МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет механико-математический_

Кафедра математического моделирования в механике_

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Профессиональная образовательная программа направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ цикл Б3 «Профессиональный цикл», базовая часть Профиль подготовки Механика жидкости, газа и плазмы Квалификация (степень) выпускника Магистр Форма обучения Очная Курс 5, семестр Самара Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 21 декабря 2009 г.

№ 771. Зарегистрировано в Минюсте РФ 4 февраля 2010 г. № 16263.

Составитель рабочей программы:

Богатырев С.В., доцент кафедры уравнения математической физики, к. ф.-м. н.

Рецензент:

Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.

«»2010 г. _В.И.Астафьев_ Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «»2010 г.) Заведующий кафедрой «»2010 г. _Н.И.Клюев_

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета «» 2010 г. _ Е.Я.Горелова

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета «» 2010 г. _ _С.Я. Новиков_

СОГЛАСОВАНО

Начальник методического отдела «» 2010 г. _ _Н.В.Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.

1.1. Цели и задачи изучения дисциплины.

Цель дисциплины – рассмотрение набора тем, оказавших значительное влияние на развитие нелинейной математической физики и математики. Каждая тема содержит то, или иное явление, с которым обычно ассоциируется представление о наиболее характерных особенностях проявления нелинейности.

Задачи дисциплины - данный курс направлен на подготовку специалиста, владеющего современными представлениями о закономерностях, присущих нелинейным физическим явлениям, методами построения и исследования нелинейных уравнений, описывающих основные нелинейные процессы, формирование у студента целостного представления о сложных нелинейных процессах и явлениях на основе синергетического подхода и концепции самоорганизации.

1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Иметь представление:

об особенностях, присущих нелинейным системам, о классах нелинейных уравнений, об отличиях нелинейных систем от линейных, о математических методах и моделях, описывающих нелинейные системы, о широкой области применения нелинейных моделей, об общности понятий и представлений, используемых в нелинейной математической физике, их применимости к анализу сложных систем и процессов, взаимосвязи с другими математическими и физическими дисциплинами;

об основных понятиях в теории нелинейных волнах;

о солитонных уравнениях и методе обратной задачи рассеяния.

Знать:

примеры нелинейных систем и явлений и иметь представление об особенностях, отличающих нелинейные системы от линейных;

основные виды нелинейных уравнений, описывающих различные явления:

основные закономерности нелинейного распространения тепла, включая режим с обострением;

Уметь:

выделять в конкретных физических, технических и других проблемах задачи, допускающие формулировку и решение методами нелинейной математической физики.

Быть способным:

к построению нелинейных моделей физических процессов;

к владению математическими методами исследования нелинейных процессов;

к интенсивной научно-исследовательской и научно-изыскательской к самостоятельному исследованию нелинейных процессов;

к собственному видению прикладного аспекта в теоретических результатах теории нелинейных процессов;

к самостоятельному освоению специальной научной литературы по теории нелинейных процессов;

к созданию и исследованию новых математических моделей физических к совершенствованию, углублению и развитию математической теории нелинейных процессов.

Владеть компетенциями:

ОК - 10 Умение находить, анализировать и контекстно обрабатывать информацию, в том числе относящуюся к новым областям знаний, непосредственно не связанным со сферой профессиональной ПК – 1 Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных ПК – 2 Владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе проблем техники и естествознания ПК - 3 Способность к интенсивной научно-исследовательской и научноизыскательской деятельности ПК – 6 Способность к нахождению из определяющих экспериментов материальных функций (функционалов, постоянных) в моделях ПК – 8 Умение публично представлять собственные научные результаты ПК – 10 Способность к собственному видению прикладного аспекта в строгих ПК – 15 Способность различным образом представлять и адаптировать 1.3. Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина «Специальные разделы математической физики» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: уравнения математической физики, дифференциальные уравнения, математический анализ, функциональный анализ, механика сплошных сред, теория упругости, математическая теория пластичности.

2. Содержание дисциплины.

