РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

В.О. Гладышев

НЕОБРАТИМЫЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЗАДАЧАХ АСТРОФИЗИКИ

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ

Москва

Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана

2000

УДК 530.1

ББК 22.31

Г52

Рецензенты:

академик Академии транспорта РФ, профессор, доктор технических наук Е.Ю. Барзилович;

профессор, доктор физико-математических наук А.Н. Морозов Гладышев В.О. Необратимые электромагнитные процессы в задачах Г52 астрофизики: физико-технические проблемы. – М.:Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000. 276 с.

ISBN 5-7038-1571- Монография отражает современные методы изучения необратимых электромагнитных процессов при решении задач астрофизики.

Рассмотренные в книге электромагнитные процессы могут быть положены в основу новых методов регистрации гравитационного излучения, методов исследования взаимодействия электромагнитной волны с движущейся средой, определения кинематических характеристик удаленных вращающихся астрофизических объектов.

Предложенные методы описания электромагнитного излучения с учетом эффектов второго порядка могут найти применение при исследовании эффектов, возникающих в глобальных спутниковых системах навигации.

Книга предназначена для научных работников, аспирантов, работающих в области астрофизики и теории относительности, а также для специалистов, занимающихся проблемами предельных физических измерений.

Ил.47. Библиогр. 288 назв.

УДК 530. ББК 22. ISBN 5-7038-1571-1 Гладышев В.О., 170–летию МГТУ им. Н.Э. Баумана посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

В монографии нашли отражение современные математические методы решения задач технической физики, электродинамики, теории относительности. Наряду с общими аналитическими подходами и использованием численных методов рассматриваемые автором задачи объединены детальным описанием необратимых электродинамических процессов, являющихся основой для построения новых метрологических процедур.

Предсказание существования гравитационных волн было сделано А. Эйнштейном еще в 1916 году. Дж.Тейлор с коллегами в серии экспериментальных работ на радиотелескопе в Аресибо объяснили уменьшение периода обращения двойными звездными системами вследствие потерь энергии на гравитационное излучение. В настоящее время проблема регистрации гравитационного излучения находится в стадии разработки методов регистрации, математического моделирования источников и детекторов гравитационного излучения.

В книге приведены результаты оригинальных исследований одного из наиболее перспективных технических устройств, способного осуществлять регистрацию гравитационного излучения, а именно свободномассового многолучевого интерферометра Фабри–Перо.

Автором разработана классификация гравитационных антенн, отражающая особенности регистрации гравитационного излучения наземными, космическими и астрономическими гравитационными антеннами и показывающая перспективы использования резонатора Фабри–Перо.

Подробно описаны и приведены результаты аналитических и численных расчетов уникального физического явления – низкочастотного оптического резонанса, возникающего в резонаторе Фабри–Перо при определенном соотношении параметров резонатора и гравитационно–волнового сигнала. Совместно с профессором А.Н.Морозовым впервые получено решение самосогласованной системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику зеркал и трансформацию электромагнитного поля РФП в поле гравитационно-волнового возмущения.

Электродинамика движения сред появилась как результат развития работы А. Эйнштейна "К электродинамике движущихся тел" (1905) и сегодня является мощным инструментом изучения взаимодействия электромагнитного поля с движущимися средами.

Известно, что описание электромагнитного излучения в средах со сложным пространственным движением приводит к интегральным уравнениям, связывающим координаты волнового вектора электромагнитных волн с параметрами среды. В книге приводятся аналитические и численные решения интегрального уравнения, описывающего трансформацию электромагнитного излучения в движущейся среде, что позволяет предсказать существование эффекта искривления траектории волнового вектора в среде с вращением.

Автор показывает, что трансформация электромагнитного излучения имеет существенное значение при обсуждении космологического парадокса вследствие эффекта замедления времени распространения излучения в быстро движущихся удаленных областях Вселенной.

В книге приведен также оригинальный метод определения пространственных кинематических характеристик вращающихся удаленных астрофизических объектов на основе учета вариаций энергетической светимости в спектральных линиях излучения объектов. Приведенные результаты численного эксперимента убедительно показали возможность использования спектральной аппаратуры существующего уровня чувствительности для проведения измерений таких параметров близких звезд, как экваториальная скорость вращения и наклон оси вращения в пространстве.

Следует отметить, что переход между инерциальными системами отсчета осуществляется преобразованиями пространства – времени, входящими в группу Лоренца и обладающими свойствами инвариантности. В то же время указанными свойствами могут не обладать частные дифференциалы для переменных, входящих в преобразования пространства – времени, что накладывает дополнительные условия при описании физических процессов в пространстве-времени и именно эти условия учитывает автор.

В качестве примера, иллюстрирующего развиваемый подход, дана интегральная форма преобразований пространства–времени и приведены примеры построения измерительных процедур с учетом специальных релятивистских эффектов в теории относительности.

Автор неоднократно успешно докладывал свои результаты в кругу специалистов на заседаниях научного семинара секции "Проблемы воздушного транспорта РФ" Академии Наук России.

В обсуждениях на семинаре отмечалось, что широкий спектр задач, объединенных наличием нелинейных электродинамических процессов, рассмотренных автором, исследование новых физических явлений и методов их описания, позволяют предположить, что работы автора книги содержат новое научное направление, фундаментальные научные результаты. В этом убеждает и чтение данной монографии.

Книга, безусловно, будет интересна для специалистов, занимающихся проблемами регистрации гравитационных волн, для астрофизиков, а также инженерно–технических работников, проводящих исследования в области математического моделирования сложных динамических систем с учетом специальных эффектов электродинамики и теории относительности.

Член бюро Научного Совета РАН по проблемам транспорта России, соруководитель – ответственный секретарь секции "Проблемы воздушного транспорта РФ", действительный член Академии транспорта РФ,

ВВЕДЕНИЕ

Одной из фундаментальных проблем XX века является проблема регистрации гравитационного излучения от удаленных космических объектов.

Возможное существование гравитационных волн было предсказано А.Эйнштейном в работе [1], посвященной решению уравнений общей теории относительности и расчету мощности гравитационного излучения. Расчеты показали, что изменение расстояния между пробными телами, вследствие воздействия гравитационной волны, очень мало, поэтому длительное время проблема регистрации гравитационного излучения оставалась предметом теоретических исследований.

Подтверждение существования гравитационного излучения было получено в экспериментальных исследованиях Taylor J.H., Weisberg J.M. и др. [2–3]. В этих работах проводилось изучение эффекта замедления периода двойной звездной системы PSR 1913+16 вследствие потерь энергии на гравитационное излучение. Полученные результаты совпали с расчетными значениями, полученными на основе решения уравнений общей теории относительности, с высокой точностью. На данном этапе особое значение приобретает регистрация гравитационных волн (ГВ) от космических источников излучения наземными гравитационными антеннами.

За годы, прошедшие после создания ОТО, были предложены различные методы регистрации гравитационного излучения, большая часть из которых осталась нереализованной либо из–за недостаточной чувствительности метода, либо вследствие сложности его технического воплощения.

В книге предложена классификация методов регистрации гравитационных волн, позволяющая систематизировать основные физические принципы регистрации.

В целом наиболее перспективными, с одной стороны, и достаточно технически обеспеченными – с другой, можно назвать проекты лазерных интерференционных гравитационных антенн (ЛИГА), находящихся в стадии строительства и обладающих резервами чувствительности [4–6].

Данный тип широкополосных гравитационных антенн (ГА) содержит массу возможностей по методам проведения регистрации ГВ, методам выделения сигналов, использованию квантовых невозмущающих измерений, включению в комбинированные ГА и в сеть ГА.

Основным элементом ЛИГА является многолучевой свободномассовый резонатор ФабриПеро (РФП), от свойств которого во многом зависит чувствительность и помехозащищенность ГА.

Давление света является нелинейным фактором, имеющим существенное значение в различных задачах физики [260]. Так как в антеннах нового поколения используются лазеры большой мощности, лазерное излучение может и здесь стать определяющим фактором.

Изучение динамических свойств многолучевого интерферометра Фабри– Перо с учетом силы давления оптического излучения и шумов проведено в первой главе.

В книге приведены результаты исследований фундаментальных свойств свободно–массового многолучевого интерферометра Фабри–Перо, полученные в соавторстве с А.Н.Морозовым [7–12]. Исследования выполнены на основе построенной самосогласованной системы уравнений, описывающих РФП в поле гравитационной волны и электромагнитной волны оптической накачки.

Исследование динамики РФП в поле сил светового давления приводит к необходимости учета нелинейного эффекта переноса низкочастотных колебаний зеркал в высокочастотную область спектра при описании РФП как элемента гравитационной антенны третьего поколения, что иллюстрируется во второй главе.

Расчеты мощности сигнала на выходе колебательной системы, образованной зеркалами РФП, с учетом нелинейной зависимости силы давления излучения от смещения зеркал и фазовой настройки резонатора позволили обосновать гетеродинный метод выделения затухающих гравитационно–волновых сигналов.

Найдено периодическое решение уравнений электромагнитного поля в РФП, указывающее на существование низкочастотного оптического резонанса по отношению к смещению зеркал, начальной фазе или амплитуде оптической накачки. Предложено использовать данные резонансные свойства РФ П для регистрации гравитационного излучения при модуляции амплитуды оптической накачки, что может обеспечить уменьшение размеров гравитационных антенн.

Основные результаты получены путем аналитического решения дифференциальных уравнений. Спектральные характеристики и численное решение самосогласованной системы дифференциальных уравнений являются дополнительной иллюстрацией аналитических результатов.

Подобный подход позволяет эффективно исследовать необратимые физические процессы в сравнительно сложных динамических системах, какой является свободномассовый многолучевой интерферометр Фабри– Перо.

На этапе детализации формального описания необратимых электромагнитных процессов существует возможность введения параметров движения сред распространения излучения.

Распространение электромагнитных волн в движущейся среде обладает рядом особенностей, которые могут быть корректно описаны в рамках электродинамики движущихся сред [13, 14]. В книге развивается подход, основанный на исследовании пространственных характеристик процесса распространения электромагнитной волны в среде со сложным движением при наличии тангенциального разрыва скорости на границе раздела двух сред. Основной проблемой здесь является поиск точных аналитических решений для траектории волнового вектора электромагнитной волны в движущейся среде.

Основу данного подхода составляет решение дисперсионного уравнения, описывающее волновой вектор электромагнитной волны в среде как функцию угла падения и параметров среды. Решение неоднократно проверялось в экспериментах, но сложность подобных исследований позволила изучить лишь те особенности трансформации электромагнитных волн, которые возникают при сравнительно простых законах движения сред по обе стороны от границы раздела [15].

Результаты этих экспериментов позволяют говорить о справедливости только той части решения дисперсионного уравнения, которая отвечает за нормальный разрыв скорости.

Однако в различных технических задачах реализуется измерительная процедура, построенная на прохождении электромагнитной волной среды с наличием сложного движения. К числу подобных задач относится и задача локации ЛА, так как движение среды является фактором, ограничивающим теоретический предел точности измерений.

Поэтому возникает необходимость такого описания процесса распространения электромагнитных волн в среде, которое позволило бы рассчитывать характеристики излучения, влияющие на результаты физических экспериментов при сложном движении среды.

Увлечение электромагнитной волны принято характеризовать величиной дрейфа фазовой скорости поля суперпозиции волны возбуждения и вторичных электромагнитных волн в движущейся среде. Также удобно использовать в качестве характеристики продольного увлечения электромагнитной волны разность фаз лучей, прошедших движущуюся среду в противоположных направлениях. В случае пространственного явления увлечения электромагнитной волны появляется дополнительный эффект – отклонение траектории волнового вектора суперпозиционной волны в среде.

Как показано в третьей главе, для описания данного явления можно использовать аналитические решения уравнения траектории волнового вектора в движущейся среде [16–18]. В соавторстве с М.И.Киселевым и др.

автор предлагает метод определения кинематических характеристик вращающихся объектов, свободный от влияния движения среды распространения электромагнитного излучения [153].

В качестве иллюстрации необходимости использования точного решения уравнения электродинамики движущихся сред показано, что учет эффекта увлечения электромагнитной волны движущейся межзвездной средой приводит к эффекту задержки времени распространения электромагнитного излучения в расширяющейся Вселенной и должен учитываться при расчете постоянной Хаббла.

Спектральные методы исследований удаленных вращающихся астрофизических объектов, включая анализ структуры профилей единичных спектральных линий, получили распространение сравнительно недавно, хотя первые теоретические работы в этой области были сделаны в 20–х годах [19].

В настоящее время в работах, посвященных анализу спектров звезд, приводятся достаточно точные значения лучевой скорости для звезд различных спектральных классов, полученные при определении величины размытия выбранных спектральных линий [20, 21].

Однако, несмотря на заметный рост разрешающей способности спектральных приборов, используемые в настоящее время методы спектральных исследований в большинстве случаев не позволяют определить реальную экваториальную скорость и наклон оси вращения астрофизического объекта в пространстве.

Исключение составляют случаи двойных систем, когда экваториальная плоскость совпадает с плоскостью орбиты системы. Кроме того, в работах Дж. Хатчингса [22, 23] предложен метод определения экваториальной скорости для ярких звезд верхней части главной последовательности, который основан на различии гравитационного потемнения между далекой ультрафиолетовой областью и видимым континуумом во вращающейся звезде, что приводит к более узким профилям линий в ультрафиолетовой области спектра. Данный метод обладает рядом недостатков, в том числе большой погрешностью измерений и отсутствием информации о пространственной ориентации оси вращения астрофизического объекта.

В четвертой главе обсуждается разработанный автором метод определения кинематических характеристик удаленных вращающихся астрофизических объектов по параллактическим вариациям профилей спектральных линий. Следует отметить, что данный метод при определенных условиях позволяет определить расстояние до астрофизического объекта на основе данных спектрометрических наблюдений, что представляет альтернативный канал определения расстояний до звезд [24–26].

Прогресс в области пространственно–временного описания физических процессов обычно связывается с расширением группы Лоренца, основанном или на специальном формализме с изучением инвариантных свойств уравнений частного вида, или с изучением математической допустимости возможных преобразований [27].

Вместе с тем в некоторых физических экспериментах могут проявляться известные неинвариантные свойства преобразований, например, для частных дифференциалов, что зависит от используемого метода измерений [28,29].

Здесь можно указать на эксперимент по измерению времени регистрации нейтринного всплеска от SN1987A нейтринными и гравитационно– волновыми детекторами, в котором была измерена аномально большая задержка времени регистрации сигнала разнесенными детекторами [30, 31].

Вспышка была зарегистрирована гравитационными антеннами в Мэриленде и Риме, а также нейтринным детектором в Монте–Бланке, имеющими привязку к всемирному времени. Показания детекторов имеют корреляцию в течение 2 ч. с отставанием сигнала, записанного нейтринным детектором, на 1,1 с. Вероятность случайного совпадения показаний составляет 10 5.

Измеренная задержка времени регистрации сигнала, распространяющегося со скоростью света в вакууме в любой ИСО, не может быть объяснена временем запаздывания сигнала при распространении между детекторами и приводит к необходимости анализа адекватности используемой измерительной процедуры и соответствующих преобразований координат.

Необходимо указать на возможность случая, когда источником сигнала, зарегистрированного детекторами в Монте–Бланке, является не вспышка SN1987A, а другой физический источник. Поэтому в данной работе автор приводит расчет времени задержки регистрации вспышки сверхновой наземными детекторами как один из примеров рассмотрения измерительной процедуры, требующей учета неинвариантных свойств преобразований.

Используемая в данном эксперименте измерительная процедура построена на сравнении мгновенных значений собственных параметров физических процессов (собственного времени разнесенных часов) в различные моменты времени и основана на процедуре синхронизации удаленных часов. Это приводит к необходимости получения преобразований, которые могут применяться в случае процедуры сравнения мгновенных значений собственных параметров в различных движущихся ИСО в различные моменты времени.

В пятой главе предложен метод построения общих преобразований независимых переменных, основанный на использовании неинвариантных свойств частных дифференциалов для уравнений исходной группы [32–35].

Анализ показывает, что преобразования являются дополнительными для основной группы, на которой они строятся, и могут быть получены путем удержания временной и пространственной координат физически независимыми при переходе к произвольной ИСО. Подобные преобразования точно согласуются с результатами преобразований используемой группы относительно исходной ИСО, имеют согласие с известными экспериментами и могут быть использованы при расширении группы Лоренца.

Рассмотренные в книге электромагнитные процессы могут быть положены в основу методов регистрации гравитационного излучения, методов исследования особенностей взаимодействия электромагнитной волны с движущейся средой, методов определения кинематических характеристик и расстояния до удаленных астрофизических объектов, методов исследования специальных релятивистских эффектов, а также развития формализма теории относительности.

Подавляющая часть приведенных в книге результатов опубликована автором и обсуждалась на конференциях и научных семинарах в период с 1989 по 2000 гг.

Часть результатов, относящихся к исследованиям резонатора Фабри–Перо и методам регистрации гравитационных волн, опубликована в книге А.Н.Морозова [36] и совместной монографии [37].

Большая часть результатов, приведенных в книге, получена на основе численных расчетов и реализована в виде прикладных программ, которые могут быть предоставлены заинтересованным лицам или организациям.

В приложении приведены тексты нескольких компьютерных программ, позволяющие проводить расчеты отклика РФП на гравитационное излучение, вариации профилей спектральных линий вращающихся астрофизических объектов при движении спектральных приборов, а также расчеты параметров электромагнитного излучения во вращающихся средах.

Глава 1. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ В МНОГОЛУЧЕВОМ

ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ФАБРИ–ПЕРО

Проблема регистрации гравитационного излучения во многом зависит от решения комплекса инженерно–физических задач, связанных с регистрацией сверхмалых смещений пробных тел, обусловленных искривлением пространственно–временного континуума.

К числу прецизионных устройств, нашедших свое удачное применение во многих областях науки и техники, включая сравнительно молодую область гравитационно–волновой астрономии, можно отнести интерферометр Фабри–Перо, обладающий высокой чувствительностью к смещению зеркал.

Предметом данной главы является описание общей математической модели интерферометра с зеркалами на пробных телах, разработка математического формализма, позволяющего упростить выкладки и численные расчеты, а также обсуждение некоторых результатов исследований новых физических явлений.

На основе полученной модели будут проведено исследование динамики РФП с учетом сил светового давления, а также изучены физические особенности низкочастотного оптического резонанса, позволяющие использовать данное физическое явление для разработки новых методов регистрации гравитационного излучения.

Особенности регистрации гравитационных волн с использованием интерферометра Фабри–Перо будут подробно обсуждены в следующей главе на основе анализа математической модели интерферометра.

Основные результаты, приведенные в данной главе, получены совместно А.Н.Морозовым и автором. Математическая модель, полученная в п.1.4., была использована в качестве основы для компьютерного моделирования процессов регистрации ГВ на квазигармонические возмущения. Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику зеркал РФП и эволюцию оптического отклика на ГВ сигнал, выполнено методами динамического моделирования (Приложение А). Результаты прямых численных расчетов подтвердили правильность аналитических выражений для РФП с высокой точностью.

1.1. Особенности аналитического описания электромагнитного излучения в многолучевом интерферометре Фабри–Перо Рассмотрим многолучевой свободномассовый резонатор Фабри–Перо, источником излучения для которого является когерентный оптический излучатель с частотой e = e / 2 и мощностью P0 (t ), создающий на входе в резонатор амплитуду световой волны E0 (t ). Пусть зеркало S1 установлено в положении с координатой x1 и характеризуется амплитудными коэффициентами отражения R1, пропускания T1 и поглощения B1, а зеркало S 2, установленное в положении с координатой x 2, характеризуется соответственно амплитудными коэффициентами R2, T2, B2 (рис.1.1). Величина L0 = x 2 x1 является невозмущенной длиной РФП. Заметим, что зеркала под воздействием силы давления электромагнитной волны должны смещаться, в результате чего длина резонатора L0 будет зависеть от параметров оптической накачки.

Будем считать потери на зеркалах достаточно малыми, так что выполняется условие Рис. 1.1. Многолучевой резонатор Фабри-Перо выполнен в виде двух плоских зеркал, подвешенных на тонких нерастяжимых нитях к единому основанию Пусть зеркала S1, S 2 обладают массами покоя M 1 и M 2 и испытывают произвольные воздействия, которые приводят к изменению положения зеркал по законам x1 (t ) и x2 (t ). Суммарное смещение зеркал относительно положений равновесия соответствует следующему выражению Тогда для амплитуды плоской монохроматической электромагнитной волны, падающей на зеркало S1 от источника излучения в некоторый произвольный момент времени t, имеет место следующее выражение где e – частота электромагнитной волны оптической накачки в вакууме, 0 (t ) – начальная фаза электромагнитной волны, k e – волновой вектор электромагнитной волны. Для конкретности можно считать, что электромагнитная волна является линейно поляризованной, однако, так как излучение распространяется в среде без оптической активности и вне источников существенного магнитного поля, вращение плоскости поляризации отсутствует.

Для амплитуды электромагнитной волны, прошедшей зеркало S1, а также для волны, прошедшей расстояние между зеркалами и падающей на S 2, можно соответственно записать где 1 – сдвиг фазы при прохождении через зеркало S1, t 0 = L0 / c –время однократного прохождения электромагнитной волной расстояния между зеркалами.

Для амплитуды электромагнитной волны, отраженной зеркалом S 2, и для амплитуды электромагнитной волны, прошедшей L0 и падающей на S1 после одного цикла отражений, можно записать Здесь 2 – сдвиг фазы электромагнитной волны при отражении от зеркала S 2.

Амплитуда электромагнитной волны, отраженной зеркалом S1 в направлении источника излучения, амплитуда электромагнитной волны, отраженной зеркалом S1 и прошедшей расстояние 2L0, а также амплитуда электромагнитной волны, прошедшей оба зеркала резонатора, имеют следующий вид:

Здесь 1 – сдвиг фазы при отражении от зеркала S1, 2 – сдвиг фазы при прохождении через зеркало S 2.

После n циклов переотражений от зеркал резонатора Фабри–Перо амплитуды электромагнитных волн, соответствующих выражениям (1.3)–(1.9), имеют следующий вид:

В уравнениях (1.10)–(1.15) принималось, что в общем случае фазовая настройка резонатора Фабри–Перо удовлетворяет следующему условию где – суммарный сдвиг фазы при однократном переотражении от зеркал резонатора Фабри-Перо, – фазовая настройка резонатора, N – натуральное число.

Амплитуда электромагнитного поля в момент времени t на зеркале S образуется из амплитуд всех интерферирующих волн, образующих оптический отклик резонатора, поэтому результирующие уравнения должны включать суммы амплитуд лучей, представленных уравнениями (1.10)–(1.15).

Получим уравнения для интенсивностей и фаз отраженного, прошедшего резонатор Фабри–Перо излучения, а также для излучения внутри резонатора для произвольных законов изменения мощности оптической накачки и начальной фазы электромагнитной волны на входе в резонатор Фабри–Перо.

В соответствии с принятыми обозначениями амплитуды электромагнитных лучей после n циклов переотражений будут суммироваться следующим образом:

Поскольку уравнения для интерферирующих лучей (1.10)–(1.15), входящие в уравнения (1.17)–(1.22), записаны для амплитуды электромагнитного поля, то уравнения для интенсивностей излучения будут иметь следующий вид:

комплексно сопряженные по отношению к действительным величинам Найдем уравнения для интенсивностей и фаз электромагнитного излучения в соответствии с формулами (1.23)–(1.29).

После подстановки (1.10) в (1.17) можно получить следующее уравнение где Вынесем часть экспоненты, которая не зависит от n, а оставшуюся часть экспоненты разложим по формуле Эйлера Выражение в квадратных скобках под знаком суммы представляет собой комплексную функцию. Умножение E (1) (t ) на комплексно сопряженную величину E (1) (t ) позволяет избавиться от мнимой части уравнения После подстановки выражений (1.33)–(1.35) в (1.24) можно получить окончательные уравнения для интенсивности суммы электромагнитных волн отраженных зеркалом S1, а также прошедших S1 и движущихся от S1 к S 2 :

Нахождение интенсивностей электромагнитных волн в соответствии с формулами (1.23), (1.25)–(1.29) можно провести аналогично на основе проведенной процедуры преобразований. Полученные уравнения имеют следующий вид:

Уравнения записаны для произвольных законов изменения мощности и начальной фазы оптической накачки, а также произвольной формы возмущения расстояния между зеркалами, и могут быть использованы в общей системе уравнений, описывающих РФП.

Следует отметить, что полученные уравнения не учитывают влияние эффекта Доплера на частоту электромагнитного излучения, циркулирующего в полости РФП. Однако, во–первых, величина данного эффекта на средних частотах колебаний зеркал весьма мала, и, во–вторых, качественное описание физических процессов, которые будут рассмотрены ниже, не требует учета данного явления.

1.2. Исследование динамики резонатора Фабри–Перо в поле сил В свободномассовом интерферометре Фабри–Перо сила давления излучения на зеркала является одним из источников нелинейных характеристик его работы. Как отмечалось в работах [5-7], мощная оптическая накачка может привести к возникновению нестационарных режимов работы РФП.

Рассмотрим случай стационарного режима оптической накачки, для которого амплитуда электромагнитной волны E 0 (t ) и начальная фаза 0 (t ) являются постоянными. Для получения оценки величины силы светового давления на зеркала резонатора сделаем вывод формулы силы светового давления на зеркало S 2.

Уравнение (1.11) для амплитуды электромагнитного поля в момент t на зеркале S 2 S 2, которое образуется из суммы амплитуд всех интерферирующих волн, может быть записано в следующем виде Учитывая, что время, за которое изменение координат зеркал становится существенным, много больше, чем время одного переотражения в резонаторе, можно записать Использование данного условия при стационарном режиме оптической накачки позволяет записать уравнение (1.53) в следующем виде После выполнения суммирования уравнение (1.55) приводится к виду Тогда выражения для интенсивности прошедшего и отраженного РФП света с учетом многократного переотражения лучей могут быть получены путем умножения E (t ) на комплексно сопряженную величину Здесь I 0 – интенсивность света на входе РФП, 0 – диэлектрическая постоянная, 1 = 1 R1 T12, c – скорость света в вакууме.

Для силы давления оптического излучения на зеркало S 2 соответственно можно записать где P0 = I 0 S – мощность оптического излучения на зеркале площадью S.

При выполнении условий постоянства длины резонатора Фабри–Перо и при равенстве амплитудных коэффициентов отражения и пропускания зеркал, малости потерь на зеркалах, условии нормального падения излучения на поверхность зеркал выражение (1.60) упрощается и приводится к формуле Эйри [38].

Измерение малых сил и перемещений при реализации многолучевой интерференции приводит к необходимости выполнения условия параметров резонатора Фабри–Перо, используемого в качестве элемента лазерного интерферометра для регистрации гравитационных волн внеземного происхождения.

Предположим, что после однократного импульсного возмущения, вызванного, например, прохождением сейсмической волны, пробное тело приобрело энергию W, диссипирующую за время t 1. В течение этого времени колебания массы считаем свободными. Это предположение на практике выполняется с высокой точностью, так как для снижения стандартного квантового предела колебательную систему изготавливают высокодобротной [44]. Тогда такая система будет являться нелинейной квазиконсервативной системой [45], и период колебаний, установившихся за время t, будет выражаться формулой где – суммарная потенциальная энергия пробного тела в полях силы тяжести и светового давления; x1 и x 2 – значения координаты пробного тела с зеркалом РФП, при которых потенциальная энергия 0 ( x) становится равной W.

В этом случае, используя выражение (1.70), уравнение (1.74) приводится к виду После раскрытия скобок и приведения к стандартному виду многочлена в знаменателе (1.76) получаем где введены следующие обозначения для коэффициентов кубического уравнения Решение (1.77) может быть представлено в виде где x1, x 2, x3 – корни кубического уравнения в знаменателе (1.77), а (, n, k ) – эллиптический интеграл 3–го рода, n – параметр, k – модуль эллиптического интеграла.

Используя известное выражение эллиптического интеграла 3–го рода через эллиптические интегралы 1–го и 2–го рода [46] при условии, что x1 x x2 > x0 > x3, запишем где K (k ), E (k ) – полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода: E (, k ), F (, k ) – неполные связанные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода.

Параметру, модулю и дополнительному модулю эллиптических интегралов первого и второго рода соответствуют выражения:

при выполнении условия 1 n k 2.

Корни кубического уравнения в знаменателе (1.77), которые входят в (1.79), (1.80), были найдены из тригонометрического решения кубического уравнения.

Для расчетов по формулам (1.79), (1.80) использовались таблицы эллиптических интегралов K (k ), E (k ), E (, k ), F (, k ) [47] при следующих значениях параметров рассматриваемой системы: 0 = 4,5 рад/с, x0 = 5 10 9 м, = 0.1 рад. Амплитуда импульсного возмущения принималась равной A0 = 5 10 9 м, что соответствует амплитуде сейсмических колебаний в НЧ области спектра [42].

Для указанных характерных значений системы зеркал РФП в поле электромагнитной волны накачки частота установившихся колебаний зеркал после импульсного возмущения становится равной = 2 / T (W ) = 9.6 рад/с, что более чем в два раза превышает собственную частоту 0 = 4.5 рад/с невозмущенных колебаний зеркала РФП. Полученная величина свидетельствует о значительном изменении спектральных свойств свободно– массового резонатора Фабри–Перо в поле случайных возмущений, что может привести к большим значениям амплитуд колебаний зеркал в той области спектра, где необходимо проводить измерения.

В случае малых мощностей излучения обсуждаемые особенности динамики зеркал РФП не могут играть существенного значения. Однако в случае регистрации гравитационного излучения мощность оптической накачки достаточно высока, что требует учета эффекта трансформации спектра колебаний зеркал. Здесь следует отметить, что в ЛИГА будут доминировать в диапазоне 35-100 Гц именно тепловые флуктуации [282], которые будут возникать в подвесе зеркал, пробных массах.

Для выяснения вопроса о роли ВЧ составляющих спектра колебаний зеркал РФП на процесс регистрации гравитационно–волнового сигнала необходимо провести расчет амплитуды ВЧ гармоник зеркал по отношению к начальной частоте и амплитуде шумового возмущения. Подобный расчет будет выполнен в следующей главе, посвященной особенностям регистрации ГВ на основе РФП.

1.3. Низкочастотный оптический резонанс в многолучевом 1.3.1. Уравнения низкочастотного оптического резонанса Интерферометр Фабри–Перо обладает широкополосным характером отклика, что дает значительное преимущество при использовании его в качестве базового элемента интерференционной гравитационной антенны [48].

При этом предполагается, что резонансный отклик интерферометра Фабри– Перо возникает только в случае, когда на длине резонатора укладывается целое число длин полуволн возмущающего воздействия.

Учитывая, что для реально строящихся интерферометров этому соответствуют высокие частоты, на которых амплитуда ожидаемых сигналов незначительна, данное резонансное свойство интерферометра практически не может быть использовано.

Однако детальное изучение поведения стоячей электромагнитной волны в резонаторе Фабри–Перо приводит к выводу о наличии более низкочастотного оптического резонанса, характер которого зависит от длины L0 и фазовой настройки резонатора, а также количества переотражений в нем.

Интенсивность вышедшего из многолучевого резонатора Фабри–Перо оптического излучения зависит от параметров настройки интерферометра и характеристик оптической накачки на входе в резонатор. Изменение с течением времени расстояния L0 между зеркалами, амплитуды E 0 или фазы 0 электромагнитной волны на входе в РФП приводит к изменению интенсивности прошедшего I T и отраженного I R света.

Если внешнее воздействие E0 (t ), 0 (t ) или x(t ) имеют характер гармонического сигнала с периодом, равным времени переотражений луча в РФП, то электромагнитная волна после некоторого количества переотражений в РФП может иметь фазу, совпадающую с фазой начальной волны. Поэтому, возможно, оптический отклик многолучевого резонатора на такие возмущения будет существенно выше, чем на воздействия, имеющие другую собственную частоту.

Анализ показывает, что возникновение низкочастотного резонансного отклика связано с возникновением интерференции лучей в РФП, претерпевающих многократное переотражение и имеющих одинаковую фазу.

Для исследования указанных низкочастотных резонансных свойств оптического отклика большебазного интерферометра Фабри–Перо проведем аналитическое изучение уравнений, содержащих суммы амплитуд и фаз интерферирующих лучей.

Пусть на резонатор Фабри–Перо падает плоская электромагнитная волна с амплитудой E0 (t ) и фазой 0 (t ). Тогда на основе уравнений (1.49) и (1.52) для интенсивности прошедшего и отраженного резонатор излучения можно записать где – представляет собой универсальную функцию, включающую квадрат суммы амплитуд всех интерферирующих в РФП электромагнитных волн.

Уравнение (1.84) можно представить в общем виде следующим образом где E (t ) – сумма амплитуд интерферирующих лучей, E (t ) – комплексно сопряженная величина. Для функции E (t ) можно записать на основе (1.30) и (1.31) следующее уравнение здесь суммирование начинается с n = 0.

При подстановке (1.86) в (1.85) и умножении на комплексно сопряженную величину E (t ) экспоненты перед Z (t ) и Z (t ) сокращаются и уравнение (1.85) может быть записано в виде После подстановки (1.87) данное уравнение приводится к следующему виду Возведем в квадрат выражения в квадратных скобках. Тогда уравнение (1.90) запишется следующим образом Следует отметить, что суммирование в приведенном выражении производится по двум переменным: n, l.

Суммирование 1–го и 3–го членов приводит к упрощению выражения.

Далее, раскрывая произведения 2–го и 4–го слагаемых в (1.91) и приводя подобные члены, можно записать это уравнение в более простом виде В окончательном виде уравнение для Y (t ) можно записать после вынесения общего знака суммы за скобку и внесения множителя ( R1 R2 ) n под знак второй суммы в (1.92) Для дальнейшего исследования свойств функции Y (t ) представим уравнение (1.93) в интегральной форме. В общем случае количество лучей, которые переотражаются в РФП, может быть велико и поэтому предел суммы можно рассматривать при n, стремящемся к бесконечности. Кроме того, функции, которые находятся под знаком суммы, ограничены, а сами суммы сходятся.

Уравнение (1.93) может быть представлено в виде интегрального уравнения следующего вида где приняты следующие обозначения 3 = t 2lt 0, а также использовано условие (1.54).

Для описания эволюционного процесса в оптическом отклике РФП получим дифференциальное уравнение, соответствующее (1.94). Для этого проведем дифференцирование интегрального уравнения для Y (t ) по времени.

Для первого слагаемого в Y (t ) получим Здесь и далее мы используем правило дифференцирования интеграла по параметру Для второго слагаемого в Y ( t ) после дифференцирования двойного интеграла можно получить где Как можно заметить, первые члены в (1.96) и (1.98) образуют функцию Y ( t ), умноженную на постоянную величину, поэтому для Y ( t ) можно записать следующее дифференциальное уравнение где В уравнение (1.100) входит величина Z (t ), которая имеет интегральный вид записи. Для того чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем функцию Z (t ) и ее первую производную, используя (1.97). Получим для первой производной Для второй производной Произведем подстановку уравнения (1.103) в (1.105). Для этого выразим функцию Z1 (t ) через Z (t ) и Z (t ) Подставим выражение для Z1 (t ) в (1.105). После приведения подобных членов это уравнение может быть записано в виде Таким образом, мы получили два дифференциальных уравнения (1.100) и (1.107), которые совместно описывают эволюцию оптического отклика РФП для произвольных законов изменения E 0 (t ) и 0 (t ). Они представляют собой исходные уравнения для изучения физических свойств системы лазер – РФП на основе аналитического или численного решения этих уравнений.

1.3.2. Физические свойства периодического решения уравнений Дифференциальные уравнения, описывающие оптический отклик РФП во времени, имеют по крайней мере одно периодическое решение, которое представляет собой отклик на внешнее гармоническое возмущение.

Действительно, рассмотрим более подробно уравнения (1.100) и (1.107).

Первое из них описывает динамику величины Y (t ), представляющую собой квадрат суммы амплитуд всех интерферирующих лучей. Второе записано относительно величины Z (t ), которая пропорциональна сумме амплитуд всех интерферирующих лучей. В этом можно убедиться, сравнивая уравнения (1.86)–(1.88) и (1.102).

Коэффициенты, которые стоят в левой части уравнения (1.107), имеют размерности затухания и квадрата частоты, поэтому перепишем уравнение для Z, введя соответствующие обозначения где Как следует из уравнения (1.108) величина Z (t ) подчиняется уравнению осциллятора с одной степенью свободы. Если воздействие x(t ), E 0 (t ) или 0 (t ) имеют вид гармонического сигнала на частоте, совпадающей с собственной частотой осциллятора 0, возникает низкочастотный оптический резонанс, добротность которого обратно пропорциональна потерям на зеркалах.

Рассмотрим случай, когда по гармоническому закону изменяется только x(t ), (E 0 (t ) = E 0, 0 (t ) = 0 ). Тогда при выполнении условий, которые реализуются в многолучевом РФП при измерении малых перемещений, т.е.

при 20 Гц, что находится на грани астрофизических прогнозов для амплитуды ГВ.

В известном эксперименте с прототипом большебазного интерферометра Массачусетского технологического института [130] были получены кривые спектральной плотности колебаний зеркал интерферометра при малой мощности оптической накачки. На рис. 2.16 приведены результаты измерения спектральной плотности шума (график 1).

Рис. 2.16. Спектральная плотность шума, измеренная прототипом большебазного многолучевого свободномассового РФП (график 1). Расчетная спектральная плотность шума для параметров прототипа ЛИГА (график 2) В этих экспериментах лазер обладал мощностью P0 =10 мВт, длина плеча интерферометра была равна L0 =1.46 м, количество переотражений n =56, масса зеркал M =8 кг.

Амплитуда смещений зеркал интерферометра находилась на уровне 10 10 м/ Гц вблизи 50 Гц и уменьшалась до 10 16 м/ Гц вблизи 10 4 Гц.

Для параметров этого прототипа нами был выполнен расчет эффекта переноса остаточных колебаний пробных тел в высокую область частот по формулам (2.30). За амплитуду колебаний пробных тел на частоте 10 Гц принималась величина A0 = 2 10 10 м. Амплитуда 1–й гармоники принималась равной A1 = 0.5 ( x0 + A0 ), потери на зеркалах соответствовали = 0.1.

Как следует из приведенного графика для переноса колебаний зеркал с частоты 10 Гц в более ВЧ область (пунктирная линия), в области 1 кГц амплитуда колебаний зеркал составляет величину 2 10 15 м/ Гц. График находится ниже измеренной экспериментальной кривой и подтверждает незначительное влияние данного эффекта при малых мощностях оптической накачки.

В разрабатываемых большебазных проектах предполагается использование лазеров с большой мощностью излучения 10 2...10 3 Вт. Так, например, в проекте VIRGO, предполагается использовать YAG лазер мощностью не ниже 40 Вт и эффективной мощностью 500 Вт, который создаст силу давления излучения на зеркала РФП значительно превышающую значения, достигнутые в известных экспериментах.

В работе [131] были сделаны расчеты нелинейного эффекта переноса колебаний зеркал в высокочастотную область спектра для параметров большебазного многолучевого интерферометра Фабри–Перо. При этом использовались следующие параметры: P0 = 10 3 Вт, M =100 кг, амплитуда остаточных колебаний зеркал с использованием специального изолятора сейсмического шума A0 = 10 10 м на частоте 5 Гц [41], средние потери на зеркалах 10 3, амплитуда 1–й гармоники A1 = 0.95 ( x0 + A0 ).

Результаты расчетов по формуле (2.38) приведены на рис. 2.16 для параметров, использованных в эксперименте по измерению приведенного на рис.

спектра колебаний зеркал. В диапазоне частот 100…200 Гц расчетная амплитуда колебаний составила 10 12 м/ Гц, а в диапазоне 1 кГц порядка 10 16 м/ Гц, что на 2–3 порядка превышает требуемое значение амплитуды колебаний пробных тел.

В результате проведенных расчетов можно сделать вывод о существенном ограничении чувствительности ЛИГА за счет исследуемого нелинейного эффекта давления лазерного излучения на зеркала РФП в области 10… Гц.

Кроме того, как следует из проведенного анализа, использование специальных ослабителей сейсмического шума не может обеспечить ту величину амплитуды колебаний зеркал РФП, которая была измерена в экспериментах с ослабителями сейсмического шума и была подтверждена расчетами [42, 129]. Этот вывод следует из того, что измерения и расчеты проводились для уединенной пробной массы без включения ее в систему лазер – РФП.

Вопрос о возможном включении сейсмоослабителя в активную систему сейсмоизоляции также требует дополнительных исследований с учетом конструктивных особенностей сейсмоизолятора и нелинейного эффекта давления излучения на зеркала РФП. Во всяком случае, расчет обратной связи необходимо проводить минимизируя обнаруженный эффект.

2.5. Регистрация гравитационных волн с использованием низкочастотного оптического резонанса Детальное исследование резонансных свойств РФП было проведено на основе численного решения самосогласованной системы из дифференциальных уравнений, описывающих движение зеркал РФП (1.128)– (1.132) и возбуждение стоячей электромагнитной волны в резонаторе (1.133)–(1.146), которые были получены в первой главе.

В расчетах использовались параметры, характерные для лазерных интерференционных гравитационных антенн третьего поколения, основными элементами которых являются большебазные многолучевые свободномассовые РФП.

2.5.1. Численное решение самосогласованной системы уравнений В численных расчетах использовалась система уравнений многолучевого свободно–массового большебазного резонатора Фабри–Перо. Уравнения преобразовывалась тем или иным методом [237, 259] в систему уравнений, удобную для численного счета, с учетом ряда выбранных конкретных условий и параметров системы лазер–резонатор Фабри–Перо.

Суммарная погрешность решения дифференциальных уравнений была пропорциональна квадрату величины шага и минимизировалась увеличением количества интерферирующих лучей.

В расчетах использовались реальные параметры РФП, при которых по аналитическим оценкам существует несколько известных физических явлений, позволяющих провести проверку полученной математической модели РФП. Выбранные параметры подбирались близкими параметрам, при которых возникает низкочастотный оптический резонанс.

Расчеты проводились при отсутствии внешних шумовых возмущений зеркал резонатора.

Зеркала РФП предполагались свободно подвешенными на нерастяжимых нитях одинаковой длины l. Собственные частоты колебаний зеркал соответствовали где g – гравитационная постоянная.

Начальная фаза 0 (t ) и амплитуда E0 (t ) электромагнитной волны оптической накачки принимались постоянными: 0 = 0 и E0 (t ) = E0.

Для численных расчетов дифференциальные уравнения движения зеркал резонатора были преобразованы к разностному виду по методу Эйлера.

При расчетах затухание выбиралось в отношении к частоте сигнала как = gw / 2, что позволило моделировать затухающий сигнал, близкий по форме к гармоническому.

Силы давления излучения на зеркала рассчитывались по формулам (1.131), (1.132).

Количество лучей, которые использовались в расчетах, выбиралось равным числу эффективно интерферирующих лучей Расчеты проводились при разных частотах ГВ–сигнала вблизи резонансной частоты 0, величина которой предварительно оценивалась по (1.113).

Полученные значения для величины постоянного смещения зеркал в поле оптической накачки, собственной частоты колебаний зеркал, а также параметров оптического отклика при квазигармоническом возмущении длины резонатора подтвердили предварительные оценки. Также были изучены свойства формы оптического отклика при различных частотах возмущений.

В расчетах использовались характерные параметры системы лазер – РФП (Таблица 2.2.).

Для низкочастотного оптического резонанса при используемых параметрах системы лазер – РФП по формулам (1.113)–(1.115) были получены оценочные параметры, которые приведены в таблице 2.3.

Для гравитационно–волнового сигнала вида (2.2) использовались параметры, которые являются наиболее вероятными для ГВ космического происхождения (Таблица 2.4.).

Через некоторое время после начала расчетов для координат зеркал и оптического отклика резонатора устанавливались затухающие колебательные процессы в поле сил светового давления на собственных частотах зеркал 0i. При этом ГВ–сигнал отсутствовал. После того как амплитуда колебаний зеркал уменьшалась до значений, существенно меньших, чем необходимая чувствительность для регистрации слабого ГВ–сигнала, зеркала занимали устойчивые положения в точках равновесия сил светового давления. Эти положения зеркал являлись начальными значениями для последующих расчетов при воздействии гравитационного излучения.

Параметры системы лазерсвободномассовый РФП Волновой вектор электромагнитной волны оптической накачки (Ge–Ne лазер) Начальная фаза электромагнитной волны Мощность оптической накачки Длина резонатора Фабри–Перо Коэффициент отражения Коэффициент пропускания Коэффициент поглощения Эффективное число интерферирующих лучей Площадь апертуры зеркала Масса зеркала с пробным телом Собственная частота зеркала с пробным телом Затухание колебаний Фазовая настройка резонатора Потери фазы за один цикл отражений на зеркалах Потери фазы при прохождении зеркала Начальные положения зеркал Параметры низкочастотного оптического резонанса Параметры гравитационно–волнового сигнала Амплитуда ГВ–сигнала Диапазон коэффициента затухания Для принятых параметров системы лазер – РФП постоянное смещение зеркал составило:

Значения x01 и x 02 входили в начальные условия для последующих расчетов при FGW > 0.

Результаты расчетов приведены на рис. 2.17–2.23.

На рис. 2.17 приведена форма оптического отклика РФП в относительных единицах dPT (t ) = (PT (t ) P0 (t ) ) / P0 при частоте GW = 1.5 кГц, меньшей, чем расчетная резонансная частота низкочастотного оптического резонанса.

Рис. 2.18 иллюстрирует резонансный характер отклика РФП для гравитационно–волнового воздействия при частоте ГВ, совпадающей с резонансной частотой низкочастотного оптического резонанса в РФП 0 = 2 кГц.

Как видно из рис. 2.18, максимум отклика dPT (t ) отстает от максимума h(t ) на интервал времени t, что свидетельствует о характерном для резонансного возбуждения осциллятора постепенном увеличении амплитуды отклика РФП.

Рис. 2.17. Зависимость относительной амплитуды оптического отклика РФП от времени при частоте ГВ-сигнала, меньшей, чем резонансная частота низкочастотного Рис. 2.18. Зависимости относительной амплитуды оптического отклика РФП и амплитуды ГВ-сигнала от времени при частоте ГВ-сигнала, равной резонансной частоте низкочастотного оптического резонанса ( GW = 2 кГц ) Рис. 2.19. Зависимости относительной амплитуды оптического отклика РФП и амплитуды ГВ-сигнала от времени при частоте ГВ-сигнала, большей, чем резонансная частота низкочастотного оптического резонанса ( GW = 3.5 кГц ) При частотах воздействий GW > 0 амплитуда отклика уменьшается и огибающая отклика dPT носит колебательный характер. На рис. 2.19 представлена форма отклика РФП на частоте GW = 3.5 кГц.

На рис. 2.20 показана зависимость отставания n –го максимума огибающей dPT (t ) оптического отклика РФП от максимума огибающей гравитационно–волнового сигнала. Эта зависимость указывает на то, что максимум запаздывания отклика t соответствует первому максимуму огибающей dPT (t ) и приходится на резонансную частоту 0 = 2 кГц.

Зависимость амплитуды оптического отклика от частоты гравитационно– волнового сигнала представлена на рис. 2.21. Как следует из графика, в оптическом отклике РФП существует резонанс, частота которого точно соответствует расчетной величине 0 = 2 кГц.

По полученным численным данным были проведены расчеты спектральных характеристик оптического отклика РФП.

Спектральная плотность и мощность оптического отклика dPT (t ) рассчитывались стандартным способом по разложению функции в ряд Фурье.

Величина суммы погрешностей вычисления отклика РФП и его спектральных характеристик была оценена на уровне 2%.

Рис. 2.20. Зависимость функции отставания оптического отклика РФП от максимума ГВ-сигнала при различных частотах Рис. 2.21. Зависимость мощности оптического отклика РФП от частоты График мощности выходного оптического сигнала WS ( ) в полосе ( 0 500, 0 + 500) Гц для указанных выше параметров системы лазер – РФП представлен на рис. 2.22. Как следует из приведенного графика, на частоте = 0 = 2 кГц мощность оптического отклика возрастает приблизительно в 7 раз по сравнению с мощностью отклика на его пологих краях.

Эти графики, полученные на основе прямого численного решения самосогласованной системы дифференциальных уравнений движения зеркал РФП в поле светового давления и возмущающего координату зеркал воздействия, также свидетельствует о наличии у РФП низкочастотных резонансных свойств. Учитывая то, что при обычных измерениях не учитывается данное резонансное свойство РФП, его использование может значительно увеличить чувствительность измерений слабых сил в области низких частот.

Также были проведены расчеты смещения частоты установившихся вынужденных колебаний стоячей электромагнитной волны в РФП при большом коэффициенте затухания. Как известно, при увеличении коэффициента затухания в уравнении осциллятора происходит смещение частоты установившихся вынужденных колебаний rez по сравнению с резонансной частотой осциллятора 0. Данная зависимость определяется известной формулой Рис.2.22. Зависимость мощности выходного оптического сигнала WS ( ) В расчетах были изменены некоторые параметры РФП, которые приведены в таблице 2.5.

Соответственно были изменены расчетные параметры низкочастотного оптического резонанса (Таблица 2.6.).

Фазовая настройка резонатора Коэффициент отражения зеркал Коэффициент пропускания Коэффициент поглощения Эффективное число интерферирующих лучей Параметры низкочастотного оптического резонанса Резонансная частота Коэффициент затухания Добротность низкочастотного оптического резонанса Результаты расчетов представлены на рис. 2.23. Как видно из графика, максимум оптического отклика смещен из расчетного значения 0 = 4 кГц влево до значения rez = 3.56 кГц, что согласуется с расчетом по формуле (2.33).

Таким образом, как было установлено в ходе численных расчетов по самосогласованной системе уравнений многолучевого интерферометра Фабри– Перо, оптический отклик РФП подчиняется классическому уравнению осциллятора. Значения резонансной частоты, затухания и добротности колебаний стоячей оптической волны в РФП, полученные в ходе численных расчетов, совпадают с расчетными по приближенным формулам.

Рис. 2.23. Зависимость мощности оптического отклика РФП от частоGW Результаты численных расчетов также включают значения постоянных смещений зеркал РФП в поле светового давления и собственные частоты колебаний зеркал резонатора, которые также с точностью до третьего знака согласуются с аналитически рассчитанными величинами.

Таким образом, в ходе численных исследований математической модели РФП [56] было установлено, что резонансные свойства РФП влияют на чувствительность измерений в области низких частот и увеличивают вероятность обнаружения слабого сигнала при соответствующей фазовой настройке уже существующих и строящихся интерферометров.

2.5.2. Низкочастотный оптический резонанс при модуляции амплитуды Низкочастотный оптический резонанс в многолучевом резонаторе Фабри–Перо, представляет собой селективный отклик на внешние воздействия, имеющие частоту, близкую к 0 = / 2t 0, где – фазовая настройка резонатора, t 0 – интервал времени, за который свет проходит расстояние между зеркалами резонатора [53]. В предыдущем параграфе было показано, что для достигнутых параметров системы лазер–резонатор в строящихся интерферометрах с длиной плеч порядка 10 3 м можно повысить чувствительность гравитационных антенн в 10 3 раз.

Для меньших размеров резонатора низкочастотный оптический резонанс возникает на высоких частотах, превышающих рабочий спектральный диапазон измерений, и не может быть непосредственно использован в ЛИГА.

Однако, несмотря на это, данные резонансные свойства РФП могут быть использованы для повышения чувствительности лазерных интерференционных гравитационных антенн относительно небольших размеров.

В данном параграфе рассмотрен метод повышения чувствительности интерференционных гравитационных антенн на основе резонатора Фабри– Перо размером до 100 м благодаря использованию низкочастотного оптического резонанса и амплитудной модуляции оптической накачки. На основе численных расчетов показано, что использование явления низкочастотного оптического резонанса в интерферометре Фабри–Перо может не только увеличить чувствительность интерференционной гравитационной антенны, но и уменьшить ее размеры.

Мощность прошедшего резонатор Фабри–Перо света может быть представлена в виде выражения (1.81), в которое входит функция (t ), представляющая собой квадрат суммы амплитуд всех интерферирующих лучей. Если число переотражений достаточно велико, (t ) представляется в виде интеграла (1.94). В данное уравнение входит x(t ) – изменение длины резонатора при воздействии гравитационной волны, связанное с длиной резонатора и изменением метрики пространства согласно (1.129).

Дифференцирование уравнения (1.94) позволяет получить дифференциальное уравнение второго порядка для амплитуды электромагнитного поля внутри РФП. Полученное уравнение (1.108) представляет собой уравнение осциллятора, в правую часть которого входят функции начальной фазы 0 (t ) и амплитуды E0 (t ) электромагнитной волны оптической накачки, а также смещение зеркал x(t ). Следовательно, оптический резонанс на низких частотах может возникать для любого из этих сигналов, главное условие для получения резонансного отклика – это наличие в сигнале спектральной составляющей на частоте, близкой к резонансной. При этом использование таких различных сигналов, как E0 (t ) и x(t ), может приводить к появлению в спектре воздействия на амплитуду электромагнитного поля внутри РФП суммарных и разностных частот.

Интеграл (1.94) содержит члены сложной комбинации сигналов E0 (t ) и x(t ), что обеспечивает появление суммарной и разностной гармоник для E0 (t ) и x(t ). Тогда смещение в область резонанса можно обеспечить модуляцией оптической накачки E0 (t ) на частоте, близкой к 0 и существенно большей, чем частота гравитационной волны, что обеспечивает малую длину РФП Пусть фаза электромагнитной волны 0 (t ) =Const, а амплитуда подчиняется закону где частота накачки удовлетворяет условию 0 GW, причем GW 1 и вынесении из подвижной системы координат источника и приемника излучения. При отсутствии последнего условия, как справедливо отмечалось ранее [137, 138], данная система в нерялитивистском приближении не зависит от показателя преломления. При отсутствии тангенциальной составляющей скорости среды U 2t = 0, U 2 n 0 возникает продольное увлечение в классическом опыте Физо [139].

электромагнитной волны в среде применимо для атомарного слоя порядка нескольких длин волн излучения [14]. Для расчета каждого слоя среды существует лишь частота 0 и угол падения 0 на границу раздела двух сред. Движение предыдущего слоя среды влияет на координаты пересечения фронта волны со следующим слоем.

В общем случае, для области среды, в которой скорость движения не является постоянной, необходимо решать волновое уравнение для каждой соседней локальной области среды. Полное решение будет представлять набор локальных решений для областей, в которых скорость движения среды с физически необходимой точностью является постоянной.

Рассмотрим среду в полупространстве Z < 0, обладающую в системе покоя 1, µ1, и среду в Z > 0 с 2, µ 2 в системе покоя. Выберем систему отсчета, в которой среда в Z < 0 покоится, а другая среда движется с Пусть из первой среды на поверхность тангенциального разрыва падает плоская монохроматическая волна с частотой 0. Волновой вектор k падающей волны расположен в плоскости X, Z и составляет с осью Z угол 0. Из требования равенства фаз на границе раздела падающей, преломленной и отраженной волн тангенциальный инвариант соответствует I t = k 0 x = k1x = k 2 x, а равенству частот, вследствие нулевой нормальной составляющей скорости границы раздела сред, соответствует инвариант Тогда для рассматриваемой системы координатное решение дисперсионного уравнения (3.7) для преломленной волны в пренебрежении поглощением и дисперсией движущейся среды может быть записано в виде где Здесь знак выбран соответствующим распространению волны от границы раздела сред.

Для заданного закона вращения с центром в точке с координатами x = 0, z = a0 (рис.3.2) тангенциальная и нормальная составляющие U соответствуют Угол преломления электромагнитной волны 2 определяется из траекторию распространения электромагнитной волны во второй среде поверхностью с радиусом R0 = a 0 и потребуем выполнения условия Траектория распространения будет лежать в плоскости X, Z, и ей будет соответствовать интегральное уравнение Здесь верхний предел x max ( x, z ) представляет собой дрейфующую вместе с x, z координату ожидаемого пересечения траектории распространения электромагнитной волны с цилиндрической поверхностью радиуса R0.

Рис. 3.2. В силу пространственного эффекта увлечения электромагнитной волны вращающейся средой траектория волнового вектора отлична от прямой линии Так как явное решение (3.14) в общем виде отсутствует, с точки зрения точности для численных оценок величины искривления траектории целесообразнее использовать выражение tg 2 ( x, z ).

Тогда геометрическая длина траектории распространения электромагнитной волны во вращающейся среде будет описываться следующим интегральным уравнением Используя выражение для геометрической длины прямолинейной траектории до точки с координатой z max : L0t = 2 R0 z max, можно получить эквивалентную разность хода для волн, прошедших путь из точки (0,0) в точку ( x max, z max ) с = 0 и 0, следующим образом Так как n 2 не является функцией скорости среды, в dLcr не входит разность хода за счет продольного эффекта Физо. Исходя из соотношения для скорости распространения электромагнитной волны в среде c = I1 cos2 / k 2 z, можно записать интегральное уравнение для эквивалентной длины траектории Измеряемое в эксперименте накопление разности хода двух электромагнитных волн, пришедших на границу раздела двух сред с 0, одна из которых распространялась в среде с = 0, а вторая с 0, соответствует Для накопления разности хода за счет поперечного и продольного эффектов увлечения можно соответственно записать Уравнения (3.16)–(3.21) определяют физические и геометрические характеристики трансформации электромагнитной волны в системе с вращением [16, 17].

Рассмотрим результаты численных расчетов и некоторые следствия.

Основным результатом расчетов является подтверждение наличия в среде с 0 криволинейных траекторий распространения электромагнитных волн, что следует из (3.12), (3.13). Это явление находит физически ясное объяснение, основанное на том, что в движущейся среде изменяется только одна компонента волнового вектора k 2, а поскольку уравнения электродинамики записаны в инерциальной системе координат, то в каждой локальной области траектории изменяется 2 = arctg (k 2 x k 2 z (U 2 ) ). Иными словами, вторичные электромагнитные волны, вследствие изменения проекции скорости движения атомов среды на волновой вектор волны возбуждения, в каждой локальной области траектории меняют свое направление, что приводит к дрейфу фазовой скорости и искривлению траектории суперпозиции всех волн.

dLe, dLt, dLl 10 7, м dLcr 1013, м Рис.3.3. Зависимости эквивалентной разности хода разности хода за счет электромагнитных волн, одна из которых распространялась в среде с = 0, а вторая с 0, от угла падения на границу раздела двух сред 0 с учетом смещения точки выхода электромагнитного излучения на поверхности оптического диска. Зависимость эквивалентной разности хода за счет искривления траектории без смещения точки выхода излучения представлена как dLcr (0 ).

Интересным обстоятельством является пересечение траекторий волн при = 0 и 0 на прямой z = a0 при любом 0 [140].

Численные значения для эффектов поперечного и продольного увлечений представлены для сравнения на графиках (рис.3.3) как зависимости от 0 для следующих параметров: k 0 = 10 7 м1, n2 = 1,5, R0 = 0,1м, = 10 4 Гц. Из формы графиков для dLt, dLl можно сделать вывод о конкуренции эффектов с ростом 0. При интегрировании размер локальной области соответствовал 10 5 м, и его уменьшение практически не влияло на результаты расчетов.

В качестве детальной иллюстрации отклонения траектории волнового вектора от прямой линии был выполнен расчет кратчайшего расстояния R от точек криволинейной траектории при 0 до прямой, по которой распространяется свет при = 0 [141].

Так как оптическая длина пути при различных углах падения 0 была различной, введена нормированная длина пути, равная отношению текущей Расчет R производился для каждой текущей точки траектории волнового вектора с координатами ( x, z ) согласно уравнению где 2 – угол преломления при = 0.

С учетом (3.14) можно переписать (3.22) в виде интегрального уравнения Решение интегрального уравнения представлено на рис.3.4.

Как следует из графиков, величина R начинает расти от R = 0 при 2 = 0 до R 10 7 м при 2 = 90 o. Зависимость R( J, 0 ) приведена по модулю, поэтому график делится на две части: до пересечения с прямой траекторией, где R > 0, и после пересечения, где R < 0.

Отметим, что известные эксперименты [142, 143] хорошо согласовывались с решением уравнений электродинамики движущихся сред, но являлись экспериментальным тестом только части уравнений, связанной с движением границы, но не самой среды. Прохождение электромагнитной волны в среде с вращением открывает возможность экспериментальной проверки части решения волнового уравнения, содержащей члены с U 2 x, U 2z.

Из рис.3.3. следует, что для принятого и 0 45 o, величина накопления разности хода находится на уровне 0 для однократного прохождения среды.

Рис.3.4. Зависимость кратчайшего расстояния R от траектории волнового вектора электромагнитной волны до прямой, по которой распространяется свет при = 0 от Эта величина линейно растет при многократном переотражении на цилиндрической поверхности радиуса R0, образующей симметричный неконфокальный резонатор, позволяя с большим запасом точности исследовать релятивистский эффект искривления траектории распространения светового луча в лазерном интерференционном эксперименте.

Таким образом, с точки зрения эксперимента, исследование физического явления искривления траектории распространения плоской монохроматической электромагнитной волны в среде с 0 связано не только с определением кривизны и возможностью проведения нового экспериментального теста электродинамики движущихся сред, но также с построением релятивистского интерферометра нового типа.

Численное решение уравнений (3.12)-(3.22.а) выполнено методами компьютерного моделирования на языке Turbo Basic (Приложение В).

Расчеты выполнены в режиме двойной точности. Погрешность расчетов зависела от скорости движения среды и шага расчетов и не превышала 0.1%.

3.3. Аналитическое описание плоской монохроматической электромагнитной волны в среде со сложным движением Распространение электромагнитных волн в движущейся среде обладает рядом особенностей, которые могут быть корректно описаны в рамках электродинамики движущихся сред. В настоящей работе развивается подход, основанный на исследовании пространственных характеристик процесса распространения электромагнитной волны в среде со сложным движением при наличии тангенциального разрыва скорости на границе раздела двух сред. Основной проблемой здесь является поиск точных аналитических решений для траектории волнового вектора электромагнитной волны в движущейся среде.

Основу данного подхода составляет решение дисперсионного уравнения, описывающее волновой вектор электромагнитной волны в среде как функцию угла падения и параметров среды.

Решение неоднократно проверялось в экспериментах, но сложность подобных исследований позволила изучить лишь те особенности трансформации электромагнитных волн, которые возникают при сравнительно простых законах движения сред по обе стороны от границы раздела.

Результаты этих экспериментов позволяют говорить о справедливости только той части решения дисперсионного уравнения, которая отвечает за нормальный разрыв скорости.

Однако в различных технических задачах реализуется измерительная процедура, построенная на прохождении электромагнитной волной среды с наличием сложного движения. К числу подобных задач относится и задача локации летательного аппарата, так как движение среды является фактором, ограничивающим теоретический предел точности измерений.

В экспериментах по локации космического летательного аппарата (КЛА) было обнаружено заметное влияние эффекта увлечения света движущейся средой на направление лазерного луча, проходящего движущийся кварцевый отражатель. Описание данных экспериментов и попытка их теоретического объяснения дана в [144], [145].

Можно показать, что корректное описание пространственного эффекта увлечения электромагнитной волны возможно только на основе решения соответствующего дисперсионного уравнения.

Поэтому возникает необходимость такого описания процесса распространения электромагнитных волн в среде, которое позволило бы рассчитывать характеристики излучения, влияющие на результаты физических экспериментов при сложном движении среды.

Данный подход основан на классическом способе сшивки решений в обеих средах, поэтому результаты могут быть использованы в задачах, где можно пренебречь возмущениями и структурой тангенциального разрыва скорости [146].

Рассмотрим две среды, в одной из которых распространяется плоская монохроматическая электромагнитная волна, падающая на поверхность тангенциального разрыва под углом 0. Направим ось Z по нормали к границе раздела сред, причем падающая волна находится в полупространстве Z < 0.

Пусть среда в полупространстве Z < 0 покоится в инерциальной системе отсчета и имеет диэлектрическую 1 и магнитную µ1 проницаемости. Среда в полупространстве Z > 0 движется с произвольной скоростью u 2 ( x, z ) = ( 2 x, 2 z ) и имеет 2, µ 2, измеренные в собственной системе отсчета. На границе раздела сред существует тангенциальный разрыв скорости (Рис.3.1).

Если положить 1µ1 = 1, то волновой вектор k 2 электромагнитной волны во второй среде в пренебрежении дисперсией движущейся имеет компоненты:

где знак выбирается, исходя из условия распространения волны от границы раздела двух сред.

Вид выражения для k 2 z накладывает ограничения на зависимость 2 ( x, z ), при которой существуют аналитические решения для уравнения траектории волнового вектора в среде.

Использование зависимости (3.24) при поиске уравнения траектории волнового вектора вида z = f (x) приводит к неявному интегральному уравнению, которое было получено автором в работе [16]:

где x max ( x, z ) - координата ожидаемого пересечения траектории волнового вектора электромагнитной волны с некоторой заданной поверхностью. В случае цилиндрической поверхности радиуса R0 с центром в т. (0, R0 ) x max ( x, z ) определяется по формуле (3.15).

Уравнение не имеет аналитического решения в общем случае. Однако можно рассмотреть случай, допускающий аналитическое решение, когда пространственный характер эффекта увлечения света проявляется наиболее естественно [147].

Рассмотрим зависимость скорости u 2 от координат x, z вида которая соответствует вращению относительно центра (0, R0 ) с угловой u 2 x = ( R0 z ), u 2 z = x как функции независимых координат.

Рассмотрим случай, когда в движении среды присутствует только тангенциальная составляющая 2 x, а 2 z = 0.

Этот случай является наиболее интересным при изучении пространственного эффекта увлечения света движущейся средой.

Тогда для угла преломления 2 можно записать где Волновой вектор k 0 = 2 / 0 падающей электромагнитной волны удовлетворяет соотношению k 0 >> 1 / R0, что позволяет использовать решения волнового уравнения для плоской электромагнитной волны, проходящей тангенциальный разрыв скорости на границе раздела сред для каждой локальной области среды [14].

Нас будет интересовать уравнение, описывающее траекторию k 2, т.е.

аналитическая зависимость x = f (z ).

Очевидно, для каждой локальной области среды можно записать разностное соотношение где Тогда зависимость текущих координат можно получить после суммирования и перехода к интегралу в пределе при max z i Особенностью полученного выражения является то, что пределы могут быть заданы произвольно, однако мы не имеем точной информации о точке пересечения траектории, например, с заданной цилиндрической поверхностью радиуса R0. Поэтому, вообще говоря, интеграл содержит переменный верхний предел. Также заметим, что выражение для угла преломления является точным и содержит квадратичные члены, что имеет принципиальное значение при исследовании пространственного эффекта увлечения света движущейся средой.

Будем искать решение уравнения (3.28) в общем виде. Для этого подставим (3.27) в (3.28) и перейдем к новой переменной x. После преобразований получим 0 - частота электромагнитного излучения, a = x1, b = c = 1, d = x 2.

Выражение содержит корень из многочлена четвертой степени и можно показать, что (3.29) представимо в виде композиции эллиптических 1 = 2 x ( z1 ), 2= 2 x ( z 2 ) для начальной и конечной координаты z траектории.

Введем обозначение Тогда для координаты x можно записать Для того чтобы J 2 можно было свести к табличным интегралам, необходимо изменить его порядок.

где Интегрируя первую производную произведения получим рекуррентную формулу, позволяющую осуществлять понижения порядка эллиптического интеграла Используя (3.32) при s = 1 и учитывая, что b4 = 0, получим выражение для J После подстановки (3.33) в (3.31) выражение для x будет иметь вид Заметим, что выполняются неравенства Введем обозначения:

Тогда (3.34) можно выразить через эллиптические интегралы [239]:

где F (, k ) и (, ni, k ) - нормальные эллиптические интегралы 1-го и 3-го рода, которым соответствуют характеристики n1, n2, амплитуда и модуль k в форме Подставляя коэффициенты a, b, c, d, окончательно имеем где Сравнение результатов расчетов по формуле (3.36) при использовании таблиц эллиптических интегралов [148] с результатами прямых численных расчетов по формуле (3.28) указывает на зависимость точности аналитических вычислений от частоты составления используемых таблиц эллиптических интегралов и необходимости применения интерполяции.

Тем не менее полученное выражение является точным и можно говорить о целесообразности составления более точных таблиц эллиптических интегралов в области параметров, соответствующих экспериментальным данным.

Можно также заметить, что n2 = 1 для любого d. В этом случае можно выразить (, n2, k ) через эллиптические интегралы первого и второго рода по формуле Использование данного выражения уменьшает погрешность интерполяции вследствие более точного составления таблиц F (, k ) и Здесь кажется уместным вопрос о необходимости учета членов порядка 2 для описания пространственного эффекта увлечения электромагнитной волны движущейся средой.

Действительно, формулы электродинамики для продольного эффекта Физо линейны относительно скорости среды и члены порядка 2 не существенны, хотя и присутствуют в точном решении дисперсионного уравнения. Однако для описания пространственного эффекта, т.е. при появлении поперечной составляющей увлечения волны, учет членов с может являться необходимым.

Получим решение (3.28) и оценим длину траектории светового луча во вращающейся среде с учетом только линейных членов 2 x.

Для угла преломления 2 имеем Тогда уравнение (3.28) после перехода к новой переменной принимает вид Для траектории волнового вектора получим Подставив в (3.39) параметры для вращающегося оптического диска пересечения светового луча с цилиндрической поверхностью. Затем, рассчитав координату x 0 при = 0, оценим x x 0 10 7 м. Прямое численное решение (3.28) указывает на то, что данная величина должна быть отрицательной, что подтверждает некорректность линейного приближения.

Для обоснования этого утверждения получим выражение для длины пути светового луча в среде с выбранным законом движения в пренебрежении 2.

Для длины пути светового луча в приближении геометрической оптики можно записать Переходя к новой переменной и выполняя преобразования, получим Интегрирование (3.41) дает выражение В случае = 0 можно записать длину траектории до пересечения с прямой z = R0 по формуле где 2 находится из закона Снеллиуса.

Тогда разность длины пути (3.42) при учете только членов порядка и длины пути (3.43) без вращения будет приближенно характеризовать величину эффекта Физо в движущейся среде.

Численные расчеты по формулам (3.42), (3.43) показывают, что для корректного описания пространственного эффекта Физо необходим учет [18, 238]. Например, эффект искривления траектории распространения электромагнитной волны в среде с вращением имеет порядок малости, сравнимый с величиной погрешности вычислений по формуле (3.42) [17].

Увлечение электромагнитной волны принято характеризовать величиной дрейфа фазовой скорости поля суперпозиции волны возбуждения и вторичных электромагнитных волн в движущейся среде. Также удобно использовать в качестве характеристики продольного увлечения электромагнитной волны разность фаз лучей, прошедших движущуюся среду в противоположных направлениях. В случае пространственного явления увлечения электромагнитной волны появляется дополнительный эффект отклонение траектории волнового вектора суперпозиционной волны в среде.

Для описания данного явления можно использовать аналитические решения уравнения траектории волнового вектора в движущейся среде.

В заключение заметим, что решение уравнения (3.28) представимо в виде композиции эллиптических интегралов не только для использованного закона движения среды, что открывает возможность применения аналитического подхода в задачах описания траектории волнового вектора в среде с более сложными законами движения.

Полученное решение может быть использовано при расчете конкретных технических систем, однако следует учитывать, что на распространение электромагнитного излучения также влияет дисперсия среды, изменение амплитуды и поляризации суперпозиционной волны. Целесообразность включения данных факторов в описание зависит от условий конкретной задачи.

3.4. Особенности распространения электромагнитного излучения При описании процесса распространения электромагнитного излучения в расширяющейся Вселенной обычно используют релятивистский закон, позволяющий рассчитать скорость движения астрофизического объекта по величине красного смещения испускаемого им излучения.

Величина красного смещения характеризуется отношением где прин, исп –длина волны, испускаемой источником, и длина волны, принимаемой наблюдателем, соответственно.

Тогда скорость астрофизического источника можно рассчитать по формуле Для нахождения расстояния до объекта можно воспользоваться законом Хаббла где H 50...100 (км/с ) / Мпк – постоянная Хаббла, определяемая из астрономических наблюдений.

Так как получаемые таким способом результаты основываются на данных принятого в данный момент времени излучения, то расстояние до объекта определяется на момент испускания излучения.

Анализируя подобным образом данные о расстояниях до некоторых астрофизических объектов, можно прийти к заключению, что они находились в момент излучения за пределами Вселенной. Так, галактика 3С427.1 имеет красное смещение z = 1,175 [149], из чего следует, что в момент излучения света она находилась на расстоянии R2 = 13 млрд.св.лет.

С другой стороны, возраст Вселенной по разным данным составляет от до 20 млрд. св. лет. Тогда, считая, что расширение Вселенной происходит не быстрее скорости света и принимая размер Вселенной порядка R0 = 20 млрд. св. лет, можно получить размер Вселенной в момент испускания света – R1 = 7 млрд.св.лет. Но тогда галактика в момент излучения находилась за пределами Вселенной. Данный вывод получил название космологического парадокса.

Один из возможных путей разрешения парадокса связан с идеей расширения пространства [150]. Согласно данной гипотезе доплеровское смещение частоты излучения удаленного объекта связано не с движением самого объекта, а с движением области пространства, в которой расположен объект. Скорость объекта относительно расширяющегося пространства может быть невелика.

Из данного подхода следует возможность движения удаленных астрофизических объектов относительно Земли со скоростями, превышающими скорость света в вакууме, что объясняет космологический парадокс. Однако можно показать, что при анализе метрологических процедур, лежащих в основе определения расстояния до астрофизического объекта, должны учитываться некоторые эффекты электродинамики движущихся сред.

Следует заметить, что на время распространения излучения от источника к наблюдателю влияет эффект задержки времени распространения электромагнитного излучения вследствие взаимодействия электромагнитной волны с атомами межзвездной среды значительно удаленных расширяющихся областей Вселенной.

Влияние межзвездной среды на распространение электромагнитного излучения хорошо известно. Измерение дисперсии радиоволн от пульсаров, позволяет определить электронную концентрацию в межзвездном пространстве. Благодаря этому методу было измерено, что содержание электронов вблизи плоскости симметрии Галактики колеблется от 0,02 до 0,16 см -3, составляя в среднем концентрацию ne = 0,08 см 3.

Величиной, характеризующей влияние межзвездной среды на распространение электромагнитного излучения, является мера дисперсии DM. Мера дисперсии равна полному числу электронов в столбике сечением 1см 2 между объектом и наблюдателем где N e - концентрация электронов, dl - элемент длины вдоль луча зрения, L - расстояние до области генерации излучения. Для пульсаров DM находится в диапазоне 10…500 пк/см3.

Величина запаздывания электромагнитной волны на разных длинах волн 1 и 2, выраженная в см, равна Здесь e - заряд электрона, me - масса электрона, c - скорость света. Для пульсара NP 0532 на частотах 74-111 МГц запаздывание достигает 24с, что соответствует 800 периодам пульсара.

Уравнения электродинамики записаны относительно вакуума в некоторой выбранной инерциальной системе отсчета (ИСО). Связывая данную ИСО с наблюдателем, расположенным на Земле, мы придем к заключению, что красное смещение спектра излучения обусловлено движением астрофизического объекта относительно данной ИСО независимо от того, с какой скоростью расширяется пространство и с какой скоростью движется объект в этом пространстве. Это следует из того факта, что в решение уравнений электродинамики движущихся сред будет входить помимо скорости среды только одна скорость – скорость удаления астрофизического объекта относительно выбранной ИСО.

В общем случае при описании трансформации электромагнитного излучения в расширяющейся Вселенной мы должны знать распределение координат и скоростей частиц межзвездной среды вдоль траектории волнового вектора, результирующий вектор скорости источника излучения, образованный скоростью объекта в расширяющемся пространстве и скоростью расширения пространства, а также параметры вращения [17, 151, 273].

В пренебрежении эффектами, обусловленными вращением, распространение излучения через вещество, вектор скорости которого направлен противоположно волновому вектору излучения, будет сопровождаться продольным эффектом Физо, который может оказывать влияние на красное смещение спектра излучения. Но данное влияние существенно только в той области пространства, где плотность межзвездной среды и ее скорость движения велики, т.к. после выхода излучения из этой области электромагнитная волна получает сдвиг фазы, но ее частота остается неизменной.

Эти параметры могут быть высокими в приграничных областях Вселенной, которые достаточно удалены от земного наблюдателя, поэтому влиянием эффекта Физо на длину волны излучения можно пренебречь.

Значительно большее влияние движение межзвездной среды может оказывать на время распространения электромагнитного излучения в области пространства, где скорость движения атомов межзвездной среды весьма высока [152].

Рассмотрим уравнение (3.11) при = 0, t = 0 для i го слоя среды, когда движение среды направлено против волнового вектора электромагнитной волны характеризуют нормальные составляющие скорости, диэлектрические и магнитные проницаемости i –го слоя среды в ИСО наблюдателя, c – скорость плоской монохроматической электромагнитной волны в вакууме, 0 – частоту электромагнитной волны, испущенной удаляющимся астрофизическим объектом, в ИСО наблюдателя.

Частота электромагнитного излучения не будет изменяться т.к. = 0 и скорость распространения излучения в i м движущемся слое среды будет рассчитываться по формуле Время распространения излучения в i м слое среды можно рассчитать следующим образом В общем случае скорость среды является некоторой функцией координат и времени. Для простоты можно предположить, что нам известен закон n (z ), т.е. зависимость скорости среды в моровых точках, которые последовательно проходит электромагнитная волна.

В качестве примера можно рассмотреть линейный закон изменения скорости с координатой где – нормирующий множитель с размерностью м–1. Скорость движения атомов среды линейно убывает от максимального значения при z = 0 до нуля при z = R0, т.е. на Земле.

Также предположим для определенности, что показатель преломления межзвездной среды является постоянной величиной.

Тогда суммируя (3.49) по i и переходя к пределу при z i 0, получим выражение для расчета времени распространения электромагнитного излучения на конечных расстояниях от z1 до z Следует обратить внимание, что подынтегральное выражение может обращаться в бесконечность при значениях корней знаменателя n1, 2 = ± 1 n. Однако числитель обращается в нуль, если n3 = 1 n, n 4 = n, так что выполняется равенство n1 = n3, поэтому для нахождения значения функции в этой точке находим предел Интегрирование (3.51) дает После преобразований и подстановки пределов интегрирования получим Первое слагаемое дает время распространения излучения в неподвижной среде с показателем преломления 1 / n. Второе слагаемое компенсирует данный член и дает суммарный эффект задержки времени излучения в движущейся среде.

Как легко заметить, в предельном случае, когда z1 = z 2, время равно нулю. В пределе, когда n = 1 получим t = ( z 2 z1 )n / c.

Найденный корень n 2 = 1 / n указывает на то, что функция в данной точке стремится к бесконечности, а следовательно, интеграл, один из пределов которого стремится к n 2, будет также стремиться к бесконечности. Действительно, подставляя = 1 / nR0, z1 = 0, мы получим, Физический смысл данного вывода заключается в том, что излучение в тех областях Вселенной, которые удаляются со скоростью порядка v n c / n, распространяется в среде по направлению к наблюдателю на Земле со скоростью, стремящейся к нулю.

Таким образом, данный эффект может объяснить большое время, которое затрачивает свет от астрофизических объектов, которые в действительности находились ближе к наблюдателю, чем это следует из прямого использования закона Хаббла.

Для того чтобы наши оценки имели реальную почву, необходимо учесть, что величина n должна быть строго меньше 1/n, поэтому для наших расчетов введем малый параметр, такой, что