М и н и с т е р с т в о о б р а з ов а н и я и н а ук и Р ос с и й с к ой Ф е д е р а ц и и Ф е д е р а л ь н ое а г е н т с т в о п о об р а з ов а н и ю

Г О У ВП О А л т а й с к и й г ос уд а р с т в е н н ы й т е х н и ч е с к и й

ун и в е р с и т е т и м. И. И. П ол з ун ов а

каф едра общей ф изики

Ю.В. Пацева, Г.М. Полетаев

Учебно-методическое пособие по курсу

общей физики

Часть IV Атомная и ядерная физика Барнаул 2009 УДК: 53 + 539.1] (075.5) Учебное пособие по курсу общей физики. Часть IV. Атомная и ядерная физика./ Разраб. и сост. Ю.В. Пацева, Г.М. Полетаев. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009. – 36 с.

Учебно-методическое пособие содержит теоретические сведения, необходимые для решения задач по начальным понятиям атомной и ядерной физики, а также примеры решения задач.

Цель данного пособия – оказать помощь студентам всех форм обучения в изучении данных разделов физики.

СОДЕРЖАНИЕ

Боровская теория атома 1 Элементы квантовой механики 2 Элементы ядерной физики 3 Литература Атомная физика – раздел физики, в котором изучаются строение и свойства атома и элементарные процессы на атомном уровне.

Квантовая механика – теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, атомных ядер, молекул) и их систем (кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, измеряемыми на опыте.

Ядерная физика – раздел физики, посвященный изучению структуры атомных ядер, процессов радиоактивного распада и механизма ядерных реакций.

БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА

1.

Согласно модели строения атома Резерфорда атом любого элемента состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого по различным орбитам вращаются электроны. Суммарный заряд всех электронов, входящих в состав атома, равен заряду ядра. Простейшим по своему строению атомом является атом водорода, состоящий из ядра, вокруг которого вращается один электрон по одной из круговых орбит. Теория атома Бора основывается на двух постулатах и правиле квантования стационарных орбит.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния атома, находясь в которых он не излучает энергию.

Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Каждое стационарное состояние характеризуется определенным (дискретным) значением энергии. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

Правило квантования орбит Бора: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию:

Ln= mVrn = n, n = 1, 2, 3,..., (1.1) где m — масса покоя электрона, V — его скорость на n-и орбите радиуса rn, = h/(2)- постоянная Планка.

Это правило позволяет получить радиус n-й стационарной орбиты:

n2 h 2 rn =, n = 1, 2, 3,… (1.2) mZe Ф где 0 = 8,85 10 12 - электрическая постоянная, Z - заряд ядра, м e - элементарный заряд.

В правой части уравнения (1.2) все величины постоянные, кроме n, следовательно, радиусы стационарных орбит относятся между собой как n2 числа натурального ряда.

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного состояния в другое испускается или поглощается фотон с энергией равной разности энергий соответствующих стационарных состояний:

hv = En - Em, (1.3) где v - частота излучаемого света.

Излучение фотона (ЕтЕп) сопровождается переходом атома в состояние с большей энергией (переход электрона на более удаленную от ядра орбиту).

Набор всевозможных дискретных v квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома:

Полная энергия электрона в водородоподобной системе складывается из кинетической и потенциальной энергий:

знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

С учетом формулы (1.2) выражение (1.5) определяет величину полной энергии электрона, находящегося на стационарном уровне:

Величина полной энергии электрона, находящегося на стационарной орбите, называется уровнем энергии атома (или энергетическим уровнем).

Целое число n, определяющее энергетические уровни атома, называется главным квантовым числом.

Энергетический уровень с n=1 для водорода называется основным (нормальным) уровнем, а соответствующее ему состояние атома называется основным (нормальным) состоянием. Уровни с n>1 и соответствующие им состояния называются возбужденными.

Придавая n целочисленные значения, получаем для атома водорода энергетические уровни, представленные на схеме переходов, соответствующих спектру испускания атома водорода (рис.1).

соответствующих частотам (длинам волн) излучения, испускаемого электронами в атоме при переходах с вышерасположенных орбит на одну определенную орбиту, чаемого водородоподобными атомами (H+, He+, Li++, Be+++) при переходе с одного стационарного энергетического уровня на другой, может быть определена по формуле Бальмера:

где R' = 1,1 107, или R = R' с = 3,29 10 15 = 13,6эВ - постоянная Ридберга; m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 определяет серию, а n = m+1, m+2,... определяет отдельные линии этой серии. С возрастанием n линии серии сближаются. Значение n = определяет границу серии, к которой со стороны больших v примыкает сплошной спектр.

Определить для атома водорода: 1) скорость вращения электрона на третьей орбите; 2) частоту вращения электрона по третьей орбите;

3) эквивалентный ток.

1) В атоме на вращающийся электрон действует кулоновская сиZe ла FK =. Воспользуемся вторым законом Ньютона: FK = man.

Расписав an и подставив силу, получим:

Воспользуемся формулой (1.1) и подставим в нее уравнение (1):

4 0 mV Сделаем подстановку данных и произведем вычисления: n = 3, 2) Частоту вращения электрона найдем из кинематической форV 3) Эквивалентный ток: I = ef. Найдем его значение:

Определить изменение орбитального механического момента электрона при переходе его из возбужденного состояния в основное c испусканием фотона с длиной волны = 1,02 10 7 м.

Орбитальный механический момент электрона определим по формуле (1.1), а его изменение распишем: Ln = nh m h = ( n m ) h ставим числовые значения и произведем расчет:

Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода. Определите для электрона: 1) потенциальную энергию; 2) кинетическую энергию; 3) полную энергию.

1) Потенциальная энергия движущегося электрона по круговой орбите под действием кулоновских сил может быть найдена следуюZe щим образом: U = - (1). Знак «-» означает, что происходит взаимодействие разноименных зарядов: ядра и электрона. Радиус rn стационарной орбиты найдем по формуле (1.2) и подставим в (1):

= 4, 35 10 18 Дж = 27,2эВ.

2) Кинетическую энергию электрона при вращении вокруг ядра определим из второго закона Ньютона: FK = man, откуда определим из (1.2) и подставим в последнюю формулу:

3) Полная энергия электрона в атоме определится как сумма кинетической и потенциальной энергий: Е = K + U, Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома водорода 1 = 10,2 В, определите в электрон-вольтах энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера E4,2.

1) Для решения воспользуемся рисунком 2. Для энергии второй линии серии Воспользуемся формулой (1.8):

Приведем последнее выражение к виду:

2) 1 - первый потенциал возбуждения – это ускоряющее напряжение, соответствующее переходу невозбужденного атома в первое возбужденное состояние (переход с первого энергетического уровня на второй).

Запишем энергию возбуждения E1,2 через 1 : E 1,2 = e1, Из последней записи найдем e 1 = hR - (2).

E 4,2 = hR = e 1 = e 1. Сделаем подстановку данных и окончательно получим: E 4,2 = 2,55эВ.

Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти: а) скорость отдачи, которую получил атом; б) отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испущенного фотона.

а) В этом процессе атом приобрел импульс р, равный импульсу вылетевшего из него фотона: p = = (1).

Кроме того, энергия возбуждения атома Eвоз распределилась между энергией фотона E = hv и кинетической энергией атома, испыp тавшего отдачу K = E воз = Eвоз = hR - (3).

Приравняем (3) к (2) и подставим уравнение (1):

+ mcV hR = 0. Первое слагаемое имеет по порядку величины наименьшее значение по сравнению с другими слагаемыми, поэтому им пренебрежем. Выразим V скорость отдачи атома: V =. Подmc ставим числовые значения, сделаем расчет:

б) Искомое отношение кинетической энергии атома отдачи к этому энергией отдачи атома, как правило, пренебрегают.

У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана = 59,3нм ?

Запишем выражение для длин волн этих линий. Согласно (1.8) имеем:

Z = 3, это двукратно ионизированный атом лития, Li ++.

2. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Де Бройль предположил, что с частицей, движущейся с постоянr ной скоростью V, связана плоская монохроматическая волна, распроr страняющаяся в направлении вектора V. Волны де Бройля имеют особую специфическую квантовую природу.

Рассматривая атом водорода, можно считать, что каждая орбита в атоме соответствует волне, распространяющейся по окружности около ядра. Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты.

В стационарном квантовом состоянии атома водорода на длине орбиты должно укладываться согласно де Бройлю целое число, т. е.

nn. При обходе волна будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный колебательный режим, и излучение не возникнет. Такое состояние и будет стационарным.

Условие стационарности по де Бройлю:

Гипотеза де Бройля: электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Каждому объекту присущи как корпускулярные характеристики— энергия Е, импульс р, так и волновые характеристики — частота v и длина волны. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом р (в том числе и частице, в отличие от фотона, обладающей массой покоя), сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

Связь р частицы с кинетической энергией К:

1)для нерелятивистской частицы (если K = E0, где E0 = mc 2 = 0,5 МэВ - энергия покоя электрона):

2)для релятивистской частицы (если K ? E0 ):

Двойственная корпускулярно–волновая природа микрочастиц определяет еще одно необычное, с точки зрения классических представлений, свойство микрообъектов — невозможно одновременно точно определить координату и импульс частицы. В общем случае это свойство микрообъектов называется соотношением неопределенностей Гейзенберга: микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x, y, z) и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, рy, pz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют соотношениям т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Неопределенности энергии Е некоторого состояния системы и промежутка времени t, в течение которого это состояние существует, удовлетворяют соотношению:

Это означает, что система, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением E; разброс энергии Е = h /t увеличивается с уменьшением времени t жизни системы. Частота v излученного фотона также должна иметь неопределенность v = E/h, т.е. спектральные линии должны иметь конечную ширину: v = v + E/h.

Для описания распределения вероятности нахождения частицы в данный момент t в некоторой области пространства вводится волновая функция (x,y,z,t) (пси-функция). Она определяет вероятность dW того, что частица находится в элементе объема dV: dW = имеет смысл плотности вероятности:

а сама волновая функция имеет смысл амплитуды вероятности.

является основной характеристикой состояния микрообъектов. С ее помощью могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный микрообъект.

Условие нормировки вероятностей:

вероятность существования частицы где-либо в пространстве равна 1, интеграл берется по всему бесконечному пространству.

Волновая функция, характеризующая вероятность dW обнаружения действия микрочастицы в элементе объема dV должна быть:

1) конечной (dW не может быть больше единицы dW 1 ; dW не может быть отрицательной dW 0 );

2) однозначной (вероятность имеет единственное значение в dV );

3) непрерывной (вероятность не может изменяться скачком);

5) функция ||2 должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей).

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики уравнение Шредингера (оно справедливо для любой частицы движущейся с V = c ):

где m — масса частицы, i — мнимая единица, = 2 + 2 + 2 — оператор Лапласа, U(x,y,z,t) — потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.

Решение уравнения (2.9) имеет вид:

( x, y, z,t ) = ( x, y, z ) ( t ), где ( x, y, z ) функции только координат, ( t ) функции только времени.

Частные случаи общего уравнения Шредингера (2.9):

1) Уравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключена зависимость от t и, поэтому, значения энергии этих состояний являются фиксированными (не изменяются со t):

Функции ( x, y, z ), удовлетворяющие уравнению (2.10) при данном U, называются собственными функциями. Значения энергии Е, при которых существует решение (2.10) называются собственными значениями.

Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном) спектре, во втором — о дискретном спектре.

2) В случае свободной частицы U ( x ) = 0, движущейся вдоль оси x уравнение (2.9) имеет вид:

Собственные функции уравнения (2.11):

где А – амплитуда волн де Бройля, px - импульс частицы.

Собственные значения энергии, образующие непрерывный спектр энергии:

где k = x - волновое число.

3) Для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечными высокими стенками:

ется от ее дна.

Стационарное уравнение (2.10) в одномерном случае имеет вид:

За пределы «ямы» частица не проникает, поэтому волновая функция вне «ямы»: (0)= (l) = 0. Собственные функции уравнения (2.14):

Энергия частицы в «потенциальной яме» принимает лишь определенные дискретные значения:

Энергетический интервал En между двумя соседними уровнями:

4) Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории.

U=, где 0 — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы. «Потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера:

где Е — полная энергия осциллятора.

Собственные значения энергии для уравнения (2.18):

Энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Минимальное значение энергии: En = h0.

5) В водородоподобном атоме электрон находится в центральном поле кулоновских сил и обладает потенциальной энергией U (r) =. Состояние электрона в атоме водорода и водородоr подобных системах описывается волновой функцией, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (2.10):

где r — расстояние между электроном и ядром, m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

Собственные значения энергии образуют дискретный ряд:

Уравнению (2.20) удовлетворяют собственные функции, определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l, магнитным ml.

Состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел:

1. главное квантовое число n = 1, 2, 3,… - указывает номер энергетического уровня электрона;

2. орбитальное квантовое число l = 0, 1, 2,..., (n-1) - определяет форму электронного облака. Определяет модуль момента импульса электрона в атоме:

3. магнитное квантовое число ml = 0, ±1, ±2,…, ± l – определяет проr екцию орбитального момента импульса электрона Ll в атоме на заданное направление Z внешнего магнитного поля:

4. спиновое квантовое число ms = ±1/2 – определяет проекцию спина электрона Ls в атоме на заданное направление Z внешнего магнитного поля:

На изменения квантовых чисел накладываются условия, называемые правилами отбора (определяют возможные квантовые переходы). Переходы между электронными состояниями возможны только в том случае, если:

1) изменение l орбитального квантового числа удовлетворяет условию: l = ±1.

2) изменение ml магнитного квантового числа удовлетворяет условию: ml = 0, ±1.

Квантовые числа учитываются при заполнении электронных оболочек. Также при заполнении соблюдаются два правила:

1. Каждый электрон занимает как можно более низкое энергетическое состояние;

2. Принцип Паули: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, ml, ms (иначе говоря, в атоме состояния всех электронов различны).

Определите как изменится длина волны де Бройля электрона в атоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую 4.

Запишем условие стационарности по де Бройлю (2.1). Для второй и четвертой боровских орбит имеем: 2 r4 = 4 4 и 2 r2 = На основании формулы (1.2) можно записать rn = n2 r1. Тогда для рассматриваемых орбит имеем: r4 = 4 2 r1 и r2 = 2 2 r1.

Найдем изменение длины волны при переходе электрона:

Какую энергию E необходимо сообщить нерелятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась в п раз?

Обозначим конечную дебройлевскую длину волны '. Имея в виду, согласно (2.2) и (2.3), : :, запишем:

первоначальная кинетическая энергия электрона. Окончательно получаем E = K ( n 2 1 ) = ( n 2 1).

При каком значении кинетической энергии К дебройлевская длина волны релятивистского электрона равна его комптоновской длине волны C ?

Исходим из равенства = C, где определяется формулой Длина волны излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм.

Принимая время жизни возбужденного состояния t = 10 8 c, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на энергетического уровня воспользуемся формулой (2.5). Рассуждения проведем для конечной ширины энергетического уровня, проведем расчет:

Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией: 1) 100 эВ; 2) 3 МэВ.

Задача сводится к выражению импульса р через кинетическую энергию К. Решение зависит от того, классической или релятивистской частицей следует считать электрон.

