МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по развитию образования

Е.В.Сапир

"_"2012 г.

Рабочая программа дисциплины послевузовского профессионального образования (аспирантура) Математическая логика, алгебра и теория чисел по специальности научных работников 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел Ярославль 2012 2 1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины « Математическая логика, алгебра и теория чисел» в соответствии с общими целями основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (далее - образовательная программа послевузовского профессионального образования) являются:

- усвоение аспирантами знаний об основных результатах в изучаемой области;

- формирование математической культуры аспиранта, фундаментальная подготовка в области математической логики, алгебры и теории чисел теории чисел и ее приложений;

- овладение основными понятиями и методами теории чисел для дальнейшего использования при решении теоретических и прикладных задач.

2. Место дисциплины в структуре образовательной программы послевузовского профессионального образования Данная дисциплина относится к разделу обязательные дисциплины (подраздел специальные дисциплины отрасли науки и научной специальности) образовательной составляющей образовательной программы послевузовского профессионального образования по специальности научных работников 01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел.

Для ее успешного изучения необходимы «входные» знания и умения, полученные в процессе обучения по программам специалитета или бакалавриата-магитсратуры по направлению математика, а также алгебраических специальных курсов.

Специальность «Математическая логика, алгебра и теория чисел» –область науки, исследующая свойства целых чисел, изучающая множества с заданными на них алгебраическими операциями и отношениями; исследующая свойства множеств решений систем алгебраических уравнений; изучающая общее строение математических теорий, их моделей и алгоритмических процессов. Целью алгебры является изучение алгебраических структур, возникающих в математике и ее приложениях.

Целью математической логики являются: изучение синтаксических и семантических свойств формализованных математических теорий и структурных свойств их семантических моделей; исследование алгоритмических процессов с заданными свойствами, нахождение взаимосвязей между доказуемостью, истинностью и вычислимостью.

Целью теории чисел является исследование арифметических свойств математических объектов.

Области исследований:

1. Теория алгебраических структур (полугрупп, групп, колец, полей, модулей и т.д.).

2. Алгебраическая геометрия.

3. Алгебраическая и аналитическая теории чисел.

4. Геометрия чисел.

5. Группы и алгебры Ли.

6. Теория представлений.

7. Теория категорий и функторов.

8. Теория моделей: изучение свойств семантических моделей для математических теорий.

9. Теория доказательств (в том числе неклассические логики).

10. Теория алгоритмов и вычислимых функций (в том числе алгоритмическая теория информации и теория сложности).

Знание основ этих разделов является важной составляющей общей математической культуры. Эти знания необходимы как при проведении теоретических исследований в различных областях математики, так и при решении задач из разнообразных прикладных областей, таких как математическая физика, математическая экономика, криптография и др.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины « Математическая логика, алгебра и теория чисел». В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные понятия математической логики, алгебры и теории чисел, определения и свойства математических объектов, используемых в этой области математики, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Уметь: решать задачи теоретического характера из различных разделов дисциплины, доказывать утверждения, строить примеры основных объектов и понятий.

Владеть: математическим аппаратом, используемым в математической логике, алгебре и теории чисел, методами доказательства теорем и основными алгебраическими и теоретико – числовыми алгоритмами.

4. Структура и содержание дисциплины « Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы (144 часа) Курс № Раздел Виды учебной работы, Формы текуНеделя п/ Дисциплины включая самостоятельную щего п работу обучающихся, и контроля трудоемкость (в часах) успеваемости Форма обуч.: (по неделям) очная/заочная Форма промежуточной аттестации работыКонтроль сам.

Лекций алгоритма и его уточнения.

полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

плотного линейного порядка.

модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов.

Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.

Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.

Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

Классы Р и NР. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NPполноте задачи выполнимость.

Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы. Исчисление высказываний.

Полнота и непротиворечивость. Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка. Формальная арифметика.

Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства).

Конечные группы. Теоремы Силова. Простота группы Аn, п > 5 и SО3. Разрешимые и нильпотентные группы.

Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов. Свободные группы и определяющие соотношения.

Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа. Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.

Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности. Группа Брауэра. Теорема Фробениуса.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе. Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.

Тема 10.

Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности.

Тема 11.

Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.

Тема 12.

Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.

Тема 13.

Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы.

Тема 14.

Неравенства Чебышева для функции (х). Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений. Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм. Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел. Трансцендентность чисел е и.

5. Образовательные технологии В преподавании используются мультимедийные презентации, иллюстрации, таблицы, методические пособия.

В преподавании курса используются активные и интерактивные технологии проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой.

Часть практических занятий проводится в компьютерных классах с использованием системы GAP.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы обучающихся.

В качестве средств текущего контроля используется 2 контрольных работы, а также написание в течение семестра 1 реферата на выбранную тему. Итоговая форма контроля (зачет) дает возможность выявить уровень профессиональной подготовки аспиранта по данной дисциплине.

Контрольная работа № Вариант 1. Нахождение таблиц характеров конечных групп, заданных преподавателем.

Вариант 2. Нахождение фрагментов таблиц характеров, исходя из информации о вложении подгруппы в группу.

Вариант 3. Доказательства NP-полноты некоторых комбинаторных задач.

Вариант 4. Нахождение ступени разрешимости заданной группы.

Вариант 5. Представление булевских функций в одной из канонических форм.

Контрольная работа № Вариант 1. Решение задач на нахождение идеалов колец.

Вариант 2. Программирование критериев проверки простоты натурального числа.

Вариант 3. Решение задач из теории чисел.

Вариант 4. Программирование нахождения решений Диофантовых уравнений.

Темы рефератов:

1. Приложения алгебраических структур в физике, комбинаторных задачах оптимизации и обработке сигналов.

2. Алгебраические и трансцендентные расширения. Теория Галуа.

3. Модули над кольцами главных идеалов.

5. Задание групп порождающими элементами и соотношениями Теорема о представимости вычислимых функций в формальной артифметике Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах Группы 10. Классические полупростые кольца.

Радикал кольца с условием минимальности.

13. Тензорные произведения представлений и модулей.

14. Лемма Шура и теорема Машке.

15. Теоремы Бернсайда и Фробениуса.

16. Теоремы о линейных группах.

17. Классы Р и NР. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.

18. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корки и индексы.

Неравенства Чебышева для функции (х).

Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм.

Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

22. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

23. Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

24. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел.

25. Трансцендентность чисел е и.

1. Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча.

2. Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы.

3. Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства.

4. Классы Р и NР. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ.

5. Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы. Исчисление высказываний.

Полнота и непротиворечивость.

6. Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции 7. Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка. Формальная артифметика.

Теорема о представимости вычислимых функций в формальной артифметике (без доказательства).

8. Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов. Свободные группы и определяющие соотношения.

9. Алгебраические множества. Нормированные поля.

10. Группы. Периодические и свободные группы. Задание групп порождающими элементами и соотношениями.

11. Конечные группы. Теоремы Силова. Разрешимые и нильпотентные группы.

12. Ассоциативные кольца. Классические полупростые кольца.

13.Групповая алгебра конечной группы и представление группы. Структура простых колец.

14. Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе. Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта.

15. Характеры групп. Лемма Шура и теорема Машке. Соотношения ортогональности.

16. Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа.

17. Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.

18. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы.

19. Неравенства Чебышева для функции (х). Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

20. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

21.Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений.

22.Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм. Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.

23.Фундаментальная система корней. Группа Вейля. Классификация комплексных простых алгебр Ли.

24.Группы лиева типа. Базис Шевалле и определение групп Шевалле. Коммутаторная формула Шевалле. Унипотентные подгруппы. Диагональная и мономиальная подгруппы.

25.Разложение Брюа. Группы с BN-парой. Порядки групп Шевалле. Простота групп Шевалле.

26.Автоморфизмы групп Шевалле. Скрученные группы Шевалле. Порождающие и соотношения.

27. Классификация конечных простых групп (основные идеи и техника).

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:

1. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. 2-е изд. М.: Наука. 1987.

2. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М.: Наука, 1984.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры алгебры. М.:

Физматлит, 2000.

5. Винберг Э.Б. М. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

7. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

8. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В. Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел.

М.: Изд-во МГУ, 1995.

б) дополнительная литература:

1. Ноден П., Китте К., Алгебраическая алгоритмика, М.:»Мир», 1999, - 719 с.

2. Манин Ю.А., Панчишкин А.А., Введение в теорию чисел. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги Науки и Техники, т.49, М., 1990, 3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели М.: Наука, 1980.

4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

5. Новиков П.С. Элементы математической логики. 2-е изд. М.: Наука, 1973.

6. Серр Ж.П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

7. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

8. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

9. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

10. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.; Мир, 11. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

12. Коробков Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

13. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.

14. Скорняков Л.А. Элементы обшей алгебры. М.: Наука, 1983.

15. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

16. О.Н.Василенко, Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии, М.: МЦНМО, в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

- для демонстрации презентаций используются программы Windows и MS Office.

- в качестве вспомогательных интернет-ресурсов по дисциплине используется:

Портал Math-Net.ru 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины - компьютерный класс;

- набор теоретико-групповых программ GAP..

Программа составлена в соответствии с федеральными государственными требованиями к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования (аспирантура) (приказ Минобрнауки от 16.03.2011 г. № 1365) с учетом рекомендаций, изложенных в письме Минобрнауки от 22.06.2011 г. № ИБ – 733/12.

Программа одобрена на заседании кафедры алгебры и математической логики 22.10.2012 (протокол № 2).

Заведующий кафедрой Л.С.Казарин, доктор физ-мат.наук, профессор