг кольца когомологий пространства с почти свободным дей ствием тора :
Гипотеза (О торическом ранге). Пусть на конечномерном -комплексе почти свободно действует тор, тогда В разделе 2.1 анализируется связь гипотезы о торическом ранге с алгебра ической гипотезой Хоррокса:
Гипотеза (Гипотеза Хоррокса). Пусть — конечномерный над Q градуиро ванный модуль над кольцом многочленов (), тогда Строится конечномерная модель для вычисления кольца когомологий про странств с действием тора, чье гомотопическое пространство орбит формально.
При помощи этой модели доказывается следующий результат:
Теорема 2.1.7. Предположим, что пространство орбит почти свободного действия группы на конечномерном -комплексе односвязно и фор мально. Тогда слабая гипотеза Хоррокса для (, Q)-модуля (, Q) вле чет гипотезу о торическом ранге для пространства.
Из доказательства Теоремы 2.1.7, в частности следует, что любое частич ное продвижение в гипотезе Хоррокса автоматически влечет продвижение в гипотезе о торическом ранге.
В разделе 2.2 определяется комбинаторная операция удвоения симплици альных комплексов и устанавливается ее связь с операцией -степени. Эта связь используется при доказательстве гипотезы о торическом ранге для мо мент-угол-комплексов.
Теорема 2.2.10. Гипотеза о торическом ранге выполнена для действия под торов в торе, действующем стандартным образом на момент-угол-ком плексах.
Раздел 2.3 мотивирован результатами раздела 2.1, связывающими гипотезу Хоррокса с гипотезой о торическом ранге. В нем определяется биградуировка в когомологиях пространств с действием тора, чье гомотопическое простран ство орбит формально, и формулируется градуированная гипотеза о ториче ском ранге, которая затем доказывается для момент-угол-комплексов. В каче стве приложения этих теорем приводится результат о комбинаторике общих симплициальных комплексов.
Теорема 2.3.2. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда биградуированные числа Бетти 2, () удовлетво ряют следующим неравенствам:
Следствие 2.3.5. Пусть — симплициальный комплекс на множестве [] размерности 1. Тогда В заключительном разделе второй главы, следуя работе Исиды[31], вводит ся понятие максимального действия тора на гладком многообразии.
В главе 3 изучается возможность введения гладких и комплексно-ана литических структур на момент-угол-комплексах и их частичных факторах, приводится конструкция, позволяющая строить все компактные комплексные [31] H. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.
многообразия с максимальным действием тора. В разделе 3.1 даются достаточ ные условия существования гладких и комплексных структур на пространствах Теорема 3.1.6. Момент-угол-комплексы, отвечающие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором век торном пространстве, допускают структуру гладкого многообразия.
Теорема 3.1.12. Момент-угол-комплексы четной размерности, отвечаю щие симплициальным комплексам =, где — полный симплициальный веер в некотором векторном пространстве, допускают структуру ком плексного многообразия.
Также в разделе 3.1 приводится конструкция, позволяющая строить ком плексные структуры на частичных факторах пространств. В разделе 3. с помощью результата работы Исиды[31] доказано, что любое компактное ком плексное многообразий с максимальным действием тора можно получить та ким образом. Построенные многообразия являются обобщениями многообразий Хопфа и Калаби-Экманна.
Теорема 3.1.17 (Фактор-конструкция-III). Рассмотрим симплициальный комплекс на множестве []. Пусть C такая связная комплексная подгруппа Ли, что все пересечения вида (C*, 1), где, тривиальны.
Обозначим через h tC = t t соответствующие алгебры Ли. Рассмотрим : tC t и : t t/(h) — естественные проекции на первое слагаемое и на фактор-пространство, соответственно, — веер в t = R, соответству ющий комплексу.
Предположим, что ограничение проекции взаимно-однозначно. Тогда группа действует на пространстве (), при чем 1. пространство орбит ()/ является комплексным многообразием с естественным действием тора /( ) C /;
2. частичный фактор /( ) момент-угол-комплекса эквивари антно (относительно действия группы /( )) гомеоморфен про Теорема 3.2.3. Всякое компактное комплексное многообразие с макси мальным действием тора может быть получено при помощи конструкции Теоремы 3.1.17.
