ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное

образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

Л. Н. Савушкин, Г. Н. Фурсей

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

И ТЕРМОДИНАМИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

СПб ГУТ )))

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012 УДК 539.19(075.8)+536(075.8) ББК 322.36я7+22.3я7 М75 Рецензент профессор, академик РАО А.С. Кондратьев Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Савушкин, Л.Н.

М75 Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / Л.Н. Савушкин, Г.Н. Фурсей. – СПб.: Издательство СПбГУТ, 2012. – 58 с.

Настоящее учебное пособие посвящено систематическому изложению двух разделов курса общей физики: молекулярная физика и термодинамика. В учебном пособии, в основном, рассматривается простейшая термодинамическая система – идеальный газ, т. е. система невзаимодействующих частиц (молекул), подчиняющихся законам классической физики.

Рассмотрение свойств газа невзаимодействующих молекул в настоящем учебном пособии осуществляется либо в рамках уравнения состояния системы, либо в рамках энергетических соотношений, основанных на использовании 3 начал термодинамики:

I начала (закона сохранения энергии), справедливого для всех систем и всех процессов, в этом заключается его преимущество перед другими уравнениями (уравнением состояния, в частности);

II начала термодинамики, позволяющего судить о направлении развития того или иного процесса;

III начала, позволяющего, в частности, определять не только изменение энтропии при переходе из одного состояния в другое, но и абсолютное значение энтропии в заданном состоянии.

Учебное пособие включает комплект задач с решениями и список необходимой литературы.

УДК 539.19(075.8)+536(075.8) ББК 322.36я7+22.3я © Савушкин Л. Н., Фурсей Г. Н., © Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

Введение

1. Простейшие вопросы молекулярно-кинетической теории. Модель идеального газа.

Экспериментальные газовые законы

2. Состояние системы. Процесс

3. Уравнение состояния идеального газа.

4. Работа, совершаемая газом при изменении объема

5. Первое начало термодинамики.

6. Теплоемкость идеального газа. Уравнение Р. Майера

7. Уравнение адиабаты для идеального газа. Уравнение Пуассона

8. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах. I начало термодинамики для различных физических процессов

9. Барометрическая формула

10. Давление газа на стенку. Основное уравнение кинетической теории

11. Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы

12. Второе начало термодинамики (ВНТ). Направление протекания тепловых процессов

13. Теорема Карно

14. КПД цикла Карно для идеального газа

15. Неравенство Клаузиуса. Энтропия

Д1. Обратимые и необратимые процессы

Д2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.... Д3. Теорема Нернста. III начало термодинамики

Комплект типовых задач с решениями

Литература

В 2011 году весь мир отмечал 300-летний юбилей гениального русского ученого-энциклопедиста Михаила Васильевича Ломоносова первого русского ученого-естествоиспытателя мирового значения, открытия которого обогатили многие отрасли знания.

М. В. Ломоносов был одним из основоположников молекулярной физики. Он заложил важнейшие представления о молекулярнокинетической модели газов, жидкостей и твердых тел, опираясь на представление о движении мельчайших частиц – «корпускул» (молекул), состоящих из еще более мелких частиц – атомов.

М.В. Ломоносов дал объяснение целому ряду закономерностей в макроскопических телах, в частности, описал природу тепла, считая что она связана с движением частиц (корпускул), в отличие от существовавшей ранее теории теплорода: «… теплота состоит во внутреннем движении материи».

М. В. Ломоносов также «приблизился» к представлению об абсолютном покое – температуре абсолютного нуля, и заложил основы физической химии. Исследовал атмосферное электричество и силу тяжести. Выдвинул учение о цвете. Создал ряд оптических приборов.

Открыл атмосферу на планете Венера. Описал строение Земли. Объяснил происхождение многих полезных ископаемых и минералов. Его идеи далеко опередили науку того времени.

Михаил Васильевич Ломоносов (1711 — 1765)

ВВЕДЕНИЕ

Молекулярная физика – раздел физики, который изучает физические свойства тел на основе рассмотрения их молекулярного строения. Задачи молекулярной физики решаются методами физической статистики, термодинамики и физической кинетики, они связаны с изучением движения и взаимодействия частиц (атомов, молекул, ионов), составляющих физические тела.

Важнейшая задача молекулярной физики – изучение и разработка теории агрегатных состояний и переходов из одного состояния в другое – фазовых превращений (конденсация, кристаллизация, испарение, плавление).

Разделами молекулярной физики являются: физика газов, физика жидкостей, физика твердых тел (кристаллофизика с примыкающей к ней кристаллохимией), металлофизика, а также физика полимеров.

Круг вопросов, охватываемых молекулярной физикой, очень широк. В ней рассматриваются строение вещества и его изменение под влиянием внешних факторов (давления, температуры, электромагнитного поля); явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость); фазовое равновесие и процессы фазовых переходов (кристаллизация, плавление, испарение, конденсация); критическое состояние вещества; поверхностные явления на границах раздела фаз.

Термодинамика и молекулярная физика, которым посвящено настоящее пособие, изучают один и тот же круг явлений, а именно: макроскопические процессы в телах, т. е. такие явления, которые связаны с колоссальным количеством содержащихся в телах атомов и молекул. Но эти разделы физики, взаимно дополняя друг друга, отличаются различным подходом к изучаемым явлениям.

Термодинамика или общая теория теплоты является аксиоматическoй наукой. Она не вводит никаких специальных гипотез и конкретных представлений о строении вещества и физической природы теплоты. Ее выводы основаны на общих принципах или началах, являющихся обобщением опытных фактов. Она рассматривает теплоту как род какого-то внутреннего движения, но не пытается конкретизировать, что это за движение.

Молекулярная физика, напротив, исходит из представления об атомномолекулярном строении вещества и рассматривает теплоту как беспорядочное движение атомов и молекул.

Авторы сочли полезным привести портреты и краткие сведения о полученных результатах выдающихся исследователей, с именами которых связано развитие молекулярной физики.

Создатель периодической системы элементов, одного из основных законов естествознания. Один из авторов уравнения Клапейрона–Менделеева и ряда других законов. Автор фундаментальных исследований (1814 – 1878) Немецкий естествоис- сохранения энергии.

Сформулировал закон механический Математически сохранения энергии эквивалент теплоты обосновал закон (эквивалентности работы и теплоты) термодинамики (1824).

Один из авторов термодинамики Настоящее учебное пособие посвящено систематическому изложению раздела курса физики «Молекулярная физика и термодинамика», который читается студентам СПбГУТ на I курсе. Рассматривается простейшая термодинамическая система – идеальный газ. Идеальный газ (газ невзаимодействующих молекул) можно определить как систему, уравнение состояния которой соответствует уравнению КлапейронаМенделеева (см.

разд. 1). При определенных изменениях параметров состояния уравнение состояния сохраняет свою силу1.

Энергетические соотношения для рассматриваемой системы имеют достаточно простую форму. Эти энергетические соотношения получены на основе базисных уравнений – I, II и III начал термодинамики, при этом рассматривается термодинамика равновесных процессов.

I начало (закон сохранения энергии) справедливо для всех систем и всех процессов, в этом заключается его преимущество перед остальными уравнениями (уравнением состояния, в частности).

II начало термодинамики позволяет судить о направлениях развития различных процессов. Молекулярно-кинетическая теория, которая применяется в настоящем учебном пособии для описания различных явлений, основывается существенно на предположении о том, что атомы и молекулы, образующие рассматриваемые системы, подчиняются законам классической физики. На самом деле атомы и молекулы – это квантовые объекты, подчиняющиеся законам квантовой механики. Указанное расширение теории будет выполнено в курсе физики на втором году обучения в рамках квантовой механики и статистической физики.

Отметим, что для усвоения рассматриваемого в настоящем учебном пособии теоретического материала в текст пособия включается комплект задач с решениями.

В заголовке каждого раздела приведены ссылки на монографии и учебники, к которым адресуются читатели для более полного и глубокого изучения материала соответствующего раздела (при этом указаны номера страниц и параграфов соответствующих ссылок).

1. ПРОСТЕЙШИЕ ВОПРОСЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ

ТЕОРИИ. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ

Идеальный газ.

Состоит из молекул, характерные линейные размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними.

При очень низких температурах или очень высоких давлениях происходит сжижение (конденсация) газа, и уравнение состояния (Клапейрона–Менделеева) перестаёт быть справедливым.

Молекулы не взаимодействуют между собой, кроме моментов столкновений, когда взаимодействие осуществляется по закону абсолютно упругого удара.

Идеальные газы подчиняются законам БойляМариотта, Гей-Люссака и Шарля.

Идеальный газ представляет собой простую термодинамическую систему.

Закон БойляМариотта. Изотермический процесс это процесс, протекающий при постоянной температуре (T=const).

Для данной массы газа, находящегося при постоянной температуре, давление и объем изменяются в соответствии с уравнением:

Задание. Нарисуйте изотерму, отвечающую той же массе газа при более высокой температуре.

Закон Гей-Люссака. Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим процессом.

Уравнение изобары где V0 – объем газа при начальной температуре (рис. 2); V – температурный T = t + 273 ° температура по шкале Кельвина, m = const.

Тогда получаем Окончательно Закон Шарля. Процесс, протекающий при постоянном объеме – изохорический процесс.

Уравнение изохоры в выражении для V вычисляT p ется при постоянном давлении, а проp изводная – при постоянном объеме.

что Задание. По аналогии с рис. 2, изображающим зависимость V=V(t), нарисуйте p=p(t) (изохора).

Объединенный газовый закон. Рассмотрим газ с массой m:

при указанном переходе выполняется уравнение представляющее собой объединенный газовый закон.

Уравнение Клапейрона-Менделеева где p – давление, V – объем, Т – температура; m – масса газа, µ – масса одного киломоля (молярная масса); число Авогадро: NA=6,0210 – число частиц в киломоле; m/µ – число киломолей в объеме V.

2. СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ. ПРОЦЕСС

В рассматриваемом случае система – идеальный газ, состояние которой характеризуется P, V, T – параметрами состояния.

Состояния системы:

равновесное – температура в разных точках объема одинакова;

неравновесное – температура в разных точках объема – разная.

Исчерпывающее определение дано в п. 4.

3. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Закон Авогадро:

киломоль – это количество газа, содержащее 6,0210 молекул (NA);

киломоли всех газов при нормальных условиях (Т=273; p=10 Па) имеют одинаковый объем, равный 22,4 м /кмоль.

Уравнение состояния одного киломоля идеального газа:

где R = 8,31 103 – универсальная газовая постоянная.

Умножим левую и правую части (3.1) на m/µ:

тогда получим где V = Vкм.

Уравнение (3.2) носит название уравнения состояния идеального газа, или уравнения КлапейронаМенделеева.

Введем обозначение где – число киломолей в данном объеме.

Уравнение (3.2) при этом может быть записано в виде где величина k = носит название постоянной Больцмана, Запишем уравнение КлапейронаМенделеева в виде где N A полное число частиц N в объеме V.

При этом получаем:

где n – концентрация частиц (число частиц в единице объема), а – плотность газа (масса единицы объема газа).

Опыт показывает, что внутренняя энергия идеального газа U пропорциональна его температуре Т (разд. 5, 6)2:

где B – постоянная величина.

4. РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ГАЗОМ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ОБЪЕМА

Газ, или какое-либо другое вещество называется рабочим телом. Для изложения дальнейшего материала будет важным понятие работы газа.

Перейдем к вычислению этой величины (рис. 3).

Элементарная работа тогда имеем Процесс, изображенный на рис. 4, соответствует увеличению объема газа, т. е. расширению. Отметим, что работа (рис. 5, а) Используя уравнение КлапейронаМенделеева, можно связать малые изменения dp, dV и dT:

Далее с помощью уравнения конкретного процесса, можно установить еще одну связь малых изменений параметров. Совместное использование этой связи и уравнения (3.7) позволяет найти соотношение между V и T.

Напомним, что для идеального газа внутренняя энергия U сводится только к кинетической энергии его молекул; взаимодействие между молекулами отсутствует.

на участке 1а2 положительна (газ расширяется), а на участке 2в1 – отрицательна (газ сжимается) (рис 5, б и 5, в).

Цикл (рис. 5, б, в):

A>0, если цикл совершается по часовой стрелке («положительное направление»);

A 0, это означает, что тепло к системе подводится.

Если Q < 0, аналогично – тепло отводится.

Если Q = 0, система не обменивается теплом с окружающей средой и называется адиабатически изолированной.

Разделив последнее уравнение на dT, имеем Уравнение (6.6) справедливо только для идеального газа и носит название уравнения Р. Майера1:

Задание. Докажите, что для газа массы m уравнение (6.6) имеет вид

7. УРАВНЕНИЕ АДИАБАТЫ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Адиабатический процесс – это процесс, идущий без теплообмена с окружающей средой (Q = 0).

p=const – изобарический процесс (изобара), V=const – изохорический процесс (изохора), Т=const – изотермический процесс (изотерма), pV=const (формула (1.1)).

Отметим, что изотермическое изменение объема газа возможно при идеально хорошем обмене теплом с внешними телами; работа сил, приложенных со стороны газа к внешним телам, при его расширении происходит за счет притока извне тепла; работа внешних сил при сжатии газа сопровождается передачей телам соответствующего количества тепла.

В ходе процесса теплота может поступать в систему или уходить из неё разными способами.

Уравнение (6.6) послужило основанием для формулирования закона сохранения энергии (I начала термодинамики), являясь прямым следствием этого закона.

Адиабатическое изменение объема газа возможно при идеально хорошей тепловой изоляции; работа газа совершается за счет его внутренней энергии; при расширении газ охлаждается, при сжатии нагревается.

Адиабатой называется кривая на плоскости p, V, описывающая адиабатический процесс.

Найдем уравнение, связывающее p, V, T для идеального газа при адиабатическом процессе:

Из (7.2) и (7.3):

CV CV CV

Уравнение адиабаты для идеального газа в переменных V, T:

Уравнение Пуассона Из рис. 6 следует, что тангенс угла наклона адиабаты в раз больше, чем у изотермы (см. (7.7) и (1.1)).

Адиабатический процесс – быстропротекающий процесс.

Политропический процесс – это процесс, в котором теплоемкость остается постоянной С=const [1, с. 283–284].

Уравнение политропы имеет вид где

8. РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ

ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПРОЦЕССАХ. I НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Работа идеального газа Рассмотрим переход из состояния 1 в состояние 2.

Для адиабатического процесса:

Задание. Получить уравнение (8.2) на упражнениях.

При изотермическом процессе уравнение (8.1) дает при изобарическом процессе при изохорическом процессе I начало термодинамики определяется формулами (4.3) и (5.1). Запишем I начало термодинамики для различных физических процессов (при переходе системы из состояния 1 в состояние 2).

Для изотермического процесса (изменение внутренней энергии равно 0) имеем:

где A12 дается формулой (8.3).

Для изобарического процесса где A12 дается формулой (8.4).

Для изохорического процесса при этом A12=0.

Для адиабатического процесса, который проходит без теплообмена с окружающей средой, Q=0 и имеем Внутренняя энергия идеального газа массы m определяется только его температурой T и вычисляется по формуле (6.7).

9. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловливается весом вышележащих слоев газа, обозначим: p–h Если dh > 0 dp < 0, то давление убывает с высотой:

– плотность газа на высоте h, при этом При условиях, близких к нормальным, воздух мало отличается от идеального газа и где µ – средняя молярная масса воздуха (азот, кислород и т.д.).

Откуда получаем:

Если Т=const, интегрируя, получаем:

Потенциируя:

Барометрическая формула представлена уравнением (9.6).

Кривые (рис. 7) можно трактовать либо как соответствующие разным µ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т (при одинаковой µ).

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Сделаем следующие упрощения.

Будем полагать, что молекулы движутся только вдоль трех взаимноперпендикулярных направлений; если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого направления будет двигаться 13 N молекул, причем половина из них (т. е. 1 6 N ) движется в одну сторону, а половина – в противоположную (см. рис. 8).

Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам мы припишем одно и то же значение скорости v.

Приращение количества движения молекулы при ударе о стенку (рис. 9) оказывается равным По третьему закону Ньютона стенка получает при ударе импульс 2m1v, имеющий направление нормали (к стенке).

Обозначим n – число молекул в единице объема (концентрация молекул), тогда за время t до элемента S долетит число молекул N, равное Число ударов молекул о площадку S за 1 с равно а число ударов о единичную площадку за 1 с:

Умножая (10.1) на (10.2), получаем полный импульс P, сообщаемый элементу S за время t :

где p – давление газа на стенку сосуда, равное Уравнение (10.6) можно записать в виде где = 1 кинетическая энергия поступательного движения отдельной молекулы газа.

В реальном случае, когда встречаются молекулы, двигающиеся с разными скоростями, вместо (10.7) получим:

где – среднее значение энергии поступательного движения отдельной молекулы, поэтому из (10.8) следует где m1 – масса одной молекулы.

Уравнение (10.9) называется основным уравнением кинетической теории газов: давление газа равно двум третям кинетической энергии поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.

Это значит, что при постоянном n (т. е. при неизменном объеме газа) давление пропорционально средней кинетической энергии молекул газа.

Из закона Шарля (разд. 1) следует, что для идеального газа p~T (при V=const). Отсюда следует, что ~T.

Умножим (10.9) на объем киломоля и получим Учитывая, что получаем Из уравнения (3.1) следует а также где k – постоянная Больцмана (3.3).

Таким образом, T~, а также не зависят от массы молекулы (а только от T).

Из (10.8) и (10.14) получаем При смеси газов n=n1+ n2+ … имеем где pi парциальное давление i-й компоненты смеси, Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений.

Вспомните барометрическую формулу (9.6) и учтите, что µ = 1, mi – масса одной молекулы, k – постоянная Больцмана.

При этом получаем где n – концентрация молекул на высоте h, а n0 – та же величина на высоте h=0.

Учитывая, что p = m1gh есть потенциальная энергия одной молекулы на высоте h, получаем распределение Больцмана:

11. ТЕОРЕМА О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ

ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

Число степеней свободы молекулы – это число независимых координат, необходимых для однозначного определения ее положения в пространстве.

Можно показать [1, с. 302–310]:

где < kin > – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа, откуда следует, что T~ < kin >.

Из (11.1) получаем Учитывая, что а также вследствие равноправия всех направлений движения находим:

Материальная точка имеет 3 степени свободы: x, y, z (или,, ). Такое же число степеней свободы имеет одноатомная молекула [абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы].

Рассмотрим 2-атомную молекулу. Если атомы в молекуле жестко связаны, то число степеней свободы такой молекулы равно 5 : 3 поступательные и 2 вращательные.

Если 2 атома в молекуле связаны нежесткой связью (например, упругой связью), такая молекула имеет 6 степеней свободы: 3 поступательные, 2 вращательные и 1 колебательную степень свободы.

Трехатомной молекуле с жесткой связью приписывается 6 степеней свободы (3 поступательных и 3 вращательных) Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная 1 2 kT.

Таким образом, средняя энергия молекул должна равняться где i – сумма чисел поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы молекулы2:

Отметим, что постоянная k может трактоваться как величина, переводящая кельвины в джоули.

Колебательное движение связано с наличием кинетической и потенциальной энергии, при этом для гармонического осциллятора < kin >=< pot >, поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится энергия 2 1 kT. Для молекул с жесткой связью i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Между молекулами идеального газа взаимодействие отсутствует, поэтому внутренняя энергия одного киломоля идеального газа Сравнивая последнее уравнение с (6.3, a), получаем При этом в силу (6.6) имеем:

поэтому Таким образом отношение Сp к СV определяется числом степеней свободы молекулы и их характером (табл. 1).

Число и более 12. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ (ВНТ).

НАПРАВЛЕНИЕ ПРОТЕКАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Основоположником ВНТ является французский физик и инженер Сади Карно. Позднее Р. Клаузиус, М. Планк и В. Томсон (лорд Кельвин) придали ВНТ современную формулировку.

I начало не допускает указаний относительно направлений протекания процессов. I начало только требует, чтобы во всех процессах энергия не менялась. I началу не противоречит, например передача тепла от менее нагретого тела более нагретому.

II начало позволяет судить о направлении протекания процессов.

Рассмотрим схематически работу тепловой машины (см. рис. 10, 11).

В цилиндре машины находится газ (или какое-либо другое вещество), называемое рабочим телом (разд. Д2, 3). Точка 1 изображает начальное состояние рабочего тела. Пусть имеется нагреватель, его температура выше температуры газа. Газ будет нагреваться и расширяться – кривая 1а2. Рабочее тело получит от нагревателя количество тепла Q1 и совершит положительную работу A1.

По I началу имеем:

Теперь надо вернуть поршень в исходное состояние, т. е. сжать газ.

Этот процесс надо реализовать так, чтобы работа A2 (затраченная на сжатие) была меньше А1. Для этого нужно привести дно цилиндра в тепловой контакт с холодильником (это тело с температурой ниже, чем температура газа в цилиндре), далее сжимаем газ по траектории 2b1. При этом газ возвращается в исходное состояние 1. В этом процессе газ отдает холодильнику количество тепла –Q2.

В силу I начала имеем:

в комбинации с уравнением (12.1) получаем В итоге тепловая машина совершила цикл (круговой процесс), при этом нагреватель отдал количество теплоты Q1, холодильник получил количество теплоты Q2, Q=Q1–Q2 пошло на совершение работы A1–A2.

Отношение называется коэффициентом полезного действия (КПД) любой тепловой машины (из определения следует, что КПД не может быть больше 1).

Спрашивается – нельзя ли построить периодически действующую тепловую машину без холодильника, т. е. добиться, чтобы Q2=0 и при этом иметь = 1? Такая машина превращала бы в работу всю теплоту, полученную от одного теплового резервуара. Эта возможность не противоречит закону сохранения энергии (I началу).

Впервые Карно понял, что машина подобного типа невозможна принципиально. Он сравнивал работу тепловых двигателей с работой водяных двигателей (в последнем случае совершение работы связано с падением воды с большей высоты на более низкую).

Согласно Карно работа тепловых двигателей связана с переходом тепла от тела более нагретого к телу менее нагретому.

Опытные данные говорят против возможности построить перпетум мобиле II рода. Невозможность построения вечного двигателя II рода была возведена в постулат. Он называется постулатом II начала термодинамики и является обобщением опытных данных. Его подтверждением служит согласие с опытом всех вытекающих из него следствий.

Вильям Томсон получил за научные заслуги титул лорда; формулировка II начала термодинамики, принадлежащая В. Томсону, утверждает:

«Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы произведение работы за счет охлаждения теплового резервуара» (за счет уменьшения внутренней энергии рабочего тела1).

Цикл Карно, по определению – обратимый.

Теорема Карно (без доказательства): КПД всех обратимых машин, работающих в идентичных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и холодильника), одинаков и определяется только температурой нагревателя и холодильника.

Однако характер зависимости КПД от температуры нагревателя Т1 и температуры холодильника Т2 в теореме Карно остался невыясненным.

Найдем эту зависимость.

Есть еще одна формулировка II начала, принадлежащая Планку, конкретизирующая, в чем должно выражаться совершение внешней работы.

Формулировка Планка: «Невозможно построить периодически действующую машину, единственным результатом работы которой было бы поднятие груза (производство работы) за счет охлаждения теплового резервуара» (см.разд. Д2, 3).

14. КПД ЦИКЛА КАРНО ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Естественно рассмотреть машину с рабочим веществом, свойства которого отличаются наибольшей простотой. Такими свойствами обладает идеальный газ.

Если найти КПД цикла Карно (рис. 12), как функцию T1 и T2, то будет установлен КПД всех машин.

КПД тепловой машины по определению где Q1 – тепло, полученное от нагревателя, Q2 – тепло, отданное за цикл холодильнику.

При изотермическом процессе внутренняя энергия не изменяется, остается постоянной, поэтому количество полученного газом тепла Q1 равно работе А12, совершаемой газом при переходе 1–2.

Согласно уравнению (8.3) эта работа равна m – масса идеального газа в машине [1].

Количество тепла Q2, отдаваемого холодильнику, равно работе A34, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его из состояния 3 в состояние 4:

Для замкнутости цикла необходимо, чтобы состояния 4 и 1 лежали на одной и той же адиабате; условие замкнутости цикла (см. также уравнение (7.5)) дает:

Поскольку состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, выполняется условие:

Последние два уравнения совместно дают окончательное условие замкнутости цикла Карно:

Подставляя (14.3) и (14.2) в (14.1), получаем Согласно (14.6) получаем уравнение:

Рассмотренный прямой цикл Карно представляет идеальную паровую машину, из которого видно, что для цикла Карно (рис. 12) для идеального газа действительно зависит только от температуры нагревателя и холодильника.

В силу теоремы Карно уравнение (14.8) дает КПД любой обратимой машины.

На примере идеального цикла Карно видно, что некоторое количество тепла Q1–Q2 может быть обратимо превращено в работу А (см. доп. Д 1, 2), хотя это превращение и является лишь звеном более сложного процесса:

его сопровождает перенос количества тепла Q2 от нагревателя к холодильнику. Используя тот же обратимый цикл Карно для осуществления холодильной машины, можно обратимо получить за счет работы А количество тепла Q1–Q2 и перенести обратимо от холодильника к нагревателю количество тепла Q2. Однако, важно подчеркнуть, что это возможно лишь при равновесном, т. е. при бесконечно медленном протекании цикла Карно (что практически неосуществимо). Всякий реальный переход работы в теплоту осуществим сам по себе, без сопровождения его какими-либо другими процессами, переход же тепла в работу может протекать лишь при сопровождении его еще каким-либо процессом.

Цикл Карно является единственным замкнутым процессом, который можно осуществить обратимым образом. Действительно, адиабатические процессы являются обратимыми, если их проводить квазистатически, т. е.

очень медленно. Что касается изотермических процессов, то это единственные процессы с теплообменом, которые могут быть проведены обратимым образом. В случае любого другого процесса температура рабочего тела изменится. Тогда, согласно II началу термодинамики (см. ниже), теплообмен с нагревателем или холодильником не может быть обратимым: теплообмен при конечной разности температур имеет характер приближения к тепловому равновесию. Он не является равновесным процессом.

Конечно, теплообмен при отсутствии разности температур будет происходить бесконечно медленно. По этой причине обратимый цикл Карно будет продолжаться бесконечно долго и мощность тепловой машины при максимально возможном (КПД), определяемая формулой (14.8), будет стремиться к нулю. В реальной машине процессы необходимо содержат необратимые звенья, по этой причине ее КПД всегда меньше теоретического предела (14.8).

Трансформация внутренней энергии в механическую не может быть проведена полностью (это следствие II начала термодинамики). Чтобы превратить в механическую энергию максимально возможную часть внутренней энергии, нужно использовать только обратимые процессы. Рассмотрим такой пример. Пусть имеется некоторое тело, которое не находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Это может быть идеальный газ в цилиндре с поршнем. Пусть он имеет температуру T1>T (где T – температура окружающей среды (см. рис. 13). Вопрос состоит в том, каким путем можно получить наибольшую работу, считая, что в конечном состоянии газ должен занимать тот же объем, что и в начальном.

Если бы температура газа была равна температуре окружающей среды, т. е. газ находился бы в тепловом равновесии с окружающей средой, то получить работу вообще было бы невозможно. Превращение внутренней энергии в механическую возможно только в том случае, если начальное состояние системы не является равновесным. Но даже при неравновесном начальном состоянии переход (системы) в равновесное состояние не обязательно связан с превращением внутренней энергии в механическую. Если привести газ в тепловой контакт с окружающей средой (не давая ему расширяться), то газ остынет и никакой работы совершено не будет. Для того чтобы реализовать возможность совершения работы, необходимо предоставить газу возможность расширяться, имея в виду, что в дальнейшем его придется сжать, так как по условию в конечном состоянии газ должен иметь тот же объем, что и в начальном состоянии.

Для того чтобы работа была максимальной, переход из начального состояния в конечное должен быть реализован обратимым образом. Это может быть сделано, используя только адиабатические и изотермические процессы, т. е. газ следует адиабатически расширять, пока его температура не станет равной температуре окружающей среды Т, а затем изотермически сжать при этой температуре до исходного объема.

Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении 1–2, как видно из рис. 14, больше той работы, которую придется совершить над газом при его изотермическом сжатии 2–3.

Максимальная работа, которую можно иметь при переходе газа из состояния 1 в состояние 3, равна площади заштрихованного на рис. 14 криволинейного треугольника. КПД такой тепловой машины определяется только температурой T1 нагревателя и T холодильника.

15. НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА. ЭНТРОПИЯ

Отмечено (разд. Д2, 3), что «отрицательные» процессы могут идти лишь в сопровождении одного из «положительных» процессов.

Рассмотрение «обратимого» цикла Карно показывает, какое количество тепла Q2 должно быть перенесено от нагревателя температуры T1 к холодильнику температуры T2, чтобы количество тепла Q1 – Q2 могло быть превращено в работу A. Воспользуемся количественным соотношением следующего свойства.

При протекании одного цикла газ совершает работу (12.4) где – коэффициент полезного действия; при этом от нагревателя оказывается получено количество тепла Q2, равное Чем выше температура нагревателя T1 и чем ниже температура холодильника T2, тем выше КПД, т. е. тем бо от нагревателя, превращается в работу и тем меньшее количество тепла Q отдается холодильнику. КПД может равняться 1 лишь при T2=0, т. е. при температуре холодильника, равной 0. Схема действия прямого цикла Карно представлена на рис. 15.

Обратимость цикла Карно позволяет провести его в обратном направлении по отношению к рассмотренному. Такой обратный цикл Карно является идеальной холодильной машиной. При обратном цикле Карно внешние силы совершают над газом положительную работу A, равную работе A, совершенной газом при прямом цикле.

При этом от холодильника будет получено количество тепла Q2, которое в силу (15.1) и (15.2) может быть представлено в виде Нагревателю будет передано количество тепла Схема действия обратного цикла Карно представлена на рис. 16.

Из (12.4) и (14.8) получаем:

Ранее было условлено количество тепла, переданного рабочему веществу нагревателем, обозначать Q1, а переданного рабочему веществу холодильником – через Q2. Изменим теперь обозначения и будем символом Q (без знака) обозначать количество тепла, переданного рабочему веществу как нагревателем, так и холодильником.