[
На правах рукописи
Спиридонов Константин Николаевич
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРА ОБОБЩЁННЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ
РАЗМЕРНОСТЕЙ РЕНЬИ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ ТЕКСТУР
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Специальность 05.13.18 Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук
Петрозаводск 2008
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Петрозаводский государственный университет
Научный руководитель:
д.т.н., профессор Рогов Александр Александрович
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., профессор Платонов Сергей Сергеевич к.ф.-м.н.
Чуйко Юлия Васильевна
Ведущая организация: Институт информатики и математического моделирования технологических процессов Кольского НЦ РАН
Защита состоится 11 декабря 2008г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 в Петрозаводском государственном университете по адресу 185910, г. Петрозаводск, пр.
Ленина, 33.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петрозаводского государственного университета.
Автореферат разослан 2008г.
Учёный секретарь диссертационного совета В.В. Поляков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В настоящее время активно создаются электронные коллекции документов. Условно их можно разделить на текстовые и графические. Несмотря на возникающие проблемы при обработке текстовой информации, в данной области существуют достаточно эффективные и универсальные методы. В тоже время, в области цифровой обработки изображений существующие методы часто применимы только для решения определённого класса задач для типовых изображений. Существенный вклад в разработку методов цифровой обработки изображений внесли такие известные учёные как: А. Розенфельд, Г. Фриман, У. Претт, В.А. Сойфер и др.
Среди множества актуальных на сегодняшний день задач в данной области выделим следующие:
1) выявление инвариантных признаков изображения относительно различных преобразований (преобразование изменения яркости, поворота и др.);
2) поиск заданного изображения по базе данных;
3) сегментация изображения.
Качество решения двух последних задач напрямую зависит от выбора решения первой.
Как правило, при цифровой обработке изображения чаще всего используют методы, основанные на его стохастической модели, что является не всегда оправданным. Новым направлением в данной области является использование метода мультифрактального анализа изображения и его мультифрактальной модели.
Метод мультифрактального анализа позволяет получить как вероятностную так и геометрическую информацию о точках изображения. В качестве базовой характеристики изображения в данном методе используется так называемый мультифрактальный спектр.
Метод мультифрактального анализа основан на теоретических выводах фрактальной геометрии, родоначальником которой является Бенуа Мандельброт.
Для оценки теоретических значений мультифрактальных характеристик разработаны соответствующие методы. Все они в основном являются вариантами метода равноячеечного разбиения. Так, в лаборатории механических свойств конструкционных материалов Института Металлургии и Материаловедения (ИМЕТ) РАН Встовским Г.В. и другими сотрудниками данной лаборатории был разработан метод мультифрактальной параметризации структур.
Несмотря на то, что мультифрактальный анализ несёт в себе большой объем информации о цифровом изображении, его использование недостаточно активно в данной области. В литературе по цифровой обработке изображений не приведено описания свойств мультифрактальных характеристик относительно различных преобразований, а также недостаточно представлены методы выделения признаков изображения на основе его мультифрактальной модели.
Цель работы: выявление инвариантов графического изображения на основе его мультифрактальной модели.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) разработать программу расчёта мультифрактальных характеристик по изображению;
2) выявить свойства мультифрактальных спектров на природных и искусственных текстурах;
3) получить численные характеристики мультифрактальных спектров при обработке изображений петроглифов Карелии.
Методы исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе использовались методы фрактальной геометрии, прикладной статистики и цифровой обработки изображений.
Основу численных алгоритмов для расчётов спектров составляет метод равноячеечного разбиения.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1) выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости изображения;
2) выявленное устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота изображения;
3) алгоритм человеко–машинной бинарной сегментации изображения;
4) компьютерная реализация метода расчёта мультифрактальных характеристик изображения с реализованными алгоритмами автоматической коррекции контрастности и общей яркости изображения.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) установлены основные свойства мультифрактальных спектров на ряде естественных и искусственных текстур;
2) на основе полученных свойств спектров выработаны рекомендации по выбору признаков изображения;
3) на основе предложенного подхода разработан алгоритм человеко–машинной бинарной сегментации изображения.
Практическая значимость. На основе выявленных свойств спектра фрактальных размерностей Реньи на естественных и искусственных текстурах можно формировать новые, более адекватные реальным структурам, признаки изображения для решения различных задач цифровой обработки изображений, в частности, для решения задачи сегментации, поиска изображений в базе данных и др.
Разработано программное обеспечение для расчётов спектров фрактальных размерностей Реньи Fractal Dimension v1.0 с дополнительной функцией бинарной сегментации изображения. Данный продукт пригоден для решения задачи сегментации изображений петроглифов, но может быть применён и для изображений с другими текстурными свойствами.
Публикации и апробация работы. Материалы диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции Развитие вычислительной техники в России и странах бывшего СССР: история и перспективы (Петрозаводск, 2006); IX международной конференции Интеллектуальные системы и компьютерные науки (Москва, 2006); XXXVIII научной конференции аспирантов и студентов Процессы управления и устойчивость (Санкт - Петербург, 2007); Ежегодном международном научном семинаре Передовые методы информационных и коммуникационных технологий (Петрозаводск, 2007); XIII Всероссийской научной конференции Математические методы распознавания образов (Санкт Петербург, 2007). По теме диссертации опубликовано девять научных работ, из них три входят в список ВАК. Разработанное программное обеспечение было апробировано для задачи обработки цифровых изображений петроглифов Карелии и зарегистрировано в ОФАП №10856 от 10.06.2008г. Работа поддержана грантами РГНФ №05-01-12118в, №08-01-1211в (руководитель Н.В. Лобанова).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трёх приложений, имеет общий объем страницы машинописного текста, включая 21 лист приложений и библиографический список использованной литературы, содержащий 102 наименования.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, формулируется цель диссертации, методы исследования, практическая значимость работы и описание структуры диссертации.
В первой главе приводятся основные задачи и методы цифровой обработки изображений, описание стохастической модели изображения и примеры признаков, сформированных на основе данной модели.
Вторая глава посвящена элементам фрактальной геометрии и методу мультифрактальной параметризации структур. В тексте приводится определение Топологической размерности dimT, размерности Минковского dimM, размерности Хаусдорфа dimH и фрактала (по Мандельброту). Понятие мультифрактала является обобщением понятия фрактала: мультифрактал может включать в себя множество входящих друг в друга фракталов.
После этого приводится описание метода мультифрактальной параметризации структур. Данный метод предназначен для численного расчёта мультифрактальных характеристик изучаемых объектов по двухмерным носителям информации. В частности спектра обобщённых фрактальных размерностей Реньи Dq. В качестве двухмерного носителя информации об изучаемом объекте в данной работе используется его цифровая фотография (изображение). Метод включает в себя четыре основных этапа:
1) предварительную подготовку изображений изучаемых структур;
2) алгоритм генерации мер огрубленных разбиений;
3) алгоритм генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков;
4) алгоритм перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам.
Этап предварительной подготовки изображений изучаемых структур существенно влияет на результат работы последующих, т.к. результат анализа изучаемой структуры напрямую зависит от качества его представления в виде изображения. Часто на данном этапе изображение подвергают предварительной обработке для улучшения его качества. В данной работе изображение предварительно подвергается последовательно следующим двум преобразованиям: y = x + a преобразование изменения яркости изображения и гамма-коррекция изображения. Преобразование измеy = c · x нения яркости изображения необходимо для усреднения его общей яркости, а гамма-коррекция расширяет его цветовой диапазон.
В алгоритме генерации мер огрубленных разбиений решается задача определения и расчёта меры по изображению. Таким образом, представив изображение в виде поверхности, его можно разбить на кубические ячейки со стороной r. Такое разбиение называется огрубленным разбиением с размером ячейки r.
Рассмотрим K огрубленных разбиений изучаемого объекта с размером ячейки rk. В качестве меры ячейки i для k-го огрубленного разбиения в работе рассматривается следующее выражение:
где nik количество точек изображения, попавших в ячейку i для k-го огрубленного разбиения, а N общее количество точек изображения. Идея расчёта спектров фрактальных размерностей Реньи заключается в вычислении функции (q) через оценку величин в преобразовании Лежандра:
Пусть Sk количество ячеек в k-ом огрубленном разбиении, для которых µik > 0. Тогда выражение (q) и f ((q)) для k-го разбиения можно представить следующим образом:
Рассмотрим общую последовательность шагов при расчёте мультифрактальных характеристик:
1) для всех K огрубленных разбиений при фиксированном q рассчитываются величины Ak (q) и Fk (q). Таким образом, в системе координат (Ak (q),ln(rk )) или (Fk (q),ln(rk )) имеется K точек, которые нужно аппроксимировать прямой;
2) методом наименьших квадратов по выражениям (3) и (4) рассчитываются величины (q) и f ((q));
3) используя выражение (2), по рассчитанным (q) и f ((q)) рассчитывается величина (q);
4) рассчитывается значение спектра обобщённых фрактальных размерностей Реньи Dq = (q), D1 = F ((1)) = (1).
И так для всех выбранных q. При этом для q = 0, 1, 2 значения спектров Реньи Dq носят следующий физический смысл: D0 хаусдорфова размерность анализируемого множества, D1 информационная размерность, а D2 корреляционная размерность.
В алгоритме генерации огрубленных разбиений для построения фрактальных регрессионных графиков решается задача генерации огрубленных разбиений.
В алгоритме перебора огрубленных разбиений для вычисления статистических характеристик по корректным мультифрактальным спектрам решается задача перебора сгенерированных разбиений для получения корректных оценок величин Dq. В работе был использован метод перебора огрубленных разбиений FE (from edges).
В процессе перебора огрубленных разбиений для каждого подмножества огрубленных разбиений рассчитывается значение спектра Dq для фиксированного q. По полученным значениям спектра Dq для фиксированного q рассчитывается среднее арифметическое значение m(Dq ). Величина m(Dq ) рассматривается в качестве исходного значения спектра Dq для фиксированного q.
Третья глава посвящена применению спектров Реньи Dq для анализа изображений. Приводятся результаты анализа, проводимые на текстурах Бродаца и петроглифах Карелии. На текстурах Бродаца проверялись свойства спектров Dq относительно преобразования изменения яркости, поворота и масштаба. Для каждого преобразования проводилось 10 экспериментов.
В качестве преобразования изменения яркости в различных графических редакторах (Photoshop, GIMP, Krita и др.) используют преобразование вида: y = x + a. В каждом эксперименте при данном типе преобразования рассматривалось 10 изображений Бродаца.
Ниже приведена общая схема эксперимента:
1) получение различных уровней яркости изображений, подвергая их преобразованию y = x + a, при a = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 90, 100, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 2) расчёт спектра Реньи Dq по всем полученным изображениям для q = 100, 80, 60, 50, 40, 30, 20, 15, 10, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100;
3) анализ изменения значений спектров Dq для различных уровней яркости.
Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 210 изображений.
При анализе величин стандартных отклонений спектров Dq были выявлены свойства спектров Dq, характерные для всех анализируемых изображений:
1) при отрицательных q величина стандартного отклонения значений Dq значительно больше чем при положительных q;
2) при увеличении |q| величина стандартного отклонения значений Dq возрастает.
Поэтому, в качестве признаков изображения можно использовать значения спектров Dq только при q 0.
Положительные значения спектров Dq можно рассматривать в качестве координат текстуры в m-мерном пространстве, где m количество значений в спектре Dq. В качестве меры расстояния между двумя спектрами Dq и Dq в данной работе используется расстояние Чебышёва:
Была проведена классификация всех анализируемых изображений на K классов методом классификации по минимальному расстоянию с указанием типичных членов класса (K количество оригинальных текстур).
Будем считать, что признак изображения будет устойчивым к преобразованию, если процент ошибок классификации изображений с использованием данного преобразования меньше заданного процента. В данной работе значение принято за 20%. На Рис. представлены результаты 5-ти различных классификаций. При анализе результатов классификации можно сделать вывод о том, что в классификациях 4 и 5 (Рис. 1) ошибка классификации незначительна и спектр Реньи инвариантен относительного данного типа преобразования. Стоит отметить, что при рассмотрении несимметричных интервалов (в плоскости положительных значений или в плоскости отрицательных значений величины a в выражении y = x+a) ошибка классификации значительно меньше. Так при классификации изображений с уровнями яркости от 0 до 50 ед. ошибка классификации составляет 6,8%.
Рис. 1. Результат классификации текстур при преобразовании изменения яркости изображения: 1 с уровнями яркости от – до 100 ед., 2 от –70 до 70 ед., 3 от –60 до 60 ед., 4 от – до 50 ед., 5 от –40 до 40 ед Для проверки изменения значений спектра Dq при изменении угла поворота изображения необходимо иметь набор одного и того же изображения с разными углами поворота. Для этого в каждом эксперименте рассматривалось 10 изображений Бродаца. Затем путём поворота каждой текстуры относительно ее центра были получены текстуры со следующими углами поворота: 30, 60, 90, 120, и 200. Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 70 изображений. Последовательность действий при анализе данных текстур аналогична последовательности при анализе текстур с разными уровнями яркости. При классификации текстур с различными углами поворота ошибка классификации составляет порядка 8,6% от общего количества фрагментов.
Для проверки изменения значений спектра Dq при изменении масштаба одного и того же изображения необходимо иметь набор изображений с различными масштабами. В каждом эксперименте из альбома Бродаца рассматривалось 10 изображений. Затем каждая из текстур подвергалась процедуре масштабирования путём увеличения и уменьшения на 9%, 12%, 15%, 18%, 21%, 24%, 27%, 30%, 33%, 36%, 39% и 42%, 45%. Таким образом, в каждом эксперименте рассматривалось 260 изображений. По результатам проведённых классификаций (Рис. 2) можно говорить о том, что существует зависимость спектров фрактальных размерностей Реньи от данного типа преобразования, т.к. при данном типе преобразования наименьшая ошибка классификации составляет порядка 30%.
В качестве основной характеристики изображений петроглифов предлагается использовать спектр фрактальных размерностей РеРис. 2. Результат классификации текстур при масштабировании изображения: 1 используются все изображения с масштабами от 9% до 45% (увеличенные и уменьшенные копии), 2 от 9% до 42%, 3 от 9% до 39%, 4 от 9% до 36%, 5 от 9% до 15%, от 9% до 12% ньи. Рассмотрим свойства признаков изображения, наличие которых желательно при анализе петроглифов Карелии:
1) различие значений Dq для фрагментов между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке;
2) близость значений Dq для фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа;
3) различие значений Dq для фрагментов из областей петроглифа различных петроглифов.
Рассмотрим значения двух спектров Реньи Dq и Dq для фиксированного q и значения их стандартных отклонений q и q соответственно.
Два спектра будут близки друг к другу, если найдётся такое q, для которого верно следующее неравенство: |Dq Dq | < a · (q + q ).
В результате экспериментов было установлено, что значение величины a можно принять за 0, 8.
Рис. 3. Петроглиф Elk на фотоснимке Elk На предмет различия значений Dq между областями петроглифа и скалы на одном фотоснимке было проанализировано 50 цифровых фотоснимков петроглифов.
Анализ проводился следующим образом:
1) из области петроглифа (скалы) вырезалось от 1000 до квадратных фрагментов изображения размером 30 30 пиксел;
2) для каждого из фрагментов рассчитывался спектр фрактальных размерностей Реньи (для q = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100);
3) для каждого q рассчитывалось среднее значение Dq и стандартное отклонение для фрагментов из области петроглифа (области скалы).
Рис. 4. Результат анализа петроглифа Elk на фотоснимке Elk при размере фрагментов 30 30 пиксел из области петроглифа и скалы: а) среднее значение спектров Dq скалы; б) среднее значение спектров Dq петроглифа; в) станд. отклонение значений Dq скалы; г) станд. отклонение значений Dq петроглифа Рис. 5. Петроглиф Board на фотоснимке Board На Рис. 3 приведён петроглиф Elk на фотоснимке Elk2, а на Рис. показан результат его анализа в области петроглифа и скалы с размерами фрагментов 30 30 пиксел. Аналогичный результат почти полного разделения спектров из области петроглифа и скалы наблюдается у 80% анализируемых изображений. У остальных изображений графики, показанные на Рис. 4, могут налагаться друг на друга.
В случае незначительного наложения графиков для разделения двух областей можно использовать частотные характеристики.
одного и того же петроглифа сильно влияет большое различие в масштабе двух фоРис. 6. Петроглиф тоснимков одного и того же петроглифа.
Board на фотоснимке дет выглядеть достаточно сглаженным, хотя на самом деле таковым не является. Также следует отметить, что влияние на близость спектров может оказать влажная поверхность скалы (например, поверхность скалы после дождя). В данном эксперименте использовались фотоснимки петроглифов, сделанных преимущественно в сходных погодных условиях, примерно в одном масштабе. В 90% случаях наблюдалось незначительное отклонение друг от друга средних значений спектров.
При анализе 3-го свойства был выявлен довольно интересный факт. Оказалось, что все анализируемые петроглифы можно разделить на два больших класса беРис. 7. Петроглиф ломорских и заонежских петроглифов (БеBoard на фотоснимке ние затруднено близостью значений спектров различных петроглифов. Результат совместного анализа пяти беломорских и пяти заонежских петроглифов приведён на Рис. 9.
Рис. 8. Результат анализа петроглифа Board на различных фотоснимках при размере фрагментов 30 30 пиксел: а) среднее значение спектров Dq ; б) станд. отклоненение для петроглифа на фотоснимке Board1 ; в) станд. отклонение для петроглифа на фотоснимке Board2 ; в) станд. отклоненение на фотоснимке Board По графикам на Рис. 9 можно заметить, что средние значения Dq, рассчитанные на беломорских петроглифах, отличаются от средних значений Dq, рассчитанных на заонежских.
Рис. 9. Результат анализа пяти беломорских и пяти заонежских петроглифов при размере фрагментов 30 30 пиксел: а), б) среднее значение Dq у заонежских и беломорских петроглифов соответственно; в), г) станд. отклонение у заонежских и беломорских петроглифов соответственно В свойствах 1 3, приведённых выше, величина стандартного отклонения значений Dq зависит от размеров квадратных фрагментов, по которым проводится анализ. Для установления зависимости между величиной стандартного отклонения значений Dq и размером квадратных фрагментов было проанализировано 50 фотоснимков петроглифов с размерами квадратных фрагментов 1212, и 40 40 пиксел. Процедура анализа изображений описана ранее.
Рис. 10. Петроглиф Petr на фотоснимке P etr На Рис. 10 приведено одно из изображений (петроглиф Petr). По результатам его анализа (Рис. 11) можно выделить несколько особенностей, характерных и для остальных изображений:
1) для положительных q среднее значение Dq слабо зависит от размеров квадратных фрагментов, по которым проводится анализ;
2) при увеличении размера квадратных фрагментов стандартное отклонение величин Dq для q 0 убывает.
Рис. 11. Результат анализа петроглифа Petr на фотоснимке P etr c различными размерами квадратных фрагментов: a) среднее значение; б) станд. отклонение при размере фрагментов пиксел; в) станд. отклонение при размере фрагментов 3030 пиксел; г) станд. отклонение при размере фрагментов 40 40 пиксел На основе свойств спектров Dq, определённых на изображениях петроглифов, был разработан человеко-машинный алгоритм бинарной сегментации изображений петроглифов. Функционирование данного алгоритма включает следующую последовательность шагов:
1) загрузка изображения;
2) предварительная обработка изображения;
3) предложение пользователю выбрать область петроглифа Spetr и область скалы Srock ;
4) автоматическое разбиение областей Spetr и Srock на квадратные фрагменты размером n n пиксел;
5) расчёт спектров Реньи Dq для каждого квадратного фрагмента и q = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100;
6) расчёт среднего значения, стандартного отклонения и частотных характеристик Dq для области петроглифа Spetr и скалы Srock (пусть Lpetr [q] и Lrock [q] значение среднего по Dq для каждого q для выделенных областей петроглифа и скалы, а St.Devpetr [q] и St.Devrock [q] стандартные отклонения, F reqpetr [q][m] и F reqrock [q][m] частота попадания спектров Dq в m интервалов для области петроглифа и скалы для каждого q);
7) классификация пиксел изображения.
В результате серий экспериментов был установлен минимальный ( 12) и оптимальный (30 30) размеры квадратных фрагментов (пункт 4 в последовательности шагов).
Пусть m1 [q] = min{Dj (q)} и m2 [q] = max{Dj (q)}, где для каждого фиксированного q Dj (q) значения спектров Реньи, полученных при анализе выбранных областей петроглифа и скалы. Тогда частотные характеристики F reqpetr [q][m] и F reqrock [q][m] можно рассчитать следующим образом:
1) отрезок [m1 [q], m2 [q]] разбивается на m частей для каждого q;
2) для каждого q рассчитывается частота попадания в m интервалов отрезка [m1 [q], m2 [q]] значений спектров Dj (q), рассчитанных по выделенной пользователем области петроглифа(скалы). Т.е. заполняются значениями следующие массивы F reqpetr [q][m] и F reqrock [q][m].
В данном алгоритме классификация проводится по группам пиксел размером 2 2. Группа пиксел psi вписывается в квадратный фрагмент размером nn пиксел (см. Рис. 12). Для такого фрагмента рассчитывается спектр Dq. В результате при классификации возможны два варианта:
1) все точки спектра Dq лежат в области стандартного отклонения одной из кривых Lpetr [q] или Lrock [q];
2) разные точки спектра Dq лежат в области стандартного отклонения разных кривых Lpetr [q], Lrock [q] или обоих сразу.
Рис. 12. Квадратный фрагмент размером k k пиксел, вписанный в квадратный фрагмент размером n n пиксел Во втором случае для классификации фрагмента используются частотные характеристики F reqpetr [q][m] и F reqrock [q][m]:
1) для каждого q по частотам F reqpetr [q][m] и F reqrock [q][m] определяется к какой из кривых Lpetr [q] или Lrock [q] ближе значение Dq ;
2) спектр Dq будет ближе к той кривой (Lpetr [q] или Lrock [q]), у которой этих точек будет больше.
В результате выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:
1) на основе модификации метода мультифрактальной параметризации структур, разработанного в лаборатории механических свойств конструкционных материалов ИМЕТ РАН, разработано программное обеспечение для расчёта мультифрактальных характеристик по изображению с функциями автоматической коррекции цвета и контрастности. Работа данной программы была апробирована на модельных фрактальных множествах. Результаты работы программы были сравнены с результатами, представленными в литературе. Данное сравнение показало адекватность значений получаемых характеристик;
2) в результате анализа текстур Бродатца было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования изменения яркости y = x + a. Значения спектров не зависят от данного типа преобразования при значениях уровня яркости от 50 ед. до 50 ед. (ошибка классификации составляет порядка 17%);
3) в результате анализа текстур Бродатца было выявлено устойчивое поведение мультифрактальных спектров относительно преобразования поворота. Эксперименты показали, что поведение мультифрактальных спектров можно считать инвариантными относительно данного вида преобразования. При классификации всего множества текстур с различными углами поворота на S классов, где S количество оригинальных текстур, наблюдалось порядка 8, 6% ошибок классификации;
4) в результате анализа фотографий петроглифов Карелии у 80% фотографий было выявлено различие значений спектров Dq фрагментов, между областями петроглифа и скалы. При анализе на близость значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках одного и того же петроглифа было выявлено, что данное свойство наблюдается в 90% случаях. При анализе на различие значений спектров Dq фрагментов из области петроглифа на различных фотоснимках различных петроглифов было выявлено, что множество всех петроглифов можно разбить на два больших класса беломорских и заонежских петроглифов;
5) на основе выявленных свойств спектров Dq был разработан алгоритм человеко–машинной бинарной сегментации изображения. Его апробация была проведена на множестве изображений петроглифов.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1) Спиридонов К. Н. Об одном инварианте графического изображения // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж: Научная книга, 2007. №4.1(30).2) Рогов А. А., Спиридонов К. Н. Применение спектра фрактальных размерностей Реньи как инварианта графического изображения // Вестник Санкт–Петербургского университета. 2008. Сер. 10. Вып. 2. С. 30–43.
3) Рогов А. А., Рогова К. А., Спиридонов К. Н., Быстров М. Ю.
Информационно-поисковая система петроглифов Карелии // Вестник компьютерных и информационных технологий.
4) Спиридонов К. Н. Применение мультифрактального анализа при изучении петроглифов Карелии // Материалы IX международной конференции Интеллектуальные системы и компьютерные науки. М: ЦПИ при механико–математическом факультете МГУ, 2006. Т. 2, Ч. 2. С. 278–280.
5) Спиридонов К. Н. Спектр фрактальных размерностей Реньи как инвариант графического изображения // Процессы управления и устойчивость: Материалы 38-й научной конференции аспирантов и студентов / Под. ред. Н.В. Смирнова. СПб.: СПбГУ, 2007.
С. 23–28.
6) Спиридонов К. Н. Об инварианте графического изображения // Информационные технологии моделирования и управления, 2007.
7) Спиридонов К. Н. К вопросу об инварианте графического изображения // Математические методы распознавания образов: 13-я Всероссийская научная конференция: Сборник докладов. М: МАКС Пресс, 2007. С. 393–396.
8) Rogova K. A., Spiridonov K. N., Bystrov M. U. Application of modern information technologies to the study of Karelian petroglyphs // Abstracts of Conference Advances in Method of Information and Communication Technology. Petrozavodsk: PetrSU, 2008. P. 233–234.
9) Рогов А. А., Рогова К. А., Спиридонов К. Н., Быстров М. Ю. Система поиска в электронной коллекции изображений петроглифов Карелии // Труды 10-й Всероссийской научной конференции Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции. Дубна, 2008. С. 246–251.
Подписано в печать 28.10.08. Формат 60 84/ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«