[31] H. Ishida. Complex manifolds with maximal torus actions. Preprint, 2013.
Глава 4 посвящена изучению комплексной геометрии многообразий с мак симальным действием тора. Каждое такое многообразие может быть реализова но как пространство орбит эффективного действия группы C на ториче ском многообразии. Группа задается своей алгеброй Ли — комплексным подпространством h в алгебре Ли tC = tt тора C, действующего на многооб разии. В разделах 4.1 и 4.2 на многообразиях (, h) вводится каноническое голоморфное слоение и изучается пространство его листов.
Теорема 4.2.1. Предположим, что листы канонического слоения на мно гообразии (, h) замкнуты. Тогда пространство листов слоения есть торическое многообразие (), где () — рациональный веер в пространстве t/(h) с решеткой /( (h)).
В разделе 4.3 строится модель когомологий Дольбо многообразий (, h), на которых листы канонического слоения замкнуты и изоморфны друг другу. В этом случае многообразие (, h) является главным расслоением над полным неособым торическим многообразием:
Теорема 4.3.5. Предположим, что листы канонического слоения на много образии (, h) есть свободные орбиты действия компактного комплексного тора = /( ) комплексной размерности. Тогда имеется главное голоморфное расслоение (, h) (), причем где дифференциал задан на элементах ( ) и продолжен на всю ал гебру по правилу Лейбница: ( ) = C ( ) (() ).
Раздел 4.4 посвящен построению трансверсально-кэлеровых форм на мно гообразиях (, h). Подобные формы являются эффективным инструментом при изучения геометрии некэлеровых многообразий. Приведенная конструкция идейно воспроизводит схему построения проективного вложения торических многообразий, отвечающих выпуклым многогранникам. В качестве иллюстра ции построена трансверсально-кэлерова форма на многообразиях Хопфа.
Теорема 4.4.6. Рассмотрим многообразие (, h). Предположим, что веер () является слабо нормальным. Тогда для любого N на многообразии (, h) существует форма класса гладкости, являющаяся трансвер сально-кэлеровой относительно канонического слоения на открытой плот ной C /-орбите.
В разделе 4.5 изучается геометрия “типичных” многообразий (, h), то есть при “общем” выборе подпространства h tC. При помощи канонического слоения и трансверсально-кэлеровой формы, в случае ее существования, доказывается, что типичные многообразия (, h) не допускают непостоянных мероморфных функций и содержат лишь конечное число аналитических под множеств положительной размерности. Таким образом, с этой точки зрения, компактные комплексные многообразия с максимальным действием тора ока зываются близки комплексным торам и поверхностям Хопфа.
Теорема 4.5.9. Предположим, что линейная оболочка веера t совпадает с t. Тогда на многообразии = (, h), снабженном общей комплексной структурой, существуют лишь постоянные мероморфные функции.
Теорема 4.5.10. Для общей комплексной структуры на многообразии (, h) верно, что если веер () слабо нормален, то все аналитиче ские подмножества положительной размерности являются замыканиями C /-орбит.
Список публикаций 1. Устиновский Ю. М. Операция удвоения многогранников и действия тора // Успехи метем. наук. 2009. Т. 64, № 5(389). С. 181–182. arXiv:0909.1050.
2. Устиновский Ю. М. Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплек сов // Матем. заметки. 2011. Т. 90, № 2. С. 300–305. arXiv:0909.1053.
3. Panov T., Ustinovsky Y. Complex-analytic structures on moment-angle mani folds // Mosc. Math. J. 2012. Vol. 12, no. 1. P. 149–172. arXiv:1008.4764.
4. Устиновский Ю. М. О почти свободных действиях тора и гипотезе Хоррок са // Дальневост. матем. журн. 2012. Т. 12, № 1. С. 98–107. arXiv:1203.3685.
5. Устиновский Ю. М. Геометрия компактных комплексных многообразий с максимальным действием тора // Труды МИАН. 2014. Т. 3.
6. Устиновский Ю. М. О моделях колец когомологий пространств с действием тора // Успехи метем. наук. 2014. Т. 69, № 4(418).
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему: Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН