«ФИЗИКА РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАН —. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ К ФИПИ ОТЛИЧНИК ЕГЭ ФИЗИКА Реш ение сложных задач Интеллект-Центр 2010 УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я721 0-80 Авторы: Вишнякова Е. А., Макаров ...»

Шайбе толчком сообщают скорость v = 5 м/с в сторону наклон­ ной плоскости в направлении, перпендикулярном линии сопря­ жения плоскостей. На каком расстоянии I от начального положе­ ния шайба окончательно остановится, если участок сопряжения по длине много меньше.L1 Ускорение свободного падения g = 1 0 м/с2.

Ответ: I = L ------------------------------= 0,2 м.

1.4. 3 4.Е Небольшая клонной плоскости из точки А (см. рисунок). В точке В наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность гори­ зонтальной трубы радиусом R. Если в точке А скорость шайбы превосходит v 0 = 4 м/с, то в точке В шайба отрывается от опоры.

Длина наклонной плоскости АВ —L — 1м, угол а = 30°. Коэффи­ циент трения между наклонной плоскостью и шайбой fi = 0,2.

Найдите внешний радиус трубы R.

Ответ: R = ---- ^----- 2L(|u + tg а ) « 0,3 м.

начала соскальзывания и точка отрыва от желоба расположены на высотах Н = 2,6 м и h = 0,4 м над центром окружности. Ускоре­ ние свободного падения g = 1 0 м/с2.

Опираясь о барьер катка, мальчик бросил камень го­ ризонтально со скоростью v x = 5 м/с. Какова будет скорость v камня относительно мальчика, если он бросит камень горизон­ тально, совершив при броске прежнюю работу, но стоя на глад­ ком льду? Масса камня m = 1 кг, масса мальчика М = 50 кг. Тре­ нием о лед пренебречь.

ком горизонтальном столе. Между шариками располагается лег­ кая пружина. Если сблизить шарики, сжав пружину, а затем, удерживая на месте шарик массой т2, отпустить шарик массой тх, то он отлетает со скоростью v 0 = 2 см/с. С какими скоростя­ ми v x и г>2 разлетятся шарики, если сблизить их до расстояния, при котором сжатие пружины окажется в п = 2 раза меньше, чем в первом случае, и отпустить оба шарика одновременно?

1.4.38. Сферическая чашка массой М = 200 г покоится на гладкой горизон­ тальной поверхности. По внутренней по­ верхности чашки из положения А начи­ нает скользить без начальной скорости маленький брусок массой т = 20 г. Какую скорость v будет иметь чашка в тот момент, когда брусок достигнет наинизшей точки (положение В), если радиус чашки R = 8 см? Трением меж­ ду всеми поверхностями пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

Ответ: v = m_ I---- --------- »12 см/с.

1.4.39. На горизонтальной плоскости стоит подставка, на которой укреплена тонкая жесткая изогнутая трубка, как показано на рисунке. Масса подставки с трубкой равна М= 400 г. Верхний ко­ нец трубки расположен на высоте Н — 1м над плоскостью. Высота горизонтального участка трубки равна h = 0,75 м, а его конец лежит на од­ ной вертикали с серединой верхнего конца. В верхний конец опускают без начальной скорости небольшое тело массой т —20 г. На каком расстоянии по горизонтали от исходной точки тело упадет на плоскость при отсутствии сил трения?

С неподвижной гладкой горки, плавно переходящей в горизонтальную плоскость, с высоты Н = 90 см соскальзыва­ ет без начальной скорости небольшая шайба массой т = 200 г.

На плоскости стоит другая гладкая горка массой М = 1 кг вы­ сотой Н\ > //, которая может перемещаться по плоскости без трения. На какую максимальную высоту h поднимется по не­ подвижной горке шайба после того, как она первый раз со­ скользнет с подвижной горки?

Ответ: h = -------- Н = 0,4 м.

нок). Шайба соскальзывает без начальной скорости в направле­ нии второй горки. Найдите скорости горок после завершения процесса всех столкновений. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

В закрепленной квадратной коробке с вертикальными стенками на горизонтальном дне в центре лежит маленькая глад­ кая упругая шайба. Вторая такая же шайба находится в одном из углов коробки. Если вторую шайбу ударить так, чтобы она испы­ тала нелобовой удар с первой, то скорость второй шайбы умень­ шится в п = 2 раза, и она столкнется с коробкой через время т = 2 с после удара о первую шайбу. Через какое время после со­ ударения первая шайба столкнется со стенкой коробки?

Тележка массой т\ = 0,8 кг движется по инерции со скоростью г> = 2,5 м/с. На тележку с высоты h = 50 см верти­ кально падает кусок пластилина массой m2 = 0,2 кг и прилипает к ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю при этом ударе.

Ответ: Q = ——- + m7g h -------- Два маленьких шарика массами т = 1 г и 2га дви­ жутся в одной плоскости так, что их импульсы направлены вза­ имно перпендикулярно, а модули импульсов равны соответственно р = 2-10 кгм/с и р / 2. Шарики сталкиваются, причем после соударения модуль импульса шарика массой т становится равным р / 2, а модуль импульса шарика массой 2т становится равным р. Какое количество теплоты Q выделилось при соуда­ рении шариков? Действием всех внешних сил пренебречь.

На гладком горизонтальном столе покоится малень­ кая шайба массой га = 10 г. На нее налетает скользящая по столу вторая такая же шайба. После частично упругого нелобового удара шайбы разлетаются со скоростями, модули которых равны v \ и v 2 - Найти угол разлета шайб, если при ударе выделилось количество теплоты Q.

Ответ: а = arccos— — = 60 °.

В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны mi = 1,5 кг и т2= 1 кг, блок и нить не­ весомы, трение отсутствует. Вначале более тяжёлый горизонтальной плоскостью, а груз га2 стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз т\ после абсолютно неупругого удара о плос­ кость, если нить считать гибкой, неупругой и практически лнерастяжимой. Ускорение свободного падения равно g = 1 0 м/с, блок находится достаточно далеко от грузов.

';

1.4.47. На гладком горизонтальном столе неподвижно стоит клин массой М —400 г. Шероховатая наклонная поверхность клина плавно сопрягается с горизонтальной поверхностью стола.

По столу в направлении клина со скоростью v =1 м/с скользит маленькая шайба массой т = 100 г. Шайба, въехав на клин, под­ нимается по его наклонной поверхности на максимальную высо­ ту h = 3 см над столом. Найти количество теплоты, которое при этом выделяется. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с.

Ответ: Q = -------------------- mgh = 0,01 Дж.

1.4.48. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой М = \ кг. На конец доски кладут шайбу массой т = 0,25 кг, которой ударом сообщают скорость v =5 м/с вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен ц = 0,8. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если из­ вестно, что шайба не соскальзывает с доски? Ускорение своЛ бодного падения g = 10 м/с.

Ответ: s = -----------------= 1,25 м.

1.4.49. На горизонтальной плоско­ сти лежит деревянный брусок массой А/ = 4 кг, прикрепленный к вертикальнои стенке пружинои жесткостью к = 100 Н/м. В центр бруска попадает пуля массой га = 10 г, ле­ тящая горизонтально и параллельно пружине, и застревает в нем.

Определить скорость пули v, если максимальное сжатие пружи­ ны после удара составило А/ = 30 см. Трением бруска о плос­ кость пренебречь.

Ответ: v = — у](М + т)к = 600 м/с.

1.4.50.е Кусок пластилина сталкивается со скользящим на­ встречу по горизонтальной поверхности стола бруском и прили­ пает к нему. Скорости пластилина и бруска перед ударом направ­ лены противоположно и равны v n =15 м/с и v 6p = 5 м/с. Масса бруска в п = 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент тре­ ния скольжения между бруском и столом равен ц = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к мо­ менту, когда их скорость уменьшится на а = 'У 1.4.51. Два одинаковых бруска покоятся *- 1^ на шероховатой горизонтальной поверхности.

шарик, летящий с некоторой скоростью, и при- 0 —| ' “ ;— i липает к нему. В другой брусок попадает ме- '— ',““таллический шарик такой же массы, летящий с такой же скоро­ стью, что и пластилиновый. После упругого удара о брусок ме­ таллический шарик отскакивает назад со скоростью, вдвое мень­ шей начальной. Найти отношение п путей, пройденных бруска­ ми после удара, считая их движение поступательным.

1.4.52. В лежащий на гладкой горизонтальной плоскости ку­ бик массой М = 1 кг попадает летевшая со скоростью v = 200 м/с пуля массой т = 20 г. Скорость пули была направлена вдоль го­ ризонтальной прямой, проходящей через центр кубика, перпен­ дикулярно одной из его боковых граней. Сколько тепла выдели­ лось бы, если бы пуля вылетела из кубика со скоростью в п = раза меньше v, а изменением потенциальной энергии кубика и пули можно было бы пренебречь?

нитях так, что в положении равновесия нити верти­ кальны, а шарики соприкасаются друг с другом, и их центры находятся на одной высоте. Длина нити подп}] п* веса левого шарика lx = 10 см, отношение масс ша­ риков т2/т х = п = 3. Левый шарик отклоняют на некоторый угол а от вертикали и отпускают без начальной скорости. Определить величину а, если максимальная высота, на которую поднимается левый шарик после первого соударения с правым шариком, hx = 1,25 см. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми, соуда­ рение шариков - абсолютно упругим.

1.4.54.E Шар массой M = 1 кг, подвешенный на нити длиной / = 90 см, отводят от положения равновесия на угол а = 60° и отпускают. В момент прохождения шаром положения равнове­ сия в него попадает пуля массой т = 10 г, летящая навстречу ша­ ру. Она пробивает его и продолжает двигаться горизонтально.

Определите изменение скорости пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол (3 = 39°. Массу шара считать неизменной, диаметр ш а р а - пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити, cos 39° « —.

1.4.55. Шарик массой М = 100 г висит на невесомой нерас­ тяжимой нити длиной L = 1 м. В него попадает горизонтально летящая пуля массой т = 10 г, которая застревает в шарике. Ско­ рость пули такова, что после этого шарик на нити делает полный оборот по окружности в вертикальной плоскости. Найти, какое количество теплоты выделилось при застревании пули в шарике.

Влиянием воздуха пренебречь, ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

1.5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

скорости начинает скользить маленький брусок.

скользить без начальной скорости второй такой лять с вертикалью линия, соединяющая второй брусок с центром дуги - точкой О, в момент, когда первый брусок достигнет точки В, если ZAOB известен и равен а 0 =0,1 рад.

Решение. Будем отсчитывать время t от момента начала движения первого бруска. Так как по условию задачи угол а о « 1 рад, то законы движения обоих брусков по виду совпа­ дают с законом движения математического маятника. Поэтому при движении первого бруска угол а,, задающий его положение по отношению к вертикали ОВ, изменяется во времени по закону а, = а 0 coscot, где со = J ------круговая частота, R - радиус желоVR ба. В момент tx, когда начинает движение второй брусок, °Ч (А ) = ~ = а оc o s » откуда соtx = arccos— = —. Следовательно, закон движения второго бруска, который начинает движение с запаздыванием по отношению к первому, имеет вид:

достигает точки В, со/2 = — • Поскольку искомый угол a = a 2(t2), Полезно схематически изобразить графики зависимостей уг­ лов, задающих положение брусков, от времени.

1.5.2. К потолку покоящейся кабины лифта на пружине же­ сткостью Л = 10 Н/м подвешена гиря массой т = 1 кг. В некото­ рый момент времени лифт начинает движение вверх с постоян­ ным ускорением а = 1 м/с2. Какой путь S пройдет кабина лифта к тому моменту, когда длина пружины первый раз станет макси­ мальной?

Решение. При решении задачи бу­ дем использовать инерциальную сис­ xmax тему отсчета, связанную с неподвиж­ *»

ной землей, а также вспомогательную систему отсчета, связанную с ускорен­ О T/2 T но движущейся кабиной лифта. Введем направленную вертикально вниз вспомогательную координатную ось ОХ, связанную с кабиной лифта, и совместим начало этой оси с нижним концом недеформированной пружины. Когда кабина неподвижна, координата гири в положении равновесия равна * 0 = mg / к. В момент начала движения кабины положение равно­ весия гири скачком смещается вниз, и ее координата относитель­ но лифта в равновесии становится равной хх = m ( g + a ) / k. В ре­ зультате начинаются гармонические колебания гири относитель­ но кабины лифта, причем их период равен Т = 2пл!т/к и не за­ висит от того, покоится кабина или движется. График зависимо­ сти координаты гири х от времени t в системе отсчета, связан­ ной с кабиной, изображен на рисунке, на котором t = 0 соответству­ ет моменту начала движения кабины. Как видно из рисунка, время т, за которое длина пружины достигает максимального значения, составляет половину периода колебаний гири: т = Г /2. Путь, прой­ денный кабиной относительно земли за это время, равен S = Объединяя записанные выражения, получаем: S. Подстав­ ляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя разм/с2 -1кг При решении этой задачи следует отметить, что период гар­ монических колебаний пружинного маятника зависит только от характеристик этого маятника - массы груза и коэффициента же­ сткости пружины, и не зависит от ускорения свободного падения.

Однако стоит подчеркнуть, что при неизменном периоде колеба­ ний положение равновесия, вокруг которого происходят колеба­ ния, изменяется, как только система начинает двигаться с уско­ рением. Следует обратить особое внимание на то, что подобные рассуждения для математического маятника неправильны. В свя­ зи с этим было бы полезным решить эту задачу, заменив пружин­ ный маятник на математический.

1.5.3.е Груз массой т —2 кг, закреплённый на пружине жё­ сткостью к = 200 Н/м, совершает гармонические колебания. МакЛ симальное ускорение груза при этом равно я тах = 1 0 м/с. Какова максимальная скорость груза?

Решение. Будем использовать для решения задачи инерциальную систему отсчета, связанную с землей, которую будем считать неподвижной. Введем направленную вдоль оси пружины координатную ось ОХ, начало которой совместим с положением равновесия груза. Тогда при надлежащем выборе начала отсчета времени t и положительного направления оси О Х координата гру­ за х изменяется со временем по гармоническому закону:

x(t) = вая частота, ф0 - начальная фаза. Зависимости скорости v и ус­ корения а груза от времени можно найти при помощи дифферен­ цирования функции x(f) по времени: v (t) = со^со8(со/ + ф0) и а (0 = -со v4sin(co/+ ф0). Из полученных формул видно, что максимальная скорость груза при колебаниях равна по модулю t?m = соА, а модуль максимального ускорения составляет а ш = 03 А. Отсюда следует, что v m = ——. Учитывая, что для пружинного маятника со =, находим: г>тах = а тах Подставляя числа и проверяя размерность, получаем ответ:

v m,x = 10— J -------- — = 1 м/с.

При решении этой задачи важно понимать, что максималь­ ные значения скорости и ускорения при гармонических колеба­ ниях однозначно связаны с амплитудой колебаний, причем эта связь может быть найдена из закона движения x(t) путем его дифференцирования.

1.5.4. Математический маятник отклонили от положения равновесия на малый угол а 0 = 0,1 рад и отпустили без началь­ ной скорости, после чего маятник стал совершать гармонические колебания. Найти максимальную величину и утах вертикальной составляющей скорости маятника. Длина маятника / = 0,4 м. УсЛ корение свободного падения принять равным g = 10 м/с. Счи­ тать, что sin а « а.

Решение. Угол отклонения маятника от вертикали изменяете ся во времени по закону: a = a 0 cosco/, где со = J y - круговая частота. Следовательно, модуль линейной скорости маятника |г? |= /|с х | зависит от времени следующим образом:

I и | = a 0/oo Isin Ш I. Модуль вертикальной составляющей скорости маятника равен \v.у 1=1 ?;sin a I«I im I= a n/co Isin соt cos Ш 1 — Isin 2со/1=1. Отсюда v vm = —a i J g = 1 см/с.

Решение этой задачи подразумевает анализ полученной за­ висимости модуля вертикальней составляющей скорости маятни­ ка от времени.

1.5.5. Тело массой т = ОД кг, надетое на гладкий горизон­ тальный стержень, связано пружиной жесткостью к = 10 Н/м с неподвижной стенкой. Тело смещают от положения равновесия на расстояние х0 =10 см и отпускают без начальной скорости.

Найти среднюю скорость тела v cp за время, в течение которого оно проходит из крайнего положения путь х0 / 2.

Решение. Пусть в момент, когда тело, смещенное от поло­ жения равновесия на расстояние х0, отпускают без начальной скорости, / = 0. Тогда координата тела будет меняться со време­ нем по закону: х(7) = х0 cos Ш, где с о = 1 — - круговая частота колебаний. Обозначив через to время, за которое тело проходит от крайнего положения путь х0 / 2, имеем: — = jc0 cos J —10, откуда деляется выражением: v cn =. Отсюда г> п = — J — « 0,48 м/с.

Распространенной ошибкой при решении этой задачи является определение средней скорости как среднего арифметического из значений скорости в начальный и конечный моменты времени.

1.5.6.е Смещение груза пружинного маятника меняется с те­ чением времени по закону х = А&т{2тй!Т), где период Г = 1с.

Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потен­ циальная энергия маятника достигнет половины своего макси­ мального значения?

Решение. Воспользуемся выражением для потенциальной энергии пружины, к которой прикреплен груз маятника. В на­ чальный момент времени, когда запасенная в пружине потенци­ альная энергия равна нулю, пружина не растянута. В момент мак­ симального растяжения пружины ее удлинение равно А, а потенкА циальная энергия при этом равна U 0 = -----, где к - коэффициент жесткости пружины. В интересующий нас момент времени t по­ тенциальная энергия пружины составляет По условию задачи U l = U 0 12. Отсюда получаем уравнение:

sin2( 2nt / Т) = \ / 2. Минимальный отличный от нуля корень этого уравнения / = 77 8 = 0,125 с. Именно через такой промежуток времени, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маят­ ника достигнет половины своего максимального значения.

Следует отметить, что для решения этой задачи необходимо ввести вспомогательную величину - коэффициент жесткости пружины - который не задан, но в процессе вычислений сокра­ щается и в ответ не входит.

лежит деревянный брусок, прикрепленный тЗШШтіт/н/*»

пружиной к вертикальной стенке. В брусок по­ падает пуля массой га = 10 г, летящая горизонтально вдоль оси пружины, и застревает в нем. Определить жесткость пружины к, если известно, что время, в течение которого сжималась пружина после попадания пули в брусок, равно Т = 0,1 с, а отношение ко­ личества теплоты, выделившейся при взаимодействии пули с бруском, к начальной кинетической энергии пули равно а = 0,9.

Трением бруска о стол, а также массой пружины пренебречь.

Решение. Обозначим через v скорость пули перед ударом, а через М - массу бруска. Из закона сохранения импульса и за­ кона изменения механической энергии следуют равенства:

m v = (М + т)и, ------ = ----------------- h Q, где и - скорость пули и бруска после соударения, Q - количество теплоты, выделив­ шееся при взаимодействии vпули с бруском, причем по условию Q-а. Время Т, в течение которого сжималась пружина, равно четверти периода колебаний тела массой (M + m) на пруМ + т _- жине жесткостью к, т.е. Т = — J — - —. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: к = — ---------- = 25 Н/м.

В этой задаче использовать закон сохранения энергии для определения скорости бруска после попадания в него пули было бы неправильно, так как удар является неупругим. Кроме того, важно понимать, что интервал времени, в течение которого сжи­ малась пружина, равен именно четверти периода колебаний (а не половине), так как изначально пружина была недеформирована.

пружинам жесткостями к = 10 Н/м и 8Л соответственно и надеты на гладкий горизонтальный стержень. Свободные концы пружин заделаны в неподвижные стенки так, что в положении равновесия пружины не деформированы, а шарики касаются друг друга (см.

рисунок). Шарик массой т отводят влево на небольшое расстоя­ ние и отпускают без начальной скорости. Найти время т между первым и вторым соударениями шариков, считая их абсолютно упругими.

Решение. Пусть скорость шарика массой т перед ударом равна v 0. Из законов сохранения импульса и энергии при упру­ mv0 = mv j + 2mv2, ---- - = ---- —+ ------—. Отсюда скорости шариv0 2 v0 T T ков массами m и 2m, соответственно, v 1 = —, v 2 = - -. Напра­ вив координатную ось ОХ вправо и совместив начало координат с положением равновесия, для координат шариков имеем:

нии шариков, щ = J —, со2 = ---- = 2со, - круговые частоты коV2 т лебаний. Скорости колеблющихся шариков определяются по формулам: хх = —^coj coscoj/, i 2 = ^ 2со2 cosco2/. Полагая в этих формулах / = 0 и используя значения скоростей v x и v 2, получат ем, что Ах = ——, А2 = — —. Отсюда следует, что Ах - А2 - А.

Второе столкновение шариков произойдет в момент, когда хх = х2.

Имеем:

-/4 sin a )1T = ^sin 2 ca,x, или -sinoo1T = 2sinco1T-cosG)1.

Отсюда cos C jT = —, или cO = —.Т огда х = — J — »0,21 с.

Важным моментом при решении этой задачи является пра­ вильная запись законов движения шариков. Кроме того, следует пояснить, что момент времени t = 0 соответствует моменту пер­ вого соударения шаров.

1.5.9. Груз массой M = 1 кг подвешен на пружине. Удержи­ вая груз в положении равновесия, на него кладут брусок массой т = 0,1 кг, а затем отпускают. С какой максимальной силой Fmax брусок будет действовать на груз в процессе движения? Ускорел ние свободного падения g = 10 м /с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Из условия равновесия неподвижно висящего гру­ за кх0 = Mg следует, что удлинение пружины при этом равно х0 = >где к - жесткость пружины. Совместим начало отсчета потенциальной энергии с концом недеформированной пружины.

Учитывая, что при максимальном растяжении пружины ( х = хтах ) скорость груза с бруском обращается в нуль, запишем закон сокх2 кх хранения энергии:

- - - (M + m)gx0 = —Jp2- - (M + rn)gxm. Подax ставляя сюда хо, находим = ---------------. Запишем далее уравнения движения для груза с бруском и отдельно для бруска:

(Л/ + т)а = (M + m )g - к х, та = mg - F. Отсюда сила, с которой груз действует на брусок, F = эта сила принимает при x = хтах. Объединяя записанные выражеМ + 2т ТТ ния, получаем ответ: Fm = m g ----------- « 1Д Н.

Было бы полезным решить эту задачу, изменив положение начала отсчета потенциальной энергии, выбрав его, например, в положении равновесия системы.

сомой пружине жесткостью к = 1 Н/м. Снизу в него попа­ дает пластилиновый шарик массой т = 1 г, летящий вертикально вверх со скоростью = 2,5 м/с, и прилипает к vo бруску. Найти амплитуду А возникающих при этом гармонических колебаний. Ускорение свободного падения Решение. Выберем начало отсчета в положении равновесия бруска до прилипания шарика, ось О Х направим вверх. В этом состоянии пружина растянута на величину х0 = M g / к.Н о закону Подставляя в это равенство найденные ранее значения х0 и w, получаем квадратное уравнение относительно х :

Разрешая это уравнение, получаем два корня, которые соот­ ветствуют координатам верхней и нижней точек движения бруска туда колебаний равна А = —(хх - х2), ответ имеет вид:

Решение этой задачи содержит три важных момента, на ко­ торые следует обратить особое внимание: во-первых, выбор по­ ложения начала отсчета системы координат, во-вторых, объясне­ ние двух значений возможной координаты бруска, и, в-третьих, определение амплитуды колебаний, как половины их размаха.

между осями валиков / = 20 см, коэффициент трения между валиками и доской ц = 0,2. Показать, что если в начальный момент времени центр тяжести доски смещен отно­ сительно средней линии С С ', то предоставленная самой себе доска будет совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний. Ускорение свободного падения принять равУ ным g = 10 м/с.

Решение. Пусть доска смещена от положения равновесия влево на расстоя­ этом, изображены на рисунке, где mg - сила тяжести ( т - масса доски), N, и N 2 - нормальные к доске составляющие сил реак­ Fj =, F2 = 1lN2 • На рисунке использованы также обозначе­ ния: х' = - - х, х* ——+ х. В проекции на вертикальное направ­ ление сумма сил равна нулю (исходя из условия равновесия дос­ ки в проекции на это направление), откуда следует, что N l + N 2 = m g. Уравнение моментов, записанное относительно мгновенного положения центра тяжести доски, имеет вид:

доски тх = — ~ i x имеет вид Уравнения гармонических коле­ баний с круговой частотой со = л\~~~ • Учитывая, что период ко­ лебаний Т = —, получаем ответ: Т = 2к — — « 1,4 с.

Важно отметить, что при решении этой задачи могут воз­ никнуть трудности, связанные с определением направления сил сухого трения, действующих на доску. Следует помнить, что эти силы всегда направлены противоположно возможному переме­ щению одного тела относительно другого. Кроме того, будет по­ лезным напомнить общий вид уравнения движения тела, соверл шающего свободные гармонические колебания: х + со х = 0.

системы, состоящей из жесткой невесомой штанги, t верхний конец которой закреплен на шарнире, R кл I и двух грузов малых размеров массами т = 1 кг и М = 2 кг, закрепленных на штанге на расстояниях г =0,5 м и R = l м от шарнира. Трением пренебЛ речь, g =10 м/с.

Решение. Применим для решения этой задачи следующий прием. Представим себе, что изображенный на рисунке маятник вы­ вели из положения равновесия, сообщив ему некоторую суммарную энергию Е0 так, что в результате начались колебания системы с ма­ лой амплитудой. Пусть в некоторый момент времени нижний груз оказался смещенным из положения равновесия на малую величину х и двигался в этот момент со скоростью v. Тогда угол, который составляет в этот момент штанга с вертикалью, равен а = х / R. При этом смещение верхнего груза из положения равновесия равно s = г а = — х, а его скорость равна и = — v.

Кинетическая энергия маятника в рассматриваемый момент времени равна сумме кинетических энергий нижнего и верхнего грузов:

Потенциальная энергия системы в этот момент складывается из потенциальных энергий взаимодействия грузов с Землей:

U = MgR( 1 - c o sa ) + mgr( 1 - c o s a ). При записи этого выражения мы считали, что U = 0 в положении равновесия системы. Так как угол отклонения штанги от вертикали мал ( а « 1 рад), то для вычисления косинуса можно воспользоваться приближенной формулой: c o s a « 1------. Тогда Так как по условию задачи трения нет, то полная механиче­ ская энергия системы сохраняется:

Продифференцируем это уравнение по времени t, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции. Поскольку — ( v ) = 2 v — = 2 ---------- т- и — (x2) = 2x—, то -------- -------- v ----- —-\— - (MR + m r)xv = 0.

Полученное уравнение можно переписать в виде:

нии х + со х = 0 с круговой частотой со = л — -------- —. СледоваV MR + mr тельно, искомый период малых колебаний данной механической системы равен Т.= — = 2п —-,-------------г «1,9 с.

Отметим, что описанный способ решения задачи позволяет находить частоту и период колебаний механической системы в тех случаях, когда по каким-либо причинам запись уравнений движения системы (с использованием второго закона Ньютона) вызывает трудности.

1.5.13. Горизонтальная доска совершает гармонические ко­ лебания в горизонтальном направлении с периодом Т = 2 с. При какой амплитуде колебаний А, лежащее на ней тело начнет скользить? Коэффициент трения между доской и телом ц = 0,2, ускорение свободного падения g = 10 м/с.

Решение. Направим ось Ох горизонтально и совместим начало координат с некоторой фиксированной точкой доски в положении равновесия. Зависимость координаты этой точки от времени имеет вид: х = A cos— t. Ускорение доски также описывается гармоничеп ской функцией времени: а = х = -------Acos — t. Амплитудное значение ускорения доски равно а0 = А. Лежащее на доске тело приводится в движение силой трения. По закону сухого тре­ ния максимальное значение силы трения покоя равно yang. Мак­ симальное ускорение, которое по второму закону Ньютона сила трения может сообщить телу, am = |ag. Следовательно, тело начнет скользить по доске, когда амплитудное значение ускоре­ ния доски превысит максимально возможное значение ускорения При решении этой задачи следует понимать, что, пока бру­ сок не скользит по доске, доска и брусок движутся как единое целое, и их ускорения одинаковы.

1.5.14. Е Брусок, покоящийся на горизон­ тальном столе, и пружинный маятник, состоя- 777777777;

легкой нерастяжимой нитью, перекинутой че- рез идеальный блок (см. рисунок). Коэффици­ Л ент трения между основанием бруска и по­ верхностью стола равен ц = 0,2. Отношение массы бруска к мас­ се грузика равно 8. Грузик маятника совершает колебания вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Мак­ симально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна А = 1,5 см. Чему равен пе­ риод этих гармонических колебаний?

Решение. В начале решения задачи проанализируем процес­ сы, которые могут происходить в данной системе при вертикаль­ ных колебаниях грузика массой т. Направим ось X вверх. По­ скольку пружина легкая, то сумма приложенных к ней сил все время равна нулю, и сила натяжения нити равна по модулю упру­ гой силе, действующей на грузик. Очевидно, что в отсутствие колебаний сила натяжения нити F0 будет равна весу грузика mg.

При малых отклонениях х грузика от положения равновесия на него будет действовать со стороны пружины дополнительная си­ ла, пропорциональная, в соответствии с законом Гука, этому от­ F = F0 - k x = mg - кх ; здесь к - коэффициент жесткости пружины.

Уравнение движения грузика вдоль оси X под действием упругой силы, равной силе натяжения нити F, и силы тяжести mg имеет вид: тх, = mg —кх —mg —— х, или х + — х = 0. Это гармонических колебаний с круговой частотой со = J — и периоVт дом Т = — = 2л Л—. Закон движения грузика при этом имеет вид: x = y4sin(co/ + ср), и сила натяжения нити меняется по закону:

F = m g - к х = m( g + x) = m(g - A со2 зіп(со/ + ф)).

Для того, чтобы колебания грузика оставались гармониче­ скими, очевидно, сила натяжения не должна обращаться в ноль, и ее не должно хватать для того, чтобы брусок, стоящий на гори­ зонтальном столе, начинал сдвигаться. Поскольку блок идеаль­ ный и нить невесома и нерастяжима, на брусок действует сила натяжения нити, равная ; кроме того, на него действует сила трения покоя, которая по закону Амонтона-Кулона не превышает 8\xrng. В итоге для силы натяжения нити получаем неравенство:

с = Г--------= -------- -----------------. Поскольку•' частота волны равна v = —,* то искомая длина волны Х = — = ----- ----------------- « 10 см.

Отметим, что решая эту задачу легко ошибиться при оты­ скании скорости распространения волны по поверхности воды, забыв вычесть из заданного в условии времени Т время полета камня.

1.5.16. На одном конце легкой вертикальной пружины жест костью к = 100 Н/м, другой конец которой прикреплен к потолку, подвешен груз с закрепленным на нем излучателем звука. Груз колеблется вдоль вертикали с амплитудой А = 20 см. При какой минимальной массе т груза приемник звука, установленный под точкой крепления пружины, не будет регистрировать изменение частоты звука? Приемник может зарегистрировать относительное изменение частоты A v /v 0 = 1 %. Скорость звука в воздухе счи­ тать равной с = 340 м/с, массой излучателя пренебречь.

Решение. Изменение частоты звука, которое может зареги­ стрировать приемник, связано с эффектом Доплера. Рассмотрим происхождение этого эффекта.

Пусть источник звука, испускающий волны с частотой V = l /То, где То - период колебаний волны, движется по направ­ лению к приёмнику с постоянной скоростью v. Предположим, что за время t = NT0 источник испускает N длин волн. Если ско­ рость звука в воздухе составляет с, то через время t, когда начало первой испущенной волны пройдёт расстояние et, последняя вол­ на ещё только успеет «выйти» из источника, а сам источник за это время пройдёт расстояние vt. Значит, расстояние между на­ чалом первой и концом последней из испущенных волн через время t будет составлять (с - v ) t, и на этом расстоянии будет ук­ ладываться N длин волн. Следовательно, длина волны, излучаемой движущимся источником, равна к = ---------- = ( с - v ) T 0, а соответN ствующая ей частота, регистрируемая неподвижным приёмником, Это и есть формула, описывающая эффект Доплера для слу­ чая движущегося источника и неподвижного приемника звука.

Заметим, что если источник удаляется от приёмника, то перед скоростью источника v в данной формуле должен стоять знак «плюс». Отметим ещё раз, что эффект Доплера связан с измене­ нием длины волны, испускаемой движущимся источником, а не с изменением скорости звука, которая зависит только от свойств среды.

Таким образом, при колебаниях груза приближение излуча­ теля к приемнику приводит к повышению частоты звука, а уда­ ление - к понижению. При этом модуль абсолютного изменения частоты принимаемого звука при приближении излучателя к прис v емнику равен А \ х = v 0--------- v 0 = v 0-------, а при удалении излуc —v c-v чателя от приемника v2 = v 0 - v 0—- — = v 0 V. Относительc+v c+v ное изменение частоты принимаемого звука при данной скорости больше в первом случае, то есть тогда, когда груз с излучателем движется вниз. Следовательно, приемник начнет регистрировать изменение частоты звука при выполнении равенства:

---- = -------, откуда v = ----------- -—. Скорость v движения излучателя максиl + (A v /v 0) мальна тогда, когда колеблющийся груз проходит положение лебаний пружинного маятника. Максимальной скорости движе­ ния излучателя соответствует максимальное изменение частоты.

Значит, искомая минимальная масса груза Отметим, что эффект Доплера наблюдается и в случае, когда источник звука неподвижен, а приемник приближается к нему или удаляется от него. В этом случае частота звука, регистрируе­ мая движущимся приемником, может быть определена при поf v\ мощи формулы V = v 0------ = V 1±. Здесь знак «плюс» соотсJ ветствует приближению приемника к источнику, а знак «минус»

соответствует удалению приемника от источника. Эту формулу предлагается вывести самостоятельно.

Заметим также, что в случае, когда скорость источника на­ много меньше, чем скорость звука ( г ? « с ), полученную выше формулу для изменения частоты в случае движущегося источни­ ка и неподвижного приемника можно переписать в приближен­ изменение частоты звука = —. Так как по условию рассматс риваемой задачи A v /v 0 =0,01 « 1, то и v / c « 1. Значит, запи­ санную приближенную формулу можно применять для решения данной задачи, и т = к от ранее вычисленного значения.

Задачи для самостоятельного решения 1.5.17. Математический маятник совершает малые колеба­ ния. Известно, что через время т = 0,314 с после прохождения маятником положения равновесия его отклонение составило не­ которую величину а о, a через время 2т - величину л/3а0. Най­ ти длину маятника /, если 2т меньше полупериода его колеба­ ний. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.

гладкий горизонтальный стержень, совершает свободные гармонические колебания под действием пружины.

Какова полная механическая энергия колебаний Е, если ампли­ туда колебаний А = 0,2 м, а модуль максимального ускорения тела в процессе колебаний ат = 3 м/с2?

1.5.19. Гиря массой т = 1 кг, подвешенная на пружине, со­ вершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой А = 0,2 м и периодом Т = 2 с. Определить силу натяжения пру­ жины F в момент, когда гиря достигает нижней точки. Ускореу ние свободного падения g = 10 м/с.

1.5.20. К потолку покоящегося вагона на нити длиной / = 1 м подвешен маленький шарик. В некоторый момент времени вагон приходит в движение в горизонтальном направлении с постоянл ным ускорением а = 1 м/с. На какую максимальную высоту h относительно своего начального положения поднимется шарик?

При решении этой задачи следует обратить внимание на то, что запись уравнений состояния, например для первого газа:

p xV{ =VjRT0 и p V y = v tR T, будет неверной, так как объем камер после освобождения поршней изменится. Кроме того, необходи­ мо понимать, что, так как сосуд, в котором находятся газы, за­ крытый, то число молей газа в каждой из камер постоянно.

2.1.6. Два одинаковых сосуда, соединенные трубкой, содер­ жат идеальный газ общей массой т = 6,6 г. Первоначально тем­ пература газа в обоих сосудах одинакова. Затем газ в первом со­ суде нагревают и поддерживают при температуре tx = 27 °С, а газ во втором сосуде нагревают и поддерживают при температуре t2 = 87 °С. На какую величину Ат изменится масса газа в первом сосуде? Объем трубки не учитывать.

Решение. В начальном состоянии масса газа в каждом сосу­ де равна т0 = т / 2. Уравнения конечного состояния газов имеют вое в обоих сосудах, V - объем одного из сосудов, т{ и т2 массы газа в первом и втором сосудах, М —их молярная масса, m{ + т2 = т. Отсюда тх = Ш ^2. Учитывая, что Ат = тх - т0, получаем ответ: Ат = ---------- -— ------ —= 0,3 г.

При решении этой задачи могут возникнуть трудности в правильной записи уравнений состояния газа в разные моменты времени. Кроме того, стоит отметить, что в используемые фор­ мулы входит абсолютная температура.

2.1.7.е В горизонтально расположенной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути дли­ ной /= 1 5 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы.

Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и на­ грели на АТ = 60 К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы в лаборатории составляет р 0 = 150 мм рт. ст. Какова температура воздуха в лаборатории?

Решение. Пусть длина столбика воздуха в трубке равна L, площадь поперечного сечения трубки S, а температура воздуха в лаборатории Т0. Поскольку в исходном состоянии столбик ртути в трубке находится в равновесии, то давление воздуха в трубке, отделенного ртутью от атмосферы, равно атмосферному давле­ нию Поэтому уравнение Клапейрона-Менделеева для воздуха в трубке имеет вид: p 0SL = /?Г0, где v - количество воздуха в трубке. В конечном состоянии, когда трубка расположена верти­ кально и воздух в ней нагрет до некоторой температуры Г, давле­ ние р воздуха в трубке превышает атмосферное давление на ве­ личину гидростатического давления столбика ртути:

p = р 0 + p g l, где р - плотность ртути. Уравнение КлапейронаМенделеева для воздуха в этом состоянии имеет вид: pSL = v R T.

По условию задачи, Т = Т0 + А Т. Решая полученную систему уравнений, найдем: Т0 = - ^ - А Т. Учитывая, что pgl = 150 мм рт. ст., получим, что Т0 = 300 К.

Отметим, что при решении данной задачи для получения чис­ ленного ответа не нужно знать плотность ртути, так как в ответ вхо­ дит комбинация физических величин, сразу дающая гидростатиче­ ское давление столбика ртути в миллиметрах ртутного столба.

замкнутый цилиндрический сосуд высо- ^ той / / = 5 0 см разделен подвижным положение 21 Емкость конденсатора С = 20 мкФ, ЭДС источников,= 1 0 В, 2 = 5 В. Сопротивлением соединительных проводов и ключа, а также потерями на излучение пренебречь.

Решение. При исходном положении ключа заряд на нижней пластине конденсатора и его энергия равны соответственно:

q{ = -C> j, Wx = ---- —. После переключения ключа в положение заряд нижнеи пластины и энергия конденсатора станут равными Aq = q2 - q x источник $ 2 совершает работу A = $ 2Aq, которая расходуется на изменение энергии конденсатора и на выделение в источнике теплоты: А = W2 - Wx + Q. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: Q = ----- ------ — = 2,25 мДж.

При решении этой задачи следует внимательно проанализи­ ровать перемещение зарядов при переключении ключа. Ошибка в знаке заряда может привести к неправильному ответу.

С2 = 3 мкФ соединены последовательно и постоянно подключе­ ны к источнику с ЭДС f = 100 В и пренебрежимо малым внут­ ренним сопротивлением. В некоторый момент времени парал­ лельно конденсатору С2 подсоединили резистор. Какое количе­ ство теплоты Q выделится в этом резисторе в процессе перерас­ пределения зарядов в конденсаторах, если перед подключением резистора заряды на конденсаторах были одинаковы?

Решение. В начальном состоянии заряд на каждом конденсад2, д2 Q Q g При подключении резистора к конденсатору С2 этот конденсатор полностью разрядится, а конденсатор Сх зарядится до напряжеС $ ния. Конечная энергия системы W = —-----. При перезарядке конденсаторов источник переместит по цепи заряд q = совершив работу A = q $ = — ! ------. По закону сохранения энерС i + С гии А + W0 = W + Q. Отсюда Q = ----- ---------= 1,25 •10-3 Дж.

Было бы ошибкой считать, что изменение энергии системы равно количеству выделившейся теплоты, и не учесть работу ис­ точника. Кроме того, важно понимать, что источник совершает отрицательную работу, так как заряд проходит через источник против направления сторонних сил.

3.1.22. Два плоских конденсатора имеют одинаковую ем­ кость. В один из них вставили пластинку с диэлектрической про­ ницаемостью е = 6, заполняющую весь объем между обкладками, и зарядили этот конденсатор так, что запасенная в нем энергия составила W0 = 2 •1СГ6 Дж. Отсоединив источник, пластинку удалили, и к заряженному конденсатору параллельно подсоеди­ нили второй, незаряженный конденсатор. Найти энергию W, ко­ торая будет запасена в конденсаторах после их перезарядки.

Решение. Пусть С0 - емкость пустого конденсатора. Энер­ гия заряженного конденсатора, заполненного диэлектриком, выражается через заряд q на нем, как W0 = — —. При вытаскиваеС нии диэлектрической пластинки из конденсатора, отключенного от источника, заряд на конденсаторе не изменяется, поэтому энергия конденсатора становится равной Wx = ----- = в ^ 0 • УвелиС чение энергии в е раз происходит за счет работы, совершенной при удалении пластинки (диэлектрик втягивается внутрь заряженного конденсатора). Когда к заряженному конденсатору под­ соединили такой же незаряженный, емкость системы удвоилась, а заряд остался прежним. Следовательно, энергия системы в коeW нечном состоянии равна W = —----- = ------. Уменьшение энергии конденсаторов в процессе их перезарядки связано с выделением теплоты при перемещении зарядов по соединительным проводам.

При решении подобных задач следует иметь в виду, что если заряженный конденсатор отключен от источника, то постоянным будет оставаться заряд на обкладках. Если же конденсатор под­ ключен к источнику, то постоянной будет оставаться разность потенциалов между обкладками.

3.1.23. Плоский конденсатор, подключенный к источнику с ЭДС g = 100 В, состоит из двух квадратных обкладок площадью S = 100 см каждая, расположенных на расстоянии d = 1 мм друг от друга. Между обкладками расположена диэлектрическая пла­ стинка с диэлектрической проницаемостью 8 = 5, заполняющая весь объем конденсатора. Пластинку начинают выдвигать вдоль одной из сторон конденсатора с постоянной скоростью. Какой по величине заряд q протечет в цепи источника, если пластинку полностью выдвинуть из конденсатора?

Решение. Пусть пластинка выдвинута из конденсатора на расстояние х. Емкость конденсатора и заряд на нем при этом бу­ где а = ~ S. За малый промежуток времени пластинка перемес­ тится на расстояние Ах, и заряд конденсатора уменьшится на величину Aq = — -—(е-1)г>0А /. Учитывая, что при полном выниd мании пластинки из конденсатора Ах = а, получаем ответ:

При реш ении таких задач стоит учесть, что конденсатор, из которого выдвинута диэлектрическая пластина на расстояние х, можно представить, как два параллельно соединенных конденса­ тора, один из которы х воздуш ны й (продольны й размер его об­ кладок х), а другой, с продольны м размером обкладок а - х, за­ полнен диэлектриком.

Задачи для самостоятельного решения 3.1.24. Д ва одинаковы х м аленьких ш арика массами q = 2 -10 -6 Кл, закреплены на непроводящ ей нити, подве­ ш енной на штативе. При какой длине / отрезка нити м еж ­ ду ш ариками оба отрезка нити (верхний и нижний) будут испытывать одинаковое натяж ение? Электрическая постото янная 80 = 8,8 5 -1 0 “ Ф/м, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с.

3.1.25. М аятник, состоящ ий из ж ёсткого невесо­ мого стерж ня длиной I и закреплённого на его конце груза массой т с зарядом - q, подвеш ен в точке О (см. а рисунок). Над точкой О на расстоянии а от неё нахо­ дится заряд +Q. В каком случае состояние равновесия, при котором груз массой т находится в наинизш ем положении, является устойчивы м ? Будет ли полож е­ ние равновесия устойчивы м при / = 40 см, m = 1 0 r, |д |= 1 2 0 н К л, а = 20 см, Q = 50 мкКл? У скорение свободного падения принять равны м g = 10 м/с.

mg > — I q I------- - ; при заданны х параметрах полож ение равновеQa сия будет устойчивым.

угольника ABC. Величина заряда, находящегося если напряженность электрического поля, соз­ даваемого этими тремя зарядами в точке D, лежащей на середине высоты, опущенной из вершины А на сторону В С, равна нулю.

3.1.27. В окружность радиусом R = 3 см с центром в точке О вписан правильный восьмиугольник ABCDEFGH. В шести вер­ шинах восьмиугольника помещены одинаковые положительные заряды так, что вектор Е 0 напряженности в точке О направлен по отрезку ОН. Чему равен модуль вектора напряженности поля Е0, постоянная е0 = 8,85 •10” Ф/м.

Е пряж енностью Е =190 В/м. Ч астица массой q —— нКл, а частица массой М —0,1 г - положительный заряд Q = 40 нКл. На каком расстоянии d друг от друга нужно распо­ ложить частицы, чтобы при их движении из состояния покоя рас­ стояние между частицами оставалось неизменным? Электричеi «} 3.1.29. Две параллельные неподвижные диэлектрические пластины расположены вертикально и заряжены разноименно.

Пластины находятся на расстоянии d = 2 см друг от друга. На­ пряженность поля в пространстве между пластинами равна Е = 4-105 В/м. Между пластинами на равном расстоянии от них помещен шарик с зарядом q = 1(П1 Кл и массой т —20 мг. После того как шарик отпустили, он начинает падать и ударяется об од­ ну из пластин. На сколько уменьшится высота местонахождения шарика Ah к моменту его удара об одну из пластин?

3.1.30. На тонкий гладкий горизонтальный диэлектрический стержень надеты две маленькие бусинки с зарядами + q = 60 мкКл и - q = -6 0 мкЬСл, скрепленные между собой ди­ электрической пружиной. Вся система находится в однородном электростатическом поле напряженностью Е = 246 кВ/м, силовые линии которого параллельны стержню. При этом пружина не де­ формирована. Если изменить направление поля на противопо­ ложное, оставив неизменной величину его напряженности Е, то длина пружины при равновесии уменьшится в 2 раза. Пренеб­ регая поляризацией диэлектриков, найти коэффициент жесткости пружины. Электрическая постоянная е0 = 8,85 10” Ф/м.

Ответ: к = 20д/ я е 0q E 3 »100 Н/м.

3.1.31. Расстояние между двумя одинаковыми металличе­ скими шариками / = 1,5 м намного больше их радиусов. Когда на шарики поместили некоторые заряды, сила отталкивания между ними оказалась равной Fx = 4,1 мкН. После того, как шарики соединили тонкой проволокой, а затем убрали ее, ша­ рики стали отталкиваться с силой 2 = 5мкН. Определить пер­ воначальные заряды шариков qx и q2. Электрическая постоян­ ная 80 = 8,85 •10”12 Ф/м.

3.1.32. Три незаряженные концентрические проводящие сферы радиусами г — 14,5 см, 2г и 3г находятся в вакууме. В центр сфер поместили точечный заряд q = 2 0 нКл, а затем сред­ нюю сферу заземлили тонким длинным изолированным прово­ дом, пропущенным через небольшое отверстие в сфере радиусом 3 г. Найти разность потенциалов между внутренней и наружной сферами. Электрическая постоянная s 0 =8,85-10 Ф/м.

Ответ: Д(р = — -— » 620 В.

3.1.33.Е При лечении электростатическим душем к электро­ дам прикладывается разность потенциалов Дф = 105 В. Какой заряд q проходит между электродами за время процедуры, если из­ вестно, что электрическое поле совершает при этом работу, рав­ ную АА = 1800 Дж? Ответ выразите в мКл.

Ответ: q = ---- « 18 мКл.

3.1.34. Два маленьких шарика, несущие заряды + q = 10 нКл и - q, закреплены на концах непроводящего стержня длиной 21 = 10 см. Система находится в электрическом поле неподвижного точечного стержня на расстояние L = 2 5 см. Первоначальное расположение шариков показано на рисунке. Какую работу А нужно совер­ шить, чтобы повернуть стержень на 180° вокруг оси, перпенди­ кулярной стержню и проходящей через его центр? Силу тяжести не учитывать. Электрическая постоянная е0 = 8,85 •10~1 Ф/м.

3.1.35. По наклонной плоскости, со­ ставляющей угол а = 30° с горизонтом, соскальзывает с высоты h = 50 см неболь­ шое тело, заряженное отрицательным заря­ дом q = - 4 мкКл. В точке пересечения верти­ кали, проведенной через начальное положение тела, с основани­ ем наклонной плоскости находится положительный заряд + q.

Определить скорость v, с которой тело достигнет основания на­ клонной плоскости. При каких значениях h тело не достигнет ос­ нования наклонной плоскости? Масса тела М = 100 г, ускорение свободного падения g принять равным 10 м/с. Трением пренебI л речь. Электрическая постоянная е0 = 8,85 -10 Ф/м.

тигнет основания наклонной плоскости при h < kl 0,25 м.

3.1.36. На два гладких длинных стержня, расположенных параллельно друг другу на расстоянии а = 10 см, нанизаны две одноимённо заряженные бусинки, которые могут двигаться по стержням без трения (см. рисунок). В начальный момент времени вторая бусинка покоится, а первую пустили издалека по направ­ лению ко второй бусинке. При каких начальных скоростях v Q первой бусинки она обгонит вторую в процессе своего движения?

Массы бусинок m = 1 г, заряды q —55 нКл.

qx =10 6 Кл и g2 = 5 •10 6 Кл соответственно. В начальный мо­ мент они движутся навстречу друг другу по прямой, соединяю­ щей их центры. При этом расстояние между шариками составля­ ет / = 2 м, и их скорости равны v x = 1 м/с и v 2 = 2 м/с соответст­ венно. На какое минимальное расстояние L приблизятся шарики друг к другу? Силу тяжести не учитывать. Электрическую постоi л Ответ: L = ------------------------------- —»1,35 м.

////////////////////////// 3.1.38. П ластины больш ого по размерам плоского конденсатора располо­ ?7??' Т/7777?? У 7 '7 7У В пространстве между пластинами падает капля жидкости.

М асса капли т = 4 1 0-6 кг. При каком значении заряда q капли ее скорость будет постоянной? Влиянием воздуха на движение капли пренебречь. Ответ выразите в пикоКулонах.

3.1.39. Два плоских конденсатора заряжены: первый до р ности потенциалов U x = 300 В, второй - до разности потенциалов U2 = 200 В. Площади пластин конденсаторов соответственно:

iSj = 0,06 см2 у первого и S2 = 0,04 см2 у второго, расстояние ме­ жду пластинами у обоих конденсаторов одинаково. Чему будет равно напряжение на конденсаторах U, если соединить их одно­ именно заряженные обкладки?

ке, емкости конденсаторов равны:

С4 = 4 мкФ. Напряжение между точками и В равно U = 100 В. Найти напряжение U4 на конденсаторе С4.

Первоначально конденсаторы были не заряжены.

3.1.41. Найти заряд конденсатора С\ в схеме, показанной на рисунке. Параметры элементов схемы: Ci = 100 нФ, С2 = 150 нФ, 3.1.42. В схеме, показанной на рисунке, все конденсаторы разряжены, а двойной ключ К находится в разомкнутом состоя­ нии. Его перевели в положение 7, а затем, спустя достаточно большое время, - в положение 2. Параметры элементов схемы указаны на рисунке. Считая диоды D\ и D 2 идеальными, найти заряд, который установится на конденсаторе С2. Параметры эле­ ментов схемы: Ci = 20 мкФ, С2 = 30 мкФ, = 2 В.

пряжение на конденсаторе Сх равно Ux =100 В, заряд на конденсаторе С2 равен q2 = 10 4 Кл, а энергия конденсатора Ct превышаег энергию конденсатора С 3 в т = 2 раза. Найти емкость кон­ денсатора С2, если известно, что она в п = 3 раза меньше емко­ сти конденсатора С 3.

3.1.44. Два одинаковых плоских конденсатора, соединенны параллельно, зарядили до напряжения U = 1000 В и отключили от источника. Затем пластины одного из конденсаторов раздви­ нули так, что расстояние между ними увеличилось в к = 3 раза.

После этого пластины конденсатора замкнули проводником. Ка­ кая энергия Q выделилась в проводнике? Первоначальная ем­ кость каждого конденсатора С = 500 пФ.

Ответ: Q = 2 C U 2 •—— = 7,5 10“4 Дж.

3.1.45. К источнику с ЭДС = 2 В последовательно по С2 = 15 мкФ. После зарядки конденсаторов источник отключают, а параллельно конденсатору С{ через резистор подключают неза­ ряженный конденсатор емкостью С3 = 14 мкФ. Какое количество теплоты Q выделится на резисторе в процессе зарядки конденса­ тора С3?

3.1.46. В цепи, схема которой изо­ бражена на рисунке, ключ К в течение R длительного времени находился в замкнутом состоянии. В некоторый момент ключ разомкнули. Какое количество теплоты Q выде­ лится в схеме после этого? Емкости конденсаторов: С{ = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, сопротивление резистора R = 4 Ом, ЭДС источника = 10 В, его внутреннее сопротивление r = 1 Ом.

3.1.47. Какое количество теплоты выде- лится в схеме, показанной на рисунке, после одновременного переключения ключей Kt и К из положения 1 в положение 2? Параметры f t z H элементов схемы: С\ = 60 мкФ, С2 = 40 мкФ, в $\ = 10 В, 2 “ 15 В, г\ = 1 Ом, и г2 = 2 Ом. Ко 3.1.48. Плоский вакуумный конденсатор, расстояние между обкладками которого равно L, подключен к источнику напряже­ ния с ЭДС М ежду обкладками этого конденсатора находится плоскопараллельная диэлектрическая пластина с проницаемо­ стью 8. Пластина параллельна обкладкам, ее толщина d, а пло­ щадь ее поверхностей, параллельных обкладкам, равна площади обкладок. В пластине возникает электрический пробой, если мо­ дуль напряженности электрического поля в ней превышает Е0.

При какой толщине пластины не произойдет ее электрического пробоя? Произойдет ли электрический пробой пластины при L — 1 см, = 1 0 кВ, 8 = 10, d = 0,5 см, Ео = 25 кВ/мм?

Ответ. Пробоя не будет, если толщина пластины удовлег Е вЬ - ё творяет неравенству: а < — -------- при выполнении дополниЕ тельного условия — < Е 0 < —. При е Ь Е 0 $ пробоя не будет даже при d = L. При заданных величинах пробоя пластины не произойдет.

протечет через источник, если один из конден­ саторов заполнить диэлектриком с диэлектри­ ческой проницаемостью е = 2 ?

3.1.50. Два одинаковых незаряженных воздушных конденс тора, каждый из которых имеет емкость С = 40 мкФ, соединяют последовательно и подключают к батарее с ЭДС = 10 В. После окончания зарядки, не отключая цепочку конденсаторов от бата­ реи, все пространство между обкладками одного из конденсато­ ров медленно заполняют диэлектриком с диэлектрической про­ ницаемостью 8 = 3. Найти работу, которую совершает батарея за время заполнения конденсатора диэлектриком.

—ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

3.2.1. На рисунке изображен участок цепи постоянного тока, содержащий три R\ резистора, сопротивления которых неиз­ вестны. При этом через резистор Rx про­ текает ток 1Х= 1,6 А, а напряжение на резисторе R2 составляет U 2 = 2 В. Найти величину сопротивления R3, если известно, что она в п = 3 раза превыш ает величину сопротивления R2.

в ветвях схемы, как показано на рисунке. / щ J Согласно правилу сложения токов в уз- — лах и закону Ома для участка цепи, спра­ ведлива следующая система уравнений: I { = I 2 + I 3, U 2 = I 2R2, U 2 = I 3R3, R3 = nR2. Разрешая ее относительно R3, получаем отUn вет: Я. = ( и + 1)—- = 5 Ом.

Приступая к решению задачи, следует вспомнить формулы для параллельного и последовательного соединений проводни­ ков.

3.2.2. Электрическая цепь, изображенная на рисунке, состоит из двух диодов, шести одинаковых резисторов и источника тока, внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Во сколько раз к изменится ток через источник, если подключить его к точкам А и В с другой полярностью? Диоды считать идеальными.

Решение. При исходном подключении источника потенциал точки А выше потенциала точки С, в которой соединены два верхних резистора. В этом случае к левому диоду приложено за­ пирающее напряжение, поэтому ток через него не течет. Эквива­ лентная схема в этом случае имеет вид, изображенный на рисунке (а).

Согласно формулам для параллельного и последовательного со­ противления проводников, сопротивление цепи в этом случае равно R' = —R, где R - сопротивление отдельного резистора.

При подключении источника с обратной полярностью потенциал точки В будет выше потенциала точки С, поэтому ток не будет течь через правый диод, и эквивалентная схема примет вид, изо­ браженный на рисунке (б). В этом случае, в силу симметрии схе­ мы разность потенциалов между точками D и Е равна нулю, по­ этому ток через центральный резистор не течет, и сопротивление всей цепи равно R" = R. Поскольку напряжение на клеммах ис­ точника постоянно, искомое отношение токов через источник Следует обратить внимание, что при решении подобных за­ дач бывает весьма полезным изобразить схему, эквивалентную заданной, с учетом только лишь тех ее участков, по которым бу­ дет течь ток.

3.2.3.Е При коротком замыкании выводов гальванической батареи сила тока в цепи 0,45 А. При подключении к выводам батареи электрической лампы сила тока в цепи 0,225 А, а напря­ жение на лампе 4,5 В. Найдите ЭДС гальванической батареи.

Решение. Так как сила тока при коротком замыкании явля­ ется конечной величиной, можно утверждать, что внутреннее со­ противление батареи отлично от нуля. Обозначим его через г, а сопротивление лампы через R. Тогда, в соответствии с законом Ома для полной цепи, получаем: 1Х= — в случае короткого заг мыкания и / 2 = ------- в случае подключения к выводам батареи лампы (здесь 1\ = 0,45 А и / 2 = 0,225 А). Из закона Ома для участ­ ка цепи напряжение на лампе составляет U = I 2R. Решая полу­ ченную систему уравнений, находим: = —— — = 9 В.

Для того чтобы правильно решить эту задачу, нужно учесть, что батарея имеет ненулевое внутреннее сопротивление. Если про это забыть, то не удастся правильно записать исходную сис­ тему уравнений.

3.2.4.е Схема электрической цепи показана на рисунке. Когда цепь разомкну­ та, идеальный вольтметр показывает 8 В. Ч у )- При замкнутой цепи вольтметр показывает 3,5 Ом. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока?

Решение. При разомкнутой цепи вольтметр показывает ЭДС источника, равную = 8 В. Когда ключ замкнут, можно приме­ нить закон Ома для полной цепи: = Ir + U, где / - сила текуще­ го в цепи тока, U - падение напряжения на резисторе сопротив­ лением R = 3,5 Ом, г —искомое внутреннее сопротивление источ­ ника. Как видно из схемы электрической цепи, при замкнутом ключе вольтметр показывает как раз падение напряжения на ре­ зисторе, то есть U —7 В. Из закона Ома для участка цепи следует, что U = IR. Решая полученную систему уравнений, получаем:

Следует отметить, что имеющийся в цепи конденсатор никак не влияет на процесс протекания в ней постоянного тока, по­ скольку он подсоединен параллельно ключу. Поэтому наличие конденсатора не нужно учитывать при записи уравнений, необ­ ходимых для решения задачи.

3.2.5.е Ученик исследовал зависимость показаний ампермет­ ра и вольтметра от длины проволоки х при движении скользяще­ го контакта вправо (рисунок А). Зависимости показаний ампер­ метра и вольтметра от длины х показана на рисунках Б и В. Чему равно внутреннее сопротивление г источника?

Решение. Для решения задачи нужно использовать закон Ома для полной электрической цепи: 1(х) = -----------. Из него следует, что показания вольтметра U (x) = I(x)R(x) = $ - 1(х)г (здесь - ЭДС источника тока, R(x) - сопротивление участка проволоки длиной х).

При х = 0 из графиков имеем: 0 = - 7 (0 )г, = 7 (0 )г, где 7(0) = 5 А.

г д е ^ ( * т а х ) = 6 В > 7 (*тах) = 2 А Таким образом, внутреннее сопротивление источника равно При решении этой задачи, во-первых, следует обратить вни­ мание на графики экспериментальных зависимостей /(x ) и /(х):

будет полезным иметь представление о характере этих зависимо­ стей. Кроме того, важно отметить, что для определения необхо­ димых величин из экспериментальных данных одного графика было бы недостаточно.

ЭДС источников равны j = 1 0 В и 2 = 5 В, внутренними со­ противлениями источников пренебречь.

Решение. Согласно закону Ома для полной цепи, ток в цепи I = - ----. Применяя закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, имеем: / =, - / ^ (при исходном подключении резисто­ ров), V = $ х —IR2 (когда резисторы поменяли местами). Подста­ вив в эти равенства найденную выше силу тока, приведем их к виду: и = —--------, V = — ------ -, где к = —-. Исключая отсюда к, получаем ответ: К = 1- 2 - ^ 7 = 3 В.

Будет полезным решить эту задачу, изменив полярность од­ ного из источников.

^ А 1 3.2.7.е Какой должна быть ЭДС источR _ С ника тока, чтобы напряженность электрическог ------ * го поля в плоском конденсаторе была равна Е = 2 кВ/м, если внутреннее сопротивление источника тока г = 2 Ом, сопротивление резистора R = 10 Ом, расстояние между пластинами конденсатора d = 2 мм (см. рисунок)?

Решение. Для решения задачи надо воспользоваться законом Ома для полной электрической цепи / = ------- и выражением для напряженности электрического поля в плоском конденсаторе Е - —, где ит- напряжение, до которого заряжен конденсатор и которое является падением напряжения на резисторе R, через ко­ торый течет ток I. Поскольку согласно закону Ома для участка цепи U = I R = ------- = E d, то = ----- --------- = 4,8 В.

При решении этой задачи важно понимать, что через рези­ стор течет ток /, создающий падение напряжения U на конденса­ торе.

3.2.8.е В электрической схеме, показан- К = 2 4 В, ее внутреннее сопротивление ------ ------г = 5 Ом, сопротивление резистора R = 25 Ом. Найдите количест­ во теплоты, которое выделяется на резисторе после размыкания ключа К в результате разряда конденсатора. Потерями на излуче­ ние пренебречь.

Решение. При замкнутом ключе К через резистор течет ток, сила / которого может быть найдена из закона Ома для полной цепи: I = -------. При этом разность потенциалов U между обr +R кладками конденсатора равна падению напряжения на резисторе:

U —IR = -------. В соответствии с определением электрической емкости конденсатора, С = — = --------- -. После размыкания ключа на резисторе выделится в виде теплоты ЛQ вся энергия, запасенная в конденсаторе. Следовательно, При решении этой задачи нужно понимать, что вычисленное значение AQ представляет собой максимально возможное коли­ чество теплоты, которое может выделиться на резисторе после размыкания ключа. На самом деле электрический ток, протекаю­ щий через резистор при разрядке конденсатора, будет изменять­ ся, и поэтому часть энергии, запасенной в конденсаторе, преобра­ зуется в энергию электромагнитных волн.

разомкнутом ключе К через резистор Rx течет ток 7, = 2,8 А, а при замкнутом ключе К через резистор R2 течет ток / 2 = 1 А.

Решение. При разомкнутом ключе ток течет только в левом контуре цепи, для которого по закону Ома справедливо уравне­ ние: = 7,7?! + 1хг, где - ЭДС батареи. При замкнутом ключе ток течет в обоих контурах, которые представляют собой два па­ раллельно соединенных резистора. Обозначив через 7 полный ток через источник, имеем: = 7 + Ir. Ток / разветвляетj R ся на два тока: 7 = 1[ + / 2, причем I[RX= I 2R2. Выразим из этой системы ток 7 через 79: 7 = / 9 — + ^ 2. Объединяя записанные выражения, имеем: I x r При решении этой задачи важно понимать, что в случае ра­ зомкнутого и замкнутого ключа через сопротивление Rx будет протекать различный ток.

можно найти, применяя формулы для сопро­ тивлений последовательно и параллельно соединенных резисторов:

Согласно закону Ома ток / 0 в неразветвленU 2(7?!+7?) ной цепи равен 7П= — = ---------- --------. Этот ток разветвляется на токи, показанные на рисунке, причем 7, + / = / 3, / 2 = 7 + / 4.

Учтем далее, что / 37? = I 4R = U ". Следовательно, / 3 = / 4. Исклю­ чая эти токи из полученной системы уравнений, выразим 7 через 7, и U \ 7 = ( / 2 - 7j ) / 2. С другой стороны, /, + / 2 = 70, тельно, 7 = — •—— —. Подставляя сюда найденный ранее ток / п, получаем ответ: 7 = — ------------ 2,5 мА.

При решении этой задачи будет полезным вспомнить, что в каждом узле цепи сумма втекающих токов равна сумме выте­ кающих токов, иными словами, алгебраическая сумма всех токов в каждом узле равна нулю.

3.2.11. Какой ток 1Х покажет ампер­ метр в схеме, показанной на рисунке?

Какой ток / 2 покажет амперметр, если источник тока и амперметр поменять местами? 7?, = 2 0 Ом, 7?2= 4 0 Ом, сопротивлениями источника тока и ам­ перметра пренебречь.

Реш ение. Поскольку сопротивление амперметра равно ну­ лю, напряжения на резисторах R2 и R3 совпадают друг с другом и равны произведению общего тока I, текущ его в цепи источни­ I = --------------------------- - ---------(—------ з ) через резистор R3 течет один и тот же ток 1Х= —. Объединяя записанные выражения, находим ток через амперметр в первом случае: /, = --------------------------. Анализ этого выражения покаR\R2 RY + R 2R зывает, что сопротивления резисторов R Y и R2 входят в него одинаково. Это означает, что если амперметр и источник поме­ нять местами, ток через амперметр будет таким же. В этом можно убедиться, проделав расчет, аналогичный вышеизложенному. ОтR сюда /, = / 2 = -------------------------- « 0,09 А.

При решении этой задачи рекомендуется проанализировать, как изменится ответ, если источник тока будет обладать конеч­ ным внутренним сопротивлением г.

3.2.12. При включении приборов по схеме, изображенной рисунке (а), амперметр показывает ток 1{ = 1,06 А, а вольтметр напряжение Vx =59, 6 В. При включении тех же приборов по схеме на рисунке (б) амперметр показывает ток / 2 = 0,94 А, а вольтметр напряжение К2 = 6 0 В. Определить сопротивление резистора R, считая напряжение на зажимах батареи неизменным.

Решение. Обозначим через R сопротивление амперметра, а через - ЭДС батареи, и воспользуемся законом Ома. Тогда для цепей, изображенных на рисунках, справедливы следующие / 2(Ra + R) = V2 (для цепи на рисунке (б)). Кроме того, по усло­ вию задачи V2 =. Из этой системы легко найти ответ:

При решении этой задачи было бы неверным считать сопро­ тивление амперметра равным нулю.

3.2.13. Если вольтметр, имеющий конечное сопротивление, подключен параллельно резистору Rx, то он показывает напряжение U x = 6 В, если параллельно резистору R2, то - напряжение U 2 = 4 В. Каковы будут падения напряжения Vx и V2 на резисто­ рах, если вольтметр не подключать? ЭДС батареи = 12 В, ее внутреннее сопротивление пренебрежимо мало.

Решение. Обозначим через Rx сопротивление вольтметра.

Если подключить вольтметр к резистору Rx, сопротивление всей ну Ома для замкнутой цепи в ней будет течь ток Г = / R ', и на­ пряжение на вольтметре, равное напряжению на резисторе Rx, определится, как /, = / — 1 -------------- =— аналогично, можно найти, что при подключении вольтметра к резистору R 2 напряжение на нем будет U2 = Из этих выражений находим, что U x/ U 2 = Rx/ R2. С другой сто­ роны, если вольтметр не подключен, то напряжения на резисто­ рах равны: Vx = IRX, V2 = IR2, где / - ток в цепи из двух после­ довательно соединенных резисторов. Отсюда следует, что Vl lV2 = Rx/ R2. Сравнивая это отношение с найденным выше от­ ношением напряжений на резисторах при подключенном вольт­ метре, находим, что Vx/ V2 - U XI U 2. Кроме того, справедливо ра­ венство Vx + V2 =. Выражая отсюда Vx и V2, получаем ответ:

V. = ------- ----------= 7,2 В, = -, = -------- --------= 4,8 В.

1 + ( U2 / U l )-------------------------------- 1 + { U J U 2) Данная задача является классическим примером задач на простейшие электрические цепи, при решении которых важно понимать, какие изменения происходят в цепи при включении того или иного прибора.

N 2 = 40 Вт при стандартном напряжении сети. При их последо­ вательном включении в сеть с другим напряжением оказалось, что в двадцативаттной лампе выделяется та же мощность, что и при стандартном напряжении. Какая мощность N 2 выделяется при этом в другой лампе? Изменением сопротивления нитей ламп с температурой пренебречь.

Решение. Пусть U0 - стандартное напряжение сети, Rx и R2 U2 U сопротивления ламп. Поскольку N x = ——, N 2 = ——, справедлиRx R во соотношение: —- = — ГГ последовательном подключении ламп в них выделяются мощности N'x = R X 2, N 2 = R21 2, где / I ловию N[ = Nx, получаем ответ: N 2 = ——= 10 Вт.

При решении этой задачи следует учитывать, что любой электроприбор развивает номинальную мощность, только если на его клеммы подано номинальное напряжение.

N { = 25 Вт. Какая мощность N 2 выделяется на сопротивлении R Решение. Обозначим через 1Х / 2 и / 3 токи, текущие через резисторы Rx, R2 R3, соответственно. Для этих токов справед­ ливы равенства: I X= I 2 + I 3, I 2R2 = I 3R3, откуда / 2 = С другой стороны, N x = I { Rx, N 2 = I 2 R2. Объединяя записанные выражения, находим ответ: N 2 = N x— ^ 2.. = 18 Вт.

При решении этой задачи следует вспомнить формулу для расчета мощности N = 1 R, выделяющейся на сопротивлении R.

3.2.16. При подключении к батарее поочередно двух сопро­ тивлений нагрузки R x = 4 Ом и i2 =1 Ом выделяющаяся в них мощность оказалась одинаковой и равной N = 9 Вт. Чему равна ЭДС батареи?

Реш ение. Обозначив через г внутреннее сопротивление бата­ реи и воспользовавшись законом Ома, запишем токи в цепи и мощ­ ности, выделяющиеся в резисторах в первом и во втором случаях:

По условию N X= N 2, откуда следует, что Rx(R2 + r) = R 2(Rx+ r ), или yjRx(R2 + r) = (Rx + r ). Из последнего уравнения легко найти внутреннее сопротивление батареи: г = ^ R ]R2. СледоваД тельно, У = -,------- -- тг = -,------------- у. Выражая из одного из этих равенств ЭДС батареи, получаем ответ:

При решении этой задачи было бы неверным пренебречь внутренним сопротивлением батареи. Следует понимать, что ес­ ли внутреннее сопротивление батареи равно нулю, то напряже­ ние на внешнем сопротивлении равно ЭДС батареи. В этом слу­ меньше тока, протекающего через R2, условие одинаковой вы­ деляемой мощности станет невозможным.

3.2.17. Аккумулятор отдает во внешнюю цепь мощность N, = 1 0 Вт при токе /, = 4 А. Какую мощность N 2 отдаст акку­ мулятор во внешнюю цепь при токе / 2 = 8 А? Внутреннее сопро­ тивление аккумулятора г = 0,1 Ом.

Решение. Различие между мощностями, выделяемыми во внешней цепи в первом и во втором случаях, связано с тем, что к аккумулятору подключают нагрузки с разными сопротивления­ ми. Обозначив через ЭДС аккумулятора, имеем:

N x = /, ( - I xr ), N 2 = 1 - 2r ). Находя из первого уравнения ЭДС аккумулятора и подставляя ее во второе уравнение, получа­ При решении этой задачи следует обратить особое внимание на причину, по которой изменяется ток во внешней цепи - под­ ключение к аккумулятору разных нагрузок.

При подключении к аккумулятору с внутренним со­ противлением г = 2 Ом нагревательный элемент развивает мощ­ ность iV, = 50 Вт. При подключении нагревательного элемента к двум таким аккумуляторам, соединенным последовательно, вы­ деляемая в нагревателе мощность составила N 2 = 72 Вт. Найти сопротивление R нагревателя.

Решение. Мощность, развиваемая нагревательным элемен­ том сопротивлением R, подключенным к аккумулятору с ЭДС и внутренним сопротивлением г, равна N { = -----. При подг + ЯУ ключении этого же элемента к двум одинаковым аккумуляторам, соединенным последовательно, значения ЭДС и внутреннего со­ противления удваиваются, и нагреватель развивает мощность N 0= — Составим отношение: —- = ---------- -, или чаем ответ: R = 2 г—---- ------ = 1 Ом.

При решении этой задачи следует обратить внимание на то, что при последовательном соединении источников их об­ щая ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС источников. Будет полезным решить эту задачу, считая, что источники соединены параллельно.

3.2.19е. Ученик собрал электрическую цепь, состоящую из батарейки (1), реостата (2), ключа (3), амперметра (4) и вольтмет­ ра (5). После этого он провел измерения напряжения на полюсах и силы тока в цепи при различных сопротивлениях внешней цепи (см. рисунки). Определите ЭДС и внутреннее сопротивление г батарейки, а также КПД г\ источника в первом опыте.

Решение. Для решения задачи надо воспользоваться законом Ома для полной цепи: / = ------, или $ = U + 1г. На фотографиях видно, что в первом опыте U\ = 3,2 В, 1\ = 0,5 А, а во втором U2 = 2,6 В, /2 А. Таким образом, получаем систему из двух уравнений: = JJ\ + І\г, $ = U2 + hr, решая которую, получаем ответы на два первых вопроса задачи:

Для ответа на третий вопрос надо воспользоваться опреде­ лением КПД источника тока: КПД равен отношению полезной мощности 1 хи х, выделяющейся в нагрузке - реостате, к мощно­ сти 1\, затрачиваемой источником: г| = — = — » 84%.

При решении этой задачи будет полезным изобразить элек­ трические схемы собранных электрических цепей. Кроме того, в решении легко допустить ошибку, неверно определив КПД ис­ точника тока.

Напряжение на зажимах генератора постоянного тока 3.2.20.

/0 =220 В, а на зажимах нагрузки ^ =210 В. Определить мощность N n, выделяющуюся в линии между генератором и на­ грузкой, если номинальная мощность нагрузки при напряжении на ней, равном U0, составляет = 10 кВт.

Решение. Обозначим через R сопротивление нагрузки. По­ скольку номинальная мощность нагрузки N при напряжении на ней U0 равна N = Uq / R, то R = - ^ -. При напряжении Ux мощU2 U ность, выделяющаяся в нагрузке, N { =—^- = —~ N. С другой стоR U, роны, эту мощность можно выразить через ток I через нагрузку:

N, = U J. Отсюда: / = —- = —l N. Такой же ток течет и в линии между генератором и нагрузкой. Поскольку падение напряжения в линии равно AU = U0- U {, мощность, выделяющаяся в ней, есть N n = (UQ- UX I. Подставляя сюда найденное значение тока, мая электрическая цепь представляет собой последовательно со­ единенные нагрузку и линию электропередачи.

3.2.21. Генератор постоянного тока соединен с потребителем (полезной нагрузкой) линией электропередачи, сопротивление которой равно г = 1 Ом. Какая максимальная мощность iVm ax может быть выделена в нагрузке, если ЭДС генератора = 220 В? Внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Решение. Мощность, развиваемая генератором, равна N = $ 1, где / - сила тока в цепи. Мощность, выделяющаяся в линии, Nn = I г. Следовательно, мощность, выделяющаяся в нал грузке, N H= N —N a =(>I —I r. Поскольку N H обращается в нуль ной зависимости N u(/) достигается при силе тока в цепи, равной /7п = —---- - = —. Подставляя это значение силы тока в выражеi гг ние для мощности в нагрузке, получаем ответ:

При решении этой задачи было бы полезным проанализиро­ вать выражение для мощности, выделяющейся в нагрузке сопротивлением R, а именно: N H= — ---- —. Нетрудно установить, что максимум этого выражения достигается при R = r. Следовательно, ответ N m = — можно получить и таким путем.

3.2.22. Батарея из двух одинаковых парал­ лельно соединенных гальванических элементов После того, как элементы соединили последова­ тельно, мощность, выделяемая во внешнем сопро­ T тивлении, увеличилась в я = 2 раза. Чему равно внутреннее со­ противление г каждого из элементов?

Решение. Пусть - ЭДС одного элемента. Мощности, вы­ деляющиеся во внешнем сопротивлении при параллельном и по­ следовательном соединении элементов, равны, соответственно:

N, = -------------, N -, = ----------- -, причем по условию N 0 = mv,.

Отсюда г = R — -=— »0,32 Ом.

Следует обратить внимание на то, что в цепи есть источники ЭДС, обладающие внутренним сопротивлением, Поэтому польS зоваться для определения мощности формулой N = 1 R было бы неправильно.

3.2.23. Конденсатор емкостью С = 10 мкФ разряжается через цепь из двух параллельно включенных сопротивлений Rx =10 Ом и R2 =40 Ом. Какое количество теплоты Q{ выде­ лится на меньшем из сопротивлений, если конденсатор был заря­ жен до напряжения = 100 В?

Решение. В процессе разрядки конденсатора напряжение на нем плавно изменяется от U0 до нуля. При этом отношение мгновенных мощностей, выделяющихся в параллельно соединенных резисторах, равно —L = — т.е. не зависит от времени. СлеN 2 Rx довательно, такое же отношение справедливо и для количеств теплоты, выделившихся в резисторах за время полной разрядки конденсатора. Имеем: —- = —. По закону сохранения энергии Qi + Qi = Wq, где J = —^ — энергия, запасенная в конденсато­ ре. Из этих равенств получаем ответ:

Было бы полезным обдумать ответ на вопрос, при каких ус­ ловиях можно приравнять отношение мгновенных мощностей, выделяющихся в резисторах, отношению энергий, выделившихся в них за конечное время.

Какую максимальную полезную мощность можно по­ 3.2.24.

лучить, имея в своем распоряжении источник с ЭДС = 45 В и внутренним сопротивлением г = 10 Ом и два электронагревателя с сопротивлениями Rx = 5 Ом и R2 =20 Ом соответственно?

Решение. Мощность, выделяющаяся в нагрузке сопротивле­ нием R, подключенной к источнику, равна N = ------- —-. В каК + г) честве нагрузки могут выступать нагреватели, подключенные по отдельности: RH=RX и RB = R2 ; нагреватели, подключенные по­ следовательно: RH= R3 = R{ + R2 ; нагреватели, подключенные параллельно: R„ = Rd = — ——. Подстановка чисел дает:

N { =45 Вт, N 2 =45 Вт, N 3 «41,3 Вт, N 4 «41,3 Вт. Отсюда по­ лучаем ответ: максимальная мощность выделяется во внешней цепи, если подключать нагреватели по отдельности. Эта мощ­ ность равна iV, = N 2 =45 Вт.

Следует обратить внимание на то, что при решении этой за­ дачи может возникнуть ошибочное мнение о том, что при под­ ключении любых сопротивлений по отдельности, мощность, вы­ деляющаяся в этих нагрузках, будет одинаковой, или же, что мощность, выделяющаяся при последовательном и параллельном подключении двух нагрузок, тоже будет одинаковой. Стоит отме­ тить, что полученный результат справедлив лишь при конкрет­ ных числовых значениях величин, заданных в условии задачи.

3.2.25. Определите среднюю скорость движения электронов в медном проводе сечением S = 1 мм2, когда по нему течёт ток / = 1 А. Плотность меди р = 8,9 г/см3, молярная масса М = 64 г/моль. Известно, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

Решение. В рамках классической электронной теории элек­ тропроводности считается, что в металле свободные электроны, участвуя в хаотическом тепловом движении, ускоряются элек­ трическим полем, сталкиваются с ионами кристаллической ре­ шётки и движутся с небольшой средней, так называемой «дрей­ фовой» скоростью.

Поскольку на каждый атом меди приходится один свобод­ ный электрон, то их концентрация в проводе равна числу атомов меди в единице объёма: п = рN A / М. Заряд, протекающий через сечение провода за время At, равен Aq = п •SvAt•\ е\, где I е |= 1,6 •10~ Кл - модуль заряда электрона, v - искомая средняя скорость движения электронов. Отсюда с учётом того, что / = A q / A t, получаем: v = ------------ «0,075 мм/с.

Отметим, что при решении этой задачи была получена фор­ мула, связывающая силу протекающего в проводнике тока со средней скоростью упорядоченного движения носителей заряда и с их концентрацией: / =| е \ nvS. Эта формула часто оказывается полезной для отыскания решения задач подобной тематики.

3.2.26. В электролитической ванне, подключенной к источ­ нику с ЭДС = 3,35 В, производят покрытие деталей никелем.

Для получения на одной из деталей слоя никеля толщиной h = 2 мкм источником была совершена работа А = 0,054 кВт ч.

Какова площадь поверхности S этой детали? Плотность никеля р= г/см, молярная масса М = 59 г/моль, валентность п = 2, постоянная Фарадея F = 9,65 •104 Кл/моль.

Решение. По закону Фарадея масса выделившегося на катоМ де никеля т = ------ q, где q - заряд, протекшии через электроFп лит. С другой стороны, m = pSh. Совершенная источником рабо­ та по перемещению заряда q равна A = q $. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: S = ---------« 1i м. Следует отметить, что запись формулы m = pSh подразуме­ вает тот факт, что осаждение никеля происходит по всей поверх­ ности детали равномерно.

Задачи для самостоятельного решения отрезков подводящих проводов г = 13 Ом. Каковы напряжения Ux и U 2 на нагревателях, если напряжение между точками A w В равно U = 50 В?

изменится сила тока, текущего через резистор R{, после замыка­ ния ключа А? Сопротивлением проводов и ключа пренебречь.

ренним сопротивлением г = ОД Ом присое­ противление каждого из резисторов R = 1 Ом.

Найти напряжение и ш на клеммах батареи.

Сопротивлением всех соединительных проводов пренебречь.

3.2.30. Из куска однородной проволоки изготовлен замкну­ тый контур, имеющий форму квадрата ABCD. Батарею подклю­ чают сначала к вершинам квадрата А и В, а затем к вершинам А и С. В первом случае сила тока, протекающего через батарею, оказывается в т = 1,2 раза больше, чем во втором. Определить внутреннее сопротивление батареи г, если известно, что сопро­ тивление проволоки, из которой изготовлен квадрат, R - 4 Ом.

Ответ: г = — •——— = 0,5 Ом.

3.2.31. В цепь включены два источника сопротивлениями г{ = 2 Ом, г2 = 4 Ом соот­ ветственно, и три одинаковые резистора сопротивлениями R. При какой величине R ft значения токов 1Х и будут равны друг другу?

емкости С, подключенного по электрической 2 ft схеме, представленной на рисунке? Параметры тов, если заряд конденсатора емкостью С = мкФ равен q = 25 мкКл.

3.2.35. Сопротивление нелинейного резистора зависит от приложенного к нему напряжения t/ по закону: i? = a y f, где а = 5 Ом В 12. Если три таких резистора соединить последова­ тельно и подключить к батарее, то в цепи будет течь ток 7j = 0,2 А. Если же эти резисторы соединить параллельно и под­ Найти ЭДС батареи.

при < — < л/27, т.к. внутреннее сопротивление батареи не может быть отрицательным, а при уменьшении сопротивления на­ грузки ток через питающую ее батарею должен увеличиваться.

3.2.36.е К однородному медному цилиндрическому провод­ нику длиной / = 10 м приложили разность потенциалов /= 1 В.

Определите промежуток времени, в течение которого температу­ ра проводника повысится на АТ = 10 К. Изменением сопротивле­ ния проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренеб­ речь. Плотность меди р = 8,9103 кг/м3, удельное сопротивление рм= 1,7-10 Омм, удельная теплоемкость с = 380 Дж/(кг-К).

3.2.37. Внутри проточного электронагревателя имеется ем­ кость, в которую непрерывно поступает холодная вода из водо­ провода. За время прохождения через емкость эта вода подогре­ вается при помощи нагревательного элемента, подключенного к сети электрического тока. Такой электронагреватель, подключен­ ный к сети постоянного тока с напряжением U —220 В, потребля­ ет ток 1= 25 А. Через нагреватель в минуту проходит объем воды q = 2 л. При этом вода нагревается от температуры t\ = 10 °С до температуры t2 = 40 °С. Плотность воды p = 1 г/см, удельная те­ плоемкость с = 4,2 Дж/(г-К). Найти КПД этого нагревателя. От­ вет выразить в процентах.

женную на рисунке. Найти разность потенциалов U А между точками Л и В и мощность N, выделяющуюся в этой цепи.

переводят в положение «1». Сколько теплоты выделится в ре­ зисторе R\ после переключения ключа К в положение «2», если Rx/R 2 =п = 3 ?

Генератор постоянного тока соединен с потребителем (полезной нагрузкой) линией электропередачи, имеющей сопро­ тивление R = 10 Ом. ЭДС генератора = 100 В, его мощность N = 400 Вт. Определить отношение г| мощности, выделяемой в полезной нагрузке, к мощности генератора. Внутренним сопро­ тивлением генератора пренебречь.

3.2.41. Из однородной проволоки спаян в контур в виде квадрата A BC D с диагональю А С (см. рисунок). Источник напряжения, внутренним сопротивлением которого можно А пренебречь, подсоединяют к точкам А и С схемы (случай 1), а затем к точкам В и D (случай 2). Во сколько раз различа­ ются мощности N x и N 2, выделяемые в контуре в этих слу­ чаях?

3.2.42. Батарея из двух одинаковых парал- _ -L лельно соединенных гальванических элементов с К т внутренним сопротивлением г = 1 Ом каждый на- j | гружена на внешнее сопротивление R = 1 Ом. Во сколько раз р изменится отношение мощности, выделяемой во внешнем сопротивлении, к полной мощности, ес­ ли элементы соединить последовательно?

3.2.43. Нагревательные элементы, сопротивления которых отличаются в а раз, соединены, как показано на рисунке, и подключены к источнику тока с пре­ небрежимо малым внутренним сопротивлением. Найти а, если известно, что при замыкании ключа общая мощность, выделяю­ щаяся в цепи, увеличивается в к = 2 раза. Изменением сопротив­ лений элементов при нагревании пренебречь.

3.2.44. Пять одинаковых лампочек соеди­ ключены к батарее. Во сколько раз а изменится мощность, выделяющаяся в этой цепи, если лампочка номер 1 перегорит? Внутреннее со­ противление батареи пренебрежимо мало.

Ответ: а = —— 0,6.

3.2.45. К аккумулятору параллельно подключены два одина­ ковых резистора сопротивлением R = 20 Ом. При этом на них выделяется суммарная мощность N = 110 Вт. Если один из рези­ сторов отсоединить, то потребляемая от аккумулятора мощность остается неизменной и равной N. Найти ЭДС аккумулятора.

3.2.46. При подключении к аккумулятору с внутренним со­ противлением г = 0,2 Ом нагревательный элемент развивает мощность N,=10 Вт. При подключении нагревательного эле­ мента к двум таким аккумуляторам, соединенным параллельно, выделяемая в нагревателе мощность составила N2 = 12,1 Вт. Най­ ти сопротивление R нагревателя.

3.2.47. Электрический нагреватель для воды имеет две спирали.

При подключении к сети одной из спиралей вода в нагревателе заки­ пает через время мин, а при подключении другой - через вре­ мя t2 = 15 мин. Через какое время вода в нагревателе закипит, если обе эти спирали подключить к сети, соединив их а) параллельно, б) последовательно? Количество воды и ее начальная температура во всех случаях одинаковы. Потерями теплоты пренебречь.

3.2.48. Два нагревателя при параллельном подключении к сети развивают суммарную мощность N x = 600 Вт, а при после­ довательном - N 2 = 126 Вт. Каковы номинальные мощности No x и N 0 э т и х нагревателей?

Ответ: N o = — + —*Jnx - ANX 2 =420 Вт, 3.2.49. Две проволоки, изготовленные из материала с малым температурным коэффициентом сопротивления, подключают к аккумулятору с очень малым внутренним сопротивлением снача­ ла параллельно, а потом - последовательно. При параллельном включении скорость дрейфа свободных носителей заряда в про­ волоках оказалась одинаковой, а при последовательном она в первой проволоке уменьшилась в к = 5 раз по сравнению с па­ раллельным включением. Найти отношение диаметров проволок.

3.2.50. Цепь состоит из двух незаря­ женных конденсаторов емкостью ской ванны, наполненной раствором элек­ тролита. За достаточно большое время по­ сле перевода ключа в положение 2 на одном из электродов выде­ лилось вещество массой т. Затем ключ перевели в положение 3, и к моменту прекращения тока в цепи на том же электроде до­ полнительно выделилась масса вещества А т. Найти отношение Ат /т.

В стеклянную кювету, две противоположные стенки 3.2.51.

которой покрыты слоем меди, налит водный раствор медного ку­ пороса (C11SO4 ) с удельным сопротивлением р = 0,3 Ом м. Высота слоя электролита равна h =10 см. Ширина проводящих стенок кюветы равна b = 50 см, расстояние между ними L = 10 см. Кюве­ ту подключают к источнику тока частотой / = 10 Гц. Закон изме­ нения тока показан на рисунке. Найдите изменение температуры АТ электролита за время t = 100 с после подключения, если масса катода кюветы за это время увеличилась на m = 1 г. Теплоёмкость электролита равна С = 3600 Дж/(кг-°С), молярная масса меди М —64 г/моль, ее валентность Z —2. Считайте, что всё джоулево тепло идёт на нагревание электролита, поляризацией электродов пренебречь.

Вакуумный диод, у которого анод (положительный 3.2.52.

электрод) и катод (отрицательный электрод) - параллельные пла­ стины, работает в режиме, когда между током и напряжением выполняется соотношение 1 = al/ 12 (где а - некоторая постоянная величина). Во сколько раз увеличится сила, действующая на анод вследствие удара электронов, если напряжение на диоде увели­ чить в п = 2 раза? Начальную скорость вылетающих электронов считать равной нулю.

3.3.1. Из двух кусков медной прово­ локи одинаковой длины и разного попе­ речного сечения изготовлен квадрат ACDEA', разомкнутый в одной из вер­ шин (концы проволок обозначены точ­ ками А и А' на рисунке). Площадь сече­ ния проволоки на участке A CD вдвое меньше, чем на участке DEA'. Когда к точкам А и А' подключи­ ли источник постоянного тока, оказалось, что магнитная индук­ ция в центре квадрата равна В0 = 1 мТл. Какова будет магнитная индукция В в центре квадрата, если соединить между собой точки А и А' и тот же источник подключить к вершинам А и D?

Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Расстояние между точками А и А' считать малым.

Решение. Пусть р - удельное сопротивление меди, S - пло­ щадь сечения тонкой проволоки, / - сторона квадрата. Сопротивле­ ние контура при его подключении к точкам А и А1 равно R{ = p----h р— = р—. Магнитная индукция В0 в центре квадрата создается током = —, текущим по четырем одинаковым отрезкам. Используя правило буравчика, находим, что вектор В0 направ­ лен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Обозначив через В{ модуль магнитной индукции, создаваемой в точке О током / 0, текущим в одном отрезке, по принципу суперпозиции магнитных полей имеем: В0 = 4Вх. При подключении источника к точкам А и D образуется цепь из параллельно соединенных ветвей с сопротивлениями R' = р— = —R0 и R”= р— = —RQ. По верхiS 3 2S нему участку цепи течет ток Г = ~ ~~Л) Магнитная индукция, создаваемая этим током в центре квадрата, по модулю равна В' = 2 •— = 35, и направлена от нас. Ток в нижней ветви /"= -“ = 3/ создает в центре квадрата индукцию, модуль котоR рой В" = 2 •ЗВ] = 6В{, а направление противоположно В '. Таким образом, магнитная индукция в центре квадрата по модулю равна В =| В' - В " |= 35, = —В0 = 0,75 мТл и направлена на нас.

При решении этой задачи следует обратить внимание на два важных момента. Во-первых, надо понимать, что в первом случае контур представляет собой четыре последовательно со­ единенных участка, а во втором - два параллельно соединен­ ных. Поэтому не следует забывать о том, что ток, протекаю­ щий по проволоке, определятся сопротивлением контура. Вовторых, необходимо правильно определить направление век­ тора магнитной индукции в центре квадрата, так как это суще­ ственным образом отразится на правильности ответа.

3.3.2. Квадратная проволочная рамка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпа­ дающей с одной из ее сторон. Рамка поле с индукцией, направленной вертикальной плоскости на угол а = 30°. Определить индукцию магнитного поля В, если площадь сечения проволоки, из которой изготовлена рамка, 5 = 4 мм2 а плотj - ность материала проволоки р = • кг/м.

Решение. Будем проводить решение задачи в неподвижной относительно земли системе отсчета, считая ее инерциальной.

Модули и направления сил, действующих на отдельные стороны рамки со стороны магнитного поля (сил Ампера FA, ^А2 J ^АЗ J FA ), изображены на рисунке (а). Видно, что отклонение рамки от вертикали вызывает сила FAX, приложенная к нижней гори­ зонтальной стороне рамки. Сила FA приложена к оси, на кото­ рой вращается рамка, а силы FA2 и FA4 действуют в плоскости рамки и могут вызвать только ее деформацию. Таким образом, рамка находится в равновесии под действием сил, модули и на­ правления которых изображены на рисунке (б), где mg - модуль силы тяжести, FA = = IBl - модуль силы Ампера, R - модуль силы реакции оси. Здесь т = 41Sp - масса рамки, / - длина од­ ной из ее сторон, Уравнение моментов относительно оси враще­ ния рамки имеет вид: FA/cosa = m g—sin a. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: В = - у '- tg a « 0,079 Тл.

При решении этой задачи важно правильно определить мо­ дули и направления сил, действующих на рамку. Имеет смысл обратить внимание на точку приложения силы тяжести, а также на величину угла между векторами м и В.

проложены рельсы, по которым может скольГВ зить проводящий стержень массой т = кг. Какой минимальной величины ток 7m нужно пропустить по стержню, чтобы он оставался в покое, если вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл, направ­ ленной вертикально? Коэффициент трения стержня о рельсы \х = 0,2, расстояние между ними / = 0,5 м.

систему отсчета, неподвижную относительно земли.

Полагая эту систему инерциальной, рассмотрим нормальных составляющих силы реакции рельсов, FA - модуль силы Ампера, тр - модуль суммарной силы трения, действующей на стержень со стороны рельсов. Заметим, что минимальное значение силы тока, при котором стержень находится в равновесии, соответст­ вует случаю, когда сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости вверх, и ее величина достигла максимального значения, т.е.

тр = fjN. В проекциях на направление наклонной плоскости и на перпендикулярное ей направление условия равновесия имеют вид:

mg sin а = FA cos а + \xN, mg cos а + FA sin а = N. Учитывая, что FA = IB I, получаем ответ: / гаіп = ----------------------- « 33,8 A.

При решении этой задачи важно понимать, что сила mg sin a уравновешивается не только проекцией силы Ампера на направление наклонной плоскости FA cos a, но и силой трения покоя Frp = jiN.

Если не учесть это обстоятельство, то решение будет неправильным.