А. П. Грамматин, О.Н. Балаценко, Г.Э. Романова

РАСЧЕТ И АВТОМАТИЗАЦИЯ

ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2013

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

А.П.Грамматин, Г.Э.Романова, О.Н. Балаценко

РАСЧЕТ И АВТОМАТИЗАЦИЯ

ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Учебное пособие Санкт-Петербург А. П. Грамматин, Г. Э. Романова, О.Н. Балаценко. Расчет и автоматизация проектирования оптических систем. Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. – 128 с.

В учебном пособии изложены основные методы проектирования оптических систем, а также математические основы автоматизированной коррекции оптических систем с использованием специализированного программного обеспечения. Рассматриваются примеры расчета линзовых оптических систем различного типа. Сведения, представленные в пособии, необходимы при изучении дисциплин «Расчет и автоматизация проектирования оптических систем», «Расчет оптических систем», «Методы проектирования оптических систем».

Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обечающихся по направлению подготовки магистров 200400 «Оптотехника» и 200401 «Электронные и оптико-электронные приборы и системы специального назначения» (протокол № 7 от 29 ноября 2013 г.) Рецензент: главный оптик ОАО «ГОИ им. С.И.Вавилова, начальник отделения Н05 Л.Н.Архипова В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

© Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, © А. П. Грамматин, Г.Э.Романова, О.Н. Балаценко,

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Обозначения, принятые в тексте …………………………………… Введение……………………………………………………………… 1. Понятие об аберрациях третьего порядка ……………………… 1.1 Обзор аберраций ……………………………………………… 2. Проектирование оптических систем ……………………………. 2.1 Этапы разработки оптической системы ……………………. 2.2 Методы расчета оптических систем ………………………… 2.2.1 Метод проб ……………………………………………...... 2.2.2 Синтез из тонких компонентов (алгебраический метод)……………………………………………………… 2.2.3 Синтез оптических систем из поверхностей с особыми свойствами (метод композиции) ………….. 3. Методы автоматизированной коррекции оптических систем … 3.1 Постановка задачи ……………………………………………. 3.2 Метод Ньютона ……………………………………………….. 3.3 Модифицированный метод Ньютона ……………………….. 3.4 Метод наименьших квадратов ……………………………….. 3.5 Модифицированный метод наименьших квадратов ……….. 3.6 Метод градиента ……………………………………………… 3.8 Особенности программного комплекса для расчета оптических систем САРО (Система Автоматизированного 3.10 Выбор коррекционных параметров ……………………….. 3.11 Приемы автоматизированной коррекции ………………….. 3.11.1 Метод последовательной коррекции аберраций …….. 3.11.2 Метод целенаправленного изменения коррекционных 4. Расчет оптических систем ………………………………………... 4.1 Аберрационные свойства и расчет объектива, склеенного 4.2 Оптимальная коррекция поперечной сферической 4.3 Аберрационные свойства и расчет объектива, склеенного 4.4 Расчет и аберрационные свойства трехлинзового 4.5 Аберрационные свойства и расчет объектива из двух линз 4.6 Окуляры зрительных труб, выполненных по схеме Кеплера.

4.7 Расчет зрительной трубки Галилея ………………………… 4.8 Расчет объектива типа Петцваля с использованием методов 4.9 Расчет систем для ИК области спектра …………………….. Обозначения, принятые в тексте:

D – диаметр входного зрачка;

K – диафрагменное число, то есть K= f /D;

Hmax – ордината точки пересечения крайнего апертурного луча с плоскостью зрачка;

Hi – ордината точки пересечения i-ого луча с плоскостью зрачка;

i – номер апертурного луча в соответствии с нумерацией, принятой в программе САРО, а именно:

y'i – поперечная сферическая аберрация для луча с номером i;

s'i – продольная сферическая аберрация для луча с номером i;

s'III – римские цифры в индексе обозначают порядок аберрации: III, V – третий и пятый порядки;

'i – поперечная сферическая аберрация в угловой мере для луча с номером i;

wi – волновая аберрация;

zp – положение входного зрачка относительно первой поверхности;

z'p – положение выходного зрачка относительно последней поверхности;

z'p – сферическая аберрация в выходном зрачке;

t = zp /f ', t ' = z'p /f ' – относительные положения зрачков соответственно от первой и последней поверхностей;

L – расстояние между предметом и изображением;

n() – показатель преломления для длины волны :

– порядковый номер длины волны в соответствующей таблице программы САРО. Для видимой области спектра рекомендуется задавать = 0 – основная длина волны e, = 1 – длина волны C ', = 2 – длина волны F '. В таблице САРО можно задавать длину волны либо буквами, либо цифрами: 0,000e или 0,0005461 (в миллиметрах);

– отступление от условия изопланатизма;

y ' – черта над обозначением означает заданное значение аберрации (в данном примере поперечной) для автоматизированной коррекции;

lj – величина предмета;

l 'j – ордината точки пересечения главного луча с плоскостью Гаусса; j – номер пучка в соответствии с нумерацией, принятой в программе САРО, а именно:

j =1 соответствует краю поля sin = – MUMAX, – угловое поле или j =2 соответствует sin 3 4, l1 j =12 соответствует sin 5 8, l1 j =3 соответствует sin 1 2, l1 j =13 соответствует sin 3 8, l1 j =4 соответствует sin 1 4, l1 P – основной параметр Г.Г.Слюсарева, связанный со сферической аберрацией третьего порядка при s1 = ;

W* – основной параметр Г.Г. Слюсарева, связанный с отступлением от условия изопланатизма третьего порядка (комы) при s1 = ;

С* – основной параметр Г.Г. Слюсарева, определяющий хроматизм положения при s1 = ;

P – параметр Г.Г. Слюсарева, определяющий сферическую аберрацию третьего порядка при s1 ;

W – основной параметр Г.Г. Слюсарева, определяющий отступление от условия изопланатизма третьего порядка (кому) при s1 ;

С – основной параметр Г.Г. Слюсарева, определяющий хроматизм положения при s1 ;

1 – угол между оптической осью и параксиальным (бесконечно близким к оси) лучом, выходящим из осевой точки предмета (первым параксиальным лучом);

i+1 –тот же угол между поверхностями с номером i и i+1, hi – расстояние от оптической оси до точки преломления (отражения) первого параксиального луча – «высота» на поверхности с номером i;

1 – угол между оптической осью и вторым параксиальным лучом, проходящим через осевую точку входного зрачка в пространстве предметов из внеосевой точки предмета;

yi – расстояние от оптической оси до точки преломления (отражения) второго параксиального луча на поверхности с номером i;

А – апертурный угол в пространстве предметов;

'А – апертурный угол в пространстве изображений;

2 – угловое поле системы в пространстве предметов;

2'– угловое поле системы в пространстве изображений;

V – линейное увеличение;

Г – видимое увеличение;

Z 'm – меридиональная составляющая астигматизма;

Z 's – сагиттальная составляющая астигматизма;

Z 'p – кривизна поверхности изображения – стрелка Петцваля;

l '(2–1)j – хроматизм увеличения для главных лучей j-ого пучка;

R'Y – радиус поверхности изображения;

DS'Y – смещение плоскости установки относительно плоскости Гаусса.

Когда изображение находится на бесконечности, например, в зрительных трубах, в программе САРО следует указывать DS'Y = 1Е9, в этом случае поперечные аберрации выдаются в угловой мере, продольные аберрации – в продольной мере.

T – коэффициент передачи контраста.

Введение Оптические и оптико-электронные приборы и системы применяются практически во всех областях науки и техники. С их помощью решаются задачи автоматического слежения и управления, повышения точности и быстродействия сложных комплексов и т.п.

От правильного выбора принципиальной оптической схемы и ее дальнейшего расчета во многом зависит не только успешная работа прибора в целом, но и его габариты и масса, а также объем принимаемой информации.

Несмотря на то, что в настоящее время при разработке оптических систем широко используются персональные компьютеры, для которых существуют комплексы универсальных и специализированных программ для синтеза, анализа и оптимизации систем, это не приводит к буму разработки сверхоригинальных схем, хотя и значительно ускоряет процесс создания оптических систем.

Проектирование оптических систем представляет собой достаточно сложный процесс, который включает в себя как этапы теоретического исследования, так и практические этапы, использующие возможности программ для автоматизированного проектирования оптики [1, 2].

Проектировщик должен учитывать множество факторов, в том числе технологические возможности производства разрабатываемых оптических систем, стоимость используемых материалов и возможность их поставки и др. [3, 4] Специалисты, способные квалифицированно разработать оптические системы для решения задач, поставленных перед оптикоэлектронным прибором, должны обладать фундаментальными знаниями по общеобразовательным и техническим дисциплинам, а также в совершенстве знать основы оптики и оптические системы приборов.

В пособии изложены основные методы синтеза оптических схем, методы автоматизированной коррекции, а также приведены примеры расчета оптических систем различного типа.

1. Понятие об аберрациях третьего порядка Расчет хода меридионального луча через сферическую поверхность можно выполнить по следующим тригонометрическим формулам:

В формулах (1.1) – (1.4) обозначения согласно рисунку 1.1.

С помощью этих формул в прологарифмированном виде по таблицам логарифмов и ручного суммирования логарифмов осуществлялся расчет хода лучей в домашинную (докомпьютерную) эпоху (примерно до 1955 года).

Рис. 1.1 Преломление луча через сферическую поверхность Для расчета параксиальных (бесконечно близких к оси) лучей синусы в формулах (1.1) – (1.4) заменяются первым членом разложения этой функции в ряд sin = =, где – угол первого параксиального луча с осью.

Выполнив несложные преобразования и введя высоту падения h первого параксиального луча на поверхность, получим формулы, удобные для практического пользования:

При расчете хода параксиальных лучей на компьютере также используются последние формулы, а для расчета реальных лучей – преобразованные формулы первой группы, называемые формулами Федера [2, 5], в которых вычисление синусов и арксинусов заменено двукратным извлечением квадратного корня, что существенно ускоряет работу компьютера. Формулы Федера пригодны и для расчета внемеридиональных лучей.

Логический вывод формул для аберраций третьего порядка, зависящих от третьей степени суммы степеней координат на зрачке H и величины предмета l, можно представить следующим образом. Заменим синусы и арксинусы в формулах (1.1) – (1.4) двухчленным разложением их в ряд, то есть примем Из полученных в результате такого расчета координат пересечения лучей с плоскостью параксиального изображения вычтем соответствующие координаты параксиальных лучей и получим аберрации третьего порядка. Например, для продольной сферической аберрации найдем s' = s' – s'0.

1.1 Обзор аберраций Сферическая аберрация Сферическая аберрация проявляется в нарушении гомоцентричности пучка лучей при сохранении его симметрии. Ее характерным свойством является наличие и постоянство в пределах всего поля изображения, включая центр. Для определения сферической аберрации необходимо и достаточно рассчитать ход лучей осевого и параксиального пучков, поскольку в центре поля другие монохроматические аберрации отсутствуют.

В практике расчетов оптических систем используются четыре численных представления сферической аберрации:

1. Поперечная аберрация y. Измеряется по оси ОY, то есть перпендикулярно оптической оси. Моделирует визуальное восприятие изображения точки.

2. Продольная аберрация s. Измеряется вдоль оси ОZ, то есть вдоль оптической оси. Используется, главным образом, при проектировании оптических систем по частям, например, телескопических.

3. Угловая аберрация. Является аналогом поперечной аберрации.

Используется в случае, когда изображение находится на бесконечности.

4. Волновая аберрация w. Используется при расчете так называемых дифракционно-ограниченных оптических систем, то есть систем, качество изображения которых определяется дифракцией.

В программах проектирования оптики при расчете аберраций продольная, поперечная (или угловая) и волновая аберрация выдается как функция tg, то есть тангенса реального луча или как функция радиуса входного зрачка H (высоты на зрачке).

Для наглядности при оценке сферической аберрации можно рассматривать пятно рассеяния для центра поля. При наличии сферической аберрации третьего порядка и отсутствии остальных монохроматических аберраций пятно рассеяния по всему полю одинаково [6].

При наличии третьих порядков аберрации продольная сферическая аберрация зависит от второй степени координаты по зрачку, поперечная – от третьей степени, волновая – от четвертой.

При наличии сферической аберрации третьего порядка наилучшее изображении будет образовываться не в плоскости Гаусса, а в плоскости установки, смещенной на величину DSY= s2(0), где s2(0) – продольная сферическая аберрация для луча с координатой на зрачке H2 = 0,866Hmax.

При этом поперечная аберрация на краю зрачка и на высоте H4 = 0,5Hmax равны по модулю и противоположны по знаку y 1(0) = –y 4(0).

На рис. 1.2 показаны графики поперечной сферической аберрации при наличии только третьих ее порядков в плоскости Гаусса и в плоскости наилучшей установки. При этом пятно рассеяния в последнем случае уменьшается в четыре раза.

Рис. 1.2 График поперечной сферической аберрации при наличии третьих ее порядков: а) в плоскости Гаусса б) в плоскости наилучшей установки В качестве тестовой системы, в которой присутствует только сферическая аберрация третьего порядка, можно использовать объектив «Микронар», модифицированный особым образом с целью введения сферической аберрации [7,8].

Рис. 1.3 График волновой сферической аберрации при наличии третьих ее порядков в плоскости наилучшей установки При расчете дифракционно-ограниченных систем, в которых присутствует только сферическая аберрация третьего порядка, оптимальное смещение плоскости установки составляет DSY= s3(0). При этом ее ход имеет вид, показанный на рис.1.3. В этом случае волновая аберрация для края отверстия равна нулю, а максимум достигается при H = H3 и составляет w3= 0,25w1, где w1– значение волновой аберрации на краю зрачка в плоскости Гаусса. При этом среднеквадратическое отклонение волновой аберрации минимально, а число Штреля максимально.

При расчете систем, в которых присутствуют сферическая аберрация третьего и пятого порядка, можно выделить аберрации третьего и пятого порядков:

Анализ порядков продольной сферической аберрации может быть выполнен по формулам:

Анализ порядков волновой сферической аберрации может быть выполнен по формулам:

Кома Аберрация, называемая комой, проявляется в нарушении симметрии меридиональных внеосевых лучей относительно главного. При наличии комы верхний и нижний лучи меридионального пучка, симметричные относительно главного луча в пространстве предметов, пересекают плоскость Гаусса в одной точке, не совпадающей с точкой пересечения главного луча с этой плоскостью. Расстояние между этими точками представляет собой меридиональную кому km (рис. 1.4). Лучи сагиттального пучка, симметричные относительно главного, фокусируются в точке, расположенной на расстоянии ks от точки пересечения главного луча с плоскостью Гаусса. Величина ks называется сагиттальной комой. В области аберрации третьего порядка для сагиттальной и меридиональной комы выполняется соотношение km/ks=3.

Рис. 1.4 Ход лучей в оптической системе при наличии комы В программных комплексах расчета оптики величина комы на экран не выдаётся, и для определения меридиональной комы km для края поля в присутствии других аберраций необходимо произвести ее расчет по формуле:

k m = (y1,1 + y1,8 ) 2, где y '1,1 – аберрация для луча, выходящего из крайней точки предмета и проходящий через верхний край зрачка; y '1,8 – аберрация для луча, выходящего из крайней точки предмета и проходящий через нижний край зрачка. Меридиональная кома пропорциональна квадрату апертуры и полевому углу (или величине изображения).

