Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономико-математические

методы и модели

Учебно-методическое пособие

по выполнению расчетных заданий

с использованием табличного процессора Excel

для студентов экономических специальностей

Минск 2005

3

Экономико-математические

методы и модели

Учебно-методическое пособие по выполнению расчетных заданий с использованием табличного процессора Excel для студентов экономических специальностей Минск БГТУ 2005 4 УДК 330.4:004 ББК 65.9(2)23 Э 40 Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционноиздательским советом университета Автор-составитель Е. А. Шинкевич Рецензенты:

доц. кафедры высшей математики БГЭУ, канд. физ.-мат. наук С. Я. Гороховик;

ст. преподаватель кафедры экономики и управления на предприятиях лесного комплекса БГТУ канд. экон. наук С. А. Касперович Экономико-математические методы и модели : учеб.Э 40 метод. пособие по выполнению расчетных заданий с использованием табличного процессора Excel для студентов экономических специальностей / авт.-сост. Е. А. Шинкевич. — Мн. : БГТУ, 2005. — 74 с.

ISBN 985-434-508- Приведены основные сведения по работе с табличным процессором Excel, необходимые для решения экономических задач.

Предназначено для студентов экономических специальностей.

УДК 330.4: ББК 65.9(2) ©УО «Белорусский государственный технологический университет», ISBN 985-434-508- Учебное издание

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Учебно-методическое пособие Автор-составитель Шинкевич Елена Алексеевна Редактор Е. И. Гоман Подписано в печать 27.10.2005. Формат 60x84 116.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 4,1. Уч.-изд. л. 4,4.

Тираж 300 экз. Заказ Учреждение образования «Белорусский государственный технологический университет».

220050. Минск, Свердлова, 13а.

ЛИ № 02330/0133255 от 30.04.2004.

Отпечатано в лаборатории полиграфии учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».

220050. Минск, Свердлова, 13.

ЛП № 02330/0056739 от 22.01.2004.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие предназначено для студентов следующих специальностей: экономика и управление на предприятии; бухгалтерский учет, анализ и аудит; менеджмент; маркетинг.

Математическое моделирование экономических процессов тесно связано с компьютеризацией экономической науки. Лабораторные занятия по курсу «Экономические методы и модели» предназначены для углубления теоретических знаний студентов по моделированию экономических процессов, а также приобретения практических навыков построения численных моделей, их реализации с применением ПЭВМ и анализа полученных результатов.

Цель пособия – оказать помощь студентам при выполнении лабораторных работ по курсу «Экономические методы и модели».

В учебно-методическом пособии рассматриваются решения таких задач, как построение уравнения множественной регрессии и проверка его адекватности, решение различных оптимизационных задач (задачи линейного программирования, транспортные задачи в разных постановках: закрытые и открытые, с различными ограничениями на перевозки), задачи межотраслевого баланса, задачи сетевого планирования, расчет параметров системы массового обслуживания с использованием табличного процессора Excel. По каждой из перечисленных тем приводятся краткие теоретические сведения, необходмые формулы и образец расчетов основных параметров задач в Excel с указанием используемых функций Excel и наглядным представлением результатов.

ОПЕРАЦИОННАЯ СРЕДА WINDOWS

Система Windows (в переводе с английского – «окна») является графической операционной средой для персонального компьютера.

После загрузки Windows на экране появляется Рабочий стол. В исходном состоянии на Рабочем столе мы видим несколько экранных значков, представляющих объекты Windows, и Панель задач. Слева на Панели задач имеется кнопка Пуск, которая называется командной кнопкой.

На рабочем столе размещаются следующие элементы:

– значки (пиктограммы) с надписями;

– панель задач, в левой части которой находится кнопка Пуск.

Пиктограмма – это небольшая цветная картинка, которая представляет на экране дисплея некоторую программу, окно, функцию, файл и т. д.

Основными средствами управления в системе Windows являются мышь и клавиатура. С мышью связан экранный элемент – указатель мыши, он присутствует на экране всегда. Стандартная форма указателя – стрелка, направленная влево вверх, но в зависимости от выполняемой операции указатель принимает другую форму: двойной стрелки, крестика, рамки и т. д. На время операций, требующих ожидания пользователя, указатель превращается в песочные часы. При перемещении мыши по плоской поверхности указатель перемещается по экрану, на котором отображены графические объекты и элементы управления. С помощью мыши можно изменять свойства объектов и приводить в действие элементы управления компьютерной системой.

Если навести указатель мыши на кнопку Пуск и щелкнуть левой кнопкой мыши, над кнопкой Пуск откроется Главное меню Windows, представляющее собой список возможных команд. Каждый пункт меню является командой. Команды, представленные в меню, выполняются щелчком на соответствующем пункте.

Операционная система Windows позволяет управлять файловой структурой: создавать новые элементы структуры и изменять, перемещать, удалять старые.

Основные действия с мышью, используемые при работе в среде Windows.

Щелчок – быстрое нажатие и отпускание левой кнопки мыши применяется для выделения объектов (нужно щелкнуть по объекту) с целью подготовки их к дальнейшим операциям. Если щелкнуть на другом объекте, выделение на предыдущем снимется. Чтобы снять выделение со всех объектов, нужно щелкнуть на свободном от объектов месте Рабочего стола.

Двойной щелчок – два щелчка, выполненные с малым интервалом времени между ними, – применяют для использования объектов. Например, если сделать двойной щелчок на значке «Мой компьютер», на экране откроется одноименное окно, в котором можно увидеть значки дисков и других устройств, подключенных к компьютеру. Чтобы закрыть окно, нужно щелкнуть один раз на закрывающей кнопке, которая находится в правом верхнем углу окна.

Щелчок правой кнопкой применяется для вызова контекстного меню объекта, которое раскрывается на экране непосредственно рядом с выбранным объектом. В контекстном меню всегда содержатся только те команды, которые управляют работой выбранного объекта, поэтому выбор нужной для исполнения команды происходит более эффективно.

