WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Калмыцкий государственный университет»

Е.О. Басангоеа

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

И КОМБИНАТОРИКУ

Учебное пособие

Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по группе математических и механических направлений и специальностей Элиста 2007 ББК В126(2Рос.Калм)я73+В141(2Рос.Калм)я73 Б 270 Басангова, Е.О.

Введение в теорию множеств и комбинаторику [Текст]: учебное посо­ бие / Е.О. Басангова. - Элиста, 2007. - 88 с.

Пособие содержит теоретический и практический курс по основам теории множеств и комбинаторики. Состоит из двух частей. Разделы каж­ дой части содержат упражнения, снабженные ответами. В конце обеих час­ тей подобран комплект задач по всем темам.

Предназначается для студентов университета специальности «Математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета КГУ.

Рецензенты: зав. кафедрой прикладной математики и программирования ЮФУ, д-р физ.-мат. наук Г.А. Угольницкий;

проф. кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ, д-р физ.-мат. наук Я.М. Ерусалимский © Издательство Калмыцкого университета, 2007 г.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1. Определение множества 1.2 Способы задания множеств 1.3. Сравнение множеств 1.4 Операции над множествами 1.5 Свойства операций над множествами 1.6. Счетные множества 1.7. Разбиения и покрытия 1.8. Формула включений и исключений 1.9. Произведение множеств 1.10. Бинарные отношения 1.11. Обратные отношения и композиции отношений 1.12. Свойства отношений 1.13. Приложение. Системы управления базами данных 1.14. Функции 1.15. Обратные функции и композиция функций 1.16. Принцип Дирихле

ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

2. КОМБИНАТОРИКА 2.1. Правило суммы и произведения 2.2. Размещения, перестановки, сочетания 2.2.1 Размещения с повторениями 2.2.2 Размещения без повторений 2.2.3 Перестановки без повторений 2.2.4 Сочетания без повторений 2.2.5 Перестановки с повторениями 2.2.6 Сочетания с повторениями 2.2.7 Биномиальные коэффициенты 2.3. Комбинаторика разбиений

ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ

ЛИТЕРАТУРА

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1. Определение множества Под множеством понимают совокупность предметов, безразлично какой природы, собранных по какому-либо признаку. Например, множество целых чисел, множество студентов, коллекция картин и т.д.

Георг Кантор (1845 - 1918) - основатель теории множеств - сказал:

«Множество - есть многое, мыслимое как единое».

Множество состоит из элементов. Например, число 14 является эле­ ментом множества целых чисел, а число 7.3 - не является элементом мно­ жества целых чисел.

Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами:

А, В, С, D,..., X, Y, Z, а элементы - строчными буквами а, Ь, с, d,..., x,y,z.

Если объект а является элементом множества А, то пишут: аеА (а принад­ лежит множеству А), иначе - пишут: а^А (а не принадлежит множеству А).

Так, 14eZ (Z - множество целых чисел), 7.3^N.

Пустое множество - это множество, не содержащее элементов, такое множество обозначают 0. Кроме пустого множества, стандартные назва­ ния и обозначения имеют следующие множества:

N={1, 2, 3,...} - множество натуральных чисел;

Z={0, ±1, ±2, ±3,...} - множество целых чисел;

Q={ — : р, qeZ, q^O} - множество рациональных чисел;

R={Bce десятичные дроби} - множество вещественных чисел.

Мощность множества А - это число элементов этого множества, обо­ значают \А\. Например, если А - множество однозначных натуральных чи­ сел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то | А | = 9. Для пустого множества | 0 | =0, но l{0}l=i.

Множество А конечно, если содержит конечное число эле ментов.

Примером конечного множества является множество стран мира, бесконеч­ ного - множество натуральных чисел, или множество вещественных чисел из интервала (0, 1).

1. Является ли бесконечным множество всех атомов Солнечной системы?

2. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?

3. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди ма­ тематиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?

4. Каждый десятый математик - шахматист, а каждый шестой шахматист математик. Кого больше - математиков или шахматистов - и во сколько 5. Пусть А - множество растений, растущих в Калмыкии, В - множество цветов, С - множество деревьев.

a) Назовите два элемента множества В, не являющихся элементами b) Назовите два элемента множества С, не являющихся элементами c) Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем множествам?

6. Является ли множество, состоящее из числа 0, пустым множеством?

7. Пусть А - множество студентов вашей группы, какова его мощность?

