Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Поволжский государственный университет

телекоммуникаций и информатики»

На правах рукописи

Табаков Дмитрий Петрович

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ

СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

КОЛЬЦЕВЫХ И СПИРАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Специальность – 01.04.03 – Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САМАРА – 2009 -1

Работа выполнена на кафедре основ конструирования и технологий радиотехнических систем государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(ПГУТИ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Вячеслав Александрович Неганов

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Леонид Иванович Пономарев заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Сергей Борисович Раевский

Ведущая организация:

ФГУП ГНП РКЦ «ЦСКБ-Прогресс», г. Самара

Защита состоится «»_2009 г. в _ часов на заседании диссертационного совета Д219.003.01 в Поволжском государственном университете телекоммуникаций и информатики по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГУТИ.

Автореферат разослан «_»2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д219.003.01, доктор физико-математических наук О.В. Осипов

-2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении вопросов электромагнитной совместимости особый интерес представляет структура поля в ближней зоне антенны, однако при анализе ближних полей могут возникнуть трудности, связанные с измерениями – любой датчик искажает картину поля, так как сам становится источником излучения и начинает взаимодействовать с излучающей структурой. Расчет и синтез антенн, а также ряд других задач можно решить с помощью математического моделирования (ММ) на ЭВМ.

В настоящее время многие электродинамические задачи решаются в некорректной постановке [Л1]. Наиболее характерным примером является использование тонкопроволочного приближения при построении физической модели тонкого электрического вибратора, приводящего к уравнениям Поклингтона и Халлена. Некорректно построенная физическая модель порождает целый ряд проблем:

– необходимость математической регуляризации решения [Л1];

– возможное отсутствие устойчивости решения;

– возникновение явления относительной сходимости [Л1], которое может привести к заведомо неверным физическим результатам;

– отсутствие предельного перехода от электромагнитного поля (ЭМП) на антенне (поверхностного тока) к ЭМП в окружающем ее пространстве.

Последнее обстоятельство необходимо принципиально учитывать при анализе ближнего поля – разрыв между током на антенне и ЭМП также может привести к неверным результатам.

До середины 90-х годов на практике при анализе антенных решеток и вообще проволочных антенн, в основном, применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении [Л2,3]. В [Л4] был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродифференциального оператора. Однако использование этих функций сильно усложняет алгоритм численного решения.

В [Л5] был развит новый метод, основанный на применении математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений (СИУ) [Л6]. Решение СИУ, как известно, является математически корректной по Адамару задачей, и при таком подходе некорректностей, приводящих к разрывам ЭМП и неустойчивым вычислительным алгоритмам, в задачах практически не возникает.

Поскольку причины (физическая модель, некорректные математические выкладки, отсутствие предельного перехода), приводящие к -3некорректным задачам электродинамики, прежде всего связаны с физическими особенностями задачи, процедура регуляризации таких задач с применением СИУ по терминологии В.А. Неганова представляет собой метод физической регуляризации (МФР) [Л1]. В отличие от него метод регуляризации Тихонова А.Н. интегральных уравнений Фредгольма первого рода [Л7] назван методом математической регуляризации.

Из последних работ следует отметить [Л8]. В ней описан вывод СИУ тонкого криволинейного вибратора и приведен алгоритм его решения. Рассмотрены вопросы определения входного сопротивления и возбуждения такой антенны. Однако в качестве примера приведен численный расчет только прямолинейного полуволнового вибратора.

Анализ вопроса позволяет сделать вывод, что наиболее распространенные методы электродинамического анализа рассматриваемых антенн имеют ряд недостатков.

Основной недостаток – разделение внутренней и внешней электродинамической задачи. Зачастую внешняя задача решается лишь в предположениях о распределении тока, основанных на физике происходящих в антенне процессов, внутренняя задача просто игнорируется.

Расчет характеристик вибраторных и кольцевых антенн проводится в предположении синусоидального распределения тока, для спиральных антенн ток принимают в виде бегущей волны, экспоненциально затухающей при распространении к свободному концу спирали.

Данный подход является несамосогласованным, т.к. отсутствует непрерывный переход от поля в ближней зоне к полю (току) на поверхности излучения антенны, и не позволяет решить ряд важных вопросов электромагнитной экологии и электромагнитной совместимости радиотехнических систем.

Использование тонкопроволочного приближения сводит задачу анализа антенн к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Решение таких интегральных уравнений представляет собой некорректно поставленную задачу [Л1].

Что касается спиральных антенн (СА), то часто при анализе спираль заменяют решеткой, состоящей из кольцевых элементов [Л9], анизотропно-проводящей моделью, а также переносят результаты, полученные для регулярной спиральной линии бесконечной длины на СА конечной длины и нерегулярные СА с помощью принципа локальной эквивалентности [Л10]. Результаты такого подхода носят скорее качественный, а не количественный характер. Значительная часть характеристик СА определяется экспериментальным путем.

моделей излучающих структур представляется весьма актуальной задачей.

Цель работы - электродинамический анализ излучающих структур: решение внутренних и внешних задач для криволинейного вибратора, плоской кольцевой антенны, цилиндрической и плоской спиральных антенн с помощью сингулярных интегральных уравнений.

Основные задачи

работы:

– внутренний и внешний электродинамический анализ криволинейного вибратора, конформно расположенного на воображаемой цилиндрической поверхности;

– решение внутренней задачи анализа плоской кольцевой (рамочной) антенны с учетом поперечного распределения продольной составляющей вектора поверхностной плотности тока;

– определение входного сопротивления плоской кольцевой (рамочной) антенны для различных электрических длин кольца и различной ширины токопроводящей полоски;

– решение внутренней и внешней задач анализа цилиндрической спиральной антенны с постоянным шагом намотки;

– решение внутренней задачи анализа плоской однозаходной спиральной антенны с постоянным шагом намотки.

Методы исследований. Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ.

Научная новизна работы состоит в применении самосогласованных моделей для электродинамического анализа излучающих структур и разработке строгой теории спиральных антенн. В рамках диссертации решены следующие задачи:

– получено СИУ криволинейного полоскового вибратора, конформно расположенного на воображаемой цилиндрической поверхности, записанное относительно поверхностной плотности тока и его первой производной;

– разработан алгоритм, представляющий собой решение внутренней задачи (определение распределения поверхностной плотности помощью СИУ, и внешней задачи (расчет ЭМП) излучения антенны с использованием результатов решения внутренней задачи;

– из СИУ выведено простое аналитическое выражение для определения входного сопротивления плоской кольцевой антенны;

– показано, что при электрической длине кольца, кратной длине волны, возникает поперечный резонанс поверхностной плотности тока;

– разработан алгоритм, представляющий собой решение внутренней задачи для цилиндрической спиральной антенны с помощью гиперсингулярного интегрального уравнения, и внешней задачи излучения антенны с использованием результатов решения внутренней задачи;

– разработан алгоритм, представляющий собой решение внутренней задачи для плоской однозаходной спиральной антенны с помощью гиперсингулярного интегрального уравнения;

– установлены режимы распределения тока по плоской и цилиндрической спиральной антенне при различных соотношениях геометрических параметров.

Обоснованность и достоверность. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов.

Практическая ценность работы. В работе рассмотрены внутренние и внешние задачи электродинамического анализа для четырех физических моделей антенн: криволинейного полоскового вибратора, плоской кольцевой антенны, цилиндрической спиральной антенны с линейным шагом намотки и плоской однозаходной спиральной антенны с линейным шагом намотки. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое теоретическое, методическое и практическое значение, связанное с вопросами расчета и практического применения рассмотренных типов антенн.

Методы расчета, разработанные в диссертации, можно обобщить на случай многих антенн того же типа, в частности, конических антенн, -6нерегулярных спиральных антенн, спиральных антенн, расположенных на различных телах вращения, а также на случай более сложных антенных систем, например фазированных антенных решеток и т.д.

Разработанные математически обоснованные электродинамические модели структур могут быть также использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

С помощью моделей спиральных антенн можно построить строгую самосогласованную теорию киральных структур, опираясь на уравнения Максвелла, а не на феноменологические уравнения [Л11], оперирующие параметром киральности.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Самосогласованные алгоритмы решения внутренней и внешней задач для криволинейного полоскового вибратора, плоской кольцевой антенны, однозаходной цилиндрической спиральной антенны с линейным шагом намотки; самосогласованный алгоритм решения внутренней задачи для однозаходной плоской спиральной антенны.

2. Самосогласованные математические модели криволинейного полоскового вибратора, плоской кольцевой антенны, однозаходной цилиндрической спиральной антенны с линейным шагом намотки и однозаходной плоской спиральной антенны, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ.

3. Поперечный резонанс поверхностной плотности тока плоской кольцевой антенны при электрической длине кольца, кратной длине излучаемой волны 4. Аналитическое выражение для определения входного сопротивления плоской кольцевой антенны.

5. Численные результаты анализа излучающих структур: комплексные и амплитудные распределения тока по структурам, результаты расчета входного сопротивления плоской кольцевой антенны в зависимости от ее геометрических размеров, диаграммы направленности.

Личный вклад автора. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задач и определение направлений ведения исследований. Подробное проведение рассуждений, доказательств и расчетов принадлежит диссертанту.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях:

– IV Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». – Нижний Новгород, сентябрь 2005;

– Часть I: общественные, естественные и технические науки. – Самара 2006;

– V Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». – Самара, сентябрь 2006;

– VI Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». – Казань, сентябрь 2007;

– VII Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов». – Самара, сентябрь 2008;

– Международная конференция по математической физике и ее приложениям, сентябрь 2008;

– VI Международная научно-техническая конференция «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций, Казань, ноябрь 2008.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 19 работ, в том числе 10 статей в журналах, включенных в перечень ВАК. Материалы диссертации также вошли в [Л12].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 98 наименований, приложения, и содержит 79 страниц текста, в том числе 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе диссертации для узкого криволинейного полоскового вибратора (КПВ) решена внутренняя и внешняя электродинамическая задача. Под криволинейным полосковым вибратором (КПВ) понимается металлическая полоска шириной 2l и угловой длиной 2, расположенная на цилиндрической поверхности = a (рис.1). Под действием вектора стороннего электрического поля E ст, приложенного к зазору угловой шириной 2 з, на поверхности антенны возникает вектор поверхностной плотности тока (, z ).