МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА.

На правах рукописи

УДК 512.725+519.116

Буряк Александр Юрьевич.

Когомологии квазиоднородных компонент в пространстве

модулей пучков

Специальность

01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2013

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гусейн-Заде Сабир Меджидович

Официальные оппоненты: Казярян Максим Эдуардович доктор физико-математических наук, (ФГБУН “Математический институт имени В.А. Стеклова Российской академии наук”, ведущий научный сотрудник) Эстеров Александр Исаакович кандидат физико-математических наук, (ФГАОУ ВПО “Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, доцент)

Ведущая организация: ФГБУН “Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук”

Защита диссертации состоится 31 мая 2013 г. в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 30 апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена различным задачам геометрии схем Гильберта точек на комплексной плоскости, а также их обобщений – пространств модулей оснащённых пучков на проективной плоскости.

Схема Гильберта n точек на плоскости – это алгебраическое многообразие, параметризующее идеалы коразмерности n в кольце полиномов от двух переменных. Это пространство интенсивно изучается на протяжении последних 25 лет и является очень интересным объектом по многим причинам.

Во-первых, его геометрия весьма нетривиальна и наделена разнообразными глубокими алгебраическими структурами. Во-вторых, это пространство богато связями с комбинаторикой, теорией представлений и математической физикой.

Первым толчком к изучению схем Гильберта точек на плоскости послужила работа Эллингсруда и Стромма1, где были вычислены их числа Бетти. Оказалось, что производящий ряд многочленов Пуанкаре схем Гильберта точек на плоскости очень красиво разлагается в бесконечное произведение. Кольцевая структура в когомологиях схем Гильберта была определена в другой работе Эллингсруда и Стромма2 с помощью образующих и неявного описания соотношений.

Далее Накаджима3 с помощью изящных геометрических конструкций построил действие алгебры Гейзенберга в когомологиях схем Гильберта, тем самым получив глубокую интерпретацию с точки зрения теории представлений результата первой работы Эллингсруда и Стромма. За этим последовала серия работ разных авторов, нацеленная на более явное описание кольцевой структуры в когомологиях схем Гильберта. В статье Лена4 кольцо когомологий было отождествленно с некоторой явно описанной алгеброй дифференциальных операторов в кольце полиномов от бесконечного числа переменных. В работах Лена и Соргера5 и Вассеро6 кольцевая структура была описана в терминах кольца функций на симметрической группе. Наконец, Окуньковым 1G. Ellingsrud, S. A. Stromme. On the homology of the Hilbert scheme of points in the plane. Inventiones Mathematicae 87 (1987), 343-352.

2G. Ellingsrud, A. Stromme, Towards the Chow ring of the Hilbert scheme of P2. J. reine angew. Math. (1993), 33-44.

H. Nakajima. Heisenberg algebra and Hilbert schemes of points on projective surfaces. Annals of Mathematics 145 (1997), 379-388.

M. Lehn. Chern classes of tautological sheaves on Hilbert schemes of points on surfaces. Inventiones Mathematicae 136 (1999), no. 1, 157-207.

M. Lehn and C. Sorger. Symmetric groups and the cup product on the cohomology of Hilbert schemes. Duke Mathematical Journal 110 (2001), no. 2, 345-357.

E. Vasserot. Sur l’anneau de cohomologie du schema de Hilbert de C2. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences - Series I - Mathematics 332 (2001), no. 1, 7-12.

и Пандхарипанде7 было получено описание квантовых когомологий схемы Гильберта.

Геометрия схем Гильберта тесно связана с богатой теорией (q, t)-чисел Каталана. (q, t)-число Каталана – это многочлен от двух переменных с неотрицательными целами коэффициентами, причём его значение при q = t = 1 равно обычному числу Каталана. Эти многочлены были впервые введены в работе Гарсии и Хаймана8, точнее говоря, они были определены как рациональные функции, тот факт, что это многочлены был высказан в качестве гипотезы.

Определение было мотивировано серией гипотез про диагональные гармоники и тесно связано с теорией многочленов Макдональда. В работе Хаймана было доказано, что (q, t)-число Каталана совпадает с характером действия тора (C )2 в глобальных сечениях некоторого расслоения над схемой Гильберта. Этот глубокий результат позволил наконец доказать ряд гипотез про (q, t)-числа Каталана.

Схема Гильберта n точек на плоскости имеет естественное обобщение – пространство модулей оснащённых пучков без кручения на проективной плоскости. Эти пространства нумеруются двумя целыми числами: рангом r и вторым классом Черна n. Схеме Гильберта соответствует случай r = 1. Числа Бетти пространств модулей пучков были вычислены в работе Накаджимы и Йошиоки10. Ряд результатов про схемы Гильберта может быть обобщён для пространств модулей пучков. Пространство модулей пучков является частичной компактификацией пространства модулей инстантонов на сфере размерности четыре. Это является одной из причин того, что эти пространства представляют большой интерес с точки зрения физики. С ними связаны гипотезы Некрасова11, а также гипотеза АГТ12. Эти гипотезы являются объектами активных иссследований в последние годы как среди математиков, так и среди физиков.

Пространство модулей пучков является источником большого семейства очень интересных пространств – так называемых колчанных многообразий. На пространстве модулей пучков имеется естественное действие группы GL2 (C).

A. Okounkov, R. Pandharipande. Quantum cohomology of the Hilbert scheme of points in the plane.

Inventiones Mathematicae 179 (2010), no. 3, 523-557.

8A. Garsia, M. Haiman. A remarkable q, t-Catalan sequence and q-Lagrange inversion. Journal of Algebraic Combinatorics 5 (1996), no. 3, 191–244.

M. Haiman. q, t-Catalan numbers and the Hilbert scheme. Selected papers in honor of Adriano Garsia (Taormina, 1994). Discrete Mathematics 193 (1998), no. 1-3, 201-224.

10H. Nakajima, K. Yoshioka. Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory. Inventiones Mathematicae 162 (2005), no. 2, 313-355.

11H. Nakajima, K. Yoshioka. Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory. Inventiones Mathematicae 162 (2005), no. 2, 313-355.

12O. Schimann, E. Vasserot. Cherednik algebras, W-algebras and the equivariant cohomology of the moduli space of instantons on A2. arXiv:1202.2756.

Возьмём конечную подгруппу в SL2 (C) и рассмотрим множество неподвижных точек её действия на пространстве модулей пучков. Компоненты этого множества являются колчанными многообразиями аффинного типа. Они были впервые рассмотрены Накаджимой13. В когомологиях этих колчанных многообразий реализуются представления аффинных алгебр Ли14, а также соответствующих янгианов15.

Двумерный комплексный тор действует на плоскости перемаштабированием координат, таким образом индуцируется его действие на схеме Гильберта.

Это действие играет ключевую роль в изучении этих пространств. Множество неподвижных точек действия двумерного тора на схеме Гильберта конечно.

Если же выбрать какой-либо одномерный подтор в двумерном торе, то множество неподвижных точек действия этого подтора на схеме Гильберта уже не будет нульмерным. Это множество называется квазиоднородной схемой Гильберта.

Впервые квазиоднородные схемы Гильберта рассматривались в работе Йарробино16, там были описаны неприводимые компоненты в частном случае, когда веса действия одномерного тора на плоскости равны 1. В общем случае неприводимые компоненты были описаны в работе Эвана17. В этом плане квазиоднородная схема Гильберта существенно отличается от обычной схемы Гильберта точек на плоскости. Последняя неприводима, в то время как первая обладает большим числом неприводимых компонент. Числа Бетти неприводимых компонент квазиоднородной схемы Гильберта в случае, когда веса равны 1, были вычислены в статье Йарробино и Йамеого18.

Данная диссертация посвящена изучению квазиоднородных схем Гильберта и их непосредственных обобщений в пространстве модулей пучков на проективной плоскости.

Цель работы.

Целью работы является вычисление когомологий квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков на проективной плоскости и исследование связей с комбинаторикой и теорией представлений.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

13H. Nakajima. Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras. Duke Mathematical Journal 76 (1994), 365-416.

14H. Nakajima. Quiver varieties and Kac-Moody algebras. Duke Mathematical Journal 91 (1998), 515-560.

15M. Varagnolo. Quiver varieties and Yangians. Letters in Mathematical Physics 53 (2000), 273-283.

16A. Iarrobino. Punctual Hilbert schemes. Memoirs of the American Mathematical Society 188 (1977).

17L. Evain. Irreducible components of the equivariant punctual Hilbert schemes. Advances in Mathematics 185 (2004), no. 2, 328-346.

18A. Iarrobino, J. Yameogo. The family G of graded artinian quotients of k[x, y] of given Hilbert function.

Special issue in honor of Steven L. Kleiman. Communications in Algebra 31 (2003), no. 8, 3863-3916.

1. Получена формула для производящего ряда многочленов Пуанкаре квазиоднородных схем Гильберта точек на плоскости.

2. В случае, когда один из весов равен 1, вычислены многочлены Пуанкаре всех неприводимых компонент квазиоднородной схемы Гильберта.

3. Установлено, что производящий ряд чисел квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков совпадает с характером аффинной алгебры Ли.

4. Обнаружена новая геометрическая интерпретация q, t-чисел Каталана.

5. Получена геометрическая интерпретация обобщения тождества МакМагона.

Основные методы исследования.

В работе используются методы алгебраической геометрии, топологии, комбинаторики и теории представлений.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов по алгебраической геометрии, комбинаторике и теории представлений.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях:

• Семинар “Алгебраическая топология и приложения” (рук. чл.-корр.

РАН В.М. Бухштабер, проф. А. В. Чернавский, проф. И. А. Дынников, проф. Т. Е. Панов, доц. Л. А. Алания); Механико-математический факультет МГУ, Москва – 2012 г.

• Семинар “Топология особенностей” (рук. проф. С. М. Гусейн-Заде);

Механико-математический факультет МГУ, Москва – неоднократно в • Семинар “Характеристические классы и теория пересечений” (рук. проф.

М.Э.Казаряна и проф. С.К.Ландо); Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”, Москва – в 2012 г.

• Семинар “Algebra and Geometry”; институт Кортевега-де Фриза университета Амстердама – неоднократно в 2010 и 2011 гг.

• Международная конференция “Conference on Singularities, Geometry and Topology”, El Escorial, Spain, October 11-16, 2010.

• Международная конференция “Alexandro Readings”, Moscow, May 21Международная конференция “Analysis and Singularities”, Moscow, December 17-21, 2012.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух дополнений и списка литературы. Полный объем диссертации – 69 страниц, библиография включает 57 наименований.

Во введении мы приводим мотивацию наших исследований и объясняем основные результаты и структуру работы.

Содержание главы 1. В Главе 1 мы напоминаем основные определения и результаты, касающиеся схемы Гильберта точек на плоскости и пространства модулей пучков.

Схемой Гильберта n точек на плоскости (C2 )[n] называется множество идеалов коразмерности n в кольце полиномов от двух переменных, то есть На (C2 )[n] имеется естественная структура комплексного алгебраического многообразия, относительно которой (C2 )[n] является гладким квазипроективным многообразием размерности 2n.

Пространство модулей M(r, n) определяется следующим образом.

где l = {[0 : z1 : z2 ] P2 } P2 – прямая на бесконечности. На M(r, n) имеется естественная структура комплексного алгебраического многообразия. Относительно этой структуры M(r, n) является гладким квазипроективным многообразием размерности 2rn.

Пространства модулей M(r, n) являются обобщением схемы Гильберта (C2 )[n], так как нетрудно показать, что M(1, n) изоморфно (C2 )[n].

Числа Бетти многообразия M(r, n) описываются следующей формулой. Многочлен Пуанкаре Pq (X) топологического пространства X мы определяем как Pq (X) = i0 dim Hi (X; Q)q 2. Накаджимой и Йошиокой был получен следующий результат.

Содержание главы 2. В Главе 2 мы напоминаем определение циклических колчанных многообразий и докажем ряд утверждений, которые нам понадобятся в последующих главах. Эти утверждения носят вспомогательный характер, поэтому мы не будем подробно на них останавливаться в рамках автореферата.

Содержание главы 3. Глава 3 содержит результаты, касающиеся квазиоднородных схем Гильберта.

Дадим определение квазиоднородной схемы Гильберта. Зададим (C )2 -действие в алгебре полиномов C[x, y] равенством (t1, t2 ) · P (x, y) = P (t1 x, t1 y).

Это действие индуцирует (C )2 -действие на множестве идеалов. Значит, мы получаем (C )2 -действие на схеме Гильберта (C2 )[n]. Зафиксируем теперь два положительных взаимно простых целых числа и и определим одномерный подтор T, (C )2 равенством Квазиоднородная схема Гильберта определяется как множество неподвижT, ных точек (C2 )[n].

Одним из основных результатов диссертации является следующая теорема.

Теорема 3.1. Имеет место разложение в бесконечное произведение.

В качестве следствия из этой теоремы можно вывести нетривиальное чисто комбинаторное тождество. Теорема Бялыницки-Бируля позволяет построить клеточное разбиение квазиоднородной схемы Гильберта. Это даёт комбинаторную формулу для чисел Бетти квазиоднородной схемы Гильберта. Если теперь применить Теорему 3.1, то получится следующий результат.

Через Y мы обозначаем множество всех диаграмм Юнга. Для диаграммы Юнга Y и клетки s Y определим числа lY (s) и aY (s), см. Рис. 1.

Теорема 3.13. Пусть и – произвольная пара положительных взаимно простых целых чисел. Имеет место тождество В отличие от обычной схемы Гильберта (C2 )[n], которая неприводима, квазиT, однородная схема Гильберта (C2 )[n] обладает в общем случае большим числом неприводимых компонент. Ещё одним результатом Главы 3 является формула для многочленов Пуанкаре неприводимых компонент квазиоднородной схемы Гильберта в случае, когда = 1. Пусть k 1. НеприводиT1,k мые компоненты многообразия (C2 )[n] нумеруются последовательностями H = (d0, d1,...) из неотрицательных целых чисел di c суммой, равной n и удовлетворяющих некоторому дополнительному свойству, на котором мы не будем здесь подробно останавливаться. Мы называем эти последовательT1,k ности допустимыми. Обозначим через (C2 )[n] H неприводимую компоненту квазиоднородной схемы Гильберта (C2 )[n], соответствующую последовательности H.

Обозначим через (H) наибольшее i, такое что di = k + 1. Мы полагаем (H) = 1, если H = (0, 0,...). Определим вспомогательную функцию равенством Определим q-биномиальные коэффициенты равенством Теорема 3.4. Пусть H = (d0, d1,...) – допустимая последовательность неотрицательных целых чисел и n = di, тогда Отметим, что случай, когда либо, либо равно 1, является по непонятным причинам особенным. В общем случае конкретные примеры показывают, что многочлены Пуанкаре неприводимых компонент квазиоднородных схем Гильберта не могут быть представлены ни в виде произведения q-биномиальных коэффициентов, ни даже в виде конечного произведения множителей вида (1 q i )ai.

Содержание главы 4. В Главе 4 исследуется количество квазиоднородных компонент в пространстве модулей пучков на проективной плоскости.

Двумерный комплексный тор действует на проективной плоскости: (t1, t2 )·(x :

y : z) = (t1 x, t2 y, z). Это действие индуцирует (C )2 -действие на пространстве модулей M(r, n). Если фиксировать оснащённый пучок на проективной плоскости, то на его оснащении можно подействовать тором (C )r. Таким образом, на пространстве модулей M(r, n) действует (r + 2)-мерный тор (C )2 (C )r.

Пусть и – положительные взаимно простые числа и произвольный вектор, удовлетворяющий условию 0 i < +. Определим одномерный подтор T, (C )2 (C )r равенством Определим вектор = (0, 1,..., +1 ) Z+ равенством i = {j|j = i}, а вектор µ Z0 формулой µi = i mod +.

Обозначим через Ek, Fk, Hk, k = 1, 2,..., +, стандартные образующие алгебры Ли sl+. Пусть V – неприводимое представление алгебры Ли sl+ со старшим весом µ. Обозначим через x V вектор старшего веса. Пусть Vp – векторное подпространство пространства V, порождённое векторами Fi1 Fi2... Fip x.

Определим характер µ (q) равенством Через h0 (X) мы будем обозначать количество связных компонент в многообразии X. Глава 4 посвящена доказательству следующей теоремы.

Теорема 4.1. Имеет место равенство Содержание главы 5. В Главе 5 устанавливается взаимосвязь геометрии неподвижных точек действия тора на пространстве модулей пучков с комбинаторикой плоских разбиений.

Плоским разбиением называется диаграмма Юнга, заполненная положительными целыми числами, невозрастающими вдоль строк и столбцов. Обозначим эту диаграмму Юнга через Y. Число, записанное в клетке (i, j) Y, обозначается через i,j. По определению, мы полагаем i,j = 0, если (i, j) Y.

Положим || = (i,j)Y i,j. Множество всех плоских разбиений мы обозначим через P.

Имеется следующая формула Мак-Магона:

Недавно в работе М. Вулетич было найдено обобщение этой формулы. Для неотрицательных целых чисел n и m положим Пусть – плоское разбиение. Определим разбиения, µ и формулами Функция F (i, j)(q, t) определяется равенством Пример изображён на Рис. 2.

Для плоского разбиения положим В работе М. Вулетич доказано, что Основным результатом Главы 5 является геометрический смысл функций F (q, 0). Мы показываем, что неприводимые компоненты множества неподвижных точек M(r, n)(C ) нумеруются плоскими разбиениями с условием || = n и 0,0 r. Неприводимую компоненту, соответствующую плоскому разбиению, мы обозначаем через M(r, n).

Пусть – плоское разбиение и n = ||. Имеется цепочка вложений:

Обозначим через M(, n) предельное пространство.

Теорема 5.1. Выполняется равенство F (q, 0) = Pq M(, n).

Содержание приложений. Приложение А содержит нужные нам определения, обозначения и результаты, касающиеся разбиений и диаграмм Юнга.

В Приложении Б содержится ряд сведений из алгебраической геометрии, которые мы интенсивно используем во всех главах.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, многочисленные полезные советы и обсуждения.

Автор благодарит проф. Б. Л. Фейгина и проф. С. В. Шадрина за плодотворные обсуждения и поддержку.

Автор очень признателен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за хорошую атмосферу и поддержку.

1. A. Buryak, B. L. Feigin. Generating series of the Poincare polynomials of quasihomogeneous Hilbert schemes. Symmetries, Integrable Systems and Representations, 15-33, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 40 (2013).

Автору диссертации принадлежат Теоремы 1.1 о когомологиях квазиоднородных схем Гильберта, Теорема 1.2 о статистиках на диаграммах Юнга и Теорема 1.3 о комбинаторном тождестве с q-биномиальными коэффициентами.

2. A. Buryak, B. L. Feigin. Homogeneous components in the moduli space of sheaves and Virasoro characters. Journal of Geometry and Physics 62 (2012), no.

7, 1652-1664. Автору диссертации принадлежит доказательство Теоремы 1. в случае чётного r.

3. A. Buryak. The classes of the quasihomogeneous Hilbert schemes of points on the plane. Moscow Mathematical Journal 12 (2012), no. 1, 1-17.