1.2 Способы задания множеств Существует три способа задания множества.



1) Перечисление элементов.

Этот способ применим лишь для конечных элементов, таких как: мно­ жество всех континентов, множество гласных букв, множество отличников группы. Например, А={Европа, Азия, Америка, Африка, Австралия}, В={а, е, и, о, у, э, ю,я}.

2) С помощью характеристического свойства.

Характеристическое свойство множества - это свойство, которым обладают все элементы этого множества. Если множество А задано харак­ теристическим свойством Р, то это обозначают:

3) С помощью порождающей процедуры Порождающая процедура - это процедура, которая, будучи запу­ щенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами опреде­ ляемого множества.

Например, множество целых чисел в диапазоне от m до п обозначают так: m..n, то есть тельных чисел, кроме 0. Если R 0 U R < I - множество всех действительных чисел.

Отметим, что объединение множеств А и В называют иногда суммой и обозначают А + В, а их пересечение - произведением и обозначают АВ.

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов из А, которые не принадлежат В, и обозна­ чают:

Например, А={ 1,2,3}, В={3, 4, 5}. Тогда А\В={1, 2}.

Симметри ческая разность :

А А В=(АиВ) \ (АпВ)={х | (хеА & хВ) v (xA & хеВ)}.

Например, А={ 1,2, 3},В={3,4, 5}. Тогда А А В={1, 2, 4, 5}.

Дополнение множества А:

На рис.2 приведены диаграммы Эйлера, иллюстрирующие операции над множествами. Заданные множества изображаются кругами, а резуль­ тат выделяется штриховкой.

Операции пересечения и объединения допускают следующее обоб­ щение. Пусть I - некоторое множество, элементы которого используются как индексы, и пусть для любого i e l множество Ai известно. Тогда (J Ai= {x | существует iel, такое что xeAi}, р| Ai={x| для любого i e l xeAi}.

Пример 1.4.1. Изобразим с помощью кругов Эйлера множества (если АПВ*0, АПВПС*0):

a ) i n B, (рис.3) Ъ) А глВ, (рис.4), с) В\(АПС), (рис.5).

Пример 1.4.2. Задать множества А={х| xeN, x - делитель числа 20}, В={х| х кратно 5, хе[5, 30]}, С={х| х2-х-20=0} перечислением элементов.

Найти множества: АП(В1Ю), (А\С) ЦВ.

А={х| xeN, х - делитель числа 20} = {1, 2, 4, 5, 10, 20};

В={х| х кратно 5, хе[5,30]} = {5,10, 15,20,25,30};

С={х|х2-х-20=0} = {-4,5};

АП(В11С)={5, 10,20};

(А\С) U В = {1, 2, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 30}.

Пересечение, объединение и разность подмножеств множества U (универсума) являются подмножествами множества U. Множество всех подмножеств множества с операциями пересечения, объединения, разности и дополнения образуют алгебру подмножеств множества U.

Пример 1.4.3. Построить множество точек плоскости, заданное не­ равенством =} x G A\(B(JC) 2 способ Преобразуем левую часть равенства к правой с помощью свойств операций над множествами:

A\(BUC)= Агл(В^С) = Агл(ВглС) = ( Л п В ) п С = 04\В)пС=(А\В)\С.

Изобразим обе части равенства с помощью кругов Эйлера (рис.9):

1. Доказать тождества:

2. Доказать, что если AUBczC, то Ас:С и Вс:С, и обратно (т.е. если Ас:С и ВсС, то AUBczC) 3. Даны множества A={XGR| Х -2Х-3 В задана формулой: f(x)=l + -, где А обозначает мноX жество вещественных чисел, отличных от 0, а В — множество вещест­ венных чисел без 1. Покажите, что f биективна и найдите обратную к ней функцию.

5. Функции f : R ^ R n g : R ^ R заданы следующим образом:

6. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так, чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?

Ответ: Р(4,1,1,1,1)-5!=1560.

7. Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «обороно­ способность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: Р(3,2,2,1,1,1,1)-Ц2 способов.

8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: 5-12 =720 способов.

9. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 341 234 так, чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?

Ответ: Р(2,2,2,2)-4-Р(2,2,2,1)+6-Р(2,2,1,1)-4-Р(2,1,1,1)+Р(1,1,1,1)=864.

10. Найти коэффициент при х в разложении (1+х -х ).

Ответ: Р(2,2,2,2,1)+Р(3,3,2,1)=378.

2.2.6 Сочетания с повторениями Пусть имеются предметы п видов и из них составляется набор, содер­ жащий к элементов. Два таких набора считаются одинаковыми в том и только в том случае, когда они имеют одинаковый состав. Такие наборы на­ зовем сочетаниями с повторениями из п элементов по к. Число сочета­ ний с повторениями из п элементов по к обозначим Сп.

Найдем число сочетаний с повторениями из п элементов по к.

Каждый состав сочетания задается последовательностью (к ь...,к п ), состоя­ щей из неотрицательных целых чисел, где ki показывает количество эле­ ментов первого вида, к2 - второго,..., кп - n-го вида. Таким образом, Сп, равно количеству числовых кортежей (k b...,k n ) длины п, для которых ki+k2+...+kn=k.

Итак, надо решить следующую задачу:

1. Найдем количество тех числовых кортежей (k b...,k n ) длины п, для кото­ рых ki+k2+... +kn=k.

Решение. Будем кодировать каждый кортеж (к ь...,кп) словом, составленным из единиц и нулей. С этой целью заменим в кортеже каждое число kj после­ довательностью из kj единиц (если kj=0, то единицы не пишутся), а каждую запятую заменим нулем. Получится кортеж из k!+...+kn=k единиц и п-1 ну­ лей (запятых в кортеже (k b...,k n ) на 1 меньше, чем чисел). Например, кор­ теж (4, 1,0,2) кодируется так: (1111010011). Обратно, каждому кортежу, составленному из к единиц и п-1 нуля, соответствует числовой кортеж (k b...,k n ), такой, что ki+...+kn=k. Поэтому искомое число кортежей вида (k b...,k n ) равно числу кортежей из к единиц и п-1 нуля. По формуле пере­ становок с повторениями число таких кортежей равно ^ „ ~^„ „„„„ г™.„„ С к+п-1 • Итак, мы доказали равенство:

Пример 2.2.21. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Решение. Выбор набора (2, 1, 3, 1), состоящего из 2 пирожных первого вида, одного пирожного второго вида, трех пирожных третьего вида и одного пирожного четвертого вида соответствует коду 1101011101. а код обозначает, что набор включает четыре пирожных первого вида и три пирож­ ных второго вида (третий и четвертый вид пирожных не выбраны).

можно составить 120 наборов.

Пример 2.2.22. Сколькими способами можно разложить к одинаковых ша­ ров по п различным ящикам?

Решение. Различные способы раскладки различаются лишь числом шаров, попавших в каждый ящик. Значит, число таких способов равно:

1. Сколько можно построить различных параллелепипедов, длина каждо­ го ребра которых является целым числом от 1 до 10.

Ответ: 220.

2. Меню в китайском ресторане дает вам возможность выбрать ровно три из семи главных блюд. Сколькими способами можно сделать заказ?

3. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими спо­ собами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими спо­ собами можно купить 8 различных открыток?

Ответ: 293930: 24310: 45.

4. Сколько различных вариантов можно получить, бросая пять игральных Ответ: 252.

5. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?

2.2.7 Биномиальные коэффициенты Число сочетаний это число различных ^-элементных подмножеств n-элементного множества.

Числа С- „ также назьшают биномиальными коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Следствия из формулы (11):

Следствие 2.

Свойства биномиальных коэффициентов, вытекающие из основной формулы для числа сочетаний (10):

Из свойства 2 вытекает эффективный способ рекуррентного вычисле­ ния значений биномиальных коэффициентов, который можно представить в графической форме, известной как треугольник Паскаля (рис. 25а).

В этом равнобедренном треугольнике каждое число (кроме единиц на боковых сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним.





Похожие работы:

«Методические разработки Факультет технологии сельскохозяйственного производства Кафедра частной зоотехнии Учебное пособие Дегтярь А.С, Семенченко С.В, Костылев Э.В. Технология производства и переработки продуктов пчеловодства: учебное пособие. – пос. Персиановский, ДонГАУ, 2014 г. - 84 с. Учебное пособие Дегтярь А.С, Семенченко С.В, Костылев Э.В. Пчеловодство: Термины и определения. Справочное пособие. Предназначено для студентов и специалистов пчеловодов. – пос. Персиановский, ДонГАУ, 2014 г.-...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. С. Устинов, И. К. Савин ТЕПЛОТЕХНИКА Учебно-методическое пособие Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2010 УДК 621.1 ББК 31.36 У804 Печатается по решению учебно-методического совета физико-технического факультета Петрозаводского государственного университета Работа выполнена при поддержке Федерального Агентства РФ по науке и инновациям...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Юго-Западный государственный университет (ЮЗГУ) Г.И. Плохих Специальная подготовка сотрудников органов внутренних дел Учебное пособие Курск 2014 УДК 343.2 ББК 67.408я73 Б 18 Рецензенты Доктор Плохих Г.И. Специальная подготовка сотрудников органов внутренних дел [Текст]: учеб. пособие / Г.И. Плохих; Юго-Зап. Гос. ун-т. Курск, с. 350. ISBN...»