1) Сравним K 1 = 100 эВ с энергией покоя электрона E0 = mc 2 = 0,5 МэВ, т.е. K 1 = E0, в этом случае электрон является классической частицей. Тогда К1 и р свяжем по формуле (2.3): p1 = 2mК 1. Найдем длину волны де Бройля из формулы полним расчет: 1 = 2) Теперь сравним K 2 = 3 МэВ ? E0, т. е. электрон является релятивистской частицей, поэтому импульс найдем по формуле (2.4):

Проведем расчет:

= 3, 38 10 13 м.

Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода 13,6 эВ. Исходя из соотношения неопределенностей, найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

Воспользуемся соотношением неопределенностей (2.5):

x px h, отсюда следует x. Величина px неизвестна, но сам импульс p можно найти, т.к. известна средняя кинетическая энергия электрона. Так как K = mc 2, то электрон рассмотрим как нерелятивистскую частицу. Свяжем кинетическую энергию и импульс соотношением (2.3): p = 2mК.

Импульс – векторная величина и его направление нам неизвестно. Однако известно, что его величина лежит в пределах от – р до + р, Полагая, что в атоме водорода электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите, оценить радиус этой орбиты.

Электрон вращается вокруг ядра под действием кулоновских сил. Согласно второму закону Ньютона: FK = man, откуда пользуемся формулой (2.5): x px h - (2), где x : r - радиус орбиты; p : p = 2mК. Запишем формулу (2) в виде: r 2mК h.

Возведем последнее уравнение в квадрат: r 2 2mК h 2 и выразим чательно получим: r Среднее время жизни t атома в возбужденном состоянии около 10 c. При переходе в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого 400 нм. Оценить относительную ширину излучаемой спектральной линии, если не происходит уширение линий за счет других процессов.

Решение:

Запишем выражение, связывающее среднюю со средней Распишем неопределенность длины волны:

Относительная ширина спектральной линии равна:

= - (2). Исходя из неопределенности энергии (2.6), имеем: E - (3). Запишем знаменатель (2) с учетом выражения (3): E Сделаем расчет значений:

Частица находится в основном состоянии в одномерной «потенциальной яме» шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < x < l). Найти: а) вероятность местонахождения частицы в интерваl 2l ле, ; б) среднее значение координаты x частицы.

а) Согласно (2.15) запишем - функцию в основном состоянии ловия нормировки (2.8) Введем новую переменную y = x, dx = dy и перейдем к новым пределам интегрирования y1 = x1 =, y2 = x2 =. Запишем (2), подставив (1), с учетом новой переменной:

0,61.

б) Среднее значение координаты частицы найдем из условия:

рической формулой sin Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно m. Найти ширину l «ямы» и энергию Е частицы.

Воспользовавшись выражением (2.15) для - функции в основном состоянии n = 1, запишем плотность вероятности для этого состояния согласно (2.7) «ямы», т.е. при x =. Поэтому максимальное значение плотности Согласно (2.16) энергия частицы для основного состояния будет Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид: ( r ) = e a, где r - расстояние от этой частицы до силового центра, а - некоторая постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определить: а) нормировочный коэффициент А; б) среднее расстояние частицы до силового центра r ; в) среднее значение квадрата расстояния частицы до центра силового поля r 2.

=2 aA2 =1. Нормировочный коэффициент A= - (1).

б) Определим среднее расстояние частицы до силового центра:

1 = 2 a 2 A2. Подставим выражение (1) и окончательно поa в) Найдем среднее значение квадрата расстояния частицы до Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид: ( r ) = Ae, где r - расстояние частицы от силового центра, а a некоторая постоянная. Определить наиболее вероятное расстояние частицы до силового центра rв.

Запишем вероятность нахождения частицы в элементе объема dV в силовом поле (рисунок 4) dW = ( r ) dV, где dV = 4 r 2 dr, Определим плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке пространства согласно (2.7):

Найдем наиболее вероятное расстояние частицы до силового центра rв из условия максимума плотности вероятности

ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

Атомное ядро состоит из нуклонов: протонов и нейтронов. Число нуклонов в ядре равно массовому числу А (округленной до целого числа атомной массе элемента, выраженной в атомных единицах массы (а.

е. м.)). Число Z протонов в ядре равно порядковому номеру элемента в периодической системе элементов Д.И. Менделеева, и представляет собой заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда (заряда электрона). Число нейтронов в ядре N = A - Z. Оно не влияет на химические свойства элемента, однако, влияет на устойчивость ядра.

Любой химический элемент или элементарная частица обозначается символами Z X.

Химические элементы с одинаковым числом протонов в ядре, но различным числом нейтронов называются изотопами.

Масса ядра меньше массы нейтрального атома на массу электронов, входящих в состав электронной оболочки атома:

Дефектом массы атомного ядра называется разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося из них ядра:

где m p - масса свободного (вне ядра) протона; mn - масса свободного нейтрона.

Энергия связи ядра определяется работой, которую необходимо совершить, для того чтобы разделить ядро атома на отдельные нуклоны и удалить их друг от друга за пределы действия ядерных сил без сообщения им кинетической энергии. Энергия связи ядра выражается соотношением:

где с – скорость света в вакууме;

c 2 = 8,987 10 16 м 2 = 8,987 10 16 Дж кг. Если энергия выражена в мегаэлектронвольтах, а m в а. е. м. то c 2 = 931,4 МэВ а.е.м..

Удельная энергия связи - энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон:

Атомы химических элементов могут превращаться друг в друга путем распада, – испускания (поглощения) ядром элементарных частиц: - частицы (ядро 4 He ), протона 1 p (или ядро 1 H ), нейтрона n, электрона 0 1 e, позитрона 0 1 e и др.

Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого элемента, сопровождающееся испусканием элементарных частиц или ядер. Все химические элементы, начиная с порядкового номера Z = (A = 208 а. е. м.), обладают естественной радиоактивностью. УстойчиA выми считаются легкие ядра, у которых Z =, т.е. число протонов и нейтронов в ядре примерно одинаковое. Если соотношение между числом протонов и нейтронов в ядре не соответствует тому, которое имеет место в устойчивом изотопе, то может произойти спонтанный распад ядра. Понятие «спонтанный» означает, что момент распада заранее определить невозможно, однако, возможно установить статистическую зависимость количества распавшегося вещества от времени распада.

Этой зависимостью выступает закон радиоактивного распада:

где характеризует распадающееся вещество и называется постоянной радиоактивного распада; имеет смысл вероятности распада ядра за с, и равна доле ядер, распадающихся в единицу времени; N0 – первоначальное число радиоактивных ядер вещества в начальный момент времени t0; N – число нераспавшихся радиоактивных ядер к моменту времени t.

Число атомов, распавшихся за время t:

Среднее время жизни радиоактивного ядра – промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e=2, раз:

Обычно вместо постоянной распада пользуются периодом полураспада T1 2 – времени, за которое распадается половина всех атомов вещества. Период полураспада для известных в настоящее время радиоактивных элементов колеблется в пределах от 3·10-7 с до 5·1015 лет.

Период полураспада T1 и связаны соотношением:

Прологарифмировав выражение (3.8), получим Тогда закон радиоактивного распада (3.5) можно записать в виде:

Активностью А нуклида в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с:

Подставляя соотношения (3.9) и (3.10) в формулу (3.11), получим:

Активность изотопа с течением времени t уменьшается по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер:

Массовая активность а радиоактивного источника есть величина, равная отношению где m - масса радиоактивного химического элемента.

Единица активности в СИ – беккерель (Бк): 1 Бк – активность нуклида, при которой за 1 с происходит один распад.

Число атомов вещества можно найти, зная его массу m и молярную массу µ:

Радиоактивный распад сопровождается одним из трех видов излучения: -излучение, - излучение, - излучение.

Альфа-лучи ( - частицы) представляют собой поток ядер гелия He. При -распаде ядро радиоактивного изотопа испускает ядро гелия и превращается в ядро изотопа элемента, порядковый номер которого на 2 единицы меньше, а массовое число уменьшается на четыре единицы:

где X,Y исходное и конечное ядра.

Бета-лучи ( - - частицы) представляют собой поток быстрых электронов 0 1 e, испускаемых ядрами неустойчивых элементов, при этом возрастает на единицу порядковый номер ядра изотопа нового элемента, а массовое число не изменяется:

Бета-лучи ( - частицы) представляют собой поток быстрых позитронов 0 1 e, испускаемых ядрами неустойчивых элементов, при этом уменьшается на единицу порядковый номер ядра изотопа нового элемента, массовое число не изменяется:

Гамма-лучи ( - излучение) представляет собой электромагнитное излучение малой длины волны (порядка 10-13 м), испускаемое при переходе ядер из возбужденного состояния в основное.

Атомы одного элемента под действием бомбардировки частицами могут превращаться в атомы другого элемента. Символическая запись ядерной реакции может быть дана в развернутом виде:

где a,b бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.

Методические указания к решению задач Решение задач на ядерные реакции основано на применении законов сохранения: 1) электрического заряда;

2) суммарного числа нуклонов;

3) энергии;

4) импульса.

Первые два закона позволяют правильно записывать ядерные реакции даже в тех случаях, когда одна из частиц (продуктов или участников реакции) не дана. С помощью вторых двух законов находят кинетические энергии частиц – продуктов реакции, а также направление их разлета.

Процесс столкновения бомбардирующей частицы с ядром, при котором частица поглощается ядром, рассматривают как неупругий удар и применяют при этом закон сохранения импульса.

В законе сохранения энергии под энергией подразумевается полная релятивистская энергия:

Слева стоят величины, относящиеся к частицам до реакции, справа – после реакции. Если частицы являются продуктами реакции, вызванной столкновением медленных частиц, то пользуются классической формулой для кинетической энергии:

Если ядерная реакция идет с участием быстрых частиц, то пользуются релятивистским соотношением:

где m - масса покоящейся частицы.

Энергия ядерной реакции (тепловой эффект реакции) находится по формуле:

m сумма масс покоя частиц до реакции; m' сумма масс где покоя частиц после реакции. Если m > m', то энергия освобождается Q > 0, реакция экзотермическая. Если m < m', то энергия поглощается Q < 0, реакция эндотермическая.

Энергия ядерной реакции также может быть записана формулой:

Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определите в какой элемент превращается 238 U после шести и трех распадов.

Запишем уравнение ядерной реакции:

U 6 4 He + 3 0 1 e + Z X. Воспользуемся законами сохранения суммарного числа нуклонов, электрического заряда и составим систеA По порядковому номеру Z в таблице Менделеева определяем ядро висмута 214 Bi.

Радиоактивное ядро магния 23 Mg выбросило позитрон и нейтрон. Определить энергию Q + распада ядра.

Запишем реакцию + распада ядра: 23 Mg 11 Na + 0 e + 0 v.

Принимая, что ядро 23 Mg было неподвижно, и, учитывая, что масса покоя нейтрино mv = 0, напишем уравнение энергетического баланса.

На основании закона сохранения релятивистской полной энергии (3.23) имеем: m Mg c 2 = m Na c 2 + K Na + me c 2 + K e + K v. Энергия распада будет равна (3.1): Q = K Na + K e + K v = c 2 m Mg m Na me. Выразим массы ядер Mg и Na через массы соответствующих нейтральных Выполним подстановку значений и сделаем расчет:

Q = 931,4 ( 22,99414 22,98977 2 0,00055 ) = 3,05MэВ.

Энергия связи ядра Eсв, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определить: а) массу m нейтрального атома, обладающего этим ядром; б) удельную энергию связи для этого ядра св.

а) Запишем энергию связи Eсв для рассматриваемого ядра согласно (3.2) и (3.3): Eсв = с 2 Zm p + Nmn M Я, су нейтрального атома найдем из (3.1):

Выполним расчет значения:

Менделеева определяем, что исследуемое ядро было 7 Li.

б) Удельную энергию связи св для этого ядра определим из соотношения (3.4): св =, выполним расчет Найти среднее время жизни радионуклида 55 Со, если его активность уменьшается на = 4% за время t0 = 6 мин.

Активность А уменьшается со временем по тому же закону, что и число радиоактивных ядер (3.13) A = A0 e t 0, в нашем слуА А чае = t0 = ln ( 1 ) - (1). Согласно (3.7), =. Из формулы (1) следует, среднего времени жизни нуклида Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата 27 Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t= =6 ч. Период полураспада магния Т 1 = 10 мин.

ну найдем, воспользовавшись законом радиоактивного распада (3.5): N = N 0 e t. Продифференцируем это выражение:

чальная активность A0 = N 0 - (4).

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом ных ядер определим, используя (3.15): N 0 = N A, где µ - молярная масса магния. Окончательно получаем А0, подставив (3.15) и (3.9) в (4): A0 = N A - (5). Произведем расчет числового значения:

A0 = 5,13 10 12 Бк.

Определим активность через t = 6 ч, для этого подставим (5) и Сделаем расчет активности: A = 81,3Бк.

Неподвижное ядро 6 Не испытывает распад, в результате которого дочернее ядро оказалось в основном состоянии. Энергия распада Q = 3,5 МэВ. Под каким углом к направлению вылета электрона испущено нейтрино, если электрон с энергией Ке = 0,6 МэВ вылетел под прямым углом к направлению движения ядра отдачи?

Изобразим диаграмму импульсов (рис. 5а), где pe импульс вылетевшего электрона, pд импульс отдачи дочернего ядра, pv импульс вылетевшего нейтрино. Путем параллельного переноса векторов изобразим треугольник импульсов (рис. 5б). Из треугольp (1). Согласно (2.4):

кинетическая энергия дочернего ядра при отдаче. В последнем равенpд стве К д можно пренебречь. Исходя, из соотношения К д =, приm д нимая во внимание, что импульсы всех трех частиц по порядку величины одинаковы, а масса ядра-отдачи значительно превосходит массу электрона mд ? me, следует К д = К e.

Таким образом, подставим соотношения (2) и (3) в (1):

щей - частицы К = 4 МэВ, и протон, вылетевший под углом = к направлению движения - частицы, имеет энергию Кр = 2,08 МэВ.

7 N + 2 He 1 p + 8 O. Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии для случая неподвижного ядра 14 N :

К=, решим уравнения (2) и (3), исключив из них po и К o :

третье слагаемое на соответствующую дробь, чтобы выделить К и Сделаем расчет значения:

ЛИТЕРАТУ РА

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Т.3 - М.: Высш. шк., Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2: Электричество и магнетизм, волны, оптика. – М.: Наука, 1988. - 496 с.

Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. – М.: Наука, 1987. - 320 с.

Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: Учебн. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. шк., 1988. - 527 с.

Трофимова Т.М., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями: Учебн. пособие для студентов втузов.- М.: Высш. шк., Учебно-методическое пособие по курсу общей физики. Часть IV.

Атомная и ядерная физика Пацева Юлия Владимировна Полетаев Геннадий Михайлович Издано в авторской редакции.

Подписано в печать 20.11.09. Формат 6084 1/16.

Печать – ризография. Усл.п.л. 2,09.

Тираж 100 экз. Заказ 2009 - Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46.

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020822 от 21.09.98 г.

Отпечатано на кафедре «Начертательной геометрии и графики»