Пятно рассеяния при наличии комы третьего порядка имеет характерный вид, показанный на рисунке, где l ' – координата пересечения главного луча наклонного пучка с плоскостью изображения.

Рис. 1.5 Структура пятна рассеяния при наличии комы третьего порядка В эпоху ручного расчета хода лучей в оптических системах (по принятой тогда терминологии – тригонометрического расчета) рядом ученых предпринимались попытки получения дополнительной информации об аберрациях на основе выполнения минимального объема вычислений. Так, Аббе сформулировал условие (закон синусов), когда при отсутствии сферической аберрации устраняется кома в области, близкой к оптической оси. Для проверки выполнения этого условия достаточен расчет одного крайнего луча осевого пучка. В дальнейшем Штебле и независимо от него Лихоцкий вывели формулу так называемого отступления от условия изопланатизма (величины ), с помощью которой можно приблизительно оценить кому вблизи от оптической оси в присутствии сферической аберрации:

где s'0 – параксиальное положение изображения, z'0 – параксиальное положение выходного зрачка; s – продольная сферическая аберрация;

0 – параксиальное линейное увеличение; – отступление от условия синусов = – 0.

В случае предмета, расположенного на бесконечно большом расстоянии, выражение принимает вид:

Величины, входящие в эту формулу, также определяются на основе данных, получаемых путем расчета одного луча осевого пучка.

Величина меридиональной комы связана с величиной прямопропорционально:

где l – величина изображения, – величина отступления от условия изопланатизма в относительной мере (не в процентах).

Можно показать, что асферизация поверхности, совмещенной с апертурной диафрагмой, не влияет на отступление от условия изопланатизма, а следовательно, и на кому. Кроме того, кома не зависит от положения зрачка при исправленной сферической аберрации.

Кривизна изображения и астигматизм Кривизной поверхности изображения (кривизной поля) называется аберрация, при которой поверхность изображения не является плоской. В большинстве оптических систем эта поверхность близка по форме к параболоиду или сфере. В области первичной аберрации (аберрации третьего порядка) кривизна поля пропорциональна сумме оптических сил отдельных компонентов оптической системы.

При наличии аберрации, называемой астигматизмом, наклонный пучок лучей фокусируется в пространстве изображений в два взаимноперпендикулярных отрезка прямых линий, расположенных в плоскостях, расстояние между которыми является численной мерой астигматизма. Для выделения астигматизма среди других аберраций по специальным формулам выполняются расчеты двух бесконечно тонких пучков лучей, осью которых служит главный луч. Один из пучков располагается в меридиональной плоскости, а другой – в сагиттальной. Расстояние от плоскости Гаусса до точки фокусировки меридионального пучка лучей обозначается через Z m, а сагиттального – через Z s (рис.1.6).

Рис.1.6 Астигматизм и кривизна изображения Величины Z m, Z s называются составляющими астигматизма или астигматическими отрезками. Величину астигматизма характеризуют их разностью:

ast = Z m – Z s.

Для систем, в которых изображение расположено на бесконечности, астигматизм ast = L m – L s, где астигматические отрезки Lm, Ls выражены в диоптриях.

Соотношение величин Z m/Z s в системе, где присутствует только кривизна изображения таково, что при изменении Z m происходит изменение Z s = Z m/3. Путем простых преобразований легко получить формулу для величины кривизны изображения (кривизны Петцваля):

При смещении плоскости установки на величину пятно рассеяния имеет форму круга и минимальные размеры по сравнению с другими положениями плоскости установки в системе, где присутствует только кривизна изображения.

Дисторсия Несовпадение положения точек изображения с тем, которого для них требует гауссова оптика, называется дисторсией. Эта аберрация ведет к нарушению подобия между предметом и его изображением. Так, в случае рис.1.7 дисторсия прогрессивно уменьшает размеры изображения по мере удаления от центра поля зрения к его краям.

В программных комплексах, предназначенных для расчёта оптических систем, дисторсия вычисляется и выдается как поперечная аберрация главного луча, то есть разность ординаты точки пересечения главного луча с плоскостью Гаусса и величины параксиального изображения.

Если предмет расположен на конечном расстоянии, то дисторсия определяется по формуле:

где V – линейное увеличение, l – величина предмета.

Если предмет расположен в бесконечности, то где f – фокусное расстояние, – полевой угол в пространстве предметов.

Для телескопических систем дисторсию принято представлять в относительной мере:

где Г0 – видимое увеличение в параксиальной области, Г – реальное видимое увеличение, определяемое по формуле:

где – угол главного луча с осью в пространстве изображений.

Для фотографических объективов дисторсию также принято оценивать в относительной мере.

Дисторсия пятна рассеяния не создает. Происходит только искажение формы изображения.

Хроматические аберрации Причиной возникновения хроматических аберраций в оптических системах является зависимость показателей преломления используемых материалов от длины волны света, в результате чего при преломлении немонохроматического луча на поверхности системы происходит его расщепление на пучок монохроматических лучей, идущих в различных направлениях.

Визуально хроматические аберрации проявляются в виде цветных ореолов, окружающих отдельные элементы изображения. Если приемник изображения не воспринимает цветовые различия, то хроматические аберрации приводят к нерезкости изображения [7].

Для использования в приборах, работающих в видимой, а также в ближней ИК и УФ областях спектра, предназначено оптическое бесцветное стекло по ГОСТ 3514-94. Большинство стекол, содержащихся в этом стандарте, прозрачно в диапазоне от 0,365 до 2,6 мкм. При расчете оптических систем для видимой области принято использовать в качестве основной длины волны e = 0,54607 мкм, а в качестве крайних длин волн диапазона – F = 0,480 мкм и С = 0,643 мкм. Коэффициент дисперсии (число Аббе) определяется по формуле:

а относительная частная дисперсия:

Для оптического стекла большей части марок зависимость относительных частных дисперсий от коэффициентов дисперсий близка к линейной. Соответствующую прямую принято называть нормальной.

В отечественном каталоге бесцветных оптических стекол в качестве нормальной принята прямая, проходящая через координаты pF',e и e стекол марок К18 и Ф13. Уравнение нормальной прямой в системе координат e – pF',e имеет вид:

Рис. 1.8 Нормальная прямая стекол в системе координат D – pF,D На рис. 1.8 показана нормальная прямая стекол и отмечено положение некоторых материалов, в том числе стекол особой серии, и флюорита [9].

Хроматизм положения Хроматизм положения проявляется в том, что параксиальные изображения (плоскости Гаусса) для дополнительных длин волн света не совпадают между собой и не совпадают с плоскостью Гаусса для основной длины волны. Это приводит при использовании спектрочувствительных приемников к образованию цветной каймы вокруг изображения точки, а в случае применения черно-белых приемников – к размытию изображения точки. Обычно хроматизм положения характеризуют продольной его величиной s'0(2–1)0, которая вызывает хроматизм положения в поперечном измерении y '(2–1). При этом при введении плоскости установки пятно рассеяния имеет минимальный диаметр при наличии только хроматизма положения.

Для отдельной тонкой линзы в видимой области хроматизм положения, в случае если предмет расположен на бесконечно большом расстоянии s = :

а в случае если s :

Для коррекции хроматизма положения в паре линз, расположенных вплотную друг к другу, необходимо, чтобы оптические силы определялись следующими выражениями:

В приведенных выше выражениях (1.32) – (1.33) принято, что оптическая сила системы из двух линз = 1. Необходимым условием исправления хроматизма положения является 1 2.

Вторичный спектр Вторичным спектром называется несовпадение совмещенных плоскостей Гаусса для двух дополнительных длин волн 1, 2 с плоскостью Гаусса для основной длины волны 0, т.е. величина s0(2–0) при исправленном хроматизме положения s0(2–1)=0.

Вторичный спектр для системы из двух тонких соприкасающихся линз определяется по формуле:

где p – относительная частная дисперсия, – коэффициент дисперсии.

Как было сказано выше, для подавляющего большинства стекол ГОСТ 3514-94 существует линейная зависимость между относительной частной дисперсией р и числом Аббе. Поэтому при любом количестве линз, выполненных из обычных стекол, вторичный спектр остается неизменным, и в видимом диапазоне для спектральных линий e, C, F вторичный спектр определяется выражением:

На рис. 1.9а показана типичная кривая зависимости s от для системы с исправленным хроматизмом положения в случае использования обычных марок стекол.

В таблице 1.1 приведены сочетания стекол и соответствующие величины вторичного спектра, а также относительная оптическая сила положительной линзы для каждой пары.

Вторичный спектр для комбинаций из двух стекол получен путем автоматизированной коррекции (требование 11 САРО) хроматизма положения, то есть функции 6 для пучка 0 и луча 0, для системы из двух линз с малым воздушным промежутком.

Комбинация ЛК1 – К8, не содержащая особых стекол, обладает минимальным вторичным спектром, однако оптическая сила кроновой линзы к = 14,9 в подавляющем большинстве оптических систем не приемлема.

Сочетания стекол ТК4 – ОФ4 и ТК21 – ОФ5 использованы в схемах Б.Л.Нефедова [10] для расчета апохроматических систем, свободных также и от сферохроматической аберрации. Комбинации не содержат флюорита и особых кронов.

Для комбинаций из трех стекол вторичный спектр (см. табл. 1.1) получен путем автоматизированной коррекции хроматизма положения (функция 6 программы САРО) и вторичного спектра (функция программы САРО) с использованием требования 11. Функция программы САРО соответствует величине s'0(3 – 2), где в качестве длины волны 3 следует повторить основную. Запись s'0(3 – 2) означает разность s'0(3) – s'0(2), в данном случае s'0(0) – s'0(2), то есть вторичный спектр с обратным знаком.

Табл. 1.1 Сочетания стекол и соответствующие величины вторичного спектра а в мм для f = 1000 мм Для систем из трех линз, выполненных из различных материалов и не лежащих строго на нормальной прямой, вторичный спектр в принципе может быть исправлен. Однако, как правило, относительные оптические силы линз в этом случае чрезмерно велики. Если в трехлинзовой комбинации хотя бы одно стекло является особым, вторичный спектр может быть строго исправлен, однако зависимость s от приобретает вид, представленный на рис. 1.9б. При этом мерой вторичного спектра является величина а на рис. 1.9б. В то же время аналогичный вид кривой имеет место в комбинации флюорит – ОФ6.

Пары стекол ОК1 – КФ7 и СТК19 – ТФ4 имеют близкие показатели преломления, поэтому они часто используются как ахроматические, то есть пары с одинаковыми показателями преломления и различными коэффициентами дисперсии. Обратим внимание, что первая пара имеет уменьшенный вторичный спектр, а вторая – увеличенный.

Нет ни одной комбинации, не содержащей особых стекол, в которой был бы исправлен вторичный спектр.

Комбинация флюорит – кварцевое стекло используется в микрообъективах, работающих в области спектра, распространяющейся от УФ до ближнего ИК.

При использовании флюорита, особых кронов (ОК1, ОК4) и легких кронов (ЛК1) следует иметь в виду, что их коэффициенты линейного расширения существенно отличаются от таковых у обычных стекол. Так, например, для флюорита = 180·10 – 7, для ОК1 = 121·10 – 7, а для стекла К8 = 68·10 – 7. Поэтому склейка линз из обычного стекла и флюорита, а также и особых кронов при световых диаметрах более 15 мм недопустима.

Вторичный спектр систем, состоящих из тонких компонентов, разделенных воздушными промежутками Для определения вторичного спектра системы, состоящей из нескольких тонких компонентов, разделенных воздушными промежутками конечной величины, целесообразно воспользоваться формулой для определения хроматизма таких систем [11]:

где Сi – хроматический параметр Слюсарева, для одиночной линзы С = – 1/e.

Если вместо этого параметра подставить ai/f, то SIхр будет характеризовать вторичный спектр системы, то есть SIхр = a/f. Исследуем зависимость величины = hi2i для системы из двух компонентов от их оптических сил и расстояния между ними.

Сначала рассмотрим систему, в которой 1 >0, 2 >0. Ограничимся системами, в которых последний отрезок положителен. Целесообразно использовать масштаб, при котором фокусное расстояние f = 1. Нетрудно показать, что минимальное значение вторичного спектра имеет место при 1 = 0,5, 2 = 2,5, d = 1,6, s = 0,2 и составляет = 0,6. При 1 = 0,5, 2 = 2,0, d = 1,5, s =0,25 величина = 0,625. Следовательно, в объективе типа Петцваля вторичный спектр несколько уменьшен.

Рассмотрим системы, в которых 1 > 0, 2 < 0, то есть систему двухкомпонентного телеобъектива. Например, телеобъектив, у которого длина составляет 0,75 от фокусного расстояния и 1 = – 2, то есть исправлена кривизна изображения, а d = 0,23, s = 0,445, =1,4.

Для систем, где 1 0, например, 1 = –1,75, 2 = 1,75, d = 0,5, s= 1,875 величина =4,4 (!). Вторичный спектр может быть уменьшен путем использования в первом компоненте стекол с увеличенным вторичным спектром.

В системе Галилея, где 1 >0, 2 k имеет бесчисленное множество решений. Для дополнения системы уравнений вводится требование минимальности взвешенной суммы квадратов приращений параметров Подробности о выборе весовых коэффициентов и конкретном применении метода Лагранжа можно найти в [5] 3.4 Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов (МНК) используется при k>t, то есть когда число корригируемых функций больше числа параметров. В этом случае система линейных уравнений (3.2) переопределена и в общем случае не имеет решения. Поэтому когда число корригируемых функций k превышает количество коррекционных параметров t, нельзя требовать, чтобы все функции Фj приняли заданные значения. Задача считается решенной при минимуме вспомогательной функции (3.3), то есть при минимальном расстоянии от найденной в пространстве функций точки до заданной точки. Математически это можно выразить так:

Дифференцируя функцию F по pi, получим:

Подставив в (3.6) значение Фj из (3.1) и приняв во внимание (3.5), находим:

Количество уравнений (3.7) равно количеству коррекционных параметров t. Число неизвестных pi также равно t. Таким образом, задача сведена к решению системы t линейных уравнений с t неизвестными.

Выполнив элементарные преобразования уравнения (3.1), получим систему линейных уравнений:

Заметим, что, как и в методе Ньютона, в методе наименьших квадратов хорошая сходимость итерационного процесса обеспечивается лишь при малых значениях изменений коррекционных параметров pi, поскольку применимость системы уравнений (3.2) базируется на изменениями параметров и функций. Во избежание расходимости итерационного процесса при автоматизированной коррекции оптических систем метод наименьших квадратов используется не в классическом, а в модифицированном виде.

3.5 Модификация метода наименьших квадратов.

Цель модификации – ограничить изменения коррекционных параметров на каждом итерационном шаге. Сущность модификации, предложенной Левенбергом, состоит в том, что в оценочную функцию F вводят дополнительно, кроме отклонений функций от заданных значений Фj – j, изменения коррекционных параметров pi. Тогда оценочная функция где ki – некоторые коэффициенты.

Дифференцируя эту оценочную функцию по pi и приравнивая производные к нулю, получают систему линейных уравнений, решение которой и обеспечивает минимум оценочной функции F.

Вторая модификация метода наименьших квадратов заключается в том, что результат решения систем линейных уравнений (3.8) определяет направление движения в пространстве параметров, а величина шага в этом направлении устанавливается нахождением минимума функции F. Эта модификация имеет много общего с рассмотренной выше модификацией метода Ньютона.

Именно метод наименьших квадратов и его модификации чаще всего применяется для автоматизированной коррекции в программах расчета оптики (ОПАЛ, ZEMAX), хотя и не является оптимальным для всех случаев. В программах ОПАЛ, DEMOS предусмотрен выбор метода, применяемого при оптимизации, хотя, в отличие от программного комплекса САРО, в рамках одного цикла оптимизации не предусмотрен автоматический переход и выбор метода коррекции.

3.6 Метод градиента Этот метод применим при любом соотношении между количеством коррекционных параметров t и количеством корригируемых функций k.

Задача автоматического расчета при этом сводится к определению значений коррекционных параметров pi, при которых вспомогательная функция F имеет минимальное значение.

Нетрудно доказать (см., например [5]), что оценочная функция имеет максимальную скорость убывания, когда между изменениями коррекционных параметров pi имеется соотношение:

где >0.

Значения производных F/pi определяются по формуле (3.6).

Минимум функции F при движении по направлению в пространстве параметров, устанавливаемому из соотношения (3.10), определяется, как и в рассмотренных методах, нахождением значения величины e, соответствующей этому минимуму.

По сравнению с методом Ньютона и методом наименьших квадратов метод градиента в большинстве случаев дает худшую сходимость. Однако его целесообразно использовать в качестве вспомогательного метода в тех случаях, когда модифицированные методы Ньютона или наименьших квадратов не дают положительных результатов.

3.7 Метод Лагранжа При k < t применяется метод Лагранжа. Система уравнений (3.1) в этом случае переопределена и имеет множество решений. Для дополнения системы уравнений (3.1) вводится требование минимальности взвешенной суммы квадратов приращений параметров pi:

Весовые коэффициенты i принимаются равными сумме абсолютных значений производных Расчет производных 2 j / pi2 осуществляется одновременно с расчетом первых производных методом конечных разностей.

При выполнении автоматизированной коррекции определяется минимальное значение квадратичной формы (3.11) при выполнении условия (3.1). В результате имеем систему из k+t линейных уравнений с k+t неизвестными, из которых первые t – искомые приращения параметров pi, а остальные k – произвольные коэффициенты Лагранжа j. Система уравнений в матричной форме имеет следующий вид:

где y – вектор столбец неизвестных, в котором t первых компонент – pi, остальные k компонент – множители Лагранжа j; – вектор-столбец, t первых компонент которого совпадают с компонентами вектора Ф системы (3.1), а остальные k компонент – нули; С – матрица следующей структуры:

Решая систему уравнений (3.13), получаем множители Лагранжа и вектор приращений параметров p.

3.8 Особенности программного комплекса для расчета оптических систем САРО (Система Автоматизированного Расчета Оптики) Система САРО имеет принципиальные отличия перед известными аналогичными комплексами, в частности, ОПАЛ, ZEMAX, DEMOS.

Первое отличие заключается в постановке задачи для автоматизированной коррекции (оптимизации). В процессе оптимизации необходимо получить численные значения коррекционных параметров (радиусов, толщин, марок стекол) системы, обладающей заданными численными значениями аберраций и параксиальных характеристик j с заданными допусками При этом обычно в других программах используется оценочная функция:

где j – аберрация, a j – весовой коэффициент. Минимизация этой оценочной функции и является задачей оптимизации. В программе САРО используется аналогичная функция:

где j – допуск (единица измерения корригируемой величины), используется для расчета величины итерационного шага при автоматизированной коррекции.

Такой подход к автоматизированной коррекции позволяет использовать знание теории аберраций, за счет чего достигается оптимальная коррекция.

Автоматизированная коррекция в САРО осуществляется в два этапа:

на первом этапе осуществляется поиск соотношения между изменениями коррекционных параметров p, при котором достигается скорейшее убывание оценочной функции, то есть фактически направление движения.

На втором этапе в систему вводятся изменения параметров с учетом некоторого коэффициента, который определяет величину шага в найденном направлении.

Важным преимуществом комплекса САРО является возможность использования в качестве коррекционных параметров углов первого параксиального луча вместо радиусов (кривизны) оптических поверхностей [16]. Кроме того, в программе САРО предусмотрена автоматизированная коррекция аберраций третьего порядка (самих аберраций, а не связанных с ними коэффициентов), в том числе сферической аберрации в зрачках.

Выдача численных результатов расчета хода лучей в САРО осуществляется в виде больших таблиц, занимающих несколько экранов.

Для специалистов этот способ представляет большие удобства, так как позволяет оценить аберрации на всем поле изображения. Для обучающихся обилие информации вызывает затруднения в осознании полученных результатов.

Недостатком комплекса САРО является наличие обозначений только в виде заглавных латинских букв, что обусловлено тем, что первоначально программа была разработана для ЭВМ БЭСМ-6. Ограниченный объем оперативной памяти БЭСМ-6 и старых персональных компьютеров привел к ограниченной точности вычислений при определении характеристик, требующих выполнения операций интегрирования (функции концентрации энергии, частотно-контрастной характеристики, распределение освещенности в дифракционном пятне рассеяния изображения точки).

3.9 Выбор корригируемых функций В большинстве случаев полная коррекция какой-либо оптической системы представляет собой процесс, состоящей из ряда этапов, каждый из которых характеризуется различным набором условий, предъявляемых к системе. Такими условиями, в частности, являются определенные требования к аберрациям. Выбор конкретных аберраций на каждом этапе этого процесса является творческим элементом деятельности разработчика, активно влияющего на ход коррекции оптической системы.

При выборе аберраций, подлежащих коррекции, в первую очередь необходимо учитывать назначение оптической системы, а также коррекционные возможности выбранной конструкции. Так, при коррекции обычных объективов микроскопов коррекция дисторсии является нецелесообразной, так как благодаря малому полю зрения такая аберрация заведомо мала. В подавляющем большинстве осветительных систем достаточно ограничиться коррекцией сферической аберрации и комы. При расчете визуальных окуляров зачастую можно не корригировать сферическую аберрацию, которая обычно мала из-за небольшого относительного отверстия окуляров. Коррекция избыточных аберраций является наиболее часто встречающейся ошибкой разработчиков оптических систем, приводящей к отрицательным результатам.

представляющих собой тонкие компоненты, нельзя при небольших полях зрения требовать в них одновременного исправления сферической аберрации, комы и астигматизма.

При расчете нужно установить необходимое и достаточное количество корригируемых функций – аберраций. Опыт показывает, что это количество целесообразно определять постепенно, начав с минимально необходимого. В случае монотонных зависимостей между аберрациями и координатами точек пересечения лучей с плоскостью предмета l и плоскостью входного зрачка Hx и Hy наибольшие аберрации будут соответствовать предельным значениям апертуры и поля. Поэтому на первой стадии расчета следует ограничиться коррекцией аберраций для предельных значений этих величин. Затем требуется уточнить, не превышают ли аберрации для промежуточных значений l, Hx и Hy допустимых значений. Если превышают, то необходимо провести дальнейшую коррекцию, соответственно увеличив количество корригируемых функций.

Возможен и другой подход к решению задачи. Уже на первой стадии расчета можно задать количество корригируемых функций столь большим, что появление значительных аберраций для промежуточных значений l, Hx и Hy станет маловероятным. Однако, при таком подходе невозможно установить, какие именно аберрации не поддаются коррекции.

На начальной стадии расчета, когда аберрационные свойства корригируемой системы, как правило, неизвестны, целесообразно принимать заданные значения аберраций равными нулю. На более поздних стадиях коррекции зачастую, с целью перебалансировки аберраций для получения оптимального качества изображения, эти значения задают отличными от нуля.

Допуски для заданных значений аберраций рекомендуется назначать, исходя из реальной потребности. Однако следует иметь в виду, что с помощью изменения допусков (весовых коэффициентов) можно влиять на результат автоматизированной коррекции. Если в результате работы программы все корригируемые функции, кроме одной, получили заданные значения, то целесообразно повторить коррекцию, задав более жесткий допуск на эту функцию. В соответствии с (3.9) и (3.10) при использовании метода наименьших квадратов и градиентного метода от допуска Фj зависит выбор направления движения в пространстве параметров. Выбор шага зависит от Фj во всех случаях при применении любых рассмотренных выше методов коррекции. Таким образом, при числе корригируемых функций, большем числа коррекционных параметров (k>t) четко проявляется зависимость результатов автоматизированного расчета от допуска Фj (от весовых коэффициентов).

3.10 Выбор коррекционных параметров В современных программах автоматизированной коррекции оптическая система может быть задана как через радиусы оптических поверхностей (ri), так и через углы первого параксиального луча с осью i (ОПАЛ, САРО). Коррекционными параметрами могут быть как радиусы оптических поверхностей (точнее, обратная величина – кривизна i=1/ri), так и углы i. Следует отметить, что использование в качестве коррекционных параметров углов первого параксиального луча с осью предусмотрено только в программе САРО. Программа ОПАЛ предусматривает описание системы с помощью этих углов, однако не поддерживает возможность автоматизированной коррекции с помощью этих параметров. Такие программные комплексы как ZEMAX, DEMOS не имеют непосредственной возможности описания и коррекции оптических систем с помощью углов первого параксиального луча.

Непосредственное использование радиусов кривизны ri в качестве коррекционных параметров нерационально, так как при ri= производные от корригируемых функций (аберрации и параксиальные характеристики системы) по ri обращаются в 0, в результате чего данный радиус перестает изменяться, а следовательно, быть коррекционным параметром. Поэтому в качестве коррекционных параметров в программах, как правило, применяются кривизна оптических поверхностей i. Диапазон абсолютных значений i ограничен и составляет от 0 до нескольких единиц. Кроме того, использование i удобно также и потому, что в формулах расчета лучей на ЭВМ применяются именно эти величины, а не непосредственно радиусы.

На практике использование параметров i в качестве коррекционных параметров является предпочтительным и иногда дает лучшие результаты, чем i. При описании системы углами первого параксиального луча i обеспечивается получение требуемого увеличения V0, если предмет расположен на конечном расстоянии, или требуемого значения фокусного расстояния f '0, если предмет бесконечно удален. Для этого достаточно выполнить условия:

где p – число поверхностей в оптической системе, h1 – высота первого параксиального луча на первой поверхности, n1 и np+1 – соответственно показатели преломления сред пространства предметов и изображений.

Сохраняя неизменными величины, входящие в левые части уравнений (3.14) и (3.15), обеспечиваем постоянство этих оптических характеристик в процессе автоматизированной коррекции системы.

Задание системы через i позволяет также сохранить апланатичность заданных поверхностей, концентричность и конфокальность, обеспечить строгую телескопичность (афокальность) системы в целом или ее частей.

Однако, при коррекции коллективов, а также окуляров, где коллектив может входить в состав оптической системы окулярной части, использование углов первого параксиального луча с осью становится невозможным, так как высота первого параксиального луча практически равна нулю, что приводит к неопределенности при расчете радиусов поверхностей.

В качестве коррекционных параметров могут быть использованы также толщины линз, воздушные промежутки, показатели преломления для основной длины волны, дисперсии, коэффициенты в уравнениях асферических поверхностей, положение плоскости изображения, положение зрачка (апертурной диафрагмы).

Как показывает практика, толщины линз и величины воздушных промежутков далеко не всегда являются активными коррекционными параметрами. Кроме того, их значения всегда ограничены по конструктивным соображениям.

Для того чтобы значения коррекционных параметров не выходили за границы некоторых известных интервалов, в программах автоматизированной коррекции предусмотрено задание ограничений:

где pi min, pi max – соответственно наибольшее и наименьшее допустимые значения параметра, которые задаются разработчиком оптической системы.

Рис.3.2 Результаты коррекции при использовании в качестве параметра толщины линз без ограничений этого параметра Ограничения практически всегда необходимо накладывать на значения толщин и воздушных промежутков при использовании их в качестве коррекционных параметров. При отсутствии ограничений полученное значение воздушного промежутка или толщины линзы может привести к недопустимым габаритам системы или к нереализуемому варианту системы. Толщины линз могут в процессе коррекции оказаться слишком малыми с точки зрения технологичности изготовления. На рис. 3.2а показан вариант линзы с так называемым острым краем. Малые толщины могут приводить к виньетированию (рис.3.2б), которое может быть недопустимо по условиям технического задания. Толщины в процессе коррекции могут оказаться слишком большими (рис.3.2в), что в некоторых случаях приводит к неоправданно большим затратам материала при изготовлении и увеличению светопоглощения.

Кроме ограничений толщины линз и воздушных промежутков по оси в некоторых программах (например, ZEMAX) предусмотрена возможность ограничения толщины линзы и значения воздушного промежутка для крайнего луча, что очень важно с точки зрения конструктивной реализуемости, особенно в крупногабаритной оптике При использовании в качестве коррекционных параметров показателей преломления следует иметь в виду, что значения показателей преломления лежат внутри довольно узкого интервала, установленного ГОСТ 3514-94, и могут принимать только дискретные значения в соответствии с тем же ГОСТом, кроме случая использования градиентных оптических элементов, где показатель преломления изменяется от точки к точке внутри образца по определенному закону. Однако при этом необходимо следить за перепадом n, так как не любое его значение технологически реализуемо.

При использовании показателей преломления основного цвета в качестве коррекционных параметров обычно задают ограничения nmin=1, и nmax= 1,806 по ГОСТ 3514-94. После выполнения коррекции полученные расчетные значения показателей преломления заменяют на ближайшие, предусмотренные этим стандартом.

В программе ZEMAX предусмотрена коррекция с возможностью перебора марок стекол, имеющихся в каталоге стекла, который указал пользователь. В этом случае происходит обычная автоматизированная коррекция за исключением того, что указанные для изменения материалы перебираются в рамках каталога. Однако такая коррекция занимает достаточно много времени.

Среди ограничений необходимо упомянуть дополнительные связи между параметрами, которые необходимо определять перед этапом коррекции системы. Например, симметричный окуляр состоит из двух симметрично расположенных склеенных компонентов (рис.3.3). При коррекции необходимо описать свойство симметрии такой системы, поскольку в противном случае коррекция приведет к нарушению симметрии системы. Для окуляра, показанного на рис. 3.3 необходимо дополнительно определить связи: r1 = – r6, r2 = –r5, r3 = – r4.

Наложение дополнительных связей часто необходимо в зеркальных и зеркально-линзовых системах, где один луч может встречать одну и ту же поверхность несколько раз. В этом случае при описании в программе поверхность задается столько раз, сколько раз с ней сталкивается луч. При коррекции в случае отсутствия ограничений система может стать нереализуемой, поэтому необходимо связать параметры. Так, например, в системе типа зеркала Манжена (рис. 3.4) необходимо выполнение условий r1 = r3, d1 = – d2.

При выборе коррекционных параметров в системах, свойства которых неизвестны, иногда целесообразно предварительно произвести расчет и изучение влияния изменения параметров (или производных) на аберрации.

При этом нетрудно выделить параметры, изменения которых в допустимых пределах не могут вызвать существенных изменений корригируемых функций. Такие параметры не являются активными, и их не следует использовать в качестве коррекционных. Простейшим примером являются толщины линзы в двойном склеенном объективе при коррекции аберраций осевой точки: толщины практически не влияют на аберрации [2].

3.11 Приемы автоматизированной коррекции аберраций 3.11.1 Метод последовательной коррекции аберраций Наличие нелинейных зависимостей между изменениями аберраций и изменением коррекционных параметров иногда приводит к появлению локальных минимумов оценочной функции, препятствующих нахождению положительного решения при автоматизированной коррекции оптических систем. Для преодоления этих локальных минимумов можно пользоваться методами глобальной оптимизации, предусмотренными в некоторых программных комплексах для расчета оптических систем (ZEMAX, CODE V), однако, эти алгоритмы достаточно сложны и требуют значительного времени. Для преодоления локальных минимумов можно рекомендовать метод последовательной коррекции аберраций [2].

Сущность метода заключается в том, что коррекция необходимых аберраций осуществляется не одновременно, а постепенно: сначала корригируют аберрации, зависящие от коррекционных параметров более линейно, чем остальные, и требующие для коррекции больших изменений коррекционных параметров. Затем количество корригируемых функций (аберраций) увеличивается, а в случае необходимости добавляются все новые и новые аберрации. Этот метод также позволяет определить, какие из новых аберраций не поддаются коррекции, и принять определенные конструктивные меры, например, ввести дополнительные коррекционные элементы, позволяющие исправить нужные аберрации. Если же коррекция всех необходимых аберраций осуществляется одновременно, то установить, какие аберрации препятствуют дальнейшей коррекции, зачастую невозможно.

Рассмотрим пример. Требуется скорригировать аберрации малого поля в системе, предназначенной для переноса изображения, даваемого объективом микроскопа, с увеличением – 1,5Х. Аберрации должны быть исправлены в фиолетовой области спектра = 420 460 нм. За основную длину волны примем = 435 нм (линия g). В качестве материала линз необходимо использовать кварцевое стекло и флюорит, обеспечивающие минимальную люминесценцию в используемой области спектра.

Расстояние от первой поверхности системы до предмета должно составлять – 120 мм. Корригируемыми функциями являются: поперечная сферическая аберрация для края апертуры sin 1 = – 0,03 (Ф1), отступление от условия изопланатизма для такого же значения апертуры (Ф2), sin 2 = – 0,021 (Ф3).

Простейшей системой, которая может удовлетворить поставленным требованиям, является объектив, состоящий из двух несклеенных линз, поскольку используемые материалы (флюорит и кварцевое стекло) имеют разные коэффициенты термического расширения, что не позволяет их склеить. В качестве коррекционных параметров примем углы первого параксиального луча с осью i, за исключением 1 и 5, которые обеспечивают выполнение габаритных условий: положения предмета от первой поверхности и увеличения. Конструктивные параметры исходной оптической системы, взятые произвольно, приведены в табл. 3.1. Там же даны значения корригируемых функций. Результаты автоматизированной коррекции всех трех аберраций одновременно приведены в столбце для Фj оконч.

Табл. 3.1 Результаты автоматизированной коррекции при использовании трех корригируемых функций В таблицах 3.2, 3.3 приведены аберрации осевого пучка систем до коррекции и после одновременной коррекции всех трех функций.

Табл. 3.2 Аберрации осевого пучка системы до коррекции Табл. 3.3 Аберрации осевого пучка системы после коррекции В таблице 3.3 жирным шрифтом выделены значения, выходящие за пределы допустимых значений.

Проанализируем причины отсутствия положительного решения.

Поскольку оптические силы линз то нетрудно видеть, что в исходной системе и системе, полученной после коррекции, обе линзы являются положительными. Поэтому можно считать, что коррекции препятствует локальный минимум сферической аберрации. Система представляет собой двухлинзовую систему, линзы которой корригированы на минимум сферической аберрации. В исходной системе и в системе после коррекции отступление от условия изопланатизма имеет значение, не превышающее допуск. Для коррекции хроматизма положения необходимо, чтобы первая линза, выполненная из флюорита, была бы положительной, а вторая линза, выполненная из кварцевого стекла, была бы отрицательной. Для исправления хроматизма требуется, по-видимому, значительное изменение параметра 3, который определяет оптические силы линз.

Данное положение проверяется с помощью коррекции только одной сферической аберрации с использованием всех трех коррекционных параметров. Результаты приведены в табл. 3.4.

Табл. 3.4 Результаты автоматизированной коррекции сферической аберрации Из таблицы 3.4 видно, что сферическая аберрация практически не поддается коррекции. Выполним коррекцию в два этапа: на первом этапе осуществим исправление одной хроматической аберрации с использованием всех трех коррекционных параметров, на втором этапе – коррекцию всех трех аберраций, причем за исходную примем систему, полученную на первом этапе.

Табл. 3.5. Результаты поэтапной автоматизированной коррекции В таблице 3.6 приведены аберрации осевого пучка системы, полученной в результате последовательной (поэтапной) коррекции.

Табл. 3.6 Аберрации осевого пучка системы после поэтапной коррекции В результате получена система, в которой скорригированы все три рассматриваемые аберрации. Таким образом, последовательная коррекция позволила обойти локальный минимум оценочной функции в исходной системе.

3.11.2 Метод целенаправленного изменения параметров исходной оптической системы Рассмотрим пример. Требуется рассчитать двухсклеенный объектив (f ' = 100, K = 3,33) с оптимальным исправлением сферической аберрации.

Конструктивные параметры исходной оптической системы, состоящей из выпукло-плоской линзы из крона К8 и плоскопараллельной пластины из тяжелого флинта ТФ1, приведены в таблице 3.4.

Очевидно, что 3 = 1/n3 = 0,60698, а 2 = 1/n2 = 0,6595. Известно, что минимум сферической аберрации у одиночной линзы имеет место, когда ее форма близка к выпукло-плоской. Тонкая плоскопараллельная пластина, которая в исходной системе играет роль второй линзы, обладает малой сферической аберрацией. Поэтому можно ожидать, что исходная оптическая система близка к системе, обладающей минимальным (в локальной области) значением сферической аберрации. Это предположение проверяется путем автоматизированной коррекции.

Табл. 3.4 Результаты автоматизированной коррекции двухсклеенного объектива В качестве коррекционных параметров используются углы 2, 3.

Корригируемые функции – поперечная сферическая аберрация на краю отверстия при H1 =15 (Ф1) и на зоне при H3 =15 0.5 (Ф2). Заданные значения j, а также допуски на них даны в табл.3.4. В результате автоматизированной коррекции получена система, данные которой приведены в табл. 3.4 в столбце i оконч. На рис. 3.5а, б приведены схемы системы до и после коррекции.

Нетрудно видеть, что оптимальная коррекция не достигнута. Первая линза в результате коррекции стала отрицательной, вторая – положительной, в то время как при оптимальной коррекции распределение оптических сил обратное. Как и предполагалось, достигнут локальный минимум сферической аберрации, перейти от которого к глобальному минимуму путем постепенных изменений конструктивных параметров при непрерывном уменьшении оценочной функции F невозможно.

Следовательно, необходимо изменить параметры исходной оптической системы. Так как заранее известно, что объектив должен состоять из первой положительной, а второй отрицательной линз, то изменим один из углов, например, 3 так, чтобы оптическая сила первой линзы была положительной, больше оптической силы всего объектива. Выполняя элементарные преобразования формул параксиальной оптики, получим соотношение:

где 3 – угол первого параксиального луча в пространстве между линзами при условии введения бесконечно тонкого воздушного промежутка.

Очевидно, что относительная оптическая сила первой линзы 1 = 3.

Примем 1 = 1,5, тогда нетрудно получить, что в рассматриваемом примере 3 = 0,381. Угол 2 сохраняет свое первоначальное значение, равное 0,6595. В результате автоматизированной коррекции данной исходной системы получен объектив, данные которого приведены в таблице 3.5. Таким образом, получена система с оптимальным исправлением сферической аберрации [2].

Табл. 3.5 Результаты автоматизированной коррекции двухсклеенного объектива В таблице 3.6 приведены значения поперечной аберрации системы до коррекции, после коррекции системы из плосковыпуклой линзы и плоскопараллельной пластины и после изменения параметров исходной системы и коррекции.

Табл. 3.6 Аберрации осевого пучка систем целенаправленном изменении параметров исходной системы.

Рис. 3.6 Вид системы после коррекции с целенаправленным изменением Кроме метода целенаправленного изменения параметров системы также применяется метод случайного изменения параметров исходной оптической системы. В этом случае в исходной схеме произвольно изменяют случайно выбранный параметр и повторяют коррекцию. Часто этот прием также позволяет преодолеть локальный минимум и улучшить аберрационные характеристики системы [2].

Таким образом, поскольку в основе методов автоматизированной коррекции лежат итерационные способы, то нет гарантии нахождения решения даже в тех случаях, когда оно существует. Это связано также и с тем, что автоматизированная коррекция чаще всего представляет собой так называемую локальную оптимизацию, то есть поиск ближайшего минимума. При неудачном выборе значений параметров исходной оптической системы, при неудачном назначении требуемых значений корригируемых функций или допусков (весовых коэффициентов) на них, а также при неудачном выборе коррекционных параметров возможны случаи, когда программа обеспечивает нахождение ближайшего локального минимума оценочной функции F, не удовлетворяющего поставленным требованиям, хотя нужное решение и существует.

4. Расчет оптических систем Рассмотрим свойства и приемы расчета некоторых типов оптических систем.

4.1 Аберрационные свойства и расчет объектива, склеенного из двух линз Системы, склеенные из двух линз, широко применяются как в качестве самостоятельных объективов, так и в качестве составных частей более сложных систем.

При использовании системы в качестве объектива зрительной трубы в нем исправляется сферическая аберрация и кома при одновременном исправлении хроматической аберрации. Однако вследствие наличия аберраций высших порядков двухлинзовые склеенные объективы не могут иметь относительные отверстия больше 1:4 при фокусных расстояниях более 150 мм, 1:5 при фокусных расстояниях до 300 мм, 1:6 – до 500 мм, 1:8 – 1:10 – до 1000 мм [11].

Рис. 4.1. Двухлинзовый склеенный объектив:

Угловое поле этих систем не должно превышать 10 – 12° при малых фокусных расстояниях, а при больших 7 – 10°. Двухлинзовые склеенные системы особенно пригодны в качестве объективов и оборачивающих систем, когда падающие лучи параллельны. Гораздо худшие результаты получаются при увеличениях, близких к V = – 1; в этом случае выгодно применять два близко расположенных объектива с параллельным ходом лучей между ними.

Двухлинзовые склеенные системы могут быть довольно хорошо исправлены в отношении астигматизма, если только входной зрачок не совпадает с оправой системы. В этом случае они могут применяться как половинки симметричных фотографических объективов, например, объективы типа апланат; половинки апланатов плохо исправлены в отношении сферической аберрации и кривизны поля.

Если объектив, склеенный из двух линз, выполняет не самостоятельную функцию, а используется как элемент оптической системы зрительной трубы, то он не исправлен полностью на аберрации осевой точки. В трубе с призменной оборачивающей системой объектив компенсирует сферическую аберрацию, хроматизм положения и отступление от условия изопланатизма окуляра и призм. При использовании компонента из двух склеенных линз в качестве элемента оборачивающей системы на него возлагается функции коррекции астигматизма зрительной трубы. В первом случае входной зрачок (апертурная диафрагма) совпадает с объективом и поэтому в соответствии с теорией аберраций третьего порядка бесконечно тонких систем (по терминологии Г.Г. Слюсарева) свободен от хроматизма увеличения и дисторсии, но обладает принципиально неустранимым астигматизмом и кривизной изображения, в результате чего составляющие астигматизма Z 'm и Z 's независимо от конструктивных параметров определяются выражениями (2.8), (2.9), а стрелка кривизны поверхности изображения – выражением (2.7).

Если склеенный объектив выполняет роль элемента оборачивающей системы, то, как правило, входной зрачок для него вынесен на некоторое расстояние ap. При таком условии появляется возможность воздействовать на астигматизм путем введения комы, то есть основного параметра W* (см. формулы (2.10) – (2.13), принимая во внимание, что t0). При объединении половин в оборачивающую систему с параллельным ходом лучей между ними, благодаря симметрии системы, кома и дисторсия автоматически устраняются. В этом случае из технологических соображений целесообразно устранить сферическую аберрацию и хроматизм положения, то есть принять значения основных параметров P* = C*= 0.

Один из методов расчета склеенных компонентов заключается в следующем. На начальной стадии расчета влиянием толщин линз можно пренебречь, поэтому при расчете двухлинзового склеенного компонента эффективна методика, основанная на применении теории аберраций третьего порядка для систем, состоящих из тонких компонентов, которая разработана проф. Г. Г. Слюсаревым [11, 17]. Суть расчета заключается в составлении и решении нескольких линейных уравнений относительно основных параметров тонких компонентов P*, W* и С*, по найденным значениям основных параметров определяются конструктивные параметры и проводится контрольный расчет хода лучей.

По методике Г.Г.Слюсарева для расчета объектива, склеенного из двух линз (по его терминологии «двухлинзового склеенного объектива»), на первом этапе расчета, исходя из заданных двух монохроматических аберраций, например, сферической аберрации s и отступления от условия изопланатизма (или комы), или s и астигматизма Z 'm - Z 's, находят основные параметры P* и W*. Хроматический параметр C* определяется самостоятельно. В большинстве случаев целесообразно принимать C* = 0, поскольку при этом исправлен хроматизм положения как при s1 =, так и при s1.

В таком объективе при C* = const параметры P* и W* связаны зависимостью:

где P0 – минимальное значение параметра P в выбранной комбинации стекол. Коэффициент 0,14 в скобках в формуле (4.5) является средним значением для вариантов «крон впереди» (коэффициент 0,1) и «флинт впереди» (коэффициент равен 0,2). Таблицы комбинаций стекол, где параметр P0 представлен как функция параметра C*, составлены Трубко [18]. Они позволяют выбрать комбинацию стекол по P0, то есть по требуемым значениям P* и W* (4.5).

При пользовании таблицами [18] следует учитывать, что при W*> необходимо пользоваться частью таблиц, названной «флинт впереди»

(точнее «отрицательная линза впереди»), имея в виду, что приведенные марки стекол следует менять местами. Основной критерий для выбора, какая линза – положительная или отрицательная («крон» или «флинт») должна быть первой в объективе, – это получение минимальной кривизны склеиваемых поверхностей. Варианты систем с «отрицательной линзой