на правах рукописи

Рындина Светлана Валентиновна

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА

РЕЛАКСАЦИОННЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ИНТЕГРАЛАМИ ТИПА КОШИ

Специальность 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2003 Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Борисов Владимир Федорович кандидат физико-математических наук, доцент Сакбаев Всеволод Жанович

Ведущая организация Институт вычислительной математики РАН

Защита состоится 2004 г. в «15 » часов на февраля заседании диссертационного совета К.212.155.05 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, г. Москва, ул.

Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « 21» декабря 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Нелаев А.В.

кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Значительное число физических процессов описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Линейные интегро-дифференциальные уравнения переноса применяются в нейтронной физике, в задачах изучения стационарных, многоэнергетических и изотропных процессов переноса, а также в кинетической теории. Точные решения можно получить для тех граничных задач, которые сводятся к одномерным и односкоростным уравнениям, либо скалярным, либо векторным, с полиномиальными ядрами.

Предметом исследования диссертации является линейное интегродифференциальное кинетическое уравнение, выведенное Вильямсом М.М.Р.

в 1971 году (1) где Вильямс М.М.Р. получил уравнение (1) на основании релаксационного кинетического уравнения с частотой столкновений молекул пропорциональной модулю молекулярной скорости.

Кейз К. предложил метод, позволяющий в явном виде построить решения уравнений переноса нейтронов, родственных к уравнению (1). Метод состоит в разложении решения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства, но до Кейза в нее включали только регулярные собственные функции. Возможность применить идеи Кейза К. к решению физических задач (задачи Милна, задачи Рэлея, задачи распространения звука в ультрарелятивистском газе и др.) привлекла к ним внимание многих ученых:

П. Цвайфеля, Ч. Сиверта, X. Фриш, Ю. Фриш, У. Гринберга и др. В их работах метод Кейза К. был распространен на другие классы интегродифференциальных уравнений.

В силу сложного характера нелинейного пятимерного интеграла столкновений уравнения Больцмана используют его модели, сохраняющие основные свойства последнего, но более удобные для исследования. Наиболее употребительным модельным интегралом столкновений является интеграл столкновений в форме БКВ (Больцман, Крук, Веландер). Черчиньяни К.

в 1962 году использовал метод Кейза для получения аналитического решения БКВ-модели уравнения Больцмана. Эта модель часто называется также БГК-моделью (Бхатнагар, Гросс, Крук). Для вывода уравнения (1) Вильямс М.М.Р. использовал интеграл столкновений типа БКВ.

Круг вопросов рассматриваемых в диссертационном исследовании связан с построением аналитических решений граничных задач, поставленных для уравнения (1). В первой главе рассматривается проблема построения точного решения в функциональных пространствах (пространствах Лебега).

Функциональный подход в теории переноса разрабатывался многими учеными, в частности вопросам существования следов (граничных значений) у функций с сохранением свойств гладкости, существования решений уравнений переноса, а также исследованию свойств гладкости решений посвящены работы Владимирова B.C., Гермогеновой Т.А., Агошкова В.И., Шутяева В.П.. Значительные результаты, касающиеся разрешимости задач, поставленных для уравнения переноса, в пространствах Лебега, получены В.И.

Агошковым. Современное развитие вычислительной техники позволяет при рассмотрении прикладных задач (в частности задач о переносе частиц) использовать алгоритмы нахождения приближенного решения. Построение точного решения - другой метод рассмотрения тех же задач. Этот метод позволяет получить решение в явном виде. Отметим, что в первой главе диссертации основной целью является построение аналитического решения исследуемой задачи в пространствах Лебега. Этот вопрос для простых классов кинетических уравнений впервые был рассмотрен в работах Ларсена Е., Гринберга Б., Цвайфеля П., которые получили их аналитические решения в пространствах Lp (р>1).

Интегро-дифференциальные уравнения, являясь математическими объектами, возникают при рассмотрении физических проблем, поэтому отметим работы Г.Я. Румянцева по теории переноса нейтронов в плоских решетках, М.В. Масленникова по проблеме Милна с анизотропным рассеянием, Ю.И. Ершова, СБ. Шихова и А.В. Крянева по вопросам математической теории реакторов. А также работу Гермогеновой Т.А., в которой рассматривается полнота системы собственных функций характеристического уравнения, и работу Фельдмана И.А., содержащую обоснование конечности дискретного спектра. Значительный вклад в метод Кейза внесли Латышев А.В. и Юшканов А.А., разработавшие методику сведения интегрального уравнения к краевой задаче Римана-Гильберта, что позволило подключить к решению задач мощный аппарат ТФКП.

Задача Рэлея для модельного кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме БКВ впервые была решена в работах Черчиньяни К. В дальнейшем Латышевым А.В. и Юшкановым А.А. получено решение нестационарного кинетического БКВ-уравнения при критических значениях параметров движения стенки, ограничивающей занятое газом полупространство.

Рассмотренные в настоящей диссертации вопросы являются продолжением и обобщением результатов, полученных А.В. Латышевым и А.А.

Юшкановым для стационарных и нестационарных модельных кинетических уравнений.

Цель работы. При моделировании различных физических процессов возникает целый ряд уравнений вида (1), для которых поставлены граничные задачи, с заданными начальным условием и асимптотикой на бесконечности.

Цель работы заключается в исследовании поставленных граничных задач и получении аналитических представлений для их решений.

Научная новизна работы. Все результаты данной работы получены автором впервые. Основные результаты автора, выносимые на защиту:

1. Для модели уравнения (1), записанной в операторной форме, выведено интегральное представление оператора переноса и интегральное представление для резольвенты. Доказано, что формулы (далее называемые Спреобразованиями, см. ниже формулы (6) и (7)), полученные Кейзом К. при решении граничных задач в пространстве гельдеровских функций, справедливы в пространствах суммируемых функций Lp (р>1). Показано, что операторная функция, порождаемая оператором переноса, является аналогом разложения единицы в гильбертовом пространстве. Разработанный метод позволяет получить аналитические представления решений граничных задач в пространствах Лебега (р>1), что для исследуемого класса уравнений известно не было.

2. Найдено аналитическое решение задачи Рэлея для нестационарного уравнения (1). В явном виде построено решение задачи. Исследован спектр, возникающий при приведении нестационарного скалярного уравнения к стационарному, и его влияние на количество решений соответствующего стационарного уравнения.

3. Впервые проведено полное исследование общей граничной задачи для уравнения Вильямса(1).

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (спектральной теории линейных операторов) для получения решений граничных задач в пространствах Лебега и использование полученных результатов при решении конкретных задач математической физики, в частности при исследовании граничных задач кинетической теории газа и плазмы.

Апробация работы и публикации. Результаты проведенных исследований докладывались и публиковались на ежегодных научных конференциях МПУ-МГОУ (Москва, 1998-2003 гг.), на международных научнотехнических конференциях, включая конференции "Математика, компьютер, образование" в г. Дубна в 1998 г., в 2000 г. и в г. Пущино в 2001 г., "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" в г. Тверь в г., на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа Московского государственного областного университета. По материалам диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Объём работы составляет 120 страниц текста, в том числе 13 рисунков. Библиография включает в себя 71 наименование и публикации диссертанта по теме исследования.

Во введении представлен обзор предшествующих результатов, обосновываются цели, актуальность, новизна и практическая значимость исследования, в реферативной форме изложены основные результаты диссертации.

В главе 1 получены аналитические представления решения полупространственных граничных задач для стационарных уравнений вида Через обозначается множество функций f(x, ) непрерывных по х на полуоси х [0,+ ] при всех (-1,1); удовлетворяющих условию Гельдера по