МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет _механико-математический

(наименование)

Кафедра _математического моделирования в механике

(наименование)

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «»_ 2010 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Вариационное исчисление и методы оптимизации Профессионально-образовательная программа специальности 010700 Фундаментальная математика и механика цикл С2. «Математический и естественнонаучный», базовая часть Профиль подготовки Теоретическая и прикладная механика Квалификация (степень) выпускника специалист Форма обучения очная Курс 4 семестр Самара Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления (специальности) 010700 фундаментальная математика и механика, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации № от 2009 г.

Зарегистрировано в Минюст России 2010 г. № Составитель рабочей программы:

Федечев А.Ф. к.ф.-м.н., доцент кафедры математического моделирования в механике Рецензент:

Кожевников Е.Н. д.ф.-м.н, профессор кафедры математического моделирования в механике _ 2010 г. Е.Н.Кожевников Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «» _ 2010 г.) Заведующий кафедрой _ 2010 г. Н.И.Клюев

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета _ 2010 г. Е.Я.Горелова Декан Факультета _ 2010 г. С.Я.Новиков Начальник методического отдела _ 2010 г. _Н.В. Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины.

Цель дисциплины : Изучение вариационного исчисления и методов оптимизации, как одной из физико-математических дисциплин, играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным механическим направлениям.

Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных естественно-научных и технических задач, в которых требуется выбор оптимальных параметров построенных разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам.

Задачи дисциплины:

овладение основными методами математического моделирования техникоэкономических задач;

выработка умения самостоятельного математического анализа техникоэкономических задач;

развитие логического и алгоритмического мышления.

1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

- основные положения и методы научного познания при решении профессиональных задач;

основные методы математического моделирования;

основные методы вариационного исчисления и теории оптимизации, а также вопрсы реализации соответствующих алгоритмов с помощью ЭВМ;

математические методы простейших систем в естествознании и технике.

уметь:

употреблять математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов;

использовать основные понятия, методы и модели предыдущего раздела;

проводить необходимые расчеты в рамках построения моделей;

исследовать модели с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов.

быть способным:

- разрабатывать математические модели физических явлений окружающего мира;

- использовать практические навыки в решении задач оптимизации.

- получать количественные характеристики оптимизируемых ситстем;

владеть компетенциями:

Код Наименование результата обучения компетенции ОК – 6 Способность применять знания на практике ОК - 12 Навыки работы с компьютером ПК – 3 Умение формулировать результат ПК - 4 Умение строго доказать утверждение ПК - 7 Умение грамотно пользоваться языком предметной области ПК - 8 Умение ориентироваться в постановках задач ПК - 16 Выделение главных смысловых аспектов в доказательствах ПК - 17 Умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети интернет и т.п.

ПК - 21 Владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач ОК - 6 Способность применять знания на практике ПК – 19 Владение методом алгоритмического моделирования при анализе ПК – 29 Возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования ПК - 36 Умение видеть связи между различными дисциплинами 1.3. Место дисциплины в структуре ООП Изучение дисциплины «Вариационное исчисление и методы оптимизации»

основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении курсов «Дифференциальные уравнения», «Математический анализ», Функциональный анализ»

и «Уравнения математической физики» Студенты должны владеть основами векторного и тензорного анализа, уметь дифференцировать и интегрировать.

2. Содержание дисциплины 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы Семестр – 7 вид отчетности –7сем.- экзамен Трудоемкость изучения дисциплины Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) в том числе:

лекции практические занятия Самостоятельная работа студента (всего) в том числе:

Подготовка к практическим занятиям Самостоятельное изучение тем Получения индивидуальных консультаций преподавателя Подготовка и сдача экзамена 2.2. Разделы дисциплины и виды занятий программирования.

подвижными концами 2.2. Тематический план учебной дисциплины Наименование разделов Содержание учебного материала, лабораторные Одномерная оптимизация безусловные методы 2 Одномерные методы условной и безусловной программирования.

Обоснование методов решения задач линейного программирования Многомерная безусловная Необходимые и первого и второго порядка. Достаточное условие достаточные условия локальной оптимальности. Метод сопряженных локальной оптимальности. градиентов.

Методы условной оптимизации.

Методы исследования экстремум. Метод возможных направлений.

функций на условный Простейшие вариационные Необходимые условия 1 Постановка простейшей вариационной задачи и экстремума простейшей вывод необходимых условий экстремума.

вариационной задачи 2 Вариационная задача для функционалов, Вариационные задачи с подвижными Вывод условий отражение и преломление экстремалей.

трансверсальности и Вариационная задача на условный экстремум Больца.

Достаточные условия Достаточные условия для 2 Необходимое условие Якоби. Сопряженные точки. сильного и слабого экстремумов.

Прямые методы вариационного исчисления Метод Ритца. Метод * В таблице уровень усвоения учебного материала обозначен цифрами:

1. – репродуктивный (освоение знаний, выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством);

2. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач; применение умений в новых условиях);

3. – творческий (самостоятельное проектирование экспериментальной деятельности; оценка и самооценка инновационной деятельности).

2.3. Содержание учебного курса 2.3. Лекционный курс ВВЕДЕНИЕ. Предмет вариационного исчисления и методов оптимизации. Краткая история развития. Основные понятия. Некоторые простые примеры.

РАЗДЕЛ 1. ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ.

Основные понятия и определения. Классификация экстремумов. Безусловная и условная минимизация. Локальный и глобальный экстремумы. Унимодальные функции.

Примеры. Методы нулевого, первого и второго порядков.

Аналитический метод условной и безусловной оптимизации. Метод локализации экстремума. Метод деления отрезка пополам. Метод золотого сечения. Метод полиномиальной аппроксимации. Выпуклые функции. Метод касательных. Метод Ньютона. Поиск глобального экстремума.

РАЗДЕЛ 2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Постановки задач линейного программирования (основная, стандартная, каноническая). Их эквивалентность. Геометрический метод. Двойственная задача. Связь с прямой задачей. Понятие симплекса. Опорные точки. Допустимые множества. Выпуклые множества. Базис опорной точки. Теория двойственности. Вырожденные задачи линейного программирования. Понятие симплекс-метода. Выбор ведущего элемента.

Поиск начальной опорной точки. Метод искусственного базиса. Симплекс-таблицы.

Модификации симплекс-метода. Двойственный симплекс-метод. Целочисленные задачи линейного программирования. Метод отсечений. Метод Гомори. Задачи транспортного типа.

РАЗДЕЛ 3. МНОГОМЕРНАЯ БЕЗУСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ.

Необходимое условие локальной оптимальности первого порядка. Стационарные точки. Критерий Сильверста. Необходимое условие оптимальности второго порядка.

Достаточное условие локальной оптимальности. Метод градиентного спуска. Метод наискорейшего спуска. Метод сопряженных градиентов.

РАЗДЕЛ 4. МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

Классический метод исследования дифференцируемых функций на условный экстремум. Метод возможных направлений. Теорема Куна-Таккера. Метод проекции.

Метод штрафных и барьерных функций.

РАЗДЕЛ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.

Общие замечания. Постановка простейшей вариационной задачи и вывод необходимых условий экстремума. Преобразование первой вариации по Лагранжу.

Преобразование первой вариации по методу Дюбуа-Реймона. Регулярные экстремали.

Экстремали сингулярной вариационной залачи. Случаи упрощения уравнения Эйлера.

Вариационная задача для функционалов, зависящих от нескольких аргументов.

Канонические уравнения в вариационном исчислении. Вариационная задача для функционалов, содержащих высшие производные. Вариационные задачи для функционалов, являющихся кратными интегралами. Понятие об обратной задаче вариационного исчисления. Вариационные задачи в параметрической форме. Функционал как функция ориентированной линии. Аналитические свойства функции Ф. Связь простейших вариационных задач в параметрической и непараметрической форме.

Необходимые условия слабого экстремума. Уравнения Эйлера в форме Вейерштрасса.

Некоторые замечания о многомерных вариационных задачах в параметрической форме.

РАЗДЕЛ 6. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ.

Постановка задачи с подвижными концами. Вывод условий трансверсальности.

Геометрическая интерпретация условий трансверсальности. Кусочно-гладкие экстремали.

Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Вариационные задачи на отражение и преломление экстремалей.

РАЗДЕЛ 7. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ.

Изопериметрические задачи. Простейшая задача Лагранжа. Обобщение простейшей задачи Лагранжа. Понятие об общей задаче Лагранжа. Задачи Майера и Больца.

РАЗДЕЛ 8. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА.

Поле экстремалей. Уравнение трансверсали. Интеграл Гильберта. Равенство Кнезера.

Основные свойства интеграла Гильберта. Вмещение экстремали в поле экстремалей.

Достаточные условия для сильного экстремума. Функция Вейерштрасса. Необходимое условие Якоби. Сопряженные точки. Уравнение Якоби. Достаточные условия слабого экстремума. Условие Лежандра.

РАЗДЕЛ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Метод Ритца. Метод Канторовича. Метод Трефтца.

3.Организация входного, текущего и промежуточного контроля обучения 3.1. Организация контроля:

Опрос на 1-ом практическом занятии;

Текущий контроль – использование балльно-рейтинговой системы;

Промежуточная аттестация выставляется на основании контрольных работ в конце 3.2. Курсовая работа Курсовая работа по курсу не предусмотрена.

3.4. Балльно-рейтинговая система Максимальная сумма баллов, набираемая студентом по дисциплине «Вариационное исчисление и методы оптимизации», закрываемой семестровой (итоговой) аттестацией, равна 100.

На основе набранных баллов, успеваемость студентов в семестре определяется следующими оценками: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно».

- «Отлично» – от 86 до 100 баллов – теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.

- «Хорошо» – от 74 до 85 баллов – теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено минимальным числом баллов, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.

- «Удовлетворительно» – от 61 до 73 баллов – теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки.

- «Неудовлетворительно» – 60 и менее баллов - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к существенному повышению качества выполнения учебных заданий.

Баллы, характеризующие успеваемость студента по дисциплине, набираются им в течение всего периода обучения за изучение отдельных тем и выполнение отдельных видов работ.

Распределение баллов, составляющих основу оценки работы студента по изучению дисциплины «Вариационное исчисление и методы оптимизации» в течение 36 недель семестра:

1. Посещение занятий (1,5 балл в неделю) до 27 баллов 3. Выполнение домашних заданий по дисциплине в до 24 баллов течение семестра Участие в студенческой научной конференции 4. Сведения о материально-техническом обеспечении дисциплины Оборудование по курсу не предусмотрено.

5. Литература 5.1. Основная 1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: 2002.

2. Карманов В.Г. Математическое программирование.М.:Наука, 2008. (гриф.

Минобразования; 18 экземпляров) 3. АттетковА.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. – М.: МГТУ им.

Баумана, 2001. (гриф. Минобразования; 26 экземпляров) 4. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.:2008.

5. Будылин А.М. Вариационное исчисление. СПб.: СПбГУ, 5.2. Дополнительная (не указывать количество экземпляров) 1. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.: ЛГУ, 1980. (гриф. Минобразования; ) 2. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.:, 1955.( гриф. Минобразования;) 3. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.:, 1961.( гриф. Минобразования;) 4. Тетерев А.Г. Методы возможных направлений в математическом программировании. Куйбышев,1980.

5. Тетерев А.Г. Линейные методы оптимизации.Куйбышев, КГУ, 1983.

6. Коваленко А.Г. Элементы выпуклого векторного программирования.

Куйбышев,1990.

5. 3. Учебно-методические материалы по дисциплине 1. Коваленко А.Г., Власова И.А., Федечев А.Ф. Лабораторный практикум по методам оптимизации. Самара: изд-во СГУ, 1998.( 100 экземпляров).

2. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.:

Высшая школа, 2002. (гриф. Минобразования; 13 экземпляров).

3. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в примерах и упражнениях. – М.: Наука. 1991. (гриф. Минобразования; 3 экземпляра).

4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И Вариационное исчисление. М.: Наука, 1973.