«Федеральное государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина В.Ш. Магадеев Методические указания по курсовому и дипломному проектированию Расчет тепловой схемы и выбор основного оборудования промышленноотопительных котельных Москва 2007 2 Рецензенты: Доктор технических наук, заведующий лабораторией ОАО Всероссийский технический институт Ю.П. Енякин Доктор технических наук, профессор...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО МОДУЛЯ ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ ГИСТОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ (ПМ.05) Архангельск 2013 1 Рабочая программа профессионального модуля Проведение лабораторных гистологических исследований (ПМ.05) разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (ФГСО) среднего профессионального образования по специальности 060604 Лабораторная диагностика Организация- разработчик: ГАОУ СПО АО АМК Разработчик: Мурадеева Глафира Васильевна, преподаватель...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Горно-Алтайский государственный университет Юридический факультет Кафедра уголовного, гражданского права и процесса Уголовное право (Общая часть. Особенная часть) Учебно-методический комплекс Для студентов, обучающихся по специальности 030501 Юриспруденция Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского государственного университета 2008 Печатается по решению методического совета...»

«67.99 К 93 /пекдекцт/ в сщр^укту/іе Костанайская Социальная академия Курзова Н. А. Абдуллина А. А. Этиоправовые тенденции в структуре мусульманского права. Костанай 2002 I/ ББК 67.99 (2) Курзова Н. Д., Абдуллина Д. Д. Эхноправовь.е тенденции в структуре мусульманского права.— Костанай, 2002 г. - 284 стр. ISBN № 9965-13-730-7 ББК 67.99 (2) Одобрено научно-методическим советом Костанайской Социальной академии. Рецензент: доктор философских наук, профессор Мурзапин С. К. Авторы составители:...»

«Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени М. И. КАЛИНИНА Т. Г. ГАВРА, П. М. МИХАЙЛОВ, В. В. РИС ТЕПЛОВОЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ КОМПРЕССОРНЫХ УСТАНОВОК Учебное пособие Под редакцией проф. А. И. Кириллова \ Ленинград 19 8 2 УДК 378.147:621.515.001.2 Гавра Г. Г., Михайлов П. М., Рис В. В. Тепловой и гидравлический расчет теплообменных аппаратов компрессорных установок. Учебное пособие.— Л.,...»

«Министерство культуры Российской Федерации федеральное государственное бю джетное образовательное учреждение высшего образования САН КТ-П ЕТЕРБУРГСКИ И ГОСУДАРСТВЕН Н Ы Й У Н И ВЕРСИ ТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИ ДЕН И Я ЕРЖДАЮ чебной Д.П. Барсуков 7 РЗ. Рабочая программа учебной дисциплины Трэвел-журналистика в электронных СМИ Направление подготовки: 42.04.02 Ж урналистика (031300.68 Ж урналистика) Магистерская программа Трэвел-журналистика Квалификация (степень): магистр Форма обучения: очная...»

«Методические указания по дисциплине Теория управления для студентов направления подготовки 081100 Государственное и муниципальное управление квалификация (бакалавр) (самостоятельная работа, методические указания для выполнения курсовой работы) Творческая работа (эссе) представляет собой оригинальное произведение объемом до 10 страниц текста (до 3000 слов), посвященное какой-либо изучаемой проблеме. Творческая работа не является рефератом и не должна носить описательный характер, большое место в...»

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ профессором И.М. Жарским 30.04.2010 г. Регистрационный № УД-306/баз. ТЕХНОЛОГИЯ ТОНКОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ КЕРАМИКИ Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализаций 1-48 01 01 09 Технология тонкой функциональной и строительной керамики и 1-48 01 01 11 Химическая технология огнеупорных материалов 2010 г. УДК 666.3–1 ББК...»

«А.В. МОРОЗОВ, И.Л. САВЕЛЬЕВ М ЕТОД ИКА ИСС ЛЕДО ВА НИЙ В С ОЦИАЛЬНО Й РАБО ТЕ У ЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет А.В. МОРОЗОВ, И.Л. САВЕЛЬЕВ М ЕТО ДИКА И ССЛ ЕДОВАН ИЙ В СО ЦИАЛ ЬНО Й РАБ ОТ Е УЧЕБ НОЕ П ОСОБ ИЕ Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО ЧЕЛЯБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю. И. Павлов, А. А. Холопов ТЕОРИЯ СЕСТРИНСКОГО ДЕЛА Рекомендовано Учебно-методическим объединением по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России в качестве учебного пособия для студентов факультетов высшего сестринского образования медицинских вузов Челябинск 2006 Рецензенты: Проф. Вахитов Шамиль...»

«КОМИТЕТ ТПП РФ ПО ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПОЛИТИКЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО РАЗРАБОТКЕ БИЗНЕС-ПЛАНОВ Рекомендации для торгово-промышленных палат 2010 Рекомендации по разработке бизнес-планов Содержание ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИЗА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА СТРУКТУРА БИЗНЕС-ПЛАНА РЕЗЮМЕ ИНИЦИАТОР ПРОЕКТА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОЕКТА (ПРОДУКТА) МАРКЕТИНГ АНАЛИЗ РЫНОЧНОЙ СИТУАЦИИ СТРАТЕГИЯ И ТАКТИКА ПРОДАЖ ПРОГНОЗ ПРОДАЖ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ И ПРАВОВОЙ АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИЯ МЕСТОРАСПОЛОЖЕНИЕ СТРОИТЕЛЬСТВО...»

«Обращение в Европейский Суд по правам человека Обращение в Европейский Суд по правам человека Учебное пособие Москва 2006 УДК 341.645:347.922(075) ББК 67.412.2 О 23 Книга издана МОО ПЦ Мемориал для Европейского центра защиты прав человека (EHRAC). Общая редакция: Филип Лич Обращение в Европейский Суд по правам человека / Под О 23 общ. ред. Ф. Лича. — М.: МОО ПЦ Мемориал, 2006. — 528 с. ISBN 5 902962 02 1 Данное издание представляет собой учебное и справочное пособие по ве дению дела в...»

«Министерство культуры Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образовании С А Н К Т -П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ ЩВЕРЖДАЮ A 'i0 a B^Fc& р цоуГчё^нои Д. П. Барсуков 2014 год Рабочая программа учебной дисциплины Тревел-журналистика в печатных СМИ Направление подготовки: 42.04.02 Журналистика 031300.68 Журналистика Магистерская программа Трэвел-журналистика Квалификация (степень):...»

«Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Институт экономики и управления (г. Пятигорск) НОУ ВПО ИнЭУ УТВЕРЖДАЮ Председатель УМС Щеглов Н.Г. Протокол № 2 от 19 октября 2011 г. Методические указания по выполнению курсовых работ по дисциплине Теория государства и права для студентов специальности: 030501 Юриспруденция очной и заочной форм обучения Пятигорск, 2011 1 Составитель: Сумская М.Ю., к.и.н., доцент кафедры теории, истории государства и права....»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра химической технологии вяжущих материалов ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕХНОЛОГИИ СИЛИКАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий заочной формы обучения Минск 2011 1 УДК 661.68(075.8) ББК 35.41я7 Т34 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Магнитогорский государственный университет Е.Н. Гусева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие 5-е издание, стереотипное Москва Издательство ФЛИНТА 2011 ББК В17/172 УДК 372.016:519.2 Г96 Р е ц е н з е н т ы: доктор физико-математеческих наук, профессор Магнитогорского государственного университета С.И. Кадченко; кандидат технических наук, доцент Магнитогорского государственного технического университета А.В....»

«АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЧЕЛЯБИНСКИЙ МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Учебное пособие одобрено на заседании кафедры теории и истории государства и права от 25.09.2013 г. Зав. кафедрой д.ю.н. Жаров С.Н. ТЕОРИЯ ГОСУДАРСТВА И ПРАВА Разработчик _ д.ю.н. Жаров С.Н. Рецензент _ к.и.н. Харланов В.Л. Челябинск ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.................................................. Содержание курса...........»








 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.