Б А К А Л А В Р И А Т

Методы

оптиМальных

решений

в эконоМике

и финансах

Под редакцией В.М.Гончаренко и В.Ю.Попова

Рекомендовано ФГБОУ ВПО 

«Государственный университет управления» 

в качестве учебникадля студентов вузов, 

обучающихся по направлениям подготовки 080100 «Экономика» 

и 010400 «Прикладная математика и информатика» 

(квалификация (степень) «бакалавр»)

Регистрационный номер рецензии № 133 от 09.04.2012 ФГАУ «ФИРО»

Второе издание, стереотипное КНОРУС• МОСКВА • 2014 УДК 33/.336(075.8) ББК 65.290я73 М54 Рецензенты:

А. А. Курушин, генеральный директор ООО «Инвестиционная компания "Центр развития фондовых технологий"», канд. экон. наук, С. В. Мхитарян, проф. кафедры маркетинга и коммерции МЭСИ, д-р экон. наук, В. А. Попов, доц. кафедры «Прикладная математика» Финансового университета при Правительстве РФ, канд. физ.-мат. наук, И. А. Соловьев, заведующий кафедрой высшей математики и физики ФГОУ ВПО «Государственный университет по землеустройству», д-р физ.-мат. наук, проф.

Авторы: И. А. Александрова, В. М. Гончаренко, И. Е. Денежкина, В. В. Киселев, Д. С. Набатова, В. Ю. Попов, И. Г. Шандра, А. Б. Шаповал Методы оптимальных решений в экономике и финансах : учебник / М54 коллектив авторов ; под ред. В.М. Гончаренко, В.Ю. Попова. — 2-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2014. — 400 с. — (Бакалавриат).

ISBN 978-5-406-03622- Излагаются основные методы оптимизации, которые применяются при решении прикладных экономических задач. Последовательно рассмотрены линейные модели в экономике, основы линейного программирования и теории двойственности, их применение при решении различных типов транспортных задач; математические методы решения задач нелинейного программирования и их применение в теории производства и потребления, методы решения задач многокритериальной оптимизации и динамического программирования, основы теории игр и ее применение при решении задач пространственной экономики.

Особое внимание уделено численным методам, необходимым для исследования полученных математических моделей.

Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения.

Для студентов, обучающихся по направлениям «Экономика», «Прикладная математика и информатика» и другим направлениям подготовки бакалавров, а также для магистрантов, аспирантов, слушателей послевузовского образования и преподавателей.

УДК 33/.336(075.8) ББК 65.290я МетоДы оПтИМАльных РешенИй В эКоноМИКе И фИнАнСАх Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16509 от 18.06.2013.

Изд. № 7318. Подписано в печать 26.11.2013.

Формат 6090/16. Гарнитура «NewtonC». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 25,0. Уч.-изд. л. 12,35. Тираж 1000 экз. Заказ № ООО «КноРус».

127015, Москва, ул. Новодмитровская, д. 5а, стр. 1.

Тел.: 8-495-741-46-28.

E-mail: [email protected] http://www.knorus.ru Отпечатано в филиале «Чеховский Печатный Двор»

ОАО «Первая Образцовая типография».

142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1.

