МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по развитию образования

_Е.В.Сапир

"_"2012г.

Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Теория алгебраических структур и представления конечных групп по специальности научных работников 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел Ярославль 2012 1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины «Теория алгебраических структур и представления конечных групп» в соответствии с общими целями основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (далее - образовательная программа послевузовского профессионального образования) являются:

- усвоение аспирантами знаний об основных структурах современной алгебры и ее приложений;

- формирование математической культуры аспиранта, фундаментальная подготовка по основам современной алгебры;

- овладение основными понятиями и методами алгебры для дальнейшего использования при решении теоретических и прикладных задач.

2. Место дисциплины в структуре образовательной программы послевузовского профессионального образования Данная дисциплина относится к разделу обязательные дисциплины (подраздел дисциплины по выбору аспиранта) образовательной составляющей образовательной программы послевузовского профессионального образования по специальности научных работников 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел.

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения университетского курса математики, а также алгебраических специальных курсов.

Алгебра (и ее наиболее развитая часть, теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр) относится к числу основных разделов современной математики. Знание основ этих разделов является важной составляющей общей математической культуры. Эти знания необходимы как при проведении теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении задач из разнообразных прикладных областей, таких как математическая физика, математическая экономика, криптография и др.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины «Теория алгебраических структур и представления конечных групп»

В результате освоения дисциплины «Теория алгебраических структур и представления конечных групп»

обучающийся должен:

Знать: основные понятия алгебры, определения и свойства математических объектов, используемых в этой области математики, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Уметь: решать задачи теоретического характера из различных разделов алгебры, доказывать утверждения, строить примеры основных объектов и понятий.

Владеть: математическим аппаратом общей алгебры, методами доказательства алгебраических теорем.

4. Структура и содержание дисциплины «Теория алгебраических структур и представления конечных групп»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов) Курс № Раздел Виды учебной работы, Формы текуНеделя п/ Дисциплины включая самостоятельную щего п работу обучающихся, и тру- контроля доемкость (в часах) успеваемости Форма обуч.: (по неделям) очная/заочная Форма промежуточной аттестации работыКонтроль сам.

Лекций Сам. работа Лабораторных Практических 1 Тема 1. 1 1 1 8 реферат 2 Тема 2. 1 2 8 реферат 3 Тема 3. 1 3 1 8 реферат 4 Тема 4. 1 4 8 реферат 5 Тема 5. 1 5 1/0 8/9 реферат 6 Тема 6. 1 6 4 8/9 контрольная работа 7 Тема 7. 1 7 1 9 реферат Предмет, цели и задачи курса. Основная терминология. Методы изучения алгебраических структур. Приложения алгебраических структур в физике, комбинаторных задачах оптимизации и обработке сигналов. Алгебраическая криптография.

Коммутативная алгебра. Алгебраические и трансцендентные расширения. Теория Галуа.

Аффинные кольца. Модули над кольцами главных идеалов. Алгебраические множества.

Нормированные поля.

Группы. Периодические и свободные группы. Задание групп порождающими элементами и соотношениями. Простые группы. Топологические группы. Абелевы группы.

Конечные группы. Теоремы Силова. Разрешимые и нильпотентные группы. Полупрямые произведения. Центральные произведения. Сплетения и группы подстановок.

Ассоциативные кольца. Классические полупростые кольца. Центральные простые алгебры. Радикал кольца с условием минимальности. Групповая алгебра конечной группы и представление группы. Структура простых колец. Представления и модули. Тензорные произведения. Полное кольцо частных.

Характеры групп. Лемма Шура и теорема Машке. Соотношения ортогональности. Простейшие приложения соотношений ортогональности. Центральные идемпотенты. Теоремы Бернсайда и Фробениуса. Теоремы Бернсайда, Жордана и Шура о линейных группах.

Индуцированные представления. Теория Клиффорда. Ограничения неприводимых представлений на нормальные подгруппы. Теорема взаимности Фробениуса. Импримитивные представления. Теорема о числе зацеплений. Теория Шура проективных представлений.

Введение в теорию модулярных представлений. Инварианты Картана и числа разложения. Соотношения ортогональности и блоки. Дефект блока. Дефектная группа. Распределение классов по блокам. Теоремы Брауэра.

Тема 10.

Алгебра Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Подалгебра Картана. Картаново разложение. Фундаментальная система корней. Группа Вейля. Классификация комплексных простых алгебр Ли.

Тема 11.

Группы лиева типа. Базис Шевалле и определение групп Шевалле. Коммутаторная формула Шевалле. Унипотентные подгруппы. Диагональная и мономиальная подгруппы.

Разложение Брюа. Группы с BN-парой. Порядки групп Шевалле. Простота групп Шевалле.

Отождествление групп Шевалле с некоторыми классическими группами.

Тема 12.

Автоморфизмы групп Шевалле. Скрученные группы Шевалле. Порождающие и соотношения. Классификация конечных простых групп (основные идеи и техника).

5. Образовательные технологии В преподавании используются мультимедийные презентации, иллюстрации, таблицы, методические пособия.

В преподавании курса используются активные и интерактивные технологии проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой.

Часть практических занятий проводится в компьютерных классах с использованием системы GAP.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы обучающихся В качестве средств текущего контроля используется 2 контрольных работы, а также написание в течение семестра 1 реферата на выбранную тему. Итоговая форма контроля (зачет) дает возможность выявить уровень профессиональной подготовки аспиранта по данной дисциплине.

Контрольная работа № Вариант 1. Нахождение таблиц характеров конечных групп, заданных преподавателем.

Вариант 2. Нахождение фрагментов таблиц характеров, исходя из информации о вложении подгруппы в группу. Применение исключительных характеров.

Контрольная работа № Вариант 1. Нахождение матриц разложения конечных групп.

Вариант 2. Нахождение матриц Картана конечных групп.

Вариант 3. Нахождение таблиц модулярных характеров конечных групп.

Вариант 4. Нахождение главных р-блоков конечных групп.

Вариант 5. Вычисление дефектных подгрупп блоков.

Темы рефератов:

1. Приложения алгебраических структур в физике, комбинаторных задачах оптимизации и обработке сигналов.

2. Алгебраические и трансцендентные расширения. Теория Галуа.

3. Модули над кольцами главных идеалов.

5. Задание групп порождающими элементами и соотношениями 6. Топологические группы.

Конструирование новых групп из известных (произведения и сплетение 10. Группы подстановок.

11. Классические полупростые кольца.

Радикал кольца с условием минимальности.

14. Тензорные произведения представлений и модулей.

15. Лемма Шура и теорема Машке.

16. Теоремы Бернсайда и Фробениуса.

17. Теоремы о линейных группах.

18. Индуцированные представления. Теория Клиффорда. Теорема взаимности 19. Теория Шура проективных представлений.

20. Инварианты Картана и числа разложения. Соотношения ортогональности и 21. Дефект блока. Дефектная группа. Распределение классов по блокам.

23. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли.

Картаново разложение. Фундаментальная система корней. Группа Вейля.

Классификация комплексных простых алгебр Ли над полем комплексных чисел.

Базис Шевалле и определение групп Шевалле. Коммутаторная формула Шевалле.

27. Отождествление групп Шевалле с некоторыми классическими группами.

28. Автоморфизмы групп Шевалле. Скрученные группы Шевалле.

29. Классификация конечных простых групп (основные идеи и техника).

1. Коммутативная алгебра. Алгебраические и трансцендентные расширения.

2. Аффинные кольца. Модули над кольцами главных идеалов.

3. Алгебраические множества. Нормированные поля.

4. Группы. Периодические и свободные группы. Задание групп порождающими элементами и соотношениями.

5. Конечные группы. Теоремы Силова. Разрешимые и нильпотентные группы.

6. Сплетения и группы подстановок.

7. Ассоциативные кольца. Классические полупростые кольца.

8. Групповая алгебра конечной группы и представление группы. Структура простых колец.

9. Характеры групп. Лемма Шура и теорема Машке. Соотношения ортогональности.

10. Теоремы Бернсайда и Фробениуса. Теоремы Бернсайда, Жордана и Шура о линейных группах.

11.Индуцированные представления. Теория Клиффорда. Ограничения неприводимых представлений на нормальные подгруппы.

12.Теорема взаимности Фробениуса. Импримитивные представления. Теорема о числе зацеплений.

13.Теория Шура проективных представлений.

14.Инварианты Картана и числа разложения. Соотношения ортогональности и блоки. Дефект блока. Дефектная группа. Распределение классов по блокам.

15. Теоремы Брауэра.

16.Алгебра Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Подалгебра Картана. Картаново разложение.

17.Фундаментальная система корней. Группа Вейля. Классификация комплексных простых алгебр Ли.

18.Группы лиева типа. Базис Шевалле и определение групп Шевалле. Коммутаторная формула Шевалле. Унипотентные подгруппы. Диагональная и мономиальная подгруппы.

19.Разложение Брюа. Группы с BN-парой. Порядки групп Шевалле. Простота групп Шевалле.

20.Автоморфизмы групп Шевалле. Скрученные группы Шевалле. Порождающие и соотношения.

21. Классификация конечных простых групп (основные идеи и техника).

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:

1. Кондратьев А.С., Группы и алгебры Ли, Екатеринбург: УрО РАН, 2009, -310 с.

2. Бахтурин Ю.А., Основные структуры современной алгебры, М.:»Наука», 1990, - 320 с.

б) дополнительная литература:

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976. – 648 c.

2. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968. – 564 с.

3. Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, М.: «Наука», 1969. – 668 с.

4. Кострикин А.И. Основные структуры алгебры. Часть III. – М.: Физматлит, 2000.

5. Винберг Э.Б. Курс алгебры. – М.: Факториал Пресс, 2002.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

- для демонстрации презентаций используются программы Windows и MS Office.

- в качестве вспомогательных интернет-ресурсов по дисциплине используется:

Портал Math-Net.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины - компьютерный класс;

- набор теоретико-групповых программ GAP..

Программа составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (приказ Минобрнауки от 16.03.2011 г. № 1365) с учетом рекомендаций, изложенных в письме Минобрнауки от 22.06.2011 г. № ИБ – 733/12.

Программа одобрена на заседании кафедры алгебры и математической логики 22.10.2012 (протокол № 2).

Заведующий кафедрой Л.С.Казарин, доктор физ-мат.наук, профессор