[ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи
УДК 517.55
Антонов Алексей Петрович
ГЛАДКОСТЬ СУММ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Специальность: 01.01.01 – математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2007
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Дьяченко Михаил Иванович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Буланов Александр Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент Симонов Борис Витальевич
Ведущая организация: Московский Государственный Институт Электронной Техники
Защита состоится “ 9” ноября 2007 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико–математический факультет, сектор “А”, аудитория 16–24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан “ 9” октября 2007 г.
Ученный секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико–математических наук, профессор Т.П.Лукашенко
Общая характеристика работы
Актуальность темы Одним из наиболее интересных классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффицентами. Для общих тригонометрических рядов справедлива следующая теорема, доказанная Харди и Литтльвудом.
Теорема А.
an (f )einx. Тогда если 1 < а) Пусть функция f (x) имеет ряд Фурье nNm m p 2 и f (x) Lp (T ), то m p (|nj | + 1)p2 c(p, m)||f ||p.
|an (f )| p nNm j= б) Пусть 2 p < и числа {an }nNm таковы, что 1/p m |an |p (|nj | + 1)p Jp (a) = <, nNm j= тогда найдется f (x) Lp (Tm ) такая, что для любого n Nm Для m = 1 доказательство этой теоремы можно найти в книге1, а для m > 1 его можно получить применением индукции.
Что касается рядов с монотонными коэффициентами, то для них Харди и Литтльвуд заметили, что в одномерном случае справедлив более сильный результат, а именно :
Теорема Б. Пусть функция f (x) имеет ряд Фурье a2... 0, an 0 при n. Тогда для того, чтобы f (x) Lp (T), 1 < Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Изд. “Мир”. 1965. Т. 2.
p <, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Для кратного случая возможны различные определения монотонности.
на в смысле Харди, если для любых n1,..., nm 1 верно неравенство где |j| = j1 +... + jm.
тонно убывает (возрастает) по каждому направлению, если для любых n1,..., nm 1 и для любых j1,..., jm 0 верно неравенство монотонности по Харди вытекает монотонность по каждому направлению.
Ряды с коэффициентами, монотонными по Харди являются достаточно принадлежит этому классу.
Позднее, теорема А обобщалась на кратный случай в работах Морица2 и Вуколовой, Дьяченко3 (для коэффициентов, монотонных в смысле Харди).
Дьяченко4 (для коэффициентов, монотонных по каждому направлению) установил такой результат Proc. Amer. Math. Sci. 1965. 109. № 2. P. 417-435.
Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами, Изв. ВУЗ (серия Математика). 1994. 133. № 7. С. 20-28.
Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Lp, Мат. Сборник. 1993. 184. № 3. С. 3-20.
последовательность an монотонно убывает по каждому направлению
«