[ В. В. Григорьев-Голубев
Н. В. Васильева
Е. А. Кротов
Допущено научно-методическим советом по математике вузов северо-запада
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по инженерным и инженерно-экономическим специальностям
Санкт-Петербург
«БХВ-Петербург»
2014
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.1я73
Г83
Григорьев-Голубев, В. В.
Г83 Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство по решению задач: учебник / В. В. Григорьев-Голубев, Н. В. Васильева, Е. А. Кротов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2014. — 256 с.: ил. — (Учебная литература для вузов) ISBN 978-5-9775-3294-5 В книге содержится описание и примеры выполнения входящих в учебные программы лабораторных работ по математической статистике, даются первоначальные сведения о пакете прикладных математических программ Mathcad и примеры выполнения лабораторных работ в среде Mathcad. Краткие сведения из теории по каждому разделу дисциплины позволят студентам технических и экономических вузов сэкономить время, а подробный разбор приведенных в книге задач сформирует правильный подход к их постановке и выбору метода решения. На основе излагаемого материала преподаватели математики могут формировать варианты контрольных и лабораторных работ, а также индивидуальных домашних заданий — типовых расчетов.
Для студентов и преподавателей высших учебных заведений УДК 519.2(075.8) ББК 22.1я Группа подготовки издания:
Главный редактор Екатерина Кондукова Зав. редакцией Екатерина Капалыгина Редактор Анна Кузьмина Компьютерная верстка Ольги Сергиенко Корректор Зинаида Дмитриева Дизайн серии Инны Тачиной Оформление обложки Марины Дамбиевой Фото Кирилла Сергеева РЕЦЕНЗЕНТЫ:
В. М. Лихачев, д-р физ.-мат. наук, профессор, завкафедрой высшей математики ВКА им. А. Ф. Можайского В. Б. Хазанов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики и математического моделирования СПбГМТУ Подписано в печать 31.10.13.
Формат 70100 /16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,64.
Тираж 1000 экз. Заказ № "БХВ-Петербург", 191036, Санкт-Петербург, Гончарная ул., 20.
Первая Академическая типография "Наука" 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12/ ISBN 978-5-9775-3294-5 © Григорьев-Голубев В. В., Васильева Н. В., Кротов Е. А., © Оформление, издательство "БХВ-Петербург", Оглавление Предисловие
Глава 1. Элементы комбинаторики
1.1. Принцип умножения и принцип сложения
Принцип умножения
Принцип сложения
1.2. Размещения, перестановки, сочетания
1.3. Задачи для самостоятельного решения
Глава 2. Случайные события
2.1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий.
Случайное событие
2.2. Алгебраические операции над случайными событиями
2.3. Вероятностная модель случайного эксперимента. Вероятностное пространство............ Вероятностная модель случайного эксперимента с конечным числом исходов.............. Формула классической вероятности
Вероятностная модель случайного эксперимента со счетным числом исходов............... Вероятностная модель случайного эксперимента с несчетным числом исходов............. Геометрическое определение вероятности
2.4. Свойства вероятности. Условная вероятность. Независимость событий.
Теоремы сложения и умножения
Свойства вероятности. Теорема сложения вероятностей
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Независимые события
2.5. Полная группа событий. Формулы полной вероятности и Байеса
2.6. Сложный эксперимент. Схема Бернулли
2.7. Формула Пуассона. Простейший поток событий
2.8. Задания для типовых расчетов
Глава 3. Случайные величины
3.1. Закон распределения случайной величины
Свойства функции распределения
3.2. Дискретная случайная величина
Закон распределения дискретной случайной величины
Числовые характеристики дискретной случайной величины
Свойства математического ожидания
Свойства дисперсии
Биномиальный закон распределения
Закон распределения Пуассона
Геометрическое распределение
3.3. Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина и ее закон распределения
Свойства плотности распределения
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Равномерное распределение
Показательное (экспоненциальное) распределение
Распределение Коши
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
3.4. Задания для типовых расчетов
Глава 4. Случайные векторы
4.1. Двумерный случайный вектор и его закон распределения
4.2. Функция распределения двумерного случайного вектора и ее основные свойства....... 4.3. Двумерный дискретный случайный вектор
Маргинальные законы распределения компонент двумерного дискретного случайного вектора
Условные законы распределения компонент двумерного дискретного случайного вектора
Числовые характеристики дискретного двумерного случайного вектора
Математическое ожидание
Корреляционный момент
Матрица ковариаций
Обобщенная дисперсия
Коэффициент корреляции
Условные математические ожидания. Функции и линии регрессии
Функция распределения двумерного дискретного случайного вектора
4.4. Непрерывный случайный вектор
Плотность и функция распределения непрерывного двумерного случайного вектора..... Функции и плотности распределения компонент непрерывного случайного вектора...... Условные плотности распределения непрерывного случайного вектора
Числовые характеристики непрерывного двумерного случайного вектора
Математическое ожидание
Дисперсия
Корреляционный момент
Коэффициент корреляции
Корреляционная матрица и обобщенная дисперсия
Функции регрессии и линии регрессии непрерывного двумерного случайного вектора
4.5. Задания для типовых расчетов
Глава 5. Функции случайных величин
5.1. Функции одного случайного аргумента
Функции дискретного случайного аргумента
Функции непрерывного случайного аргумента
Числовые характеристики непрерывной функции одной случайной величины............. 5.2. Функции двух случайных величин
5.3. Функции n случайных величин
Распределение 2
Распределение Стьюдента
5.4. Задания для типовых расчетов
Глава 6. Выборочный метод математической статистики
6.1. Первичная обработка экспериментальных данных
Построение интервального статистического ряда
Построение эмпирической функции распределения
Гистограмма и полигон
6.2. Получение точечных статистических оценок
6.3. Пример выполнения лабораторной работы "Первичная обработка экспериментальных данных"
Построение интервального статистического ряда
Построение эмпирической функции распределения
Построение гистограммы и полигона
Получение точечных статистических оценок
Предположение о характере распределения
6.4. Пример выполнения лабораторной работы "Первичная обработка экспериментальных данных" в среде Mathcad
Первоначальные сведения о программе для инженерных расчетов Mathcad................. Построение интервального ряда
Построение гистограммы и полигона
Получение точечных характеристик. Построение теоретической кривой
Построение эмпирической функции распределения
Глава 7. Проверка статистических гипотез и интервальные оценки.............. 7.1. Основная и альтернативная гипотезы
7.2. Критерии согласия. Общая схема проверки статистических гипотез
Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины на основе критерия Пирсона
Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по критерию Колмогорова
7.3. Интервальные оценки параметров распределения
Доверительный интервал для математического ожидания при известном среднеквадратическом отклонении
Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднеквадратическом отклонении
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения
7.4. Пример выполнения лабораторной работы "Проверка статистических гипотез и интервальное оценивание"
Проверка основной гипотезы по критерию Пирсона
Проверка основной гипотезы по критерию Колмогорова
Интервальное оценивание параметров распределения
7.5. Пример выполнения лабораторной работы "Проверка статистических гипотез и интервальные оценки" в среде Mathcad
Проверка нулевой гипотезы по критерию Пирсона
Проверка нулевой гипотезы по критерию Колмогорова
Интервальные оценки параметров распределения
Доверительный интервал для математического ожидания
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения
7.6. Варианты заданий для лабораторных работ
Приложение. Статистические таблицы
П.1. Значения функции Гаусса ( x ) = e
П.2. Значения функции Лапласа 0 ( x ) = e 2 dt
П.3. Значения 2, распределения 2 для числа степеней свободы m и вероятности = P { 2 > 2, }
П.4. Значения q распределения Колмогорова для вероятности q = P { K q }................ П.5. Значения tm, распределения Стьюдента для числа степеней свободы m и вероятности = P { m < tm, }
Ответы
К главе 1
К главе 2
К главе 3
К главе 4
К главе 5
Литература
Предисловие Данная книга написана на основе курса лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", которые читаются авторами на протяжении ряда лет студентам Санкт-Петербургского государственного морского технического университета и Военно-космической академии А. Ф. Можайского, и адресована студентам технических университетов. Цель пособия — помочь учащимся в выработке навыков самостоятельного решения вероятностных задач и в подготовке к контрольным испытаниям.
Объем материала соответствует ФГОС третьего поколения, а глубина изложения — уровню требований к математической подготовке выпускника российского технического университета.
Каждый раздел книги предваряет необходимый теоретический материал, включающий в себя самые важные определения и теоремы. Теоретический материал изложен в кратком виде и дополнен большим количеством задач с подробным разбором их решения. В конце каждого раздела помещены задачи, предлагающиеся для самостоятельного решения, снабженные развернутыми ответами.
Глава 1 "Элементы комбинаторики" включена в работу в связи с необходимостью использования некоторых формул комбинаторного анализа при подсчете вероятностей. В ней даны формулы для вычисления числа размещений, подстановок и сочетаний из некоторого конечного множества и разобран ряд задач с использованием этих формул.
В главе 2 "Случайные события" дано понятие случайного события и определены алгебраические операции над событиями. Вероятность случайного события определяется на основе аксиоматики А. Н. Колмогорова, а при разборе задач большое внимание уделяется построению вероятностных моделей эксперимента.
В главах 3—5 рассматриваются случайные величины, случайные векторы и функции случайных величин. Здесь даются определения дискретных и непрерывных случайных величин и векторов, законы их распределения, а также определения и свойства числовых характеристик. В качестве примеров рассматриваются такие законы распределения дискретной случайной величины, как биномиальный закон, закон Пуассона и геометрический закон, а также такие законы распределения непрерывной случайной величины, как равномерный, показательный и нормальный, законы распределения. В главе 4 большое внимание уделено вопросам независимости случайных величин и нахождению функций регрессии, а глава 5 дополнена такими распределениями, как распределение 2 и Стьюдента.
В конце каждой главы даны задания для типовых расчетов по всем темам раздела, содержащие 30 вариантов в каждом задании.
Главы 6 и 7 относятся к разделу "Математическая статистика". В них рассматриваются вопросы первичной обработки экспериментальных данных, получения точечных и интервальных статистических оценок параметров исследуемого распределения, применения критериев согласия для проверки статистических гипотез, т. е. те вопросы, которые включены в ФГОС третьего поколения и по которым в технических университетах даются лабораторные и курсовые работы. В этих главах приведены примеры выполнения лабораторных работ с вычислениями, выполненными на калькуляторе и в среде Mathcad.
В приложении приведены таблицы, необходимые для решения задач по теории вероятностей и выполнения лабораторных работ по математической статистике, а в конце книги — список цитируемой литературы и ответы к задачам для самостоятельного решения.
Авторы надеются, что книга окажется полезной не только для студента любого технического университета, но и для преподавателей, ведущих практические занятия.
ГЛАВА Элементы комбинаторики Некоторые формулы и задачи комбинаторного анализа (комбинаторики) представлены в данной книге в связи с тем, что они используются во многих задачах классической теории вероятностей.
1.1. Принцип умножения и принцип сложения Принцип умножения Пусть требуется выполнить k упорядоченных и взаимоисключающих друг друга действий. Если первое из этих действий можно выполнить n1 способами, второе — n2 способами,..., k -е действие — nk способами, то все k упорядоченных действий можно выполнить n способами, где Задача 1.1. Сколько существует всевозможных шестизначных чисел?
Решение. Первая цифра числа не может быть нулем. Следовательно, первой может быть любая из цифр от 1 до 9. Остальные пять мест в числе могут быть заняты любой из десяти цифр. Поэтому, согласно принципу умножения, количество шестизначных чисел равно:
Принцип сложения Если для выполнения какого-то действия имеется: n1, или n2,..., или nk взаимно исключающих друг друга способов, то общее количество способов, которое можно использовать для выполнения этого действия, равно:
Задача 1.2. Сколько пар разных пирожных можно выбрать, если имеется десять пирожных "Эклер", семь пирожных "Буше" и восемь корзиночек?
Решение. Пары пирожных могут составляться из пирожных "Эклер" и "Буше", для этого имеется 10 7 = 70 вариантов. Пары пирожных могут быть составлены из пиГлава рожных "Эклер" и корзиночек — таких 10 8 = 80 вариантов. И, наконец, это могут быть пирожные "Буше" и корзиночки — 7 8 = 56 вариантов. Общее количество способов n определяется по принципу сложения (1.2) 1.2. Размещения, перестановки, сочетания Пусть имеется множество E, содержащее n элементов, и из этого множества делаются выборки по m элементов в каждой ( m n ).
Размещениями называются упорядоченные выборки из множества E. Число размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:
или Пример 1. Имеется множество E = {1; 2; 3}. Из элементов этого множества составляются двухэлементные упорядоченные множества:
Чтобы убедиться, что мы выписали все размещения, определим их количество, используя формулу (1.3):
При m = n размещения называются перестановками. Число перестановок из n элементов равно Задача 1.3. Сколько шестизначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Решение. Количество таких чисел равно числу размещений из шести по шесть, т. е.
числу перестановок из шести. Поэтому Сочетаниями называются неупорядоченные выборки из множества E. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле Пример 2. Если в примере 1 из элементов этого множества E составляются двухэлементные неупорядоченные множества, то число таких множеств — число сочетаний из трех элементов по два — равно 3, т. к. одинаковыми сочетаниями будут множества {1; 2} и {2;1}, {1; 3} и {3;1}, {2; 3} и {3; 2}. Поэтому сочетаниями будут только следующие три выборки:
Для сочетаний часто более удобной является формула:
При вычислении числа сочетаний следует учитывать, что:
Задача 1.4. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя для их записи только две цифры?
Решение. Если числа составляются из цифр 1, 2,..., 9, то имеется C9 вариантов выбора двух цифр из девяти. Каждая позиция четырехзначного числа может быть заполнена одной из двух выбранных цифр, т. е. имеется 24 = 16 вариантов составления числа. При этом должны быть исключены два случая, при которых четырехзначное число состоит из одинаковых цифр. Поэтому, согласно принципу умножения (1.1), количество k1 четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2,..., 9, равно:
Иначе следует подсчитывать количество четырехзначных чисел, в записи которых есть ноль, поскольку число не может начинаться с нуля. Первая позиция таких чисел может быть занята одной из цифр 1, 2,..., 9, т. е. имеется 9 вариантов выбора.
Остальные три позиции могут быть заняты этой же цифрой или нулем, за исключением случая, когда в записи числа одна цифра, т. е. 23 1 вариантов выбора.
Поэтому количество k 2 таких чисел равно Искомое количество четырехзначных чисел определяется по принципу сложения (1.2):
1.3. Задачи для самостоятельного решения Задача 1.5. В магазине канцелярских товаров имеется 18 шариковых ручек красного цвета, 8 — синего цвета и 6 — черного цвета. Кроме того, в наличии есть 4 ручки, которые могут писать синим и красным цветом, а также две ручки, которые могут писать тремя цветами. Сколькими способами можно сделать покупку, чтобы иметь возможность писать всеми тремя цветами?
Задача 1.6. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить, используя три цифры: 1, 2 и 3? Используя цифры 0, 1 и 2?
Задача 1.7. Сколько различных трехцветных полосатых флагов (полосы могут быть расположены как горизонтально, так и вертикально) можно сшить, если имеется материал пяти цветов?
Задача 1.8. Сколькими способами могут встать в очередь для сдачи зачета 6 студентов? Сколькими способами они могут организовать очередь, если Маша и Саша должны стоять рядом? Сколько получится вариантов, если при этом Саша должен стоять после Маши?
Задача 1.9. Пять книг, среди которых 2 одинаковые, расставляются на полке.
Сколько имеется вариантов их расстановки?
Задача 1.10. В поселке 12 домов. Каждые два дома соединены друг с другом пешеходными дорожками с цветами. Сколько таких дорожек?
Задача 1.11. Из ящика с деталями двух типов выбирают 3 детали. Сколькими способами это можно сделать, если деталей первого типа 6, второго типа — 4, а из трех выбранных деталей две должны быть первого типа?
Задача 1.12. Имеется 6 роз красного и 6 роз белого цвета. Сколько различных букетов из них можно составить, если каждый букет должен состоять из двух роз красного цвета и трех роз белого цвета?
Задача 1.13. В группе из 50 студентов 20 знают немецкий язык, 15 — английский, 5 — оба языка, а остальные знают только русский. Сколькими способами можно выбрать из этой группы двух студентов, чтобы вместе они могли понять и английскую, и немецкую речь?
ГЛАВА Случайные события 2.1. Случайный эксперимент.
Пространство элементарных событий.
Случайное событие Под словами "эксперимент", "опыт", "наблюдение", "испытание" понимается процесс, который можно осуществлять (в том числе и мысленно) неограниченное число раз, выполнив некоторую фиксированную совокупность условий S. Результат эксперимента называется исходом.
Если в результате проведения эксперимента наступает только один исход, то такой эксперимент называется детерминированным. Если же в результате эксперимента могут наступить два и более исходов, то такой эксперимент называют случайным.
Наравне с термином "исход" используют также термин "элементарное событие".
Множество всех исходов (элементарных событий) данного случайного эксперимента образует пространство элементарных событий, которое обозначают, а сами элементарные события —.
Следует понимать, что одному и тому же случайному эксперименту в зависимости от того, что в нем наблюдается, можно сопоставить разные пространства элементарных событий. Например, если при бросании игральной кости наблюдается количество выпавших очков, то пространство элементарных событий включает в себя шесть исходов, т. е.
где i — элементарное событие, которое состоит в том, что выпадает грань с i очками. Если в этом же эксперименте наблюдается, выпало или не выпало шесть очков, то пространство элементарных событий включает в себя два исхода:
= {1, 2 }, где 1 — выпало шесть очков, 2 — не выпало шесть очков.
Пространство может представлять собой дискретное множество: конечное = {1, 2,..., n } или счетное = {1, 2,..., n,...}. может также являться и несчетным множеством.
Пример 1. В урне 5 белых и три красных шара. Вынимают случайным образом последовательно 2 шара. Такому эксперименту соответствуют 4 исхода:
оба шара белые;
первый шар белый, а второй — красный;
первый шар красный, а второй — белый;
оба шара красные.
Пространство элементарных событий (исходов) данного эксперимента можно символически представить в следующем виде:
где буквами "Б" и "К" обозначен цвет выбранного шара: белый или красный соответственно. В этом примере пространство элементарных событий конечно.
Пример 2. Эксперимент состоит в том, что бросается игральная кость до тех пор, пока не выпадет 6 очков. В этом эксперименте пространство элементарных событий будет бесконечным и счетным = {1, 2, …, n, …}, поскольку эксперимент теоретически может продолжаться бесконечно. При этом исход 1 соответствует тому, что 6 очков выпало на первом бросании, исход 2 означает, что на первом бросании не выпало 6 очков, а на втором — выпало,..., исход n означает, что 6 очков выпало на n -м бросании, а на предыдущих n 1 бросаниях выпало какоето другое число очков.
Пример 3. Если при проведении эксперимента отмечается время t прихода автобуса на автобусную остановку в течение 12 часов (т. е. = t ), то пространство элементарных событий будет несчетным:
Подмножество A пространства элементарных событий ( А ) называется случайным событием или просто событием. В конечном и счетном случаях это может быть любое подмножество, а в несчетном случае — специальным образом выбранное (подробнее об этом см. в разд. 2.3).
Говорят, что при проведении случайного эксперимента S событие А произошло, если наступил исход, принадлежащий событию А ( А ).
2.2. Алгебраические операции над случайными событиями Определение 2.1. Невозможным называется событие, которое не содержит ни одного элементарного события пространства данного эксперимента. Невозможное событие обозначается.
ЗАМЕЧАНИЕ
Другими словами, невозможным называется событие, которое не происходит ни при одном проведении данного эксперимента, т. е. пустое множество.Определение 2.2. Достоверным называется событие, которое содержит все элементарные события пространства данного эксперимента. Достоверное событие обозначается.
ЗАМЕЧАНИЕ
Другими словами, достоверным называется событие, которое происходит при каждом проведении данного эксперимента.Определение 2.3. Суммой событий A и B называется событие, которое включает в себя все элементарные события, принадлежащие или событию A, или событию B, или им обоим. Сумма событий обозначается A + B.
ЗАМЕЧАНИЕ
Другими словами, суммой событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий-слагаемых.Если изобразить пространство элементарных событий в виде прямоугольника на плоскости, а события A и B в виде множеств точек, лежащих внутри этого прямоугольника, то сумма событий A + B представляет собой заштрихованную область, изображенную на рис. 2.1.
Определение 2.4. Произведением событий A и B называется событие, которое состоит из элементарных событий, принадлежащих обоим этим событиям (рис. 2.2). Произведение событий обозначается A B.
ЗАМЕЧАНИЕ
Другими словами, произведением событий называется событие, состоящее в одновременном наступлении событий-сомножителей.Определение 2.5. События A и B называются несовместными, если A B =.
«