Перетаскивание выполняется путем перемещения мыши при нажатой левой кнопке и обычно сопровождается перемещением экранного объекта, на котором установлен указатель мыши. Перетаскивание используется при копировании и перемещении объектов, а также для изменения расположения на экране окон, которые можно перетаскивать с места на место, подцепив указателем мыши за верхнюю строку окна – строку заголовка.

Протягивание мыши выполняется, как и перетаскивание, но при этом происходит не перемещение экранного объекта, а изменение его формы. Для того чтобы осуществить это, надо навести указатель мыши на одну из рамок окна и дождаться, когда он превратится в двунаправленную стрелку. После этого следует нажать левую кнопку и переместить мышь. Окно изменит размер. Если навести указатель мыши на правый нижний угол, произойдет изменение размера одновременно по двум направлениям.

Протягивание мыши используется также для группового выделения объектов: нужно навести указатель мыши на поверхность Рабочего стола, нажать кнопку мыши и протянуть мышь вправо и вниз.

За указателем потянется прямоугольный контур выделения. Все объекты, попавшие в этот контур, будут выделены. Групповое выделение объектов можно выполнить также с помощью мыши и клавиатуры, если при щелчке мыши удерживать нажатой клавишу Shift или Ctrl.

Если при выделении держать нажатой клавишу Ctrl, то выделе ние нового объекта не снимет выделение с объектов, отмеченных ранее. Так можно выделить любую произвольную группу. Выделение при нажатой клавише Ctrl действует как переключатель, т. е. повторный щелчок на выделенной области снимает выделение.

Если выделяемые объекты расположены подряд, то можно использовать Shift. В этом случае при нажатой клавише щелкают на первом выделяемом объекте группы и на последнем.

Структура окон.

Перечислим и кратко охарактеризуем основные элементы структуры окон папок и документов Windows.

Строка заголовка содержит название папки или документа.

Системный значок находится в левом верхнем углу любого окна. При щелчке по нему открывается системное меню, команды которого позволяют управлять размером и расположением окна на Рабочем столе.

Кнопки управления размером (сворачивающая, разворачивающая и закрывающая) расположены в правом верхнем углу окна. Они выполняют те же функции, что и команды системного меню. Щелчок по правой, закрывающей, кнопке закрывает окно. Щелчок по средней, разворачивающей – разворачивает окно на полный экран или, если окно находится в развернутом состоянии, восстанавливает его исходный размер. Щелчок по сворачивающей кнопке сворачивает окно до размера кнопки, которая находится на Панели задач.

Строка меню расположена под строкой заголовка. Она содержит все команды, которые можно выполнить в данном окне. Для окон папок строка меню имеет стандартный вид. При щелчке на каждом из ее пунктов открывается «ниспадающее» меню, пункты которого позволяют проводить операции с содержимым окна или с окном в целом. В открывшемся списке некоторые пункты как бы «погашены»

(напечатаны серым шрифтом). Это означает, что в данный момент команда недоступна, для ее работы чего-то не хватает. Доступные функции выделены более ярким шрифтом.

Панель инструментов содержит командные кнопки для выполнения наиболее часто встречающихся операций.

В рабочей области папки отображаются значки объектов, хранящихся в папке, причем способом отображения можно управлять.

Управление представлением объектов осуществляется с помощью команд-строки меню (пункт Вид) либо с помощью кнопки Вид на па нели инструментов. Можно выбрать один из нескольких режимов:

Крупные значки, Мелкие значки, Список или Таблица, в которой указаны дополнительные свойства объектов (размер, дата создания и т. д.).

В режиме Таблица каждый столбец имеет заголовок. Этот заголовок обладает свойствами командной кнопки: при первом щелчке на заголовке столбца происходит сортировка объектов по данному столбцу в восходящем порядке, при повторном – в нисходящем порядке.

Полосы прокрутки. Если документ на умещается в окне, то окно снабжается вертикальной и горизонтальной полосой прокрутки.

Строка состояния, расположенная внизу окна, содержит дополнительную информацию.

Программа Проводник.

Программа Проводник – это служебная программа, предназначенная для работы с файловой системой. Окно Проводника открывается при последовательном выполнении команд Пуск Программы Проводник.

Окно Проводника похоже по элементам управления на окна папок, но имеет две рабочие области: левую панель (панель папок) и правую (панель содержимого).

Навигация по файловой структуре выполняется на левой панели, на которой показана структура папок. Папки могут быть развернуты или свернуты, а также раскрыты или закрыты. Если папка имеет вложенные папки, то на левой панели рядом с папкой отображается узел, помеченный значком «+». Щелчок на этом узле разворачивает папку, т. е. отображает на панели папок вложенные в нее папки. При этом значок узла меняется на «–». Таким же образом папки и сворачиваются. Чтобы раскрыть папку, надо щелкнуть на ее значке.

Содержимое раскрытой папки отображается на правой панели. Одна из папок раскрыта всегда. При раскрытии другой папки она автоматически закроется.

Запуск программ и открытие документов выполняется двойным щелчком на значке программы или документа на правой панели Проводника. Если нужный объект на правой панели не показан, нужно выполнить навигацию на левой панели и найти папку, в которой он находится.

Создание папок. Сначала на левой панели Проводника нужно раскрыть папку, внутри которой будет создаваться новая папка. После этого щелкнуть правой кнопкой мыши на свободном от файлов месте правой панели и выбрать в контекстном меню пункт Создать Папку. На правой панели появится значок папки с названием Новая папка.

Название выделено, и в таком виде его можно редактировать.

Копирование и перемещение файлов и папок выполняется методом перетаскивания значка объекта с правой панели Проводника на левую. Папку, из которой происходит копирование, называют источником, в которую – приемником. Сперва надо найти и раскрыть папку-источник, чтобы на правой панели был виден копируемый объект. Затем на левой панели следует отыскать папку-приемник, но ее раскрывать не надо. Далее объект перетаскивается с правой панели на левую и помещается на значок папки-приемника. Эта операция требует аккуратности, поскольку попасть одним значком точно на другой не всегда просто. Для контроля точности попадания надо следить за названием папки-приемника. В тот момент, когда наведение выполнено правильно, это название меняет цвет (становится выделенным) и кнопку мыши можно отпускать.

Если папки-источник и -приемник принадлежат одному диску, то при перетаскивании обычно выполняется перемещение, а если разным – копирование. При необходимости обратного действия выполняют специальное перетаскивание (при нажатой правой кнопке).

Удаление файлов и папок. На левой панели открывают папку, содержащую удаляемый объект, а на правой выделяют нужный объект. Удаление можно осуществить различными способами: 1) с помощью команды Файл Удалить из строки меню; 2) используя командную кнопку на панели инструментов; 3) с помощью контекстного меню; 4) с помощью клавиши Del клавиатуры.

ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ EXCEL

Microsoft Excel – это программа, которая предназначена для создания и обработки электронных таблиц.

Запуск Excel.

1-й способ – выполнить последовательно команды Пуск Программы Excel.

2-й способ – если ярлык Excel вынесен на рабочий стол, то выполнить два быстрых щелчка на этом ярлыке левой кнопкой мыши.

В результате на экране появится окно Excel (рис. 1).

Рассмотрим основные элементы этого окна:

1 – главное меню; 2 – панель инструментов; 3 – строка ввода; 4 – информационная строка; 5 – книга: основное рабочее место электронной таблицы, которая является файлом; 6 – заголовки строк; 7 – заголовки столбцов; 8 – ярлычок листа.

Книга состоит из листов. Каждому листу можно присвоить имя, которое указывается на ярлычке листа. По умолчанию имена листов:

Лист1, Лист2 и т. д. Каждый лист – это электронная таблица, являющаяся элементом одного файла-книги. Электронная таблица состоит из строк и столбцов; строки нумеруются 1,2,...,16 394; столбцы обозначаются буквами А, В,..., АА, АВ,...; всего столбцов 256. На пересечении строк и столбцов находятся ячейки. Каждая ячейка имеет свой адрес Al, B18, AD243 и т. д.

Всегда на рабочем поле имеется указатель ячейки (выделен).

Рабочая ячейка та, в которой находится указатель ячейки. На рис. рабочей является ячейка С2. В ней содержится формула А2*В2 (см.

рис.1, строку ввода), значение которой равно 50.

9 – блок прокрутки листов; 10 – угловой элемент, предназначенный для выделения всех ячеек окна; 11 – кнопки управления размером окна; 12 – полосы прокрутки. Вертикальная и горизонтальная полосы прокрутки предназначены для просмотра на рабочем листе информации, которая в данный момент в окне не видна.

В Excel предусмотрен ввод команд различными способами. В дальнейшем будем отдавать предпочтение вводу команд с помощью мыши.

Выделение ячеек.

Для того чтобы выделить одну ячейку, целый столбец или целую строку, нужно щелкнуть мышью по ячейке, заголовку столбца или заголовку строки соответственно. Если щелкнуть по ячейке, а потом нажать сочетание клавиш Ctrl+Spacebar (или Shift+Spacebar), то выделится столбец (или строка), в котором расположена выделенная ячейка.

Если требуется выделить некоторую прямоугольную область, нужно: 1) щелкнуть по ячейке, расположенной в одном из углов;

2) нажать и удерживать клавишу Shift; 3) щелкнуть по ячейке, расположенной в противоположном углу.

Для того чтобы выделить несколько отдельных ячеек, необходимо: 1) щелкнуть по первой ячейке; 2) нажать и удерживать клавишу Ctrl; 3) последовательно щелкнуть по каждой следующей ячейке.

Выделить целый лист можно, щелкнув по кнопке Выделить все, которая находится на пересечении заголовков строк и столбцов, или нажав сочетание клавиш Ctrl+Shift+Spacebar. Для перехода к выделению нескольких несмежных областей следует нажать Shift+F8.

Для ввода данных в ячейку необходимо: 1) поместить указатель мыши в нужную ячейку; 2) ввести данные с клавиатуры (вводимая информация при этом будет отображаться в строке ввода);

3) закончить ввод данных, нажав клавишу Enter или щелкнув мышью по другой ячейке.

Каждая ячейка в Excel может содержать данные одного из трех типов: текст, число или формула. Формула обязательно должна начинаться со знака =.

Формат ячеек.

Формат позволяет отображать числовые данные в том или ином виде. Чтобы задать или изменить формат ячейки или диапазона ячеек, нужно выделить этот диапазон и воспользоваться командой меню Формат Ячейки или командой контекстного меню Формат ячеек.

В появившемся окне нужно открыть вкладку Числовой и выбрать необходимый числовой формат (если нет специальных требований к отображению данных, то выбирается Общий формат).

Если задан Общий формат, программа Excel сама подбирает подходящий формат отображения числа: либо с фиксированной запятой, либо в экспоненциальной форме. По умолчанию цифры выравниваются по правому краю ячейки, а текст – по левому.

Если задан Числовой формат, число отображается с заданным количеством десятичных знаков после запятой.

В Экспоненциальном формате число представляется в виде *10, где мантисса принимает значение из промежутка [0; 10). Например, если задать параметр экспоненциального формата – Число десятичных знаков 2 и ввести число 12 345, на экране оно будет отображено в виде 1,23Е+4.

Редактирование данных.

Для замены одних данных в ячейке другими достаточно установить в нее курсор и ввести новые данные.

Чтобы отредактировать содержимое ячейки, нужно:

– выделить редактируемую ячейку;

– перейти в режим редактирования данных одним из следующих способов: 1) нажать клавишу F2; 2) дважды щелкнуть по редактируемой ячейке; 3) установить курсор в панель формул и редактировать непосредственно в ней;

– после редактирования нажать Enter для сохранения правок или Esc для отмены редактирования.

При редактировании данных формулы автоматически пересчитываются.

Для удаления содержимого ячейки или нескольких ячеек необходимо выделить очищаемую область и нажать клавишу Del.

При удалении ячеек, в отличие от удаления содержимого, происходит сдвиг соседних ячеек на место удаленных. Удаление ячеек осуществляется с помощью команды меню Правка Удалить или с помощью такой же команды контекстного меню. При этом откроется диалоговое окно, позволяющее выбрать направление сдвига.

Вставка ячеек (строк, столбцов) осуществляется с помощью команды меню Вставка Ячейки (Строки, Столбцы) или с помощью команды контекстного меню Добавить ячейки, при вызове которой открывается диалоговое окно, позволяющее выбрать направление сдвига.

Копирование и перемещение данных в Excel.

Копирование и перемещение данных в Excel наиболее удобно осуществлять через буфер обмена.

Важно помнить, что при копировании формула перенастраивается на новые адреса (относительные ссылки). Чтобы адрес какой-либо ячейки был абсолютным (т. е. не перенастраивался), нужно после его указания в процессе формирования формулы нажать клавишу F4 или записать адрес в виде $А$1. Клавиша F4 действует в этом случае как переключатель, преобразуя адрес последовательно в $А$1, A$l, $Al, A1. Знаком $ обозначается та часть адреса, которая должна оставаться абсолютной (т. е. не меняется при копировании или перемещении).

Для перемещения данных в другую позицию следует выделить перемещаемую область, установить указатель мыши на границу выделенного блока таким образом, чтобы он превратился в стрелку, и перетянуть блок в новую позицию.

Копирование данных в смежные ячейки можно осуществить также следующим способом: выделить диапазон ячеек, направить указатель мыши на маркер заполнения (черный квадрат в правом нижнем углу выделенного интервала ячеек) так, чтобы указатель принял вид черного крестика, и протащить в соседние ячейки.

Если надо быстро скопировать данные в пределах одного рабочего листа, следует выделить диапазон ячеек, нажать и удерживать клавишу Ctrl, перетащить выделенный фрагмент за край в нужное место.

Специальное копирование применяется, если необходимо скопировать не все содержимое ячейки, а только какую-то его со ставляющую: значение, формат и т. д.

Чтобы осуществить специальное копирование, нужно поместить копируемый фрагмент в буфер обмена, перейти в новое место таблицы и использовать команду Специальная вставка пункта Правка в строке меню или контекстного меню. При этом открывается диалоговое окно, в котором следует выбрать необходимые команды, после чего для осуществления копирования нажать кнопку ОК. В зависимости от того, какой флажок выставлен в разделе Вставить диалогового окна, копируется определенная часть содержимого ячеек. При этом можно выполнить арифметические действия над данными, которые переносятся, и содержимым ячейки, в которую производится копирование. Установка флажка Транспонировать приведет к тому, что содержимое строк таблицы будет вставлено в столбцы, а содержимое столбцов – в строки. При щелчке по кнопке Вставить устанавливается связь с копируемой ячейкой и любое изменение исходной ячейки приведет к изменению результирующей.

Правила работы с формулами и функциями.

1. Каждая формула начинается со знака =.

2. Результат вычисления формулы помещается в активную ячейку, а сама формула отображается в строке ввода.

3. Формулы автоматически пересчитывают свои значения, как только изменяется хотя бы один из их аргументов.

4. Формулы могут включать обращение к одной или нескольким функциям.

5. После имени каждой функции в круглых скобках задаются аргументы. Если функция не использует аргументы, то за ее именем следуют пустые скобки без пробела между ними ().

6. Аргументы перечисляются через точку с запятой.

7. В формулах недопустимы пробелы.

8. В формуле можно использовать знаки арифметических операций: +, –, /, *,^ (возведение в степень), % (взятие процента).

9. В качестве элемента формулы и аргумента функции может выступать адрес ячейки. В этом случае в вычислении участвует содержимое ячейки, адрес которой задан в формуле. При ссылках в формулах на непрерывные области ячеек можно использовать символ двоеточия, например С2:С17.

10. Не должно быть циклических ссылок, т. е. ячейка не может ссылаться сама на себя.

Мастер функций.

При вводе формулы обращение к встроенной функции можно написать вручную или вызвать инструмент Мастер функций с помощью команды Вставка Функция или кнопки.

Работа Мастера функций включает два шага. На первом шаге в списке Категория нужно выбрать категорию функции, а затем в списке Функция найти саму функцию. Внизу диалогового окна отображается синтаксис и результат выполнения выбранной функции. Для перехода ко второму шагу работы Мастера функций следует нажать кнопку ОК.

На втором шаге работы Мастера открывается диалоговое окно выбранной функции, в котором можно задать аргументы функции.

Допускается использовать в качестве аргумента функцию.

В Excel существуют следующие категории функции: финансовая; дата и время; математическая; статистическая; ссылки и массивы;

текстовая; логическая и т. д.

Таким образом, для набора функции с помощью Мастера функций необходимо:

выделить ячейку, если функция будет вставляться в самом начале, или набрать часть формулы, если функция будет вставляться дальше;

на панели Стандартная нажать пиктограмму – Мастер функций. Появится диалоговое окно Мастер функций;

в поле Категория выбрать категорию функции; в поле Функция выбрать имя функции; нажать кнопку ОК; ввести значения аргументов; нажать кнопку ОК.

Построение диаграмм.

Диаграмма – это графическое представление данных рабочего листа.

Диаграммы можно создавать двумя способами: на имеющемся листе (внедренная диаграмма); на отдельном листе для диаграмм.

Excel позволяет строить различные виды диаграмм: график, пузырьковая, кольцевая и т. д.

Плоские диаграммы: гистограмма (столбиковая диаграмма);

график; круговая.

Объемные диаграммы гистограмма (объемная столбиковая);

объемный график; объемная круговая (торт).

Чтобы создать внедренную диаграмму, т. е. на имеющемся листе:

выделить ячейки, в которых находятся данные для построения диаграммы, включая названия категорий или рядов;

на панели Стандартная щелкнуть по пиктограмме Мастер диаграмм (рис. 2);

в первом шаге из четырех выбрать Тип и Вид диаграммы и щелкнуть по кнопке Далее;

если устраивает вид диаграммы, во втором шаге – щелкнуть по кнопке Далее;

в третьем шаге можно дать заглавие диаграмме, подписать данные, установить или убрать легенду и т. д. Далее;

в последнем шаге указать, на каком листе строить диаграмму:

отдельном или нет;

если в процессе построения диаграммы нужно вернуться к предыдущему шагу, то следует нажать кнопку Назад.

Сама диаграмма и все ее элементы выделяются одинарным щелчком, а редактируются – двойным.

Все столбцы одного цвета – это один ряд данных.

Решение задач оптимизации.

Решение задач оптимизации осуществляется с помощью пакета прикладных программ Поиск решения (Сервис Поиск решения).

В основе работы пакета Поиск решения лежат итерационные методы поиска решений. Пакет позволяет находить решения задач, имеющих целевую функцию, вычисление которой можно записать в виде формулы в одну из ячеек рабочего листа электронной таблицы.

При этом пакет обеспечивает возможность:

использовать одновременно до 200 адресов ячеек, содержащих отыскиваемые значения переменных (параметров);

устанавливать конкретный результат для целевой функции и для этого значения отыскивать значения параметров;

отыскивать оптимальное значение (минимальное или максимальное) целевой функции;

проводить анализ результатов;

генерировать множество различных решений для сложных задач линейного программирования. При этом возможно сохранение вариантов решений в виде сценариев.

Алгоритм решения задачи линейного программирования сводится к 3 этапам:

1 этап: описание математической модели задачи линейного программирования на рабочем листе электронной таблицы. На этом этапе определяются: а) область ячеек, в которых будут содержаться подбираемые значения неизвестных; б) область данных, содержащих ограничения; в) ячейки, в которые заносятся функции ограничений и целевая функция;

2 этап: подготовка пакета Поиск решения для решения задачи.

На этом этапе в пакет передается значение адреса ячейки, содержащей целевую функцию, определяется отыскиваемое оптимальное или конкретное значение целевой функции, указывается диапазон ячеек, содержащий значения неизвестных (он должен быть непрерывным), заносятся все ограничения;

3 этап: решение задачи. На этом этапе уточняются характеристики пакета и осуществляется поиск множества различных решений.

Некоторые функции рабочего листа Excel КОРЕНЬ Возвращает положительное значение квадратного корня ABS Возвращает модуль заданного числа EXP Возвращает экспоненту заданного числа COS Возвращает косинус заданного числа LN Возвращает натуральный логарифм заданного числа МОБР Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве с равным количеством строк и столбцов) МОПРЕД Вычисляет определитель матрицы МУМНОЖ Возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах. Количество столбцов первого массива должно быть равно количеству строк второго массива) СТЕПЕНЬ Возводит число в степень СУММ Вычисляет сумму аргументов, число которых не более 30.

Аргументами могут быть числа логические значения и текстовые представления чисел. Формула СУММКВ Вычисляет сумму квадратов аргументов. Число аргуменn СУMMKBРАЗН Вычисляет сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах. Массивы должны иметь одиn наковое количество элементов. Формула СУММПРОИЗВ Вычисляет сумму произведений соответствующих элеn

FРАСПОБР

СРЗНАЧ Вычисляет среднее арифметическое своих аргументов.

Их может быть не более 30. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты или пустые ячейки, то, такие значения игнорируются. Формула ДИСП Оценивает дисперсию по выборке. Функция может иметь не более 30 числовых аргументов. Формула ДОВЕРИТ Возвращает доверительный интервал для генеральной Вычисляет коэффициент корреляции между двумя ин

КОРРЕЛ

ЛИНЕЙН Возвращает параметры линейного тренда, для расчета аппроксимации используется метод наименьших квадратов МИН Вычисляет максимальное значение. Формула max{xi } МАКС СТЮАРДРАСПРОБР Возвращает t -распределение Стьюдента ТРАНСП Возвращает транспонированный массив Пусть дано два массива значений X и Y, которые помещены на рабочем листе Excel в ячейках В3:С9 (см. рис. 3).

Применение одной формулы к элементам массива Вычислим значения X i2, для i = 1,7 и полученные значения поместим в ячейки D3:D9. Поместим курсор в ячейку D3 и запишем формулу =В3*В3. Для получения результата следует нажать Enter.

Отметим, что для набора формулы в ячейке D3 лучше пользоваться мышью, а не набирать адреса ячеек с клавиатуры!

Этот же результат можно получить, вызвав Мастера функций и выбрав функцию СТЕПЕНЬ в категории Математические. В диалоговом окне следует указать имя переменной – адрес ячейки В3, степень – 2, а затем нажать ОК. Данные в ячейках D4:D9 получены копированием ячейки D3 (Обратите внимание на формулы, которые получились в результате копирования в этих ячейках).

Аналогичным образом можно получить данные в ячейках Е3:Е9 – найдено произведение Yi 2, для i = 1,7 и в ячейках F3:F9 – произведение X i * Yi для i = 1,7.

Найдем сумму данных в ячейках В3:В9. Результат запишем в ячейку В10. Поместим курсор в ячейку В10 и вызовем функцию СУММ: Математические СУММ ОК.

В диалоговом окне следует указать аргументы функции В3:В9, выделив нужный массив в таблице мышью, и нажать ОК. Если диалоговое окно закрывает часть массива, окно можно перетащить мышью в другое место.

В результате действия функции СУММ в ячейке В10 появится значение – сумма данных из ячеек В3:В9 (рис. 3).

Функции работы с матрицами находятся в двух категориях: Математические и Ссылки и массивы.

Найдем определитель матрицы A = 297 15109, которая расположена на рабочем листе в ячейках С15:D16 (рис. 3). Результат может быть получен в любой свободной ячейке рабочего листа. Поместим курсор в ячейку H20 и вызовем функцию ОПРЕД: Математические МОПРЕД ОК. В открывшемся окне укажем массив С15:D16 и нажмем ОК.

При работе с матрицами важно помнить, что если в результате производимой операции нужно получить не одно число, а несколько (матрицу), то перед вызовом Мастера функций необходимо выделить не одну ячейку, а прямоугольную область, размер которой совпадает с размером получающейся в итоге матрицы, а для получения результата вместо кнопки ОК нужно нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Рассмотрим нахождение обратной матрицы. Обратная матрица существует только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля. Найдем матрицу A 1, обратную матрице A= 297 15109, которая расположена на рабочем листе в ячейках С15:D16. Матрица A размера 2 2, следовательно матрица A 1 также имеет размер 2 2. Выделим с помощью мыши область G23:H24 и вызовем функцию МОБР: Математические МОБР ОК. В открывшемся окне укажем массив С15:D16 и нажмем Ctrl+Shift+Enter (заметьте, что при этом формула оказалась заключенной в фигурные скобки {}).

Рассмотрим операцию умножения матриц. Две матрицы можно умножать только в том случае, если количество столбцов первой совпадает с количеством строк второй. В результате получается матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первой, а число столбцов – с числом столбцов второй матрицы: Ank Bk m = C nm.

Пусть матрица A 1 размера 2 2 расположена в массиве G23:H24, а матрица B размера 2 1 – в массиве В18:В19. Произведе ние A 1 B – это матрица размера 2 1. Выделим область соответствующего размера, например ячейки С32:С33. Вызовем функцию Математические МУМНОЖ ОК. В открывшемся окне зададим адреса перемножаемых матриц G23:H24 и С32:С33 и нажмем Ctrl+Shift+Enter для выполнения операции. Результат на рис. 4.

Определение уравнения линейной регрессии Регрессионный анализ является эффективным методом изучения взаимосвязей переменных. В основе любой регрессионной модели лежит уравнение регрессии, которое показывает, каким будет в среднем изменение зависимой переменной y, если независимая переменная х примет конкретное значение. Это обстоятельство позволяет применять регрессионные модели не только для анализа, но и для прогнозирования.

Для определения коэффициентов линейного уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов.

Качество аппроксимации оценивается с помощью коэффициента детерминации D = R 2. Если D > 0,7, модель можно считать адекватной.

Определение уравнения линейной регрессии осуществляется с помощью функции ЛИНЕЙН категории Статистические. Для записи результата нужно выделить область размера 5 (k + 1), где k – число переменных, а затем вызвать функцию ЛИНЕЙН. В диалоговом окне требуется задать следующие аргументы: интервал значений Yi ; блок значений X i ; константа; статистика. В полях Константа и Статистика следует задать значение Истина, первое – для того чтобы получить уравнение регрессии с ненулевым свободным членом, второе – для получения оценки достоверности этого уравнения регрессии. Задав аргументы, необходимо нажать Ctrl+Shift+Enter. Вывод результата осуществляется в следующем формате:

В первой строке записываются коэффициенты уравнения регрессии в обратном порядке, во второй – их среднеквадратические отклонения, первый элемент 3-й строки – множественный коэффициент детерминации. Остаточная сумма квадратов s ад = SS ост / f ад – дисперсия адекватности; f ад = n k 1 – число степеней свободы дисперсии адекватности;

множественного коэффициента регрессии.

Определим линейное уравнение зависимости Y от X :

y = b + ax. Выделим область 5 2 : G32:H36 (см. рис. 4). Вызовем функцию Статистические ЛИНЕЙН ОК. В открывшемся окне зададим интервал значений Yi : В3:В9; блок значений X i : С3:С9;

константа – истина; статистика – истина. Таким образом, уравнение регрессии имеет вид y = 0,0734 x + 5,8298, коэффициент детерминации R 2 = 0,8764.

Изучить специфику зависимости и проследить характер связи в случае двух переменных проще всего графически. Рассмотрим построение диаграммы: линейная зависимость Y от X.

1. Выделить те ячейки, значения которых должны быть представлены на диаграмме: блок В3:С9 (рис. 4).

2. Щелкнуть курсором на кнопке.

На экране: окно Мастер диаграмм – шаг 1 (вид диаграммы).

Выбрать: Стандартные.

Тип: Точечная;

Вид: 1-е или 2-е окно. Далее.

3. На экране: окно Мастер диаграмм – шаг 2 (источник данных диаграммы) и вид выбранной диаграммы. Ряд – можно ввести название отображаемой на экране величины. Далее.

4. На экране: окно Мастер диаграмм – шаг 3 (параметры диаграммы). На этом шаге можно ввести легенду, а также название диаграммы и осей. Вводимый текст виден на экране. Далее.

5. На экране: окно Мастер диаграмм – шаг 4 (размещение диаграммы). Выбрать: поместить диаграмму на имеющемся листе. Готово.

6. На экране: диаграмма (рис. 4).

Для того чтобы поместить на диаграмму линию тренда, следует:

1. Щелкнуть на точках диаграммы правой кнопкой мыши.

2. В окне выбрать: Добавить линию тренда.

Тип: Линейная Параметры: показывать уравнение на диаграмме поместить на диаграмме величину достоверности аппроксимации R 2. ОК.

МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Любая экономическая политика заключается в регулировании определенных экономических параметров и поэтому должна основываться на знании того, как эти параметры влияют на другие составляющие экономической среды. В экономических исследованиях, как правило, встречаются стохастические зависимости, которые отличаются приблизительностью, неопределенностью. Они проявляются только в среднем по значительному количеству объектов (наблюдений). Здесь каждой величине факторного показателя (аргумента) может соответствовать несколько значений результативного показателя (функции). Взаимосвязь между исследуемыми факторами и результативным показателем проявится, если взять для исследования большое количество наблюдений (объектов) и сравнить их значения. Тогда в соответствии с законом больших чисел влияние других факторов на результативный показатель сглаживается, что дает возможность установить связь, соотношения между изучаемыми явлениями.

Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Стохастические взаимосвязи экономических переменных можно описать с помощью так называемых корреляционных характеристик. Отличают парную и множественную корреляцию. Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой – результативным.

Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Необходимые условия применения корреляционного анализа.

1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).

2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

1) определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), т. е. определить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;

2) установить относительную степень зависимости результа тивного показателя от каждого фактора.

Исследование корреляционных зависимостей имеет огромное значение. Это проявляется в том, что устанавливаются место и роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития и как итог – точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий.

Коэффициенты парной и множественной корреляции Одной из основных задач корреляционного анализа является определение влияния факторов на величину результативного показателя (в абсолютном измерении). Для решения этой задачи подбирается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямолинейной, криволинейной и т. д.). Подбор уравнения играет важную роль в корреляционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов.

Регрессионный анализ является эффективным статистическим методом изучения взаимосвязей переменных, из которых одна рассматривается как зависимая, а другие – как независимые. В основе любой регрессионной модели лежит уравнение регрессии, которое показывает, каким будет в среднем изменение зависимой переменной y, если независимые переменные xi примут конкретные значения, т. е. регрессией y на xi называется функция вида M ( y x1, x 2,K, x k ) = = f ( x1, x 2, K, x k ). Оценкой этой функции является выборочное уравнение регрессии y x = f * ( x1, x 2,K, x k ).

Различают уравнения (модели) парной и множественной регрессии. Если уравнение регрессии математически описывает поведение множества данных исследуемого показателя y во взаимосвязи с массивом данных одной независимой переменной x, то говорят о модели парной регрессии. Модели множественной регрессии отражают вклад нескольких независимых переменных xi в результат исследуемого показателя y.

Для отображения и оценки регрессионной взаимосвязи переменных могут использоваться различные функции: линейная, экспоненциальная, логарифмическая, полиномиальная и др.

Коэффициент парной корреляции используется в качестве меры, характеризующей степень линейной связи двух переменных.

Он представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений:

Коэффициент парной корреляции является безразмерной величиной и не зависит от выбора единиц обеих переменных. Значение коэффициента корреляции лежит в интервале от –1 (в случае строгой линейной отрицательной связи) до +1 (в случае строгой линейной положительной связи). Соответственно, положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между исследуемым и факторным показателями, а отрицательное – об обратной.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем теснее связь.

Близкий к нулю коэффициент корреляции говорит об отсутствии линейной связи переменных, но не свидетельствует об отсутствии их связи вообще. В случае равенства нулю показателя корреляции нельзя однозначно утверждать о том, что исследуемые показатели независимы. В данном случае можно попытаться найти более сложную модель их связи. Значительный интерес представляют коэффициенты корреляции, характеризующие взаимосвязь факторов между собой. В корреляционную модель следует подбирать независимые между собой факторы. Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить из модели.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид По данным этой матрицы можно примерно оценить, какие факторы существенно влияют на переменную y, а какие – несущественно, а также выявить взаимосвязь между факторами.

Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1, но несет в себе более универсальный смысл: чем ближе его значение к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на зависимую переменную, тем более точной выглядит построенная на основе отобранных факторов модель. Расчет коэффициента множественной корреляции производится на основе значений коэффициентов парной корреляции:

где det K – определитель корреляционной матрицы; K11 – алгебраическое дополнение элемента первой строки и первого столбца матрицы K. Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации D = R 2.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой:

где y – результативный показатель; b0 и b1 – параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать; x – факторный показатель.

Это уравнение описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением факторного показателя на определенную величину наблюдается равномерное возрастание или убывание значений результативного показателя.

Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид Оценка параметров b0, b1, b2,Kbk обычно осуществляется по методу наименьших квадратов:

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров b0, b1, b2,Kbk из условия минимума суммы квадратов откло нений (7). Используя необходимое условие экстремума, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов b0, b1, b2,Kbk :

Коэффициенты b1, b2,Kbk уравнения (8) показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. Однако peгрессионный анализ не дает ответов на вопросы: тесная это связь или нет, решающее воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя или второстепенное?

Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, другими словами, рассчитывают стандартизированные коэффициенты регрессии. Их еще называют бета-коэффициентами по символу, который принят для их обозначения. Бета-коэффициенты и коэффициенты регрессии связаны следующим отношением:

где = – среднеквадратическое отклонение, которое служит критерием однородности информации; x = i = значение.

Бета-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бетакоэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени воздействия каждого фактора на величину результативного показателя.

По аналогии можно сопоставить и коэффициенты эластичности, которые рассчитываются по формуле Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%.

Статистическая оценка модели и коэффициентов корреляции Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу H 0 : коэффициет корреляции равен 0 ( r = 0 ); конкурирующая гипотеза: r 0. Гипотеза проверяется с помощью случайной величины:

где r – среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции r, которая определяется по формуле Эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы t таб = t,n 1. Если расчетное значение t расч выше табличного t расч t,n1, то можно сделать заключение о том, что величина коэффициента корреляции является значимой, нулевая гипотеза отвергается. Табличные значения t таб = t,n 1 находят по таблице значений распределения Стьюдента. При этом учитываются количество степеней свободы ( n 1 ) и уровень доверительной вероятности ( ).

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, коэффициенты множественной корреляции и детерминации.

Значимость построенной модели проверяется следующим образом. Выдвигаем гипотезу H0 : модель незначима.

Конкурирующая гипотеза H 1 : модель значима. Гипотеза проверяется с помощью случайной величины по критерию Фишера:

где y i – фактические индивидуальные значения результативного показателя; y – среднее значение результативного показателя; y i – индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению регрессии; n – количество наблюдений (объем выборки);

k – количество независимых переменных в уравнении связи.

Случайная величина имеет распределение Фишера – Снедекора с k1 = n 1 и k 2 = n k 1 степенями свободы ( k – число факторных признаков). Фактическая величина Fнабл сопоставляется с табличной (по таблицам F -распределения) и делается заключение о надежности связи. Если Fнабл Fтаб (, k1, k 2 ) при заданном уровне значимости, тогда линейную модель можно считать адекватной (нулевая гипотеза отвергается).

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя ошибка аппроксимации:

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации.

О полноте связи можно судить также по величине множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Например, если R = 0,92, a D = 0,85, то это значит, что вариация результативного признака на 85% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 15% вариации результативного показателя. Значит, в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы.

Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей: а) оценки результатов хозяйственной деятельности; б) расчета влияния факторов на прирост результативного показателя; в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя; г) планирования и прогнозирования его величины.

Решение задачи многофакторного корреляционного анализа удобно проводить на ПЭВМ по типовым программам. Сначала формируется матрица исходных данных, в первой колонке которой записывается порядковый номер наблюдения, во второй – результативный показатель ( y ), а в следующих – факторные показатели ( xi ).

Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

Задача. Зависимость уровня рентабельности y от производительности труда x1, тыс. руб. и продолжительности оборота оборотных средств предприятия x 2, дни и материалоотдачи x3, тыс. ден. ед.

приведена в табл.

1) Проверить однородность приведенных данных;

2) Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Проверить значимость коэффициентов корреляции и проанализировать полученные данные.

3) Считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение связи (регрессии). Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.

4) Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера и определить среднюю ошибку аппроксимации. Уровень значимости = 0,1.

Решение. Для решения задачи нам понадобится следующая расчетная таблица (см. рис. 5).

1) Для того чтобы определить однородность данных, найдем их средние значения (пользуемся данными, полученными в расчетной таблице): y = y i = 21,4, x1 = xi1 = 8,21, x 2 = xi 2 = 18,2, и среднеквадратические отклонения:

как значения среднеквадратических отклонений y, x1, x 2 достаточно малы, то можно считать имеющиеся данные однородными. Значения третьего фактора однородными не являются.

2) Найдем коэффициенты корреляции по формулам (1) и (2) (или с помощью функции КОРЕЛЛ) и составим корреляционную матрицу:

ryx1 = 0,663, ryx2 = 0,828, ryx3 = 0,404 – эти коэффициенты показывают связь между результативным признаком y и x1, x 2, x3, соответственно; rx1x2 = 0,525 rx1x3 = 0,851, rx2 x3 = 0,173 – показывают связь rx1x2 = 0,525,, то гипотеза отвергается. Число степеней свободы в рассматриваемой задаче = N 2 = 10 2 = 8. Для коэффициента значимости = 0,05 критическое значение 2 (0,05; 8) = 15,51. Для вычисления статистики (25) поступим следующим образом. Для каждого значения i ( i = 1,10 ) вычислим величину и просуммируем их (см. рис. 24, ячейки H1:H12): набл = 7,308. Так как набл,, то гипотеза о распределении входящих требований по закону Пуассона принимается. Итак, поток требований подчиняется пуассоновскому закону распределения с интенсивностью потока = 5 шт./ч.

Перейдем к обработке статистических данных о времени обслуживания. Все вычисления по проверке гипотезы о распределении времени обслуживания сведем также в таблицу (см. рис. 24, строки 18:24). Среднее время обслуживания t обсл : t обсл = t обсл Так как t обсл, то выдвинем гипотезу об экспоненциальном распределении времени обслуживания. Проверим эту гипотезу с помощью критерия 2. Для нахождения теоретических частот по экспоненциальному закону воспользуемся формулой mi = mhµe µt, где m = 200 – объем выборки; h = 10 – длина интервала (шаг);

Число степеней свободы для экспоненциального распределения k = N 2 = 5 2 = 3. Примем уровень значимости = 0,05. По таблице 2 находим критическое значение 2 (0,05; 3) = 7,82. Наблюдаемое значение набл найдено и равно 30,047 (см. рис. 24, ячейка К24).

Так как набл > 0,05 ;3, то гипотезу об экспоненциальном рас пределении времени обслуживания следует отвергнуть. Как же быть с решением задачи? В таком случае заменим эмпирическое распределение теоретическим:

t обсл = 1. Определим основные показатели работы системы ( = 5, µ = 4,54, n = 2 ) без ограничений на длину очереди.

Интенсивность нагрузки = = 1,16.

Условие х < 1 является условием стационарности системы. В случае x 1 система не справляется с обслуживанием, ее очередь неограниченно возрастает. В этом случае нужно увеличить количество обслуживающих устройств.

Так как x = 0,55 < 1, то вероятность получить отказ равна нулю:

Относительная пропускная способность системы – это вероятность получить обслуживание:

Абсолютная пропускная способность системы Среднее число занятых каналов:

Вычисление всех выше перечисленных величин, x, q, A, z представлено на рис. 25.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая шк., 1986.

2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. – 5-е изд. стер. – М.: Высшая шк., 1998. – 576 с.

3. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: ДИС, 2001.

4. Кузнецов А. В., Холод Н. И., Костевич Л. С. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учеб. пособие. – Мн.: Выш. шк., 2001.

5. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн.: Выш. шк., 1994.

6. Курицкий Б. Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. – СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 1997.

7. Сакович В. А. Исследование операций: Справочное пособие. – Мн.: Выш. шк., 1985.

8. Федосеев В. Ф. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. – М.: Финстатинформ, 1996.

9. Шапкин А. С., Мазаева Н. П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – М.: Изд. торг. корп. «Дашков и К», 2003. – 400 с.

10. Экономико-математические методы и модели / Под ред.

А. В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.

11. Янович В. И., Балашевич Н. В. Экономико-математические методы и модели. – Мн.: БГТУ, 2002.

12. Янович В. И., Шинкевич Е. А. Экономико-математические методы и модели. – Мн.: БГТУ, 2003.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

ОПЕРАЦИОННАЯ СРЕДА WINDOWS

ЭЛЕКТРОННЫЕ ТАБЛИЦЫ EXCEL

МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Коэффициенты парной и множественной корреляции

Линейные уравнения регрессии

Статистическая оценка модели и коэффициентов корреляции........... РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СРЕДСТВАМИ EXCEL......... Задача распределения ресурсов

Решение транспортных задач средствами Excel. Двухэтапная транспортная задача

Оптимизация размещения лесозаготовительного производства между лесопунктами леспромхоза (одноэтапная многопродуктовая задача размещения и концентрации производства)

МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

ЭЛЕМЕНТЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ...... ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ЛИТЕРАТУРА