Мелешко В.В., Нестеренко О.И.

БЕСПЛАТФОРМЕННЫЕ

ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ

НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

Учебное пособие

Параметры БИНС

Ошибки определения скорости [Vn(-), Ve(-.-)] 1.5 1 o 0= 45 м/c 0.5 o y0= 0. o x0= 0. o z0= 0. -0. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 V= 20 м/с Oшибки определения широты, долготы [(-), (-.-)] Угловые минуты (мили) dr= 0.01 град./час 2 da= 0.0001 м/с Шаг интегрирования h= 0.5 с -1 k= 0.01 (1/c) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 o Km = 1. Ошибки ориентации платформы [курс (-), тангаж (-.-), крен (...)] 10 o m = 5. Угловые минуты o m = 5. 5 W = 0 м/с W = 0 м/с - 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Время, часы ББК 34. УДК 629.056. М- РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Леонец А.А., доктор технических наук, академик Международной академии навигации и управления Панов А.П., доктор технических наук, академик Международной академии навигации и управления Ответственный редактор к.т.н., доц. Лазарев Ю.Ф.

Мелешко В.В., Нестеренко О.И.

М-47 Бесплатформенные инерциальные навигационные системы. Учебное пособие. – Кировоград: ПОЛИМЕД Сервис, 2011. – 171с.

ISBN Изложены основы теории бесплатформенных инерциальных систем.

Приведены основные сведения для пояснения принципа работы, показаны разновидности уравнений ориентации, различные формы записи скоростей и ускорений в подвижных системах координат. Представлены примеры возможных алгоритмов работы. Рассматривается начальная выставка. Значительное внимание уделено калибровке параметров чувствительных элементов как в производстве, так и в полете. Приведены алгоритмы коррекции от спутниковой навигационной системы и астровизиров. Приведены примеры моделирования.

Для студентов приборостроительных специальностей высших учебных заведений. Может быть полезно инженерам этих специальностей.

ББК 34. УДК 629.056.

БЕСПЛАТФОРМЕННЫЕ ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

1.3. Гравитационное поле и поле силы тяжести Земли.. 1.4. Акселерометры. Основное уравнение навигации.. 2.3. Уравнения с параметрами Родрига-Гамильтона.. 2.4. Уравнения в параметрах вектора ориентации.. 4.2. БИНС в географическом сопровождающем базисе 4.3. БИНС с уравнением в параметрах Родрига-Гамильтона. 5.1. Уравнения идеальной работы в инерциальной 5.2. Уравнения реальной работы в инерциальной 5.3. Уравнения идеальной работы в географической 5.4. Уравнения реальной работы в географической 8.1. Демпфирование с помощью внутренних связей. 8.2. Демпфирование по скорости от внешней системы.. 9.1. Разомкнутая схема комплексирования (интегрирования) со спутниковой навигационной системой (СНС).. 9.2. Замкнутая схема комплексирования с СНС.. 9.3. Астрокоррекция в географической системе координат. 10.1. Модели выходных сигналов инерциальных измерителей. 10.1.1. Модель выходных сигналов акселерометров. 10.1.2. Модель выходных сигналов гироскопов.. 10.1.3. Упрощение моделей выходных сигналов.. 10.2. Калибровка измерительного модуля в производстве. 10.3. Использование результатов калибровки... 10.4. Калибровка и довыставка на подвижном основании. 10.4.2. Анализ возможностей калибровки и довыставки Инерциальные навигационные системы (ИНС) стали основой навигационных комплексов современных подвижных объектов. Это обусловлено тем, что они дают полную информацию о навигационных параметрах движения - углах курса, тангажа (дифферента), крена; ускорении, скорости движения и координатах места объекта. При этом они полностью автономны, т.е. не требуют какой-либо информации извне. Благодаря возможности определять угловое положение объекта с высокой точностью в любом диапазоне углов и с высокой частотой выдачи информации, ИНС к настоящему времени не имеют альтернативы.

Несмотря на активность разработок бесплатформенных инерциальных систем (БИНС), большое количество научной литературы по БИНС, учебная литература по БИНС практически отсутствует или устарела. С целью дополнить учебную литературу по БИНС подготовлено это учебное пособие. Оно может быть использовано как студентами соответствующих специальностей, так и инженерами. Пособие предполагает наличие базовой подготовки.

Авторы стремились осветить все аспекты работы БИНС. В работе рассматриваются как основной режим работы, так и начальная выставка БИНС. Выставка рассматривается как на неподвижном, так и на подвижном основании. Значительное внимание уделяется режимам калибровки параметров и коррекции. В качестве корректирующих систем рассматриваются спутниковая и астронавигационная системы. В пособии освещены наиболее массовые БИНС, использующие датчики угловой скорости. Рассмотрение БИНС с другими измерителями угловой ориентации объекта выходит за рамки пособия. Пособие содержит достаточное количество примеров численной оценки характеристик системы.

Главы 1-9, 11, приложения 1,2 подготовлены Мелешко В.В., гл.

10 подготовлена Нестеренко О.И., п. 2.4 подготовлен совместно.

Авторы высказывают большую благодарность рецензентам Леонцу А.А., Панову А.П., а также доц. Лазареву Ю.Ф. за труд по прочтению рукописи. Большинство их замечаний были учтены и способствовали улучшению качества пособия.

Авторы примут все замечания и пожелания, которые постараются учесть при подготовке следующего издания. Их можно направить по адресу: Украина, Киев, 03056, проспект Победы, 37, НТУУ “Киевский политехнический институт”, кафедра приборов и систем ориентации и навигации, Мелешко Владиславу Валентиновичу.

АЦП – аналого-цифровой преобразователь БИНС – бесплатформенная инерциальная навигационная система БЦВМ – бортовая цифровая вычислительная машина ДУС – датчик угловой скорости ИИМ – инерциальный измерительный модуль ИНС – инерциальная навигационная система МНК – метод наименьших квадратов ОФК – оптимальный фильтр Калмана ПК – преобразователь координат СНС – спутниковая навигационная система – угол курса – угол тангажа – угол крена – широта – долгота r – радиус-вектор положения объекта v – относительная линейная скорость V, r – абсолютная линейная скорость W – абсолютное ускорение а – кажущееся ускорение g – ускорение силы тяжести g' – ускорение силы тяготения (гравитационное) – угловая скорость u – угловая скорость вращения Земли R – радиус Земли – вектор угловой скорости – матрица угловой скорости – матричная форма представления вектора XYZ – инерциальная система координат (базис i ) (ENH ) – географический сопровождающий базис (базис g ) Г Г Г – геоцентрическая земная система координат (базис е ) – связанный с объектом трехгранник (базис b ) xc y c zc – матрица направляющих косинусов, соответствующая преобраC зованию от связанного базиса b к инерциальному i ib – матрица угловой скорости вращения от связанного базиса b к инерциальному i в проекциях на оси связанного базиса b ib – кватернион поворота от связанного базиса к инерциальному 1. Основы инерциальной навигации Идея создания инерциальных навигационных систем (ИНС) возникла в начале 20-го века. Базовым чувствительным элементом такой системы стал акселерометр – прибор для измерения ускорения движения объекта. Поскольку акселерометр, а также и используемые в ИНС гироскопы являются инерциальными чувствительными элементами (основаны на использовании инерции массы), системы называют инерциальными.

Метод навигации, используемый в системе – метод счисления пути. Суть его в том, что в заданной системе координат измеряют проекции абсолютного ускорения, интегрируя их дважды, получают скорость и текущие координаты. Поскольку измерение должно проводиться в заданной системе координат, необходимы гироскопические устройства, обеспечивающие моделирование (физическое или математическое) этой системы. Только к 40-м годам прошлого века уровень гироскопов и акселерометров поднялся до такого, который позволил приступить к реальной разработке ИНС.

Если схема построения системы для измерения координат в инерциальном пространстве (относительно звезд) сравнительно проста, то решение задачи определения параметров движения относительно вращающейся Земли было сложнее. Для решения такой задачи плодотворным стало использование маятника Шулера. Хотя такой маятник является математической абстракцией, в ИНС удалось построить его электромеханический аналог, который обеспечил невозмущаемость системы ускорениями движения относительно Земли и значительно снизил рост ошибок.

С 60-х годов прошлого века началась активная разработка бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС). Привлекательность таких систем в том, что в них не требуется гиростабилизированная платформа (ГСП) – наиболее сложный, следовательно, дорогостоящий узел ИНС. В БИНС акселерометры и гироскопы устанавливают непосредственно на борту объекта, а электромеханическую модель системы (ГСП) координат заменяют математической моделью.

Однако эти преимущества не удавалось сразу реализовать в связи с жесткими условиями работы чувствительных элементов (ЧЭ) непосредственно на борту при высоких требованиях к их характеристкам.

При этом также предъявлялись высокие требования к вычислительным устройствам. Наконец, к 80 годам было освоено серийное производство БИНС.

1.1. Фигура Земли Наиболее простая модель фигуры (формы) Земли – сфера радиусом R=6371,3 км. Объем именно такой сферы наиболее близок к объему реальной Земли. Для такой модели введены геоцентрические координаты: геоцентрическая широта - угол между плоскостью экватора и геоцентрической вертикалью места, изменяется в пределах ± 90o, положительные значения соответствуют северной широте, отрицательные - южной ; долгота - угол между нулевым (гринвичским) меридианом и меридианом места, изменяется в пределах от 0o...360o или ± 180o, положительные значения соответствуют восточной долготе, отрицательные - западной.

Длина окружности сферической Земли равна примерно 40000 км.

Длине дуги в 1 градус соответствует 111 км. Дуга в одну угловую минуту (1' ) равна 1853,3 метра и получила название морская миля. Более точно, перемещение на одну морскую милю вдоль меридиана примерно соответствует изменению на одну минуту широты. Международная морская миля равна 1852 метрам. Международный кабельтов равен 0,1 морской мили и соответствует 185,2 м.

Такое представление нашей планеты подходит для задач, точность вычислений в которых не превышает 0,5%. Рис.1.1. Сечение эллипсоида Более точно фигура Земли описывается двухосным эллипсоидом, сплюснутым у полюсов. Меридиональное сечение эллипсоида показано на рис.1.1. Здесь а – большая полуось эллипсоида, b – малая полуось. Основные характеристики эллипсоида Важными характеристиками эллипсоида являются радиусы кривизны его поверхности:

радиус кривизны в плоскости, перпендикулярной плоскости меридиана и радиус кривизны в плоскости меридиана Индексы E и N означают восточную и северную составляющие соответственно. В этих выражениях - географическая (геодезическая) широта, равная углу между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида. Между геоцентрической и географической широтой существует соотношение Радиусы кривизны могут быть записаны приближенно, используя разm nx +...

ложение в ряд в виде Радиус параллели = R1 cos.

В разных странах существуют различные модели эллипсоидов.

Например, сжатие их находится в пределах =1/295 … 1/299. Для того, чтобы наилучшим образом приблизить к эллипсоиду реальную поверхность Земли на ограниченной территории, введены референцэллипсоиды.

Референц-эллипсоид (от лат. referens – сообщающий, вспомогательный) – земной эллипсоид с определёнными размерами и положением в теле Земли, служащий вспомогательной математической поверхностью, к которой приводят результаты всех геодезических измерений на земной поверхности. Референц-эллипсоид наилучшим образом согласуется с поверхностью фигуры, наиболее точно соответствующей форме Земли - геоидом на ограниченной части его поверхности.

Требования к референц-эллипсоиду:

1) Ось вращения должна быть параллельна оси вращения Земли 2) Плоскость экватора должна быть параллельна плоскости земного экватора 3) Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть наименьшей из всех возможных для данной территории.

На территории Советского Союза использовали референцэллипсоид Красовского (1964 г.) с параметрами a=6378245 м, b=6356863 м, =1/298,3, e 2 2 = 6,72е-3.

В США и Канаде используют эллипсоид Кларка, в Италии – Хейфорда, в Норвегии – Бесселя. С расширением использования глобальОсновы инерциальной навигации ных навигационных систем (например, спутниковых) широко используют общеземной эллипсоид (ОЗЭ).

Общеземной эллипсоид – наилучшим образом согласующийся с поверхностью геоида в целом.

Требования к общеземному эллипсоиду:

1) Центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли 2) Плоскость экватора и малая ось его должны совпадать соответственно с плоскостью экватора и осью вращения Земли 3) Объем его должен быть равен объему геоида 4) Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных:

5) Сумма квадратов уклонений отвесных линий (см. п.1.3) должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных.

В США принят общеземной эллипсоид системы World Geodetic System (WGS-84) с параметрами а=6378136,991 м b=6356752,3 м =1/298,257.

В России действует государственная система координат «Параметры Земли 1990 года» (ПЗ-90). За отсчетную поверхность в государственной геоцентрической системе координат (ПЗ-90) принят общий земной эллипсоид со следующими геометрическими параметрами:

– большая полуось 6378 136 м;

– сжатие 1:298,257839;

– центр этого эллипсоида совмещен с началом геоцентрической системы координат; плоскость начального (нулевого) меридиана совпадает с плоскостью ZX этой системы.

Масса Земли M, включая массу ее атмосферы, умноженная на постоянную тяготения G, составляет геоцентрическую гравитационную постоянную GM = 398600,44 км3/c2, гравитационное ускорение на экваторе Земли - 978 032,84 мгал (1 Гал=1 см/с2, 1 миллиГал=10- см/с2). Поправка к гравитационному ускорению на уровне моря, обусловленная влиянием атмосферы Земли - 0,87 мГал.

Основные параметры общеземных эллипсоидов сведены в таблицу 1.1.

Геоид - фигура, соответствующая эквипотенциальной поверхности силы тяжести (соответствует уровню океана). По определению эквипотенциальной поверхности, поверхность геоида везде перпендикулярна отвесной линии. Форма геоида отличается от фигуры (формы) Земли. Эти отклонения внесены в карту. На ней приведены изолинии равных отклонений уровня геоида от уровня эллипсоида. Отрицательное отклонение достигает величины - 105 метров и находится на севеОсновы инерциальной навигации ре Индийского океана, а положительное отклонение достигает 85 метров и находится на западе Тихого океана.

Таблица 1.1. Параметры общеземных эллипсоидов систем WGS – 84 и ПЗ- Угловая скорость вращения Земли Геоцентрическая гравитационная постоянная с учетом массы атмо- GM сферы Земли 1.2. Системы координат Определения координат объектов, их навигация могут проводиться в различных системах координат.

Инерциальная геоцентрическая система координат OXYZ имеет ось OX, направленную по линии равноденствия в точку весеннего равноденствия [1], ось OZ направлена по оси вращения Земли, ось OY образует с осями OX и OZ правый координатный трехгранник. В иностранной литературе эту систему координат иногда обозначают ECI (Earth-centered inertial), кратко обозначают буквой i. (Иногда в качестве инерциальной принимают стартовую систему координат, положение которой известно относительно системы i ) Рис.1.2. Системы координат Сопровождающая система координат (сопровождающий трехгранник) имеет начало в точке на поверхности Земли, положение коОсновы инерциальной навигации торой задано широтой и долготой. Если широта задана как угол между плоскостью экватора и геоцентрическим радиусом (вертикалью), она называется геоцентрической и обозначается '. Оси сопровождающего географического трехгранника O1 (или O1ENH) направлены так: ось O1 по касательной к параллели на восток, ось O направлена на Север, ось O1 направлена по вертикали. Иногда этот трехгранник обозначают буквой g. Относительно нее повернута на угол в плоскости горизонта свободная в азимуте система координат. Если угол является путевым углом ортодромии, то O100 ортодромическая система координат. Связанную с объектом систему координат (на рис. не показана) будем обозначать O1 xc y c zc, O1 yc продольная ось объекта, O1 xc - поперечная ось объекта (на правый борт), O1zc - нормальная ось объекта (вверх). Такую систему координат иногда обозначают буквой b (от слова body).

Сопровождающий трехгранник вращается в инерциальном пространстве с угловой скоростью, проекции которой можно выразить соответствующими соотношениями.

Географический сопровождающий трехгранник Проекции угловой скорости вращения трехгранника (системы координат, базиса) относительно инерциального пространства (абсолютной угловой скорости) можно записать в следующем виде Кроме ранее введенных обозначений, здесь v N = v cos - северная составляющая вектора относительной скорости движения объекта, v E = v sin - восточная составляющая, - путевой угол, h – высота объекта, h0 - ее начальное значение, v - вертикальная составляющая скорости, t – время. Иногда вектор угловой скорости представляют в виде суммы где u - вектор угловой скорости вращения Земли, а o - вектор углоОсновы инерциальной навигации вой скорости из-за перемещения объекта относительно Земли (относительная угловая скорость). Эти векторы можно записать в проекциях на оси сопровождающего базиса как Абсолютная линейная скорость равна сумме относительной линейной скорости и линейной скорости из-за вращения Земли. Проекции абсолютной линейной скорости представляют в следующем виде Отсюда следует форма записи проекций абсолютной угловой скорости географического сопровождающего трехгранника Если использовать выражение скорости изменения долготы то (1.3) можно переписать в другом виде:

Ортодромический сопровождающий трехгранник Выражения для проекций абсолютной угловой скорости ортодромического трехгранника можно получить перепроектированием проекций угловой скорости географического трехгранника [2] о = u cos sin v / (R + h ); R – радиус сферической Земли Если есть боковое движение со скоростью vo :

где Ф – ортодромическая широта1 [1].

Существуют другие варианты описания движения ортодромического сопровождающего трехгранника, в том числе c учетом эллиптичности Земли [1].

Матрица направляющих косинусов между осями гринвичской системы координат 0 Г Г Г и осями полусвободной (ортодромической) в азимуте системы координат 0 00 (рис.1.4) имеет вид:

Матрица обозначена как C ge, где вторая буква индекса обозначает исходный трехгранник, а первая буква индекса – конечный трехгранник.

Рис.1.3. Гринвичский и ортодромический трехгранники В ортодромической системе координат ортодромия является экватором, полюс системы координат соответствует точке пересечения земной сферы с перпендикуляром к плоскости ортодромии, проведенном из центра Земли.

Трехгранник 000 движется с относительной угловой скоростью o, связанной с путевой скоростью v соотношением v = o R, где R - радиус кривизны земного эллипсоида в плоскости траектории.

Проекции вектора o на оси трехгранника 0 00 представим в виде:

Здесь R 0 и R 0 - радиусы кривизны нормальных сечений эллипсоида в плоскостях O0 и O0 соответственно, e 2 - квадрат эксцентриситета земного эллипсоида.

Величины, обратные радиусам кривизны, вычисляются по соотношениям:

где h – высота, а – большая полуось земного эллипсоида.

1.3. Гравитационное поле и поле силы тяжести Земли В соответствии с законом всемирного тяготения все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

где F — сила притяжения; М и т — массы двух взаимно притягивающихся тел (гравитирующие массы); r — расстояние между ними;

G — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной и являющийся фундаментальной константой физики. С другой стороны, сила притяжения, действующая на материальную точку массы m, определяется формулой где g ' — гравитационное ускорение, или ускорение силы тяготения.

Сила притяжения F и гравитационное ускорение имеют одинаковое направление. Сопоставляя формулы (1.5) и (1.6), находим Величина гравитационной постоянной G = 6,6742 10 11 м 3 ( с 2 кг ).

Как показано в табл.1.1., для эллипсоида ПЗ-90 произведение GM K =398600,44 км3/c2.

Приведенное выражение представляет простейшую модель гравитационного поля. Реальное поле имеет более сложный характер.

Оно может быть представлено составляющими вектора g ' в плоскости меридиана.

Радиальная составляющая, направленная к центру Земли [1] Здесь общий знак минус говорит о том, что составляющая направлена против направления радиуса из центра Земли, = 1,09 103 - коэффициент, характеризующий распределение масс Земли, а – большая полуось эллипсоида, r - геоцентрический радиус, ' - геоцентрическая Ускорение силы тяжести в общем случае соответствует выражению Величина центростремительного ускорения В [1] получены составляющие ускорения силы тяжести в следующем виде Здесь g э0 - ускорение силы тяжести на экваторе, - сжатие эллипсоида. Величины и g э0 имеют следующие значения Отношение величин соответствует тангенсу угла между вектором g ускорения силы тяжести и геоцентрическим радиусом вектором точки местоположения. В силу малости величины тангенса, можно принять, что он равен углу.

Как видно из формулы, максимальный угол на широте 45о имеет величину 0,003356, что соответствует величине около 11,5 угловых минут.

Абсолютную величину ускорения силы тяжести g = g r + g в силу малости (1.11) можно принять равной абсолютной величине g r.

Для расчетов величины ускорения силы тяжести иногда применяют формулу Гельмерта (1909 г.):

где используют географическую широту.

Формула Кассиниса (1930 г.), называемая международной, имеет вид:

g = 9,78049 (1 + 0,0052884 sin2 - 0,0000059 sin22 ). (1.13) Для свободной в азимуте системы координат 00 трансверсальная составляющая гравитационного ускорения может быть представлена формулами Появление этих проекций можно увидеть из рис.1.4 (проекция g ' ).

На рис.1.5 представлены графики изменения ускорений, рассчитанные по формулам (1.9), (1.11).

С изменением высоты ускорение изменяется в соответствии с зависимостью Приращения ускорения силы тяжести можно рассчитать по формуле Если g измеряется в мГал, а h в метрах, то g = 0,3086h. При увеличении высоты на 100 м сила тяжести уменьшится на 30,9 мГал.

Для объектов, находящихся под водой, действует следующий закон изменения ускорения силы тяжести [11] где = 1,03 г/см3 – плотность морской воды. С учетом приведенной плотности gr, м/с g, м/с При углублении в воду на 100 м сила тяжести увеличится на 22, мГал.

Рис.1.6. Проекции гравитационного Существуют более точные выражения (п. 4.1).

Гравитационное поле Земли, следовательно, и поле силы тяжести, весьма неоднородно. Реальные значения составляющих поля отличаются от расчетного «нормального» поля. Отклонения величины ускорения могут достигать 0,05% и составить величину до 160 мГал.

Направления вектора ускорения также могут меняться. Уклонение (отклонение) отвесной линии может достигать 40'' (угловых секунд). На территории СНГ максимальные уклонения достигают 4''. Картину изменения составляющих гравитационного поля представляют на соответствующих картах.

1.4. Акселерометры. Основное уравнение инерциальной навигации Инерциальные навигационные системы в качестве измерителей используют инерциальные чувствительные элементы: акселерометры и гироскопы.

Акселерометры предназначены для измерения ускорения движения объекта, на котором они установлены. Рассмотрим принцип его работы.

В корпусе прибора (рис.1.7), установленного на подвижном объОсновы инерциальной навигации екте, расположена инертная масса 1, движение которой ограничено пружиной 2. При действии ускорения движения объекта W, инертная масса вследствие инерции перемещается вдоль оси чувствительности x до тех пор, пока сила инерции не уравновесится силой упругости пружины. Но кроме силы инерции от действия ускорения W, на инертную массу действует также сила тяготения с гравитационным ускорением g'. Для уменьшения времени переходного процесса исполь- зуют демпфер 3. Выходной сигнал акселерометра (обычно электрический) соответствует перемещению инертной массы относительно корпуса акселерометра по оси x.

Составим уравнение движения инертной массы в корпусе, с которым связана система xy (связанная с объектом). Используем для этого метод кинетостатики. В соответствии с принципом дАламбера, сумма активных сил, сил инерции и сил реакции связей равна нулю [3]:

Поскольку инертная масса имеет лишь одну степень свободы относительно оси x, составим уравнение равенства проекций сил на эту ось:

Fax = mg - силы тяготения, FRx = cx fx - реакций связей (пружины и демпфера), Fиx = m(Wx + &&) - силы инерции.

В этих выражениях m – масса, с – линейная жесткость пружины, f – линейный коэффициент демпфирования, && - относительное ускорение инертной массы (относительно корпуса).

Здесь a x = Wx g - называют кажущимся ускорением.

В общем случае [1] r r r - основное уравнение акселерометра a = W g' - основное уравнение инерциальной на- (1.17) Основное уравнение подчеркивает важнейшую особенность акселерометра – инертная масса всегда находится под действием как силы инерции, так и силы тяготения.

Поскольку эту особенность обязательно необходимо учитывать при проектировании алгоритма работы ИНС, уравнение называют также основным уравнением инерциальной навигации.

Рассмотрим характерные примеры сигнала акселерометра.

Примеры:

Уравнение статики акселерометра можно записать из (1.16) в виде 1. На рис. 1.8а акселерометр движется с ускорением W так, что ось чувствительности его горизонтальна. В этом случае 2. На рис. 1.8б акселерометр стоит на столе так, что ось чувствительности его вертикальна. Ускорение движения отсутствует. В этом случае 3. На рис. 1.8в акселерометр свободно падает так, что ось чувствительности его вертикальна. В этом случае Эти примеры показывают, что для определения величины ускорения движения объекта необходимо в выходном сигнале акселерометра учитывать проекцию гравитационного ускорения.

Существует множество вариантов конструкций акселерометров.

В настоящее время в ИНС применяют, в основном, маятниковые акселерометры компенсационного типа. Проектирование акселерометров отдельное направление в навигационном приборостроении и в настоящем учебном пособии не рассматривается. Приведем только таблицу характеристик 1.3.

1.5. Обобщенная схема ИНС В основе построения инерциальных навигационных систем (ИНС) лежит метод счисления пути. Суть его состоит в том, что сигналы измерителей скорости или ускорения, оси чувствительности которых удерживаются в заданной системе координат, интегрируются.

Интегралы скорости соответствуют приращениям пути, интегралы ускорений соответствуют приращениям скорости. Складывая значения приращений с начальными значениями пути или скорости, получают текущие значения пройденного пути и скорости. В системах, где первичными измерителями являются акселерометры, для получения скорости сигнал акселерометра интегрируют один раз, а для получения пройденного пути этот интеграл (скорость) интегрируют второй раз.

Зная направления проекций пройденного пути на оси системы координат, определяют координаты подвижного объекта.

Устройство ИНС, реализующей метод счисления пути, можно проиллюстрировать обобщенной схемой, приведенной на рис.1.9.

Рис.1.9. Обобщенная схема платформенной ИНС На рис.1.9. показаны:

1 - ГСП – гиростабилизированная платформа, удерживающая оси чувствительности акселерометров в заданной системе координат; 2 - А – блок акселерометров (трехосный акселерометр); 3,6,8 - сумматоры;

4,7 - интеграторы; 5 – вычислитель вектора гравитационного ускорения; 9 - обратные связи;

введены следующие обозначения:

a, g ' - векторы кажущегося и гравитационного ускорений соответстrr венно; W,V - векторы абсолютного ускорения и абсолютной скорости соответственно; V, r - приращения абсолютной скорости и радиуr са-вектора местоположения объекта; r - радиус-вектор местоположеrr ния объекта; V0, r0 - начальные значения векторов;,, - углы ориентации объекта (возможно, курс, тангаж, крен). Если в системе имеются обратные связи 9 по скорости или по координатам, систему называют замкнутой, если обратных связей нет – система разомкнутая.

В БИНС вместо гиростабилизированной платформы используют блок гироскопов и акселерометров с вычислителем. Гироскопы с акселерометрами (блок инерциальных чувствительных элементов) при этом устанавливают жестко на борту объекта. На рис.1.10. показаны – блок чувствительных элементов, выдающих информацию о векторе кажущегося ускорения a xyz в проекциях на оси связанной с объектом системы координат xyz, а также о векторе угловой скорости xyz в проекциях на оси той же системы координат. В вычислителе 2 происходит преобразование проекций ускорения из связанной системы в навигационную (например, географическую сопровождающую). Для этого по данным об угловой скорости (или другой информации) вычисляют направляющие косинусы между осями указанных систем координат. Из них также вычисляют углы положения объекта: курс, крен, тангаж.

Таблица 1.3. Основные технические характеристики прецизионных маятниковых компенсационных акселерометров.

ИНС ИНС

Диапазон измерения, g *10-6 g Основная погрешность «нуля»:

-в запуске, *10-5 g/час -от запуска к запуску, *10-5 g Температурные погрешности -«нуля», *10-5 g 0С- Диапазон рабочих температур, -60...+80 -60...+80 -60...+85 -60...+80 -60...+80 -50...+85 -50...+70 -40...+ Габаритные размеры, мм КП – коэффициент передачи, А/К – аналоговый сигнал/кодовый сигнал, U= постоянное напряжение, I= постоянный ток, f – частота В БИНС используют различные гироскопические датчики. Они могут выдавать информацию о различных угловых параметрах. В таблице 1.4 приведены данные о типах используемых в настоящее время в БИНС гироскопических датчиков.

Таблица 1.4. Типы применяемых гироскопических датчиков Поплавковые ДУС Волоконно-оптические гироскопы настраиваемые до 0,01 о/час Угловая скорость Динамически гироскопы Микромеханические гироскопы до 10 о/час Угловая скорость Твердотельные гироскопы Сферические гироскопы с ротора Сферические гироскопы с Сферические гироскопы с Достоинства ИНС:

1. Измерение полного набора навигационных параметров – ускорения, скорости, координат, углов положения объекта (курс, крен, тангаж), угловых скоростей объекта и ряда других вспомогательных.

2. Полная автономность, т.е. возможность работать независимо ни от видимости ориентиров, маяков, светил, ни от положения или движения объекта; помехозащищенность (невозможно создать помехи, мешающие работе ИНС).

3. Высокая скорость определения и выдачи данных (100 Гц и более) 4. Невозмущаемость относительными ускорениями, т.е. отсутствие колебаний гиростабилизированной платформы или ее аналитического аналога (в БИНС) при действии относительных (относительно Земли) ускорений. Как следствие, отсутствуют погрешности в выходных данных по всем навигационным параметрам. При этом собственная частота колебаний погрешностей, вызванных различными возмущающими факторами, в основном, соответствует частоте колебаний маятника Шулера.

Недостатки ИНС:

1. Необходимость ввода начальных условий (начального положения платформы (объекта для БИНС), начальных значений скорости, начальных координат), что необходимо для использования метода счисления пути; необходимость учета формы Земли и параметров гравитационного поля в точке расположения подвижного объекта.

2. Требуется непрерывность работы (или после перерыва в работе необходимо вновь вводить начальные условия) 3. Нарастание ошибок со временем Рассмотрим принцип работы БИНС в инерциальной системе координат на примере плоской задачи. Пусть XOY – инерциальная система координат. Положение объекта, с которым связана система координат xcO1 yc, задано радиусом-вектором r.

Гравитационное ускорение в точке О1 соответствует вектору g '.по формуле (1.7) Рис.1.11. Положение объекта в инерциальной системе координат проекций абсолютного системе координат можно записать в виде В этих формулах a xc и a yc, проекции кажущегося ускорения, измеряемые акселерометрами, c11 … c22 - направляющие косинусы между осями инерциальной и связанной систем координат. Для рис.1.11 матрица направляющих косинусов Далее запишем проекции гравитационного ускорения:

Знак – учитывает, что проекция ускорения направлена против направления оси.

Направляющие косинусы из рис.1.11 можно записать После подстановки В векторно-матричной форме выражение для ускорения имеет вид Это соотношение лежит в основе построения и полноразмерной БИНС.

Зная вектор абсолютного ускорения, получим вектор абсолютной линейной скорости Аналогично получим радиус-вектор места Уравнения идеальной работы в скалярном виде в инерциальной Работу рассмотренной схемы можно описать системой скалярных уравнений. Предположим, что в качестве гироскопического измерителя используется датчик угловой скорости. Угол поворота объекта получим как интеграл от угловой скорости с учетом начального значения угла В дифференциальной форме это уравнение получает вид i = z.

Выражения для кажущихся ускорений в инерциальной системе координат имеют вид Проекции абсолютной скорости получим в виде В дифференциальной форме Аналогично можно записать выражения для вычисления координат во вращающейся (земной) системе координат Подавляющее большинство инерциальных систем решают задачи навигации на земной поверхности, т.е. в сопровождающем трехграннике. Северный канал такой БИНС показан на рис. 1.12.

Рассмотрим уравнения идеальной работы в географическом трехграннике.

Угол поворота объекта (связанного базиса 0 xc y c ) в сопровождающем трехграннике обозначим. Гироскоп измеряет абсолютную угловую скорость z. Переносная угловая скорость из-за перемещения объекта = V / (R + h ), где R – радиус Земли, h Основы инерциальной навигации высота объекта. Исходя из положения, что абсолютная угловая скорость равна сумме переносной и относительной скорости, запишем следующие выражения.

Эти уравнения можно назвать уравнениями ориентации.

В блоке вычисления направляющих косинусов и преобразования координат НК и ПК выполняется преобразование ускорений из связанной в навигационную систему координат Из полученных проекций кажущегося ускорения, учитывая основное интегрирования получим северную составляющую скорости и вертикальную составляющую скорости Далее получаем широту и высоту в соответствии с очевидными выражениями 2. Уравнения ориентации Уравнениями ориентации называют дифференциальные уравнения, в результате решения которых получают параметры, характеризующие положение подвижного объекта относительно выбранной системы координат. Такими параметрами могут быть углы Эйлера – Крылова, направляющие косинусы, параметры Родрига-Гамильтона и др.

Исторически первыми уравнениями ориентации были известные в теоретической механике кинематические уравнения Эйлера. Дополним эти уравнения учетом переносного движения сопровождающего трехгранника.

2.1. Уравнения ориентации Эйлера Уравнения позволяют по измеренным проекциям абсолютной угловой скорости объекта и вычисленным проекциям угловой скорости сопровождающего трехгранника вычислить углы курса, тангажа и крена объекта.

Рис.2.1. Углы и угловые скорости датчиками угловой скорости;

сумме относительной и переносной скоростей составим выражения проекций угловых скоростей.

Сумма проекций на ось О1 даст Сумма проекций на на ось О2 даст Сумма проекций на на ось О3 даст Недостаток уравнений (2.1) и (2.2) – их некорректность при = ±90o.

Следовательно, использовать их можно только ограниченном диапазоне углов или же необходимо исключать некорректную ситуацию дополнительными алгоритмами.

Уравнения могут быть представлены в векторно-матричной форме По данным о полученных после интегрирования углах курса, крена и тангажа вычисляют матрицу направляющих косинусов 2.2. Уравнения ориентации Пуассона Производная вектора e в абсолютной системе координат, если вектор представлен в подвижной системе координат, определяется формулой где первое слагаемое (т.н.локальная производная) описывает скорость изменения вектора (производную) в подвижной системе, а второе – его скорость, вызанную движением подвижной системы с угловой скороr стью.

На рис.2.2 показаны инерциальная и подвижная системы коордиrrr нат, i0, j0, k0 - орты инерциальной системы координат 0XYZ, rrr i, j, k - орты связанной системы координат 0xсyсzс, - вектор угловой скорости этой системы координат.

Введем матрицу направляющих косинусов Пользуясь этой матрицей, можно записать выражения j0 = c12i + c22 j + c32 k, Рис.2.2. Инерциальная и связанная В соответствии с (2.5) с другой стороны, скорость изменения орта инерциальной системы координат Суммируя коэффициенты при ортах, получим 3 системы уравнений Это уравнения Пуассона. В матричном виде где Уравнение (2.7) можно транспонировать Отметим, что bi = bi и тогда Отметим, что в обозначении матрицы направляющих косинусов верхние индексы показывают название исходного базиса (правый индекс) и конечного базиса (левый индекс). В нашем примере C bi обозначает преобразование от базиса i к базису b. В обозначении матрицы угловой скорости верхние индексы используют аналогично, а нижний индекс показывает, на какую систему координат проектируется угловая скорость.

Если учесть, что C Напомним основные свойства матриц направляющих косинусов.

Матрица направляющих косинусов ортогональна:

C ib = C ib, т.е. транспонированная матрица есть обратная матрица.

Для матрицы C bi (как и для другой любой матрицы направляющих косинусов) существуют соотношения для элементов строк Аналогичные соотношения можно привести и для элементов столбцов.

Формулы (2.9) описывают условие масштаба (нормировки), (2.9а) – условие ортогональности осей системы координат.

В общем виде Определитель матрицы направляющих косинусов равен 1:

Раскроем определитель по элементам первой строки c11 c12 c c21 c22 c23 = c11(c22c33 c23c32 ) + c12 (c23c31 c21c33) + c13(c21c32 c22c31).

c31 c32 l Сравнивая полученное выражение с первым элементом (2.8), можно записать Аналогично можно записать еще 2 тройки соотношений т.е. каждый элемент равен своему алгебраическому дополнению.

Обобщенное уравнение Пуассона запишем в виде [5,13] зиса b вектора угловой скорости связанной системы координат b относительно инерциальной (i), этой матрице соответствует вектор угловой скорости географического сопровождающего базиса g относительно инерциального i, этой матрице соответствует вектор Обобщенное уравнение применяется, когда необходимо определить направляющие косинусы одной вращающейся системы координат относительно другой вращающейся системы. В нашем случае в развернутом виде уравнение имеет вид c11 c12 c13 c11 c12 c13 0 zc yc 0 c11 c12 c c31 c32 c33 c31 c32 c33 yc xc 0 В скалярном виде Если известны направляющие косинусы, можно найти углы курса, крена, тангажа из (2.4) = arctg 12, = arctg 31, = arcsin(c32 ) или = arctg Вместо обобщенного уравнения Пуассона можно использовать два обычных уравнения Пуассона. Первое уравнение описывает движение связанного базиса b относительно инерциального i:

Второе уравнение описывает движение сопровождающего базиса g :

Далее используют понятное соотношение Еще один вариант получения направляющих косинусов предполагает использование вектора ориентации или вектора конечного поворота [13] (см. п.2.4, формулы (2.25),(2.26)).

Контроль правильности вычисления направляющих косинусов основан на свойствах матрицы направляющих косинусов. Для правильно вычисленных направляющих косинусов должны выполняться условия масштаба (нормирования) (2.9) и ортогональности (2.9а). Если условия не выполняются, может быть выполнена коррекция [6]:

- если 1 ( ci2 + ci22 + ci2 ) = i, i = 1,2,3 корректируем значения направляющих косинусов ci1 = ci1 i ci1.

В общем виде, если обозначить Ci строку i матрицы направляющих косинусов, а C j - другую строку этой же матрицы, то можно заij = Ci C T. Если ij 0, выполняем коррекцию [6]:

Общие формулы для строк и столбцов можно найти в [13].

2.3. Уравнения с параметрами Родрига-Гамильтона В этих уравнениях информацию об угловом положении объекта содержат параметры Родрига-Гамильтона, которые являются компонентами кватерниона, описывающего этот поворот (см. приложение 1). Начальные значения параметров кватерниона определяют по известным начальным значениям углов курса 0, тангажа 0 и крена 0 (см. п1.3).

Матрица направляющих косинусов через параметры кватерниона может быть представлена в следующем виде В соответствии с (2.14) Дифференциальное уравнение, описывающее изменение параметров Родрига-Гамильтона в зависимости от проекций абсолютной угловой скорости x, y, z и проекций переносной угловой скорости,,, может быть записано Если обозначить матрицу угловых скоростей, то уравнение можно записать в компактной векторно-матричной форме Если в уравнении (2.18) пренебречь проекциями переносной угловой скорости, получим уравнение, описывающее изменение кватерниона в инерциальной системе координат.

Вместо кинематического уравнения (2.18) можно использовать 2 кинематических уравнения и операцию перемножения кватернионов, аналогично (2.15).

Для решения уравнений применяют широко известные численные методы первого, второго, третьего, четвертого порядка [8] или специализированные методы [9].

Контроль точности вычислений проводят по отклонению нормы кватерниона (п1.1) от 1:

Если < d, т.е.вычисленная норма отличается от 1 в допуске d, параметры кватерниона уточняют по формуле или по формуле = + [13], которая соответствует разложению в ряд предыдущей формулы.

2.4. Уравнения c параметрами вектора ориентации Параметры Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна, координаты вектора ориентации, координаты вектора конечного поворота относятся к группе векторных параметров [14] и все они основываются на известной теореме Эйлера:

любое вращательное движение твердого тела эквивалентно плоскому вращению вокруг некоторой оси и может быть задано конечным поворотом вокруг этой оси.

Из этой теоремы следует, что поворот одной системы координат (связанной) относительно другой (исходной) в любой момент может быть описан некоторым единичным вектором e (называемым иногда вектором Эйлера), перпендикулярным плоскости конечного поворота, и углом на который осуществляется поворот. Различные кинематические параметры, относящиеся к группе векторных, являются некотоr рыми функциями e и [13,14].

Вектор Эйлера (вектор ориентации) где e x, e y, ez - направляющие косинусы орта e в подвижном базисе.

Вектор конечного поворота по направлению совпадает с вектором Эйлера, а по величине равен 2tg :

Кинематическое уравнение, описывающее изменения вектора конечного поворота во времени, имеет вид:

Здесь вектор описывает угловую скорость связанной системы координат 0xyz относительно исходной. Если измерителями являются гиr роскопические измерители угловой скорости, то - вектор абсолютной угловой скорости относительно инерциальной системы координат.

Как кинематические параметры используются проекции (координаты) вектора конечного поворота на оси подвижной системы координат.

В скалярном виде получим Кинематическое уравнение для вектора Эйлера имеет вид:

где - вектор угловой скорости поворота. Отметим, что = ctg, разложением коэффициента при третьем слагаемом (2.21) в степенной ряд до первого порядка относительно величины можно показать, что Уравнение (2.21) нелинейное и вырождается при = 2k, (k = 0,1,...).

В качестве кинематических параметров используют проекции вектора Эйлера на оси подвижной системы координат.

Уравнение (2.21) может быть записано в векторно-матричной форме