2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Трудоемкость изучения дисциплины 144/ Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) Самостоятельная работа студента (всего) Получение индивидуальных консультаций преподавателя Подготовка к экзамену и сдача экзамена 2.2. Тематический план учебной дисциплины. Специальные разделы математической физики.

Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего Раздел 1. Классы квазилинейных уравнений Тема 1.1. Классификация 1 Нелинейные системы и их модели. Особенности нелинейных квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Раздел 2. Нелинейное теплопроводности.

Тема 2.1. Распространение тепла в нелинейной среде.

Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего Системы типа «реакциядиффузия».

Системы типа «реакцияСистемы типа «реакция-диффузия». Распределенные системы диффузия».

Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего тем занятия, самостоятельная работа обучающихся, курсовая работа зачетных ые технологии компетенции/ контроля устойчивость стационарных состояний в моделях ГирераМайнхарда и брюсселятора».

Нелинейные волны Тема 4.1. 1 Волновые движения и их классы. Гиперболические волны.

Нелинейные волны Волны в среде с дисперсией. Распространение волны в Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего Раздел 5.

Обратная задача рассеяния.

Тема 5.1. 1 Обратная задача рассеяния в квантовой механике.

Обратная задача Задача рассеяния для одномерного уравнения Шредингера.

рассеяния. Непрерывный спектр. Аналитические свойства матрицы Раздел 6. Интегрирование нелинейных уравнений методом обратной задачи.

Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего Тема 6.1. Интегрирование 1 Понятие об (L-A) -паре Лакса для нелинейного уравнения.

нелинейных уравнений Свойства нелинейного уравнения, обладающего (L-A) -парой.

методом обратной Пара Лакса для уравнения Кортевега - де Фриза. Эволюция задачи. данных рассеяния. Схема метода обратной задачи рассеяния Раздел 7.

Введение в теорию солитонов.

Тема 7.1. 1 Безотражательные потенциалы и солитонные решения. Общий Солитонные решения. вид N-солитонного решения уравнения Кортевега - де Фриза.

2.3. Содержание учебного курса.

РАЗДЕЛ I. КЛАССЫ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Тема 1. Классификация линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

1.1. Нелинейные системы и их модели.

1.2. Особенности нелинейных систем. Классификация квазилинейных уравнений.

1.3. Метод приведения квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду.

1.4. Канонический вид квазилинейного уравнения второго порядка.

РАЗДЕЛ II. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

Тема 2. Распространение тепла в нелинейной среде.

2.1. Физические закономерности распространения тепла. Закон Фурье.

2.2. Отклонение от линейного закона теплопроводности.

2.3. Нелинейное уравнение теплопроводности. Задачи с внешней и внутренней нелинейностью.

2.4. Свойства автомодельности. Автомодельные переменные и автомодельные решения нелинейных уравнений. Распространение тепла в среде с фазовым переходом. Задача Стефана о фазовом переходе.

2.5. Распространение теплового возмущения в нелинейной среде. Распространение тепла от мгновенного теплового источника. Автомодельное решение нелинейного уравнения теплопроводности.

2.6. Понятие о тепловой волне. Пространственная локализация теплового возмущения.

2.7. Понятие о режимах с обострением.

РАЗДЕЛ III. СИСТЕМЫ ТИПА "РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ".

Тема 3. Системы типа "реакция-диффузия".

3.1. Распределенные системы с обратной связью. Положительная и отрицательная обратная связь. Понятие об активаторе и ингибиторе.

3.2. Диссипативные структуры и самоорганизация в активных средах.

3.3. Модель двухкомпонентной системы типа "реакция - диффузия", с активатором и ингибитором.

3.4. Стационарное состояние и его устойчивость.

3.5. Критерии устойчивости стационарного состояния в двухкомпонентной системе.

3.6. Обзор известных моделей типа "реакция - диффузия". Модель Гирера-Майнхарда.

Модель "брюсселятор".

РАЗДЕЛ IV. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ.

Тема 4. Нелинейные волны.

4.1. Волновые движения и их классы. Гиперболические волны.

4.2. Волны в среде с дисперсией.

4.3. Распространение волны в нелинейной среде. Эффект опрокидывания фронта.

4.4. Волновое уравнение первого порядка. Решение уравнения методом характеристик.

Понятие об ударной волне. Слабые ударные волны.

РАЗДЕЛ V. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ.

Тема 5. Обратная задача рассеяния.

5.1. Обратная задача рассеяния в квантовой механике. Задача рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Непрерывный спектр.

5.2. Аналитические свойства матрицы переноса.

5.3. Функции Иоста и их свойства.

5.4. Дискретный спектр в задаче рассеяния.

5.5. Понятие о данных рассеяния. Уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко и решение обратной задачи рассеяния. Формула для потенциала.

РАЗДЕЛ VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ.

Тема 6. Интегрирование нелинейных уравнений методом обратной задачи.

6.1. Понятие об (L-A) -паре Лакса для нелинейного уравнения. Свойства нелинейного уравнения, обладающего (L-A) -парой.

6.2. Пара Лакса для уравнения Кортевега - де Фриза. Эволюция данных рассеяния.

6.3. Схема метода обратной задачи рассеяния для интегрирования нелинейного уравнения Кортевега - де Фриза.

РАЗДЕЛ VII. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СОЛИТОНОВ.

Тема 7. Солитонные решения.

7.1. Безотражательные потенциалы и солитонные решения.

7.2. Общий вид N-солитонного решения уравнения Кортевега - де Фриза.

7.3. Односолитонное решение и его свойства.

3. Организация текущего и промежуточного контроля обучения.

3.1. Организация контроля.

Текущий контроль – использование бально-рейтинговой системы.

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводится 1 контрольная работа (на семинаре). Студенты допускаются к экзамену после решения всех задач контрольной работы и индивидуальных заданий.

3.2. Тематика рефератов, проектов и т.п.

Рефераты и проекты по курсу не предусмотрены.

3.3.Курсовая работа.

Курсовая работа по курсу не предусмотрена.

3.4. Бально-рейтинговая ситема.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентами по дисциплине «Специальные разделы математической физики» за семестр, равна 100.

На основе набранных баллов, успеваемость студентов в семестре определяется следующими оценками:

- «Отлично» - 86-100 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены (работа на практических занятиях, выполнение домашних работ, контрольных и индивидуальной работ), качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.

- «Хорошо» - 74-85 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено числом баллов, близким к максимальному, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.

- «Удовлетворительно» - 61-73 балла - теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большенство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки.

- «Неудовлетворительно» - менее 60 баллов - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к существенному повышению качества выполнения учебных заданий.

Распределение баллов, составляющих основу оценки работы студента по изучению дисциплины «Специальные разделы математической физики» в течение семестра.

2. Работа на практических занятиях (1 балл за успешный ответ) до 23 баллов 3. Выполнение индивидуальной работы (4 балла за каждую из двух) до 8 баллов 5. Выполнение домашней работы (по 1 балла за работу) до 44 баллов 4. Сведения о материально-техническом обеспечении дисциплины.

5. Литература.

5.1.Основная.

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики.

М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.

3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000.

4. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.:

Физматлит, 2001.

5. Шубин М.А. Лекции по уравнениям математической физики. М.:МЦНМО, 2003.

5.2. Дополнительная.

6. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики./ Ред. Акад. А.А. Самарский, чл.-корр. С.П. Курдюмов, В.И. Мажукин. М.: Наука, 1987.

7. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука, 1998.

8. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах.

// Успехи физических наук. 1990. Т.160. Вып. 9. С.1-73.

9. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

10. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов:

Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

11. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.,:

Наука 1986.

12. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

14. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

15. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. М.:

Мир, 1985.

16. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

17. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

18. Шаповалов А.В. Введение в нелинейную физику. Учебное пособие. Томск:

Томский политехнический университет, 2002.