На правах рукописи

Клыпин Игорь Андреевич

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМА

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

Специальность 25.00.32 — Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва — 2011

Работа выполнена на кафедре геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Маркузе Юрий Исидорович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Яшкин Станислав Николаевич кандидат технических наук, доцент Калинова Елена Владимировна

Ведущая организация: Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

Защита диссертации состоится «_» 2011 года в часов на заседании диссертационного совета Д.212.143.03 при Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу: 105064, г. Москва, Гороховский пер., 4 (Зал заседаний Учёного совета).

C диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии.

Автореферат разослан «_» _ 2011 г.

Учёный секретарь Климков Ю.М.

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение геодезических сетей основано на линейных, угловых и спутниковых измерениях, но чаще всего на их комплексном использовании, когда традиционные геодезические методы сочетаются с новейшими спутниковыми технологиями. Кроме того, в прикладной геодезии очень часто геодезические сети строятся как самостоятельные, а координаты их пунктов определяются в местной системе координат. Особенно актуально это для больших и быстро развивающихся городов, когда требуется координаты всех имеющихся на обширной территории пунктов привести как можно более в короткие сроки к единой системе координат. При этом часто возникает необходимость объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат, что, в свою очередь, требует развития и совершенствования методов математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат.

Цель диссертации — разработка алгоритма математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат, на основе современных компьютерных технологий.

Задачи исследования:

1. Обзор ситуации и анализ существующих подходов к математической обработке геодезических сетей, методов и задач уравнительных вычислений;

2. Разработка алгоритма уравнивания и объединения геодезических сетей, построенных в разных системах координат;

3. Моделирование геодезических сетей, построенных в разных системах координат, и исследование на их основе данного алгоритма.

Научная новизна работы заключается в следующем:

геодезических сетей на основе модифицированного способа условий с дополнительными неизвестными, метода сопряжённых градиентов с применением формул рекуррентного уравнивания;

2. Выполнено исследование по использованию исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую. Исследование показало, что линеаризация не оказывает существенного влияния на точность определения координат.

разработанный алгоритм позволяет выполнять объединение геодезических сетей, построенных в разных системах координат, с контролем грубых ошибок измерений и оценкой точности параметров преобразования.

диссертационной работы докладывались автором в 2008–2010 г.г. на:

аспирантов и молодых учёных МИИГАиК (2-3 апреля 2008 года);

студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвящённой 230-ой годовщине со дня его основания (7-8 апреля 2009 года);

аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвящённой 65-летию победы в Великой Отечественной войне (6-7 апреля 2010 года).

Публикации. Содержание и результаты диссертационной работы освещены в 3 статьях, из них 2 — в издании, рекомендованном ВАК по специальности диссертации.

Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объём источников включает в себя 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы, сформулированы цель работы, раскрыта её научная новизна и практическая ценность.

В главе 1 «Обзор ситуации, методов и задач математической государственной геодезической сети ФАГС и ВГС, которая реализует последняя остаётся фактически недоступной для рядового потребителя.

Показано, что, так как трансформирование координат пунктов спутниковых и наземных сетей с использованием опубликованных на преобразования.

При этом для преобразования координат из одной системы в другую, используется формула, которую можно представить в виде исходной системы связи для идентичного пункта i как где m — разница в линейных масштабах систем координат; матрица П содержит в себе малые углы поворота и переводит координаты спутниковых построений в систему координат наземной геодезической сети:

Для каждой точки i векторы Ti и Si равны но относятся к системам координат наземной (T) и спутниковой (S) геодезических сетей соответственно.

Вектор a1 постоянен для всех точек и составлен из трёх параметров сдвига:

представляющих собой, по сути, координаты начала системы координат, в которой выполнены наземные геодезические построения, в системе спутниковых построений.

Отмечено, что взаимные сдвиги систем координат наземных и спутниковых сетей могут быть достаточно существенными из-за ошибки определения геоцентрических координат начальной точки спутниковой сети, а также выбора референц-эллипсоида и из-за локальных деформаций, присущих наземным сетям.

вычислений:

· уравнивание с учётом ошибок исходных данных при построении геодезических сетей в несколько стадий или уравнивании большой сети постепенным её наращиванием;

· уравнивание с контролем грубых ошибок измерений;

(например, при анализе деформаций инженерных сооружений и движений земной коры, при определении параметров преобразования и систематических ошибок и т.д.);

особенно в случаях ограниченного числа пунктов, когда вместе с вычислением поправок в приближённо известные величины необходимо определять также параметры преобразования;

Рассмотрены современные методы уравнивания: способ условий с дополнительными неизвестными и рекуррентный способ.

Для способа условий с дополнительными неизвестными где y — вектор измерений, x — вектор дополнительных неизвестных, показана возможность контроля грубых ошибок измерений, если вектор приближённых значений дополнительных неизвестных представить в виде функции общего вида вектора измерений.

При таком подходе математическое ожидание вектора невязок будет равно нулю, а обратная весовая матрица будет определяться как где а сам вектор невязок определяется согласно Контроль грубых ошибок по невязкам будет выполняться как проф. Маркузе Ю.И., приведены основные формулы некоррелированное с другими измерение:

Перечислены преимущества данного способа:

· включение и исключение измерений из уже уравненной · определение обратной весовой матрицы неизвестных не требует составления нормальных уравнений;

· контроль грубых ошибок измерений и исходных данных.

Также рассмотрен метод сопряжённых градиентов при решении систем линейных уравнений вида где — положительно определённая матрица.

последовательности формул:

итерации по формуле Теоретически точное значение вектора приближённых значений параметров преобразования получается после числа итераций, равного числу t неизвестных.

вычислительных операций только с отличными от нуля величинами, обеспечение устойчивости вычислительного процесса, а также линеаризованного варианта определитель системы нормальных уравнений равен нулю.

В главе 2 «Разработка алгоритма уравнивания и объединения геодезических сетей» предлагается вариант структуры алгоритма совместной обработки геодезических измерений, вычисления в котором определяются автоматически, исходя из имеющихся данных. Структура алгоритма представлена на рис. 1.

Рис. 1 – Структурная схема программного алгоритма совместного уравнивания геодезических сетей Исходными данными, включаемыми в совместную обработку, будут являться, с одной стороны, геоцентрические координаты, полученные в результате постобработки спутниковых измерений и их точностные характеристики, с другой стороны — плановые координаты xi, yi наземных геодезических построений для этих же пунктов со своими точностными характеристиками, переведённые в прямоугольную пространственную геоцентрическую систему координат по известным формулам перехода, а также нормальные высоты, для перехода от которых к высотам геодезическим, в зависимости от необходимой точности, можно воспользоваться картами аномалий высот, используя соотношение где Hi — геодезическая высота. Или же использовать одну из моделей геоида. Например, EGM2008.

Исходным элементарным блоком данных здесь будут выступать координаты пунктов, поэтому при упрощённой формальной грамматике в соответствии с нотацией Бэкуса–Наура структуру данных любой сети для нашего случая можно упрощённо описать следующей грамматикой:

2) ::=[][][].

определённых случаях могут отсутствовать.

Такого подхода и такой совокупности данных вполне достаточно, чтобы программно определить топологию сети, её вид, а также схему вычислений.

Приведённые к линейному виду условные уравнения связи с дополнительными неизвестными при совместном уравнивании геодезических построений будут иметь вид:

для каждого идентичного пункта i, с матрицей составленной из координат, которые относятся к спутниковой сети.

Векторы поправок VT и VS здесь равны соответственно.

преобразования и может быть представлен следующим образом:

Вектор невязок W будет равен значений параметров преобразования по формуле где матрицы G1, и содержат в себе уже уточнённые значения координат пунктов.

Матрица G1 здесь представляет собой верхний блок матрицы GS, если её представить в виде Далее с целью оптимизации и улучшения обусловленности задачи можно уточнить вектор приближённых значений параметров преобразования, применив итерационный способ нахождения решения по методу сопряжённых градиентов по формулам (17), для чего примем откуда уравнивания, так как попутно уточняются и координаты пунктов, хотя и с нарушением строгости уравнивания.

Тогда для условных уравнений (20) результатам измерений будет соответствовать обратная весовая матрица Далее представим вектор приближённых значений параметров преобразования в виде и сформируем матрицу перехода с целью контроля грубых ошибок измерений, так как в противном случае математическое ожидание вектора невязок оказывается не равно нулю.

блоки, кроме тех, которые соответствуют пунктам, участвующим в вычислении приближённых параметров преобразования:

После её введения получим обратную весовую матрицу :

которая в нашем случае содержит блоки, представляющие собой обратные весовые матрицы наземной геодезической сети, спутниковых построений и параметров преобразования:

Обратная весовая матрица вектора невязок QW будет определяться по формуле где за вычетом условного уравнения, выделенного для определения приближённых значений параметров преобразования.

Далее, используя формулы рекуррентного уравнивания, можно выразить вектор поправок V как где — матрица рекуррентного уравнивания, в которой матрица A для нашего случая будет равна N2 — также матрица рекуррентного уравнивания, которая в нашем случае совпадает с матрицей QW:

Ковариационную матрица вектора невязок можно выразить как откуда допустимую невязку можно оценить по известной формуле Уравненные значения координат и параметров преобразования теперь несложно получить как причём векторы и состоят из уточнённых координат пунктов сетей, полученных методом сопряжённого градиента.

по формуле или Преобразованные координаты для идентичных пунктов должны совпадать. Также контролем решения задачи будет равенство нулю повторно вычисленного вектора невязок W2.

Обратная весовая матрица уравненных величин будет найдена, исходя из следующей формулы:

или же, согласно теории рекуррентного уравнивания, учитывая (13):

уравненных величин будет соблюдение равенства Учитывая диагональные элементы матрицы весов уравненных величин, находятся средние квадратические ошибки отметок каждого преобразования согласно известной формуле рекуррентного уравнивания для i-ой группы измерений:

спутниковых построений.

В случае уравнивания плановых сетей уравнения связи для общих пунктов i в линейном виде следует записать в виде:

где при m — масштабный фактор, — угол поворота, В случае уравнивания высотных сетей уравнения связи для общих пунктов i в линейном виде следует записать в виде:

или если не учитывать масштабный фактор.

Отдельно следует заметить, что в качестве высот H здесь могут выступать либо геодезические, либо нормальные высоты.

По данному алгоритму было выполнено уравнивание моделей нивелирных (рис. 2) и плановых (рис. 3) сетей, построенных в разных системах координат, а также объединение наземной и спутниковой геодезических сетей (рис. 4).

При совместном уравнивании нивелирных сетей значение параметра преобразования оказалось равно:

а его средняя квадратическая ошибка составила 10, преобразования получились следующими: a = +49,735 м, a = +99,932 м, При совместном уравнивании плановых сетей значения параметров составили значения параметров преобразования оказались равны a = +26,684 м, При объединении наземной и спутниковой геодезических сетей Рис. 4 – Схема сети Глава 3 «Программная реализация алгоритма и его анализ»

посвящена анализу результатов уравнивания и их сравнению с результатами, полученными в других программах, алгоритмы которых основаны на способе условий с дополнительными неизвестными, но не используют метод сопряжённых градиентов.

При этом рассмотренный в главе 2 алгоритм был реализован как программный модуль “CGM” (от англ. "conjugate gradient method" — метод сопряжённых градиентов), написанный лично автором на языке C++.

Для геодезических сетей, представленных на рис. 2-4, было произведено сравнение уравненных результатов, полученных в программе “CGM” и в программах, разработанных проф. Маркузе Ю.И., (“COMBINE4”) сетей и объединению наземных и спутниковых сетей (“GPS-3D”).

Как видно из таблиц 1-3, результаты уравнивания в каждом случае практически совпадают.

Таблица 1 – Сравнение результатов уравнивания, полученных в программах “CGM” и “GPS-3D” результатов уравнивания, результатов уравнивания, Также было проведено исследование расхождений между координатами пунктов, вычисленными по формулам (43) и (44).

Показано, что эти расхождения определяются как Для сети, представленной на рис. 3, эти расхождения составили в Z). Для большинства случаев эти расхождения не только не превышают средние квадратические ошибки определения координат пунктов, но и оказываются существенно меньше ошибок округления. Следовательно, можно полагать, что результаты, получаемые по формулам (43) и (44) совпадают.

Также на примере сети, представленной на рис. 4, было произведено сравнение результатов уравнивания в пространстве (без учёта координаты Z) и на плоскости (аналогично уравниванию плановых сетей). Максимальное расхождение в полученных координатах составило 0.002 м (для X) и 0.001 м (для Y), что для большинства случаев оказывается несущественным. Таким образом, когда не требуется знать высоты пунктов, с точки зрения экономии процессорного времени компьютера и сокращения расчётов при объединении наземных и спутниковых геодезических сетей целесообразно отдавать предпочтение уравниванию на плоскости.

Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в диссертационной работе, заключаются в следующем:

математической обработки геодезических сетей, построенных в разных системах координат, ход вычислений в которой может определяться автоматически, исходя из имеющихся данных.

геодезических сетей, построенных в разных системах координат, на основе модифицированного способа условий с дополнительными неизвестными с применением формул рекуррентного уравнивания и метода сопряжённых градиентов, позволяющий выполнять контроль грубых ошибок и уточнять приближённые значения параметров преобразования и координаты общих пунктов сетей на стадии вычислений. Проведённые исследования показали эффективность использования данного алгоритма.

3. Показано, что использование исходной и линеаризованной формулы перехода из одной системы координат в другую приводит к совпадающим результатам и не оказывает существенного влияния на точность определения координат пунктов.

4. Показано, что в случае, когда нет необходимости знать высоты пунктов, при объединении наземных и спутниковых геодезических сетей целесообразно выполнять уравнивание на плоскости.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Клыпин И.А. К вопросу об уравнивании геодезических сетей, построенных в разных системах координат // Известия вузов.

Геодезия и аэрофотосъёмка. – 2010. – №6. – С. 11–13.

2. Клыпин И.А. Объединение наземных геодезических сетей и спутниковых построений // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. – 2011. – №5. – С. 30-31.

3. Клыпин И.А., Коныжева М.В. Объединение нивелирных сетей, созданных в разных системах координат // Сборник статей по итогам научно-технических конференций: приложение к журналу «Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка». – Выпуск 3. – 2010. – С. 67–