«Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов  по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на  физико­техническом   факультете   Харьковского   национального  университета.  ...»

б)  Принадлежит   ли  нейтральный   элемент   группы    множеству  5?  Поскольку элементом, нейтральным по сложению в  , является число 0 и  0 делится на 5, делаем вывод о том, что  = 0 5.

в)  Выберем   произвольное   число   z 5,   т.   е.   z = 5k, k.   Очевидно,   что  элементом,   противоположным   к   элементу   z,   является   элемент  элемент  5 имеет противоположный, принадлежащий  5.

Из свойств а), б), в) следует, что 5 образует аддитивную подгруппу группы   по сложению.

г) Для той же задачи с групповой операцией – операцией умножения вопрос  о   подгруппе  5  не   возникает,   ибо   множество    не   является  мультипликативной группой (элемент 0 обратного элемента не имеет).

Задача 2. Является ли подгруппа по сложению  5 нормальным делителем  ? Построить левые и правые смежные классы 5 в .

Решение.  Ответ   на  вопрос   задачи   очень   прост:   в   силу   коммутативности  операции сложения в группе левые и правые смежные классы совпадают и,  следовательно, подгруппа 5 является нормальным делителем группы  . А  с построением смежных классов дело обстоит не так тривиально.

     Подгруппа 5 состоит из элементов вида  z = 5k, k :

Построим   правые   смежные   классы   группы    по   подгруппе  5.   Для  построения   смежного   класса   n 5,   где   n,  надо   ко   всем   элементам  подгруппы  5 прибавить  n. Тогда:

5= 5 = 4.5  Таким   образом,   смежные   классы   1, 5, 3, 5   –   это   множества   целых  чисел, которые при делении на 5 дают положительный остаток 1, 2, 3 или 4  соответственно.   Теперь заметим, что:

5 = 5.

Следовательно,   n 5      5 =n5=5.   Что,   впрочем,   ясно   не   только   из  непосредственного счета, но и из свойств смежных классов. Далее укажем,  что:

Итак, обнаружено что различных смежных классов группы  по подгруппе  5 всего пять:  5 =5,  1,  5,  3,  5. При этом эти смежные классы не  имеют общих элементов, что также подтверждается свойствами смежных  классов.

Как   отмечалось,   в   силу   коммутативности   групповой   операции   левые  смежные классы 5 n  совпадают с соответствующими  правыми смежными  классами   n 5,   и,   следовательно,   подгруппа  5  является   нормальным  делителем группы  .

  Задача   3.  Построить   фактор­группу   для   аддитивной   группы    по  нормальному делителю 5.

Решение. Рассмотрим множество смежных классов группы  по подгруппе  Введем   на   множестве  G   групповую   операцию,   определяемую   таблицей  Кэли:

Приведенная   таблица   Кэли   построена   следующим   образом:  чтобы   найти  результат операции  5 5 ( m, n = 0,1, 2, 3,4 )  следует найти сумму  m + n   и положительный остаток   s   от деления этой суммы на 5. Тогда    При этом элемент  5 = 5  является элементом нейтральным по введенной  операции, а элементы  5  и  5k, где  k = 1, 2, 3, 4  – взаимно обратными.

Множество  G   с   так   введенной   групповой   операцией   образует   группу  (конечную и абелеву). Это и есть фактор­группа группы   по подгруппе  Задача 4. Доказать, что группа комплексных чисел по сложению и группа  параллельных переносов по умножению изоморфны.

Решение. Множество комплексных чисел  по сложению образует абелеву  группу.  Пусть   Pa   –   оператор   параллельного   переноса   на   вектор   a.   Операция  умножения   параллельных   переносов   вводится   как   последовательное  применение   операторов   переноса:   Pa Pb Pa +br.   Множество   всех  операторов параллельного переноса   VP  со стандартно введенной операцией  умножения операторов также является абелевой группой.  Взаимно однозначное соответствие между элементами    и   VP   установим  нейтральному элементу одной группы соответствует нейтральный элемент  другой группы:

Кроме того, если  z1 Pz1  и  z2 Pz2, то:  с одной стороны –  z1 + z2 Pz1 Pz2 = Pz1 + z2 ;

с другой стороны –  z1 + z2 Pz1 + z2.

Эти соотношения показывают, что образ суммы совпадает с произведением  образов.   Это   и   есть   изоморфизм   аддитивной   группы    и  мультипликативной группы VP.

Задача 5.  Найти с точностью до изоморфизма фактор­группу   G / H, если  G   –   группа   ненулевых   комплексных   чисел   по   умножению,   H   –   группа  комплексных чисел по модулю равных единице, по умножению.

Решение.  Прежде   всего,   отметим,   что   H   есть   подгруппа   группы  G   и,  кроме   того,   в   силу   коммутативности   групповой   операции,   является  нормальным делителем группы. Для того чтобы построить фактор­группу  G / H   необходимо,   прежде   всего,   найти   смежные   классы   группы  G   по  подгруппе  H.

Геометрическим   местом   точек   на   плоскости,   которые   соответствуют  комплексным   числам   с   модулем   равным   единице   (подгруппа   H   ),   есть  окружность   единичного   радиуса   с   центром   в   начале   координат.   И   еще  вспомним, что при умножении комплексных чисел аргументы комплексных  чисел   суммируются,   а   модули   –   перемножаются.   Тогда   при   построении  смежного класса  z0 H  все элементы  H  умножатся на  z0  и, следовательно:

а) произойдет поворот окружности вокруг начала координат на угол  arg z0   (окружность при этом повороте перейдет в ту же окружность) и б) умножение ее радиуса на величину  z0.  В результате смежным классом  z0 H  будет множество комплексных чисел,  лежащих на окружности  радиуса   z0  с центром в начале координат.

Таким образом, множество смежных классов группы  G   по подгруппе   H   есть   множество   концентрических   окружностей   с   центром   в   начале  координат и ненулевого радиуса. Обозначим смежные классы:  H r =r0, где  r  –  радиус соответствующей окружности.

Групповую операцию определим следующим образом:  H r =r1 H r =r2 = H r =r1 r2.

Нейтральным   элементом   по   этой   операции   является   сама   подгруппа  H = H r =1,   а   элементы   H r =r0   и   H r =1/ r0   являются  взаимно   обратными   по  введенной операции.

Множество   всех   смежных   классов     H r =r0   (r0 +)   с   так   введенной  операцией  и есть фактор­группа  G / H.

  Если каждому смежному классу   H r = r0 (r0 +) поставить в соответствие  вещественное положительное число  r0 +, а групповой операции  в  G / H  –  операцию   умножения   в  +,  то   нетрудно   убедиться   (как   в   предыдущей  задаче)   в   том,   что   факторгруппа   G / H   изоморфна   мультипликативной  группе +.

произведение независимых циклов.

Решение.   а)  При   последовательном   применении   данной   перестановки  элемент   1   переходит   в   5,   а   затем   элемент   5   переходит   в   1  ( 1 5 1).  Следовательно,      после   двукратного   применения   элементы   1  и   5   займут  исходные места. Это явление носит название независимого цикла длины два  в заданной перестановке и обозначается (1, 5).  б) В исходной перестановке нетрудно заметить еще два независимых цикла.  Один – длины три  (3, 9, 7), а другой – длины четыре (2, 8, 6, 4).

в) Полученные результаты можно записать следующим образом:

Такая   запись   называется   разложением   перестановки   в   произведение  независимых циклов.

г)  Отметим одно полезное следствие из полученного результата. Число 12  является наименьшим общим кратным длин циклов 2, 3 и 4, поэтому:

                1 2 3 4 5 6 7 8 9  =  5 8 9 2 1 4 3 6 7.

Возведение   перестановки   в   любую   степень,   кратную   12,   не   изменяет  перестановку.   Этот   факт   упрощает   возведение   перестановки   в  произвольную степень.

§ 4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Образуют ли мультипликативные группы следующие множества:

а) множество всех вещественных чисел;

б) множество всех ненулевых вещественных чисел;

в) множество всех положительных вещественных чисел;

г) множество всех отрицательных вещественных чисел;

д) множество всех положительных рациональных чисел;

е) множество всех целых положительных чисел;

ж) множество всех ненулевых комплексных чисел;

з) множество всех комплексных чисел;

и) множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1;  к) множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел;  л) множество, состоящее из двух элементов 1 и –1;  м) комплексных корней п­й степени из 1 (n).      а) нет;  б) да;  в) да;  г) нет;  д) да;  е) нет;  ж) да;  з) нет;  и) да;  к) нет;  л) да;  м) да  2. Образуют ли аддитивные группы  следующие множества:

а) множество всех действительных чисел;

б) множество всех положительных действительных чисел;

в) множество всех неотрицательных действительных чисел;

г) множество всех рациональных чисел;

д) множество всех целых чисел;

е) множество всех целых положительных чисел;

ж) множество всех четных чисел;

з) множество всех нечетных чисел;

и) множество всех чисел, делящихся на 3 нацело;  к) множество всех комплексных чисел;  л) множество всех чисто мнимых комплексных чисел;  м) множество, состоящее из одного числа 0.      а) да;  б) нет;  в) нет;  г) да;  д) да;  е) нет;  ж) да;  з) нет;  и) да;  к) да;  л) да;  м) да    3. Образует ли группу множество:

а) всех векторов плоскости относительно операции сложения;

б) всех векторов пространства относительно операции сложения;

в)   всех   векторов   пространства   относительно   операции   векторного  про­ изведения;

г) всех ненулевых векторов пространства относительно операции век­ торного произведения.

    а) да;     б) да;        в) нет;    г) нет      4.  Образует ли группу относительно операции умножения данное множе­ ство преобразований плоскости:

а) множество всех параллельных переносов;

б)   множество   всех   параллельных   переносов   плоскости   на   векторы,  коллинеарные данному;

в) множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы;

г)   множество   всех   параллельных   переносов   на   векторы   с   началом   в  фиксированной точке А и концами которые лежат на данной прямой l;

д) множество всех поворотов плоскости;

е) множество всех поворотов плоскости вокруг фиксированной точки;

ж)   множество   всех   ортогональных   преобразований   линейного  пространства;

з)   множество   всех   ортогональных   преобразований   линейного  пространства с положительным определителем;

и)   множество   всех   ортогональных   преобразований   линейного  пространства с отрицательным определителем;

к)  множество,  состоящее  из  двух преобразований:  тождественного и  симметрии относительно данной прямой.

      а) да;  б) да; в) нет; г) да, если Аl; нет, если Al; д) нет; е) да; ж) да; з) да; и) нет; к) да  5.  Образует ли группу относительно операции умножения множество пре­ образований плоскости, заданных формулами:

в) х* = х,   у* = у,  > 0; г)  х* = х,   у* = у,   0 по умножению;

е) группа действительных чисел по сложению и группа положительных вещественных чисел по умножению;

ж) группа целых чисел и группа четных чисел – обе по сложению;

з) группа вращения правильного n­угольника по умножению и группа комплексных корней п­й степени из единицы по умножению;

и) любые две группы, содержащие два элемента;

 к) любые две группы, содержащие три элемента.

9.  Показать,  что  существуют  только  две  различные (с  точностью  до  изо­ морфизма) группы, содержащие четыре элемента. Привести примеры для  обоих случаев.

  Группа поворотов плоскости вокруг центра квадрата, совмещающих этот квадрат с самим  собой (или изоморфная ей группа комплексных корней 4­й степени из 1 относительно операции  умножения);   группа   симметрии   ромба   состоящая   из   тождественного   преобразования   и  симметрии относительно диагоналей        10. Доказать, что следующие четыре группы изоморфны между собой:

1) группа целых чисел по сложению;

2) группа четных чисел по сложению;

3) группа целых чисел кратных данному натуральному п по сложению;

4) группа   степеней  с  целыми   показателями   данного   числа  а    0   по  умножению.

11. Доказать, что все бесконечные циклические группы изоморфны и все конечные циклические группы данного порядка изоморфны.

12. Доказать, что группа рациональных чисел по сложению не изоморфна группе положительных рациональных чисел по умножению.

13. Доказать, что следующие группы являются циклическими, и найти их образующие элементы:

а) группа всех целых чисел по сложению;

б) группа n целых чисел, кратных данному натуральному числу n по  сложению;

в) группа комплексных корней п­й степени из единицы по умножению;

г) группа вращений правильного n­угольника.

             а)  ±1;      б) ±п;         в) , где  1  k   п – 1,  k – взаимно просто с n;                  г)  повороты на   где k – взаимно просто с  n           Доказать, что все степени элемента а группы G образуют  подгруппу 14.

      {а} (циклическая группа с образующим элементом а).

15.  Найти все образующие элементы конечной циклической группы.

           Если а  – один из образующих элементов циклической группы порядка п, то ak будет              образующим элементом тогда и только тогда, когда к и п взаимно простые.    16. Показать, что:

а)   группа   всех   ортогональных   преобразований,  сохраняющих   данный  правильный  n­угольник   (называем   его   группой   симметрии),   содержит  2n  преобразований;

б) группа вращений правильного  n­угольник является ее нормальной  подгруппой.

  Указание: показать, что если а – поворот, b – осевая симметрия, то b–1аb – также поворот  17.  Пусть G группа порядка 2п, а Н –  подгруппа группы G порядка п.         Доказать, что Н – нормальная подгруппа.

18.   Доказать, что:

а) порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы (теорема Лагранжа);

б)  группа простого порядка – циклическая.

19.  Пусть Н – подгруппа группы G. Доказать, что:

а) два элемента а и b группы G тогда и только тогда принадлежат од­ ному левому смежному классу по подгруппе Н, когда а–1bН;

б) группа G является объединением попарно непересекающихся левых  (правых) смежных классов Н;

в)     между   любыми   двумя   смежными   классами   по  Н  существует  взаимно однозначное соответствие.

20. Пусть  G – группа  симметрий правильного треугольника, а Н – ее под­        группа,  состоящая  из тождественного преобразования и симметрии         относительно одной из высот треугольника. Проверить, что Н не явля­        ется нормальной подгруппой в G и найти разбиение группы G на левые  и  правые смежные классы по Н.

        Пусть а – поворот треугольника на           одной из высот. Тогда G = {е, а, а2 = а–1b,  аb, а–1b}, Н = {е, b}, b–1ab = a–1 левые классы           по Н: Н, аН = {a, ab}, a–1H = {а–1, a–1b}; правые смежные классы по Н: Н,            На = {a, ba = a–1b}, Ha–1 = {a–1, ab)   21. Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу G/H, если:

a) G – группа всех комплексных чисел по сложению; Н – группа всех  вещественных чисел по сложению;

б)  G  –  группа   ненулевых   комплексных   чисел   по   умножению;  Н   –  группа положительных вещественных чисел по умножению;

в)  G  –  группа   ненулевых   комплексных   чисел   по   умножению;  Н  –  группа комплексных чисел по модулю равных единице по умножению;

г) G – группа всех вещественных чисел по сложению; Н – группа целых чисел по сложению;  д)  G  =  Z  – группа целых чисел по сложению;  Н  =  nZ  –  группа чисел,  кратных натуральному числу п по сложению;  е)  G  –  группа   всех   ортогональных   операторов   с   положительным  определителем; Н – группа параллельных переносов.

          а) группа всех вещественных чисел по сложению; б), г), е) группа комплексных чисел по  модулю,   равных   1,   по   умножению;     в)   группа   положительных   вещественных   чисел   по   ум­ ножению; д) циклическая группа порядка n   22. Доказать, что  факторгруппа аддитивной  группы  векторов   n­мерного  про­               странства     по     подгруппе     векторов    k­мерного   подпространства  изоморфна         группе векторов (п – k)­мерного пространства.

23.  Пусть  G  –   группа   всех   движений   трехмерного   пространства,    Н   –   подгруппа               параллельных   переносов,   К –  подгруппа   вращений   около данной  точки О.        Показать, что Н является нормальным делителем группы G, а К – нет.  Далее         показать, что G/H изоморфна К.

24.  Доказать,   что   факторгруппа   аддитивной   группы   целых   чисел     по  подгруппе               чисел, кратных  п  >  0, изоморфна группе вращений правильного  n­  угольни­        ка около центра, совмещающих многоугольник с самим собой.

25.  Пусть  Сn  –  группа   корней  п­й  степени   из   1.   Сколько   существует  гомомор­          физмов групп:       а) С2 в С4;   б) С6 в С3; в) С5 в С5;   г) С3 в С5.            а) 3;   б) 3;  в) 4;   г) 1     26. Если Sn группа перестановок п­й степени, то найти:

а) все подгруппы в S3;    б) все нормальные подгруппы в S4.

                           б) помимо  е  и всей группы  S4  подгруппа четных перестановок (порядка 12) и не­ циклическая                    подгруппа Н из четырех элементов: е, ,, 27. Доказать,   что   все   четные   перестановки   образуют   нормальную  подгруппу Аn         в группе всех перестановок Sn  п­й степени, и найти ее порядок.

                                                n!/2       28. Доказать,   что   группа   четных   перестановок   4­й   степени   не   имеет  подгрупп           порядка 6 (т. е. теорема обратная теореме Лагранжа из задачи 18а –  неверна).

29. Следующие   подстановки   разложить   в   произведение   независимых  циклов.        Определить четность подстановки:

                                                     а) (1, 4, 2)(3, 5), нечетная; б) (1, 6, 3)(2, 5)(4), нечетная; в) (1, 8, 2)(3)(4, 6, 7)(5), четная;           г) (1,  5)(2,  8, 6,  4)(3,  9,  7), четная;   д) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), четная; е) (1, 4)(2, 5)(3,6),  31.     В     следующих   перестановках   перейти   от   записи   в   циклах   к   записи  двумя         строками:

а)  (1, 5)(2, 3, 4);       б) (1, 3)(2, 5)(4);      в) (7, 5, 3, 1)(2, 4, 6)(8)(9);

г)  (1, 2)(3, 4) ... (2n –1, 2n);    д)  (1, 2, 3, …, 2n –1,2n);

е) (3, 2, 1)(6, 5, 4) ... (3n,  3n –1, 2n –2).

    д)  32. Произвести действия с перестановками:

33.   Доказать,     что   среди   всех   степеней   перестановки,   равных   единице,  наимень­        ший  показатель  равен  наименьшему общему кратному длин циклов,  вхо­       дящих в разложение перестановки.

34. Возвести перестановки в степень:

3 5 4 6 9 7 1 10 8 2,  А  = ?                    а) A;      б) E        35. Найти X из равенства АХВ = С, если:

                                     X = 36. Найти все перестановки, коммутирующие с перестановками:

                  а)       а) Решение: Пусть  X  –  перестановка, коммутирующая с  S.  Тогда  SX  =  XS    X–1SX  =  S.  Разложим S  на циклы   S = (1, 2)(3, 4) = X–1(l, 2)XX–1(3, 4)Х.   Непосредственным   вычислением  убеждаемся, что   X–1(1,  2)Х   есть снова цикл длины 2, полученный из цикла  (1, 2)  заменой  чисел 1 и 2 теми, которые им соответствуют в подстановке X. Это же верно и для цикла (3, 4).  Таким образом, перестановка X должна переводить циклы из S в циклы той же длины, а в силу  единственности разложения  S  на циклы, циклы переходят либо каждый в себя, либо один в  другой. Так как каждый цикл длины 2 можно записать двумя способами  (1, 2) = (2, 1),  (3, 4)         

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ

   .  Два   базиса   {еi}   и  {еj}  называются   взаимными,   если  Def  Т°. Любой базис из Еn имеет единственный взаимный базис.

Т°.   Если   базис   ортонормирован,   то   он   совпадает   со   своим   взаимным  базисом.

Пусть {еi} и {еj} – взаимные базисы в Еn. Тогда:           хЕп      х = x1e1 + х2е2 + ... + хnen       и       х = x1e1 + х2е2 + ... + хnen.

Величины (x1, х2, ..., хп) называются ковариантными, а величины (x1, х2, ...,  хп) контравариантными координатами вектора х.  Соглашение.  Пусть имеется выражение, составленное из сомножите­ лей, которые снабжены индексами (т. е. каждый сомножитель имеет конеч­ ное   число   верхних   и   нижних   индексов).   При   этом   договоримся,   что   все  верхние   индексы   обозначаются   разными  символами  (аналогично  нижние).  Если   в   таком   выражении   встречаются   два   одинаковых   индекса   (один  верхний, а другой нижний), то считается,  что по такому индексу произво­ дится суммирование   от   1 до   п     {п  =  dimЕп). Такой индекс называется  «немым»,   потому   что   после   суммирования   этот   индекс   будет  отсутствовать.   Например:    xi ei = x1e1 + x2e 2 + x3e3 +... + xne n ;       ij = 1 + 2 + 3 + + n.

Используя   это   соглашение,   запишем   формулы   для   нахождения  ковариантных   и   контравариантных   координат   вектора    х,   называемые  формулами Гиббса:

                                  x = xi e = ( xei ) e ; x = x i ei = ( xe i ) ei.  Из  формул  Гиббса следует, что:   еj = (еjei)ei = gjiei,  еj = (еjei)ei = gjiei.       Здесь    gji  = (еjei);    gji  = (еjei).

  С помощью этих формул можно легко строить взаимные базисы. Важно  отметить, что при этом матрицы (gji) и (gji) – взаимообратные.

Для перехода от пары взаимных базисов {еi, ei} к другой паре взаимных  базисов   {еi,  ei }  достаточно   знать   матрицу   перехода   pii от   базиса   {еi}   к  базису {еi }. При этом:

а) базисные векторы преобразуются по формулам:        ii ii i i ii ;

   . Тензором А типа ( p, q )  называется объект, который:

1)   в   любом   базисе   {еi}   линейного   пространства  Vn  определяется  пp+q  координатами  Ai1i2 i p  (индексы принимают значения 1, 2, 3,..., n  каждый).

2) его координаты  Ai1i2 i p  в базисе {еi } связаны с координатами в базисе  (*) Здесь  ( Pi i )  – матрица перехода от старого базиса к  новому  (еi  еi ),  а  ( Pi i )   –  матрица   обратного   перехода.       Число  r  =  p  +  q   называется  рангом  тензора.

       Примеры тензоров: скаляр – тензор нулевого ранга; вектор –  тензор  первого ранга типа (1, 0) или (0, 1) в зависимости от выбора базиса; матрица  билинейной формы представляет тензор второго ранга типа (2, 0); матрица  линейного оператора представляет тензор второго ранга типа (1, 1).

      Операции над тензорами.

1. Умножение   тензора   на   число,   сложение   и   вычитание   тензоров   для  тензоров одинакового типа выполняются покоординатно.

2. Умножение тензоров. Для тензоров  Ai1i2 i p  и  Be112 er s   произведение 3. Свертка тензора по паре индексов (один индекс верхний, один нижний).  Для тензоров, у которых p   0, q   0, свертка по верхнему индексу  ks  и  нижнему   индексу   il   производится   по   правилу:   Ai1i12K il Ksi p q kl s.    Свертка  переводит тензор типа (р, q) в тензор типа (р – 1, q – 1).

4. Симметрирование   по   паре   нижних   индексов  im  и  in  производится                                Ai1i12K imK inK i p Полученный тензор будет симметрическим по указанной паре индексов.

Аналогично производится симметрирование по паре верхних индексов.

5. Альтернирование   по   паре   нижних   индексов   im  и  in :                       Ai1i12K imK inK i p дает   тензор   кососиметричный   по   указанной   паре   индексов.   Аналогично  определяется альтернирование по паре верхних индексов.

ортонормированный базис {еi} совпадает со своим взаимным {еi}, т. е. еi =  ei,  и тогда   xi = хi   т. е. верхние и нижние индексы эквивалентны.

Формула   Гиббса   для   нахождения   координат   вектора  х  в  ортонормированном базисе {еi}:   х = хiеi = (хеi)еi.

При   переходе   от   ортонормированного   базиса   {еi}   к  ортонормированному   базису  {еi }  базисные   векторы   преобразуются   по  формулам:

где  (pi i) –  матрица перехода от {еi} к   {еi },  а  (pii )  – матрица обратного  перехода.

Для   не  базисных  векторов:  xi     =  pi ixi;    и     xi    =  pii xi  ,    т.  е.  те же  формулы, что и для базисных векторов.

При   ортогональных   преобразованиях   матрица   перехода   от   одного  базиса к другому является ортогональной,  т. е.  Р–1 = РТ или  РРТ = РТР = Е.

В   силу   этого,   при   ортогональных   преобразованиях   все   координаты  будут ковариантные и все индексы нижние.

   . Аффинным ортогональным тензором А ранга r называется объект,  который:

1) в каждом ортонормированном базисе {еi} евклидового пространства   Еn  определяется пr координатами  Ai1i2K ir  (индексы принимают значения 1, 2, …,  п каждый);

2) при переходе от одного ортонормированного базиса {еi} к другому ортонормированному базису {еi } eгo координаты изменяются по правилу:

                                           Ai1K ir = pi11 pi2i2 K pirir Ai1i2K ir, ( )  –  матрица перехода от {е } базиса к базису {е }.

Операции   над   аффинными   тензорами  производятся   аналогично  операциям   над   тензорами   общего   типа.   Отношение   равенства   тензоров,  сложение и вычитание тензоров, умножение тензора на число определяются  как   операции   покоординатного   равенства,   сложения,   вычитания   и  умножения на число в некотором базисе.

Умножение и свертка тензоров производится, как и в случае тензоров  общего вида, но при свертке отмечается не один верхний и один нижний  индексы а, естественно, два нижних. Свертка тензора  Ai1K ik K imK ir  по индексам  ik и im – это, фактически, умножение на  ik im :  Ai1K ik K imK ir ik im.

Комбинация  операции умножения тензоров с последующей  сверткой  по паре индексов называется скалярным или внутренним произведением  тензоров.

Имеют место и операции симметрирования и альтернирования тензо­ ров.

   .  Псевдотензор – это величина, координаты которой при ортогональных  Def  преобразованиях преобразуются по закону:

где  = det P (Для ортогональных преобразований det P = ±1). При этом:  1°. Сумма двух псевдотензоров –   псевдотензор;

2°. Произведение двух псевдотензоров – тензор;

3°. Произведение тензора и псевдотензора – псевдотензор;

4°. Свертка псевдотензора – псевдотензор.

Рассмотрев величины  ikl   =  (еi еk)еl,   где   еi  еk,  еl  – орты ортогональной,  правой системы координат в Е3, получим, что: 123  = 231   = 312   = 1; 213   = 132  = 321  = – 1, а остальные ikl   равны нулю.

        Величины  ikl   образуют   абсолютно   антисимметричный   псевдотензор  третьего ранга. Он называется алгебраическим символом Леви­Чивита.  Для символа Леви­Чивита:

С   помощью   тензора  ik  (символ   Кронекера)   и   псевдотензора  ikl  (символ  Леви–Чивита) операции скалярного и векторного произведения векторов  a      .  Тензорным   полем   ранга  r  называется   совокупность  3r  функций  Ti1i2 ir ( x1, x2, x3 ),  которые   в   любой   точке   пространства   образуют   тензор  ранга r.

1°.    Если   Ti1i2 ir ( r )   –  тензорное   поле   ранга  r,  то   величины  Ti1i2 K ir ( x1, x2, x3 ) градиентом тензорного поля  Ti1i2 ir.

2°.  Для   тензорного   поля   ранга   r   можно построить   r     тензорных  полей (r – 1)­го ранга «типа дивергенции» в зависимости от того, какой из  индексов исходного поля сворачивается с индексом дифференцирования:

3°.  Для тензорного поля ранга  r  можно получить  r  различных тензор­ ных полей ранга r «типа ротор»:

Схематически операции градиента, дивергенции и ротора тензорного  поля можно записать так:

( gradT ) i = i1i2 ir ;    ( divTi ) = k i = i ;    ( rotTK lK ) i = ikl TK iK.

Известные   формулы   математического     анализа:     формула   Стокса   и  формула Гаусса­Остроградского в записи для тензорных полей имеют вид:  K iiK dV = K iK dSi =K iK ni dS (справа и слева «немой» индекс должен быть один и тот же);  формула «типа Стокса»:  ikl xk dSi = TK iK dli.

12. Дайте определение взаимных базисов.

13. Какое соглашение о суммировании принимается в тензорной алгебре?

14. Запишите формулы Гиббса.

15. Как   вычислить   элементы   матрицы,   которая   определяет   связь   между  базисными векторами взаимных базисов?

Сколько   матриц   перехода   необходимо   знать,   чтобы   полностью  16.

определить   прямой   и   обратный   переходы   для   взаимных   базисов   при  преобразовании координат? Как вычисляются элементы этих матриц?

17. Дайте   определение   ковариантных   и   контравариантных   координат  вектора.

18. Дайте определение тензора.

19. Можно   ли   два   тензора   перемножить   и   что   является   результатом  умножения тензоров?

20.  Какой базис является взаимным к ортонормированному?

21.  Как и почему записываются ковариантные и контравариантные индексы  тензоров при работе в ортонормированных базисах?

22.   Сколько   независимых   координат   имеет   симметричный   тензор   2­го  ранга в трёхмерном евклидовом пространстве?

23.  Сколько независимых координат имеет антисимметричный тензор 2­го  ранга в трёхмерном евклидовом пространстве?

24.  Приведите примеры псевдотензоров.

25.  Что такое алгебраический символ Леви–Чивита?

26.   Сколько   компонент   имеет   алгебраический   символ   Леви–Чивита   и  сколько из них отличны от 0?

27.  Чему равна величина  ii  в n­мерном евклидовом пространстве?

28.   Как изменяют ранг тензорного поля операции нахождения градиента,  дивергенции, ротора и лапласиана тензора? Лапласиан тензора  Ti1i2i3...ik...in   определяется следующим образом:  Ti1i2i3...ik...in.

 Сколько различных операций типа «градиент», «дивергенция», «ротор»  29.

и «лапласиан» можно выполнить над тензорным полем ранга r?

  Как записать формулу Остроградского – Гаусса в тензорной форме?  30.

Сколько таких формул можно записать для тензора ранга r?    Как   записать   формулу   Стокса   в   тензорной   форме?     Сколько   таких  31.

формул можно записать для тензора ранга r?

Задача 1. Найти базис, взаимный к базису  Решение.  Запишем   формулы,   которыми   связаны   базисные   векторы   двух  взаимных базисов {ei }3=1  и {ei }3=1 :

                             ei = (ei, e j )e gij e,          e = (e, e )e j g e j         Сначала   определим,   какой   из   этих   формул   проще   воспользоваться.  Поскольку у нас заданы базисные векторы  {ei }1, то удобнее воспользоваться  первой из формул и определить элементы матрицы  ( gij ) :

Решаем матричное уравнение (1) относительно  {ei }1 :            e j = g ij 1ei, и находим матрицу, обратную к матрице  Gн :

Тогда уравнение (2) следует понимать как Отсюда:                        e1 = 1 1 + 0 = { 1, 0, 0},                        e2 = 1 + 2 1 = { 1,1, 0},    e3 = 0 1 + 2 = { 0, 1,1}.

Задача 2. Пусть вектор x в некотором базисе имеет координаты  x = (5, 2, 1). Базисные векторы двух взаимных базисов   {ei }i3=1   и  {ei }3=1   в том же базисе  i имеют координаты:

e1 = (1,1,1), e2 = (0,1,1), e3 = (0, 0,1),  e1 = (1, 0, 0), e 2 = ( 1,1, 0), e3 = (0, 1,1).

Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора  x  в базисах  {ei }i3=1  и {ei }3=1.

Решение. Запишем формулы Гиббса для вектора x:

где   xi   ковариантные   координаты   вектора  x  и   x i   контравариантные  Таким   образом,   для   вектора  x  найдены   ковариантные   x = (8, 3,1)   и  контравариантные  x = (5, 3, 1)  координаты.

Задача   3.  Пусть   в   евклидовом   пространстве  E3  заданы   два   базиса:  e1' = (1,1, 0), e2 ' = (1, 0,1), e3' = (0,1,1).   Построить   матрицы   перехода  {ei }1 {ei '}1  и  {ei '}1 {ei }1  и найти взаимные базисы  {ei }1  и  {ei '}1.

Решение. Запишем формулы, задающие связь между базисными векторами  старых и новых базисов:

На самом деле все четыре перехода однозначно задаются с помощью одной  матрицы, поскольку матрицы   bii '   и   bii'   взаимообратные. Сами же матрицы  перехода вычисляются по формулам:

Тогда   формулы   (1)   можно   рассматривать   как   умножение   матриц,  выполненное согласно правилу умножения матриц:  Итак, чтобы определить  bii '  или  bii'  из (2), необходимо знать, соответственно,  {ei '}1  или  {ei }1, однако у нас заданы только  {ei }1  и  {ei ' }1.  Способ 1. Тогда  bii '  можно определить из первого уравнения в (3), которое  следует понимать как откуда Таким   образом,   мы   получили   три   неоднородных   системы   линейных  уравнений   относительно   неизвестных   bii '.   Матрицы   всех   трёх   систем  совпадают и состоят из координат базисных векторов   {ei ' }1, записанных в  столбцы, а столбцы правой части задаются координатами соответствующих  векторов   {ei }1.   Все   три   системы   уравнений   могут   быть   записаны   одним  матричным уравнением:

Решая матричное уравнение (4), находим матрицу  bii ' :

Поскольку матрицы  bii '  и  bii'  взаимообратные, то Осталось найти базисы   {ei }1   и   {ei '}1. Для нахождения базиса   {ei }1    можно  воспользоваться   второй   формулой   из   (2).   Ее   следует   понимать   как  произведение   матрицы,   в   которой   строчками   записаны   координаты  векторов   {ei }1,   на   матрицу,   в   которой   столбцами   записаны   координаты  векторов {ei ' }1 :

Решая матричное уравнение, находим:

Следовательно,  e1 = (1, 0, 0), e 2 = (1, 1, 0), e3 = (0, 1, 1).

И, наконец, с помощью четвёртого уравнения в (3) находим  {ei '}1 : Способ 2. В задаче 1 мы уже определили базис  {ei }1, взаимный базису  {ei }1 :

Тогда  Матрица  bii '  обратна к матрице  bii' :      bii ' = 0 1 1 = 1 / 2 0 1 / 2.

Осталось только найти базис  {e }1, что можно сделать точно так же, как и в  способе 1.

Задача 4.  Вектор  х  в некотором базисе имеет координаты (5, 2, 1). Как  было показано в задаче 2, ковариантные и контравариантные координаты  этого   вектора   в   базисах   { e1 = ( 1, 1, 1), e2 = ( 0, 1, 1), e3 = ( 0, 0, 1) }     и  { e = ( 1, 0, 0 ), e = ( 1,1, 0 ), e = ( 0, 1,1) }  равны, соответственно, (8, 3, 1) и  (5, –3, –1).

Решение.  В   задаче   3   мы   уже   вычисляли   матрицы   прямого   и   обратного  перехода   при   преобразовании   от   базисов  {ei },{ei }   к   базисам  {ei '},{ei '}.  Воспользуемся полученными там результатами:

        Вспоминаем,   что   ковариантные   координаты   вектора   преобразуются  «согласованно» с базисными векторами, т. е.   xi ' = bii' xi, а контравариантные  координаты вектора – «несогласованно», то есть   x i ' = bii ' xi. Последние два  уравнения   можно   рассматривать   как   матричные,   вспоминая,   что   в  определении матриц   bii '   и   bii'   верхний индекс задаёт номер строки. Тогда  вектор­строку  xi  следует умножать на матрицу  bii'  слева, а вектор­столбец  x i  – на матрицу  bi  справа:

То есть  xi ' = (7, 6, 3)  и  x i ' = (3, 2, 1).

Задача 5. Даны два ортонормированных базиса:

                и    1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 1), e3 = (0, 1, 1) Найти матрицу перехода {ei } {ei' }.

Решение.   Способ   1.  Матрицу   перехода   из   базиса   {ei }   в   базис   {ei' }   (обозначим  Pee' ) можно посчитать через матрицы перехода из базиса  {ei }  в  стандартный базис (обозначим   Pe s ) и из стандартного базиса в базис   {ei' }   (обозначим  Ps e ' ):

Из условия сразу записываем:

Тогда  Задача   6.  Показать,   что   произведение   скаляра   на   тензор   2­го   ранга  является тензором 2­го ранга.

Решение.  Пусть    произвольный скаляр (тензор нулевого ранга), а  Tik    произвольный   тензор   второго   ранга.   Из   определения   тензора  соответствующего ранга величины     и   Tik   при переходе от базиса   { ei } 1   к  базису   { e 'i } 1   преобразуются   по   законам   ' =   и   Ti ' j ' = Pii ' Pjj 'Tij,   где   Pii '   матрица   перехода   из   базиса   { ei } 1   в   базис { e 'i } 1.   Посмотрим,   как  преобразуется   при   переходе   из   базиса   { ei } 1   в   базис   { e 'i } 1   величина  V,  которая является произведением величин   и  Tik :  Величина V, которая преобразуется по закону V ' = Pii ' Pjj 'V, по определению  является тензором 2­го ранга.

Задача   7.  Компоненты   тензора   2­го   ранга   Tik   в   некотором  ортонормированном базисе образуют матрицу  2 5 8, и в том же базисе  вектор   Bi   имеет   координаты   (1,   2,   3).   Разложить   тензор   Tik   в   сумму  симметричного  Sik  и антисимметричного  Aik  тензоров. Найти  Tik Bi  и  Tik Bi Bk Решение.  Компоненты симметричного и антисимметричного тензоров 2­го  ранга   будут   задаваться,   соответственно,   симметрической   и  кососимметрической   матрицами,   полученными   в   результате   разложения  матрицы  Tik :

Теперь определим величины  Tik Bi  и  Tik Bi Bk.

Способ 1.  Результатом произведения   Tik Bi  будет тензор первого ранга   Ck,  который в трёхмерном пространстве будет задаваться тремя числами:

Тогда величина  Tik Bi Bk  равняется  Ck Bk :

Способ 2.  Поскольку всякий тензор 2­го ранга можно рассматривать как  матрицу некоторого линейного оператора, а всякий тензор 1­го ранга как  координаты некоторого вектора, будем рассматривать произведение   Tik Bi   как   произведение   матриц,   которое   должно   выполняться   по   правилу  умножения матриц «строка на столбец». То есть:

Задача 8. Пользуясь аппаратом тензорной алгебры, проверить тождество:

Решение.  Переходим   к   тензорной   записи   выражения   (скобками   для  удобства   выделены   компоненты   векторного   произведения   и   скалярное  произведение векторов):

Задача 9. Пользуясь аппаратом тензорного анализа, вычислить  div r, где  r  радиус­вектор.

Решение. Тензорное поле задается в трехмерном пространстве, поэтому:

                                           div r = ij x j = ij ij = ii = 3.

Задача 10. Пользуясь аппаратом тензорного анализа, проверить тождество:

Решение. Используя тензорную форму записи дифференциальных операций  первого порядка над тензорными полями, получаем:

вектор,  a  и  b  постоянные векторы.

Решение.  Используя   тензорную   форму   записи   операций   дивергенции   и  ротора, получаем:

Задача 12. Вычислить интеграл  n   –   единичный   вектор   внешней   нормали   к   поверхности  S,  которая  ограничивает объем V.

Решение.  Интеграл   по   замкнутой   поверхности  связан   с   интегралом   по  объему, ею ограниченному, с помощью формулы Гаусса – Остроградского:                                      В   приведенной   формуле   в   левой   части   стоит   поверхностный   интеграл  второго   рода   по   замкнутой   поверхности,   посредине   –   равный   ему  поверхностный интеграл первого рода по той же поверхности и, наконец, в  правой части – интеграл по объему, ограниченному данной поверхностью.  Однако применить эту формулу непосредственно не удается, ибо интеграл  r ( a n ) dS  не является ни поверхностным интегралом первого рода (под  знаком интеграла должна стоять скалярная функция и скалярный   dS ), ни  поверхностным   интегралом   второго   рода   (под   знаком   интеграла   должна  стоять   векторная   функция   и   векторный   dS ).   У   нас   же,   под   знаком  интеграла стоит векторная функция и скалярный  dS.

Чтобы   устранить   эту   неприятность,   найдем     c a ) dS,   где   c   –  произвольный постоянный вектор. Тогда:

Полученный   интеграл   –   поверхностный   интеграл   второго   рода   и   к   нему  может быть применена формула гаусса – Остроградского:

                                   Для нахождения  div( c ) a  воспользуемся тензорной формой записи:

Используя полученный результат, имеем:

      Следовательно:     a ) dS =  ( c ).   Учитывая   что   c   –  произвольный постоянный вектор, делаем вывод:  r ( a ) dS = aV.

§ 4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Для данного базиса  е1,  е2,  ...,  еп  арифметического пространства со  стандартным скалярным произведением найти взаимный базис е1, е2,  а) (1, 0), (100, 1);        б) (1, 0), (0, 3);         в) (1, 3), (1, 5);  г) (1, 0, 0), (3, 1, 0), (–2, –5, 1);         д) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9);

е) (1, 0,  ), (, 1, 0), (0, , 1);       ж) (1, 0, i), (1, i, 0), (0, 1, 1+i);

з) (1, 0, 0, 0), (–1, 1, 0, 0), (1, –1, 1, 0), (–1, 1, –1, 1);

и) (–2, 1, 1, 1), (1, –2, 1, 1), (1, 1, –2,1), (1,1,1, –2).

    а) (1, –100), (0, 1); б) (0,   3 ), (0, 3); в)  2 (5, 1),  2 (3, 1); г) (1, –3, –13), (0, 1, 5),(0, 0, 1);        д) (3, –3, 1),  (–5, 8, –3),   (1, –2, 1); е) a(1, –10–1, 10–2), а(10–2, 1, 10–1), a(–10–1, 10–2, 1), где     a = (1 + 10–3)–1; ж)   (3 – i, –1–3i, –1+2i),  (2+i, 1+3i, 1–2i),  (1–2i, 2+i, 2+i); з) (1, 1, 0, 0),      (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1); и)  (0, 1, 1, 1),   (1, 0, 1, 1),  (1, 1, 0, 1),  (1, 1, 1, 0)      В   арифметическом   пространстве   со   стандартным   скалярным  произведением   построить   взаимную   систему   векторов   и  принадлежащую их линейной оболочке:

а) (1, –3, 2), (1, –1, 0);             б) (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0);   в) (1, 1, 0, 1), (1, 0, –1, 0), (0, 0, –1, 1).

     а)  6 (–1, –1, 2),  6 (5, –1, –4); б) (0, 0, 0, 1),  3 (1, 1, 1, –3);  в)  (2, 3, 2, 2),   (4, –1, –3, –3);  (–3, –1, –3, 4)            В   евклидовом   пространстве   полиномов   степени   не   выше   трех   со       произведением  ( f, g ) = f ( t ) g ( t )dt :

            а)     построить   систему   векторов,   взаимную   системе  1,  t,  t2  и  принадлежащую  линейной оболочке этих векторов;

     б) построить базис пространства, взаимный базису 1, t,  t2,  t3.

        а)  8 (3 – 5t2),  2 t, (1 – 3t2); б)  (3 – 5t2),  t,  (5t – 7t2),  (1 – 3t2),  (3t – 5t3)  В   некотором  ортонормированном   базисе   заданы  координаты   двух  взаимных базисов: е1(1, 0, 0, 0),  е2(–1, 1, 0, 0), е3(1, –1, 1, 0), е4(–1, 1,  –1, 1) и е1(1, 1, 0, 0), е2(0, 1, 1, 0), е3(0, 0, 1, 1), е4(0, 0, 0, 1).  Найти  ковариантные и контравариантные координаты вектора  х  в базисе  {еi, ei}, если вектор х задан своими координатами в том же базисе, в  котором заданы координаты векторов еi и ei    а) х = (2, 3, 5, 1);     б) х = (1, 2, 0, –1);      в) х = (3, 2, 7, 0);      г) х = (1, 0, 1,  0).

        а)   (2, 1, 4, –3), (5, 8, 6, 1);     б) (1, 3, –1, 0),  (3, 2, –1, –1);   в) (3, –1, 8, –8), (5, 9, 7, 0);              г)   (1, –1, 2, –2),  (1, 1, 1, 0)      В   некотором   ортонормированном   базисе   заданы   координаты  базиса {еi}: е1(1, 1, 1), e2(1, 2, 3), е3(1, 4, 9). Вектор  х задан своими  координатами в том же базисе, в котором заданы векторы ei. Найти  ковариантные и контравариантные координаты вектора  х  в базисе       а) (1, 0, 0);      б) (1, –1, 0);       в) (1, 0, 1);      г) (1, 1, 1).

   а)  (1, 1, 1),  (3,  2,  2 );   б) (0, –1, –3),  (6,  ,  );   в) (2, 4, 10), (4, –4, 1);  г) (3, 6, 14), (1, 0,  0)   В   некотором   ортонормированном   базисе   заданы   координаты  векторов базиса  {ei}:  е1(1, –3, –13),  е2(0, 1, 5),  е3(0, 0, 1). Вектор  х  задан   своими   координатами   в   том   же   базисе,   в   котором   заданы  векторы  ei.  Найти   ковариантные   и   контравариантные   координаты  вектора х в базисе {еi ei}:

     а) (1, 0, 0);       б) (1, –1, 0);        в) (1, 0, 1);      г) (1, 1, 1).

   а) (1, 3, –2), (1, 0, 0); б) (1, 2, 3), (4, –1, 3);  в) (1, 3, –1), (–12, 5, 1);   г) (1, 4, –6),  (–15, 6, 1)  22)  Показать, что произведение скаляра на тензор 2­го ранга является  тензором 2­го ранга.

23) Показать, что  произведение тензоров  2­го и 3­го рангов является       5­го ранга.

24) Показать,   что   величина  АiklВik,  где  Аikl  –  тензор   3­го   ранга,  Вik  –  тензор 2­го  ранга является вектором.

25)   Доказать   инвариантность   свойства   антисимметрии  антисимметричного тензора  2­го ранга Aik.

26)   Показать, что если  AiBkClTikl  –  скаляр при произвольных векторах  Аi, Вk, Cl, то Tikl – тензор 3­го ранга (признак тензорности величины  для тензора 3­го ранга).

27)  Компоненты тензора 2­го ранга  Tik  в некотором базисе трехмерного  пространства   представляют   собой   следующую   таблицу:  Tik = 4 5 6, а вектор  B  в том же базисе имеет координаты (1, 2,  ).   Разложить   тензор  Tik  в   сумму   симметричного  Sik  и  антисимметричного  Aik  тензоров.   Найти:  a)  TikВk;  TikВi;   TikВiВk;  б)  AikTik;  SkAik;  AikBi;  AikBiBk;  в)  Tikik;  Aikik;   Sikik.

15    13. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

14. Записать в векторной форме выражения:

     а) iklnpsimnakapbncs;    б) kmnntzmpsikapazbscz.

15. Пользуясь аппаратом  тензорного анализа и учитывая, что  r  –  радиус­ вектор и   a  – постоянный вектор, вычислить:

a) divr ;        б)  rotr ;      в)  grad( ar ) ;       г)   a.

                а)  3;    б)   0;   в)  a ;  г)   a        16. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

a) div ( a ) = diva + a grad ;        б) rot ( a ) = rota ( a grad) ;

(Здесь  – скалярное поле,   a,  b  – векторные поля).

17.   В предположении,  что    r   –  радиус­вектор,  а  a   и   b    –  постоянные  векторы, найти дивергенцию и ротор следующих векторов:

а)  ( a r )b ;      б)   ( a r )r ;       в)  ( a r ) ;      г)  r a b.

                а)   ( a b ), ( a b ) ;    б)    4( a r ), ( a r ) ;   в) 0,  2 a ;  г)  0, –2 ( a b )        18. Вычислить интеграл  c r a n dS, где  a  и  c  – постоянные векторы,         n  – орт нормали к поверхности S, которая ограничивает объем V.

19. Следующие   интегралы   по   замкнутой   поверхности   S   преобразовать   в  интегралы по объему V, заключенному внутри поверхности   S :

   а)  ( r ) dV ; б) 0; в) 0.

20. Пользуясь аппаратом тензорной алгебры, проверить тождества:

44)  Пользуясь аппаратом тензорного анализа, проверить тождества:

в)  rot(grad) = 0 ;   г)  div(rotA) = 0 ;    д)  rot(rotA) = grad(divA) A.

постоянные векторы).                         (a b )    Вычислить дивергенцию следующих векторных полей ( r  – радиус­ вектор,  c  – постоянный вектор,  (r )  – скалярное поле):

 Вычислить роторы следующих полей ( (r )  – скалярное поле,  G (r )   и  H (r )  – векторные поля):

 Упростить выражения и выполнить суммирование в  En :

а)  ijk kn ;            б)  ijk is jm ;           в)  ijk is jmkn ;

г)  aij in ;             д)  ij jn ;                е)  ij jnni.

  а)  ijn ;  б)  smk ;  в)  smn ; г)  anj ; д)  in ; е)   Упростить выражения и выполнить суммирование в  En :

а)  ii ;          б)  ij ij ;           в)  ijk Ai Aj Ak ;    г)  ijk ijk ;               а) 3;  б) 3;  в) 0; г)   Упростить выражения:

а)  ijk jik ;   б)  ijk jki.   в)  ijk jk ;     г)  Ai B j ji Bm Anmn.        а) ­6; б) 6 ; в) 0; г)    Для   векторов   A = (1, 1, 0)   и   B = (4, 3, 2)   вычислить   следующие  выражения и определить, что они собой представляют:

а)  Ci = ijk Aj Bk ;    б)  Ai Bi.      а)  C = (2, 2,1), б) 7  C = aij aij, если  i, j = 1,2.                         86     Без   подстановки   величин   для   i, l = 1, 2, 3   вычислить   все   девять                 а) 0;   б) 0   Пусть  a111 = 1 ;  a112 = 3 ;  a121 = 4 ;  a122 = 2 ;  a211 = 1;  a212 = 5 ;  a221 = 2 ;  a222 = 2. Вычислить величину  C = aijk aijk,  i, j, k = 1,2.     64  a1221 = 4,  a1222 = 2,  a2111 = 1,  a2112 = 0,  a2121 = 2,  a2122 = 1,  a2211 =,   a2212 = 1,   a2221 = 2,   a2222 = 2.   Вычислить   величину   C = aijkl aijkl,   Упростить выражения:

а)  ( Aijkl + Ajkli + Aklij + Alijk ) xi x j xk xl ;       б)  ( Pijk + Pjki + Pkij ) x x x ;

;                                                   г)  aij t ' s' r ' ami s ' t ' r '.

           а)  4 Aijkl x i x j x k x l   ; б)  3 Aijk x i x j x k   ; в)  ij   ; г) 0   

ЛИТЕРАТУРА

23.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

24.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970.

25.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1973.

26. Шилов   Г.Е.   Математический   анализ.   Конечномерные   линейные  пространства. – М.: Наука, 1969.

27.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.:  28. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в  вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2001.  29.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука,