На правах рукописи

СЕЛИВАНОВА Светлана Викторовна

МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

КАРНО – КАРАТЕОДОРИ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2011

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич доктор физико-математических наук, доцент Васильчик Михаил Юлианович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им.

В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 9 июня 2011 года в 1500 часов на заседании диссертационного cовета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 6 мая 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В данной работе мы исследуем некоторые геометрические, алгебраические и аналитические аспекты теории пространств Карно – Каратеодори, обобщающих классические субримановы пространства и важныx для многих приложений, включая теорию оптимального управления, теорию субэллиптических уравнений и др. Приведем мотивацию проводимых исследований и осветим основные этапы развития субримановой геометрии и ее обобщений.

Напомним, что локально произвольное векторное поле на многообразии M может быть представлено в виде дифференциального операN тора первого порядка Xi = aij (x) xj, действующего на функцию j= f C (M), а гладкость векторного поля Xi определяется гладкостью его координатных функций aij (x). Коммутатор двух векторных полей определяется по формуле [Xi, Xj ] = Xi Xj Xj Xi и также является векторным полем.

Субримановым пространством M называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем горизонтальными C -гладкими векторными полями {X1,..., Xm }, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка M порождают все касательное пространство к M в каждой точке (условие Хёрмандера). Число M называется глубиной субриманова пространства. Горизонтальные векторные поля естественным образом индуцируют фильтрацию касательного расслоения HM = H1 H2... HM = T M, элементы которой Hk (v) = span{[Xj1,..., [Xjk1, Xjk ]](v)} обладают свойством [H1, Hi ] = Hi+1.

Точка u M называется регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех Hk постоянны, иначе точка называется нерегулярной.

Отметим, что случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Например, на R2 горизонтальные векторные поля HM = span{x, x100 y } задают структуру субриманова пространства глубины M = 101 (точки, для которых x = 0, нерегулярны), в то время как регулярных субримановых структур на R2 не существует. Поэтому методы работы с нерегулярными субримановыми пространствами основаны на новых, по сравнению с регулярным случаем, идеях.

Субримановы пространства моделируют физические процессы, в которых движение возможно лишь вдоль нескольких выделенных “горизонтальных” направлений (в частности, такие пространства описывают конфигурационное пространство в неголономной механике подобно тому как римановы пространства в классической, т. е. голономной, механике) и естественным образом возникают во многих приложениях и смежных областях математики (см. [1,3,11,13,16,22,24,27,30,32,34,36,37] и ссылки в этих работах).

В 1967 г. в работе [24] Л. Хёрмандер доказал, что условие о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей {X0, X1,..., Xm } является необходимым и достаточным условием гипоэллиптичности дифференциального оператора второго порядка m Уравнения P u = f называются субэллиптическими или вырожденными эллиптическими уравнениями (простейшим примером таких уравнений является уравнение Колмогорова, описывающее процесс диффузии).

В 1971 г. И. Стейн выдвинул программу исследования геометрии векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, с целью изучения геометрии особенностей ядер фундаментальных решений субэллиптических уравнений.

В 1976 г. Л. Ротшильд и И. Стейн [34] показали, что в окрестности регулярной точки субриманово пространство можно приблизить нильпотентной стратифицированной группой Ли, а также предложили метод сведения некоторых вопросов для нерегулярных точек к случаю регулярных точек. Этот метод основан на вложении исходного пространства в регулярное субриманово пространство большей размерности. Позже были предложены различные его модификации и обобщения [18, 20, 25, 26], идеи некоторых из которых мы используем в настоящей работе.

Дальнейшее изучение теории субэллиптических уравнений привело к необходимости выработки более общих постановок задач, в частности ослабления условия Хёрмандера [18, 32] и снижения требований на гладкость порождающих пространство векторных полей [14, 29].

';

Что касается теории оптимального управления: тот факт, что любые две точки многообразия M можно соединить кривой, являющейся решением системы уравнений (т. е. другими словами, управляемость этой системы) эквивалентен базовому факту субримановой геометрии теореме Рашевского Чоу [9, 17] о том, что любые две точки можно соединить горизонтальной кривой при выполнении условия Хёрмандера. Элементарный вариант этой теоремы (при m = N 1) был доказан еще в начале XX века Каратеодори в связи с вопросами термодинамики Карно. Следует отметить, что в практически важных задачах ранг системы векторных полей {X1,..., Xm } редко бывает постоянен в каждой точке, поэтому рассмотрение нерегулярных точек становится принципиальным.

Отметим актуальность рассмотрения более общей постановки задачи [10, 19], когда зависимость от управляющего параметра нелинейная:

Необходимым условием локальной управляемости этой системы является следующее условие:

Естественным образом возникает фильтрация касательного расслоения:

обозначим Тогда H0 H1... HM = T M. Эта фильтрация обладает свойством [Hi, Hj ] Hi+j. Таким образом, и для теории оптимального управления важно рассмотрение пространств, заданных более общей фильтрацией, чем классические субримановы пространства.

Кроме того, и в задачах теории оптимального управления интересен вопрос о снижении гладкости задающих систему векторных полей, см., например, работу [33], в которой рассматривается случай липшицевых векторных полей и глубины M = 2.

Следует также упомянуть о появлении новых моделей в нейробиологии, описываемых геометрией Карно – Каратеодори, для уточнения которых существенно понизить требования на гладкость векторных полей до минимальных.

Таким образом, бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к появлению множества различных определений, з адач и подходов. В данной работе мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно – Каратеодори, охватывающую широкий спектр описанных выше подходов и приложений, и исследуем свойства полученного объекта.

Поясним теперь актуальность основных задач, которые решаются в диссертации.

Вернемся к рассмотрению системы (1). Пусть A(t, x0 ) множество всех точек, достижимых из точки x0 за время 0 t. В силу условия Хёрмандера множество A(t, x0 ) непусто. Изучение его структуры может быть сложным. С помощью стандартной линеаризации получаем систему, для которой это множество может быть пусто. В качестве аппроксимации, которая сохраняет субриманову структуру, подходит нильпотентная аппроксимация. Различные варианты предлагались в [11, 12, 20, 23, 34], их построение тесно связано с выбором удобной для вычислений системы координат.

Проблема выбора аппроксимаций ставится следующим образом: найu ти аппроксимацию исходных векторных полей векторными полями {Xi }, которые образуют нильпотентную алгебру Ли и таковы, что где векторные поля Ri имеют больший порядок малости. Условие нильпотентности сильно упрощает вычисления, поскольку коэффициенты векторных полей становятся полиномиальными. При этом естественно пытаться подобрать поля {Xi } так, чтобы все их коммутаторы в точке u совпадали со значениями соответствующих коммутаторов исходных векторных полей {Xi }. Такой выбор аппроксимаций возможен для свободных векторных полей [34] (при этом точка является регулярной); в общем же случае нильпотентных аппроксимаций с таким свойством может не существовать. Однако, возможен выбор нильпотентных аппроксимаций такой, что Hk (u) = Hk (u), где В связи с теорией оптимального управления встает вопрос о расхожu дении интегральных линий векторных полей {Xi } и {Xi }. Получение оценок расхождения позволяет построение алгоритмов планирования движения для системы (1) [26] и оценивать их сложность.

Тесно связан с построением нильпотентных аппроксимаций вопрос о локальной структуре субримановых пространств.

Хорошо известно, что риманово многообразие с первым порядком точности приближается евклидовым пространством. В 1981 г. М. Громов предложил понятие касательного конуса к метрическому пространству [21], обобщающее понятие касательного пространства к гладкому многообразию (касательный конус к риманову пространству в каждой точке евклидово пространство). Касательный конус к (X, d) в точке x X определяется как предел пунктированных метрических пространств (X, x, · d) при, при этом сходимость вводится с помощью расстояния по Громову Хаусдорфу между двумя абстрактными метрическими пространствами.

Отметим, что из теоремы Рашевского Чоу вытекает существование на субримановом пространстве внутренней метрики Карно – Каратеодори dc, определяемой как точная нижняя грань кривых, соединяющих две данные точки.

В 1985 г. Дж. Митчелл [28], в 1996 М. Громов [22], А. Беллаиш [11], в 2001 г. Ф. Жан [26] доказали существование и исследовали алгебраическую структуру касательного конуса к субримановому пространству:

это есть нильпотентная стратифицированная группа Ли в регулярной точке и фактор-пространство такой группы по ее подгруппе изотропии (относительно естественном образом определяемого действия) в нерегулярной точке.

При рассматриваемых нами обобщениях, большинство классических методов изучения локальной и метрической геометрии пространств Карно – Каратеодори неприменимы, требуется выработка новых подходов.

В частности, теорема Рашевского Чоу может быть неверна, и внутренней метрики dc может не существовать. Возможно введение различных квазиметрик [32] (основное отличие квазиметрики от метрики заключается в том, что неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, т. е. с некоторой константой). По ряду причин, прямолинейное обобщение теории Громова на квазиметрические пространства невозможно. Таким образом, становится актуальным вопрос о введении адекватного определения касательного конуса к квазиметрическому пространству, которое естественным образом обобщало бы определение Громова для метрических пространств, и исследование вопроса о существовании и структуре касательного конусе к квазиметрическому пространству Карно Каратеодори.

Для случая регулярных пространств Карно – Каратеодори вопросы локальной геометрии при минимальной гладкости векторных полей изучались в [4–7, 27]. В 2007–2010 гг. С. К. Водопьянов и М. Б. Карманова предложили новый подход, позволяющий доказать, для случая регулярных точек и C 1, -гладких векторных полей ( > 0), аналоги большинства классических теорем субримановой геометрии. В частности, они доказали теоремы о построении нильпотентных аппроксимаций, о расхождении интегральных линий, локальную аппроксимационную теорему в одной из квазиметрик, введенных в [32].

Вопрос о локальной структуре нерегулярных квазиметрических пространств Карно – Каратеодори исследуется в настоящей работе впервые.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. К. Водопьянову за постановку задач, плодотворные дискуссии и неоценимую поддержку в работе. Автор также благодарит М. Б. Карманову за консультацию по поводу работы [7].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1. Cформулировать обобщающую концепцию нерегулярных (квази)метрических пространств Карно – Каратеодори, охватывающую описанный выше широкий спектр приложений и подходов, и исследовать локальную геометрию таких пространств;

2. Построить адекватную метрическую теорию и изучить алгебраическую структуру касательного конуса к пространству Карно Каратеодори.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. 1. Исследована локальная геометрия (квази)метрических пространств Карно Каратеодори класса C M + (здесь M глубина пространства) в окрестности нерегулярной точки. Доказаны теорема о расхождении интегральных линий и локальная аппроксимационная теорема.

2. Построена теория сходимости для квазиметрических пространств, обобщающая классическую теорию Громова для метрических пространств.

3. Доказано существование и исследована алгебраическая структура касательного конуса к нерегулярному (квази)метрическому пространству Карно Каратеодори.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Методика исследования основывается на синтезе и обобщении работ [23, 26, 27, 32, 34]. Кроме того, в работе развиты новые методы работы с квазиметрическими пространствами, в частности, квазиметрическими пространствами Карно Каратеодори.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы могут быть применены в неголономной теории управления для построения алгоритмов планирования движения и оценки их сложности, а также в теории субэллиптических уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на International Congress of Mathematicians (19-27 August 2010, Hyderabad, India); на International conference New trends in sub-Riemanian geometry (29 March-2 April 2010, Nice-Sophia Antipolis, France); на Международной школе-конференции по геометрическому анализу (2-9 августа 2010, Горно-Алтайск); на Российской конференции Топоноговские чтения 2010 (6 марта 2010, Новосибирск); на International conference Harmonic analysis, geometric measure theory and quasiconformal mapping (14- June 2009, Belaterra, Spain); на Международной конференции Современные проблемы анализа и геометрии (14-20 сентября 2009, Новосибирск); на Международной конференции Mal’tsev Meeting, посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева (24-28 августа 2009, Новосибирск); на Международной школе-конференции по геометрическому анализу (17-21 августа 2009, Горноалтайск), на XLVII Международной студенческой конференции (13-17 апреля 2009, Новосибирск);

на семинаре Геометрический анализ Института математики им. С. Л.

Соболева СО РАН под руководством С. К. Водопьянова; на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством Ю. Г. Решетняка.

По результатам работы получены стипендия Сибирского математического журнала (2009 г.), стипендия Московского Независимого Университета (2010 г.) и премия Лучшие аспиранты РАН (2010 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в [40]– [53].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 137 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. В первой главе мы приводим основные понятия, примеры и известные результаты теории пространств Карно – Каратеодори и смежных метрических вопросов, необходимые для дальнейшего. А именно, в п. 1.1 мы приводим примеры и некоторые базовые факты “классической” субримановой геометрии. В частности, вводится метрическая структура на субримановом пространстве. П. 1. посвящен изложению основ теории Громова сходимости метрических пространств и их обобщений [3]. Кроме того, в этом пункте фомулируется теорема о касательном конусе к субриманову пространству с внутренней метрикой Карно Каратеодори, существующей по теореме Рашевского Чоу. В п. 1.3 приведены некоторые базовые сведения о квазиметрических пространствах.

Определение. Квазиметрическим пространством (X, dX ) называется топологическое пространство X с заданной на нем квазиметрикой dX. Квазиметрикой называется отображение dX : X X R+, обладающее следующими свойствами:

(1) dX (u, v) 0; dX (u, v) = 0 тогда и только тогда, когда u = v;

общая для всех u, v X;

(3) dX (u, v) QX (dX (u, w) + dX (w, v)), где 1 некоторая константа, общая для всех u, v, w X (обобщенное неравенство треугольника);

(4) функция dX (u, v) полунепрерывна сверху по первому аргументу.

Если cX = QX = 1, то (X, dX ) метрическое пространство.

П. 1.4 посвящен обзору основных результатов работ [4, 7, 27] по локальной геометрии регулярных квазиметричесих пространств Карно Каратеодори. П. 1.5 по локальной геометрии многообразий Карно [4, 27].

Вторая глава посвящена изучению локальной геометрии квазиметрических пространств Карно – Каратеодори в нерегулярной точке.

В п. 2.1 мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно – Каратеодори, которая охватывает 1) “классические” субримановы пространства, заданные набором “горизонтальных” векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера (при этом условия на гладкость могут быть минимально возможные, как в [14, 29, 33]);

2) регулярные пространства Карно – Каратеодори, рассматриваемые в работах [4–7, 27];

3) определение работы [18], в котором горизонтальные векторные поля могут иметь различные формальные степени, и более общее определение [32].

Определение. Связное гладкое многообразие M размерности dim M = N назовем пространством Карно – Каратеодори класса C p, если существует фильтрация касательного расслоения и набор векторных полей X1, X2,..., Xq C p (U ), U M, такие, что Здесь под коммутатором [Hi, Hj ] подразумевается линейная оболочка коммутаторов векторных полей, порождающих Hi и Hj ; Nk dimHk, где dimHk максимальная размерность элемента фильтрации Hk в окрестности U (вообще говоря, размерность Hk может меняться от точки к точке). При этом допускается случай, когда H1 =... = Hi0 = {0} для некоторого 1 i0 < M.

Минимальное число M элементов фильтрации называется глубиной пространства Карно – Каратеодори.

В настоящей работе мы исследуем пространства Карно – Каратеодори класса C M +1 и предполагаем, что каждому векторному полю присвоена степень deg(Xi ) = di, 1 d1 d2... dq M. Обозначим через коммутатор порядка k 1, где I = (i1,..., ik ) произвольный мультииндекс. Предположим, что для всех v U, где |I|h = di1 +... + dik. Будем также считать, что XI C M +1 (U ) для всех мультииндексов I таких, что |I|h M.

Тогда векторные поля {XI }|I|h M задают на U структуру пространства Карно – Каратеодори класса C M +1. При этом Hj = span{XI }|I|h j.

В п. 2.2 мы приводим примеры пространств Карно – Каратеодори, которые не являются субримановыми пространствами в классическом смысле. В связи с этим следует отметить два важных обстоятельства:

1. В рассматриваемой ситуации может возникать следующий неожиданный эффект: при разных расстановках весов для одних и тех же векторных полей можно получать различные комбинации соотношения регулярных и нерегулярных точек на пространстве Карно – Каратеодори (в п. 2.2 приведены соответствующие примеры). В связи с этим необходимо модифицировать процедуру выбора базиса, по которому будет строиться система координат (см. различные способы выбора базисов в [11, 23, 26, 32]: “нормальный” базис, “минимальный” базис, “ассоциированный” базис, базис удовлетворюящий условию максимальности объема и т.д.).

2. В рассматриваемых предположениях теорема Рашевского Чоу, влекущая существование на U внутренней субримановой метрики, может быть неверна. В связи с этим, для измерения расстояний мы рассматриваем следующую функцию (одну из предложенных в [32] для удобства вычислений) и доказываем, что она является квазиметрикой на U :

(v, w) = inf{ > 0 | существует кривая : [0, 1] U такая, что Отметим, что для случая регулярных пространств Карно – Каратеодори введенная квазиметрика совпадает с рассматриваемой в [5–7, 27] квазиметрикой d. П. 2.3 посвящен выбору базиса.

В п. 2.4 с помощью выбранного базиса строится система координат второго рода, в которой производится построение нильпотентных аппроксимаций {XI }|I|h M, обобщающее схему, предложенную в [23].

Следует заметить, что, в отличие от случая регулярных пространств Карно – Каратеодори, согласования начальных данных XI (u) = XI (u) в общем случае может не быть.

Одним из ключевых технических инструментов при изучении локальной геометрии пространств Карно – Каратеодори является изложенная в п. 2.6 конструкция свободных векторных полей, продолжающих данные на регулярное пространство Карно – Каратеодори M = M RN N большей размерности N N. Эта конструкция синтезирует и обобщает методы работ [18, 26] и позволяет применить результаты работ [4, 27] по регулярным пространствам Карно – Каратеодори.

В п. 2.7 изучаются свойства квазиметрик и u, где u строится в п. 2.5 по векторным полям {XI }|I|h M так же, как по исходным векторным полям {XI }|I|h M. Наиболее важным для редукции к случаю регулярных точек является замечание о неубывании квазиметрики при переходе к многообразию M: если и u построенные по продолженным полям {XI }|I|h M и {X I }|I|h M, соответственно, то для всех p, q RN N. Аналог этого свойства был впервые установлен в [34] для классических субримановых пространств с метриками Карно Каратеодори.

Кроме того, мы доказываем следующие геометрические свойства (т.

н. лемма о прокатывании шара, см. аналоги для регулярного случая в [5, 27]):

П. 2.9 посвящен доказательству ключевых результатов главы 2: теоремы о расхождении интегральных линий и локальной аппроксимационной теоремы.

Определение. Пусть u, v U, r > 0. Расхождением интегральных линий с центром нильпотентизации u по шару радиуса r с центром в точке v назовем величину Здесь точки y и y определяются следующим образом. Пусть (t) произвольная кривая такая, что Определим y = exp( bI XI )(v). Таким образом, точная верхняя грань в первом выражении берется не только по точкам y B (v, r), но и по соответствующим им наборам {bI }|I|h M. Аналогичным образом интерпретируется второе выражение.

Основными результатами второй главы являются следующие две теоремы.

Теорема (о расхождении интегральных линий). Пусть u, v U, (u, v) = O(), r = O() и B (v, r) B (v, r) U. Тогда верна следующая оценка на расхождение интегральных линий:

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик).

Для произвольной точки u U и точек v, w U таких, что (u, v) = O(), (u, w) = O(), справедлива оценка В главе 3 разработанные в предыдущей главе методы применяются для исследования частного случая пространств Карно – Каратеодори, когда можно доказать соединимость двух произвольных точек горизонтальной кривой (аналог теорем Рашевского – Чоу).

В п. 3.2 мы доказываем локальную аппроксимационную теорему в метрике Карно – Каратеодори для случая горизонтальных полей класса C M +1, удовлетворящих условию Хёрмандера с шагом M, коммутаторы которых также принадлежат классу C M +1.

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно– Каратеодори). Для произвольной точки u U и точек v, w U таких, что dc (u, v) = O(), dc (u, w) = O(), справедлива оценка При этом методы доказательства являются новыми по сравнению с методами работы [11] для C -гладких полей. В частности, мы не используем специальных “привелигированных” координат и метода типа Ньютона.

П. 3.3 посвящен обобщению теоремы Рашевского Чоу на случай горизонтальных C M - гладких векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера с шагом M (при этом дополнительная гладкость коммутаторов высших порядков не предполагается).

Теорема (аналог теорем Рашевского–Чоу). Пусть горизонтальные векторные поля X1, X2,..., Xm C M удовлетворяют условию Хёрмандера шага M 1 на U. Тогда любые две точки v, w U можно соединить горизонтальной кривой.

Такое обобщение возможно за счет применения другой техники продолжения до свободных векторных полей [14,25], не требующей построения нильпотентных аппроксимаций, и доказанного в [7,27] аналога теоремы Рашевского Чоу для регулярных многообразий Карно класса C 1,. Аналогичное утверждение было получено ранее в [14] с применением специального сложного аппарата “почти экспоненциальных отображений”.

Глава 4 посвящена построению теории сходимости квазиметрических пространств, обобщающей теорию Громова для метрических пространств, а также доказательству существования и исследованию алгебраической структуры касательного конуса к квазиметрическому пространству Карно – Каратеодори, в смысле введенной сходимости.

Отметим, что прямолинейное обобщение теории Громова на случай квазиметрических пространств невозможно, поскольку расстояние по Громову – Хаусдорфу между двумя произвольными ограниченными квазиметрическими пространствами равно нулю [5].

В п. 4.1 мы вводим расстояние dqm (X, Y ) между двумя квазиметрическими пространствами (X, dX ) и (Y, dY ) как инфимум чисел > 0, для которых существуют такие (не обязательно непрерывные) отображения f : X Y и g : Y X, что max dis(f ), dis(g), sup dX (x, g(f (x))), sup dY (y, f (g(y))).

В этом же пункте доказано обобщенное неравенство треугольника для dqm для классов квазиметрических пространств, константы из обобщенного неравенства треугольника для которых ограничены в совокупности.

Отметим, что, когда X и Y метрические пространства, введенное расстояние эквивалентно расстоянию Громова – Хаусдорфа dGH.

Далее, в п. 4.2 мы доказываем единственность предела последовательности компактных квазиметрических пространств в смысле сходимости по расстоянию dqm.

В п. 4.3 вводится сходимость для некомпактных пространств:

Определение. Последовательность (Xn, pn ) пунктированных квазиметрических пространств сходится к пунктированному квазиметрическому пространству (X, p), если существует такая числовая последовательность n 0, что для любого r > 0 существуют отображения fn,r : B dXn (pn, r + n ) X, gn,r : B dX (p, r + 2n ) Xn такие, что (1) fn,r (pn ) = p, gn,r (p) = pn ;

(2) dis(fn,r ) < n, dis(gn,r ) < n ;

Теорема (корректность определения). Пусть (X, p), (Y, q) два полных пунктированных квазиметрических пространства, являющихся пределами одной и той же последовательности (Xn, pn ) такой, что константы {QXn } ограничены в совокупности: |QXn | C для всех n N.

Если X ограниченно компактно, то пространства (X, p) и (Y, q) изометричны.

Введенное определение позволяет ввести понятие касательного конуса к ограниченно компактному квазиметрическому пространству как предел масштабированных пространств, по аналогии с определением Громова.

Кроме того, в п. 4.5 доказаны эквивалентность, для метрических пространств, вводимых определений определениям [3].

Отметим, что альтернативный подход введения определения сходимости для компактных квазиметрических пространств был предложен А. В. Грешновым в [5].

Основные результаты четвертой главы сформулированы в п. 4.6:

Теорема. Пусть M пространство Карно Каратеодори из определения класса C M +1, u U M произвольная точка (возможно, нерегулярная).

Тогда квазиметрическое пространство (U, u ) является локальным касательным конусом в точке u к квазиметрическому пространству (U, ).

При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства G/H (здесь G нильпотентная градуированная группа Ли).

Теорема. Пусть пространство Карно–Каратеодори M задано горизонтальными векторными полями класса C M +1, коммутаторы которых также принадлежат классу C M +1.

Тогда метрическое пространство (U, du ) является локальным касаc тельным конусом в точке u к метрическому пространству (U, dc ). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотентной стратифицированной группы.

Теорема. Пусть M регулярное пространство Карно – Каратеодори, заданное системой векторных полей X1, X2,..., XN. При этом верны следующие предположения на гладкость: либо Xi C 1,, где > 0, пространства Карно Каратеодори.

Тогда квазиметрическое пространство (U, du ) является локальным касательным конусом в точке g к регулярному квазиметрическому пространству (U, d ). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотентной градуированной группы Ли.

Глава 5 посвящена разработке единого синтетического аксиоматического подхода к описанию локальных касательных конусов к (квази)метрическим пространствам Карно Каратеодори.

В п. 5.1 мы применяем разработанную нами теорию для доказательства существования касательного конуса для более общего класса пространств – абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями [15, 42].

В п. 5.2 приведено исследование алгебраической структуры касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями.

Мы доказываем, что 1) регулярные пространства Карно – Каратеодори являются примерами (квази)метрических пространств с растяжениями;

2) локальный касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями имеет ту же алгебраическую структуру, что и локальный касательный конус к пространству Карно–Каратеодори в регулярной точке (нильпотентная градуированная группа Ли).

Утверждения 1), 2) дают аксиоматический подход к теории локальных касательных конусов регулярных субримановых пространств. При этом доказательство п. 2) интересно само по себе. Основной идеей является применение теоремы Мальцева о локальных и глобальных топологических группах [8], что позволяет избежать трудностей, связанных с изучением локальной версии Пятой проблемы Гильберта [31].

Результаты последней главы получены совместно с С. К. Водопьяновым.

Как отмечено в [41], результаты этой главы позволяют построить теорию дифференцируемости отображений пространств с растяжениями по аналогии с концепцией работ [38,39] для регулярных пространств Карно Каратеодори.

Список литературы [1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления.

М.: Физматгиз. 2004.

[2] Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I. Сиб. Мат. Журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14–28.

[3] Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.–Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2004.

[4] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости векторных полей // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 427, № 3.

С. 305–311.

[5] Грешнов А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 68, № 2. С. 290–312.

[6] Грешнов А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем C 1 -гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. матем. журн. Т. 50, № 1.

[7] Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно-Каратеодори // Докл. Акад. Наук. 2010. Т. 434, [8] Мальцев А. И. О локальных и полных топологических группах // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 9. С. 606–608.

[9] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск.

гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, № 2.

[10] Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic construction and rigid dimensions // Electron. Res. AMS. 2003. V. 9. P. 111–120.

[11] Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry // SubRiemannian geometry. Birkhuser, Basel. 1996. V. 144. P. 1–78.

[12] Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903–924.

[13] Bongoli A. Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratied Lie groups and potential theory for their sub-laplacians. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg. 2007.

[14] Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hrmander vector elds and Poincars inequality. 2009.

arXiv:0809.2872.

[15] Buliga M. Dilatation structures I. Fundamentals. J. Gen. Lie Theory Appl. 1 (2) (2007) 65–95.

[16] Capogna L., Danielli D., Pauls S. D. and Tyson J. T. An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem.

Progress in Mathematics. Birkhuser. 2007.

Dierentialgleichungen erster Ordung // Math. Ann. 1939. V. 117.

[18] Christ M., Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Singular Radon transforms: Analysis and geometry // Ann. of Math. 1999. V. 150, [19] Coron J.-M. Stabilization of controllable systems // Sub-Riemannian Geometry, Progress in Math. Birkha"user. 1996. V. 144. P. 365–388.

[20] Goodman R. Lifting vector elds to nilpotent Lie groups // J. Math.

Pures et Appl. 1978. V. 57. P. 77–86.

[21] Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst.

Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53–73.

[22] Gromov M. Carno–Carathodory spaces seen from within // Sube riemannian Geometry, Progress in Mathematics. Birckhuser. 1996.

V. 144. 79–323.

[23] H. Hermes, Nilpotent and high-order approximations of vector eld systems // SIAM Review. 1991. V. 33. P. 238–264.

[24] Hrmander L. Hypoelliptic second order dierential equations. Acta Math. 119 (3-4) (1967) 147–171.

[25] Hrmander L., Melin A. Free systems of vector elds // Ark. Mat. (1978), № 1, 83–88.

[26] Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. of Dynamical and Control Systems. 2001. V. 7, N 4. 473–500.

[27] Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Carathodory e spaces, dierentiability, coarea and area formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics, Birckhuser. 2009.

P. 233–335.

[28] Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Dierential Geometry, 1985. V. 21. P. 35–45.

[29] Montanari A., Morbidelli D. Balls dened by nonsmooth vector elds and the Poincare’ inequality // Annales de l’institut Fourier. 2004. V.

54, N 2, P. 431–452.

[30] R. Montgomery. A Tour of Subriemannian Geometries, their Geodesics and Applications. Providence, AMS. 2002.

[31] Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups.

Interscience, New York. 1955.

[32] Nagel A., Stein E.M., Wainger S. Balls and metrics dened by vector elds I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103–147.

[33] Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of ow maps of nonsmooth vector elds // Journal of Dierential Equations 2007. V. 232, P. 134– [34] Rotshild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic dierential operators and nilpotent groups. Acta Math. 1976. V. 137. P. 247–320.

[35] Siebert E. Contractive automorphisms on locally compact groups. Mat.

Z. 191 (1986) 73–90.

[36] Stein E. M., Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton, NJ, Princeton University Press.

[37] Vershik A. M., Gershgovich V. Ya. Nonholonomic Dynamical Systems, geometry of distributions and variational problems // Dynamical Systems VII. Springer Verlag, New York. 1994. P. 1–81.

[38] Vodopyanov S. K. Dierentiability of mappings in the geometry of Carnot manifolds // Sib. Math. Zh. 2007. V. 48, N 2. P. 251–271.

[39] Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot–Carathodory spaces and dierentiability of mappings. Contemporary Mathematics // 2007.

V. 424. P. 247–302.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[40] Селиванова С. В. Касательный конус к регулярному квазиметрическому пространству Карно - Каратеодори // Докл. Акад. Наук, 2009. Т. 425, № 5. С. 595–599.

[41] Водопьянов С. К., Селиванова С. В. Алгебраические свойства касательного конуса к квазиметрическому пространству со структурой растяжений // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 428, № 5. С. 586–590.

[42] Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. Мат. Журн. 2010. Т. 51, № 2.

[43] Selivanova S. V., Vodopyanov S. K. Algebraic and analytic properties of quasimetric spaces with dilations // Contemporary Mathematics, 2011, Vol. Complex Analysis and Dynamical Systems IV. P. 273–294.

[44] Селиванова С. В. О локальной геометрии многообразий Карно // Изв. вузов. 2011. № 8. С. 85–88.

[45] Селиванова С. В. Касательный конус к субриманову пространству в нерегулярной точке, в условиях минимальной гладкости векторных полей // Тезисы Лобачевских чтений 2010. Казань. С. 124–128.

[46] Selivanova S. V. On some metrical and algebraic questions for general nonholonomic spaces // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 19–27 August 2010. Hyderabad, India. P. 236–237.

[47] Селиванова С. В. К вопросам субримановой геометрии в условиях минимальной гладкости векторных полей // Материалы школыконференции по геометрическому анализу 2–9 августа 2010. ГорноАлтайск. С. 63–64.

[48] Selivanova S. V. The tangent cone to a quasimetric space with dilations // Тезисы международной конференции “Современные проблемы анализа и геометрии” 14–20 сентября 2009. Новосибирск.

[49] Selivanova S. V., Vodopyanov S. K. Mal’cev’s theorem and subRiemannian geometry // Тезисы международной конференции "Mal’tsev Meeting посвященной 100-летию со дня рождения А. И.

Мальцева, 24–28 августа 2009. Новосибирск. С. 108.

[50] Selivanova S. V. Some metrical aspects of the theory of CarnotCaratheodory spaces // Proceedings of the IV International conference on Сomplex analysis and dynamical systems. Bar-Ilan University, Ramat-Gan, Israel, 18–22 May 2009. P. 72–73.

[51] Селиванова С. В. О понятии касательного конуса к квазиметрическому пространству // Материалы XLVII Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2009. С. 24.

[52] Селиванова С. В. Алгебраические свойства пространств с растяжениями // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2011. С. 87.

[53] Селиванова С. В. Локальная геометри многообразий Карно с C 2M гладкими горизонтальными векторными полями в окрестности нерегулярной точки. // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет. 2011. С. 112.

Селиванова Светлана Викторовна Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно Каратеодори кандидата физико-математических наук Подписано в печать 3.05.2011. Формат 60 84 1/16.

Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 80 экз. Заказ № 70.

пр-т Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск