1.5.2Начисление сложных процентов с учетом инфляции Для сложных процентов аналогично запишем два выражения:

из которых получим:

Перепишем формулу следующим образом:

Теперь можно сравнивать ica и (больше, равно, меньше), проводить экономический анализ эффективности вложений и устанавливать, поглощается ли доход инфляцией или происходит реальный прирост вложенного капитала.

При начислении процентов несколько раз в году запишем аналогичные модели:

откуда получим выражение для номинальной сложной процентной ставки, учитывающей инфляцию:

а также уравнение для определения номинальной ставки:

Приведенные модели позволяют проводить взаиморасчеты с клиентами по показателям в контрактах с учетом информации.

Пример 5.1. Определить ожидаемый уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3 %.

Индекс инфляции за год составит:

Уровень инфляции за год составляет:

Пример 5.2. Определить уровень инфляции за полгода, если уровни инфляции по месяцам составили соответственно 10, 15, 12, 9, 14, 13 %.

Индекс инфляции за полгода составит:

Уровень инфляции за полгода равен:

Пример 5.3. Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 2 тыс. грн. по ставке 6 % годовых. Уровень инфляции за год составил 40 %. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму, сумму процентов за кредит и реальный доход банка.

а) сумма погашения кредита с процентами, без учета инфляции составит:

в) возвращаемая сумма с процентами, приведенная к моменту оформления кредита с учетом инфляции:

г) реальный доход банка:

что свидетельствует об убытке этой операции.

Найдем параметры операции, которые обеспечивают доходность банку в размере 6 % годовых:

д) чтобы обеспечить доходность банку в размере 6% годовых, ставках процентов по кредиту с учетом инфляции должна быть равна:

е) погашаемая сумма должна составлять:

ж) реальный доход банка составит:

что обеспечит реальную доходность операции 6 % годовых.

Пример 5.4. Вклад на сумму 1 000 грн. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 36 % годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 4 %.

а) индекс инфляции за полгода составит:

б) уровень инфляции будет равен:

в) наращенная сумма вклада с процентами составляет:

г) сумма вклада с процентами, приведенная к моменту его оформления, составит:

д) реальный доход вкладчика составит:

следовательно, вкладчик понесет убытки с позиций покупательной способности получаемой в банке суммы.

1.6 Модели сравнения операций Для выбора наиболее выгодной схемы финансовой или коммерческой операции необходимо проводить их сравнение. Юридические или физические лица, участвующие в операции (сделке), должны ясно представлять ее результаты, оценить выгоду, определить доходность или эффективность операции.

Простейшим видом финансовой операции является однократное предоставление кредитором в долг какой-либо суммы Р заемщику (дебитору) с условием, что через некоторое время n будет возвращена сумма S.

Для оценки эффективности такой операции можно использовать следующие показатели:

относительный рост, относительная величина ставки процента, называемая интересом:

относительная скидка, или дисконт:

Эти показатели характеризуют приращение капитала кредитора, отнесенное либо к первоначальной сумме (интерес), либо к конечной сумме (дисконт).

Между этими показателями существует связь, которая находится путем совместного решения этих уравнений, откуда можно получить следующие модели:

В операциях иногда вместо дисконта используют дисконт-фактор, определяемый по такой формуле:

Для определения выгодности финансовых операций используют сравнительную доходность, которая на основе допущения о равенстве финансовых результатов различных вариантов проведения операций приводит к понятию эквивалентных процентных ставок простых или сложных процентов. Это позволяет получить инструмент корректного сравнения финансовых операций.

Эквивалентные ставки дают одинаковые финансовые результаты или наращенные суммы S при равных промежутках времени n.

Для этих целей используют базовые модели вычисления наращенных сумм реальных процентных ставок:

Для нахождения эквивалентных ставок составляют уравнения эквивалентности по следующим правилам. Рассматривается результат инвестирования капитала P на срок n лет:

Эту операцию можно сопоставить с эквивалентной операцией вложения средств, например, по ставке простых процентов i. Тогда сумма вложенных средств с процентами будет равна:

Доход по этой операции составляет:

где t – срок операции в днях.

Следовательно, эквивалентная ставка простых процентов будет равна:

На основе равенства двух выражений можно составить уравнения эквивалентности для других сочетаний различных вариантов процентных ставок. Так, например, приравнивая наращенные суммы при схемах начисления простых и сложных процентов:

получим следующее уравнение эквивалентности:

из которого следует определение эквивалентной ставки простых процентов:

или эквивалентной ставки сложных процентов:

Для начисления сложных процентов получаем следующее уравнение эквивалентности:

откуда получим эквивалентную годовую ставку сложных процентов:

которая определяет так называемую годовую эффективную ставку сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной процентной ставке, и не зависит от срока операции n. Эффективная ставка сложных процентов, эквивалентная сложной учетной ставке, равна:

а ставка, эквивалентная номинальной сложной учетной процентной ставке, равна:

Эти показатели необходимы для оценки реальной доходности финансовых операций или для сравнения различных процентных ставок, что в конечном итоге позволяет вычислять доходность и аргументировать выбор варианта для инвестирования капитала.

При учете денежных обязательств, например, векселей с использованием учетной ставки, доход (дисконт) определяется формулой:

откуда эквивалентная ставка простых процентов будет равна:

Пример 6.1. Кредит на 2 года получен под 36 % номинальную ставку сложных процентов. Начисление происходит ежеквартально. Оценить эффективность операции через эквивалентные простую и сложную ставки процентов.

а) эквивалентная ставка простых процентов:

б) эквивалентная эффективная ставка сложных процентов:

Пример 6.2. Срок оплаты долгового обязательства составляет полгода по простой учетной ставке 40 %. Оценить доходность операции по эквивалентным ставкам (считать, что номинальная ставка начисляется ежеквартально).

а) эквивалентная простая ставка ссудного процента:

б) эквивалентная ставка сложного процента:

в) эквивалентная номинальная ставка сложного процента:

г) эквивалентная сложная учетная ставка:

д) эквивалентная номинальная учетная ставка:

1.7 Модели операций с облигациями Облигации представляют собой долговую ценную бумагу, в соответствии с которой заемщик гарантирует кредитору выплату по истечении определенного срока полной суммы долга с процентами на определенную дату в будущем.

Эмитент выпускает облигации, на которых указана их номинальная стоимость N и срок, по истечении которого облигации выкупаются (погашаются) эмитентом по номинальной стоимости.

Покупатель, приобретающий облигации по цене, меньшей номинала, предоставляет тем самым эмитенту ссуду и практически является кредитором. В таком случае покупатель получает доход, определяемый разностью между номиналом и ценой покупки облигации и называемый дисконтом.

Если к облигации прилагаются купоны, то, например, ежегодно или ежеквартально ему выплачиваются проценты по указанной на них ставке. Это является дополнительным, так называемым купонным доходом.

Целью операций с облигациями является использование одного из вариантов финансовых вложений для получения дохода, и тем самым, обеспечение защиты от обесценения капитала и гарантия его роста в условиях инфляции.

При расчете доходности покупки облигации, используют понятие курса облигации Pk, выраженного в процентах от стоимости номинала:

где Р – цена облигации; N – номинальная стоимость облигации.

Откуда цена облигации при заданном курсе определяется выражением:

Если по облигациям выплачиваются проценты, то облигации называются процентными, а доход по каждой выплате определяется от ее номинальной стоимости:

Если проценты по облигациям не выплачиваются, то источником дохода будет являться разность между ценой выкупа (номиналом, эмитентом) и ценой покупки, которая называется дисконтом, такие облигации называются дисконтными, например, государственные краткосрочные обязательства (ГКО). Доход от этих облигаций находим как разность между номиналом и ценой:

Доходность облигаций к погашению можно определить по эквивалентной ставке простых процентов:

Доход от покупки долгосрочных облигаций с выплатой процентов будет состоять из суммы полученных процентов и разницы между ценой их погашения (номиналом) и ценой покупки.

Если проценты по облигациям выплачиваются в конце года, например, по ставке сложных процентов i c, то сумма процентных денег при погашении облигации через n лет определяется выражением:

Общий доход можно определить по формуле:

Доходность операции покупки-погашения облигации в виде эффективной ставки сложных процентов можно определить из выражений:

На основании приведенных соотношений получим:

При определении общего дохода следует учитывать возможность реинвестирования, если проценты выплачиваются периодически.

Пример 7.1. Курс облигаций номиналом 500 грн. составляет 75.

Определить цену облигации.

Цена облигации:

Пример 7.2. Доход по облигации номиналом 1000 грн. выплачивается каждые полгода по ставке 50 % годовых. Вычислить сумму дохода по каждой выплате.

Пример 7.3. Облигация номиналом 1 000 грн. и сроком ее обращения 90 дней продается по курсу 85. Определить сумму дохода от покупки 5 облигаций и доходность финансовой операции при расчетном количестве дней в году 360.

Доход от покупки одной облигации при условии ее погашения составит:

Сумма дохода от покупки 5 облигаций составит:

Доходность облигаций к погашению по эквивалентной ставке простых процентов составляет:

Пример 7.4. Облигации номиналом 1 000 грн и сроком обращения 180 дней были приобретены в момент их выпуска по курсу 65 и проданы через 80 дней по курсу 85. Определить доходность к погашению и текущую доходность в результате продажи для К = 360 дней.

Решение:

Доходность облигаций к погашению по эквивалентной простой ставке процентов:

Текущая доходность в результате их продажи составит:

Пример 7.5. Облигация куплена по курсу 95 и будет погашена через 10 лет. Проценты по облигации выплачиваются в конце срока по сложной ставке 5 % годовых. Определить доходность приобретения облигации.

Процентный доход за 10 лет составит:

Доход от погашения составил:

Общий доход составил:

Доходность покупки облигации по эффективной ставке сложных процентов равна:

1.8 Модели операций с акциями Акция представляет собой долевую ценную бумагу, в которой указывается непосредственная доля держателя акции в реальной собственности и обеспечивает получение дивиденда. В зависимости от порядка начисления и выплаты дивидендов акции делят на привилегированные и обыкновенные.

Дивиденды по привилегированным акциям объявляются в фиксированных процентах от номинальной ее стоимости N и определяется выражением:

где f – годовая ставка дивиденда.

Доход на одну обыкновенную акцию:

где – количество обыкновенных акций;

ЧП – распределяемая чистая прибыль, Dпр – дивиденд по всем привилегированным акциям, где М пр – количество привилегированных акций.

Обычно на выплату дивидендов по обыкновенным акциям может идти не весь доход, а только его часть, поэтому величина выплачиваемого дивиденда определяется дивидендным выходом:

где Do – дивиденд на одну обыкновенную акцию.

Доходность по акциям определяется доходом от выплачиваемых дивидендов, а также разницей в цене покупки и продажи, что и определяет эффективность инвестиций:

где Pa – цена покупки;

D – дивиденды за время владения акций.

Для проведения анализа операций с акциями необходимо проводить расчеты по нескольким показателям.

Доходность текущая, без учета налогообложения, определяется по формуле:

Доходность конечная определяется суммой дивидендов и дополнительным доходом от перепродажи:

Доходность текущая, с учетом налогообложения, определяется выражением:

где iн – ставка налогообложения.

Курсовая стоимость определяется также и от номинальной цены акции:

Рыночная цена акций определяется спросом, и в связи с этим показатель ценности акций на рынке находится так:

При долгосрочных операциях с акциями можно применять формулы определения эквивалентных ставок простых и сложных процентов:

Доход от финансовых операций в таких случаях определяется так:

откуда эквивалентные ставки простых и сложных процентов:

Пользуясь приведенными моделями можно проводить сравнение выгодности финансовых операций с акциями и, следовательно, решить задачу выбора оптимального инвестиционного проекта.

Пример 8.1. Банк объявил, что дивиденды по его акциям за прошедший год составляют 10 % годовых по обыкновенным акциям и 20 % годовых по привилегированным акциям. Определить сумму дивиденда на одну привилегированную акцию номиналом 3000 грн. и на десять обыкновенных акций номиналом 1 000 грн.

Сумма дивиденда на одну привилегированную акцию равна:

Dпр = 0,2 3000 грн. = 600 грн. Сумма дивиденда на одну обыкновенную акцию равна: Do = 0,1 1 000 = 100 грн., а на десять акций – 1 000грн.

Пример 8.2. Определите ожидаемый доход от покупки акции номиналом 1000 грн. при условии получения дивидендов в размере 40 % годовых и ежегодного роста стоимости акции на 10 % от номинала, если акция будет продана через 5 лет. Определить доходность операции.

Величина годовых дивидендов за 5 лет составит:

Стоимость акции через 5 лет составит:

Общий доход составит:

Доходность покупки акции в виде эквивалентной ставки сложных процентов составит:

Пример 8.3. АО с уставным фондом 1 млн. грн. имеет следующую структуру капитала: 85 обыкновенных акций и 15 привилегированных.

Размер прибыли к распределению между акционерами составляет 120 тыс. грн. Фиксированный дивиденд по привилегированным акциям составляет 10 %. Определить дивиденды для владельца обыкновенной акции.

а) номинал одной акции находим как отношение уставного фонда к общему числу акций:

б) выплаты по всем привилегированным акциям равны:

в) выплаты на одну обыкновенную акцию равны:

Пример 8.4. Балансовая прибыль АО с уставным фондом 2 млн. грн., полученная от производственной деятельности, составила 10 млн. грн. Собрание акционеров постановило, что оставшуюся после уплаты налогов прибыль следует распределить так: 20 % на развитие производства, а 80 % на выплату дивидендов. Определить курс акций, если банковский процент составляет 80 %, номинал акции составляет 100 грн., а ставки налога на прибыль – 32 %.

а) определяем количество акций АО:

б) вычислим прибыль после уплаты налогов:

в) находим величину дивидендов на выплату акционерам:

г) определяем выплату дивидендов на одну акцию:

д) курс акции составляет:

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

а) по простой ставке S;

в) при периодическом начислении k раз в год S н ;

г) при непрерывном начислении.

Найти эквивалентную величину ставки простых процентов, при которой в конце срока контракта будет справедливо равенство S = S н. Построить на одном чертеже графики зависимости S (n) по простой и сложной ставках.

Задание 2.1 – 2.25. Коммерческие банки C и D начисляют доход один раз в полгода, причем банк С – по простой процентной ставке, а банк D – по сложной ставке. Через год в этих банках средства инвестора увеличиваются на L %. Срок контракта в годах равен T (таблица 2). Найти:

а) коэффициент наращения за год;

б) соответствующие значения простой и сложной процентной ставок;

в) коэффициенты наращения через каждые полгода для простой и сложной ставки (результаты расчетов оформить в виде таблицы на весь срок контракта);

г) в какой банк выгоднее положить деньги на полгода, и в какой – на полтора года;

д) новую простую ставку, которую должен установить банк С, начиная со второго года, чтобы средства инвестора в конце срока начисления были равны.

Задание 3.1 – 3.25. Банк покупает вексель стоимостью S тыс. грн. за N лет до срока его оплаты по простой учетной ставке d % (таблица 3).

Определить:

а) современную стоимость векселя P;

в) какую сложную учетную ставку должен установить банк на срок контракта, чтобы его доход не уменьшился;

г) какую простую учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход увеличился в R раз (таблица 3).

д) какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход увеличился в R раз (таблица 3).

Таблица 2 – Коэффициенты для заданий 1, Задание 4.1 – 4.25. Уровни инфляции в процентах за прошедший год по месяцам были равны поквартально (таблица 3): 1 = 2 = 3 ;

а) индекс, темп и уровень инфляции за год;

б) средний ежемесячный темп инфляции и проверить полученное значение, вычислив с помощью него индекс инфляции;

в) на сколько процентов возросли цены с 01.01 по 01.06;

г) во сколько раз возросли цены на 01.12 по отношению к ценам на 01.06;

д) на сколько процентов цены на 01.01 будут ниже цен на 01.10.

Таблица 3 – Коэффициенты для заданий 3, Задание 5.1 – 5.8. Известны номинальные цены на 01.03 трех товаров: соответственно N1, N 2, N 3 тыс. грн.; а на 01.09 – соответственно M 1, M 2, M 3 тыс. грн (таблица 4). Определить:

а) на сколько процентов изменились реальные цены каждого товара за этот период;

б) на сколько процентов изменились цены второго и третьего товаров относительно цены первого товара;

в) на сколько процентов стали относительно дешевле (дороже) указанные товары в ходе инфляционного процесса.

Таблица 4 – Коэффициенты для задания Задание 5.9 – 5.17. Первоначально месячная заработная плата составляла R1 грн., а цена товара А – Z1 грн. Через m месяцев заработная плата достигла R2 грн., а цена товара повысилась до Z 2 грн. Среднемесячный уровень инфляции в рассматриваемый период составлял % (таблица 5).

Определите:

а) приведенную к первоначальному периоду новую цену товара с учетом инфляции;

б) на какую величину в гривнах и на сколько процентов изменилась цена товара с учетом инфляции;

в) на какую величину в гривнах и на сколько процентов изменилась реальная заработная плата за рассматриваемый период.

Таблица 5 – Коэффициенты для задания Задание 5.18 – 5.25. Кредит на n лет получен под номинальную ставку сложных процентов j %. Количество начислений за год r (таблица 6). Найти коэффициент наращения кредита. Оценить эффективность операции при осуществлении депозита:

а) по эквивалентной простой ставке процентов;

б) по эквивалентной эффективной ставке сложных процентов.

Найти коэффициент наращения депозита, если эквивалентная эффективная ставка стала номинальной, а начисление происходит h раз в году.

Таблица 6 – Коэффициенты для задания

3 ЗАДАНИЯ ДЛЯ РЕЙТИНГОВОЙ

ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ И СОСТАВЛЕНИЯ ТЕСТОВ

а) выдаваемую компаниями А и Б сумму кредита и их доход;

б) сделать сравнительные выводы о выгодности операций для кредитора и заемщика.

Задача 2. Уровни инфляции за 4 месяца составили соответственно 4, 5, 6, 8 %. Считать, что в месяце 30 дней. Вычислить:

а) индекс, темп и общий уровень инфляции;

б) средний ежемесячный темп инфляции;

в) на сколько процентов возросли цены с начала 1-го месяца на конец 3-го;

г) во сколько раз возросли цены с 30.02 по отношению к ценам на 01.01;

д) на сколько процентов цены на 01.01 будут ниже цен на 30.04.

Задача 3. Клиент хранит деньги на банковском депозите под 12 % годовых в размере 1000 единиц. При условии инфляции 2 % ежемесячно, требуется найти:

а) наращенную сумму за 6 месяцев;

б) реальный (приведенный к моменту начала операции) доход клиента;

в) вычислить величину ставки депозита, чтобы реальная доходность составила не менее 12 % годовых;

г) по этой ставке найти наращенную сумму, обеспечивающую эту доходность;

д) доказать, что по этой ставке доходность будет не менее12 % годовых.

Задача 4. Срок оплаты долгового обязательства составляет года по простой учетной ставке 30 %. Оценить доходность операции по эквивалентным ставкам банковского депозита, когда начисляются:

а) простые проценты;

б) сложные проценты;

в) ставка номинальная, начисление ежеквартальное;

Задача 5. Облигация куплена по курсу 92 и будет погашена через 3 года.

а) оценить доходность приобретения облигации по эффективной ставке сложных процентов;

б) оценить доходность приобретения облигации по ставке простых процентов;

в) оценить доходность приобретения облигации по эффективной ставке сложных процентов, если на облигацию начисляются простые проценты в 5 % годовых.

Задача 6. Осуществлена покупка акции номиналом 2000 грн., на которую начисляются дивиденды в размере 10 % годовых, а также предполагается ежегодный рост стоимости одной акции на 4 % от номинала. Акция будет продана через 3 года. Определить:

а) величину годовых дивидендов;

б) стоимость акции;

в) ожидаемый общий доход;

г) доходность покупки акции в виде эквивалентной ставки простых процентов;

д) доходность покупки акции в виде эквивалентной ставки сложных процентов.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

2 Малыхин, В. И. Финансовая математика : учеб. пособие для вузов. / В. И. Малыхин. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 247с. – ISBN 5–238– 00099–5.

3 Фомин, Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности : учебник / Г. П. Фомин. – М. : Финансы и статистика, 2001. – 544 с., ил. – ISBN 5–279–02310–8.

4 Четыркин, Е. М. Финансовая математика : учебник / Е. М. Четыркин. – 2-е изд., испр. – М. : Дело, 2002. – 400 с. – ISBN 5–7749–0193–9.

5 Уотшем, Т. Дж. Количественные методы в финансах : учеб. пособие для вузов ; пер. с англ. / Т. Дж. Уотшем, К. Паррамоу ; под ред.

М. Р. Ефимовой. – М. : Финансы, ЮНИТИ, 1999. – 527 с. – ISBN 5-28Бугір, М. К. Математика для економістів / М. К. Бугір. – Тернопіль : Підручники і посібники, 1998.- 192 с.

7 Высшая математика для экономистов : учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман ; под ред. проф.

Н. Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ, 2000. – 471 с. – ISBN 5-238-00030-8.

8 Жлуктенко, В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика :

навч.-метод. посібник. У 2-х ч. Ч. 1: Теорія ймовірностей. / В. І. Жлуктенко, С. І. Наконечний, С. С. Савіна. – К. : КНЕУ, 2001. – 336 с.

9 Жлуктенко, В. І. Теорія ймовірностей і математична статистика :

навч.-метод. посібник. У 2-х ч. Ч. 2: Математична статистика / В. І. Жлуктенко, С. І. Наконечний, С.С. Савіна. – К. : КНЕУ, 2001. – 336 с.

КОЛЕСНИКОВ Сергій Олексійович, ДМИТРЕНКО Ірина Сергіївна

ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА

Папір офсетний. Ум. друк. арк. 3,95. Обл.-вид. арк. 3,13.

«Донбаська державна машинобудівна академія»

84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72.

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи