«КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИИ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В ПРИРОДНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ Под общей редакцией профессора С. П. Кундаса Минск 2011 УДК 517.958+536.25 ББК 22.19 К63 Рекомендовано к изданию Советом МГЭУ им. А. ...»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Международный государственный экологический

университет имени А. Д. Сахарова»

КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИИ

ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ

В ПРИРОДНЫХ ДИСПЕРСНЫХ

СРЕДАХ

Под общей редакцией профессора С. П. Кундаса Минск 2011 УДК 517.958+536.25 ББК 22.19 К63 Рекомендовано к изданию Советом МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 10 от 28 июня 2011 г.) Авторы:

Кундас С. П., профессор, д.т.н., ректор МГЭУ им. А. Д. Сахарова;

Гишкелюк И. А., к.т.н., доцент МГЭУ им. А. Д. Сахарова;

Коваленко В. И., младший научный сотрудник МГЭУ им. А. Д. Сахарова;

Хилько О. С., младший научный сотрудник МГЭУ им. А. Д. Сахарова Рецензенты:

главный научный сотрудник Института природопользования НАН Беларуси, д.т.н. Г. П. Бровка;

профессор Белорусского государственного технологического университета, д.т.н. П. П. Урбанович К63 Компьютерное моделирование миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк, В. И. Коваленко, О. С. Хилько; под общ. ред. С. П. Кундаса – Минск: МГЭУ им. А.Д. Сахарова, 2011. – 212 с.

ISBN 978-985-551-014-8.

В монографии обобщены результаты исследований и разработок в области моделирования процессов неизотермического переноса влаги и загрязняющих веществ в природных дисперсных средах. Приведены оригинальные разработки авторов в этой области, а также результаты их практического применения для решения конкретных экологических задач.

Монография предназначена для научных и инженерно-технических работников исследовательских учреждений академии наук и вузов, аспирантов, магистрантов и студентов, занимающихся проблемами тепломассопереноса в капиллярно-пористых средах и решением экологических задач.

УДК 517.958+536. ББК 22. ISBN 978-985-551-014-8 © Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова, Ministry of Education of the Republic of Belarus International Sakharov Environmental University

COMPUTER MODELLING

OF CONTAMINANT MIGRATION

IN NATURAL DISPERSE MEDIA

Edited by professor S. P. Kundas Minsk UDC 517.958+536. LBC 22. К Recommended for publication by the Board of ISEU (Protocol No. 10 of June 28, 2011) Gishkeluk I. A., Ph.D., Associate Professor of ISEU;

Chief researcher of Institute for Nature Management NAS Belarus, Professor of Belarusian State Technological University, К63 Computer modelling of contaminant migration in natural disperse media / S. P. Kundas, I. A. Gishkeluk, V. I. Kovalenko, O. S. Hilko; еdited by S. P. Kundas. – Minsk: ISEU, 2011. – 212 р.

ISBN 978-985-551-014-8.

The monograph summarizes the outcomes of research activity and development in the field of non-isothermal moisture and contaminant transport in natural disperse media. The original design of authors in this field as well as the results of their practical application to address specific environmental problems are introduced.

Monograph is destined for scientists and engineers of the research institutes and universities, post-graduate and undergraduate students attending to problems of heat and mass transfer in the capillary-porous media and solution of ecological

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Глава 1. Анализ процессов переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах

1.1. Анализ физических механизмов, обуславливающих перенос растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах......... 1.2. Анализ влияния климатических факторов на перенос загрязняющих веществ в природных дисперсных средах

1.3. Анализ основных типов загрязняющих веществ и условий их переноса и накопления в природной дисперсной среде

1.4. Анализ современных методов моделирования миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах

Список литературы к главе 1

Глава 2. Математические модели переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах при неизотермическом влагопереносе............. 2.1. Конвективная диффузия растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах с учетом неравновесной сорбции в условиях изменения насыщенности почвы влагой

2.2. Неизотермический влагоперенос в природных дисперсных средах с учетом движения влаги в жидкой и газообразной фазе

2.3. Особенности использования предложенных моделей в условиях отрицательных температур

2.4. Формулировка краевых условий, учитывающих изменение климатических факторов на поверхности природной дисперсной среды....... Список литературы к главе 2

Глава 3. Методы и алгоритмы численного решения уравнений неизотермического влагопереноса и конвективной диффузии

3.1. Постановка задачи

3.2. Методы численного решения уравнений неизотермического влагопереноса

3.3. Методы численного решения уравнений конвективной диффузии и кинетики сорбции

3.4. Аппроксимация граничных условий на поверхности раздела сред и особенности учета граничных условий первого рода

3.5. Адаптация шага по времени для достижения устойчивости и наискорейшей сходимости решения

Список литературы к главе 3

Глава 4. Применение искусственных нейронных сетей для прогнозирования миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах

4.1. Общие сведения

4.2. Разработка структур искусственных нейронных сетей для классификации физико-химических свойств почв и прогнозирования миграции химических веществ техногенного происхождения

4.3. Адаптация алгоритмов обучения искусственной нейронной сети.

Создание алгоритма пост-обучения нейронной сети

4.3.1. Алгоритм обратного распространения ошибки с использованием дополнительного сигнала

4.3.2. Разработка алгоритма обучения нейронных сетей для выполнения задач прогнозирования

Список литературы к главе 4

Глава 5. Применение параллельных вычислений для обучения искусственных нейронных сетей

5.1. Технология CUDA от Nvidia

5.2. Целесообразность использования CUDA-технологии и выбор оптимальных конфигураций ядер. Прямой проход

5.3. Обучение ИНС при помощи CUDA (обратный проход)

5.4. Особенности выделения памяти под параметры ИНС на устройстве.... Список литературы к главе 5

Глава 6. Информационно-аналитическая система для оценки и прогнозирования миграции загрязняющих веществ в почве

6.1. Структура информационно-аналитической системы

6.2. Разработка базы знаний и базы данных для реализации совместной работы физико-математических и нейросетевых моделей...... 6.3. Построение базы данных

Список литературы к главе 6

Глава 7. Программный комплекс для моделирования и прогнозирования миграции загрязняющих веществ в почве

7.1. Выбор средств программирования

7.2. Архитектура программного комплекса

7.3. Программная реализация модуля физико-математического моделирования

7.3.1. Постановка задачи

7.3.2. Программная реализация препроцессора и пост-процессора.... 7.3.3. Программная реализация процессора

7.3.4. Разработка процедуры для пересчета физических величин из точек интегрирования в узловые значения

7.4. Программная реализация нейросетевого модуля прогнозирования....... 7.4.1. Проект Chemigsim

7.4.2. Программная реализация искусственной нейронной сети......... 7.4.3. Программная реализация алгоритма обучения нейронной сети.. 7.4.4. Программная реализация искусственной нейронной сети под CUDA архитектуру

7.5. Программная реализация информационно-аналитической системы...... Список литературы к главе 7

Глава 8. Верификация разработанных математических моделей и их практическое применение

8.1. Верификация разработанных численных методов

8.2. Верификация математической модели переноса загрязняющих веществ

8.3. Верификация математической модели влагопереноса

8.4. Применение разработанных моделей для исследования влияния различных физических механизмов на перенос загрязняющих веществ в почве

8.5. Численные исследования влияния неизотермического влагопереноса на распределение водорастворимых веществ в почве

8.6. Моделирование миграции загрязняющих веществ в почве в результате выпадения дождевых осадков

8.7. Прогнозирование миграции радионуклидов в корнеобитаемом слое.... 8.8. Применение разработанных моделей для оценки влияния на окружающую среду загрязнений почв от промышленных объектов.......... 8.9. Тестирование работы информационно-аналитической системы в режиме обучения и прогнозирования

8.10. Верификация модуля прогнозирования «Chemigsim»

Список литературы к главе 8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

CONTENTS

INTRODUCTION

Chapter 1 The analysis of contaminant transport in natural disperse media

1.1 Physical mechanisms causing the transfer of dissolved contaminants in natural disperse media

1.2 The influence of climatic factors on the contaminant transport in natural disperse media

1.3 Basic contaminant types, accumulation and transport in natural disperse medium

1.4 Modern methods of contaminant migration modelling in natural disperse media

Chapter 2 Mathematical models of contaminant transport in natural disperse media under non-isothermal moisture transfer

2.1 Convective diffusion of the dissolved contaminants in natural disperse media with an allowance for non-equilibrium sorption under saturation changes in soil moisture

2.2 Non-isothermal moisture transfer in natural disperse media in the movement f moisture in liquid and gaseous phase

2.3 Features of the proposed models in terms of negative temperatures

2.4 The statement of the boundary conditions taking into account the change of climatic factors on the surface of the natural disperse media

Chapter 3 Numerical methods and algorithms for solution of non-isothermal moisture transfer and convective diffusion equations

3.1 Problem definition

3.2 Numerical methods for solution of non-isothermal moisture transfer equation

3.3 Numerical methods for solution of convective diffusion and sorption kinetics equations

3.4 Approximation of the boundary conditions on the surface of the media.

Features of the first type boundary conditions

3.5 Adaptation of the time step to achieve stability and quickest solution convergence

Chapter 4 Artificial neural networks application for contaminant transport forecast in natural disperse medium

4.1 General information

4.2 Neural network creation for classification of physico-chemical soil properties and contaminant transport forecast

4.3 Adaptation of artificial neural network training algorithm. Neural network post-training algorithm development

4.3.1 Error back-propagation algorithm by means of additional signal............. 4.3.2 Neural network training algorithm development for contaminant transport forecast purposes

Chapter 5 Application of parallel computing for artificial neural network training......... 5.1 CUDA technology from Nvidia

5.2 The feasibility of cuda-technology application and the choice of optimal kernel configurations. Direct computing

5.3 ANN Training with CUDA (Reverse computing)

5.4 Memory allocation on the video card

Chapter 6 Information analysis system for estimating and forecasting contaminant transport in the soil

6.1 The structure of information analysis system

6.2 Data and knowledge bases development for physico-mathematical and neural network models combined action

6.3 Data base design

Chapter 7 The software for modelling and forecasting contaminant transport in the soil

7.1 Software development toolkits selection

7.2 Software architecture

7.3 Software development of physico-mathematical modelling unit

7.3.1 Problem definition

7.3.2 Software implementation of pre-processor and post-processor parts..... 7.3.3 Software implementation of processor part

7.3.4 Procedure development of physical value recalculation from integration points into node value

7.4 Software implementation of neural network forecast unit

7.4.1 Chemigsim project

7.4.2 Software implementation of artificial neural network unit

7.4.3 Software implementation of neural network training algorithm............. 7.4.4 Software implementation of artificial neural network under CUDA architecture

7.5 Information analysis system software inplementaion

Chapter 8 The verification of the proposed mathematical models and their practical application

8.1 Verification of the developed numerical methods

8.2 Verification of transport contaminant mathematical model

8.3 Verification of non-isothermal moisture transfer mathematical model............... 8.4 An application of the developed models to study the influence of different physical mechanisms on contaminant transport in soil

8.5 Numerical studies of the non-isothermal moisture transfer effect on the distribution of solute in the soil

8.6 Modelling of contaminant migration in the soil as a result of rainfall................. 8.7 Forecasting of radionuclide migration in the root zone

8.8 An application of the developed models to assess the environmental impact of soil pollution from industrial facilities

8.9 Training and forecast mode testing of information analysis system

8.10 Verification of forecasting unit Chamigsim

CONCLUSION

ПРЕДИСЛОВИЕ

Природные дисперсные среды представляют собой многофазные капиллярно-пористые системы природного происхождения, к которым относятся грунт, почва, торф и т. п. Физические механизмы тепломассопереноса в этих средах весьма сложны и разнообразны. Большую роль здесь играют капиллярные и поверхностные силы, которые вызывают капиллярное и пленочное течение жидкости, а также фазовые переходы. При этом перенос растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах во многом обусловлен неизотермическим влагопереносом в силу дневных и сезонных колебаний температуры.

Перенос загрязняющих веществ в природных дисперсных средах при неизотермическом влагопереносе является сложной и малоизученной проблемой, хотя имеет ряд актуальных приложений, связанных с вопросами защиты окружающей среды и с использованием природных ресурсов. Например, в настоящее время решение о размещении предприятия с вредными выбросами или захоронении отходов принимается с учетом влияния этих объектов на окружающую среду. Как правило, оценка этого влияния сводится к расчету распространения загрязняющего вещества от заданного объекта и анализу возможности попадания токсичных веществ в грунтовые воды в концентрациях, превышающих допустимые.

Кроме того, исследование в природных дисперсных средах количественных закономерностей переноса влаги и растворенных в ней веществ широко востребовано при решении следующих прикладных задач: оценка риска загрязнения грунтовых вод токсичными веществами, в том числе радионуклидами; оценка поступления радионуклидов, тяжелых металлов и других токсичных веществ в растения; анализ попадания радионуклидов, пестицидов и других загрязняющих веществ в водные системы за счет поверхностного стока; анализ закономерностей формирования водно-солевого режима орошаемых почв; прогноз экологических последствий мероприятий по регулированию процессов переноса водорастворимых веществ в почве. В связи с необходимостью решения проблем по преодолению последствий Чернобыльской катастрофы задачи исследования путей миграции и трансформации радионуклидов имеют особую актуальность для нашей страны.

Для научно обоснованного и адекватного численного исследования закономерностей переноса в природных дисперсных средах влаги и растворимых в ней веществ целесообразно использование методов математического моделирования, которые не теряют свою достоверность при широком варьировании пространственно-временных масштабов, гидрологических и климатических факторов.

С этой целью зарубежными научными школами уже разработаны специальные системы математического моделирования движения влаги и растворенных в ней веществ в насыщенных и ненасыщенных почвенногрунтовых средах: FEFLOW (www.feflow.com), Ground Water Modeling System (www.ems-i.com), HYDRUS 2D/3D (www.hydrus2d.com), COMSOL Multiphysics: Earth Science Module (www.comsol.com).

Следует отметить, что существующие подходы к моделированию переноса растворимых соединений в природных дисперсных средах, реализованные в этих программах, базируются на использовании уравнений конвективной диффузии и движения влаги, без учета фазовых переходов и потока водяного пара в среде. Однако изменение влагосодержания дисперсной среды, которое существенно влияет на перенос растворимых соединений, может быть вызвано не только капиллярным движением влаги, но и переконденсацией водяного пара. Игнорирование этого факта при моделировании переноса растворимых соединений в неизотермических условиях может привести к значительным погрешностям. Кроме того, в случае использования уравнений влагопереноса без учета фазовых переходов и потока водяного пара в среде невозможно задать корректные граничные условия при изменении климатических факторов, т. к.

в эти уравнения не входит давление водяного пара.

Исходя из этого в настоящей работе ставилась цель обобщения существующих теоретических подходов к описанию неизотермического переноса влаги и растворенных в ней загрязняющих веществ и разработки на этой основе феноменологической модели нестационарных процессов взаимосвязанного тепломассопереноса в дисперсных средах с учетом влияния интенсивности массообмена между фазами, термокапиллярных течений и переконденсации водяного пара на кинетику сорбции и перенос загрязняющих веществ в природных дисперсных средах. В этой работе также уделено большое внимание вопросу совершенствования и адаптации численных методов и алгоритмов для компьютерной реализации полученной математической модели и численному исследованию процессов переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах с помощью разработанных программных средств.

Главы 1–3, введение и заключение написаны совместно д.т.н., профессором Кундасом С. П. и к.т.н., доцентом Гишкелюком И. А., глава 4 – совместно Гишкелюком И. А. и научным сотрудником Коваленко В. И., глава 5 – аспиранткой Хилько О. С. и Гишкелюком И. А., главы 6–8 – совместно Кундасом С. П., Коваленко В. И., Гишкелюком И. А. и Хилько О. С.

Авторы выражают благодарность студентам Международного государственного экологического университета имени А. Д. Сахарова Лешку Э. Ю., Хилько Д. И. и Жовнеру М. А. за помощь в разработке программного комплекса «SPS».

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В ПРИРОДНЫХ

ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ

1.1. Анализ физических механизмов, обуславливающих перенос растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных Прежде всего, следует отметить, что перенос растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах зависит от большого числа факторов окружающей среды и протекающих в ней процессов. Степень влияния тех или иных процессов может отличаться для различных дисперсных сред, загрязняющих веществ, рассматриваемых моментов времени и пространства [1–3].

Ключевые механизмы, определяющие перенос загрязняющих веществ (на примере радионуклидов), представлены на рис. 1.1. В природных дисперсных средах растворимые загрязняющие вещества могут находиться как в растворенном состоянии (обменной форме), так и в адсорбированном состоянии (не обменной форме) [4]. Изменение концентрации загрязняющих веществ в обменной форме происходит за счет десорбции растворимых веществ от твердой фазы природной дисперсной среды, впитывания аэрозольных выпадений с поверхности дисперсной среды и переноса загрязняющих веществ потоком влаги. Следовательно, перераспределение загрязняющих веществ происходит под влиянием всех гидрологических процессов, определяющих перераспределение влаги в дисперсной среде (инфильтрация, испарение, движение влаги и т. п.). Изменение концентрации загрязняющих веществ в необменной форме – результат сорбции загрязняющих веществ из растворенного состояния. Концентрация адсорбированных загрязняющих веществ и растворенных в воде связана через изотерму сорбции, которая зависит от физико-химических свойств природной дисперсной среды и загрязняющих веществ.

Таким образом, можно выделить два главных типа физических механизмов, определяющих перераспределение загрязняющих веществ в природных дисперсных средах [4]:

гидролитические: перенос загрязняющих веществ влагой;

физико-химические: сорбция–десорбция и естественное разложение (радиоактивный распад для радионуклидов).

Также следует отметить, что на изменение концентрации загрязняющих веществ влияют биологические процессы, такие как поглощение растворимых веществ растениями.

ПЕРЕНОС РАДИОНУКЛИДОВ В АТМОСФЕРЕ

Растения Корневое поглощение радионуклидов Движение грунтовых вод

ПЕРЕНОС РАДИОНУКЛИДОВ В ПОЧВЕ ПЕРЕНОС РАДИОНУКЛИДОВ В ВОДЕ

Рис. 1.1. Основные процессы, определяющие перераспределение загрязняющих Гидролитические процессы. Формирование потока влаги в природной дисперсной среде начинается после того, как капли дождя достигают ее поверхности. В течение начальной фазы формирования потока влаги энергия дождя отщепляет твердые частицы и приобретает загрязняющие примеси, находящиеся на поверхности дисперсной среды, растворяя их. Поток почвенной влаги определяется следующими процессами [4]:

впитывание влаги с поверхности дисперсной среды (инфильтрация).

Скорость впитывания зависит от характеристик проницаемости дисперсной среды и содержания в ней влаги. В начале инфильтрации скорость впитывания является большой, т. к. дисперсная среда абсорбирует избыточную воду с поверхности. Когда дисперсная среда становится насыщенной влагой, скорость впитывания резко снижается;

испарение влаги с поверхности дисперсной среды;

транспирация представляет собой потерю влаги в природной дисперсной среде за счет поглощения ее корневой системой растительности и испарение ее в атмосферу в процессе жизнедеятельности растительной системы;

движения влаги в жидкой и газовой фазе под действием градиентов влаги и температуры.

Гидролитические процессы необходимо принимать во внимание при изучении переноса загрязняющих веществ, т. к. доминирующим механизмом переноса растворимых веществ в природной дисперсной среде является адвекция и дисперсия веществ в движущемся потоке влаги.

Физико-химические процессы. Химическая форма нахождения загрязняющих веществ в природной дисперсной среде делится на несколько групп в зависимости от их способности растворяться в воде: растворенная, обратимо сорбированая и необратимо сорбированая формы [4]. Сорбция загрязняющих веществ осуществляется как на минеральную основу среды, так и на органические вещества, находящиеся в среде. Кроме того, способность сорбироваться и десорбироваться различна для разных сорбентов, кислотности среды и содержания органических веществ.

Распределение растворимых загрязняющих веществ между твердой и жидкой фазой может быть оценено с помощью экспериментальных исследований и с использованием аналитических расчетов. Наиболее широко используемым параметром, характеризующим распределение растворимых веществ между жидкой и твердой фазой, является коэффициент распределения Kd, который показывает отношение равновесных концентраций в твердой и жидкой фазе в системе: Kd Cs Cliq.

Изменение концентрации загрязняющих веществ за счет химического разложения под действием факторов окружающей среды, как правило, описывают уравнением: C t C, где – постоянная распада [4].

1.2. Анализ влияния климатических факторов на перенос загрязняющих веществ в природных дисперсных средах Выше было отмечено, что на перенос и сорбцию загрязняющих веществ в природных дисперсных средах существенное влияние оказывает динамика распределения влаги в среде. В свою очередь эта динамика определяется интенсивностью дождевых осадков, колебаниями температуры и относительной влажности воздуха у поверхности почвы, т. е. климатическими факторами [5–10].

Интенсивность дождевых осадков (количество осадков, выпавших в единицу времени) является главным фактором в формировании в среде потока влаги, которым переносятся загрязняющие вещества [5, 11, 12]. После выпадения дождевых осадков сначала вода быстро поглощается средой, а затем поток влаги стабилизируется (рис. 1.2). Эта начальная стадия быстрого проникновения воды в ненасыщенную влагой среду называется впитыванием, или инфильтрацией [5]. Далее по мере насыщения всего порового пространства дисперсной среды водой поток влаги стабилизируется. Наступает стадия движения воды в насыщенной дисперсной среде – фильтрация.

Таким образом, как видно из рис. 1.2, скорость потока влаги, которым переносятся загрязняющие вещества, напрямую зависит от интенсивности дождевых осадков. Чем больше количество осадков, выпавших в единицу времени, тем больше будет скорость потока влаги в среде и, следовательно, быстрее будет происходить миграция загрязняющих веществ в глубь среды.

Рис. 1.2. Изменение скорости потока влаги в дисперсной среде Другими немаловажными факторами, влияющими на перенос загрязняющих веществ в природной дисперсной среде, являются температура и относительная влажность воздуха у поверхности среды [5]. Эти два фактора определяют интенсивность испарения влаги из дисперсной среды и подток влаги к поверхности. Испарение влаги с поверхности оказывает влияние на насыщенность среды водой, изменение которой, в свою очередь, влияет на сорбцию и перенос загрязняющих веществ. Кроме того отметим, что если насыщенность среды влагой становится меньше максимальной гигроскопичности, то вода в ней будет находиться в связанном состоянии, при этом движение влаги будет происходить только в виде водяного пара, который не переносит водорастворимые загрязняющие вещества.

Температура и относительная влажность воздуха определяют не только испарение влаги с поверхности почвы. Если парциальное давление водяного пара в порах дисперсной среды меньше парциального давления водяного пара в воздухе, то будет происходить процесс сорбции влаги дисперсной средой. При этом если насыщенность среды влагой становится больше максимальной гигроскопичности, то будет происходить пленочное, капиллярнопленочное и капиллярное движение влаги (в зависимости от насыщенности) и осуществляться перенос растворимых загрязняющих веществ. Таким образом, температура и относительная влажность воздуха оказывают существенное влияние на поток влаги в дисперсной среде, в которой за счет процессов гидродинамической дисперсии и конвекции происходит перенос загрязняющих веществ. Также отметим, что движение воды в дисперсной среде происходит в жидкой и газовой фазах, а поскольку водорастворимые соединения не переносятся последней, то необходимо различать поток влаги в жидкой фазе и поток влаги в парогазовой фазе [3].

Как известно, движение почвенной влаги, переносящей растворимые загрязняющие вещества, осуществляется под действием капиллярно-сорбционного потенциала [9, 10]. В свою очередь капиллярно-сорбционный потенциал зависит не только от насыщенности дисперсной среды влагой, но и от температуры. Следовательно, уже только колебания температуры на поверхности дисперсной среды будут влиять на капиллярно-сорбционный потенциал и скорость потока влаги и в свою очередь – на скорость миграции загрязняющих веществ. Кроме того, особенно заметное влияние температуры на перенос загрязняющих веществ происходит в области отрицательных ее значений [13].

При температурах ниже нуля градусов по Цельсию в природных дисперсных средах находится незамерзшая влага, движение которой направлено из области с более высокой в область с более низкой температурой.

Такой климатический фактор, как скорость ветра, за счет возможности переноса твердых частиц дисперсной среды непосредственно влияет на изменение концентрации загрязняющих веществ на поверхности природной дисперсной среды. Также скорость ветра у поверхности среды оказывает существенное влияние на процессы испарения влаги и конвективного теплообмена с воздухом.

1.3. Анализ основных типов загрязняющих веществ и условий их переноса и накопления в природной дисперсной среде Загрязнители органического происхождения. Наиболее распространенной и важной разновидностью природных дисперсных сред является почва, одними из основных загрязнителей которой являются токсиканты органического происхождения. К ним относятся полиароматические углеводороды, хлорорганические соединения, пестициды и др., которые обладают в разной степени канцерогенной, тератогенной, имуннотоксической, эмбриотоксической, гепатотоксической, генотоксической, токсидермальной активностью и вызывают у людей широкий ряд опасных заболеваний [2].

Полициклические ароматические углеводороды (ПАУ) относятся к сильным канцерогенам и представляют собой органические вещества, основные элементы которых углерод и водород образуют бензольные кольца, незамещенные или замещенные, способные полимеризоваться. Для них характерна высокая устойчивость. К группе ПАУ относятся сотни химических веществ. Окружающую среду загрязняют нафталин, антрацен, фенантрен, флуорантен, бенз(а)антраиен, хризен, лирен, бензапирен, дибензантрацен, бензпирелен, бензфлуорантен и др. Важные свойства ПАУ: в воде ПАУ менее устойчивы, чем в почве. Например, период полуразложения бенз(а)антраиена в воде колеблется от нескольких часов до суток, а время сохранения бенз(а)антраиен в почве измеряется 4–24 месяцами. Устойчивость ПАУ в почве связана с закреплением их почвенными компонентами [2].

Полихлорированные бифенилы (ПХБ) – это хлор-производные предельных углеводородов [14]. Промышленные продукты этого состава называются Арохлор, Фенохлор, Хлоро-Ифси, Канехлор, Совол. Степень токсичности ПХБ связана с положением атомов хлора в молекуле, наиболее опасны полихлорированные дибензо-п-диоксины (ПХДД) и им сопутствующие дибензофураны (ПХДФ), особенно опасен 2,3,7,8-тетрахлорбензопарадиоксин.

ПХБ оказывают на живые организмы канцерогенное, мутагенное действие, вызывают нарушение генного аппарата. Они способны растворяться в жирах (т. е. они липофильные). Опасность ПХБ для живых организмов обусловлена их устойчивостью (т. е. они персистентные) и медленным выведением из организма.

Важные свойства ПХБ: низкая летучесть, малая растворимость в воде, высокая сорбционная способность. Благодаря этим свойствам ПХБ концентрируются в почве, прочно связываются почвенными компонентами, мигрируют слабо и долгое время сохраняются в верхних слоях почвы. Органические растворители, нефтепродукты, другие вещества, присутствующие вместе с ПХБ, могут увеличивать их мобильность в почвах. Период полураспада ПХБ в почве колеблется от 5–8 до 10–12 лет и зависит от климатических условий, типа почв и других свойств почвы [14].

Пестициды (биоциды) – это химические вещества, предназначенные для уничтожения вредных живых организмов, главным образом вредителей сельского хозяйства [2]. Среди них выделяют гербициды, фунгициды, инсектициды, зооциды, бактерициды, нематоциды. К пестицидам относятся также дефолианты.

Превращения пестицидов в окружающей среде зависят от их собственных свойств, от сочетания влияния природных условий: почвы, воды, воздуха. Главнейшим фактором сорбции пестицида являются свойства самого вещества. Из свойств почв важны содержание гумуса, рН, ЕКО, гранулометрический состав [1].

Нефть и нефтепродукты [15] – это раствор органических соединений сложного состава с более 450 различных веществ, в основном это парафиновые, нафтеновые, ароматические углеводороды. В углеводородах растворены высокомолекулярные смолисто-асфальтеновые и низкомолекулярные органические вещества. В нефти содержатся и неорганические вещества:

вода, соли, сероводород, соединения металлов и неметаллов. Элементный состав: С, Н, S, N, макро- и микроэлементы.

Миграционная способность нефти в почве зависит от состава, формы нахождения, фазы состояния, микрофлоры, температуры, движения влаги и сорбции почвой.

Загрязнители неорганического происхождения. Среди них можно выделить: металлы и неметаллы [16], химикаты неорганического происхождения (ядохимикаты, биоциды, стимуляторы роста растений, структурообразователи, примеси минеральных удобрений, фосфатное сырье) [2], радионуклиды [17–23].

Миграционная способность металлов и неметаллов в почве сильно варьируется и зависит от множества факторов, в том числе свойств самого химического элемента, его сорбционной способности к почвенным частицам, гранулометрического состава, движения влаги, содержания гумуса, ЕКО [24, 25].

Миграционная способность химикатов в сильной степени варьируется в зависимости от химического состава и свойства каждого из химикатов в отдельности [24].

Радиоактивные элементы (радионуклиды) классифицируют по периоду их полураспада. Выделяют нуклиды короткоживущие и долгоживущие.

Наиболее опасны те, которые имеют большой период полураспада, т. к. они накапливаются в составе живых организмов. Наибольшая доля в радиоактивных выпадениях приходится на 90Sr, 131J, 137Cs. Для 131J период полураспада равен – 8 суток, для 90Sr и 137Cs – 28 и 33 года соответственно [17, 18].

Миграционные способности радионуклидов сильно варьируются и зависят от множества факторов [18–20]. Так, загрязненные донные отложения и почвы сохраняют радиоактивные вещества долгое время. В лесных почвах подстилка является биогеохимическим барьером на пути вертикальной миграции радионуклидов. Интенсивность профильной миграции наибольшая в гидроморфных почвах, в пойменных луговых почвах. Отмечено, что степень сорбции радионуклидов в почве зависит от дисперсности почвенных частиц: чем больше физической глины (размер фракции менее 0,01 мм) [20], тем быстрее и необратимее сорбционные процессы. Большое количество физической глины характерно для черноземных, глинистых и суглинистых почв, в которых происходит наиболее прочное закрепление радиоактивных элементов в верхних почвенных слоях. Фракция физической глины связана своим происхождением с минералами монтмориллонитовой группы и гидрослюд, способными включать некоторые радионуклиды в межпакетные пространства кристаллических решеток, из которых высвобождение происходит очень медленно.

Для большинства радионуклидов при повышении кислотности почвы увеличивается степень подвижности, например, десорбция 137Cs повышается в 2,2 раза [17]. Как правило, эта зависимость носит ярко выраженный характер. Нахождение радионуклидов в почвенной влаге и перемещение вместе с ней приводит к химическим реакциям с минеральными и органическими веществами, входящими в состав твердой фазы почвы и почвенной влаги.

Органическое вещество почвы способствует прочному, необменному поглощению радионуклидов. Подвижность радионуклидов могут обеспечить их химические соединения с наиболее подвижной органикой [23]. Более интенсивный вынос характерен для песчаных и супесчаных почв.

Вертикальный перенос сильно связан с деятельностью почвенных животных и микроорганизмов, выносом из корнеобитаемого слоя почвы в наземные части растений и др. В случае если поверхностные почвенные слои сильно насыщены корнями растений, то происходит миграция радионуклидов по их корневым системам [21].

Горизонтальная миграция происходит при ветровой эрозии почв, смывании атмосферными осадками в низменные бессточные участки. Скорость миграции зависит от гидрометеорологических факторов (скорости ветра и интенсивности атмосферных осадков), рельефа местности, вида почв и растительности и физико-химических свойств радионуклида. В зависимости от интенсивности развития эрозионных процессов содержание радионуклидов в пахотном слое на пониженных элементах рельефа может повышаться до 75 % [22].

Таким образом, номенклатура загрязняющих почву веществ достаточно широка и разнообразна, в ней выделяются как органические вещества и соединения, так и неорганические. При этом, как показывают рассмотренные особенности каждой из представленных групп загрязнителей, для определения характера их миграции в почве необходимо обязательно рассматривать систему: среда–загрязнитель. В этом случае появляется возможность выделения ряда однотипных факторов и процессов, влияющих на перенос веществ в почве.

1.4. Анализ современных методов моделирования миграции загрязняющих веществ в природных дисперсных средах К настоящему времени разработано большое количество методов математического моделирования процессов переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах, среди которых можно выделить два основных подхода [3, 22, 26, 27]:

эмпирическое моделирование (data-driven modelling) базируется на результатах прямых экспериментальных измерений переноса вещества в интересующем регионе;

теоретическое моделирование (science based modelling) базируется на физических закономерностях переноса вещества в окружающей среде.

Первый подход в основном применяется для прогнозирования развития экологической ситуации на некоторое время вперед и не позволяет проводить анализ влияния тех или иных факторов на исследуемый процесс. Здесь можно выделить эмпирические модели, базирующиеся на регрессионных уравнениях [13, 28], нейронных сетях [29, 30, 31] и экспертных системах [32, 33, 34].

Особенно бурное развитие получили методы эмпирического моделирования вертикальной миграции вещества после аварии на Чернобыльской АЭС, вследствие наличия больших объемов экспериментальных данных по временному и пространственному распределению радионуклидов в почве [28, 35]. При этом наиболее широкое распространение среди этих эмпирических подходов имеет модель, основанная на аналитическом решении уравнения конвективной диффузии:

где M0 – концентрация вещества в начальный момент времени; – постоянная распада.

Параметры уравнения (1.1) D и V определяются исходя из экспериментальных результатов измерения распределения вещества по профилю почвы.

Обычно эта процедура сводится к подбору значений D и V с целью достигнуть минимума суммы квадратов отклонений между значениями концентраций вещества в точках xi, полученных из решения уравнения, и экспериментальными данными в этих точках:

Однако нелинейность рассматриваемого процесса и влияние на его протекание большого количества факторов затрудняет использование эмпирических моделей, т. к. такие модели справедливы только в рамках тех условий и пространственно-временных масштабов, при которых они были получены [36].

Выше сказанное можно проиллюстрировать на следующем примере.

Рассмотрим экспериментальные данные об изменении относительной концентрации Cs-137 в почве с течением времени (табл. 1.1).

Глубина, см 1 87,00 71,00 62,00 56,00 52,00 49,00 45,00 40,00 30,00 26, 5 3,00 6,75 8,75 10,50 11,25 12,00 13,25 13,75 15,50 15, 15 0,10 0,20 0,20 0,10 0,30 0,20 0,20 0,50 0,50 0, 40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10 0, Используя эмпирическую модель (1.1), выполним прогнозирование дальнейшей миграции Cs-137. Определим значения параметров D и V, которые соответствуют моменту времени 0,33 года. Минимизировав функцию (1.2) получим, что при значениях коэффициента диффузии D0,33 = 0,547 и скорости V0,33 = 0,807 уравнение (1.1) будет с минимальной погрешностью описывать экспериментальные данные в момент времени, равный 0,33 года.

Используя значения этих коэффициентов, с помощью уравнения (1.1) определим распределение радионуклидов в момент времени, равный 7,59 года (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Распределение Cs-137 по глубине почвы С другой стороны, имея экспериментальные данные для 7,59 лет, можно определить, какое распределение радионуклидов должна показать используемая эмпирическая модель (т. е. при каких значениях коэффициента диффузии D и скорости V уравнение (1.1) будет наилучшим образом аппроксимировать экспериментальное распределение радионуклидов по глубине почвы в этот момент времени). Минимизировав функцию (1.2), получим, что при значениях коэффициента диффузии D7,59 = 0,678 и скорости V7,59 = 0, уравнение (1.1) будет с минимальной погрешностью описывать экспериментальные данные для времени 7,59 лет. Сравнение результатов прогнозирования, полученных с помощью эмпирической модели, с экспериментальными результатами свидетельствует о значительной погрешности анализируемой модели для других временных условий.

Таким образом, с помощью этой модели весьма затруднительно прогнозировать вертикальную миграцию радионуклидов в почве, поскольку параметры модели изменяются во времени по неизвестному закону. Такой недостаток (неприменимость модели в широких пространственно-временных масштабах) присущ и другим, используемым в настоящее время эмпирическим моделям: квазидиффузионным, камерным и т. п. [13, 28, 35], а также математическим моделям, содержащим эмпирические коэффициенты.

Из изложенного выше можно сделать вывод, что прогресс в области применения математического моделирования для анализа и прогнозирования переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах связан с заменой чисто эмпирического описания содержательным, основанным на учете протекающих процессов, приближая, таким образом, модель к реальным условиям и существенно расширяя класс решаемых прикладных проблем. В связи с этим в настоящей работе авторами сделан упор на разработку и применение теоретических моделей переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах.

Теоретический подход к построению моделей предполагает рассмотрение сущности протекающих процессов и описание их динамики на языке физически интерпретируемых уравнений [5, 37–42]. Языком теоретических моделей служат системы дифференциальных уравнений, как правило, представляющие собой уравнения баланса вещества и энергии рассматриваемой системы. Теоретический подход не требует избыточного набора экспериментальных данных для определения необходимых зависимостей. Большинство используемых параметров имеет прозрачный физический и биологический смысл, поэтому может быть измерено непосредственно. Кроме того, теоретические модели работоспособны в широком классе внешних воздействий – более обширном, чем тот, на котором они идентифицировались и верифицировались [32, 36].

Так, для математического описания переноса растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах большинство исследователей использует теорию хроматографии и сорбции [43, 44], которая получила свое развитие в работах [45–47]. При этом профиль природной дисперсной системы считается аналогом колонки, заполненной адсорбентом. Перемещение растворимого вещества в адсорбирующей среде согласно теории хроматографии и сорбции описывается следующей системой уравнений:

уравнение материального баланса вещества уравнение кинетики сорбции где liq и sol – объемные доли раствора (объемное влагосодержание) и твердой фазы в общем объеме среды; C и a – концентрация вещества в растворе и адсорбированном состоянии в расчете на единицу объема среды; t – время;

D – эффективный коэффициент диффузии вещества в среде; u – вектор скорости движения раствора в среде.

Уравнение (1.4) характеризует кинетику сорбционного равновесия.

Традиционно считают, что молекулы вещества могут адсорбироваться на поверхности дисперсной среды двумя способами: за счет физической и химической адсорбции [20, 48]. В случае физической адсорбции взаимодействие между поверхностью и адсорбируемой молекулой обусловлено межмолекулярным взаимодействием, которое не приводит к разрыву или образованию новых химических связей. Такое взаимодействие вызвано силами Вандер-Ваальса. В случае химической адсорбции адсорбированное вещество удерживается на поверхности в результате образования химической, обычно ковалентной связи. При этом с помощью уравнения (1.4) математически описываются оба случая, а функция, связывающая концентрацию a и равновесное значение концентрации C, называемая изотермой сорбции, представлена в табл. 1.2.

Генри Фрейндлиха Ленгмюра Отметим, что при переносе вещества потоком почвенной влаги могут происходить процессы, связанные с попаданием растворимых соединений в зоны т. н. неактивной пористости [4, 48–50], скорость движения жидкости в которых близка к нулю. Попавшее в эту зону вещество может оставаться в ней достаточно долго, что приведет к запаздыванию его возврата в основной поток. Для учета этого физического процесса необходимо разделять все поровое пространство дисперсной среды на два подпространства, с введением для них своей концентрации, а также интенсивности обмена веществом. Однако этот вопрос является темой отдельного исследования и не рассматривается в данной работе.

При описании переноса растворимого вещества в природных дисперсных средах часто постулируется, что равновесное значение концентрации адсорбированного вещества прямо пропорционально концентрации вещества в растворе, т. е. используется изотерма сорбции Генри [51]. Это вполне оправдано, т. к. количество вещества в растворе ничтожно мало в сравнении с адсорбционной емкостью дисперсной среды. Тогда, предполагая, что сорбционное равновесие устанавливается также по линейному закону, уравнение кинетики сорбции (1.4) записывается в виде:

где – скорость сорбции; Kd – коэффициент распределения, показывающий отношение концентрации адсорбированного вещества к концентрации вещества в растворе.

Отметим, что в уравнении (1.3) считается, что объемные доли раствора и твердой фазы постоянны. Это упрощение может вносить большие погрешности при расчете переноса загрязняющих веществ в реальных природных условиях, т. к. распределение влаги по профилю дисперсной среды неоднородно и изменяется с течением времени. Тем не менее, в большинстве работ [4, 5, 37, 40, 52, 53] при математическом описании переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах, используя это допущение и принимая, что сорбционное равновесие устанавливается мгновенно (т. е.

a Kd C ), вышеприведенную систему уравнений сводят к уравнению конвективной диффузии вида:

Тензор гидродинамической дисперсии D в уравнении (1.6) характеризует размытие фронта концентрации в реальных пористых средах как за счет молекулярной диффузии, так и за счет неоднородности порового пространства. Эта неоднородность приводит к изменению скорости жидкости в сравнении со средней скоростью вследствие разности толщин капилляров, из-за трения между частицами пористой среды и жидкостью или искривления линий тока, как это показано на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Схема формирования «размытого» фронта движения растворимого вещества [55]: за счет разности толщин капилляров (а); за счет трения в тонком почвенном капилляре (б); за счет искривления линий тока (в) В настоящее время существует несколько подходов к определению тензора гидродинамической дисперсии. Наиболее широкое распространение получило выражение, представленное в работах [23, 38, 48, 54]. Согласно этому выражению, компоненты тензора в трехмерной декартовой системе координат можно записать в виде где u x, u y и u z – соответственно средняя скорость вещества в пористой среде в направлениях x, y и z; x, y и z – соответственно параметры рассеивания пористой среды в направлениях x, y и z; – параметр, характеризующий «извилистость» диффузионных путей в поровом пространстве; Dm – коэффициент молекулярной диффузии вещества в свободной жидкости.

Следует заметить, как показано в некоторых работах [56], что зависимость гидродинамической дисперсии от скорости потока жидкости носит не линейный, а степенной характер:

Более полный анализ методов вычисления гидродинамической дисперсии растворимых веществ в капиллярно-пористых средах приведен в работе [57].

Изложенные выше теоретические подходы в той или иной степени используются в коммерческих программных комплексах для моделирования переноса загрязняющих веществ в капиллярно-пористых средах: FEFLOW (www.feflow.com), GMS (www.ems-i.com), COMSOL Multiphysics Earth Science Module (www.comsol.com), HYDRUS 2D/3D (www.hydrus2d.com), и входят в курсы лекций [17, 23].

В то же время при моделировании движения растворимых загрязняющих веществ в дисперсной среде на основе приведенных выше уравнений остается открытым вопрос определения влагосодержания liq и скорости движения растворимых веществ в среде u. Заметим, что задача определения скорости движения влаги в дисперсных средах сопряжена с большими трудностями [37, 58–61]. В естественных условиях в дисперсных средах происходит периодическое изменение температурного и влажностного режимов, которые сложным образом влияют на скорость движения почвенной влаги.

Еще А. В. Лыковым [62–64] было установлено, что при наличии во влажном капиллярно-пористом материале градиента температуры появляется дополнительный поток влаги, направленный в сторону от участка с более высокой температурой к участку с более низкой температурой. Отметим также, что температурное поле будет оказывать сильное влияние также на интенсивность фазовых превращений воды в пар и перенос влаги в парообразной форме, что приводит к изменению толщины пленок влаги, по которым осуществляется молекулярная диффузия вещества. В общем, на процесс переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах оказывают влияние следующие процессы: фильтрация атмосферных осадков, термоперенос влаги под действием градиента температуры, подток влаги к поверхности в результате испарения, изменение влагосодержания среды за счет переконденсации водяного пара.

Сделанные выводы подтверждаются результатами исследования физико-химических механизмов миграции радионуклидов в почве, полученными в работе В. М. Прохорова [5]. Действительно, В. М. Прохоров проводил эксперименты по определению эффективных коэффициентов диффузии радионуклидов при различных влажностных и температурных условиях. Суть экспериментов заключалась в следующем. Цилиндрическая емкость заполнялась исследуемой почвой, имеющей определенную влажность. Причем одна половина емкости содержала исследуемый диффундирующий элемент, а другая половина – чистую почву. Граница контакта фиксировалась с помощью фильтрационной бумаги. После заполнения емкость герметизировали и выдерживали при постоянной температуре в течение нескольких месяцев, в зависимости от величины коэффициента диффузии. По истечении установленного времени осуществлялась разборка образца и специальными методами определялось распределение радионуклидов по профилю почвы.

Затем из аналитического решения уравнения диффузии для полубесконечной пластины рассчитывался эффективный коэффициент диффузии. Экспериментальные исследования факторов, влияющих на коэффициент эффективной диффузии ионов в почвах и грунтах, приведенные в работе [5], показали, что на распределение диффундирующего элемента наряду с гранулометрическим и минералогическим составом существенное влияние оказывают влажность и температура почвы. Кроме того, в работе [65] на основании экспериментальных исследований однозначно показано, что испарение влаги с поверхности почвы оказывает влияние на перераспределение растворимых веществ.

В связи с этим для научно обоснованного моделирования переноса загрязняющих веществ в природных дисперсных средах необходимо знание скорости движения влаги и изменение насыщенности среды водой. Эти значения весьма трудоемко получить экспериментально, поскольку они являются функциями координат и времени. Поэтому уравнение конвективной диффузии необходимо дополнить уравнениями неизотермического влагопереноса, которые на основании гидрологических свойств почв и климатических факторов позволяют рассчитать динамику полей влагосодержания и скорости движения воды в дисперсной среде.

Исследование количественных закономерностей движения влаги в природных дисперсных средах представляет интерес не только при расчете переноса вещества, но и во многих других областях, таких как анализ доступности воды для сельскохозяйственных растений, разработка оптимальной ирригационной и дренажной стратегии и т. п. Поэтому к настоящему времени известно большое количество теорий, описывающих движение влаги в дисперсных средах. Рассмотрим возможность использования существующих теоретических подходов для определения динамики полей влагосодержания и скорости движения жидкости в неизотермических условиях, знание которых необходимо при моделировании переноса вещества в природных дисперсных средах.

В основе большинства математических моделей переноса влаги в дисперсных средах [9, 17, 37–39, 66–69] лежит уравнение Ричардсона:

где C liq, Pliq liq Pliq – дифференциальная влагоемкость; Pliq – давление воды в дисперсной среде (в некоторых работах вместо давления жидкости используют гидравлический напор); K Pliq – коэффициент водопрониliq – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; z – цаемости;

координата в вертикальном направлении; I – член, учитывающий иное поступление и расход воды (испарение, поглощение растениями и т. п.).

Уравнение (1.9) хорошо описывает движение влаги в изотермических условиях. Однако, как отмечено выше, изменение влагосодержания дисперсной среды, которое существенно влияет на перенос растворимых соединений, может быть вызвано не только капиллярным движением влаги, но и переконденсацией водяного пара в холодные участки среды. Поэтому использование уравнения изотермического движения влаги может приводить к значительным погрешностям при расчете конвективной диффузии растворимых соединений в неизотермических условиях.

В настоящее время для описания неизотермического движения влаги, вследствие своей простоты, по-прежнему наиболее распространен подход, основанный на теории А. В. Лыкова [62–63]. Действительно, в работах Л. М. Рекса, И. П. Айдарова, А. И. Голованова и А. М. Якиревича, подробно изложенных в публикациях [70–74], при описании переноса солей в почве определение ее влагосодержания и скорости движения влаги основано на уравнениях неизотермического влагопереноса, предложенных А. В. Лыковым. Авторы [11, 75] при моделировании движения водорастворимых соединений в природных дисперсных средах при неизотермических условиях также использовали подход А. В. Лыкова, т. е. уравнение диффузии влаги с источником или стоком сорбируемого вещества, а также членом, учитывающим эффект термовлагопроводности. Кроме того, предложенная А. В. Лыковым теория широко представлена в научных публикациях, приведенных в журнале «International Journal Heat and Mass Transfer» научного издательства «Elsevier» [76–79].

Рассмотрим более подробно систему уравнений А. В. Лыкова, состоящую из уравнения переноса влаги и уравнения теплопроводности где E – критерий фазового перехода; wliq liqliq – влагосодержание среды; D – коэффициент влагопроводности; DT – коэффициент термовлагоliq проводности; cp – теплоемкость среды; – плотность среды; T – температура; rev – удельная теплота фазового перехода; eff – эффективная теплопроводность среды.

Основной недостаток модели А. В. Лыкова заключается в том, что некоторые параметры, например критерий фазового перехода, входящие в приведенные уравнения, являются функциями толщины исследуемого образца, что осложняет использование этой модели, поскольку их можно применять только для тех начальных и граничных условий, при которых они определялись.

Продемонстрируем это на следующем примере. Согласно А. В. Лыкову, будем полагать наличие в пористом теле пара и жидкости, в связи с чем справедливы уравнения переноса пара и жидкости q liq – поток пара и жидкости в пористой среде; wv v v – парогде q v и содержание среды; v – плотность водяного пара; v – объемное содержание пара.

Следует отметить, что до настоящего времени не существует экспериментальных методов достоверного определения зависимости интенсивности массообмена от температуры и влагосодержания [80]. Поэтому для определения стока жидкости I аналогично А. В. Лыкову введем безразмерную функцию Е – критерий фазового перехода, которую будем полагать не постоянной, а переменной величиной Е(х):

Как правило, wv wliq, поэтому суммируя (1.12) и (1.13) с учетом (1.14) и выражая в явном виде поток пара, имеем:

Из уравнения (1.15) видно, что в системе уравнений А. В. Лыкова фигурирует градиентный член, обусловленный зависимостью критерия фазового перехода от координаты. Действительно, А. С. Шубин [81] экспериментально определял распределение критерия фазового превращения по толщине образца с помощью радиоактивных изотопов при температурах теплоносителя от 25 до 250 oС. По мнению автора, полученные результаты экспериментов убедительно свидетельствуют о резко выраженной зависимости локального критерия фазового превращения от координаты. Функция E x исследовалась также П. П. Луциком [82], который отмечал сильную зависимость критерия фазового превращения Е от координаты.

Таким образом, для корректного решения системы уравнений А. В. Лыкова (1.10) и (1.11) необходимо знать функцию E x. С другой стороны, возникают многочисленные трудности при определении потока жидкости q liq, т. к. для него нет замыкающего уравнения. Кроме того, возникают проблемы и в нахождении теплоты фазового перехода rev, для которой также отсутствует определяющее уравнение, в то время как она является функцией влагосодержания wliq и температуры Т.

Указанные трудности связаны с формальным введением потенциала массопереноса и применением системы уравнений (1.10) и (1.11) А. В. Лыкова к пористым телам в самом общем виде без учета структурных характеристик материала и особенностей протекания массообменного процесса.

Кроме модели А. В. Лыкова в настоящее время, особенно в зарубежных исследованиях, широко используется теория неизотермического влагопереноса, которая развивалась в работах авторов Д. Р. Филипа, Д. А. де Вреза, И. Н. Нассара и Р. Хортона [83–90]. Впервые модель неизотермического влагопереноса, учитывающую перенос влаги как за счет градиента давления жидкости, так и за счет температурного градиента, предложили Д. Р. Филип и Д. А. де Врез [83]. Впоследствии в эту модель для лучшего соответствия экспериментальным данным был добавлен эмпирический параметр, учитывающий термодиффузию водяного пара [91]. В дальнейшем эта модель была усовершенствована И. Н. Нассаром и Р. Хортоном [87, 88], которые добавили член, учитывающий влияние осмотического давления на перенос влаги.

Рассмотрим основные уравнения этой теории и трудности, возникающие при моделировании с ее помощью неизотермического влагопереноса.

Основное уравнение, описывающее движение влаги в пористой среде, имеет вид [90]:

где H – гидравлический напор; K LH и K LT – изотермический и термический коэффициенты влагопроводности; K vH и K vT – изотермический и термический коэффициенты паропроводности.

При этом для определения зависимости между гидравлическим напором и объемным влагосодержанием предлагается использовать эмпирическую функцию, полученную M. Т. ван Генухтеном [92]:

и выражение С. А. Гранта [93] для учета влияния на эту зависимость температуры:

где sat – максимально возможное объемное влагосодержание рассматриваемой среды; res – объемное влагосодержание, при котором перенос влаги в жидкой фазе прекращается;, n и m – эмпирические параметры; T – зависимость коэффициента поверхностного натяжения воды от температуры.

В анализируемой модели определение параметров переноса (изотермических и термических коэффициентов влагопроводности и паропроводности) основано на следующих выражениях [87, 90, 94, 95]:

где K s – коэффициент влагопроводности при полном насыщении среды влагой; Se – эффективное влагосодержание; l – эмпирический параметр;

GwT – эмпирический коэффициент, учитывающий температурную зависимость водоудержания среды [96]; D – коэффициент диффузии водяного пара в среде; sat – плотность насыщенного водяного пара; M – молекулярная масса воды; R – универсальная газовая постоянная; – эмпирический коэффициент, увеличивающий значение термодиффузии водяного пара [91].

Исходя из вышеизложенного, можно отметить следующие недостатки, присущие модели Филипа и де Вреза. Во-первых, в рассматриваемой модели для учета температурной зависимости гидравлического напора от температуры используется уравнение С. А. Гранта (1.18). Однако формула С. А. Гранта получена при рассмотрении поведения жидкости в идеализированной пористой среде. Реальная же капиллярно-пористая среда имеет случайную фрактальную структуру и описание поведения в ней жидкости введением параметров радиус пор и поверхностное натяжение – некорректно.

Во-вторых, в этой модели для лучшего соответствия результатов моделирования экспериментальным данным введены эмпирические коэффициенты GwT и [91, 96], а как было показано выше, модели с эмпирическими коэффициентами справедливы только в рамках тех условий, при которых они были получены. Действительно, в работе [89] выполнялась верификация модели Филипа и де Вреза, которая показала хорошее согласование результатов моделирования с экспериментальными данными при определенном значении коэффициента термодиффузии водяного пара. Однако при изменении условий эксперимента (повышение градиента температуры) наблюдалось большое отклонение результатов расчета от экспериментальных данных, которое удалось устранить только при увеличении значения коэффициента термодиффузии водяного пара более чем в три раза.

Кроме того, параметры уравнения ван Генухтена (1.17) [92] в рассматриваемой модели определяются исходя из движения влаги в свободной и капиллярной форме, а при описании процессов переконденсации водяного пара и термокапилярных течениях важную роль играет адсорбированная и пленочная влага. Это вызывает сомнения в правомерности использования уравнений (1.17) и (1.18) для определения зависимости гидрологического напора в области влагосодержаний, когда вода находится в адсорбированной и пленочной форме. Как показано в работах Н. Н. Гринчика [60, 97], в этом случае для определения зависимости между давлением жидкости (гидрологическим напором) и влагосодержанием предпочтительно использовать изотермы сорбции, полученные при различных температурах. Тогда с помощью уравнения Кельвина, зная влагосодержание, можно получить количественные оценки значения давлений жидкости для реального пористого тела с макроскопической кривизной и шероховатостью, которые, как правило, неизвестны. Действительно, из физики почв [17] известно, что влага в почве при относительной влажности менее < 0,95 находится в адсорбированном состоянии и в этом случае зависимость между гидравлическим напором и объемным влагосодержанием может быть получена только при помощи сорбционного анализа.

Вышеизложенные недостатки затрудняют использование аналитических подходов Д. Р. Филипа и Д. А. де Вреза для моделирования неизотермического влагопереноса в природных дисперсных средах. В то же время в работах [41, 32, 60, 98, 99] отмечено, что более строго подойти к рассмотрению тепломассопереноса в пористых средах при наличии фазовых превращений позволяет теория двухфазной фильтрации. Эта теория основана на раздельном описании движения каждой из фаз и закона сохранения массы обеих фаз [100, 101]. Уравнения двухфазной фильтрации используются многими авторами, поэтому более подробно рассмотрим основные положения этой теории и трудности, возникающие при описании с ее помощью неизотермического массопереноса в пористых средах.

В основе теории двухфазных течений, когда рассматривается движение жидкости и пара, лежат уравнения сохранения массы обеих фаз, которые не вызывают сомнения. Однако система уравнений двухфазной фильтрации не замкнута. В классическом варианте теории принимается следующая гипотеза [57]. Разность давлений в фазах P Рv Рliq, т. е. капиллярное давление выражается через универсальную функцию мгновенной насыщенности а для вычисления интенсивности массообмена между жидкостью и паром I предлагается использовать выражение:

где – краевой угол смачивания; m – объемная пористость капиллярнопористой среды; K 0 – коэффициент проницаемости пористой среды;

J (liq ) – функция Леверетта; Psat T – давление насыщенного пара над поверхностью воды; Pv – давление водяного пара.

Уравнение (1.23) впервые было предложено Левереттом [102], и, как экспериментально установлено, функция Леверетта J (liq ) сохраняет свой вид с достаточной точностью для целых классов сходных по структуре пористых сред. Отметим, что зависимость J (liq ) получают для равновесного распределения фаз. В то же время поверхностное натяжение и краевой угол смачивания жидкостью пористого образца являются сложными функциями температуры и для реальных пористых сред фактически неизвестны. Кроме того, если все-таки удалось экспериментально определить неизотермическую функцию Леверетта J (Т,liq ), то даже в этом случае невозможно задать граничные условия при испарении, т. к. в функцию Леверетта не входит давление пара. Также при использовании этой функции невозможно определить теплоту сорбции или десорбции, поскольку для ее вычисления нет замыкающих соотношений.

Как показывают публикации в журнале «Advances in Water Resources»

научного издательства «Elsevier» [103], положения теории двухфазной фильтрации по-прежнему широко применяются при моделировании неизотермического влагопереноса. Так, для моделирования влагопереноса авторами [103] предлагается использовать систему уравнений двухфазной фильтрации:

уравнение переноса жидкости уравнение переноса газа где g – объемное содержание газа в пористой среде; liq и g – скорость движения воды и газа в пористой среде.

Однако в качестве замыкающего соотношения к приведенной системе уравнений (1.25) и (1.26) авторы используют формулу С. А. Гранта (1.18) и эмпирическую зависимость между давлением жидкости и объемным влагосодержанием, полученную Р. Х. Бруксом [104]:

где Pb и b – эмпирические параметры.

Отметим, что коэффициенты в этом выражении, как и в уравнении М. Т. ван Генухтена, определяются при рассмотрении движения влаги в свободной и капиллярной форме, поэтому рассматриваемой модели присущи такие же недостатки, как и модели Д. Р. Филипа и Д. А. де Вреза.

Для вычисления интенсивности массообмена между фазами авторы [103] предлагают следующий подход. Приняв сначала значение интенсивности массообмена I равной нулю, из решения системы уравнений (1.25), (1.26) и уравнения переноса энергии находят значения давления жидкости и температуры в среде. Затем, используя уравнение Кельвина для вычисления плотности водяного пара и учитывая, что объемная пористость капиллярнопористой среды равна m liq g, из уравнения диффузии водяного пара находится первое приближение интенсивности массообмена. Далее, применяя метод последовательных приближений, осуществляется итерационное уточнение значений давления жидкости, плотности водяного пара, температуры и интенсивности массообмена.

Однако этот подход имеет следующий недостаток. Согласно работам [60, 105], при определении гидродинамической дисперсии водяного пара в пористой среде J v существуют трудности принципиального характера. Из-за хаотичности микроструктуры пористой среды истинные локальные скорости движения пара существенно отличаются от средних значений v. Возникает дополнительный пульсационный перенос вещества в фильтрационном потоке, называемый также конвективной диффузией в пористых средах [48]. Частицы пара диффундируют в фильтрационном потоке так же, как и в турбулентном потоке жидкости, хотя природа случайных пульсаций скоростей различна.

В турбулентном потоке она вызвана неустойчивостью течений при больших числах Рейнольдса, когда скорость в каждой точке случайно меняется во времени. В пористых средах пульсации реализуются в пространстве и вызываются «устойчивой» случайностью микроструктуры среды.

Таким образом, проведенный анализ свидетельствует о сложности достоверного расчета интенсивности массообмена между жидкой и газообразной фазой на основании уравнения (1.28).

Кроме того, при описании переноса энергии в рассматриваемой модели, а также в модели неизотермического влагопереноса Д. Р. Филипа и Д. А. де Вреза не учитывается теплота сорбции, в то время как в работах [60, 98, 106] показано, что теплота сорбции может существенно влиять на перенос тепла и переконденсацию водяного пара в пористой среде.

Необходимо отметить, что большинство попыток улучшить, модернизировать модели неизотермического влагопереноса касаются только самой системы уравнений, при этом краевым условиям уделяется мало внимания.

Поэтому при практическом использовании рассмотренных выше моделей возникают проблемы с учетом влияния климатических условий (испарения, инфильтрации осадков и т. п.) на перенос влаги в природных дисперсных средах. Так, в работе [89] для учета испарения на поверхности почвы в качестве граничных условий задается изменение влагосодержания от времени, которое в реальных природных условиях, в отличие от давления пара или относительной влажности, неизвестно. Подобные проблемы возникают и при использовании уравнения А. В. Лыкова, т. к. в него не входят параметры, непосредственно зависящие от изменения климатических факторов.

Кроме того, в существующих моделях не рассматривается возможность их использования для моделирования процессов переноса растворимых веществ и влаги в природных дисперсных средах, состоящих из областей с различными физическими свойствами. В то же время в реальных природных условиях перенос вещества и влаги осуществляется в средах, отличающихся неоднородностью распределения физических свойств. Конечно, в этом случае не изменяется сам вид используемых уравнений, но требуется формулировка граничных условий на границе раздела сред (областей с различными физическими свойствами) или использование специальных методов численного решения, учитывающих граничные условия на границе раздела сред автоматически.

1. Добровольский, Г. В. Почва, город, экология / Г. В. Добровольский. – М.:

Фонд за экологическую грамотность, 1997. – 320 c.

2. Новиков, Ю. В. Экология, окружающая среда и человек: уч. пособ. для вузов, средних школ и колледжей / Ю. В. Новиков. – М.: Грант: Фаир-пресс, 2003. – 551 с.

3. Перспективы применения методов компьютерного моделирования для анализа и прогнозирования миграции радионуклидов в окружающей среде / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк [и др.] // Чернобыль 20 лет спустя: Стратегия восстановления и устойчивого развития пострадавших регионов: материалы Междунар. конф., Минск, 19–21 апр. 2006 г. – Минск, 2006. – С. 82–87.

4. Пачепский, Я. А. Математические модели физико-химических процессов в почвах / Я. А. Пачепский. – М.: Наука, 1990. – 180 с.

5. Прохоров, В. М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах.

Физико-химические механизмы и моделирование / В. М. Прохоров; под ред.

Р. М. Алексахина. – М.: Энергоиздат, 1981. – 98 с.

6. Исследование закономерностей поведения радиоцезия в почвенно-растительном покрове белорусского Полесья после аварии на ЧАЭС / Н. В. Гребенщикова [и др.] // Агрохимия. – № 1. – 1992. – C. 91–97.

7. Кузнецов, В. А. К характеристике поведения стронция-90 и цезия- в ландшафтах / В. А. Кузнецов, В. П. Кольненков, В. А. Генералова // Доклады АН БССР. – 1990. – Т. 34, № 12. – C. 1123–1127.

8. Математические модели засоления и осолонцевания почв / Я. А. Пачепский [и др.] // Моделирование процессов засоления и осолонцевания почв. – М.: Наука, 1980. – C. 161–215.

9. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод / Н. Н. Веригин [и др.]; под общ. ред. Н. Н. Веригина. – М.: Колос, 1979. – 336 с.

10. Бровка, Г. П. Моделирование теплового и влажностного режимов верхнего слоя торфяных почв с учетом локальных климатических условий / Г. П. Бровка, В. А. Сычевский // Природные ресурсы. – 1998. – № 2. – C. 20–25.

11. Бровка, Г. П. Тепло- и массоперенос в природных дисперсных системах при промерзании / Г. П. Бровка. – Минск: Наука и техника, 1991. – 191 с.

12. Overland water flow and solute transport: Model development and field-data analysis / F. Abbasi [et al.] // J. of Irrig. and Drainage. – 2003. – No. 129, Vol. 2. – P. 71–81.

13. Hass, R. A critical approach to modelling of depth distributions. And transport of radionuclides in soils and sediments. And related problems / R. Hass // Library of university Trier [Electronic resource]. – 2005. – Mode of access:

ubt.opus.hbz-nrw.de/volltexte/2005/304/pdf/haasroland.pdf. – Date of access:

05.04.2007.

14. Клюев, Н. А. Определение полихлорированных бифенилов в окружающей среде и биоте / Н. А. Клюев, Е. С. Бродский // Полихлорированные бифенилы. Супертоксиканты XXI века: инф. выпуск. – М.: ВИНИТИ, 2000. – № 5. – C. 31–63.

15. Загрязнение нефтью и нефтепродуктами / Т. П. Славнина [и др.] // Основы использования и охраны почв Западной Сибири. – Новосибирск: Наука.

Сиб. отд-ние, 1989. – C. 186–207.

16. Садовникова, Л. К. Показатели загрязнения почв тяжелыми металлами и неметаллами в почвенно-химическом мониторинге / Л. К. Садовникова, Н. Г. Зырин // Почвоведение. – М.: Наука, 1985. – № 10. – C. 84–89.

17. Штейн, Е. В. Курс физики почв: учебник / Е. В. Штейн. – М.: Изд-во МГУ, 2005. – 472 с.

18. Василенко, И. Я. Радиоактивный цезий-137 / И. Я. Василенко // Природа. – 1999. – № 3. – C. 70–76.

19. Парфенов, В. И. Радиоактивное загрязнение растительности Беларуси (в связи с аварией на Чернобыльской АЭС) / В. И. Парфенов, Б. И. Якушев. – Минск: Навука i тэхнiка, 1995. – 582 c.

20. Рощина, Т. М. Адсорбционные явления и поверхность / Т. М. Рощина // Соросовский образовательный журнал, 1998. – № 2. – C. 89–94.

21. Агеец, В. Ю. Система радиоэкологических контрмер в агросфере Беларуси / В. Ю. Агеец. – Гомель: РНИУП «Институт радиологии», 2001. – 250 c.

22. Science-based modelling of Chernobyl fallout trend / M. Kanevski [et al.]. – M., 2002. – 22 p. – (Preprint / RAS, Nuclear Safety Institute. – IBRAE-2002-08).

23. Bear, J. Introduction to Modeling Transport Phenomena in Porous Media / J. Bear, Y. Bachmat. – Springer, 1990. – 584 p.

24. Карпухин, А. И. Влияние применения удобрений на содержание тяжелых металлов в почвах длительных полевых опытов / А. И. Карпухин, Н. Н. Бушуев // Агрохимия. – 2007. – № 5. – C. 76–84.

25. Колесников, С.И. Экологические последствия загрязнения почв тяжелыми металлами / С. И. Колесников, К. Ш. Казеев, В. Ф. Вальков. – Ростов н/Д:

СКНЦВШ. – 2000. – 230 c.

26. Алексеев, В. В. Физическое и математическое моделирование экосистем / В. В. Алексеев, И. И. Крышев, Т. Г. Сазыкина. – СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. – 367 с.

27. Математическое моделирование процессов переноса вещества и влаги в почве / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк [и др.] // Экологический вестник. – 2007. – № 1. – C. 62–72.

28. Bunzl, K. Vertical Migration of 239,240Pu, 241Am and 137Cs. Fallout in a forest soil under spruce / K. Bunzl, W. Kracke, W. Schimmack // Analyst. – 1992. – № 117. – P. 469–473.

29. Polishchuk, V. Application and Development of Radial Basis Functions Artificial Neural Networks for Analysis and Modelling of Spatially Distributed Information / V. Polishchuk, M. Kanevski. – M., 2006. – 28 p. – (Preprint / RAS, Nuclear Safety Institute. – IBRAE-99-06).

30. Головко, В. А. Нейронные сети: обучение, организация и применение:

учеб. пособие для вузов / В. А. Головко; общ. ред. А. И. Галушкина. – М.:

ИПРЖР, 2001. – Кн. 4. – 256 с.

31. Кундас, С. П. Архитектура гибридных экспертных систем для прогнозирования миграции радионуклидов в почве / С. П. Кундас, В. И. Коваленко, И. А. Гишкелюк // Инженерный вестник. – 2006. – № 1(21)/3. – С. 206–209.

32. Kundas, S. Application of computer modeling for analysis and forecasting of radionuclide’s migration in soil / S. Kundas, V. Kovalenko, I. Gishkeluk // J. of the University of Applied Sciences Mittweida (Germany). – 2006. – № 10. – P. 44–49.

33. Герман, О. В. Введение в теорию экспертных систем и обработку знаний / О. В. Герман. – Минск: ДизайнПРО, 1995. – 255 с.

34. Кундас, С. П. Методы и алгоритмы гибридизации экспертных систем для прогнозирования миграции радиоактивных и химических веществ в почве / С. П. Кундас, В. И. Коваленко, И. А. Гишкелюк // Экологический вестник. – 2009 – № 1. – С. 76–86.

35. Characteristics of 90Sr, 137Cs and 239,240Pu migration in undisturbed soils of southern Belarus after the Chernobyl accident / V. A. Knatko [et al.] // J. Environ.

Radioactivity. – 1996. – № 30(2). – P. 185–196.

36. Полуэктов, Р. А. Сравнение эмпирического и теоретического подходов в математическом моделировании агроэкосистем на примере описания фотосинтеза / Р. А. Полуэктов, А. Г. Топаж, В. Миршель // Математическое моделирование. – 1998. – Т. 10, № 7. – С. 25–36.

37. Bear, J. Modeling Groundwater Flow and Pollution / J. Bear, A. Verruijt // D. Reidel Publishing Co. – 1987. – 414 p.

38. Simunek, J. The HYDRUS-1D Software Package for Simulating the OneDimensional Movement of Water, Heat and Multiple Solutes in Variably-Saturated Media. Version 3.0 / J. Simunek, M. Th. van Genuchten, M. Sejna; Department of Environmental Sciences, University of California. – Riverside, 2005. – 240 p.

39. Кудряшов, Н. А. Численное моделирование миграции радионуклидов в почве после радиоактивных выпадений / Н. А. Кудряшов, И. К. Алексеева // Инженерно-физич. журнал. – 2001. – Т. 71, № 6. – C. 976–982.

40. Серебряный, Г. З. Аналитическая модель миграции радионуклидов в пористых средах / Г. З. Серебряный, М. Л. Жемжуров // Инженерно-физич.

журн. – 2003. – Т. 76, № 6. – С. 146–150.

41. Кундас, С. П. Математическая модель миграции радионуклидов в почве / С. П. Кундас, Н. Н. Гринчик, И. А. Гишкелюк // Вестник Полоцкого государственного университета. Фундаментальные науки. – 2005. – № 3. – С. 56–60.

42. Кундас, С. П. Численное моделирование миграции примесей в почве / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк, Н. Н. Гринчик // Природопользование и окружающая среда: сб. науч. ст. – Минск: БелНИЦ «Экология», 2008. – С. 56–60.

43. Киселев, А. В. Межмолекулярные взаимодействия в адсорбции и хроматографии / А. В. Киселев. – М.: Высш. шк., 1986. – 360 с.

44. Рачинский, В. В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии / В. В. Рачинский. – М.: Наука, 1964. – 136 с.

45. Wilson, I. N. A theory of chromatography / I. N. Wilson // J. Am. Chem.

Soc. – 1940. –Vol. 62. – P. 1583–1591.

46. Тодес, О. М. Динамика сорбции смесей / О. М. Тодес // Журнал прикладной химии. – 1945. – T. ХVIII, № 11–12. – C. 591–608.

47. Цвет, М. С. Хроматографический адсорбционный анализ: избранные работы / М. С. Цвет. – М.: Изд. АН СССР, 1946. – 273 c.

48. Движение углеводородных смесей в пористой среде / В. М. Николаевский [и др.]; под общ. ред. В. М. Николаевского. – М.: Недра, 1968. – 190 с.

49. Phillip, J. R. The theory of absorption in aggregated media / J. R. Phillip // Aust. J. Soil Res. – 1968. – Vol. 6. – P. 1–19.

50. Genuchten, M. Th. van. Mass transfer studies in sorbing porous media, I. Analytical solutions / M. Th. van Genuchten, P. J. Wierenga // Soil Sci. Soc.

Am. J. – 1976. – Vol. 40. – P. 473–481.

51. Appelo, C. A. J. Geochemistry, Groundwater and Pollution / C. A. J. Appelo, D. Postma. – Rotterdam: A. A. Balkema Publishers, 1993. – 536 p.

52. Математическое моделирование природных экосистем / В. И. Косов [и др.]. – Тверь: Изд. ТГТУ, 1998. – 255 с.

53. Павлоцкая, Ф. И. Миграция радиоактивных продуктов глобальных выпадений в почвах / Ф. И. Павлоцкая. – М.: Атомиздат, 1974. – С. 216.

54. COMSOL Multiphysics. User’s Guide. – COMSOL AB, 2007. – 588 p.

55. Kinzelbach, W. Groundwater Modelling / W. Kinzelbach // Developments in Water Science. – Elsevier, 1986. – 334 p.

56. Бровка, Г. П. Расчет конвективного переноса водорастворимых соединений с учетом кинетики сорбции / Г. П. Бровка // Инженерно-физич. журн. – 2001. – Т. 74, № 3. – С. 25–29.

57. Павлюкевич, Н. В. Введение в теорию тепло- и массопереноса в пористых средах / Н. В. Павлюкевич. – Минск: ИТМО НАН Беларуси, 2001. – 192 с.

58. Дерягин, Б. В. Вода в дисперсных системах / Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев, Ф. Д. Овчаренко. – М.: Химия, 1989. – 288 с.

59. Дерягин, Б. В. Полимолекулярная адсорбция и капиллярная конденсация в узких щелевых порах / Б. В. Дерягин, Н. В. Чураев // Колл. журн. – 1976. – Т. 38. – C. 1083–1110.

60. Гринчик, Н. Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах, мембранах / Н. Н. Гринчик. – Минск, 1991. – 251 с.

61. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. – М.: Наука, 1977. – 664 c.

62. Лыков, А. В. О системах дифференциальных уравнений тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах / А. В. Лыков // Инженерно-физич. журн. – 1974. – Т. 2, № 1. – C. 18–26.

63. Лыков, А. В. Теоретические основы строительной теплофизики / А. В. Лыков. – Минск: Наука и техника, 1961. – 520 с.

64. Лыков, А. В. Теория сушки / А. В. Лыков. – М.: Энергия, 1968. – 471 с.

65. ztrk, H. S. Effects of Evaporation and Different Flow Regimes on Solute Distribution in Soil / H. S. ztrk, I. zkan // Transport in Porous Media. – 2004. – Vol. 56, № 3. – P. 245–255.

66. Simunek, J. The UNSATCHEM-2D code for simulating two dimensional variably saturated water flow, heat transport, carbon dioxide transport, and solute transport with major ion equilibrium and kinetic chemistry. Version 1.1 / J. Simunek, D. L. Suarez // U.S. Salinity Lab., Riverside, CA. – 1993.

67. Dam, J. C. van. Theory of SWAP, version 2.0 / J. C. van Dam [et al.]; Dept.

of Water Resour, Wageningen Agricultural University. – Wageningen, 1997. – 167 p.

68. Dam, J. C. van. Numerical simulation of infiltration, evaporation and shallow groundwater levels with the Richards’ equation / J. C. van Dam, R. A. Feddes // Journal of Hydrology. – 2000. – № 233(1/4). – P. 72–85.

69. Fetter, C. W. Contaminant Hydrogeology / C. W. Fetter // Prentice-Hall Publishing Company. – 1998. – 500 p.

70. Айдаров, И. П. Регулирование водно-солевого и питательного режима орошаемых земель / И. П. Айдаров. – М.: Агропромиздат, 1985. – 304 с.

71. Айдаров, И. П. Оптимизация мелиоративных режимов орошаемых и осушаемых земель / И. П. Айдаров, А. И. Голованов, Ю. Н. Никольский. – М.:

Агропромиздат, 1990. – 58 c.

72. Основы природообустройства / А. И. Голованов [и др.]. – М.: Колос, 2001. – 264 c.

73. Злотник, В. А. Опыт расчета режимов орошения минерализованными водами / В. А. Злотник, А. Н. Морозов // Гидротехника и мелиорация. – 1983. – № 10. – C. 62–65.

74. Численное исследование математических моделей переноса влаги в почве / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк [и др.] // Инженерный вестник. – 2006. – № 1(21)/3. – C. 52–55.

75. Абрамец, А. М. Массоперенос в природных дисперсных системах / А. М. Абрамец, И. И. Лиштван, Н. В. Чураев. – Минск: Навука і тэхніка, 1992. – 288 с.

76. Eckert, Е. R. G. General analysis of moisture migration caused by temperature differences in an unsaturated porous medium / Е. R. G. Eckert, А. А. Faghri // Int. J. of Heat and Mass Transfer. – 1980. – Vol. 23, No. 12. – P. 869–878.

77. Huang, С. L. D. Мulti-рhаsе moisture transfer in роrоus media subjected to temperature gradient / С. L. D. Huang // Int. J. of Heat and Mass Transfer. – 1979. – Vol. 22, No. 8. – P. 1295–1307.

78. Plumb, О. А. Heat and mass transfer in wooduring druing / О. А. Plumb, G. A. Spolek, В. А. O1mstead // Int. J. of Heat and Mass Transfer. – 1985. – Vol. 28, No. 9. – P. 1669–1678.

79. Prat, М. Аnаlуsis of experiments of moisture migration caused by temperature differences in unsaturated porous medium by means of two-dimensional numerical simulation / М. Prat // Int. J. of Heat and Mass Transfer. – 1986. – Vol. 29, No. 7. – P. 1033–1039.

80. Janz, M. Methods of measuring the moisture diffusivity at high moisture levels / M. Janz; Lund institute of technology, Division of Building Materials. – Lund, 1997. – 73 p.

81. Шубин, А. С. Влияние температурных и влажностных параметров на перенос влаги / А. С. Шубин. – М.: Профиздат, 1958. – 196 с.

82. Луцик, П. П. Кинетика поля фазового превращения в дисперсных телах при сушке / П. П. Луцик // Теплофизика и технология сушильно-термических процессов: cб. статей. – 1975. – C. 229.

83. Philip, J. R. Moisture movement in porous media under temperature gradients / J. R. Philip, D. A. de Vries // Transactions American Geophysical Union. – 1957. – Vol. 38, No. 5. – P. 222–231.

84. Vries, D. A. de. The theory of heat and moisture transfer in porous media revisited / D. A. de Vries // Int. J. Heat Mass Transfer. – 1987. – Vol. 30, No. 7. – P. 1343–1350.

85. Milly, P. C. D. Moisture and heat transport in hysteretic, inhomogeneous porous media: A matric head-based formulation and a numerical model / P. C. D. Milly // Water Resour Res. – 1982. – Vol. 18, No. 3. – P. 489–498.

86. Milly, P. C. D. A simulation analysis of thermal effects on evaporation from soil / P. C. D. Milly // Water Resour Res. – 1984. – Vol. 20, № 8. – P. 1087–1098.

87. Nassar, I. N. Water transport in unsaturated nonisothermal salty soil:

II. Theoretical development / I. N. Nassar, R. Horton // Soil Sci. Soc. Am. J. – 1989. – Vol. 53. – P. 1330–1337.

88. Nassar, I. N. Simultaneous transfer of heat, water, and solute in porous media: I. Theoretical development / I. N. Nassar, R. Horton // Soil Sci Soc Am. J. – 1992. – Vol. 56. – P. 1350–1356.

89. Bachmann, J. Isotermal and nonisotermal evaporation from four sandy soils of different water repellency / J. Bachmann, R. Horton // Soil Sci Soc Am. J. – 2001. – Vol. 65. – P. 1599–1607.

90. Saito, H. Numerical Analysis of Coupled Water, Vapor, and Heat Transport in the Vadose Zone / H. Saito, J. Simunek, B. P. Mohanty // Vadose Zone Journal. – 2006. – No. 5. – P. 784–800.

91. Cass, A. Enhancement of thermal water vapor diffusion in soil / A. Cass // Soil Sci. Soc. Am. J. – 1984. – Vol 48. – P. 25–32.

92. Genuchten, M. Th. van. A closed-form equation for predicting the hydraulic of conductivity of unsaturated soils / M. Th. van Genuchten // Soil Sci. Soc. Am. J. – 1980. – Vol. 44. – P. 892–898.

93. Grant, S. A. Calculation of temperature effects on wetting coefficients of porous solids and their capillary pressure functions / S. A. Grant, A. Salehzadeh // Water Resour Res. – 1996. – Vol. 32. – P. 261–270.

94. Noborio, K. Two-dimensional model for water, heat, and solute transport in furrow-irrigated soil: I. Theory / K. Noborio, K. J. McInnes, J. L. Heilman // Soil Sci.

Soc. Am. J. – 1996. – Vol. 60. – P. 1010–1021.

95. Fayer, M. J. UNSAT-H version 3.0: Unsaturated soil water and heat flow model. Theory, user manual, and examples / M. J. Fayer; Pacific Northwest National Laboratory, Richland. – Washington, 2000. – 184 p.

96. Nimmo, J. R. The temperature dependence of isothermal moisture vs.

potential characteristics of soils / J. R. Nimmo, E. E. Miller // Soil Sci. Soc. Am. J. – 1986. – Vol. 50. – P. 1105–1113.

97. Гринчик, Н. Н. Моделирование конвективной диффузии растворимых веществ в капиллярно-пористых средах при неизотермическом влагопереносе / Н. Н. Гринчик, И. А. Гишкелюк, С. П. Кундас // VI Минский междунар. форум по тепломассообмену [Электронный ресурс]: материалы 6-го междунар. форума. – Электрон. дан. (486 Мб). – Минск: ИТМО НАН Беларуси, 2008. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

98. Моделирование процессов термовлагопереноса в капиллярно-пористых средах / С. П. Кундас, И. А. Гишкелюк [и др.]. – Минск: ИТМО НАН Беларуси, 2007. – 292 c.

99. Гишкелюк, И. А. Математическое моделирование конвективной диффузии растворимых соединений в почве при неизотермическом влагопереносе / И. А. Гишкелюк, Н. Н. Гринчик, С. П. Кундас // Инженерно-физич. журн. – 2008. – Т. 81, № 5. – С. 924–935.

100. Баренблат, Г. И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г. И. Баренблат, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. – М.: Недра., 1984. – 208 с.

101. Подземная гидравлика / К. С. Басниев [и др.]. – М.: Недра, 1984. – 303 с.

102. Leverett, M. C. Capillary behavior in porous solids / M. C. Leverett // Trans. AIME. – 1941. – Vol. 142. – P. 152–169.

103. Grifoll, J. Non-isothermal soil water transport and evaporation / J. Grifoll, J. M. Gast, Y. Cohen // Advances in Water Resources. – 2005. – Vol. 28. – P. 1254–1266.

104. Brooks, R. H. Properties of porous media affecting fluid flow / R. H. Brooks, A. T. Corey // J. Irrig. Drainage Div., ASCE Proc. – 1966. – Vol. (IR2). – P. 61–88.

105. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости: пер. с англ. / Дж. Бэтчелор. – М.: Мир, 2004. – 768 с.

106. Киреев, В. А. Курс физической химии / В. А. Киреев. – М.: Химия, 1975. – 493 c.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА

ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ В ПРИРОДНЫХ

ДИСПЕРСНЫХ СРЕДАХ ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОМ

ВЛАГОПЕРЕНОСЕ

2.1. Конвективная диффузия растворимых загрязняющих веществ в природных дисперсных средах с учетом неравновесной сорбции в условиях изменения насыщенности почвы влагой Рассмотрим закономерности перемещения растворимого вещества через поровое пространство дисперсной среды, содержащей влагу. Для элементарного объема V дисперсной среды, линейный масштаб которого l много меньше внешнего масштаба L задачи, но много больше характерного размера капилляров r, из которых состоит изучаемая среда (т. е. L l r ), справедливо балансовое уравнение [1]:

где Js – поток растворимого вещества.

При переносе вещества потоком влаги могут протекать процессы адсорбции растворимых соединений на поверхности твердой фазы дисперсной среды [1–3]. Как было показано в предыдущей главе, для учета адсорбции можно задать интенсивность поглощения вещества, которая связана с концентрацией растворимого вещества в жидкой фазе уравнением кинетики сорбции:

Для учета изменения концентрации растворимого и адсорбированного вещества за счет процессов химического и радиоактивного превращения, поглощения вещества растениями и т. п. в уравнения баланса (2.1) и кинетики сорбции (2.2) введем соответствующие функции Fliq и Fsolid, характеризующие интенсивность этих процессов [4, 5].

С учетом изложенного выше баланс вещества в дисперсной среде запишется в виде системы уравнений где b – плотность твердой фазы почвы.

Рассмотрим движение потока растворимого вещества в дисперсной среде. Для описания переноса растворенных веществ в пористых средах обычно используется уравнение конвективной диффузии: