С.А. Шунайлова, М.А. Корытова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Учебное пособие для студентов заочного отделения

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Правило умножения

Правило сложения

Сочетания

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

Классическое определение вероятности

Вероятности суммы и произведения событий

Формула полной вероятности

ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Формула Бернулли

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Формула Пуассона

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретные случайные величины

Непрерывные случайные величины

Дополнительная литература

1 x Значения функции ( x) = e

x x 1 e Значения функции ( x) = dx

2

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Пусть имеется n различных объектов произвольной природы. Выберем из них k объектов. Комбинаторика – это раздел математики, который изучает, сколькими способами можно осуществить этот выбор согласно заданным условиям.

Правило умножения Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то пару объектов А и В можно выбрать k1 k2 различными способами.

Другая интерпретация этого правила такова. Пусть первое действие можно совершить k различными способами, второе k2 различными способами. Тогда оба действия можно совершить k1 k2 различными способами.

Пример 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта B в пункт C – 6 дорог.

1) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт C?

2) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно?

3) Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Решение. 1) Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B – это 5 способов выполнения первого действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в пункт C – это 6 различных способов выполнения второго действия. Согласно правилу умножения, число различных способов выбора пути из пункта A в пункт C равно 56 = 30.

2) Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов проезда туда и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число всех способов проезда туда и обратно равно 55 = 25.

3) Рассуждаем аналогично пункту 2), но учитываем, что дороги туда и обратно не должны совпадать, т.е. при выборе одного из 5-ти способов проезда «туда» обратно можно вернуться одним из 4-х способов. Поэтому число различных способов проехать из пункта A в пункт B и вернуться обратно, но обязательно другой дорогой, равно 54 = 20.

Пример 2. В урне находятся 10 белых, 15 синих и 20 красных карточек. Вынимают три карточки и выкладывают их одну над другой. Сколькими различными способами можно это сделать, чтобы карточки расположились в порядке цветов российского флага?

Решение. В таких задачах предполагается, что все карточки различимы, например, перенумерованы. Тройку карточек можно образовать тремя действиями.

1-е действие. Возьмем одну красную карточку. Это действие можно совершить 20-ю способами (по числу различных красных карточек в урне).

2-е действие. К красной карточке добавим сверху синюю, которую можно взять 15-ю различными способами (по числу различных синих карточек в урне).

3-е действие. К выбранной паре присоединим сверху белую карточку, которую можно взять 10-ю различными способами (по числу белых карточек в урне).

Число различных способов выбора по правилу умножения равно 201510 = 3 000.

Пример 3. В меню ресторана 5 первых блюд, 10 вторых и 7 третьих. Сколько различных вариантов меню можно составить?

Решение. Первое блюдо можно выбрать пятью способами, второе – десятью, а третье – семью. Значит, общее количество способов составляет 5·10·7 = 350.

Правило сложения Если объект А можно выбрать k1 различными способами, а объект В – k2 различными способами, то выбрать один объект А или В можно k1 + k2 различными способами.

Пример 4. В ящике лежат 2 красных, 3 зелёных и 4 чёрных шара. Сколькими способами можно выбрать цветной шар?

Решение. Выбрать цветной шар – значит выбрать красный или зелёный шар. Количество способов равно 2 + 3 = 5.

Сочетания Пусть имеется множество из n различных объектов (элементов), они имеют или разные названия или разные номера. Пусть k n.

Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество, содержащее k элементов, взятых из данных n элементов без учета порядка выбора элементов. При этом подмножества различаются только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены, не имеет значения.

Число различных сочетаний из n элементов по k можно найти по формуле:

Замечание. n ! = 1 2... n (читается как «н факториал»).

При вычислении факториалов можно использовать свойства: Cn = Cnn = 1, Cn = Cn 1 = n, Cnk = Cn k.

Пример 5. Из группы в 25 человек нужно выделить 3 человека на дежурство. Сколькими различными способами это можно сделать?

Решение. Исходное множество различных объектов образуют студенты группы. Число всех элементов множества равно 25. Выделенные 3 человека дежурных образуют трехэлементное подмножество из общего числа в 25 элементов (n = 25, k = 3). При этом подмножество определяется только элементами, в него входящими, но не их порядком. Поэтому, по определению имеем сочетание из 25 элементов по 3, и по формуле число различных способов выбрать трех дежурных из 25 студентов равно Пример 6. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных шаров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найти:

1) сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров;

2) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 6 белых и черных;

3) сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди которых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара.

Решение. 1) Всего в урне 45 шаров. Считаем, что шары различимы, например, пронумерованы. Следовательно, имеем множество из n = 45 различных объектов. Наудачу взятые 9 шаров образуют подмножество из k = 9 элементов. Это подмножество определяется лишь элементами, попавшими в него, порядок не имеет значения. Следовательно, это сочетание из 45 элементов по 9:

2) Взятие 9-ти шаров, из которых 6 белых и 3 черных, можно разбить на два действия: первое действие – возьмем 6 белых шаров из 10 белых шаров, находящихся в урне (это можно сделать C10 различными способами); второе действие – возьмем 3 черных шара из общего числа черных шаров (это можно сделать C15 различными способами). Тогда число различных способов взятия 9-ти шаров нужного состава по правилу умножения равно 3) Чтобы получить 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 красных, надо последовательно выполнить три действия: а) взять 2 белых шара из общего числа 10 белых шаров; б) взять 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров; в) взять 4 красных шара из общего числа красных шаров. Число способов:

Пример 7. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берутся 5 деталей. Найти число различных способов взятия 5-ти деталей, среди которых ровно 3 бракованных.

Решение. Множество состоит из n = 50 различимых деталей, из которых 10 бракованных, 40 доброкачественных. Чтобы получить множество из 5-ти деталей, содержащих 3 доброкачественные, надо совершить последовательно 2 действия: а) взять три бракованные изделия из общего числа 10 бракованных деталей (это действие можно совершить C10 различными способами), б) взять две доброкачественные детали из 40 доброкачественных деталей (это действие можно совершить C40 различными способами). Тогда по правилу умножения оба действия можно совершить:

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

Пусть производится некоторая совокупность действий с неизвестным заранее результатом.

Такая совокупность в теории вероятностей называется экспериментом (опытом, испытанием).

Основным объектом, который изучает классическая теория вероятности, является так называемое случайное событие. Случайное событие – это любой из возможных результатов эксперимента. Числовая величина, характеризующая степень возможности наступления данного события, называется его вероятностью.

Например, эксперимент – бросание игрального кубика с шестью гранями. События:

А – выпадение «1» на верхней грани; В – выпадение чётного числа на верхней грани;

С – выпадение числа, делящегося на 3; D – выпадение числа, большего 10;

Е – выпадение числа, меньшего 10.

Событие D не может произойти ни при какой реализации эксперимента. Оно называется невозможным. Событие Е напротив происходит при любой реализации эксперимента. Оно называется достоверным.

Если можно пересчитать все возможные исходы проводимого опыта (элементарные исходы, элементарные события) и если ни один из этих исходов не имеет приоритета по сравнению с другими (то есть при большом количестве опытов все исходы наблюдаются с одинаковой частотой), то говорят, что имеет место схема случаев.

Пусть n – число возможных исходов данного опыта, а m – число его исходов, при которых происходит некоторое событие A (назовем такие исходы благоприятными событию A ). Тогда вероятность события A определяется как отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов: P( A) =.

Вероятность события обладает следующими свойствами:

3. P( A) = 1 A – достоверное событие.

Пример 8. Из колоды в 32 карты вынуто последовательно без возвращения 2 карты. Найти вероятность того, что обе они тузы.

Решение. Так как первую карту можно извлечь из колоды 32 способами, а вторую – (поскольку в колоде осталась 31 карта), то число возможных исходов опыта n = 32 31 = 992. Определим число благоприятных исходов. Первый туз можно выбрать из четырех, имеющихся в колоде, второй – из трех оставшихся. Значит, число благоприятных исходов m = 4 3 = 12, и искомая вероятность равна Пример 9. Из коробки, в которой лежат пять пирожных «эклер» и семь — «наполеон», достали пять пирожных. Найти вероятность того, что среди них два «эклера» и три «наполеона».

Решение. Количество возможных исходов опыта представляет собой число сочетаний из 12 по 5:

Число благоприятных исходов является произведением количества способов, которыми можно выбрать два «эклера» из пяти имеющихся, и числа наборов по три «наполеона» из семи:

Пример 10. Наудачу дважды подбрасывают монету. Найти: 1) вероятность выпадения двух гербов; 2) вероятность выпадения только одного герба; 3) вероятность выпадения хотя бы одного герба.

Решение. Элементарным исходом является упорядоченная последовательность двух букв, а именно, Г–Г, т.е. при первом и втором бросках выпали гербы, Г–Р (при первом броске выпал герб, при втором – решетка), Р–Г (при первом броске выпала решетка, при втором – герб), Р–Р (при первом и втором бросках выпали решетки). Все эти четыре исхода равновозможны (в том смысле, что шансы на появление у всех исходов одинаковы). По классическому определению вероятности P( A) =. Событию B благоприятствуют два элементарных исхода (Р–Г) и (Г–Р). Поэтому P( B) = =. Событию C благоприятствуют три элементарных события (Г–Г), (Г–Р), (Р– Г). Поэтому P(C ) =.

Пример 11. Наудачу один раз бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения числа очков, кратного трем.

Решение. На верхней грани выпало число очков, кратное трем, означает, что выпало 3 или 6 очков. Элементарным исходом нашего эксперимента назовем событие i – на верхней грани выпало i очков, i = 1,..., 6. Эти элементарные исходы равновозможны, так как кость бросается наудачу (выпадение одного очка имеет такие же шансы, как и выпадение двух очков и т.д.). Событию благоприятствуют два исхода: 3 и 6, значит, P( A) = =.

Пример 12. Дважды подбрасывают наудачу игральную кость. Найти вероятность того, что: 1) при обоих подбрасываниях выпадет одно и то же число очков; 2) сумма выпавших очков не превзойдет 4.

Решение. Введём события: А – при первом и втором подбрасываниях выпадет одинаковое число очков; В – сумма выпавших очков не превзойдет 4 (2, 3 или 4). Элементарным событием является пара чисел ( i, j ), где i = i = 1,..., 6, j = 1,..., 6, i – число очков, выпавших при первом подбрасывании, j – число очков, выпавших при втором подбрасывании. Общее число элементарных исходов равно 66 = 36.

Событию А благоприятствуют элементарные исходы: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Событию B благоприятствуют элементарные исходы: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1) (2,2).

Пример 13. В партии содержатся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из партии наудачу берутся 5 деталей. Найти вероятность того, что: 1) все 5 деталей бракованные; 2) все 5 деталей доброкачественные; 3) в пятерке извлеченных деталей 3 детали бракованные и 2 детали доброкачественные.

Решение. Детали образуют множество из n = 50 различных объектов (например, пронумерованных), из которых 10 бракованные, а остальные 40 доброкачественные. Из этой партии наудачу берутся 5 деталей.

Событие A – все 5 деталей бракованные, событие B – все 5 деталей доброкачественные, событие C – в пятерке извлеченных деталей 3 детали бракованные и 2 – доброкачественные. Элементарный исход нашего эксперимента определяется номерами пяти взятых деталей, причем порядок указания этих номеров не имеет значения. Общее число таких элементарных исходов совпадает с числом различных сочетаний из 50 элементов по 5 и равно Событию A благоприятствуют пятерки деталей, которые взяты из 10 бракованных деталей:

Событию B благоприятствуют лишь пятерки деталей, которые взяты из P( B) = 5 0,31.

Событию C благоприятствуют лишь пятерки деталей, которые содержат 3 бракованные и 2 доброкачественные детали. По правилу умножения число таких исходов равно Событие, которое заключается в том, что событие А не произошло в результате эксперимента, называется противоположным событию А и обозначается A. Справедлива формула Пример 14. В урне находятся 25 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу извлекаются шаров. Найти: 1) вероятность того, что все 9 шаров – белые; 2) вероятность того, что среди девяти извлеченных шаров 3 черного цвета; 3) вероятность того, что среди девяти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.

Решение. Всего в урне 30 шаров. Будем считать, что все они пронумерованы. Эти 30 шаров разделяются на две группы. Первая группа состоит из 25-ти белых шаров, вторая группа состоит из 5-ти черных шаров. Эксперимент состоит в изъятии наудачу 9-ти шаров из 30-ти шаров (их порядок не имеет значения). Элементарным событием в этом эксперименте является любое сочетание из 30-ти элементов по 9. Тогда число таких элементарных событий равно Пусть событие A – все 9 шаров белые. Событие B – из 9 вынутых шаров 3 черных. Событие C – среди 9-ти вынутых шаров имеется хотя бы один черный шар.

Событие C означает, что нет ни одного черного шара среди вынутых или что все 9 шаров – белые, т.е. C = A. Поэтому P ( C ) = 1 P C = 1 P ( A ) 1 0,14 = 0,86.

Пример 15. В библиотеке на стеллаже в случайном порядке расставлены десять учебников по экономике и пять – по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике ( A ).

Решение. Событие A – ни один из взятых учебников не будет по математике:

Суммой A + B событий А и В называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из двух событий (А или В или оба).

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба данных события одновременно (А и В).

Пример 16. Подбрасывается игральный кубик. А – выпадение 6 очков, В – выпадение трёх очков, С – выпадение чётного числа очков, D – выпадение числа очков, кратного трём. Между этими событиями есть следующие соотношения: A + B = D, CD = A.

Пример 17. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим Ak – выпадение k очков ( k = 1, 2,3, 4, 5, 6 ), А – выпадение чётного числа очков, В – выпадение нечётного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трём, D – выпадение числа очков, большего трёх. Выразить события А, В, С, D через Ak.

Пример 18. Стрелок производит три выстрела по мишени. Обозначим Ak – попадание при выстреле № k хотя бы один промах, Е – не меньше двух попаданий, F – не более одного попадания, G – попадание после первого выстрела. Выразить события А, В, С, D, Е, F, G через Ak.

Пример 19. Из ящика, в котором находятся детали трёх сортов, извлекают одну деталь.

События: А – извлечена деталь первого сорта, В – извлечена деталь второго сорта, С – извлечена деталь третьего сорта. Что представляют собой следующие события: A + B, A + C, AC ?

Решение. A + B – извлечена деталь или первого, или второго сорта (извлечена деталь не третьего сорта), A + C = B – извлечена деталь второго сорта, AC – извлеченная деталь одновременно и первого, и третьего сорта (невозможное событие).

Вероятность суммы двух событий можно найти по теореме сложения вероятностей:

Если события А и В несовместны, то есть не могут произойти одновременно, то вероятность их произведения равна нулю, и теорема сложения приобретает более простой вид:

Вероятность произведения событий определяется по теореме умножения вероятностей:

где P ( B / А ) – так называемая условная вероятность события В, то есть вероятность В при условии, что А произошло.

Если осуществление события А не изменяет вероятности события В, то А и В называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей сомножителей:

Вероятность произведения трех событий равна P ( ABC ) = P ( A ) P ( B / А ) P ( C / АB ).

Пример 20. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков соответственно равны p1 = 0,7 и p2 = 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишени будет: а) одно попадание; б) не менее одного попадания.

Решение. Случайные события: A – в мишени одно попадание, B – в мишени не менее одного попадания. Введём случайные события: C1 – в мишень попал первый стрелок, C2 – в мишень попал второй стрелок. По условию P ( С1 ) = 0, 7, P ( С2 ) = 0,8, P С1 = 0,3, P С2 = 0, 2. Тогда A = C1 C2 + C1C2, B = C1 C2 + C1C2 + C1C2.

В обеих формулах случайные события-слагаемые – несовместны, а случайные событиясомножители – независимы, так как вероятность попадания в мишень каждого из стрелков не зависит от результата другого стрелка. Поэтому Вероятность события B можно определить также, вычислив сначала вероятность противоположного события B. Т.к. B = C1 C2, то P ( B ) = P C1 P C2 = 0,3 0, 2 = 0, 06. Тогда Пример 21. В первой урне находятся три белых, пять красных и семь синих шаров, во второй урне – два белых, четыре красных и девять синих шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что извлечённые шары будут одного цвета.

Решение. Случайное событие D – извлечённые шары одного цвета. Введём ещё шесть случайных событий:

Ai – из i-й урны извлекли шар белого цвета;

Bi – из i-й урны извлекли шар красного цвета;

Ci – из i-й урны извлекли шар синего цвета; i = 1, 2.

Вероятности этих событий вычисляются по классическому определению вероятности. Шары будут одного цвета, если они будут оба или белого, или красного, или синего цвета. Значит, D = A1 A2 + B1B2 + C1C2. События-слагаемые несовместны, а события-сомножители независимы.

Пример 22. В урне находятся три белых и пять красных шаров. Наугад извлекают два шара. Найти вероятность того, что извлечённые шары будут разных цветов.

Решение. Случайное событие A – извлечённые шары разных цветов. Введём ещё два случайных события:

A1 – первый извлеченный шар белого цвета; A2 – второй извлеченный шар белого цвета.

Шары будут разных цветов, если первый будет белым, а второй красным, или наоборот.

Значит, A = A1 A2 + A1 A2. События-слагаемые несовместны, а события-сомножители зависимы, т.к.

вероятность вынуть второй шар определенного цвета зависит от того, какого цвета был первый вынутый шар. Следовательно, Пример 23. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что: a) студент знает все три предложенные ему вопроса; б) студент не знает лишь второй из трёх предложенных ему вопросов; в) студент не знает только один из трёх предложенных ему вопросов.

Решение. Введём обозначения: событие A – студент знает три вопроса; событие B – студент не знает второй вопрос; событие C – студент не знает один из трёх вопросов; событие Di – студент знает i-й предложенный ему вопрос (i = 1, 2, 3). Тогда события A, B и C можно представить так: A = D1 D2 D3, B = D1 D2 D3, C = D1 D2 D3 + D1 D2 D3 + D1 D2 D3.

События D1, D2 и D3 являются зависимыми, потому что вероятность знания или незнания каждого следующего вопроса изменяется в зависимости от осуществления или неосуществления предыдущего события. Поэтому При нахождении вероятности события C учтём, что слагаемые – несовместные события:

Пример 24. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её наудачу.

Определить вероятность того, что он наберёт нужный номер не более, чем за три попытки.

Решение. Случайное событие A – абонент дозвонился не более, чем за три попытки набора номера. Пусть случайное событие Ai – абонент дозвонился при i-том наборе номера (i = 1,2,3).

Вероятность события A можно найти, вычислив сначала вероятность противоположного события A и, используя формулу P ( A ) = 1 P A.

Случайное событие A – абонент не дозвонился за три набора номера – есть произведение События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в результате эксперимента.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий H1, H 2,..., H n, образующих полную группу. Будем называть события H i (i = 1, 2, …, n) гипотезами. Имеет место следующая формула которая называется формулой полной вероятности.

Пример 25. Имеются три урны. В первой урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара, во второй – 4 белых и 4 чёрных шара, а в третьей – 8 белых шаров. Наугад выбирается одна из урн (это может означать, например, что осуществляется выбор из вспомогательной урны, где находятся три шара с номерами 1, 2 и 3). Из этой урны наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется чёрным?

Решение. Событие A – извлечён чёрный шар.

Если было бы известно, из какой урны извлекается шар, то искомую вероятность можно было бы вычислить по классическому определению вероятности. Введем предположения (гипотезы) относительно того, какая урна выбрана для извлечения шара.

Шар может быть извлечён или из первой урны (гипотеза H1 ), или из второй (гипотеза H 2 ), или из третьей (гипотеза H 3 ). Так как имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то P ( H1 ) = P ( H 2 ) = P ( H 3 ) =. Далее находим вероятности события A при каждой из гипотез:

Пример 26. Электролампы изготавливаются на трёх заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, второй – 25%, а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5%, третьего – 2%. В магазин поступает продукция всех трёх заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа оказалась бракованной?

Решение. Предположения необходимо ввести относительно того, на каком заводе была изготовлена электролампа. Зная это, мы сможем найти вероятность того, что она бракованная.

Введём обозначения для событий: A – купленная электролампа оказалась бракованной, H1 – лампа изготовлена первым заводом, H 2 – лампа изготовлена вторым заводом, H 3 – лампа P ( A / H1 ) = 0, 01, P ( A / H 2 ) = 0, 015, P ( A / H 3 ) = 0, 02. Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности.

Пример 27. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

Решение. Обозначим через A событие – из второй урны вынут белый шар. Можно выдвинуть три гипотезы: H1 – из первой урны во вторую переложены два белых шара; H2 – переложены один белый и один чёрный шары; H3 – переложены два чёрных шара. Имеем:

По формуле полной вероятности получаем:

ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p. Тогда вероятность Pn ( m ) того, что событие наступило ровно m раз в этой серии испытаний можно вычислить по одной из трех формул:

формула Бернулли, формула Пуассона или локальная теорема Муавра-Лапласа. Каждая из этих формул применяется при определенных условиях, о которых будет сказано ниже.

Если число произведенных испытаний не большое (обычно не более 30), то вероятность Pn ( m ) можно вычислить по формуле Бернулли: Pn ( m ) = Cn m p m q n m, где q = 1 p.

Пример 28. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно три раза при десятикратном подбрасывании монеты.

Решение. Здесь опыт заключается в подбрасывании монеты, число опытов n = 10, событие A – выпадение герба – наступает в каждом опыте с вероятностью p =, постоянной для всех опытов. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Пример 29. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее трёх раз при десятикратном подбрасывании монеты.

Решение. Обозначим через m число выпадений герба при десятикратном подбрасывании Проще вычислить сначала вероятность противоположного события P ( 0 m 2 ) = Число m0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p ) называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях m0 раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число m0 определяется из двойного неравенства Пример 30. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение. По условию, n = 24, p = 0, 6, q = 0, 4. Подставляя данные задачи, получим:

Наивероятнейших значений два: m01) = 14 и m02 ) = 15.

Пример 31. Каково наиболее вероятное число выпадений грани с одной точкой при шести подбрасываниях игральной кости? Чему равна соответствующая этому числу выпадений вероятность?

Решение. Здесь число n опытов (подбрасываний кости) равно 6, p – вероятность выпадения грани с одной точкой равна p =, q = 1 =. В рассматриваемом случае np q = =, np + p = + =. В нашем случае m0, значит m0 = 1. Вероятность может быть найдена по формуле Бернулли P26 ( 4 ) = C6 = Пример 32. Вероятность попадания в цель при выстреле из каждого из двух орудий равна. Залп из двух орудий считается успешным, если хотя бы один снаряд попадёт в цель. Произведено 8 залпов. Каково наиболее вероятное число успешных залпов?

Решение. Вероятность успешного залпа найдём, вычислив предварительно вероятность противоположного события – двух промахов при залпе из двух орудий. Она равна =, следовательно, вероятность успешного залпа p = 1 =. Кроме того, число залпов n = 8 и залпов наиболее вероятны (оба случая имеют равную вероятность).

Эта формула применяется в том случае, если число испытаний большое, а число Пример 33. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n = 5000, p = 0, 0002, m = 3, = np = 5000 0, 0002 = 1 < 10.

При больших значениях n применяется также следующая формула Значения функции ( x ) для 0 x 5 даны в таблице в конце пособия. Эта функция обладает свойствами:

Пример 34. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400, m = 80, p = 0, 2, q = 0,8. По локальной теореме МуавраЛапласа получаем:

По таблице находим ( 0 ) = 0,3989. Искомая вероятность P400 ( 80 ) = 0,3989 = 0, 04986.

Если число испытаний n 30, то для вычисления вероятности Pn ( m ) применяют формулу Бернулли, если же n > 30, то формулу Пуассона (если = np < 10 ) или локальную теорему Муавра-Лапласа (в остальных случаях).

Вероятность того, что событие наступит в пределах от m1 до m2 раз, можно вычислить, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Значения функции ( x ) для 0 x 5 даны в таблице в конце пособия.

Пример 35. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p = 0, 2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, n = 400, m1 = 70, m2 = 100, p = 0, 2, q = 0,8.

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа: P400 ( 70, 100 ) Ф ( x2 ) Ф ( x1 ), где Ф ( 2, 50 ) = 0, 4938, Ф (1, 25 ) = 0, 3944. Искомая вероятность P400 ( 70, 100 ) = 0, 4938 + 0, 3944 = 0,8882.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Во многих задачах теории вероятности удобнее оперировать не понятием случайного события, для которого существуют только две возможности: оно может произойти или не произойти в результате опыта, а понятием так называемой случайной величины. Случайная величина – это числовая величина, которая при проведенном испытании может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какие именно. Если возможные значения такой величины представляет собой конечное или счетное множество, она называется дискретной случайной величиной, а если эти значения заполняют целиком некоторый интервал – непрерывной случайной величиной.

Поведение дискретной случайной величины описывается законом распределения, который можно представить в виде ряда распределения – таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – вероятности, с которыми она принимает эти значения:

Сумма вероятностей p1 + p2 +... + pn должна при этом равняться числу 1.

Однако в некоторых задачах не требуется полностью знать поведение случайной величины, для решения достаточно лишь нескольких характеристик. Одной из основных числовых характеристик является математическое ожидание, представляющее собой среднее значение рассматриваемой случайной величины с учетом вероятностей принимаемых значений и вычисляемое по формуле: М ( Х ) = xi pi.

Характеристикой, показывающей масштаб отклонения случайной величины от математического ожидания, является дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения от средn Отклонение случайной величины от математического ожидания задается также и средним квадратическим отклонением : = D ( X ).

Пример 36. Из партии, содержащей 10 деталей, среди которых две бракованных, взяты наудачу три детали. Составить ряд распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее числовые характеристики.

Решение. Так как бракованных деталей в партии только две, среди трех отобранных должна быть, по крайней мере, одна стандартная деталь. Следовательно, случайная величина X может принимать три значения: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Найдем соответствующие им вероятности. Число возможных наборов по три детали из 10 имеющихся, то есть число возможных исходов опыта Биномиальное распределение имеет дискретная случайная величина, выражающая число появлений события в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых это событие может наступить с одной и той же вероятностью p. Значения этой случайной величины: 0, 1, …, n.

Вероятности P ( X = k ) вычисляются по формуле Бернулли. Для такой случайной величины известны математическое ожидание M ( X ) = np и дисперсия D ( X ) = npq.

Пример 37. Производится четыре независимых выстрела по мишени. Составить ряд распределения случайной величины X – числа попаданий в мишень, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти ее числовые характеристики.

Решение. Количество попаданий может составлять 0, 1, 2, 3 или 4. Вероятности вычисляются по формуле Бернулли: событие А – попадание при одном выстреле, p = P( A) = 0, 6, общее число испытаний n = 4.

Контроль: 0, 0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1.

Пример 38. Предприниматель может получить кредит в двух банках: в первом с вероятностью 0,6 в сумме 15 тыс. руб., во втором – с вероятностью 0,3 в сумме 35 тыс. руб. Составить ряд распределения случайной величины X – общая сумма полученного кредита (в тыс. руб.).

Решение. Предприниматель может получить кредит в одном из банков, в обоих банках или ни в одном из них.

Основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения и плотность распределения вероятностей.

Функция распределения F ( x ) представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее аргумента этой функции: F ( x ) = P ( X < x ).

Плотность вероятности (плотность распределения) f ( x ) является производной от функции распределения: f ( x ) = F ( x ).

У функции плотности распределения имеются следующие свойства:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в некоторый интервал Для непрерывной случайной величины математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение определяются следующим образом:

Пример 39. Функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти: 1) вероятность попадания случайной величины в интервал ( 0, 5; 1,5 ), 2) плотность распределения случайной величины, 3) математическое ожидание случайной величины.

1. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997. – 400 с.

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / под ред. В.И.

Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 575 с.

0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0, 0, 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0, 0, 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0, 0, 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0, 0, 0,3683 0,3668 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0, 0, 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0, 0, 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0, 0, 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3064 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0, 0, 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0, 0, 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0, 0, 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0, 1, 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0, 1, 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1738 0, 1, 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0, 1, 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0, 1, 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0, 1, 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0, 1, 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0, 1, 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0, 1, 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0, 1, 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0, 2, 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0, 2, 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0, 2, 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0, 2, 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0, 2, 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0, 2, 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0, 2, 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0, 2, 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0, 2, 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0, 2, 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0, 3, 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0, 3, 0,0024 0,0093 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0, 3, 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0, 3, 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0, 3, 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0, 3, 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0, 3, 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0, 3, 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0, 3, 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0, 3,