Главная >> Проекты

Pages: |

| 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 7 |

«EXTREME ACTIONS ON STRUCTURES Saint Petersburg Publishing House of the Politechnical University 2009 А. Н. БИРБРАЕР А. Ю. РОЛЕДЕР ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СООРУЖЕНИЯ Санкт-Петербург Издательство Политехнического ...»

-- [ Страница 1 ] --

A. N. BIRBRAER

А. J. ROLEDER

EXTREME

ACTIONS

ON STRUCTURES

Saint Petersburg

Publishing House of the Politechnical University

2009

А. Н. БИРБРАЕР

А. Ю. РОЛЕДЕР

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

НА СООРУЖЕНИЯ

Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2009 УДК 624.04 ББК 38.112 Б 64 Рецензент – Заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор СПб ГПУ А. В. Тананаев Бирбраер А. Н. Экстремальные воздействия на сооружения / А. Н. Бирбраер, А. Ю. Роледер. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2009.

594 с.

Книга посвящена вопросам проектирования сооружений на экстремальные воздействия. Описаны способы динамических расчетов конструкций на кратковременные нагрузки в упругой и неупругой стадиях деформирования. Приведены методы определения нагрузок при экстремальных воздействиях, таких как удары летящих тел различной природы, взрывы, торнадо и ураганы, падение грузов, обрушение сооружений. Излагаются принципы учета экстремальных воздействий при проектировании атомных электростанций, включая вероятностные методы оценки их опасности и риска. Приведены многочисленные примеры расчетов.

Книга предназначена для инженерно-технических и научных работников. Она также может быть использована студентами и аспирантами строительных специальностей.

Табл. 72. Ил. 269. Библиогр. : 143 назв.

Birbraer A. N. Extreme Actions on Structures / A. N. Birbraer, A. J. Roleder. – St. Petrsburg. : Publishing House of the Politechnical University, 2009. – 594 p.

The book deals with problems of designing structures intended to withstand extreme actions. Techniques for dynamic analysis of structures subjected to short-term loads in elastic and inelastic deformation stages is described. The book presents methods for determining loads caused by extreme actions, i.e.

impacts from missiles of various nature, explosions, tournedos and hurricanes, load drop, structure collapse. Principles of considering extreme actions in design of nuclear power plants, including probabilistic assessment of their hazard and risk, are defined. The book contains numerous examples of calculations.

Table of contents, which provide a deeper inside in the book contents, is given at the end of the book.

The book is for use by design engineers and scientists. It may also be used by civil engineering students and postgraduates.

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ

НА УДАРНЫЕ И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

Г л а в а 1. Предельные состояния и прочность конструкций при динамических нагрузках...........................

1.1. Прочность материалов при динамическом нагружении....... 1.1.1. Нормативные обозначения прочности................ 1.1.2. Диаграммы деформирования материалов.............. 1.2. Предельные состояния конструкций....................

1.2.1. Характеристика предельных состояний............... 1.2.2. Нормирование предельных состояний железобетонных и стальных конструкций........................... 1.2.3. О критериях отказа железобетонных конструкций при неупругих перемещениях........................... Г л а в а 2. Линейные дискретные системы.................... 2.1. Система с одной степенью свободы («линейный осциллятор») 2.1.1. Свободные колебания............................. 2.1.2. Вынужденные колебания.......................... 2.2. Свободные колебания дискретной системы............... 2.2.1. Выбор дискретной расчетной модели................. 2.2.2. Дифференциальные уравнения движения............. 2.2.3. Собственные частоты и моды системы............... 2.2.4. Свойства мод................................... 2.2.5. Решение уравнений свободных колебаний методом модальной суперпозиции............................ 2.3. Вынужденные колебания дискретной системы при силовом возмущении.......................................... 2.3.1. Дифференциальные уравнения движения............ 2.3.2. Решение системы дифференциальных уравнений методом 3.1.2. Вынужденные поперечные колебания стержня при силовом возмущении................................. 3.1.3. Вынужденные колебания стержня при кинематическом 3.2.4. Вынужденные колебания пластинок при кинематическом 3.3. Приближенное определение динамических характеристик конструкций....................................... 4.1. Схематизация конструкции как системы с одной степенью 4.1.3. Задание приближенной функции прогиба в виде перемещений при статических нагрузках.................. 4.1.4. Замечания по поводу схематизации конструкций в виде 4.1.5. Параметры эквивалентных линейных осцилляторов для 4.2.4. Квазистатический расчет конструкции как системы с n 5.4.1. О расчетах железобетонных плит с применением пластических шарниров.............................. 5.4.2. Шарнирно опертая железобетонная плита при равномерно 5.4.4. Свободно опертая по контуру железобетонная плита при 5.5. Расчеты при схематизации конструкции в виде упругопластического осциллятора.............................. 5.5.5. Железобетонная шарнирно опертая плита при равномерно 5.5.6. Железобетонная защемленная по контуру плита при равномерно распределенной нагрузке.................... 5.5.7. Железобетонная шарнирно опертая по контуру плита при 5.5.8. Железобетонная защемленная по контуру плита при сосредоточенной нагрузке............................ Г л а в а 6. Энергетический метод расчета строительных конструкций на кратковременные нагрузки................

6.3. Примеры расчета с использованием схематизации в виде осциллятора..................................... .

НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИЯ

ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

7.2. Удары линейно- и нелинейно-упругих тел в недеформируемую 7.3.3. Последовательное пробивание жестким снарядом нескольких барьеров................................ 7.3.4. Нагрузка на железобетонную преграду при внедрении Г л а в а 8. Нагрузки на строительные конструкции при ударах 8.2.4. Удар в сферическую или цилиндрическую преграду под 9.2.4. Нагрузки на строительные конструкции при детонационных взрывах в закрытых и частично открытых помещениях....................................... 11.1.3. Падение разрушающегося груза на недеформируемую 11.2.7. Пример. Падение транспортного контейнера в колодец

ПРОЕКТИРОВАНИЕ АЭС НА ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

14.3. Классификация элементов АЭС по отношению к экстремальным воздействиям..................................

14.4. Особенности проектирования АЭС на экстремальные воздействия....................................... .....

14.11. Методы расчетов конструкций АЭС на экстремальные воздействия...................................... ... Г л а в а 15. Включение экстремальных воздействий в проектные 15.1.6. Вероятность удара самолета в конкретную конструкцию Г л а в а 16. Прочность строительных конструкций при ударе 16.3. Динамический расчет железобетонной защитной оболочки Г л а в а 17. Колебания зданий и нагрузки на вторичные системы 17.2.2. Моделирование зданий для расчета поэтажных спектров Г л а в а 18. Вероятностный анализ прочности и колебаний зданий 18.1.3. Учет случайности места, угла удара, скорости и массы 18.2.4. Допускаемая вероятность непревышения спектральных 18.2.5. Примеры вероятностного расчета поэтажных спектров

ПРЕДИСЛОВИЕ

При проектировании любых промышленных или гражданских сооружений учитывают особые нагрузки и воздействия, как природные, так и техногенные, т.е. создаваемые в результате деятельности человека. Их состав и интенсивность зависят от ответственности объекта, характеризуемой тяжестью социальных, экономических и экологических последствий, которые повлечет за собой его разрушение. Для таких опасных промышленных объектов, как крупные химические заводы, предприятия нефтехимии, хранилища и системы транспортировки газа и нефтепродуктов, высокие плотины и тому подобное, предусматривают защиту даже от весьма редко повторяющихся и тяжелых нагрузок и воздействий.

Особое место среди опасных промышленных объектов занимают предприятия, связанные с использованием радиоактивных веществ, в частности, атомные электростанции (АЭС). Непременным требованием к ним является гарантия сохранения ядерной и радиационной безопасности. Это означает, что при любых нормальных и аварийных режимах работы, любых внутренних и внешних воздействиях должен быть предотвращен выход радиоактивных продуктов за установленные пределы.

Одним из важнейших вопросов, решаемых при обеспечении безопасности АЭС, является учет экстремальных природных и техногенных воздействий. К первым относятся землетрясения, ураганы, торнадо (смерчи), цунами, экстремальные климатические температуры, снег, обледенение, лесные пожары и пр. Техногенные воздействия делят на внутренние и внешние. Внутренние возникают при нарушении нормальных условий эксплуатации и аварийных режимах работы АЭС: повышение температуры и давления в помещениях, удары разлетающихся обломков оборудования, падение транспортируемых грузов. Примерами внешних техногенных воздействий являются падение на станцию летательного аппарата, взрывы, распространение токсичных и коррозионно-опасных веществ и газов с близлежащих предприятий или транспортных путей, затопление территории вследствие прорыва водохранилищ и пр.

Важнейшим экстремальным воздействием, обязательно учитываемым в проекте любой АЭС, является землетрясение. Однако в данной книге оно не рассматривается, так как вопросы обеспечения сейсмостойкости АЭС достаточно подробно описаны в литературе (библиографию можно найти, например, в [12]). Из остальных указанных выше воздействий в книге рассмотрены падение на АЭС летательного аппарата, внешние взрывы, удары разлетающихся при авариях тел, ветровые нагрузки, ураганы и торнадо. Такой выбор воздействий обусловлен тем, что они приводят к очень большим нагрузкам на строительные конструкции и оборудование АЭС.

Особенностью этих воздействий является очень малая вероятность реализации. Поэтому выполнять проектирование «по наихудшему варианту», как при обычных нагрузках и воздействиях, – это излишне осПредисловие торожный подход. Редкость экстремальных воздействий оправдывает использование специальных методов проектирования: применение вероятностных методов анализа, задание прочностных характеристик материалов с меньшей вероятностью непревышения (т.е. их более высоких значений), уменьшение запасов прочности конструкций и т.п. Исходя из концепции риска, вычисляемого на основе вероятностного анализа, устанавливают также требования к надежности наиболее ответственного оборудования.

Защита АЭС от экстремальных воздействий включает разные аспекты. Сюда входят анализ самой необходимости учета воздействия в проекте; расчет прочности и колебаний строительных конструкций;

методы проектирования, конструкционные и объемно-планировочные способы защиты; требования к технологическому оборудованию, гарантирующие сохранение его работоспособности; организация работ, качество строительства; организационные мероприятия и гражданская оборона. Однако в книге рассмотрена только часть из этих проблем:

анализ необходимости учета экстремальных воздействий, определение создаваемых ими нагрузок, методы расчета строительных конструкций и оборудования и, в меньшей степени, объемно-планировочные решения и способы защиты АЭС. При этом рассматривается только механическое действие на сооружения, а опасность, создаваемая, например, тепловым воздействием, выделением токсичных газов, образованием пыли и т.д., не рассматривается.

Книга разделена на три части, каждая из которых посвящена в основном какому-то одному кругу вопросов. Однако, поскольку указанные выше проблемы тесно переплетены друг с другом, полностью разделить их не удается. Поэтому в каждой из частей затрагиваются вопросы, рассматриваемые в других частях.

В I части книги излагаются методы динамических расчетов конструкций, причем особое внимание уделено импульсивным и ударным нагрузкам, характерным для рассматриваемых воздействий. Отметим, что по этой тематике существует множество печатных трудов. Тем не менее авторы сочли полезным включить в книгу сводку необходимых сведений и формул, на которые даются ссылки. Значительное внимание уделено также упрощенным и эмпирическим способам расчета. Это оправдано тем, что хотя сегодня прочностные расчеты конструкций обычно выполняют с применением компьютера, но при проектировании на очень интенсивные экстремальные воздействия часто необходимо учитывать нелинейную работу конструкций, а позволяющие сделать это вычислительные программы очень дороги и малодоступны.

Во II части изложены методы определения нагрузок, создаваемых экстремальными воздействиями. Рассмотрены нагрузки при ударах летящих тел различной природы, взрывах, авариях, ветре, ураганах и торнадо.

Заключительная III часть посвящена проектированию АЭС на экстремальные воздействия. Прежде всего, изложены общие принципы их учета. Далее рассматриваются проблемы, связанные с двумя наиболее интенсивными воздействиями: падением на АЭС самолета и взрывами.

Описаны методы задания их расчетных параметров; проверка прочности строительных конструкций; расчет колебаний зданий АЭС с целью определения нагрузок на находящееся в них оборудование. В последней главе книги изложена методика вероятностного расчета сооружения и оборудования на удар самолета.