© Коллектив авторов, ISBN 978-5-406-03622-8 © ООО «КноРус», Оглавление Предисловие...................................... Глава 1. Введение в численные методы линейной алгебры......... 1.1. Элементы машинной арифметики................... 1.1.1. Представление чисел в памяти вычислительного устройства.............................. 1.1.2. Процесс округления........................ 1.1.3. Погрешности вычислений.................... 1.1.4. Параметры машинной арифметики............... 1.2. Решение систем линейных уравнений................. 1.2.1. Метод Гаусса............................ 1.2.2. Итерационные методы...................... 1.2.3. Обусловленность задач линейной алгебры........... Контрольные вопросы и упражнения.................... Глава 2. неотрицательные матрицы и линейные экономические модели.................................... 2.1. Собственные векторы и собственные значения неотрицательных матриц......................... 2.1.1. Собственные значения и собственные векторы матрицы.. Глава 3. линейное программирование..................... 3.3. Каноническая и стандартная формы задачи линейного •Оглавление Глава 4. Взаимно двойственные задачи..................... Глава 5. Задачи целочисленого программирования............ Глава 6. транспортная задача.......................... 6.4.5. Алгоритм решения транспортной задачи методом 6.7. Определение оптимального плана транспортных задач Глава 7. Выпуклые функции и теорема Куна — таккера......... 7.4. Применение теоремы Куна — Таккера для решения задач Глава 8. Математическая теория потребления............... Глава 9. Математическая теория производства.............. 9.1. Пространство ресурсов и производственная функция....... •Оглавление 9.1.1. Определение производственной функции.......... 9.1.2. Экономико-математические характеристики 9.1.3. Неоклассическая производственная функция........ 9.2. Оптимизационная задача производителя.............. 9.2.1. Оптимальный производственный план............ 9.2.2. Рентабельность производственного плана.......... 9.3. Функция предложения и функции спроса на ресурсы....... 9.3.1. Однородность функций предложения и спроса....... 9.3.2. Свойства функций предложения и спроса.......... 9.4. Сопряженная производственная функция и двойственная задача 9.4.1. Сопряженная производственная функция.......... 9.4.2. Двойственные задачи теории производства......... Контрольные вопросы и упражнения................... Глава 10. Численные методы решения систем нелинейных 10.2.1. Метод Ньютона для решения систем нелинейных 10.2.2. Итерационные методы для решения систем 10.2.3. Завершение процесса расчета при решении Глава 11. Методы решения задач многокритериальной 11.1. Многокритериальные задачи в экономике............. 11.2. Построение недоминируемых решений............... Глава 12. Динамическое программирование................. 12.2. Рекуррентное соотношение...................... Контрольные вопросы и упражнения................... Глава 13. элементы теории игр......................... 13.6. Приложения теории игр к задачам пространственной Глава 14. Численные методы оптимизации................. 14.1.3. Методы одномерной оптимизации, использующие 14.2. Методы безусловной оптимизации функций многих •Оглавление Целью решения многих практических задач является получение конкретного результата в виде числа или набора чисел. Это возможно, если задача сформулирована на языке математики. Крупнейшие ученые посвящали свои труды математическому описанию явлений и его исследованию. Позже этот процесс был назван математическим моделированием. При появлении новых моделей требовалось разрабатывать новые методы решения соответствующих математических задач.

Часто решение задачи в общем виде было невозможно, поэтому разрабатывались методы, позволяющие найти конкретное решение, применимое на практике. Многие из этих методов были названы именами своих великих создателей — Эйлера, Ньютона, Гаусса.

Первые математические модели в экономике были созданы Ф. Кене («Экономическая таблица», 1758 г.), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (модель международной торговли) и носили описательный характер. В XIX веке математическому моделированию рыночной экономики посвятили свои работы В. Парето, Ф. Эджвот, О. Курно, Л. Вальрас и др. В XX веке возникли новые возможности для моделирования, обусловленные появлением и развитием вычислительной техники и соответствующих разделов прикладной математики. Многие работы, удостоенные Нобелевской премии в области экономических наук, связаны с использованием математических моделей (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон). Перед моделями ставится задача уже не только описания и выявления закономерностей изучаемого объекта, но и предсказания его поведения при изменении некоторых параметров, а также принятия решений о дальнейших действиях. Традиционная опора только на интуицию и опыт отдельных людей при принятии экономических решений становится практически неприемлемой в силу невозможности оценить всю совокупность существенных факторов. В модели все они оцениваются количественно, что делает прогноз или оценку более обоснованными. Использование математических моделей в экономике позволяет формально описать наиболее существенные связи между переменными, определяющими явление или процесс. Количество этих переменных и связей и детальность их описания определяется как желаемой степенью адекватности модели, так и возможностями разработчика и пользователя. Поэтому любая математическая модель упрощенно описывает процесс, т.е. является неполной. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на товар зависит от цены и уровня доходов потребителя. Но кроме этого спрос могут определять такие факторы, как традиции региона, мода, реклама •ПредислОвие и др. Примерами экономических математических моделей являются модели фирмы, экономического роста, рекламы, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие.

Итак, модель — это упрощенное описание (или непосредственное создание) некоторого подобия исследуемого объекта, выявляющего только существенные для поставленной задачи черты. Если это описание производится на формальном языке математики, то модель является математической. Облик модели определяется целью ее создания.

Эти цели могут быть следующие:

1) непосредственное использование модели (например, игрушки, манекена, модели самолета);

2) описание объекта — выявление закономерностей, статистика, прогнозирование, идентификация и т.д.;

3) управление объектом — получение требуемых характеристик на выходе модели путем подачи нужных сигналов на ее вход;

4) создание (проектирование) объекта;

5) принятие решений.

Конец XX века характеризуется бурным развитием вычислительной техники, что вызывает активную разработку соответствующих численных методов. В настоящее время численные методы (численный анализ) являются одним из важнейших разделов математики, без изучения которого образование современного специалиста является неполным.

Кроме того, применение математического моделирования в одной области позволяет использовать достижения математики, полученные в другой области науки. Поэтому, если при создании модели получаются уравнения, для которых уже разработаны методы решения, можно их использовать, абстрагируясь от смысла модели. Это свойство математических моделей является очень удобным. Уже накоплен большой опыт решения задач в области, например, технических наук, где разработано и отлажено соответствующее математическое обеспечение. И все это богатство может быть использовано при решении экономических задач, описываемых усложняющимися математическими моделями. Следует отметить, что математическое моделирование — это не только введение переменных и написание математических соотношений. Это достаточно сложный процесс, возможно, многократно повторяющийся, требующий учета множества факторов, относящихся не только к самой модели. Примерная схема математического моделирования приведена на рис. 1.

Классическим средством изучения математических моделей и исследования на этой основе реальных процессов и явлений служат аналитические методы, позволяющие получить точные решения в виде математических формул. Они позволяют решить задачу в общем виде и получить полную информацию о поведении объекта. Однако класс задач, для которых они могут быть использованы, весьма ограничен.

Во-первых, далеко не всегда полученная математическая модель содержит функции, удовлетворяющие требованиям непрерывности, достаточной гладкости и т.п., без выполнения которых аналитического решения может не получиться. Во-вторых, не все задачи имеют решение. Например, вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла часто сводится к необходимости вычисления «неберущегося» интеграла. В-третьих, не все исходные данные могут быть представлены в виде аналитического выражения. Кроме того, при решении практических задач далеко не всегда необходимо искать общее решение или все возможные решения. Во всех таких случаях применяются численные методы. Наука, изучающая численные методы, называется численным анализом или вычислительной математикой.

Оценка имеющегося ресурса (вычислительной техники, персонала, временного диапазона, уровня финансирования) 8. Подготовка данных для моделирования и их обработка Рис. 1. Этапы математического моделирования •ПредислОвие Численные методы в отличие от аналитических позволяют получить не общее, а частное решение задачи либо решить задачу не в бесконечномерном, а в некотором конечномерном пространстве. При этом необходимо выполнить достаточно большое количество арифметических и логических операций, используя большие массивы данных. Получив решение, требуется оценить, насколько оно адекватно поставленной задаче, какова область его применимости. Все это выполняется с помощью математического обеспечения, разрабатываемого для компьютеров. Изучение численных методов необходимо современному специалисту как для разработки новых алгоритмов, так и для выбора из множества существующих наиболее подходящего.

Данная книга написана на основании многолетнего опыта преподавания дисциплины «Методы оптимальных решений» студентам экономических направлений подготовки бакалавров, а также дисциплин «Исследование операций», «Методы оптимизации» и «Численные методы» студентам, обучающимся по направлению «Прикладная математика и информатика» Финансового университета при Правительстве РФ.

Книга, с одной стороны, позволяет получить базовые знания по методам оптимизации, применяемым в экономике и финансах, а с другой, дает необходимые навыки для решения практических задач, реально возникающих в экономике.

Главы 1, 6 (параграф 6.9), 10, 14 — И. Е. Денежкина.

Главы 2, 8 и 9 — И. Г. Шандра.

Глава 3 (параграфы 3.1—3.6) — И. А. Александрова.

Главы 3 (параграфы 3.7—3.9), 4, 5 (параграфы 5.1, 5.2) — В. М. Гончаренко.

Главы 5 (параграф 5.3), 6 (параграфы 6.1—6.8) — В. Ю. Попов.

Главы 7, 11 и 12 — В. В. Киселев.

Глава 13 (параграфы 13.1—13.4) — Д. С. Набатова.

Глава 13 (параграфы 13.5—13.6) — А. Б. Шаповал.