Московский Государственный Университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-Математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.43, 517.927, 517.928

Покотило Вадим Игоревич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ ЗАДАЧ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ И

ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

Специальность: 01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук,

Научный руководитель:

профессор Шкаликов Андрей Андреевич доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

профессор Асташова Ирина Викторовна доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович Санкт-Петербургский

Ведущая организация:

государственный университет

Защита диссертации состоится 25 декабря 2009 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 25 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор И.Н. Сергеев.

Общая характеристика работы

.

Актуальность темы.

В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра–Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса для плоскопараллельных течений между двумя фиксированными стенками (см. подробности, например, в монографии 1 ). Оно имеет вид f@D    A   iRq@xA@D    A   qHH@xAgy a  iR@D    Ay;

2 22 2 2 2 (1) y@ IA a yH@ IA a y@IA a yH@IA a H: (2) T Здесь D a d=dx,  — волновое число (  a H ), R — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а q@xA — профиль скорости течения jxj < I.

жидкости в канале Задача Орра–Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в монографиях Драйзина и Райда 1, Дикого 2, а также в работах Гейзенберга, Вазова, Лина и других авторов (см. библиографию в 1 ). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гейзенбергом. В этой связи укажем важную работу Моравец 3, где показано, что при q@xA a x собственные значения задачи Орра–Зоммерфельда мо- p p  i=  i= гут локализоваться только вблизи отрезков  I; Q, I; Q и луча p  i= Q; хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается.

Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра– Зоммерфельда — Гейзенбергом.

В начале 90-х годов Редди, Хеннингсон и Шмидт4, а также Трефезен 1 Drazin R. G., Reid W. H. "Hydrodynamic Stability"//Cambridge, 2 Дикий Л. А. "Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы"//Л., Гидрометеоиздат., 3 MorawetzC. S. "The Eigenvalues of Some Stability Problems Involving Viscosity", J. Rat. Mech. Anal., 1952, 1, 579- 4 Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S. "Pseudospectra of the Orr–Sommerfeld operator"//SIAM J. Appl. Math., 1993, 53, 1, 15- 5 Trefethen L. N. "Pseudospectra of linear operators"//ISIAM 95: Proceeding of the Third Int. Congress on Industrial and Appl. Math. Academic Varlag. Berlin., 1996, 401- начали изучать более простую задачу вида представляющую несамосопряженный вариант классической спектральной задачи Штурма–Лиувилля. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В ходе этих исследований стала ясной важность спектрального анализа задачи (3) при " H. Отметим, что если в уравнении (3) вместо i" участвует параметр " > H, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Спектр такой задачи вещественный, сгущается при " H, причем можно найти явные формулы для локализации собственных значений (формулы квантования Бора-Зоммерфельда). Замена параметра " на i" меняет задачу кардинально.

Стоит отметить, что спектральная задача Штурма-Лиувилля (3) изучалась как на конечном отрезке, так и на всей вещественной оси. Важные исследования о спектре несамосопряженной задачи (3) с малым параметром для случая всей оси были проведены в работе Днестровского и Костомарова6. Однако, полного описания спектра задачи (3) как для бесконечного, так и для конечного интервала ни для какой конкретной функции q@xA не было получено вплоть до недавнего времени. Эта задача получила свое развитие в исследованиях Шкаликова и его аспирантов Дьяченко, Туманова и НейманаЗаде. В литературе наиболее часто встречаются два стационарных профиля скорости: профиль Куэтта - q@xA a x и профиль Пуазейля - q@xA a x2.

Аналитическое объяснение портрета собственных значений задачи с профилем Куэтта при " H было проведено в 7. А именно, было доказано, что при q@xA a x собственные значения модельной задачи (3), (4) локализуются найдена асимптотика собственных значений в окрестности указанных отрезков. Предельное множество, вдоль которого концентрируются собственные значения, названо спектральным галстуком. Более частный результат другим методом независимо получен в 8. Эта задача получила свое обобщение в работе Шкаликова 9, где был рассмотрен случай монотонного на отрезке проДнестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. "Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач"// Журнал выч. мат. и мат. физики, 4, є2 (1964), с. 267-277.

7 Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи"//Мат. заметки., 1997, 62, 6, 950- 8 Степин С. А. "Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений"//Фундаментальная и прикладная математика., 1997, 3, 4, 1199- 9 Шкаликов А. А. "Спектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при больших числах Рейфиля течения и доказано, что предельное множество состоит из трех кривых также по форме напоминающих галстук. В последней работе также приведены результаты для случая профиля Пуазейля, который подробно изучен в для симметричного квадратичного потенциала и в 11 для несимметричного квадратичного потенциала. В указанных работах линии, вдоль которых концентрируются собственные значения, получили название предельного спектрального графа.

Цель работы.

Найти функции q@xA частного и общего видов, для которых можно полностью описать спектральные портреты при " H модельной задачи (3).

А именно, доказать, что спектральный портрет в случае несимметричного квадратичного потенциала, найденный в 11, не случаен: похожая картина наблюдается для широкого класса аналитических функций q@xA, обладающих одним экстремумом на заданном отрезке. Найти предельные спектральные кривые модельной задачи (3), рассматриваемой на вещественной оси, в случае q@xA a x2n и в случае q@xA a x4 a2 x2.

Методы исследования.

Метод фазовых интегралов, основанный на изучении ВКБ-асимптотик решений дифференциальных уравнений и областей их применимости на базе анализа поведения графов Стокса, является ключевым при получении результатов диссертации.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и основные из них состоят в следующем:

1. Найден класс функций с одним экстремумом на заданном отрезке, для которого описан спектральный портрет при " H несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями y@aA a y@bA a H.

нольдса"//Современная математика., Фундаментальные направления, 2003, 3, 89- 10 Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с профилем Пуазейля"//Известия РАН., 2002, 66, 11 Туманов С. Н., Шкаликов А. А. "О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с квадратичным профилем"// Electronic archive http://arXiv.org/ps/mathph/0212074, 2. Найден предельный спектр и асимптотические формулы для собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного одночлена четной степени.

3. Найден предельный спектральный граф несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, рассматриваемой на вещественной оси, с потенциалом в виде произвольного симметричного многочлена четвертой степени. В рамках исследования расположения предельного спектрального графа также установлена связь между поведением критических кривых рассматриваемой задачи и свойствами гипергеометрической функции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами, занимающимися спектральной теорией операторов и гидромеханикой.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на конференциях:

«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому, Москва, 2007 г.

«Спектральные и эволюционные задачи», Крымская осенняя математическая школа, Севастополь, 2008 г.

«Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего, Москва, 2009 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

«Несамосопряженные операторы», руководители — профессор А. Г. Костюченко и профессор А. А. Шкаликов (2005, 2006, 2007, 2008, 2009 гг.), «Операторные модели в математической физике», руководители — профессор А. А. Шкаликов, доцент А. М. Савчук, доцент И. А. Шейпак (2008, 2009 гг.) «Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов», руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор В. В. Власов, профессор К. А. Мирзоев (2008 г.) Публикации.

Основные результаты работы изложены в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация изложена на 71 странице и состоит из введения, трех глав и списка используемой литературы. Список литературы содержит 58 наименований.

Краткое содержание диссертации.

исследуется поведение спектра модельного семейства дифВ первой главе ференциальных операторов действующих на отрезке с краевыми условиями:

при " H с профилем q@xA, имеющим один экстремум на отрезке a; b.

Для простоты можно считать, что q@xA продолжается во всю комплексную плоскость как целая функция, но можно ограничится только требованием ее аналитичности в окрестности отрезка a; b вдобавок к основным условиям, которые сформулированы ниже. Не ограничивая общности, мы можем рассматривать случай a < H < b; H a q@HA < q@aA < q@bA, полагая, что функция q@xA убывает на отрезке a; H и возрастает на отрезке H; b. ТоP гда область значений функции q@xA при x a; b есть отрезок H; q@bA. В этом случае область значений квадратичной формы изучаемого семейства операторов @Ly; yA лежит в полуполосе Так как спектр оператора заключен в его числовом образе, то при любом " > H собственные значения задачи лежат в этой полуполосе.

Итак, сформулируем основные условия на функцию q@xA.

и возрастает на отрезке Существуют не пересекающиеся области части своей границы отрезки a; H и H; b соответственно, такие, что q@zA аналитична в G1; G2 и биективно отображает G1 на полуполосу 1, а G2 на полуполосу (здесь черта означает замыкание областей), где (ii) При любом c P @H; q@aAA прообраз луча rc a fj a c  it; H t < Ig в G1 есть функция относительно мнимой оси, т.е. любая прямая Im a const пересекает прообраз луча rc только один раз, либо не пересекает вовсе. Аналогично, при любом c P @H; q@bAA прообраз луча rc в G2 есть функция относительно мнимой оси.

Из этих условий, по принципу соответствия границ следует, что область G1 полностью лежит в верхней полуплоскости, а область G2 полностью лежит в нижней. Примерами функций, удовлетворяющих сформулированным двум условиям, могут служить q@xA a x2 на отрезке  I; P, q@xA a I cos@xA на отрезке    ;  и другие.

Пусть  - единственный корень уравнения q@zA  a H, лежащий в G1, определенный при  1. Аналогично,  - единственный корень уравнеP ния q@zA  a H, лежащий в G2, определенный при . Введем ветвь , которую всюду далее будем называть основной: Arg@ A @   ; HA при Im < H.

Рассмотрим набор кривых в полуполосах и 1 :

Как показано в диссертации данные кривые качественно ведут себя также как изображено на рис. 1:

Рис. 1: Критические линии для случая 0 проходят через точки вещественной оси q@aA, q@bA и H, соответственно, и являются функциями относительно вещественной оси. Кривая I является функцией относительно мнимой оси, имеf ющей асимптотику c0 a b a a q@xAdx при t CI. Кривые пересекаются лишь в некоторой точке 2. Кривые 0 пересекаeee b не пересекаются.

Никакая из упомянутых кривых не имеет самопересечений.

Обозначим через 0 часть кривой 0 между H и 1, через a - часть кривой a, заключенную между точками q@aA и 1, через a, заключенную между точками 1 и 2, через b - часть кривой заключенную между точками q@bA и 2, наконец, через I - часть кривой I, заключенную между 2 и Положим (см. рис. 2) ные значения задачи (5), (6) при графа Рис. 2: Предельные спектральные кривые для случая Во второй главе Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде одночлена четной степени. Изучается семейство дифференциальных операторов действующих в пространстве L2 @RA при " 3 H. Рассматривается семейство потенциалов вида q@xA a @x C aA2n C b; a; b P R; n P N: Заметим, что достаточно рассмотреть случай q@xA a x2n, поскольку при замене t a x C a оператор и краевые условия не меняются, а прибавление константы b просто сдвигает спектр. Так как q@xA 3 I при x 3 ¦I, то спектр этого оператора дискретен при любом " > H. Положим Сформулируем основные результаты этой главы:

что при все точки спектра задачи (7), рассматриваемой на вещественной оси, содержаться в этой окрестности.

Для получения более детальной информации о поведении собственных значений в окрестности луча arg a 2(n+1) положим Теорема 2.2. Для любого отрезка не содержащего нуль, для люэтого отрезка, не содержащей некоторой окрестности бой окрестности нуля, найдутся C", лежащей в § найдется и при том единственная точка спектра.

диссертации рассматривается спектральная задача В третьей главе Штурма-Лиувилля на вещественной оси для случая потенциала в виде симметричного многочлена четвертой степени. Изучается семейство дифференциальных операторов действующее в пространстве L2 @RA, где " малый параметр. Так как q@xA I при x 3 ¦I, то спектр этого оператора дискретен при любом " > H. Наша задача - описать характер поведения спектра при " 3 H. Во второй главе мы показали, что при q@xA a x4, то есть при a a H, предельным множеством является луч e  t; t P R+. В диссертации доказано, что предельный спектр рассматриваемой задачи получается масштабированием с коэффициентом a из предельного множества, соответствующего a a I, поэтому все результаты получены для этого случая. При этом, в силу того, что спектр оператора лежит в замыкании его числового образа, спектральный параметр  ограничен квадрантом В нашем случае p; q; r - вещественные константы, а z - аналитическая функция, зависящая от спектрального параметра . Критические кривые, вдоль которых концентрируется спектр рассматриваемой задачи, найдены в виде уравнений на гипергеометрическую функцию. Пусть Рассмотрим кривые Рис. 3: Критические линии для случая С помощью использования свойств гипергеометрической функции в диссертации показано, что данные кривые в области качественно ведут себя также как изображено на рис. 3:

нуля под углом. Если рассматривать кривую во всей нижней поArg@A 3   при jj 3 I вдоль кривой 2. Кривая луплоскости, то симметрична 3 кривой 2, относительно прямой Re  a   2 : Множество 4 состоит из одной точки 0 P ; Re 0 a   2 ;

причем больше кривые 4 между собой не пересекаются.

Сформулируем основной результат главы.

Теорема 3.1. Предельный спектральный граф рассматриваемого семейства 2, соединяющей H с операторов (8) является объединением части кривой 3, соединяющей  I с 0, точкой и кривой 1, выходящей из 0 и стремящейся к асимптоте параллельной лучу e  t; t P R+ (см. рис. 4) Рис. 4: Предельный спектральный граф для случая Автор благодарит своего научного руководителя профессора Андрея Андреевича Шкаликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора Анатолия Гордеевича Костюченко и всех участников семинара «Несамосопряженные операторы» за плодотворные дискуссии.

Работы автора по теме диссертации.

[1] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q@xA a x4 a2x2 //Мат.

заметки., 2009, т. 85, вып. 5, с. 792- [2] Покотило В. И., Шкаликов А. А. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенМат. заметки., 2009, т. 86, вып. 3, с. 469- циалом В работе [2] В. И. Покотило принадлежит доказательство лемм 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 и первая часть теоремы 2.1. о форме предельного спектрального графа и топологии графов Стокса. А. А. Шкаликову принадлежит постановка задачи и вторая часть теоремы 2.1, связанная с переходом от топологии графов Стокса к утверждению о предельном спектральном графе.

[3] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q@xA a x4 a2x2 //Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 106-летию И.Г.Петровского. Тезисы конференции.

Москва, 2007, c. 244-245.

[4] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с параболическим потенциалом //Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В.А.Садовничего. Тезисы конференции. Москва, 2009, с. 42.

[5] Покотило В. И. Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом q@xA a x4 a2 x2 //М., 2008. с. - Библиогр.: 4 назв. Деп. в ВИНИТИ 05.08.09, N 519-В