Книга была задумана как практическое пособие для проектировщиков. Поэтому в нее включено большое количество справочного материала, а также примеров, по аналогии с которыми можно самостоятельно выполнить подобные расчеты. Но в то же время книга не является чисто справочным изданием: в ней приведены доказательства многих положений, чтобы читатель мог понять исходные предпосылки и пределы применимости описанных методов расчета.

По роду своей деятельности авторы связаны с проектированием АЭС. Поэтому в книге в первую очередь затронуты вопросы, актуальные для ядерно- и радиационноопасных объектов, описаны методики и нормативные документы, используемые в этой отрасли (хотя привлекались документы и других отраслей). В то же время книга может представлять интерес и для специалистов из других отраслей промышленности и строительства, сталкивающихся с необходимостью учета экстремальных воздействий. Она также может быть полезна студентам и аспирантам строительных специальностей при изучении курса динамики сооружений. Предполагается, что читатель имеет подготовку в области математики и механики в объеме, обычном для строительных специальностей высших учебных заведений. Отдельные вопросы, выходящие за эти пределы, разъясняются в тексте.

В книге освещена отечественная и зарубежная практика проектирования АЭС и, прежде всего, большой опыт, накопленный в СанктПетербургском институте «Атомэнергопроект» (СПб АЭП). В то же время количество публикаций по затронутым вопросам настолько велико, что отразить их все в ограниченном объеме невозможно. Поэтому список литературы является далеко не полным.

Большинство описанных в книге расчетов выполнено сотрудниками научно-исследовательского и расчетно-теоретического сектора СПб АЭП. В написании разделов 8.1, 8.2, 11.1 и 16.4 принимал участие И. А. Волкодав, а 2.3, 3.1 и 4.3 – Ю. В. Волкодав.

Авторы искренне признательны рецензенту, Заслуженному деятелю науки, доктору технических наук, профессору А. В. Тананаеву за полезные замечания, которые были с благодарностью учтены.

Авторы также благодарят руководство СПб АЭП за финансовую поддержку, обеспечившую выход книги в свет.

АЭС атомная электростанция БР безопасное расстояние ВВ взрывчатое вещество ВВЭР водо-водяной энергетический реактор ВДО величина дистанции отбора (то же, что БР) ВПО вероятность для проектных основ ВУВ воздушная ударная волна ГВС газовоздушная смесь ГПВС газо- и паровоздушная смесь ККСК квадратный корень из суммы квадратов КИП контрольно-измерительные приборы КЭ конечный элемент ЛСТ линейно-спектральная теория МАГАТЭ Международное агентство по атомной энергии МКЭ метод конечных элементов МПА максимальная проектная авария ПА поэтажная акселерограмма ПВС паровоздушная смесь ПС поэтажный спектр отклика СНиП Строительные Нормы и Правила ТВЭЛ тепловыделяющий элемент ТНТ тринитротоуол (тротил) УВНР условная вероятность нарушения работы УНП ускорение нулевого периода УОВ уровень отбора событий по вероятности ЭВ экстремальное воздействие ЯППУ ядерная паропроизводящая установка CPV Conditional Probability Value (то же, что УВНР) CQC Complete Quadratic Combination DBPV Design Basis Probability Value (то же, что ВПО) MSK-64 Шкала сейсмической активности МедведеваСпонхойера SDV Screening Distance Value (то же, что БР) SPL Screening Probability Level (то же, что УОВ) SRSS Square Root of the Sum of the Squares (то же, что ККСК) ZPA Zero Period Acceleration (то же, что УНП)

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА УДАРНЫЕ

И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРОЧНОСТЬ

КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ

НАГРУЗКАХ

Прочность строительных материалов (бетона и арматурной стали) зависит от скорости изменения нагрузки на конструкцию. При действии динамических, быстроизменяющихся нагрузок (например, удар самолета, ВУВ) должны использоваться иные характеристики материалов, чем при обычных, статических. Кроме того, при экстремальных воздействиях допускаются другие предельные состояния конструкций, в частности, повышенные неупругие деформации.

Рассмотрению этих вопросов и посвящена настоящая глава.

1.1. Прочность материалов при динамическом нагружении 1.1.1. Нормативные обозначения прочности Прежде чем изложить вопросы прочности строительных материалов, остановимся на их нормативных обозначениях. До 1985 г.

расчет железобетонных конструкций регламентировался нормами [3], которые были заменены нормами [4], а затем [5], в которых использованы новые обозначения материалов. К сожалению, в некоторых документах, продолжающих действовать сегодня, в том числе в нормах [29], регулирующих методы проектирования на воздействие взрывов, по-прежнему используются обозначения из норм [3].

Поэтому ниже приведено сопоставление старых и новых обозначений.

В старых нормах использовались марки бетона по прочности на сжатие, обозначавшиеся M 150, M 200 и т.п. В новых они заменены классами, для которых применяются обозначения В 12.5, В 15 и пр. Соотношение между ними вычисляется по формуле [77] где V – номинальное значение коэффициента вариации прочности бетона; для всех бетонов, кроме ячеистых, V = 0.135, а для ячеистых V = 0.18.

Гл.1. Предельные состояния и прочность конструкций Изменились также обозначения арматурных сталей. В [3] они маркировались как А-I, A-III и т.д, а в новых нормах A-240, A-400 и т.д. Приблизительное соответствие между этими обозначениями показано в табл. 1. В настоящей главе применены обозначения из [3], т.е. старые, поскольку они, как указано выше, используются в нормах [29], представляющих особый интерес при проектировании конструкций на импульсивные и ударные нагрузки. Их необходимо также знать при проверке безопасности действующих АЭС, спроектированных по старым нормам.

Таблица 1.1. Приблизительное соответствие по прочности между старыми и новыми обозначениями марок арматурной стали Имеются отличия в задании прочностных характеристик бетона в Российских и зарубежных нормах. Эти характеристики определяются путем испытания образцов и зависят от формы последних. В нашей стране используются образцы в виде призмы, и в результате получают «призменную прочность» бетона на сжатие, обозначаемую в [3] как Rпр. Во многих зарубежных странах используются цилиндрические образцы, и получают «цилиндрическую прочность»

fc. Их значения связаны соотношением Отметим, что в современных отечественных нормах по проектированию железобетонных конструкций [5, 6] призменная прочность бетона обозначается Rb. Кроме того, в старых нормах прочность арматурной стали обозначалась Rа, а в новых – Rs.

1.1.2. Диаграммы деформирования материалов Виды диаграмм деформирования. Большинство строительных материалов можно разделить на три группы, различающиеся видом диаграммы деформирования, т.е. зависимости между деформацией и напряжением (рис. 1.1).

1. Материалы с физическим пределом текучести (рис. 1.1,а). К ним относятся малоуглеродистые стали, в том числе арматурные A-I – A-III. На их диаграмме деформирования сначала следует участок упругой деформации, где напряжения линейно возрастают при увеличении, пока не достигнут предела текучести материала т. Затем идет «площадка текучести», на которой остается постоянным, несмотря на увеличение деформации. Наконец, при дальнейшем увеличении напряжения снова увеличиваются, пока не достигнут максимума в (временное сопротивление), после чего происходит разрушение. При изменении направления деформации разгрузка происходит по линии, параллельной участку упругой деформации (пунктир со стрелкой). Значение при пересечении линии разгрузки с горизонтальной осью представляет собой остаточную деформацию.

Приведенная диаграмма является упрощенной: в действительности перед достижением т имеется небольшой криволинейный участок. Поэтому считают, что материал деформируется линейно вплоть до напряжения 0.2, соответствующего величине остаточной деформации 0.2 %.

Рис. 1.1. Типы диаграмм деформирования материалов:

а – с физическим пределом текучести; б – с условным пределом 2. Материалы с условным пределом текучести (рис. 1.1,б). К ним относятся бетон при статическом сжатии, а также стали с повышенным содержанием углерода и термически упрочненные. У них с увеличением напряжения плавно нарастают до значения в, площадка текучести отсутствует. Разгрузка – по линии, параллельной касательной в нулевой точке. Для таких материалов устанавливают условный предел текучести, равный 0.2.

3. Хрупкий материал (рис. 1.1,в). К ним относятся чугун, дерево, которые деформируются практически линейно вплоть до момента разрушения.

Диаграммы деформирования, приведенные на рис. 1.1, соответствуют статическому нагружению. Однако при большой скорости нагружения характер деформирования и прочностные характеристики материалов изменяются. Имеется большое количество исследований, посвященных изучению прочностных и динамических характеристик строительных материалов, в том числе их зависимости от скорости деформации. Их подробный обзор можно найти в [66].

В нормах [29] предусмотрен упрощенный способ задания этих хаГл.1. Предельные состояния и прочность конструкций рактеристик для бетона и арматурной стали при быстром нагружении, который описан далее.

Арматурная сталь. В настоящее время при практических расчетах конструкций обычно считают, что общий характер кривой при медленном и быстром нагружении одинаков, но изменяются количественные значения ее параметров.

Коэффициент упрочнения Kу Рис. 1.2. Зависимость коэффициента упрочнения арматурных сталей рис. 1,б, увеличение скороот скорости деформации [29] сти деформирования также приводит к повышению условного предела текучести 0.2 и временного сопротивления, но в меньшей степени, чем у малоуглеродистых сталей.

В нормах [29] для получения расчетного динамического сопротивления арматурной стали Rад следует умножить расчетное сопротивление Rа (заданное с учетом коэффициента надежности по арматуре) на коэффициент динамического упрочнения Kу:

На рис. 1.2 показана экспериментальная зависимость коэффициента Kу от скорости деформации. В течение действия нагрузки эта скорость изменяется, поэтому можно задавать ее приближенно, разделив максимальную деформацию на время ее достижения. СоПредельные состояния конструкций гласно [29], при проектировании конструкций на ВУВ для продольной арматуры используются постоянные значения Kу, приведенные в табл. 1.2. Такие же прочностные характеристики арматуры принимают при расчетах конструкций АЭС на удар самолета [50].

нагружении бетон деформируется неупруго, и диаграмма его деформирования имеет 1. вид, показанный на рис.

1.1,б. Но при быстром нагру- 1. жении он ведет себя, как хрупкий материал, т.е. характер кривой приближает- ся к виду на рис. 1.1,в. При та разрушения бетон дефорРис. 1.3. Зависимость коэффициента мируется практически линейупрочнения бетона от скорости но. Опыты показывают, что предел прочности в повышается, но деформация в, при которой он достигнут, изменяется мало.

В соответствии с [29] расчетная динамическая прочность бетона Rпр равна призменной прочности Rпр (заданной с учетом коэффициента надежности по бетону), умноженной на коэффициент динамического упрочнения бетона Kу.б:

Коэффициент упрочнения, в принципе, зависит от скорости деформации (рис. 1.3). Однако в нормах [29], регламентирующих прежде всего нагрузки от ВУВ, используются постоянные значения Kу.б, соответствующие средней скорости деформации при этом воздействии и зависящие от предельного состояния конструкции (виды предельных состояний описаны в разд.1.2):

1.3 для предельного состояния Iб.

Согласно нормам проектирования АЭС [50], такие же прочностные характеристики бетона должны использоваться при расчете конструкций на удар самолета.

1.2. Предельные состояния конструкций 1.2.1. Характеристика предельных состояний Согласно нормам [6], расчеты бетонных и железобетонных конструкций следует производить по методу предельных состояний.

Рассматриваются два их вида:

Гл.1. Предельные состояния и прочность конструкций предельные состояния I группы (или I предельное состояние), развитие которых может привести к полной невозможности эксплуатации конструкций;

предельные состояния II группы (или II предельное состояние), которые не приводят к полной непригодности конструкции, но затрудняют ее нормальную эксплуатацию или уменьшают долговечность по сравнению с предусмотренной.

Расчеты по I предельному состоянию включают проверку прочности конструкции, устойчивости ее формы (для тонкостенных конструкций) и положения (опрокидывание, скольжение, всплывание). Расчет стальных конструкций в соответствии с нормами [80] следует, как правило, выполнять с учетом неупругих деформаций, т.е. они проектируются по I предельному состоянию. Для статически неопределимых конструкций, методика расчета которых при неупругих деформациях не разработана, расчетные усилия (изгибающие и крутящие моменты, продольные и поперечные силы) следует определять в предположении упругих деформаций стали по нагрузкой. При наличии обоснования допускается производить расчет по деформируемой схеме.

расчете на горизонтальные нагрузки гибких сооружений с тяжелыми массами наверху. Например, у конструкции на рис. 1.4 к изгибающему Рис. 1.4. Деформированная рас- моменту в стойке за счет горизонтальной силы четная схема При проектировании конструкции по II предельному состоянию выполняются проверки по образованию трещин, величине их раскрытия, по деформации конструкции.

Железобетонные конструкции при динамических воздействиях (взрывах, ударе самолета и других летящих тел и т.п.) согласно нормам [29, 50] должны рассчитываться по I предельному состоянию, которое подразделяется на следующие две подгруппы.

Предельное состояние Iа предполагает развитие упругопластических деформаций в конструкции. При этом в наиболее напряженных сечениях напряжения в бетоне сжатой зоны не превышают предельную прочность, а в растянутой зоне сечения арматура претерпевает неупругие (пластические) деформации. Допускается возникновение остаточных перемещений и наличие раскрытых трещин в бетоне растянутой зоны. Для конструкций АЭС при этом должно быть гарантировано отсутствие неконтролируемых протечек радиоактивных жидкостей и газов.

Предельное состояние Iб означает упругую стадию работы конструкции и отсутствие в ней остаточных деформаций. Напряжения в бетоне и арматуре не превосходят величин расчетной динамической прочности.

Отметим, что железобетонная конструкция может находиться в предельном состоянии Iа (т.е. в ней могут появиться неупругие перемещения) только в том случае, если она не переармирована. В противном случае она остается упругой до момента разрушения (предельное состояние Iб). Для того чтобы могло реализоваться состояние Iа, относительная высота сжатой зоны сечения д не должна превосходить граничное значение R. Вычисление этих величин рассмотрено ниже.

1.2.2. Нормирование предельных состояний железобетонных и стальных конструкций Расчет конструкций на действие взрыва производится по нормам [29]. Согласно нормам [50] такие же требования предъявляются при ударе самолета и других летящих тел, а также иных динамических воздействиях на АЭС. Отдельные положения этих норм кратко воспроизведены ниже.

Как было указано, работа железобетонных конструкций по предельному состоянию Iб предполагает, что они остаются в пределах упругости. Нормирование этого предельного состояния производится по прочности. Методы Q расчета в упругой стадии приведе- Qн бетонных конструкций по нормам ния динамических (т.е. повышенРис. 1.5. Упругопластическая ных) прочностных характеристик материалов.

Если конструкция находится в стадии Iа, то критерий отказа установлен по величине ее неупругих перемещений. Связь между перемещениями конструкции Y и нагрузкой Q чаще всего принимают в виде идеальной упругопластической зависимости, показанной на рис. 1.5 («диаграмма Прандтля»). В диапазоне 0 Y Y0 эта связь линейна, а при Y Y0 перемещения увеличиваются при неизменной нагрузке.

Ниже описаны способы задания предельных перемещений по нормам [29]. Они зависят от типа конструкции.

Для шарнирно опертых изгибаемых элементов и внецентренно сжатых элементов с малым эксцентриситетом сжимаюГл.1. Предельные состояния и прочность конструкций щей силы (т.е. если сила приложена в пределах поперечного сечения [4, 6]) максимально допустимые перемещения задаются величиной коэффициента пластичности K. Он представляет собой отношение полного прогиба конструкции Yпр, равного сумме неупругого прогиба Yн и упругого прогиба Y0, при котором напряжение в арматуре растянутой зоны достигло расчетного динамического сопротивления, к упругому прогибу Y0:

Для элементов названных типов, которые рассчитываются по предельному состоянию Iа, это отношение следует принимать равным K = 3 и соблюдать условие Yi Yпр. Очевидно, что для элементов, рассчитываемых по предельному состоянию Iб, следует принимать K = 1 и соблюдать условие Yi Y0.

Величины прогибов конструкций определяются следующим образом:

а) для изгибаемых элементов упругий прогиб, при котором напряжения в растянутой зоне достигают значений R д, б) предельный прогиб, при котором начинается раздробление бетона на верхней грани сжатой зоны балочных элементов, в) для внецентренно сжатых элементов предельный прогиб, при котором начинается разрушение сжатой зоны, резных изгибаемых и внецентренно сжатых элементов с малым эксцентриси- 0.1 пр тетом сжимающей силы, находящихся в предельном состоянии Iа, максимальное величиной углов раскрытия Рис. 1.6. Предельный угол поворота трещин в шарнирах пластич- в шарнире пластичности ности, которые возникают только в пластической стадии работы конструкции. Эти углы не должны превышать предельного значения Эта зависимость показана на рис. 1.6.

Допускаемые неупругие перемещения железобетонных плит также задаются предельной величиной угла поворота в шарнире пластичности, т.е. формулами (1.9)(1.10), где ширину сечения следует принимать равной b = 1 м.

В формулах (1.5)(1.10) использованы следующие обозначения:

Rад, Rа.с расчетные динамические сопротивления арматуры расд Rпр расчетная динамическая призменная прочность бетона, Еа модуль упругости арматуры, Па;

µ, µ коэффициенты армирования сечения растянутой (сжатой) арматуры площадь растянутой (сжатой) арматуры, м2;

b ширина прямоугольного сечения, м;

h0 рабочая высота сечения, м;

l0 расчетная длина элементов, м;

a расстояние от равнодействующей усилий в сжатой арматуре до ближайшей грани сечения, м;

N продольная сжимающая сила, Н;

M р изгибающий момент, при котором напряжение в арматуд M пр максимальный изгибающий момент, воспринимаемый нормальным сечением при условии д = R ; для прямо- д x высота сжатой зоны бетона при эквивалентной статической нагрузке Гл.1. Предельные состояния и прочность конструкций д относительная высота сжатой зоны бетона; для изгибаемых элементов а для внецентренно сжатых с малым эксцентриситетом R граничное значение относительной высоты сжатой зоны бетона, при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением растянутой арматурой расчетного динамического сопротивления:

0д характеристика сжатой зоны бетона, При расчете изгибаемой конструкции в стадии Iа значение 0д, найденное по этой формуле, следует, во избежание хрупкого разрушения, уменьшить на 10 %;

S коэффициент, зависящий от схемы загружения элементов и условий на опорах. Для отдельных схем загружения и условий на опорах коэффициент S приведен в табл. 1.3. В случае загружения элемента одновременно где S1 и M1, S2 и M2, …, Sn и Mn – соответственно коэффициент S и наибольший изгибающий момент M для каждой схемы загружения. В этом случае в формуле прогиба f = Sl02 величина 1 определяется при значении M, равном сумме наибольших изгибающих моментов, определенных для каждой схемы загружения.

Таблица 1.3. Коэффициент S для отдельных схем загружения Подобным образом нормируются допускаемые неупругие перемещения и в других странах. Для примера в табл. 1.4 приведены доГл.1. Предельные состояния и прочность конструкций пускаемые коэффициенты пластичности для железобетонных и стальных конструкций, принятые в США [127, 135].

Таблица 1.4. Допускаемые значения коэффициента I. Армированные железобетонные конструкции 1. Изгиб:

3. Сдвиг (балки и плиты):

4. Изгиб (если обеспечена местная и поперечная устойчивость):

5. Колонны:

7. Элементы при осевом растяжении В табл. 1.4 использованы следующие обозначения (для приведения в соответствие с Российскими нормами [29] они частично изменены по сравнению с оригиналом):

Y0 – упругий прогиб [то же, что в формуле (1.5)];

l – длина балки;

– гибкость колонны, определяемая по нормам [80];

пр – предельная величина продольной деформации;

u – продольная деформация, соответствующая достижению временного сопротивления;

пр – предельное раскрытие трещины в шарнире пластичности, где d – расстояние от наружной поверхности сжатой зоны сечения до растянутой арматуры; c – расстояние от этой поверхПредельные состояния конструкций ности до нейтрального сечения при предельной прочности (при вычислении c должна учитываться внешняя облицовка);

пр – для плиты – среднее значение пр с учетом армирования в обоих направлениях.

При применении коэффициентов пластичности, приведенных в табл. 1.4, необходимо учитывать следующее [135]:

1. Для железобетонных конструкций эти коэффициенты получены на основании экспериментов с образцами, армированными обычными методами. Имеются некоторые специальные методы армирования, значительно повышающие способность конструкций к большим неупругим деформациям, и на них эти значения K не распространяются.

2. Для того чтобы в железобетонной конструкции реально могли развиваться неупругие деформации, указанные в табл. 1.4, должны соблюдаться следующие соотношения:

где Rb – призменная прочность бетона; Rs – прочность арматурной стали; As – площадь растянутой арматуры; As – площадь сжатой арматуры; t – толщина плиты или высота сечения балки; b – ширина балки или единица ширины плиты; d – расстояние от наружной зоны сжатой зоны сечения до растянутой арматуры.

3. Кроме выполнения соотношений (1.21), следует убедиться, что ширина раскрытия трещины в шарнире пластичности не превосходит допустимую величину (1.20). Надо иметь в виду, что эксперименты, на основе которых установлена последняя, производились на балках с высотой сечения от 150 до 500 мм. Если толщина конструктивного элемента существенно выходит за эти пределы, то формула (1.20) может приводить к значительному консерватизму.

4. Для стальных балок коэффициент пластичности K = 20, приведенный в табл. 1.4, является консервативным: в экспериментах его среднее значение составило 26.4. В то же время следует убедиться, что изгиб балки не будет сопровождаться неупругими деформациями и потерей устойчивости фланцев, стенок, а также общей устойчивости в поперечном направлении. Правила конструирования для исключения таких деформаций приведены в нормах [80].

5. При осевом растяжении стальных элементов неупругая деформация может, в принципе, достигать величины, соответствующей временному сопротивлению. Однако в табл. 1.4 введен коэффициент запаса 2.

6. При расчетах на повторяющиеся или длительно действующие Гл.1. Предельные состояния и прочность конструкций импульсивные нагрузки следует с осторожностью использовать значения, приведенные в табл. 1.4, так как небольшое занижение нагрузки при отдельном импульсе может привести к значительному занижению суммарной деформации конструкции. Поэтому рекомендуется расчетный отклик конструкции на каждый импульс в запас повышать на 20 %.

1.2.3. О критериях отказа железобетонных конструкций При динамических нагрузках неупругие перемещения в железобетонных конструкциях образуются за счет пластических деформаций арматуры. Поэтому логично было бы определять отказ конструкции по критерию достижения этими деформациями предельной величины. Это можно сделать при выполнении неупругого расчета по методу конечных элементов, который позволяет найти распределение по конструкции деформаций в бетоне и арматуре.

Но при неупругом расчете конструкции с использованием схематизации с шарнирами пластичности (таким расчетам посвящена гл. 5) применение такого критерия отказа затруднительно. Дело в том, что в этом случае, с одной стороны, предполагается, что линейный размер шарнира равен нулю, а с другой что в нем полностью сосредоточены неупругие деформации арматуры. При таких условиях расчетное относительное удлинение арматуры оказывается бесконечно большим. В действительности же шарнир пластичности – это математическая абстракция, а на самом деле в конструкции образуется область конечной величины, в которой происходят интенсивное растрескивание бетона и неупругие деформации арматуры. Однако размеры этой области существенно зависят от геометрических размеров конструкции и прочностных характеристик материалов, поэтому на практике достоверно определить их можно лишь экспериментально [61].

По этой причине, как указано выше, при использовании шарниров пластичности критерий отказа изгибаемых железобетонных элементов устанавливают не по величине деформаций, а по неупругим перемещениям конструкции: либо по величине коэффициента пластичности K, либо по углу раскрытия трещины в шарнире пр.

При этом имеется отличие в задании предельной величины неупругих перемещений по Российским нормам [29] и по документам США [127, 135] (табл. 1.4). В нормах [29] коэффициент пластичности K используется только для шарнирно опертых балок, а при других краевых условиях предельные неупругие перемещения нормируются углом пр. В отличие от этого, в табл. 1.4 коэффициент пластичности используется во всех случаях [правда, при условии контроля величины пр – см. (1.20)].

Применение коэффициента пластичности K оправдано при расПредельные состояния конструкций четах железобетонных конструкций, подверженных сжатию или сдвигу: в этих случаях величина K обычно задается малой, а вычисление действительных максимальных перемещений не практикуется. Такой подход целесообразен также при расчетах металлических конструкций, так как для них можно с достаточной точностью найти упругий прогиб Y0, через который вычисляется коэффициент пластичности. Но при изгибе железобетонных балок и плит (особенно последних) использование этого критерия осложняется тем, что для них расчетный упругий прогиб Y0 зависит от того, как учитывается снижение жесткости сечения из-за растрескивания бетона.

вованная из [127] зависиI мость между перемещениI ем и силой сопротивления, железобетонной плиты. Ее вычислено через предельный угол поворота в шар- Рис. 1.7. Влияние расчетной жесткости нирах пластичности. Велиперемещением и силой чина силы неупругого со- сопротивления плиты противления Qн = 25.1 МН найдена по теории предельного равновесия (подробнее об этой теории см. гл. 4). Упругое перемещение Y0 вычислялось с использованием трех разных значений момента инерции: I1 = Iспл – для сплошного бетонного сечения (без учета армирования); I2 = Iтр – для сечения с трещинами, как описано в разд. 3.4; I3 = (I1 + I2)/2 – среднее значение.

Расчет показал, что при моменте инерции, равном I1, коэффициент пластичности K = 61.9, при I2 – 34.5, а при I3 – 7.7, т.е. он изменяется в восемь раз. В то же время площадь под кривой, т.е. работа деформации плиты, изменилась всего на 5 %.

В рассмотренном примере зависимость «перемещениесила»

имеет один перелом («диаграмма Прандтля»). Это справедливо для шарнирно опертой балки, в которой образуется единственный шарнир пластичности в пролете. Но, скажем, в балке с заделкой и шарнирной опорой образуется два шарнира: в пролете и в заделке, а с двумя заделками – три: в пролете и на обеих опорах (см. разд. 5.5).

В случае их неодновременного образования зависимость «перемещениесила» будет иметь не один, а соответственно два или три перелома. При расчете таких балок иногда используют эквивалентГл.1. Предельные состояния и прочность конструкций ное упругое перемещение Y0,экв (см. рис. 5.22), но при этом коэффициент K становится еще более условным.

Из изложенного следует вывод, что коэффициент пластичности K очень чувствителен к особенностям выбранной математической модели железобетонной конструкции, в то время как энергия ее деформации – нет, поэтому допускаемую неупругую деформацию предпочтительно нормировать по величине энергии. Критерием отказа, удовлетворяющим этому требованию, служит предельная величина угла поворота в шарнире пластичности пр.

По этой причине в Российских нормах [29] допускаемая величина неупругой деформации всех балок, кроме шарнирно опертых, задается через угол пр. Более того, во внимание принимаются только неупругие перемещения, а упругие исключаются из рассмотрения.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

В настоящей главе описаны методы выполнения расчетов дискретных линейных систем на динамические нагрузки. Помимо изложения общих принципов расчета, специальное внимание уделено действию кратковременных нагрузок, в том числе возникающих при экстремальных воздействиях на АЭС. Такие нагрузки иногда разделяют на ударные и импульсивные.

Первые возникают за счет кинетической энергии летящих тел («снарядов»), взаимодействующих с конструкцией. Они ограничены исходным количеством энергии тела, а их величина и закон изменения зависят от механических параметров тела и преграды (их массы, жесткости, прочности). Примерами могут служить нагрузки при ударах самолета и других «снарядов».

Импульсивными называют кратковременные нагрузки, создаваемые внешними по отношению к конструкции источниками и не зависящие от ее динамических свойств. Примером является нагрузка от воздушной ударной волны.

При проектировании на импульсивные и ударные нагрузки зданий и сооружений АЭС требуется решить две задачи: первая – анализ прочности строительных конструкций, вторая – расчет вынужденных колебаний здания с целью определения динамических нагрузок на расположенное в нем оборудование.

Далее изложение доведено до определения перемещений конструкции. По ним затем обычными методами строительной механики могут быть найдены внутренние усилия и произведена проверка прочности. Имеется обширная литература, посвященная этим вопросам, и здесь они не затрагиваются.

2.1. Система с одной степенью свободы («линейный осциллятор») 2.1.1. Свободные колебания Рассматривается простейшая линейно-упругая система с одной степенью свободы («линейный осциллятор»), показанная на рис. 2.1. Способы приведения сложной конструкции к такой расчетной схеме будут рассмотрены в разд. 4.1.

Свободные колебания осциллятора с затуханием, пропорциональным скорости (вязкое трение, или затухание* по Фойгту Кельвину) описываются дифференциальным уравнением Кроме термина затухание, используют термины трение, демпфирование, диссипация энергии, потери энергии, рассеяние энергии, имеющие тот же смысл.

где m – масса, кг; b – коэффициент затухания, Н/(м/с); k –жесткость, Н/м; &&, x и x – ускорение, скорость и перемещение массы.

Круговую частоту можно выразить иначе. Предположим, что к массе осциллятора горизонтально приложена сила веса mg. Полученное перемещение x связано с нею соотношением Выразив отсюда жесткость k и подставив в (2.3), получим для круговой частоты выражение Если начальные условия (перемещение и скорость осциллятора в нулевой момент времени) равны а < 1, то перемещение осциллятора подчиняется закону где D круговая частота с учетом демпфирования, A – амплитуда колебаний, начальная фаза, 2.1. Система с одной степенью свободы («линейный осциллятор») Круговая частота показывает темп колебаний. Он может также измеряться числом циклов колебаний в секунду f, герц (Гц), или периодом колебаний T, с (продолжительностью цикла). Эти три величины связаны между собой соотношениями Из формулы (2.9) видно, что с увеличением затухания частота колебаний D убывает и при = 1 обращается в ноль. Значение = 1 называется критическим затуханием. Оно представляет собой пороговый уровень, начиная с которого движение осциллятора перестает быть колебательным, а его масса апериодически стремится к положению равновесия. В уравнении (2.2) затухание выражено в долях критического (относительное затухание). В строительных конструкциях и оборудовании затухание обычно составляет малые доли критического, т.е. 0 при i = j.

Подставив его в (2.34), получим второе условие ортогональности:

Отметим, что условия ортогональности выполняются только для мод с разными собственными частотами, а в случае кратных частот они не справедливы.

Иногда моды нормируют исходя из условия ||i||2 = 1 (полученные таким образом моды {i } называются ортонормированными).

Для этого следует каждую моду разделить на ее норму:

В этом случае условия ортогональности упрощаются:

2.2. Свободные колебания дискретной системы 2.2.5. Решение уравнений свободных колебаний методом Теперь перейдем к нахождению закона свободных колебаний дискретной системы (конструкции) при произвольных начальных условиях (2.25). Как было указано, в этом случае колебания точек не будут гармоническими. В принципе, их можно определить путем прямого пошагового интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.24). Краткие сведения о методах таких расчетов приведены в разд. 2.3.2. Найдя законы перемещений точек конструкции, внутренние усилия в ней в каждый момент времени вычисляют по обычным формулам строительной механики.

Но часто применяется другой способ интегрирования уравнений движения – метод модальной суперпозиции, или разложение колебаний по модам, который основан на использовании условий ортогональности (2.36)(2.37). Его суть сводится к тому, что сначала связанную систему дифференциальных уравнений (2.24) раскладывают на совокупность независимых дифференциальных уравнений, каждое из которых описывает движение по одной из мод. После этого вычисляют законы движения по всем интересующим модам, а затем складывают их в каждый момент времени (суперпозиция, или наложение). В результате этого получают движение системы в исходных координатах. Опишем эту процедуру подробнее.

Чтобы разложить движение по модам, ищем решение системы (2.24) в виде где {xj(t)} – вектор перемещений по j-й моде (модальных), равный произведению вектора моды на нормальную или обобщенную координату qj(t) – неизвестную пока функцию времени*, которая подлежит определению. Остальные обозначения в (2.41) прежние. Подставив (2.41) в (2.24) и опустив для краткости обозначение зависимости qj от времени t, получим Воспользуемся условиями ортогональности. Для этого умножим (2.41) слева на транспонированный вектор i-й моды {i}T:

Обращаем внимание читателя, что координата qj(t) – это функция времени, а не пространственное положение точки, как это привычно понимать.

В силу (2.36)(2.37) все члены сумм, кроме i-го, равны нулю, а единственный оставшийся член Сравнивая (2.44) и (2.1), видим, что множитель перед qi играет роль массы, а перед qi жесткости. Поэтому иногда для них используют следующие наименования:

i-я модальная (или обобщенная) масса i-я модальная жесткость Сократив (2.44) на ||i||, получим уравнение из которого определяется i-я нормальная координата. Это дифференциальное уравнение не содержит члена, отражающего потери энергии. Их можно было бы учесть, введя в (2.24) матрицу диссипации, однако модальное разложение такой системы возможно только при специальных видах этой матрицы [12]. Чаще затухание учитывают, добавляя соответствующий член в каждое из уравнений (2.47). В случае вязкого трения они приобретают вид В дальнейшем будем рассматривать это уравнение.

Определение начальных условий для уравнений движения по модам. Уравнение (2.48) аналогично уравнению свободных колебаний линейного осциллятора (2.2). Способ определения начальных условий к нему по условиям (2.25) подобен процедуре модального разложения системы (2.24). Разложим {x0} и {x0 } по модам:

Коэффициенты q0 j и q0 j представляют собой начальные перемещения и скорости для уравнения колебаний по j-й моде. Для их вычисления домножим слева обе части равенств (2.49) на {i}T[M]:

2.2. Свободные колебания дискретной системы В силу условия ортогональности (2.36) единственные не равные нулю члены сумм в правых частях соответствуют i = j:

{i }T [ M ]{x0 } =|| i ||2 q0i ; {i }T [ M ]{x0 } =|| i ||2 q0i. (2.51) Отсюда находим Решение уравнения (2.48) с этими начальными условиями аналогично (2.8):

где Di i-я собственная частота с учетом демпфирования, Ai – амплитуда колебаний по i-й моде, i i-я начальная фаза, Как видно, амплитуда и начальная фаза зависят от начальных условий. Поэтому их, в отличие от мод и собственных частот, рассматривать как характеристики самой системы нельзя.

Вектор перемещений системы. Для получения этого вектора вернемся к (2.41):

Таким образом, сложные, не синусоидальные колебания точек системы представлены как сумма (суперпозиция) синусоидальных колебаний.

Достаточную точность решения можно получить, учитывая в сумме (2.57) не все n, а только s < n мод. Этот вопрос особенно актуален, если порядок системы n очень велик. Количество мод, которое необходимо учесть, можно определить на основе следующих энергетических соображений.

Энергия системы в момент начала колебаний где U0 – начальная потенциальная энергия, T0 – начальная кинетическая энергия, Если система консервативная, т.е. в (2.57) все i = 0, то в любой момент времени ее энергия равна начальной энергии E0. Вычислим кинетическую энергию системы. Для этого сначала найдем вектор скоростей, продифференцировав (2.57):

Кинетическая энергия T (t ) = {x(t )}T [ M ]{x(t )} = {i }T [ M ]{i }Ai2i2 cos2 (i t + i ). (2.62) С учетом (2.36) Число учтенных мод s можно считать достаточным, если максимальное значение кинетической энергии Tmax, рассчитанное с учетом s первых членов суммы в (2.63), отличается от начальной энергии E0 не более чем на заданную величину (например, на 5 %).

Независимость решения от масштаба мод. Как указано ранее, вектор моды задается с точностью до произвольного множителя (масштаба). Остановимся на вопросе о влиянии этого масштаба на результаты расчета. Обозначим i-ую масштабированную моду тильдой:

Квадрат ее нормы равен Подставив (2.64) и (2.65) в (2.52), видим, что начальное перемещение и скорость, вычисленные с использованием масштабированной моды, уменьшаются в ki раз. Из (2.55) следует, что во столько же раз уменьшается амплитуда колебаний:

2.3. Вынужденные колебания при силовом возмущении Начальная фаза i не изменяется.

После подстановки (2.64) и (2.66) в (2.57) получается Масштабный множитель ki сокращается. Сравнив с (2.57), видим, что перемещение не изменилось, т.е. закон колебаний системы не зависит от масштаба мод. Это естественно, так как этот масштаб выбирается произвольно, т.е. зависит от нашей воли, а перемещения точек системы являются реальными физическими величинами, не зависимыми от нашей воли.

Тем не менее иногда моды нормируют согласно (2.38). В этом случае их нормы равны 1, и все формулы соответствующим образом упрощаются.

2.3. Вынужденные колебания дискретной системы при силовом возмущении 2.3.1. Дифференциальные уравнения движения Обратимся к рассмотрению вынужденных колебаний линейной дискретной системы с n степенями свободы под действием зависящей от времени нагрузки R(t). Перемещения системы описываются дифференциальными уравнениями где вектор {J} показывает распределение нагрузки по конструкции:

Такой вид вектора {J} означает, что нагрузка приложена по s степеням свободы системы с номерами k, k+1, …, k+s и распределена между ними с постоянными коэффициентами ak, ak+1, …, ak+s, Это означает, что в любой момент времени нагрузки по всем степеням свободы остаются пропорциональными друг другу.

2.3.2. Решение системы дифференциальных уравнений методом прямого пошагового интегрирования При пошаговом интегрировании перемещения и скорости точек системы определяются в дискретные моменты времени, интервал между которыми называется шагом интегрирования t. Перемещения и скорости точек системы в каждый момент времени находят по их значениям в предыдущий момент.

Существует большое количество методов пошагового интегрирования. Их часто используют при расчетах на ударные и импульсивные воздействия. Это удобно потому, что во многих случаях длительность нагрузки измеряется десятыми и даже сотыми долями секунды (см., например, гл. 8 и 9), и поэтому количество шагов интегрирования оказывается небольшим.

Например, на рис. 9.7,а приведена нагрузка при ударе самолета Phantom RF-4E. Ее длительность составляет 0.07 с, и после окончания ее действия необходимо рассмотреть свободные колебания конструкции еще примерно в течение такого же времени. Таким образом, общая продолжительность рассчитываемых колебаний составит 0.15 0.2 с. Шаг интегрирования должен быть не более 1/10 1/12 периода колебаний по наивысшей моде, дающей существенный вклад в динамический отклик системы. На рис. 9.7,б видно, что выше частоты 80 Гц график коэффициента динамичности для этой нагрузки мало отличается от 1, т.е. отклик необходимо достоверно определить примерно до этой частоты. Значит, период равен 0.0125 с, а шаг интегрирования Если принять t = 0.001 с, то окажется, что при указанной длительности колебаний потребуется сделать всего 150 200 расчетных шагов.

Возможность выполнения пошагового интегрирования предусмотрена во многих современных вычислительных комплексах (например, в MSC/NASTRAN [123125]). При подробной конечноэлементной схематизации конструкции период ее колебаний по наивысшей моде обычно оказывается меньше шага интегрирования t, выбранного так, как описано ранее. Поэтому используются неявные методы интегрирования, обеспечивающие сходимость решения независимо от величины t (методы Вильсона, Ньюмарка и др.). Их подробное рассмотрение не входит в задачи настоящей книги, a описание можно найти в [2, 37] и др.

2.3. Вынужденные колебания при силовом возмущении 2.3.3. Решение методом модальной суперпозиции Процедура решения. Интегрирование системы уравнений движения можно выполнить методом модальной суперпозиции. Для этого, как и в случае свободных колебаний, решение системы отыскивается в виде (2.41). Его подстановка в (2.68) дает Умножим (2.70) слева на произведение { i}T[M]:

В силу условий ортогональности (2.36)(2.37) все члены сумм равны нулю, кроме i-го:

Разделив на квадрат нормы (модальную массу), получим Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний по i-й моде, интегрирование которой дает i-ю обобщенную координату qi(t). Оно не учитывает потери энергии в системе, которые можно включить в рассмотрение, добавив в уравнение соответствующий диссипативный член. При вязком трении В дальнейшем будет рассматриваться это уравнение. Впрочем, как было указано в разд. 2.1.2, при импульсивных и кратковременных нагрузках величины максимальных перемещений слабо зависят от затухания, и в этом случае им иногда в запас пренебрегают.

Коэффициенты участия. Обозначим Число i называется коэффициентом участия i-й моды. Оно показывает, какая часть возмущающей силы расходуется на возбуждение вынужденных колебаний по ней. С использованием этого обозначения уравнение (2.75) приобретает вид Это – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейного осциллятора с круговой частотой i при действии силы R(t), аналогичное (2.15). Методы его интегрирования рассматривались ранее. Оно еще более упрощается, если сделать подстановку Тогда Подставив (2.78) в разложение (2.41), с учетом всех обозначений получим вектор перемещений в виде Произведение { i}i представляет собой нормированный вектор i-й моды. Обозначим Тогда окончательный вид вектора перемещений Независимость решения от масштабирования мод. Как и в случае свободных колебаний, результат расчета не зависит от масштаба мод. Чтобы показать это, вычислим коэффициент участия { j } с модой { j }, масштабированной согласно (2.64):

В формуле (2.81) должна стоять нормированная мода { }, вычис- j ленная по формуле (2.80):

Как видно, при любом масштабе моды вектор {j}, а следовательно, и перемещение {x(t)} не изменяется.

Ограничение числа учитываемых мод и оценка погрешности. Преимущество динамического расчета методом модальной суперпозиции заключается в том, что в действительности в сумму (2.81) можно включить не все n мод системы, а только ограниченное число r < n низших. Погрешность за счет отбрасывания высших мод можно следующим образом оценить с помощью выведенного далее соотношения между векторами {i}.

Домножим (2.73) на [M]{ i}:

2.3. Вынужденные колебания при силовом возмущении Из условий ортогональности (2.36)(2.37) следует, что и, следовательно, С учетом этого запишем (2.84) в виде Просуммируем уравнения (2.87) для всех n мод:

Сравнивая (2.70) и (2.88), видим, что их левые части аналогичны, а следовательно, равны и правые:

Поскольку множитель R(t) 0, сократим его, и тогда Отсюда получаем следующее равенство для суммы векторов {i}:

С помощью этого «контрольного соотношения» можно оценить погрешность, вносимую отбрасыванием высших мод. Для этого оно должно использоваться в сочетании с коэффициентом динамичности kд() для нагрузки R(t), который представляет собой максимальное перемещение линейного осциллятора с собственной частотой при действии этой нагрузки. При некоторой частоте r+ значения kд() становятся постоянными, или его изменения достаточно малы, чтобы ими можно было пренебречь. В теории сейсмостойкости коэффициент динамичности именуется «спектром отклика» S(). Подробнее он рассматривается в гл. 4.

Оценка указанной погрешности основана на следующих соображениях. Допустим, что в сумме (2.81) учтено только r < n низших мод с частотами до r включительно. Тогда для суммы остальных векторов { i} получаем равенство Назовем сумму в левой части «остаточным вектором»

Низшая из неучтенных частот равна r+1. Предположим, что при более высоких частотах коэффициент динамичности можно считать постоянным:

Поскольку коэффициент динамичности представляет собой максимальное перемещение при данной частоте, то выполняется следующее неравенство:

Полученное двойное неравенство задает «вилку», в пределах которой лежит истинное перемещение: левая часть – это его оценка снизу, а правая – сверху. Величина показывает наибольшую величину ошибки за счет отбрасывания высших мод.

Запишем «контрольное соотношение» (2.91) для случая, когда нагрузка приложена по s степеням свободы с номерами k, k+1, …, k+s, которым соответствуют сосредоточенные массы mk, …, mk+s. В этом случае вектор {J} выражается согласно (2.69). Произведя умножение векторов в числителе (2.75), получим Обозначим где {J(s)} вектор, элементы которого с k-го по (k+s)-й равны соответственно ak/mk, …, ak+s/mk+s, а остальные – нулю:

2.4. Вынужденные колебания при кинематическом возмущении Тогда «контрольное соотношение» (2.91) запишется в виде В простейшем случае, когда нагрузка приложена в одной, k-й точке, в которой сосредоточена масса mk, соотношение (2.100) упрощается:

где вектор {J(1)} равен:

Приведенные ранее формулы упрощаются, если векторы мод ортонормированы. Так, коэффициент участия (2.75) Соответственно этому, контрольное условие (2.100) имеет вид а формула (2.101) 2.4. Вынужденные колебания дискретной системы при кинематическом возмущении 2.4.1. Дифференциальные уравнения движения В предыдущем разделе рассматривались вынужденные колебания системы под действием силы (силовое возмущение). Но колебания могут происходить также под действием инерционной нагрузки при колебаниях основания (кинематическое возмущение). Эта проблема возникает, во-первых, при проверке сейсмостойкости конструкций. Кроме того, такие расчеты необходимо выполнять для проверки прочности и работоспособности вторичных систем (оборудования, строительных конструкций), находящихся внутри зданий, совершающих колебания под действием экстремальных динамичеГл. 2. Линейные дискретные системы ских нагрузок (например, удара самолета или ВУВ). Вопросы расчета конструкций на сейсмическое воздействие, т.е. при кинематическом возмущении, подробно рассмотрены в [12]. Поэтому здесь они будут изложены кратко и в основном без доказательств.

Считаем, что конструкция линейная и в ней отсутствуют потери энергии. Закон ускорений ее основания (переносное ускорение) X (t ). Как и ранее, матрица масс равна [M], а матрица жесткостей [K]. Вектор инерционных сейсмических нагрузок, действующих на конструкцию, где {J} – вектор, компонентами которого являются косинусы углов между направлением колебаний основания и перемещениями по степеням свободы (для степеней свободы, соответствующих угловым колебаниям, его компоненты равны 0). Подставив (2.106) в (2.68), получим уравнение вынужденных колебаний системы при кинематическом возмущении:

2.4.2. Интегрирование системы методом модальной суперпозиции Будем, как и ранее, искать решение системы в виде (2.41). Подставим его в (2.107) и умножим обе части слева на транспонированный вектор i-й моды{i}T:

В силу условий ортогональности (2.36) и (2.37) все члены сумм, кроме i = j, равны нулю. Единственный оставшийся член После деления на квадрат нормы получаем дифференциальное уравнение, из которого определяется координатная функция q j(t):

Оно отличается от дифференциального уравнения колебаний линейного осциллятора (2.20) множителем в правой части, который называется коэффициентом участия j-й моды. Обозначим его 2.5. Вычисление матриц масс и податливости с помощью мод Он показывает, какая часть инерционной нагрузки расходуется на возбуждение колебаний именно по данной моде. Если j = 0, то колебания по ней отсутствуют.

Дальнейшее решение аналогично (2.77)(2.81). С учетом (2.77)– –(2.80) закон перемещений системы имеет вид 2.4.3. Сумма нормированных векторов мод Векторы { j} удовлетворяют равенству Это соотношение используется для определения необходимого числа учитываемых мод и оценки погрешности (этот вопрос будет подробнее рассмотрен в гл. 4). Приведем его доказательство.

Как известно [22], моды { j} образуют базис в n-мерном векторном пространстве, т.е. любой вектор такой размерности может быть разложен по векторам мод. Выполним это для вектора {J}:

где aj – коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, умножим слева обе части (2.114) на произведение транспонированного вектора i-й моды и матрицы масс:

В силу условия ортогональности (2.36) все члены суммы равны 0, кроме i = j:

Отсюда получаем т.е. коэффициент ai равен коэффициенту участия i. Подставив это в (2.116), с учетом (2.113) получаем искомое соотношение (2.115).

2.5. Вычисление матриц масс и податливости Большинство вычислительных программ позволяет найти собственные частоты системы и моды, но получение матриц масс и жесткостей может быть затруднительно. Ниже показано, как, пользуГл.2. Линейные дискретные системы ясь условиями ортогональности мод, можно вычислить по ним матрицы масс и жесткостей.

Образуем матрицу [], составленную по столбцам из мод. С ее применением условие ортогональности (2.36) запишется следующим образом:

где || i || 2 – диагональная матрица, i-й элемент на диагонали которой равен квадрату нормы i-й моды.

Вычислим обратные матрицы от обеих частей равенства (напомним, что обратная матрица от произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке):

Умножив обе части равенства (2.119) слева на [], а справа на []T, получим Матрица || i || диагональная, составленная из чисел, обратных квадратам норм мод.

Аналогичным образом можно вычислить матрицу податливостей [] = [K]1. Запишем условие ортогональности (2.37) в виде:

где i2 диагональная матрица, i-й элемент на диагонали которой равен квадрату i-й собственной круговой частоты. Вычислив обратные матрицы от обеих частей равенства и домножив обе части слева на [], а справа на []T, получим где i2 диагональная матрица, составленная из обратных чисел к квадратам собственных круговых частот.

Если моды ортонормированны, то где [E] – единичная матрица. Тогда соотношения (2.120) и (2.122) приобретают более простой вид

ЛИНЕЙНЫЕ КОНТИНУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Континуальными, т.е. непрерывными или сплошными, называют системы с непрерывным распределением масс. К ним относятся балки, пластинки, оболочки, объемные тела, которые имеют бесконечно большое число точек сосредоточения масс, а следовательно, и степеней свободы. Их колебания описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Исследованию колебаний континуальных систем посвящены многие классические работы, являющиеся фундаментом науки о динамике конструкций. Сегодня, несмотря на появление мощной вычислительной техники и программного обеспечения, классические методы не утратили своей актуальности. На них основаны алгоритмы вычислительных программ. Кроме того, они позволяют понять характер и взаимосвязь динамических параметров системы (собственных частот и мод) и предварительно оценить их величины, что позволяет более обоснованно выбирать параметры конечноэлементных моделей конструкций (число степеней свободы, размеры сетки, необходимое число учитываемых частот и пр.). Наконец, аналитическая «прикидка» результатов с применением простейших схематизаций позволяет оценить достоверность результатов компьютерного расчета, а во многих случаях и получить требуемые данные о динамических нагрузках и перемещениях конструкции.

В данной главе излагаются методы анализа колебаний простейших континуальных систем – стержней и пластинок [53, 54, 63, 85].

3.1. Изгибные колебания стержней 3.1.1. Свободные колебания Дифференциальное уравнение движения. При поперечных колебаниях стержня перемещения его точек y (x, t) зависят от координаты x и времени t (рис. 3.1). Его свободные колебания описываются дифференциальным уравнением в частных производных где E(x) – модуль упругости материала, Па; I(x) –момент инерции сечения, м4; µ(x) масса единицы длины стержня, кг/м.

Если жесткость и распределение массы по длине стержня l постоянны, то уравнение имеет более простой вид Уравнения (3.1) и (3.2) не отражают потери энергии. Способ их учета будет рассмотрен далее.

Рис. 3.1. Поперечные колебания в заделке отсутствует перемещение и угол поворота, т.е.

при шарнирном опирании равны нулю перемещение и момент, следовательно на свободном конце равны нулю момент и перерезывающая сила, следовательно Существуют и более сложные граничные условия: упруго опертый конец, сила и момент на конце и пр. [22]. В данной работе они для краткости не рассматриваются.

Второй вид задаваемых условий начальные. Они показывают распределение перемещений и скоростей точек стержня при t = 0:

Решение уравнения методом Фурье. Согласно этому методу, называемому также методом разделения переменных, решение уравнения движения отыскивается в виде т.е. как произведение двух функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – от t. Для простоты изложения ниже будем рассматривать стержень с постоянными по длине характеристиками, т.е. уравнение (3.2). Подставив в него (3.7) и выполнив дифференцирование, после простого преобразования получим Функции в числителе и знаменателе левой части этого равенства зависят только от t, а в правой – только от x. Следовательно, обе части не зависят от этих аргументов, т.е. являются постоянным числом. Обозначив его через 2, получим для нахождения (x) и q(t) два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Частотное уравнение и моды системы. Рассмотрим сначала первое из этих уравнений. Оно имеет четвертый порядок, и, соответственно, его решение содержит четыре постоянные. Оно может быть записано в виде где правая часть выражена через функции А.Н. Крылова:

Дальнейший ход решения продемонстрируем на примере шарнирно опертой балки. Постоянные в (3.11) определяются из граничных условий (3.4), которые после подстановки в них (3.3) преобразуются в следующие условия относительно функции (x):

Подстановка в (3.11) первых двух условий дает C1 = C3 = 0. Два остальных условия приводят к системе однородных алгебраических уравнений относительно C2 и C4:

Чтобы решение этой системы не было тождественно равно нулю, равняться нулю должен ее определитель:

Раскрывая его, получим частотное уравнение, из которого определяется параметр k:

После подстановки в него функций из (3.13) оно принимает вид Если считать, что первый из сомножителей shkl = 0, то из (3.12) следует, что = 0, т.е. колебания отсутствуют. Этот случай не представляет интереса. Поэтому считаем, что shkl 0, и, следовательно, Это уравнение имеет бесконечное число корней:

С их помощью можно определить моды системы. Подставив n-й корень в (3.15), найдем зависимость между постоянными:

Следовательно, уравнение (3.11) имеет вид С учетом (3.19) получается, что для шарнирно опертой балки n-я мода (собственная форма) равна:

где Cn – новая постоянная, Поскольку значение коэффициента C2 произвольно, то и множитель Cn произволен. Таким образом, как и в случае дискретных систем, моды n(x) определяются с точностью до произвольного множителя. Далее будет показано, что его величина не влияет на результаты расчета перемещений балки.

Свойства мод. Для краткости эти свойства приведены ниже без доказательств [22].

1. Моды зависят только от краевых условий, но не зависят от начальных.

2. Моды попарно ортогональны по кинетической и потенциальной энергии. Для стержней с постоянными по длине характеристиками условия ортогональности имеют вид:

a) по кинетической энергии:

где || n||2 – число, называемое квадратом нормы, (его величина зависит от масштаба моды);

б) по потенциальной энергии:

В случае переменных по длине характеристик стержня условия ортогональности несколько усложняются:

3. Моды образуют полную систему функций (или полный базис). Это означает, что практически любая функция f (x), встречающаяся в реальных задачах расчета конструкций, может быть разложена на интервале 0 x l в сходящийся ряд Фурье по функциям n(x):

Собственные частоты и уравнения движения по модам. Обратимся к рассмотрению уравнения (3.10). Прежде всего, отметим, что оно не учитывает потери энергии в системе. Их можно включить в рассмотрение, добавив в левую часть диссипативный член. В случае вязкого трения оно примет вид Оно аналогично уравнению (2.2), описывающему свободные колебания осциллятора. Каждому значению k n, а следовательно, и каждой моде n(x) соответствует собственная частота n, которая определяется из (3.12) и может быть записана в виде где для шарнирно опертой балки Таким образом, стержень (как и все континуальные системы) имеет бесконечно большое количество собственных частот и мод.

Отметим, что так же, как и моды, собственные частоты зависят только от условий закрепления концов балки, но не зависят от начальных условий. Таким образом, собственные частоты и моды являются внутренними характеристиками системы, которые не зависят от того, как она выведена из положения равновесия.

Решение уравнения (3.32) выражается формулой (2.6) где An – амплитуда колебаний по n-й моде; n – начальная фаза;

Dn n-я круговая частота с учетом демпфирования:

стержней с различными закреплениями концов Коэффициент участия*) 0. 0. 0. кинематического (сейсмического) возмущения (см. разд. 3.1.3).

Собственные частоты и моды стержней с различными закреплениями концов. Аналогичным образом рассчитываются свободные колебания стержней с иными закреплениями концов. Им соответствует другое частотное уравнение, а следовательно, другие собственные частоты и моды [84]. При этом собственные частоты вычисляются по формуле (3.33), но с иными значениями n. Эти значения, а также моды приведены в табл. 3.1.

Определение движения по начальным условиям. Подставив (3.23) и (3.34) в (3.7), получим общее решение уравнения (3.2), т.е.

закон перемещений произвольной точки балки, в виде ряда (множитель Cn перед модой пока принят равным 1). Скорости точек y( x, t ) = n ( x) An e nn t [Dn cos(Dnt + n ) n n sin(nt + n )]. (3.37) Амплитуды An и начальные фазы n в (3.37) зависят от начальных условий, т.е. от того, каким именно образом балка выведена из положения равновесия. Они определяются посредством следующей процедуры.

Подставим в (3.36) и (3.37) значение t = 0 и будем для простоты считать затухание n = 0. Полученные выражения [см. (3.38)] равны начальному перемещению и скорости, найденным согласно (3.6), Умножим оба эти равенства на m(x) и проинтегрируем их левые и правые части от 0 до l. В силу условия ортогональности (3.25) все члены рядов, кроме m = n, обратятся в нуль. Оставшиеся члены Обозначим С учетом этих обозначений Отсюда Выражения (3.42) и (3.43) для амплитуды и начальной фазы полностью определяют закон перемещений (3.36) при заданных начальных условиях. Таким образом, колебания балки представлены в виде суммы синусоидальных колебаний по модам. Этот способ решения называется методом модальной суперпозиции (сравни с разд. 2.2, где этот метод был использован для дискретных систем).

Внутренние усилия в стержне. Пользуясь законом перемещений (3.36), можно по обычным формулам строительной механики найти усилия в каждом сечении стержня. Они изменяются как по его длине, так и во времени. Изгибающий момент а перерезывающая сила Функции n(x) и n(x) приведены в табл. 3.1. С помощью (3.36) можно также определить зависимость от времени опорных нагрузок и прочих параметров.

Следует учитывать, что ряд (3.36), описывающий перемещения точек стержня, сходится хорошо, ряд для моментов (3.44) – значительно хуже, а ряд для перерезывающей силы (3.45) при некоторых начальных условиях может вообще расходиться. В частности, он расходится, если функция начальных скоростей y0 ( x ) имеет разрыв по координате x [53]. Примером являются свободные колебания стержня под действием распределенного по длине мгновенного импульса силы S (так иногда моделируют нагрузку от ВУВ). В этом случае во всех точках стержня, кроме опорных, начальные скорости равны S /µ, а на опорах – нулю, т.е. здесь имеет место разрыв (скачок) скорости.

Причиной плохой сходимости рядов является то, что в исходных уравнениях (3.1) и (3.2) не учитываются инерция поворота сечения и влияние перерезывающих сил. Более точная теория, предложенная С.П. Тимошенко, кратко изложена в разд. 3.2.4. При пользовании технической теорией сходимость можно улучшить, если искусственно «сгладить» функции начальных условий. Например, при действии импульса можно принять, что скорость на опоре возрастает от 0 до максимума не скачком, а на малом интервале вблизи опоры. Такое допущение, по-видимому, мало скажется на результатах расчета.

Независимость решения от масштаба мод. Покажем, что закон перемещений балки не зависит от масштаба моды [множителя Cn в (3.23)]. Обозначим масштабированную моду Подставив ее в (3.25), (3.40), (3.42) и (3.43), можно убедиться, что амплитуда колебаний по n-й моде уменьшится в Cn раз, а начальная фаза останется прежней. Подставляя (3.46) и (3.47) в (3.36), получим Сравнивая с (3.36), видим, закон перемещений действительно не изменился.

3.1.2. Вынужденные поперечные колебания стержня y F(x,t) = Fmaxf(x)(t) Дифференциальное уравнение движения. Рассмотрим Рис. 3.2. Вынужденные колебания F(x,t), т.е. при силовом возмустержня при силовом возмущении щении, показанный на рис. 3.2.

Дифференциальное уравнение движения стержня где yв(x,t) – частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям. Будем считать, что в любой момент времени отношение нагрузок в разных точках остается постоянным. В этом случае нагрузку можно выразить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента:

где функции (t) и f (x) безразмерные с максимальными значениями, равными 1, а Fmax – максимальное значение нагрузки, имеющее размерность Н/м.

В этом случае дифференциальное уравнение движения записывается в виде Решение уравнения методом модальной суперпозиции. Будем отыскивать решение в виде разложения в ряд по модам:

где n(x) – n-я мода, соответствующая условиям закрепления концов балки; n(t) – неизвестная функция времени, подлежащая определению. Подставим (3.52) в (3.51):

Моды удовлетворяют дифференциальному уравнению (3.9), из которого следует Подставив это в (3.53), после несложных преобразований получим Разложим функцию f (x) в ряд по модам:

(коэффициенты an будут вычислены далее). Тогда уравнение (3.55) приобретает вид Приравняв коэффициенты при сn(x) в обеих частях, найдем, что функция n(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Обозначим коэффициент в правой части:

С учетом этого n – это коэффициент участия n-й моды, показывающий, какая часть нагрузки расходуется на возбуждение колебаний по ней.

Уравнение (3.60) не учитывает потери энергии в балке. Их можно принять в рассмотрение, добавив в левую часть диссипативный член. При вязком трении получим Это уравнение можно упростить посредством подстановки Тогда Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний линейного осциллятора с круговой частотой n при действии силы (t), которое аналогично (2.13). Методы интегрирования обсуждались при рассмотрении последнего уравнения.

Подставив (3.62) в разложение (3.52), с учетом всех обозначений получим закон перемещений в виде Вычисление коэффициентов участия. Вернемся к вычислению коэффициентов an в разложении (3.56), фигурирующих в выражении для коэффициента участия. Для этого умножим обе части (3.56) на n(x) и проинтегрируем по длине стержня:

В силу условия ортогональности (3.25), члены ряда при i n равны 0, а при i = n Отсюда получаем Следовательно, n-й коэффициент участия Если нагрузка приложена не на всей длине стержня, а только на интервале a x b (рис. 3.3,а), то за его пределами подынтегральная функция в (3.68) равна 0, т.е. интеграл вычисляется не от 0 до l, а от a до b.

а – задание нагрузки на части пролета; б – сосредоточенные силы Если в точках x = a1,…, ak балки действуют сосредоточенные силы P1 (t),…, Pk (t), имеющие разные максимальные значения, но изменяющиеся по одному закону (рис. 3.3,б), то для вычисления n их удобно представить с помощью -функции Дирака. Как известно [30], она обладает следующими свойствами:

Из (3.69) и (3.70) следует, что С помощью -функции можно следующим образом записать совокупность сил P1, …, Pk в виде функции x:

Поэтому с учетом (3.71) получим, что в (3.68) интеграл равен:

Следовательно, при действии сосредоточенных сил коэффициент участия Наконец, если на балку действуют и сосредоточенные силы, и распределенная нагрузка, то коэффициент участия равен сумме правых частей (3.68) и (3.74).

Независимость закона колебаний от масштабов мод. Выше было сказано, что мода n(x) определяется с точностью до произвольного множителя (масштаба) Сn. Покажем, что его выбор не влияет на результаты расчета. Обозначим масштабированную моду Из (3.25) следует, что || n ( x ) || = Cn || n ( x ) ||. Следовательно, коэффициент участия Подстановка (3.75) и (3.76) в (3.64) дает yв ( x,t) = Fmaxn ( x)nn (t) = Видим, что закон вынужденных колебаний не изменился.

Внутренние усилия в стержне. Внутренние усилия при вынужденных колебаниях обычным образом вычисляются по закону перемещений (3.64). Изгибающий момент Перерезывающая сила Функции n(x ) и n(x ) для стержней с различными краевыми условиями приведены в табл. 3. 3.1.3. Вынужденные колебания стержня при кинематическом возмущении Дифференциальное уравнение движения. Допустим, что опоры стержня с постоянной по длине жесткостью EI и погонной массой µ колеблются поперек его Рис. 3.4. Кинематическое возмущение жение описывается дифференциальным уравнением Решение уравнения методом модальной суперпозиции. Процедура решения не отличается от ранее использованной при силовом возмущении. Будем отыскивать решение в виде разложения в ряд по модам:

где n(x) – n-я мода, соответствующая условиям закрепления концов балки; n(t) – неизвестная функция времени, подлежащая определению. Подставим данное выражение в (3.80):

Воспользовавшись соотношением (3.54) между модами и их четвертыми производными, после преобразований получим или, после сокращения на µ, Правую часть можно формально записать как произведение f ( x ) X 0 (t ), где f (x) = 1 на интервале от 0 до l и f (x) = 0 вне его. Разложим f (x) в ряд по модам:

Чтобы найти коэффициенты i, умножим обе части (3.85) на n(x) и проинтегрируем по длине стержня:

В силу условия ортогональности (3.25) все члены ряда, кроме i = n, равны 0, а единственный оставшийся член где ||n||2 – квадрат нормы n-й моды [см. (3.26)]. Отсюда Возвращаясь к уравнению (3.84), с учетом (3.85) и (3.88) запишем его в виде Приравняем коэффициенты при n(x) в обеих частях. Получим, что функция n(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению Это уравнение подобно дифференциальному уравнению (2.18), описывающему вынужденные колебания линейного осциллятора при кинематическом возмущении, за двумя исключениями. Вопервых, в правой части фигурирует множитель n, являющийся коэффициентом участия n-й моды. Он показывает, какая часть нагрузки расходуется на возбуждение колебаний по ней. Во-вторых, в левой части отсутствует слагаемое, описывающее потери энергии в балке (они при выводе уравнения не учитывались). Для того чтобы учесть их, можно добавить в левую часть диссипативный член. При вязком трении получим Если сделать подстановку то уравнение упростится:

В таком виде оно полностью совпадает с уравнением вынужденных колебаний линейного осциллятора (2.18).

Подставив (3.92) в разложение (3.81), найдем закон перемещений в виде 3.1.4. Переходный процесс при колебаниях стержня Переходный процесс представляет собой наложение свободных колебаний при заданных начальных условиях и вынужденных колебаний, вызванных действием внешней нагрузки. В случае стержня при силовом возмущении переходный процесс описывается суммой уравнений (3.36) и (3.64). Соответственно этому внутренние усилия равны: момент – сумме (3.44) и (3.77), а перерезывающая сила – сумме (3.45) и (3.78).

Если учитываются потери энергии в системе, а длительность нагрузки достаточно велика, то в течение ее действия свободные колебания затухают, и начиная с какого-то момента времени движение описывается только решением (3.64).

На практике нагрузка часто прикладывается к недеформированной и неподвижной конструкции (стержню), т.е. начальные условия являются нулевыми. Поэтому в течение времени ее действия перемещения описываются только формулой (3.64). В момент окончания ее действия точки конструкции имеют перемещения и скорости, которые служат начальными условиями при ее дальнейших свободных колебаниях, описываемых (3.36).

3.1.5. О точности моделирования конструкции Дифференциальные уравнения колебаний стержня (3.1) и (3.2) получены в предположении, что его поперечные сечения при перемещениях остаются плоскими и перпендикулярными к недеформированной оси. Это так называемая техническая теория поперечных колебаний стержня. Моды, полученные с ее помощью, приведены в табл. 3.1. Начиная со второй, они представляют собой знакопеременные функции с узловыми точками, в которых они равны нулю и которые при колебаниях по данной моде неподвижны. Техническая теория дает хорошие результаты, если основной вклад в перемещения дают моды с расстоянием между узловыми точками, достаточно большим по сравнению с высотой поперечного сечения стержня в плоскости колебаний. Если же эти величины сопоставимы, то помимо поперечных перемещений точек стержня необходимо учитывать инерцию поворота сечений и влияние усилий сдвига. Соответствующая теория была разработана С.П. Тимошенко и носит его имя («балка Тимошенко»).

Уравнение свободных поперечных колебаний стержня с независящими от длины характеристиками приведено в [84]. После небольших преобразований оно получает вид где – плотность материала стержня; G – модуль сдвига, – коэффициент Пуассона; fсдв – коэффициент сдвига, зависящий от формы поперечного сечения (см. разд. 3.3.1).

Первые два члена уравнения (3.95) совпадают с (3.1), третий учитывает инерцию вращения, четвертый – прогибы, вызываемые сдвигом. Решение этого уравнения здесь рассматривать не будем (для случая шарнирного опирания концов его можно найти в [54, 84]). Укажем только, что влияние инерции вращения и сдвига тем существеннее, чем выше номер моды, т.е. чем больше высота поперечного сечения по сравнению с расстоянием между узлами.

При этом основной вклад дает поправка на сдвиг [84].

Выше было сказано, что при использовании технической теории стержней ряды (3.44) и (3.45), выражающие изгибающий момент и перерезывающую силу, могут плохо сходиться и даже расходиться.

При использовании уравнения (3.95) проблем со сходимостью рядов не возникает.

Резюмируя, можно заключить, что схематизацию конструкции в виде балки Тимошенко следует применять, если характер действующей на нее нагрузки требует учета отклика по высшим модам.

Кроме того, такая схематизация необходима, если высота поперечного сечения стержня достаточно велика по сравнению с расстоянием между опорами. Иногда считают, что погрешность технической теории заметна, если эта высота больше 1/8 1/10 пролета.

Для демонстрации влияния факторов, учитываемых теорией Тимошенко, далее приведено сравнение моментов в шарнирно опертой железобетонной балке прямоугольного поперечного сечения с постоянными по длине характеристиками, вычисленными по этой и технической теориям. Длина балки l, ширина сечения b = 1.

На нее действует кратковременная равномерно распределенная нагрузка с суммарным импульсом I. Импульс давления Будем считать, что нагрузка создана воздействием детонационной воздушной ударной волны с давлением на фронте pф и продолжительностью фазы сжатия + (см. разд. 9.1). Считая профиль волны (закон изменения давления) треугольным, получим, что По технической теории изгибающий момент в балке выражается в виде ряда [53]:

или, с учетом (3.97) и (3.98), Для получения значений изгибающих моментов были просуммированы 100 членов ряда в различные моменты времени с шагом T1/32, где T1 – период колебаний по 1 моде. Наибольший изгибающий момент достигается в середине пролета в момент времени Он равен:

Преобразуем выражение (3.102). Первая собственная круговая частота шарнирно опертой балки С учетом этого Вторая дробь в правой части представляет собой момент в середине пролета при статическом приложении равномерно распределенной нагрузки pф:

Таким образом, Будем называть отношение максимального динамического и статического моментов коэффициентом динамичности:

Напомним, что это значение соответствует середине пролета балки и моменту времени (3.101). Для других точек и моментов времени значения отличаются только числовым множителем в правой части (3.107). На рис. 3.5 приведены значения этих числовых множителей, т.е. дроби Для сравнения на рис. 3.5 приведены коэффициенты динамичности для моментов, вычисленных по теории Тимошенко. Они также выражаются с помощью тригонометрического ряда по координатам x и l, который здесь для краткости не приводится (при желании его можно найти в [53]). Суммировались 100 первых членов ряда. На рисунке видно, что при учете одинакового числа членов ряда техническая теория дает более грубое распределение усилий по длине балки. При этом отличие от теории Тимошенко может оказаться очень значительным, как, например, при t = 10T1/32.

3.2. Изгибные колебания прямоугольных пластинок Приведенный анализ также показывает, что при кратковременной нагрузке важен учет высших собственных частот и мод конструкции. Рис. 3.5 показывает, что хотя нагрузка в любой момент времени равномерно распределена по длине балки, но, тем не менее, возбуждаются ее высокочастотные колебания, а потому максимумы моментов в различных точках достигаются не одновременно.

3.2. Изгибные колебания прямоугольных пластинок 3.2.1. Предварительные замечания Теория изгибных колебаний пластинок значительно сложнее, чем стержней, и сколько-нибудь подробно изложить ее в рамках настоящей книги невозможно. Кроме того, как уже было указано в начале главы, практические расчеты конструкций сегодня редко выполняют аналитическими методами, а чаще используют конечноэлементные вычислительные программы (разумеется, основанные на этих методах). Поэтому далее будут приведены только основные сведения об изгибных колебаниях пластинок и указаны их принципиальные особенности, которые надо иметь в виду при выполнении и интерпретации результатов конечно-элементных расчетов. Рассматривается так называемая техническая теория поперечных колебаний пластинок, в основе которой лежит ряд упрощающих допущений, называемых гипотезами КирхгофаЛява.

3.2.2. Свободные колебания Дифференциальное уравне- z w(x,y,t) речные колебания однородной прямоугольной пластинки постоянной толщины h, стороны кото- y a рой параллельны осям координат x и y (рис. 3.6), описываются диф- b ференциальным уравнением стинки, зависящее от координат точки x и y и времени t; – оператор Лапласа, µ масса единицы площади, кг/м2; D – цилиндрическая жесткость пластинки, где E модуль упругости материала; коэффициент Пуассона.

Краевые и начальные условия. Как и для балки, совместно с уравнением движения задаются условия двух видов.

Во-первых, это краевые (граничные) условия, которые показывают, как пластинка закреплена по контуру. Их аналитические выражения имеются, например, в [22, 63] и для краткости здесь не приводятся. Наиболее часто рассматривают шарнирное опирание края (при котором равны нулю его перемещение и момент в перпендикулярной краю плоскости), заделку (отсутствуют перемещение и угол поворота), свободный край (отсутствуют момент и поперечная сила). Могут рассматриваться также упругое опирание, скользящая заделка и пр.

Второй вид условий – начальные, представляющие собой перемещения и скорости точек пластинки при t = 0:

Решение уравнения колебаний. Решение уравнения (3.109) можно найти методом разделения переменных (методом Фурье).

Процедура решения, в принципе, такая же, как и для балки, и здесь подробно рассматриваться не будет. Ограничимся ее описанием.

Закон свободных колебаний (при отсутствии затухания) получается в виде двойного ряда где mn(x,y) – мода; mn – собственная частота; Amn – амплитуда;

mn – начальная фаза.

Pages: |

| 2 | 3 | 4 | 5 | ... | 7 |

Главная >> Проекты

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«В. С. Верин Метрология – объединяющая основа науки будущего Рубеж веков и тысячелетий, который мы встречали недавно, ознаменовался новым вольтеровским возмущением общественной мысли. Правящие миром интеллектуальные элиты буквально во всех областях человеческой деятельности породили новый протест. Его движущая сила предельно конкретно изложена в книге Д. Р. Сола Ублюдки Вольтера [1]. Основная мысль автора заключается в том, что провозглашенная Вольтером и служившая руководством к действию...»

«МЕСТНОЕ САМОУПРАВЛЕНИЕ Г. ТАГАНРОГ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ ГОРОДСКАЯ ДУМА ГОРОДА ТАГАНРОГА РЕШЕНИЕ № 512 26.12.2012 О бюджете муниципального образования Город Таганрог на 2013 год и на плановый период 2014 и 2015 годов Принято Городской Думой 25.12.2012 В соответствии с Бюджетным кодексом Российской Федерации, Федеральным законом от 06.10.2003 № 131-ФЗ Об общих принципах организации местного самоуправления в Российской Федерации, статьями 21, 35, 57 Устава муниципального образования Город Таганрог,...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК П р о е к т Н ау ч н о е н а с л е д и е Ро с с и и А.А. П Е Т Р О В НИКИТА НИКОЛАЕВИЧ МОИСЕЕВ Москва 2009 Содержание Предисловие................................................. 1 Моисеев на физтехе........................................ 3 Судьба Моисеева............................................ 7 Моисеев в науке............»

«УДК 621.56/.59 И. В. Т и щ е н к о, Д. А. К у д е р к о ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ КОНДИЦИОНИРОВАНИЯ ВОЗДУХА ЛЕГКИХ САМОЛЕТОВ И ВЕРТОЛЕТОВ Проведены исследования в области разработок систем кондиционирования воздуха легких самолетов и вертолетов, предложена концепция систем кондиционирования воздуха для таких летательных аппаратов. Результаты данной работы могут быть использованы при проектировании макета и опытного образца системы кондиционирования воздуха легких самолетов и вертолетов на стадиях...»

«2 1. Цели освоения дисциплины Цель изучения дисциплины состоит в получении и усвоении студентами знаний теоретического и прикладного характера о методах оценки георесурсного потенциала; тенденциях и направлениях комплексного использования недр как нового, видоизменяемого ресурса жизнеобеспечения общества; основных принципах интегрирования различных технологий добычи полезных ископаемых (открытой, подземной, комбинированной, физико-химической) по критерию полноты освоения георесурсов. Дисциплина...»

«Сергей Абашин Институт этнологии и антропологии Российской академии наук (Москва) [email protected] Культурные процессы и транскультурные влияния в современной Центральной Азии Вопросы и цели настоящей записки О чём настоящий текст? Каковы амбиции её автора? Предварительные пояснения должны сформировать у читателя определённые ожидания и предупредить возможные разочарования. Главная моя цель – дать объёмную характеристику состояния дел в культуре центральноазиатских обществ после обретения...»

«658.382.3:621.31.004.2 ПРАВИЛА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭЛЕКТРОУСТАНОВОК ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭЛЕКТРОУСТАНОВОК ПОТРЕБИТЕЛЕЙ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН (издание переработанное и дополненное с учетом опыта эксплуатации действующих электроустановок потребителей) РАЗРАБОТАНЫ: ТОО Фирма Казэнергоналадка и Союзом инженеров-энергетиков при участии научно-исследовательских, проектных, эксплуатационных, ремонтных и наладочных организаций Республики Казахстан....»

«.qxd 27.10.2008 17:47 Page 1 ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ.qxd 27.10.2008 17:47 Page 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПОЛИТИКИ ЭВРИКА.qxd 27.10.2008 17:47 Page 3 КОМПЛЕКСНЫЙ ПРОЕКТ МОДЕРНИЗАЦИИ РЕГИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ ЭВРИКА ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПОЛИТИКИ.qxd 27.10.2008 17:47 Page Брошюра подготовлена и издана в целях реализации проекта Организационно техническое...»

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ И ПРОМЫШЛЕННЫЙ НАДЗОР РОССИИ ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 5 июня 2003 года N 58 Об утверждении Правил безопасности при разведке и разработке нефтяных и газовых месторождений на континентальном шельфе Госгортехнадзор России постановляет: 1. Утвердить Правила безопасности при разведке и разработке нефтяных и газовых месторождений на континентальном шельфе. 2. Направить Правила безопасности при разведке и разработке нефтяных и газовых месторождений на континентальном шельфе на...»

«2 3 1. Цели производственной практики Закрепление и углубление теоретической подготовки, полученной в университете; приобретение практических навыков и компетенций, а также опыта профессиональной деятельности участкового маркшейдера на горном или строительном предприятиях. 2. Задачи производственной практики – работа в должности ученика участкового маркшейдера (в качестве исключения дублера участкового маркшейдера); – знакомство с особенностями предприятия: изучение геологического строения...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СТП ПетрГУ 001-07 СТАНДАРТ ПРЕДПРИЯТИЯ ДОКУМЕНТЫ ТЕКСТОВЫЕ УЧЕБНЫЕ КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ ПРОЕКТЫ (РАБОТЫ) ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2006 СТП ПетрГУ 001-07 РАЗРАБОТЧИКИ: С. Н. Николаев, доцент, А. А. Шубин, к. т. н., доцент РАССМОТРЕН на заседании методической комиссии лесоинженерного факультета 16 февраля 2006, протокол № 2...»

«НОМЕР ПРОЕКТА 10-05-91052 УЧЕТНАЯ КАРТОЧКА НАЗВАНИЕ ПРОЕКТА Численное моделирование сильно нелинейных волн на воде ОБЛАСТЬ ЗНАНИЯ 05 - науки о земле КОД(Ы) КЛАССИФИКАТОРА 01-201 05-513 ВИД КОНКУРСА НЦНИ_а - Совместный конкурс с НЦНИ: инициативные PICS ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО РУКОВОДИТЕЛЯ ПРОЕКТА ТЕЛЕФОН РУКОВОДИТЕЛЯ ПРОЕКТА (383)3306150 Шокин Юрий Иванович ПОЛНОЕ НАЗВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ, ГДЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ПРОЕКТ Институт вычислительных технологий СО РАН ПОЛНОЕ НАЗВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ, ЧЕРЕЗ КОТОРУЮ...»

«Методическая работа (итоги работы) за 2012- 2013 учебный год. Перед методической службой ставилась цель: повышение уровня профессионального мастерства педагогических работников при переходе на ФГОС второго поколения. Методическая служба действовала по следующей структуре: методический совет, школьные методические объединения. Результативность решения поставленных задач, работа по темам самообследования отслеживалась при посещении уроков, во время проведения открытых мероприятий, по участию в...»

«Р.М.Тер-Саркисов Разработка месторождений природных газов Москва НЕДРА 1999 и\ The Development Разработка of Natural месторождений Gas природных Fields газов R.M.Ter-Sarkisov The Development of Natural Gas Fields Moscow NEDRA 1999 УДК 622.279. 23/4 Р е ц е н з е н т зав. кафедрой разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений РГУ НГ им. Й.М. Губкина, доктор технических наук, профессор К.С. Басниев Тер-Саркисов P.M. Разработка месторождений природных газов. — М.: ОАО...»

«Горное кадровое агентство. 1 Услуги для соискателей бесплатные (812) 322 59 01 e-mail [email protected] Спонсоры IX Всероссийской Ярмарки Горных Вакансий Горное кадровое агентство. 2 Услуги для соискателей бесплатные (812) 322 59 01 e-mail [email protected] Всероссийская Ярмарка Горных Вакансий Девятая Ярмарка Горных Вакансий проходит с 14 по 16 мая 2013 года в московском МВЦ Крокус Экспо в рамках Международной Выставки Горное оборудование, добыча и обогащение руд и минералов MiningWorld Russia...»

«Центр антикоррупционных исследований и инициатив Трансперенси Интернешнл – Р (Центр ТИ-Р) ПРОТИВОДЕЙСТВИЕ КОРРУПЦИИ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ. 1991-2012 гг. Москва 2013 УДК 334.02 ББК 78.5 Авторы - составители: Нисневич Юлий Анатольевич — профессор Национального исследовательского университета Высшая школа экономики, эксперт Проектно-учебной лаборатории антикоррупционной политики, доктор политических наук Панфилова Елена Анатольевна — директор Центра...»

«1 БЮЛЛЕТЕНЬ НОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ 1-15 ДЕКАБРЯ 2010г. В настоящий Бюллетень включены книги, поступившие в отделы Фундаментальной библиотеки с 1 по 15 декабря 2010 г. Бюллетень составлен на основе записей Электронного каталога. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знания, внутри разделов – в алфавите авторов и заглавий. Записи включают полное библиографическое описание изданий, шифр книги и место хранения издания в сокращенном виде (список сокращений приводится в Бюллетене)....»

«2 Оглавление Введение Текущее состояние дел в области экологического развития Российской 1. Федерации 9 Тенденции развития рынков и технологий в сфере экологического развития17 2. Оценка потенциала развития российских производственных предприятий и 2.1 научных организаций в сфере деятельности платформы в сопоставлении с зарубежными конкурентами Анализ текущей обеспеченности организаций-участников платформы 2.2 научными и инженерно-техническими кадрами. Прогноз развития рынков и технологий в...»

«International Logistics Centres for Western NIS and the Caucasus EuropeAid/126356/C/SER/Multi Международные центры логистики для Западных стран ННГ и Кавказа в Армении, Азербайджане, Грузии, Молдове, Украине Отчет о ходе осуществления проекта II Январь 2010 г. Проект осуществляется консорциумом Проект финансируется Dornier Consulting GmbH / NTU / Inros Lackner AG Европейским Союзом 1 Международные центры логистики для Западных стран ННГ и Кавказа ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ ОТЧЕТА Название проекта:...»

«Государственная жилищная инспекция Кемеровской области Главное управление архитектуры и градостроительства Кемеровской области РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ, АРХИТЕКТУРНОЙ И КОНСТРУКТИВНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРИКВАРТИРНЫХ ПОМЕЩЕНИЙ ЖИЛЫХ ЗДАНИЙ НА СЕЛИТЕБНЫХ ТЕРРИТОРИЯХ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ Кемерово 2011 Рецензент Заместитель председателя Комитета градостроительства и землепользования Администрации г. Новокузнецка, заслуженный строитель Российской Федерации В.И. Магель Разработчики: Назаренко Иван...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

EXTREME

ACTIONS

ON STRUCTURES

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

НА СООРУЖЕНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ

НА УДАРНЫЕ И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИЯ

ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ АЭС НА ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА УДАРНЫЕ

И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРОЧНОСТЬ

КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ

НАГРУЗКАХ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫЕ КОНТИНУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

EXTREME

ACTIONS

ON STRUCTURES

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

НА СООРУЖЕНИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ

НА УДАРНЫЕ И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИЯ

ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ АЭС НА ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ

ВОЗДЕЙСТВИЯ

ПРЕДИСЛОВИЕ

РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА УДАРНЫЕ

И ИМПУЛЬСИВНЫЕ НАГРУЗКИ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ПРОЧНОСТЬ

КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ

НАГРУЗКАХ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫЕ КОНТИНУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)