Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

В.Н. Мальцев

ОПТИКА. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Учебно-методическое обеспечение модуля «Общая физика».

Дисциплина «Оптика»

Учебное электронное текстовое издание

Подготовлено кафедрой «Общей и молекулярной физики»

Конспекты лекций, читаемых по дисциплине «Оптика» в рамках модуля «Общая физика», для студентов второго года дневной формы обучения по направлениям бакалавриата 011200 – «Физика»; 011800 – «Радиофизика»; специальности 011501 – «Астрономия».

УрФУ, 2014 Екатеринбург Учебное электронное текстовое издание Мальцев Владимир Николаевич

ОПТИКА. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

Редактор Компьютерная верстка Рекомендовано Методическим советом Разрешен к публикации Электронный формат – pdf Объем уч.-изд. л.

620002, Екатеринбург, ул. Мира, Информационный портал УрФУ http://www.ustu.ru

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие представляет собой конспект курса лекций по оптике, читаемого в рамках модуля «Общая физика» для студентов 2-го курса, обучающихся по направлению «Физика», «Радиофизика», «Астрономия», «Астрофизика» в Институте естественных наук Уральского федерального университета.

Конспект лекций не является учебником, а всего лишь кратким изложением базовых положений и результатов из обширной области физики, называемой оптикой. Список учебников и литературы, полезной для более подробного изучения отдельных вопросов по оптике, приведен ниже.

Безусловно, этот список не вмещает всю литературу по оптике, выбор перечисленных наименований обусловлен наличием их в библиотеках.

Изложение материала сделано настолько кратким, насколько это возможно, чтобы основные положения не заслонялись несущественными, на данном этапе изучения, деталями. В то же время, некоторые вопросы рассматриваются более подробно, потому что в лекционном курсе им обычно уделяется мало времени, или данные вопросы традиционно вызывают затруднения в их понимании.

Лекционный курс, как правило, состоит из 22 лекций. Распределение тем курса по часам и их порядок следования приведены ниже.

Это распределение не является жестким и корректируется в соответствии с учебным расписанием. Данный конспект лекций, в частности, и призван, за счет самостоятельного изучения студентом отдельных вопросов, компенсировать нехватку аудиторного времени, отводимого на лекции, которая возникает в отдельные годы.

№ Название темы Количество темы часов Фотометрия 1 Геометрическая оптика 2 Волны. Интенсивность. Поляризация. Излучение света Отражение и преломление волн на границе раздела двух Взаимодействие света с веществом Оптика анизотропных сред Интерференция Излучение абсолютно черного тела. Квантовые свойства Специальная теория относительности Нелинейная оптика Пособие состоит из 11 глав. Эти главы можно читать в любой последовательности, внутри них почти нет ссылок на другие главы, но для лучшего усвоения материала предлагается следовать той последовательности, которая приведена выше.

Нумерация формул и рисунков относится только к данной главе.

Для проверки степени усвоения материала предлагается использовать пособие «Контрольные вопросы по оптике». На вопросы следует отвечать, не заглядывая в конспект. Если на какой-либо из вопросов не удается ответить, то необходимо найти ответ, обратившись к соответствующему месту в конспекте.

Уровень освоения считается удовлетворительным при 80 процентах правильных ответов.

Список литературы 1. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Учеб. пособие: Для вузов. В 5 т. Т. IV.

Оптика. / Д.В. Сивухин. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 792 с.

2. Матвеев, А.Н. Оптика.: Учеб. пособие для физ. спец. вузов. / А.Н. Матвеев.

– М.: Высш. шк., 1985. – 351 с.

3. Ахманов, С.А. Физическая оптика: Учебник/ С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин.

–М.: Из-во МГУ; Наука, 2004. – 656 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики. В 5-ти томах. Том 4. Волны. Оптика. / И.В. Савельев. – СПб.: «Лань», 2011. – 256 с.

5. Ландсберг, Г.С. Оптика. Учеб. пособие: Для вузов./ Г.С. Ландсберг. – М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2003, – 848 с.

6. Иродов, И.Е. Волновые процессы. Основные законы: Учеб. пособие / И.Е.

Иродов. – М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2010. – 264 с.

7. Бутиков, Е.И. Оптика: Учеб. пособие для вузов / Е.И. Бутиков; под ред.

Н.И. Калитиевского. – М.: Высш. шк., 1986. – 512 с.

8. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. – М.: Наука, 1973, – 720 с.

Световой поток представляет собой поток энергии. В этом можно очень просто убедиться, если с помощью собирающей линзы сфокусировать солнечный свет, например, на спичечной головке. Спустя некоторое время спичка воспламенится, поскольку нагреется до температуры воспламенения.

Зрение, загар на коже, зеленый цвет растительности и еще многое другое – все это результат действия потока световой энергии.

1.1. Фотометрические величины Поток энергии через некоторую поверхность площадью определяется как количество энергии dW, прошедшей через эту поверхность за время t, то есть поток – это мощность энергии проходящей через поверхность :

Однако, поскольку светом мы называем поток энергии воспринимаемый глазом, то есть не все количество энергии, попадающее в глаз, а только то, которое воспринимается им, то для светового потока используют единицу измерения люмен (лм), а не ватт (Вт), как это следует из определения. Связь между фотометрическими и энергетическими величинами будет рассмотрена ниже.

предположения:

1. источник света считается точечным, если размеры источника малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения;

2. если размеры источника таковы, что его нельзя считать точечным, то его излучающую поверхность можно разбить на малые участки, для которых выполняется условие 1, и тогда результат действия такого источника складывается из действий малых участков его поверхности.

Предположим, что точечный источник света находится в пустоте. Тогда поток света d по всем направлениям, лежащим внутри некоторого конуса с вершиной в источнике света, будет одинаковым через любую поверхность, пересекающую этот конус (рис. 1).

Для характеристики объема направлений внутри заданного конуса вводят понятие телесного угла dW. На расстоянии R от источника света сделаем поперечное сечение конуса плоскостью, пусть площадь этого сечения и нормаль n к этому сечению отклонена от оси конуса на угол. Тогда телесный угол определяется как отношение Если сечение конуса осуществить с помощью сферы радиуса R с центром в вершине конуса, то j 0 и тогда Из этого выражения следует, что телесный угол для всех возможных направлений в пространстве равен 4 (в этом случае равна площади сферы – = 4R2), а для полупространства 2. Иногда бывает удобно представить телесный угол через сферические координаты:

Чтобы найти поток, излучаемый источником по всем направлениям необходимо вычислить интеграл Поток – основная энергетическая характеристика излучения, многие регистрирующие оптические приборы – фотоприемники регистрируют именно поток света, попадающий в них.

Силой света называют поток энергии, излучаемый в единицу телесного угла:

Единицей измерения силы света является кандела (кд). Для силы света имеется международный эталон, поэтому все фотометрические величины выражаются через силу света.

Как следует из выражения (2), если поток одинаков по всем направлениям, то сила света I – истинная сила света по любому направлению. Если же поток разный в различных направлениях, то отношение I – средняя сила света.

1.1.3. Освещенность Величина потока света, приходящаяся на единицу площади поверхности, называется освещенностью. Так, освещенность поверхности на рис. 1.

Освещенность в СИ измеряется в люксах (лк): 1лк, в системе СГС используется единица освещенности фот: 1фот 104 лк. Большинство объектов являются видимыми по той причине, что отражают падающий на них поток света. При недостаточной величине освещенности детали объекта плохо различимы глазом, поэтому для человека в его деятельности уровень освещенности рабочего места имеет большое значение.

На рис. 1 показан точечный объект, а на практике часто используются осветители, имеющие значительные размеры, т.е. они уже не являются точечными. Поэтому для расчета освещенности, создаваемой в некоторой точке поверхности протяженным источником, используют следующий прием: весь источник условно разбивают на участки, которые можно считать точечными, и находят величину освещенности, создаваемую каждым участком в данной точке поверхности. Результирующая освещенность в этой точке представляет собой сумму вкладов от отдельных участков протяженного источника. Часто в расчетах можно считать источник точечным, если его линейные размеры представляют 1/10 расстояния от источника до поверхности.

1.1.4. Яркость характеристику, связанную с потоком, излучаемым с единицы поверхности в данном направлении. Выделим на поверхности участок площади, выделим пучок, опирающийся на этот участок и образующий телесный угол dW.

Направление пучка, составляет угол с нормалью n к поверхности (Рис. 2).

Поток d в этом направлении прямо пропорционален величине площади, величине телесного угла dW и косинусу угла. Математически эту зависимость можно записать следующим образом:

где В – коэффициент пропорциональности, величина которого зависит от угла. Этот коэффициент называют яркостью источника по направлению :

Яркость характеризует поток, излучаемый в заданном направлении, с единицы площади в единицу телесного угла. Единицей измерения яркости является 1 кандела на м2 – собственного названия эта единица не имеет.

Яркости светящихся тел могут быть различными: яркость ночного безлунного неба – 10–4 кд/м2; яркость полной Луны – 2500 кд/м2; яркость дневного неба – 1500 кд/м2; яркость Солнца – 1,5109 кд/м2; яркость стеариновой свечи – кд/м2.

В общем случае яркость зависит от направления, однако, для некоторых источников она не зависит от направления. Такие источники называются ламбертовскими (по фамилии немецкого физика Ламберта). Такими источниками являются светящаяся матовая поверхность или мутная среда, каждый участок которых рассеивает свет равномерно во все стороны.

Например, используемые для освещения матовые плафоны светильников являются ламбертовскими источниками. С некоторым приближением ламбертовским источником можно считать Солнце. Ламбертовские источники неотличимы от светящейся плоскости. Например, Солнце видно как светящийся диск, а не шар. Лишь при внимательном рассмотрении можно заметить, что яркость солнечного диска спадает от центра к периферии.

Использование ламбертовских источников в фотометрии значительно упрощает решение оптических задач.

Яркость является важной характеристикой светящихся объектов, так как человеческий глаз реагирует именно на яркость источников.

Под светимостью понимают поток, излучаемый с единицы площади поверхности в полупространство (т.е. в телесный угол 2):

Как можно видеть, математическое определение светимости такое же, как и для освещенности. Но в случае освещенности обозначает поток, падающий на поверхность, а в случае светимости – поток, излучаемый поверхностью.

Единицей измерения светимости, так же, как и в случае освещенности, является люкс.

В случае ламбертовских источников между светимостью источника и его яркостью имеется простая связь. Действительно, согласно (4), поток, излучаемый в полупространство, с учетом независимости В от направления, определяется интегралом:

Подставляя это выражение в (6), находим связь между светимостью и яркостью ламбертовского источника:

1.1.6. Интенсивность света Для характеристики светового потока в оптике используется понятие интенсивности света. По своему определению оно совпадает с определением яркости источника, только в качестве светящейся поверхности используется не поверхность источника, а поперечное сечение светового потока. Обычно, для обозначения интенсивности света используется символ I. Это обозначение совпадает с символом, используемым для обозначения силы света, но в фотометрии понятие интенсивности света не используется, поэтому путаницы с использоваться в физической оптике в качестве величины характеризующей не источник, а световой поток от него.

1.2. Связь между фотометрическими величинами и энергией излучения Фотометрические величины связаны не со всем потоком излучаемой энергии энерг, а лишь с тем, который воспринимается глазом, этот поток мы энергетического потока характеризуется функцией видности (чувствительности глаза) Видность различна для излучений разных длин волн, т.е. K K (), максимальное ее значение имеет место для длины волны = 555 нм. В силу того, что величина воспринимаемого глазом потока различна у разных людей, для характеристики чувствительности глаза используется относительная спектральная чувствительность глаза (относительная функция видности) Рис. 3. Относительная спектральная чувствительность человеческого глаза. Кривая 1 – чувствительность при дневном освещении, кривая 2 – при вечернем График этой зависимости приведен на рис. 3. Интервал длин волн, для которых видность отлична от нуля, определяет интервал видимого света.

Электромагнитное излучение с длинами волн из этого интервала мы называем «светом».

используется специальный множитель – механический эквивалент света А = 1,4610–3 Вт/лм. Он определяет мощность излучения в ваттах, необходимую для того чтобы вызвать такие же световые ощущения, как и световой поток в люмен. С помощью механического эквивалента света и относительной функции видности можно по энергетическим характеристикам излучения определять фотометрические величины и наоборот. Например, допустим, в эксперименте в интервале длин волн 1 2 зафиксирована зависимость светового потока от излучателя свет (), требуется определить какая мощность в ваттах должна быть у излучателя на этом интервале длин волн. Тогда, используя (8) и (9), находим решение этой задачи

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

2.1. Предмет геометрической оптики Под геометрической оптикой понимают раздел оптики, в котором при решении оптических задач пренебрегают волновыми свойствами света. Так предполагается, что:

длина волны света пренебрежимо мала, поляризация света не учитывается, амплитудой волны можно пренебречь.

Таким образом, этот метод имеет значительные ограничения или не применим вообще в случаях, когда нельзя пренебречь волновыми свойствами света.

Основной задачей геометрической оптики является нахождение траекторий распространения лучей света в среде, траекторий лучей после отражения или прохождения границ раздела сред с целью построения изображения предмета.

2.2. Основные законы геометрической оптики Законы геометрической оптики были установлены экспериментально.

2.2.1. Закон прямолинейного распространения света «В однородной среде свет распространяется вдоль прямой линии». Этот закон нарушается в случаях, когда становятся существенными дифракционные эффекты.

2.2.2. Закон независимости световых пучков «Световые лучи распространяются независимо друг от друга», т.е. не оказывают никакого влияния друг на друга. Этот закон нарушается в случаях, когда необходимо учитывать явления интерференции и зависимости оптических свойств среды от интенсивности света.

2.2.3 Закон отражения от поверхности «Падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости, а угол, под которым свет отражается от поверхности, равен по величине углу, под которым свет падает на эту поверхность». Угол отсчитывается от нормали к поверхности против часовой стрелки.

Математически этот закон выражается формулами:

2.2.4. Закон преломления на границе раздела двух сред (Закон Снелла) «Падающий луч, преломленный луч и нормаль к поверхности раздела лежат в одной плоскости, а произведение показателя преломления среды на синус угла между нормалью не меняется при переходе через границу раздела двух сред».

Математически этот закон выражается следующей формулой:

Под показателем преломления среды n понимают отношение скорости света в вакууме – c к скорости света в среде – v:

Из (2), с учетом знаков углов, для закона отражения должно выполняться равенство n1 sin n2 sin ', откуда следует:

Таким образом, результаты, полученные для преломления на поверхности можно применить для рассмотрения случая отражения сделав замену (4).

Из уравнения (2) следует, что при n1 n2 угол преломления меньше угла падения 1 2.

В случае, когда n1 n2, т.е. в случае падения света из оптически более плотной среды на границу среды с меньшей оптической плотностью, угол преломления больше угла падения 1 2. При угле падения 0 arcsin 2, угол преломления становится равным 90 и при дальнейшем увеличении угла падения преломленного луча уже не существует. Эффект отсутствия преломленного луча называют полным внутренним отражением, а угол 0 – наименьшим углом полного внутреннего отражения.

2.2.5. Закон взаимности (Обратимости хода лучей) «При изменении направления распространения света в лучах на противоположное их взаимное расположение не меняется». То есть, при изменении направления стрелок на рисунках в законах отражения и преломления положения лучей не меняются. Фактически этот закон фиксирует тот факт, что распространение света между двумя точками в пространстве всегда происходит по одному и тому же пути, независимо от направления. Этот закон нарушается в случаях, когда требуется учитывать поляризацию света.

2.3. Принцип Ферма Законы геометрической оптики, касающиеся направления лучей, как оказалось позднее, являются следствием принципа, установленного распространяется по пути, требующему наименьшего времени, в сравнении с любыми другими путями между этими точками». В настоящее время этот распространяется свет, соответствует экстремуму времени распространения».

Это означает, что время распространения по этому пути может быть как минимальным, так и максимальным или равным в сравнении со временем при распространении по всем другим возможным путям.

Вывод законов геометрической оптики из принципа Ферма приведен ниже, чтобы прояснился смысл фразы «экстремум времени распространения».

прямолинейного распространения света тривиальным образом следует из принципа Ферма, поскольку в однородной среде скорость распространения не меняется, то наименьшее время для прохождения между двумя точками будет иметь место при движении по наикратчайшему пути, т.е. вдоль прямой линии (показано стрелкой), соединяющей эти точки.

Рис. 3. Из всех возможных траекторий (показаны штриховой линией) в однородной среде Закон отражения. Закон отражения выводится также как и в предыдущем случае, только с учетом того, что на отражающей поверхности происходит излом траектории. Действительно, из точки А в точку В можно попасть при отражении от любой точки поверхности. Возьмем на поверхности точку C, соответствующую отражению под тем же углом, под которым происходит падение, и любую точку D, от которой отражение происходит под углом не равным углу падения. Точка В' является отражением точки B относительно плоскости, т.е. расстояния от этих точек до плоскости равны. Из рисунка видно, что | CB | | CB ' | и | DB | | DB ' |, но тогда |АСВ| = |АСВ'| и |АDB| = |АDВ'|. Из рисунка видно, что | ACB ' | | ADB ' |, и, следовательно, время на прохождение пути |АСВ| будет наименьшим. Таким образом, отраженный луч будет двигаться вдоль направления, которое составляет с нормалью угол, равный углу падения.

Рис. 4. Если зеркально отразить точку B относительно поверхности, то прямая AB' пересечет поверхность в точке, в которой будет выполняться закон отражения Закон преломления. Чтобы получить закон преломления из принципа Ферма, рассмотрим распространение света из точки A в точку B, находящиеся в средах с показателями преломления n1 и n2, соответственно. Надо найти положение точки C на границе раздела, для которой выполняется принцип Ферма. Введем декартову систему координат как показано на рисунке. Тогда положение точки C будет зависеть только от координаты x. Тогда экстремум времени распространения между точками A и B определяется из равенства нулю производной Это время складывается из времен распространения в каждой из сред: t t1 t2, производную и приравняем ее нулю:

Из последнего равенства следует закон Снелла (2).

Рис. 5. Траектория распространения света из A в B, если эти точки находятся в средах с разными показателями преломления. В точке С должен выполняться закон преломления Принцип Ферма позволяет получать траекторию распространения света и в неоднородной среде. Например, из последнего рисунка видно, что если показатель преломления во второй среде будет увеличиваться с удалением от границы раздела, то угол преломления с удалением от поверхности будет распространяться вдоль некоторой кривой.

2.4. Основные понятия и приближения геометрической оптики изображение предмета, получаемое любой оптической системой, в которой предмета, считают источником света и находят положение ее изображения после прохождения оптической системы. Совокупность изображений точек предмета дает изображение всего предмета. Но в общем случае сложной вычислениями, поэтому вводят ряд приближений, упрощающих построение.

Под оптической системой здесь понимается набор чередующихся поверхность является частным случаем сферической поверхности с радиусом поверхностей, которые составляют систему, лежат на одной прямой, которую называют главной оптической осью. В этом случае говорят, что система центрирована.

Рис. 6. Центрированная система, состоящая из двух сферических преломляющих поверхностей различного радиуса. Центры поверхностей обозначены как C, они находятся на одной прямой, называемой главной оптической осью В дальнейшем предполагается, что пучок света от источника состоит из приосевых лучей, т.е. лучей отклоняющихся на небольшой угол от главной оптической оси, для них тогда угол падения на преломляющую поверхность можно также считать малым. Пучок таких лучей называют параксиальным.

Если лучи света, составляющие пучок, исходят из одной точки, то такой пучок называют гомоцентрическим. Частный случай гомоцентрического пучка – пучок параллельных лучей, в этом случае считается, что их источник находится в бесконечности.

Если изображением любой точки предмета является также точка, то в этом случае говорят, что изображение стигматическое или точечное.

Оптическая система, дающая стигматическое изображение, называется идеальной.

Различают действительные и мнимые изображения. Действительное изображение – изображение, получившееся в результате пересечения лучей, получившееся в результате пересечения продолжений лучей, прошедших через систему, в направлении, обратном распространению света.

Рис. 7. На первом рисунке показано действительное изображение, полученное пересечением преломленных лучей, на втором рисунке мнимое изображение, полученное пересечением продолжений лучей, преломленных на сферической поверхности Точка P, в которой находится источник, и точка P', в которой получается его изображение, называют сопряженными точками, так как согласно закону взаимности их можно поменять местами, т.е. источник в точке P' даст изображение в точке P. Таким образом, оптическую систему можно преобразование точек предмета в точки изображения.

2.5. Идеальная оптическая система математик и физик Гаусс на основе представления об оптической системе как некотором преобразовании точек предмета (еще говорят – пространства предметов) в точки изображения (пространство изображений). Поскольку в идеальной оптической системе точка в пространстве предметов преобразуется в единственную сопряженную точку в пространстве изображения, то прямая, в пространстве предметов должна преобразовываться в сопряженную прямую в пространстве изображений, при этом порядок следования трех точек на прямой в пространстве предметов в пространстве изображения не меняется. То есть идеальная оптическая система, из какого бы числа преломляющих поверхностей она не состояла, осуществляет только преобразование подобия и тогда эту систему можно рассматривать формально, пользуясь некоторыми правилами преобразования точек предмета в точки изображения.

Для этого введем две параллельные плоскости H и H', перпендикулярные главной оптической оси системы. Для этих плоскостей должно выполняться следующее условие: отрезок ВА на первой плоскости преобразуется оптической системой в отрезок В'A' второй плоскости без изменения длины отрезка, т.е. для этих плоскостей коэффициент подобия V = 1, и для любой точки А плоскости H сопряженная ее точка A' на плоскости H' получается переносом точки А до H' параллельно главной оптической оси.

Эти плоскости называют главными. Плоскость H на которую падает свет из пространства объектов называют первой (или передней). Все расстояния в плоскости предметов отсчитываются от этой плоскости, а все расстояния в плоскости изображения отсчитываются от второй (задней) плоскости H'.

Поэтому их и назвали главными.

При отсчитывании расстояний используют правило знаков: если отсчет расстояния ведется против направления распространения света, то эти расстояния берутся со знаком «–», если отсчет ведется по направлению распространения света, то эти расстояния берутся со знаком «+».

Поскольку система идеальная, т.е. гомоцентрическая точка в пространстве предметов переходит в гомоцентрическую точку в пространстве изображения, то справедливы следующие два правила преобразования лучей в оптической системе:

1. Источник на бесконечности, лучи от которого идут параллельно оптической оси (лучи 1 и 2 до плоскости H), преобразуется системой в точку F' (получаемую пересечением сопряженных лучей 1' и 2' после плоскости Н’) на оптической оси. Точка F' называется задним фокусом. Расстояние |B'F'| = B'F' называют задним фокусным расстоянием. Плоскость, проходящая через точку F', перпендикулярная главной оптической оси, называется задней фокальной плоскостью.

2. На главной оптической оси существует точка F, из которой свет источника (лучи 1 и 3) после задней главной плоскости распространяется параллельно оптической оси (лучи 1' и 3'), т.е. преобразуется в точечное изображение, находящееся в бесконечности. Точка F называется передним фокусом. Расстояние |BF| = – BF называют передним фокусным расстоянием (знак минус перед BF появился по правилу знаков). Плоскость, проходящая через точку F, перпендикулярная главной оптической оси, называется передней фокальной плоскостью.

Рис. 8. Построение изображения в идеальной оптической системе: лучи 1 и 2, параллельные главной оптической оси, пересекутся в заднем фокусе системы F'; лучи 1 и 3, выходящие из фокуса F, после задней главной плоскости распространяются параллельно главной 2.6. Уравнение связи между положениями источника и его изображения С помощью определенных выше двух правил преобразования лучей построим изображение Q'P' отрезка QP. Луч PA1 параллелен оптической оси, поэтому, согласно первому правилу, на выходе из системы должен пройти через задний фокус F', а луч PFA2 проходит через передний фокус F, поэтому, согласно второму правилу, должен на выходе из системы идти параллельно оптической оси. Точка пересечения лучей P', прошедших через систему, представляет изображение точки P. Повторяя эти рассуждения для любой точки отрезка QP, построим его изображение – Q'P'. В дальнейшем расстояния, отмеряемые от главной оптической оси вверх, будем брать со знаком «+», а отмеряемые вниз – со знаком «–».

Рис. 9. Построение изображения с помощью главных плоскостей и правил преобразования На рисунке n и n' – показатели преломления перед оптической системой, и за ней, –а и а' – расстояния от главных плоскостей H и H' до источника и его изображения, соответственно, –f и f' – переднее и заднее фокусные расстояния, соответственно. Как видно из рисунка прямоугольные треугольники PFQ и HFA2 имеют общую вершину в F и подобны друг другу. Прямоугольные треугольники P'F'Q' и H'F'A'2 имеют общую вершину в F' и тоже подобны равенства, получим формулу Ньютона:

уравнение связи между положениями источника и изображения:

Уравнение связи можно записать иначе, если найти связь между фокусными расстояниями –f и f'. Для этого снова обратимся к рисунку. Из подобия треугольников PA'1A'2 и H'F'A'1 следует После деления этих равенств друг на друга получим следующее равенство:

Из (7) следует важный факт, что отношение показателя среды к фокусному расстоянию системы в этой среде, является величиной постоянной:

Эту величину называют оптической силой системы и измеряют в диоптриях (дптр), размерность [м–1].

Уравнение связи (6), с учетом (8), тогда принимает следующий вид (инвариант Аббе):

Из (9) видно, что если известны оптическая сила системы и показатели преломления сред, то по положению источника можно найти положение его изображения. Также (9) устанавливает способ экспериментального определения оптической силы системы.

2.7. Примеры простейших оптических систем 2.7.1. Сферическая преломляющая поверхность Для этой поверхности с центром в точке О и радиусом R главные плоскости H и H' совпадают с касательной плоскостью к поверхности в точке В ее пересечения главной оптической осью.

Рис. 10. Преломление на сферической преломляющей поверхности На рисунке изображен случай, когда источник находится в переднем фокусе системы F, тогда после преломления на сферической поверхности, луч должен идти параллельно оптической оси. Угол падения на рисунке намеренно сделан большим, однако в расчетах будем полагать его, а также угол преломления ', малыми (параксиальное приближение). Тогда, в приближении малого угла падения, |FA| |FA'| = –f. Как видно из рисунка AA' является общей переднего фокусного расстояния будет определяться следующим выражением:

Используя равенство (8), находим, что оптическая сила сферической поверхности Кроме того, из равенства (8) можно найти заднее фокусное расстояние:

Надо отметить, что в выражениях (10), (11) и (12) R – положительная величина, так как расстояние R отсчитывалось от точки B (от главной плоскости) до центра О по направлению распространения луча. Про поверхность, у которой центр находится после преломляющей поверхности по ходу луча, говорят, что она выпуклая. Если же центр поверхности находится перед поверхностью по ходу луча, то про такую поверхность говорят, что она вогнутая. В этом случае в (10)–(12) R должно быть отрицательной величиной.

После подстановки (11) в (9) находим уравнение связи для сферической поверхности:

2.7.2. Плоская преломляющая поверхность В случае плоской поверхности можно использовать результаты, полученные для сферической поверхности, считая в них, что радиус R =. Как можно видеть из (13), в этом случае Рассмотрим простой пример: если мы в воздухе смотрим на предмет, лежащий на дне водоема, то поверхность воды – плоская преломляющая поверхность. Тогда в (14) n – показатель преломления воды (среды, в которой находится предмет), а n' – показатель преломления воздуха (n > n'). Из (14) находим, что изображение находится от поверхности воды на расстоянии a ' a. Поскольку a' имеет тот же знак, что и a, то это значит, что изображение находится в воде, а поскольку a' < a, то изображение находится ближе к поверхности, чем сам предмет (как говорят: «вода приближает»).

2.7.3. Сферическая отражающая поверхность Как уже говорилось выше, можно использовать соотношения, полученные для преломляющей поверхности, и для отражающих поверхностей, если в этих соотношениях сделать замену (4): n' = –n. Тогда (13) для отражающей поверхности будет иметь следующий вид:

Из этого соотношения, в частности видно, что фокусное расстояние сферического зеркала справедливо правило знаков.

2.7.4. Плоская отражающая поверхность Для плоского зеркала R =, поэтому из (15) находим:

из этого равенства a и a' всегда имеют разные знаки, т.е. изображение всегда находится "внутри" зеркала на том же расстоянии от его поверхности, что и предмет.

2.8. Сложение оптических систем Эффективность метода Гаусса наиболее ярко проявляется при анализе оптических систем состоящих из более чем одной преломляющей поверхности.

Каждая такая поверхность является элементом оптической системы. Например, линза представляет собой систему двух преломляющих поверхностей.

Рассмотрим систему из двух элементов. Каждый из них можно заменить системой главных плоскостей H1, H1' и H2, H2', относительно которых определены точки переднего и заднего фокусов F1, F1' и F2, F2' с соответствующими фокусными расстояниями f1, f1' и f2, f2'. Расположение элементов относительно друг друга будем характеризовать расстоянием между задней главной плоскостью H1' первого элемента и передней главной плоскостью H2 второго элемента. Показатель среды перед передней главной плоскостью первого элемента n1, показатель преломления среды между элементами – n, показатель преломления среды после задней главной плоскости второго элемента – n2.

Получившаяся система, в свою очередь, будет характеризоваться своей системой главных плоскостей H, H', положением фокусов F, F'. Требуется найти оптическую силу получившейся системы, а также положение ее главных плоскостей и фокусов относительно главных плоскостей составляющих ее элементов.

Рис. 11. Построение изображения в системе из двух элементов, отстоящих на расстоянии d друг от друга по главной оптической оси, показатель преломления между элементами n Свет из точки А главной поверхности H сложной системы должен попасть в точку A' задней поверхности H'. В эту точку он должен попадать, выходя из А в любом направлении к H'. Выберем одно из них, удобное для решения нашей задачи. Пусть луч 1 из А проходит через передний фокус сложной системы, тогда по второму правилу идеальной оптической системы на выходе из второго элемента луч света 3 должен идти параллельно главной оптической оси. Но из второго элемента луч света будет выходить параллельно оптической оси, только тогда, если на этот элемент луч света 2 попадает, пройдя через передний фокус этого элемента (согласно второму правилу).

Из рисунка видно, что для подобных прямоугольных треугольников с общей вершиной в F справедливо равенство Из подобия прямоугольных треугольников с общей вершиной в F следует равенство Из равенства левых частей в (16) и (17) следует С другой стороны для первого элемента точка F является источником, а точка F2 – ее изображением. Тогда для этого элемента справедлива формула Ньютона (5), которая для используемых в рисунке обозначений записывается следующим образом: x1 f1 f1 '. Из этого равенства получаем выражение где =d+f2 –f1'. После подстановки (19) в (18) находим переднее фокусное расстояние сложной системы По определению фокусное расстояние сложной системы определяется через переднее фокусное расстояние формулой:

С учетом выражений для оптической силы первого и второго элементов силы системы из двух элементов:

Найдем положение Х передней главной плоскости Н сложной системы относительно передней главной плоскости первого элемента: –X = f–x1–f1.

После подстановки (19) и (20), находим искомое выражение Чтобы получить выражения для фокусного расстояния заднего фокуса сложной системы, а также для положения Х' ее задней главной плоскости относительно задней плоскости второго элемента можно воспользоваться принципом взаимности, т.е. предположить, что источник находится в точке A' и соответствующие выражения:

Таким образом, система из двух элементов может быть заменена одним эквивалентным ей элементом с характеристиками, определяемыми уравнениями (20), (22)–(25). Если система состоит из трех элементов, то сначала два соседних заменяются одним эквивалентным элементом с характеристиками (20), (22)–(25), а затем производят сложение эквивалентного элемента с третьим. Как видим, в качестве элемента оптической системы может выступать как одна преломляющая поверхность, так и система таких поверхностей, например, линза. Поэтому все результаты сложения элементов оптической системы, полученные выше, будут справедливы не только для двух преломляющих поверхностей, но и для двух линз, или двух систем, состоящих из линз.

Таким образом, для системы, представляющей собой сумму двух элементов уравнение связи (9) будет иметь следующий вид:

где оптическая сила определяется выражением (22).

Линза представляет собой прозрачную однородную среду ограниченную двумя преломляющими поверхностями. Преломляющие поверхности могут иметь сферическую форму или плоскую (в последнее время используют и несферические поверхности). Как линзу можно рассматривать каплю дождя, стеклянный шар, стеклянный аквариум, заполненный водой и т.п.

параллельные лучи после прохождения линзы сходятся в одной точке, то такая линза называется собирающей или положительной. Если же параллельные лучи после прохождения линзы расходятся, то такие линзы называют рассеивающие или отрицательной.

Рис. 12. а) собирающая двояковыпуклая линза, параллельные лучи сходятся в заднем фокусе, находящемся за линзой; б) рассеивающая двояковогнутая линза, параллельные лучи после линзы расходятся так, как будто они вышли из фокуса линзы, расположенного перед ней. Видно, что фокус находится на пересечении продолжений лучей Все линзы, у которых толщина в середине больше чем толщина по краям, будут собирающими. Если же у линзы толщина увеличивается от середины к краям, то такая линза будет рассеивающей.

Процедура построения изображения в линзе зависит от того, можно ли ее считать тонкой или нет. Если каждая из сферических поверхностей, образующих линзу, имеет радиус много больший, чем толщина d в середине линзы, то такую линзу можно считать тонкой.

2.9.1. Тонкая линза Для тонкой линзы можно считать d = 0. Тогда положения главных плоскостей линзы Х = Х' = 0 совпадают с ее центром (см (23),(25)). Оптическая сила линзы в этом случае представляет собой сумму оптических сил ее тонкой линзы можно записать следующим образом:

где n1 – показатель преломления среды перед передней поверхностью линзы, n2 – показатель преломления среды после задней поверхности линзы, n – показатель преломления материла, из которого изготовлена линза. Если с обеих сторон линзы среда одна и та же n1 = n2 то (27) упрощается Из (28) следует, что, если a =, то заднее фокусное расстояние f ' a ' 1, если же a' =, то переднее фокусное расстояние f a ' 1. То есть у тонкой линзы в однородной среде переднее и заднее фокусные расстояния равны.

Из (28) можно видеть, что для стеклянных собирающих линз в воздухе > 0. Действительно, например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков R1 > 0, а R2 < 0, поэтому выражения в обеих скобках в (28) больше нуля.

Поэтому собирающие линзы называют еще положительными.

Рис. 13. Примеры линз: а) собирающая линза (двояковыпуклая); б) рассеивающая линза У рассеивающих линз < 0, поэтому их еще называют отрицательными.

Например, для двояковыпуклой линзы по правилу знаков R1 < 0, а R2 > 0, поэтому выражение во второй скобке в (28) имеет отрицательный знак.

Часто, для тонких линз уравнение (28) записывают в следующем виде Это уравнение называют уравнением тонкой линзы, здесь 1/ f.

Напомним, что а – расстояние от линзы до предмета, а а' – расстояние от линзы до изображения. Эти расстояния отсчитываются от центральной части линзы с учетом правила знаков: расстояние, отсчитываемое против хода, луча берется со знаком «–». Можно видеть, в случае собирающей линзы – 0, поэтому равенство выполняется при всех значениях a ' 0, а также при a ' 0, если | a ' | | a |. То есть изображение собирающей линзы может находиться и за линзой по ходу лучей, и перед ней (когда a ' 0 ) – с той же стороны, что и предмет.

В случае рассеивающей линзы 0 и равенство удовлетворяется, только если a ' 0, при этом | a ' || a |. То есть в рассеивающей линзе изображение всегда находится перед линзой с той же стороны, что и предмет, но ближе него к линзе.

При построении изображения в тонкой линзе используются правила преобразования лучей в оптической системе, а также еще одно правило, что луч, проходящий через центр линзы, не меняет своего направления. Чтобы определить положение изображения точки, из этой точки проводят удобные для построения лучи, которые после линзы должны идти в соответствии с правилами преобразования лучей, а пересечение этих лучей (действительное изображение) или пересечение продолжения этих лучей (мнимое изображение) и будет определять положение изображения.

Рис. 14. Построение изображения в тонких линзах: в собирающей (а) и в рассеивающей (б) Из рисунка (б) видно, что в рассеивающей линзе изображение всегда будет мнимым, прямым (т.е. стрелки AB и A’B' направлены в одну сторону) и поперечный размер изображения будет меньше размеров самого предмета.

действительное, обратное (т.е. стрелки AB и A’B' направлены в разные стороны) и увеличенное.

Если луч 1 падает на линзу под углом к главной оптической оси, то ход этого луча после линзы строят следующим образом. Параллельно этому лучу проводят прямую 2–2', проходящую через центр линзы. Через задний фокус F' линзы проводят линию перпендикулярную главной оси. Точка пересечения этих линий и будет точкой, в которую попадет луч 1' после линзы.

Рис. 15. Построение хода луча, падающего на тонкую линзу под углом к оптической оси ОО' 2.9.2. Система тонких линз. Соприкасающиеся линзы Если система состоит из двух соприкасающихся посредине тонких линз, то можно считать такую оптическую систему тонкой линзой с оптической силой равной сумме оптических сил линз: = 1+2. Для построения изображения в такой системе используется процедура построения изображения в тонкой линзе.

2.9.3. Система тонких линз. Несоприкасающиеся линзы Если же в системе тонкие линзы отстоят друг от друга на расстоянии d по главной оптической оси, то оптическая сила такой системы определяется формулой (22). Процедура построения изображения начинается с определения положения Х, Х' главных плоскостей системы по формулам (23), (25). При этом Х определяется относительно первой тонкой линзы, а, Х' – относительно второй тонкой линзы. Затем, по формулам (20) и (24) находят переднее и заднее преобразования лучей в идеальной оптической системе.

Рис. 16. Построение изображения в системе двух тонких линз, между линзами расстояние d по главной оптической оси, показатель преломления между линзами n 2.9.4. Толстая линза В случае толстой линзы сначала находят положение главных плоскостей относительно передней и задней поверхностей линзы, затем находят положение фокусов системы с помощью выражений (20), (22)–(25) в параграфе 2.8. Для вычисления оптической силы системы используют выражение (22), в котором 1 и 2 – оптические силы поверхностей линзы.

Используя найденные положения главных точек системы, строят изображение в соответствии с правилами преобразования лучей в идеальной оптической системе.

2.9.5. Система толстых линз Каждую толстую линзу заменяют ее главными плоскостями, отмечают использованный в параграфе 2.8. Для вычисления оптической силы системы линз используют выражение (22), в котором 1 и 2 – оптические силы линз.

2.10. Оптические приборы 2.10.1. Глаз Изображение в глазе формируется на сетчатке – задней поверхности глаза. Сетчатку можно условно представить как поверхность, покрытую светочуствительными клетками – «колбочками» и «палочками». Предметы, дающие на сетчатке изображения, размерами равными двум размерам клетки, воспринимаются как точки. Поэтому необходимо, чтобы разглядываемые детали объекта давали на сетчатке изображение как можно больших размеров, только тогда они будут различимыми.

Роль линзы в человеческом глазе исполняет хрусталик. Его толщина меняется с помощью мышц глаза в зависимости от того как далеко находится рассматриваемый глазом предмет. Вместе с толщиной меняется и фокусное расстояние хрусталика, так чтобы изображение предмета образовывалось строго на сетчатке. Такое «настраивание» глаза называется аккомодацией.

Рис. 17. Схема образования изображения предмета на сетчатке глаза Как видно из рисунка, чем больше угол, под которым предмет виден глазом, тем мельче детали можно разглядеть. Для увеличения этого угла объект нужно приближать к глазу. Однако нельзя расположить предмет прямо перед хрусталиком. Из-за ограничений аккомодации существует так называемое расстояние наилучшего зрения нормального глаза Lн.з., т.е. расстояния с которого предмет можно рассматривать без напряжения глазных мышц.

Принято считать это расстояние равным Lн.з = 25 см.

Некоторые мелкие детали уже могут быть неразличимы глазом на расстоянии наилучшего зрения, потому что угол для них становится очень малыми. Для увеличения угла наблюдения мелких деталей используются увеличительные оптические приборы. Увеличение определяется отношением где ' – угол, под которым предмет виден через прибор.

2.10.2. Лупа Лупа представляет собой собирательную линзу с небольшим фокусным расстоянием. Лупу располагают так, чтобы предмет находился за передним фокусом линзы, в этом случае собирательная линза дает прямое увеличенное мнимое изображение. Глаз располагают в заднем фокусе линзы так, чтобы между ним и изображением было расстояние Lн.з..

образом, увеличение лупы определяется отношением 2.10.3. Телескоп Телескоп-рефрактор (зрительная труба) предназначен для разглядывания предметов, находящихся на большом расстоянии, так что их угловые размеры малы для наблюдения глазом. Телескоп состоит из двух собирательных линз:

линза, обращенная к предмету, называется объективом, она формирует изображение от объекта, которое рассматривают через вторую линзу также как через лупу. Эта линза называется окуляром. В телескопических системах расстояние между объективом и окуляром такое, что задний фокус объектива располагается вблизи заднего фокуса объектива F1' (на рисунке изображение –y' для наглядности показано дальше от фокуса).

Рис. 19. Схема получения изображения в телескопе увеличение телескопа:

Как можно видеть из этого выражения для большего увеличения телескопа необходимо, чтобы объектив имел большое фокусное расстояние.

Поэтому телескопы-рефракторы обычно имеют значительную длину.

2.10.4. Микроскоп В микроскопе используются две собирающие линзы. Первую линзу, расположенную ближе к объекту, называют объективом. Вторую линзу называют окуляром – через нее как через лупу рассматривают изображение, созданное объективом. Между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра расстояние d. Его подбирают таким образом, чтобы действительное изображение А'В' объекта АВ после объектива попадало почти в передний фокус F2 окуляра, немного ближе к окуляру. В этом случае, окуляр выступает в качестве линзы, для рассматривания изображения, созданного объективом (см.

Рис. 20). Получившееся изображение А''В'' – перевернутое и мнимое имеет большие угловые размеры, чем угловые размеры объекта АВ.

Рис. 20. Схема получения изображения в микроскопе Увеличение микроскопа определяется (считая, что | F2 A ' | пренебрежимо мало) следующей формулой:

Можно видеть, что для большего увеличения нужно увеличивать расстояние между фокусами d, однако такое увеличение имеет предел, связанный с проявлением дифракционных эффектов, которые затрудняют получение изображения.

3. ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ. ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА

преломления Еще Максвеллом было установлено теоретически, что изменения электромагнитного поля не локализуются в какой-то области пространства, а электромагнитной волны подчиняется тем же законам что и распространение света, позволило перейти к представлению о свете как об электромагнитной инструмент для теоретического описания оптических явлений.

Будем полагать, для простоты, что среда, где происходит изменение электрического и магнитного полей, непроводящая и не содержит свободных электромагнитные свойства одинаковы) и изотропной (по всем направлениям в пространстве свойства одинаковы). Тогда уравнения Максвелла (в системе единиц СИ) и материальные уравнения будут иметь следующий вид:

Наша задача состоит в том, чтобы получить уравнения, описывающие изменения электромагнитного поля, найти решения этих уравнений и исследовать свойства решений.

Продифференцируем по времени уравнение (2). Тогда с учетом перестановочности операций дифференцирования по времени и операции ротора и уравнения (5) подстановки в (7), имеем Операция двойного ротора представляет собой двойное векторное произведение векторного оператора «набла» i x i y i z, (ix, iy, iz – единичные вектора вдоль осей X, Y, Z декартовой системы координат) и последнем равенстве было учтено уравнение (3). Точка между векторами обозначает скалярное произведение. Квадрат оператора «набла» называют оператором «лапласиан»: 2 2 2. Таким образом, уравнение (8) может быть записано следующим образом:

где введены следующие обозначения:

Как видим в вакууме = 1, = 1, поэтому, как и следовало ожидать показатель преломления вакуума n = Аналогичным образом можно получить уравнение, описывающее изменение вектора магнитной индукции Уравнения (9) и (13) называют волновыми. Как видно, из (9) и (13) изменения электрического и магнитного полей описываются одинаковыми уравнениями, следовательно, их решения отличаются друг от друга только постоянным множителем. Говорят, что изменение полей Е и B в движущейся волне происходит синфазно. Поэтому в дальнейшем можно исследовать решения только для электрического вектора Е. Покажем, что уравнение (9) действительно описывает волновое движение. Рассмотрим для простоты случай, когда Е зависит только от координаты х, тогда (9) будет иметь следующий вид:

Непосредственной подстановкой в (14) можно убедиться, что решением этого уравнения является сумма функций f = g1(x–t)+g2(x+t), где g1, g2 – произвольные функции. В частности, в качестве этих функций можно взять гармонические функции синус и косинус. Покажем, что, например, функция g описывает распространение возмущения. Допустим, что в некоторый момент времени t0 в некоторой точке x0 произошло возмущение и значение функции f0 = g1(x0–t0). Но значение функции f0 может получаться для всех аргументов функции g1, для которых выполняется равенство x–t = x0–t0. Из этого равенства следует, что координата возмущения в последующие моменты времени меняется по линейному закону: x = x0+t–t0 = x0+(t–t0), т.е.

возмущение f0 перемещается вдоль оси X со скоростью. Функция g2(x+t) описывает распространение возмущения в противоположном направлении.

3.1.1. Плоские волны Физическую картину распространения электромагнитного возмущения можно представить следующим образом: переменное электрическое поле в некоторой точке вызывает появление в окружающем пространстве переменного магнитного поля (уравнение (2)), это магнитное поле вызывает переменное электрическое поле (электромагнитная индукция (1)), обуславливающее появление индукционных токов смещения, которые в свою очередь, вызывают вновь появление магнитного поля. Таким образом, электромагнитное возмущение захватывает все большие области пространства, т.е. происходит перемещение возмущения в пространстве.

В качестве решения (14) выберем гармоническую функцию:

здесь – некоторый множитель, который еще требуется определить, E0 – амплитуда волны. Заметим, что в (15) нет зависимости от других координат y, z, т.е. во всех точках (y, z) плоскости, перпендикулярной направлению распространения (оси X в точке с координатой x), поле будет изменяться одинаково. Плоскость, перпендикулярная направлению распространения волны, и в которой совершает колебания E, называется волновым фронтом, а решение вида (15) называют плоской волной.

Выясним, что представляет собой множитель. В некоторый момент времени в точке х1 поле Е имеет максимальное значение, т.е., согласно (15), в этой точке 2(x1–t) = /2. Ближайшая точка x2, в которой в это же время поле Е имеет максимальное значение, согласно (15), определяется равенством 2(x2–t) = /2+2. Вычтя из последнего равенства предыдущее, найдем 2(x2–x1) = 2. Но, так как по смыслу x2–x1 = (см. рис.1), то = 1/, где – длина волны.

Рис. 1. Изменение электрического поля вдоль оси Х в некоторый момент времени t (а), изменение электрического поля во времени в некоторой точке х (б) Аналогичным образом, в некоторой фиксированной точке х можно определить два ближайшие момента времени, в которые поле будет максимальным 2(t2–t1)/ = 2, но по своему смыслу (t2– t1) = Т, где Т – период колебаний. Поэтому тогда. Если в вакууме 0 c, то из этого следует, что длина волны k – волновое число и =2 – круговая частота колебаний, то (15) в этих обозначениях будет иметь следующий вид:

Решение (16) было получено для случая, когда волна распространяется вдоль оси Х. В общем случае, когда в волновом уравнении присутствует зависимость от всех координат, решением будет выражение вектор, направленный в сторону распространения волны, длина вектора равна волновому числу. Обратим внимание, что в (17) присутствует только одна частота, поэтому такие волны называют монохроматическими (одночастотными).

3.1.2. Сферические волны Часто причиной электромагнитной волны является возмущение в некоторой точке пространства или в некоторой области, которую можно считать малой. В случае, если среда изотропна, то волна порождаемая таким источником будет сферической, т.е. волновой фронт такой волны будет не плоскостью, а сферой. В качестве двумерного аналога такой волны может служить поплавок, колеблющийся на воде, от которого расходятся круговые волны. Решение волнового уравнения (9) для этого случая можно получить, если перейти в нем от декартовых координат к сферическим (r,, ). Поскольку в изотропной среде свойства по всем углам наблюдения одинаковы, то в этом уравнении останется только зависимость от координаты r – расстояния от источника волны до волнового фронта. Тогда решение для синусоидальной сферической расходящейся волны будет иметь следующий вид волны, только делителем r. Но в выражении для плоской волны вектор r – радиус-вектор относительно некоторой произвольно выбранной точки, тогда как в выражении для сферической волны r всегда расстояние от излучателя (центра сферы) до некоторой точки на волновом фронте (сферической поверхности). Волновой вектор перпендикулярен волновой поверхности, т.е.

направлен по радиусу сферы.

3.1.3. Представление колебаний через экспоненциальную функцию комплексного аргумента В дальнейшем удобно перейти от гармонических функций (17) к экспоненциальным функциям. Для этого можно использовать формулу Эйлера из теории функций комплексного переменного: ei cos i sin, где i – мнимая единица, для которой справедливо равенство i2 = –1. Первое слагаемое – cos называют действительной частью экспоненты – Re[e±i], а sin называют мнимой частью экспоненты – Im[e±i]. То есть, если закон изменения поля описывается функцией синуса, как в (17) проведения выкладок можно синус заменить на экспоненциальную функцию комплексного переменного E E0ei (k r t ), а после получения результата перейти в нем к его мнимой части. Если потребуется найти квадрат модуля звездочкой обозначено комплексное сопряжение (изменение знака у мнимой части).

С экспонентой удобнее проводить вычисления, потому что производные от нее пропорциональны ей. Например, 3.2. Уравнения Максвелла для плоских волн. Структура плоской волны экспоненциальной форме:

Тогда, например, с учетом (19), ротор в уравнении (1) можно заменить В уравнении (3) операцию дивергенции, с учетом (19), также можно заменить:

Производя аналогичные замены в оставшихся уравнениях, и, учитывая (18), находим уравнения Максвелла для плоских волн:

Из уравнения (24) следует, что k B, из (21) что E B, из (23) следует, перпендикулярно направлению распространения (поперечная волна) и можно установить следующее взаимное расположение векторов электромагнитной волны Рис. 2. Структура плоской волны, синусоидами показано изменение векторов E и B в пространстве, изменение происходит синфазно. Вектор k показывает направление С учетом ортогональности векторов в электромагнитной волне, в случае изотропной среды, уравнения (21) и (22) можно записать в скалярной форме kE B и kH D, после деления этих уравнений друг на друга, находим связь между величинами векторов E и H:

3.3. Плотность потока энергии плоской волны. Вектор Умова– Пойнтинга Поскольку свет представляет собой поток энергии, то необходимо выяснить, как для электромагнитной волны определяется величина потока энергии и его направление. Вернемся к уравнениям Максвелла. Они линейны по Е и H, а поскольку электрическая или магнитная энергии пропорциональны квадратам этих векторов, то уравнения Максвелла нужно умножить скалярно на эти вектора, чтобы получились уравнения для квадратов этих векторов.

Уравнение (1) умножим скалярно на вектор H:

Если уравнение (26) умножить скалярно на вектор Е, то получится следующее равенство:

Вычтем из (27) равенство (26):

где введен вектор называемый вектором Умова–Пойнтинга.

Выясним физический смысл уравнения (29). В левой его части стоит w. Проинтегрируем (28) по произвольному ограниченному объему V:

В (30) последнее равенство есть результат использования теоремы Грина о переходе от интегрирования по объему V к интегрированию по площади поверхности V, ограничивающей этот объем, d – элемент этой поверхности.

Интеграл в левой части в (29) представляет собой энергию в объеме V, тогда производная по времени от этого интеграла описывает изменение энергии в объеме V, а правая часть тогда по смыслу должна представлять поток энергии через площадь, ограничивающую объем. Исходя из этого, вектор S тогда определяет плотность потока энергии в единицу времени. Но, поскольку этот поток связан с изменяющимися электромагнитными полями, то можно считать, что распространение энергии электромагнитной волны характеризуется вектором Умова–Пойнтинга S, т.е. направление этого вектора определяет направление распространения луча (потому что энергия переносится по лучам), а величина этого вектора определяет плотность энергии, переносимой по лучу в единицу времени.

В случае изотропной среды в выражении (29) для вектора S можно сделать подстановку, выразив из (21) H Как видим, в изотропной среде энергия распространяется в том же направлении, что и волновой фронт, т.е. в таких средах направление распространения волны и луча света совпадают. Забегая вперед, нужно сказать, что в анизотропных средах, направления их распространения могут не совпадать. Из (31) можно найти величину вектора S в изотропной среде:

Последние равенства получены в результате использования (25).

На практике измеряется не мгновенное значение величины |S|, а значение, усредненное по характерному времени срабатывания измерительного прибора (например, глаза), которое много больше, чем период волны:

В главе «Фотометрия» плотность потока энергии в единицу времени, регистрируемая глазом, названа интенсивностью света I. Из уравнения видно, найти интенсивность света в однородной среде, надо будет использоваться выражение:

3.4. Импульс электромагнитной волны 3.4.1. Давление света Перенос энергии электромагнитной волны должен быть связан с переносом импульса волны. А наличие у световой волны импульса должно приводить к эффекту давления света на поверхности, на которые он падает.

Предположим, что = 1, и что электромагнитная волна падает на перпендикулярен поверхности, а вектора E и B параллельны ей. Электрическое поле волны вызывает появление на поверхности тока j = E. На этот ток действует магнитное поле с силой Ампера, для единицы объема равной поверхности перпендикулярное ей.

Появление тока приводит к изменению энергии волны в единице объема, вызванное джоулевыми потерями:

определению, есть F. Поделив эти выражения друг на друга получим простейшее дифференциальное уравнение:

Из этого уравнение можно найти импульс электромагнитного поля в единице объема: p (см. (32)). Переходя к векторным величинам, находим По определению, давление – это импульс, передаваемый единице площади за единицу времени. Поэтому давление света – это импульс в объеме параллелепипеда с площадью основания 1 м2 и высотой c1с, т.е. P w / c.

3.4.2. Опыт Лебедева по измерению давления света Впервые существование давления света и его величину установил русский физик Петр Николаевич Лебедев в 1900 году. Для этого он использовал закрытую стеклянную колбу, в которой воздух был откачан. Откачка воздуха необходима, чтобы избежать нагрева воздуха светом, что может существенно повлиять на результат. К вершине этой колбы на стеклянной нити была подвешена мельничка из двух лопаток одинакового размера и массы. На одной было нанесено легкое металлизированное отражающее покрытие, а другая была зачернена. Эта установка освещалась импульсами света. Отказ от непрерывного освещения был связан также с необходимостью избежать нагрева светом остатков воздуха в колбе, а также нагрева лопастей и связанного с этим нагревом испарения газа с их поверхностей. Если в единицу времени на каждую поверхность падает свет с импульсом p, то зачерненная лопасть полностью поглотит этот импульс, т.е. импульс этой лопасти будет равен также p. Для лопасти, полностью отражающей свет, импульс, который она приобретет, будет равен, по закону сохранения импульса, 2p. То есть мельничка должна закручиваться в сторону отражающей лопасти. По величине поворота можно судить о величине давления.

Рис. 3. Схема установки Лебедева П.Н. по измерению давления света Полученная Лебедевым П.Н. величина давления лишь на 20 % отличалась от расчетной величины по (34). Чтобы оценить уровень экспериментального мастерства Лебедева П.Н. можно привести величину, которую ему требовалось измерить, например, давление света Солнца на земную поверхность составляет всего 510–6 Па.

3.5. Поляризация. Закон Малюса Как было показано выше плоская волна является поперечной, т.е.

векторы E и B совершают колебания в плоскости волнового фронта перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. вектору k.

Магнитный вектор B однозначно определяется в (21) через волновой вектор k и электрический вектор E, поэтому в дальнейшем будем использовать для характеристики волны только эти два вектора.

Изменение E в плоскости волнового фронта может происходить поразному, чтобы различать характер колебаний E вводят понятие поляризации волны. Если E совершает колебания вдоль прямой линии, то такая поляризация называется линейной (плоской). Плоскость, в которой совершаются колебания E при распространении волны, будем в дальнейшем называть плоскостью поляризации (хотя, исторически так сложилось, что плоскостью поляризации называют плоскость перпендикулярную плоскости, в которой совершаются колебания).

Рис. 4. Линейная поляризация волны: а) волновой вектор k направлен на наблюдателя перпендикулярно плоскости рисунка, которая совпадает с плоскостью волнового фронта, E колеблется вдоль линии; б) показано колебание вектора E в плоскости поляризации при Если же вектор E вращается в плоскости волнового фронта вокруг вектора k, без изменения своей длины, то такая поляризация называется круговой (циркулярной), потому что конец вектора E описывает в плоскости волнового фронта окружность. Обозначение направления вращения указывают следующим образом: если смотреть навстречу вектору k, то при вращении вектора E против часовой стрелки говорят о правоциркулярной поляризации, по часовой – о левоциркулярной.

Рис. 5. Круговая и эллиптическая поляризация (показана правая поляризация): а) конец вектора E вращается против часовой стрелки в плоскости волнового фронта, совпадающего с плоскостью рисунка, волновой вектор k направлен на наблюдателя перпендикулярно плоскости рисунка; б) положения вектора E при распространении волны, пунктирная линия Наконец, если в процессе распространения волны вектор E в плоскости волнового фронта совершает вращение вокруг вектора k и меняет еще и свою длину, то говорят об эллиптической поляризации (правой или левой, в зависимости от направления вращения) Естественный свет, т.е. свет от Солнца неполяризованный. Он состоит из множества волн, каждая из которых имеет свою плоскость поляризации, поэтому при сложении этих волн в этом свете не существует выделенного направления, вдоль которого колеблется вектор E. Неполяризованный свет поляризаторами. В качестве таких приборов могут выступать некоторые поляризаторы, которые позволяют получить из естественного света линейно поляризованный свет. Например, поляроиды, призма Николя (николь), призма Волластона и др. Эти поляризаторы свободно пропускают только те волны, в которых вектор Е совершает колебания параллельно плоскости, называемой плоскостью пропускания поляризатора. Волны, в которых вектор E пропускаются (рис. 6а).

Рис. 6. Прохождение света через поляризатор: а) из всех колебаний в естественном свете поляризатор пропускает лишь параллельные плоскости пропускания поляризатора; б) при падении линейно поляризованного света поляризатор пропускает только компоненту вектора E, параллельную плоскости пропускания поляризатора E|| Если же на поляризатор падает линейно поляризованный свет, у которого плоскость поляризации составляет угол с плоскостью пропускания поляризатора, то проходит только компонента вектора E||, параллельная плоскости пропускания поляризатора (рис. 6б).

Из рис. 6б видно, что E|| = Ecos, поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату поля |Е|2 (см. (31)), то интенсивность света, поляризованного света, падающего на поляризатор, следующим соотношением:

Соотношение (35) называют законом Малюса (по фамилии французского поляризованный свет, называют анализатором.

Если же на поляризатор падает естественный свет, то интенсивность прошедшего света будет составлять половину от интенсивности естественного Из-за несовершенства поляризационных устройств свет на выходе из них является частично поляризованным, т.е. его интенсивность можно представить как сумму интенсивности естественного света и линейно поляризованного:

Степень поляризации света проверяется с помощью анализатора, который ставится на пути этого света. Вращением анализатора вокруг направления луча фиксируются максимальное Imax и минимальное Imin количество света, прошедшее через анализатор (угловые положения плоскости пропускания для этих интенсивностей отличаются на =/2), тогда степень поляризации Р:

Для неполяризованного света Imax = Imin, поэтому P = 0. Для линейно поляризованного Imin = 0, поэтому P = 1.

3.6. Сложение волн Из курса векторной алгебры известно, что любой вектор E в плоскости можно представить в виде суммы двух других E1 и E2, лежащих в той же плоскости. С другой стороны, из курса механики известно, что любое колебание в плоскости также можно представить как сумму двух колебаний в этой плоскости. Таким образом, любую плоскую волну E с волновым вектором k можно представить в виде суммы двух волн с векторами E1, E2 с тем же волновым вектором k.

направлении Рассмотрим сумму двух линейно поляризованных волн с одинаковыми k и, с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Пусть вектор k направлен вдоль оси Z, пусть вектор E1 имеет компоненту только по оси Х, а вектор E2 по оси Y:

разность фаз этих волн.

Тогда сумма этих волн Если разность фаз = m, m = 0, ±1,±2,..., то из (39) следует:

т.е. у-компонента суммарной волны линейно зависит от х-компоненты волны, поэтому результатом сложения таких волн будет волна с линейной поляризацией.

Если разность фаз = /2+m, m = 0, ±1,±2,..., то из (39) следует:

Избавившись от корня, находим связь между компонентами суммарного вектора волны удовлетворяют уравнению эллипса, т.е. результатом сложения будет волна с эллиптической поляризацией. В случае, когда Е0х = Е0y, суммарная отрицательную – Е–):

При сложении циркулярных волн с противоположной поляризацией получается линейно поляризованная волна противоположных направлениях Рассмотрим волны одной частоты, их волновые вектора отличаются знаком:

Тогда, сумма этих векторов От экспоненциального представления в последнем равенстве нужно перейти к вещественным величинам, для этого необходимо взять мнимую часть получившегося выражения: E 2E0 cos k r sin t. Как видим, получившееся в результате поле, не является волной, вида (17), а имеется косинусоидальное распределение поля вдоль r, причем величина этого поля во всех точках пространства меняется одинаково со временем по синусоидальному закону, т.е.

фаза волны никуда не распространяется, поэтому такое поле называют «стоячей волной». Интересно, как меняется магнитное поле в «стоячей волне».

Воспользуемся для этого выражением (21) для магнитного поля волны Как видим, магнитное поле суммарной волны B 2E0 sin k r cos t. Как видим, в тех точках пространства, где абсолютная величина электрического поля «стоячей волны» максимальна, магнитное поле этой волны равно нулю, и наоборот.

3.7. Излучение света Откуда берется свет? Ответ на этот вопрос можно получить только в рамках квантовой физики. Свет может излучаться возбужденными атомами. В квантовой механике атомы могут иметь только дискретный набор возможных значений энергий. Для получения света, атом нужно возбудить каким либо способом, т.е. передать ему достаточно энергии, чтобы он мог перейти из основного состояния с наименьшей энергией в состояние с большей энергией.

Обычно атомы переходят в возбужденное состояние при столкновении с другими атомами, например в процессе теплового движения, столкновения с потоком электронов или ионов. Возбужденное состояние атома является неустойчивым, поэтому спустя некоторое время атом переходит в основное состояние, при этом избыток энергии может быть излучен в виде кванта света.

Частота этого света пропорциональна разности энергий возбужденного и основного состояний.

Можно подойти к рассмотрению этого вопроса с другой стороны. Свет представляет собой короткую электромагнитную волну, поэтому можно рассмотреть способы получения электромагнитных волн, например радиоволн, и использовать эти результаты уже для рассмотрения оптических явлений. Этот вопрос обычно рассматривается в рамках курса электродинамики. Поэтому будем использовать уже готовые результаты. Было показано, что заряд, двигающийся с ускорением излучает. Мощность излучения, т.е. энергия, излучаемая в единицу времени, заряда q, двигающегося с ускорение а, определяется формулой Примером заряда, двигающегося с ускорением, является колеблющийся диполь. Пусть диполь меняется по косинусоидальному закону: p p0 cos t. С другой стороны p ql, где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному заряду в диполе. Ускорение движения заряда в диполе a 0 2 cos t. После подстановки в (40) находим Получившееся выражение надо усреднить по периоду колебаний T.

Средняя мощность излучения колеблющегося диполя тогда будет равна Направление излучение диполя можно установить следующим образом, интенсивность излучения в данной точке пропорциональна квадрату электрического поля волны в данной точке (см. (32)) – I E, но из курса электричества известно, что электрическое поле диполя в точке удаленной от диполя на расстояние r: E радиус-вектором от диполя до точки. Таким образом, интенсивность излучения будет уменьшаться с удалением от диполя, и, кроме того, интенсивность будет иметь угловую зависимость перпендикулярной диполю, и отсутствует на оси, параллельной диполю.

Угловую зависимость изображают с помощью диаграммы направленности (рис. 7), т.е. графика I() в полярной системе координат, в которой длина радиус-вектора равна I().

Рис. 7. Диаграмма направленности излучения диполя. Максимальная интенсивность излучения на оси, перпендикулярной диполю, вдоль диполя излучения нет 3.8. Спектр излучения 3.8.1. Естественная ширина линии излучения Световое излучение в общем случае представляет собой набор излучений различной частоты. Этот набор частот (или длин волн) можно установить, разложив излучение в спектр. Ньютон первый разложил естественный свет на составляющие его излучения различной частоты, хотя в природе это разложение можно наблюдать довольно часто, например, радуга от капель воды. Ньютон использовал явление дисперсии показателя преломления, т.е.

зависимости показателя преломления от частоты волны (чем частота выше, тем больше показатель преломления), при прохождении солнечного света через призму волны с различной частотой отклонялись на различные углы и поэтому попадали в разные части экрана. В результате образовывалась сплошная разноцветная полоса. Так Ньютон получил сплошной спектр, т.е. фактически Ньютон показал, что в естественном свете присутствуют все оптические частоты излучения. Однако, позднее оказалось, что излучение атомов дает линейчатый спектр, т.е. в таком излучение присутствуют излучения только с ограниченным количеством частот. Например, на рис. 8 показ спектр излучения атома водорода, полученный от свечения газообразного водорода при пропускании через него электрического тока.

Рис. 8. Спектр атома водорода. Стрелкой показано направление увеличения частоты Как можно видеть, в этом спектре видны только 9 линий, положение каждой линии в спектре соответствует частоте излучения. Можно отметить, что линии имеют некоторую толщину, т.е. на самом деле линия излучения соответствует не одной частоте, а некоторому набору частот.

Интенсивность линии максимальна в ее центре и спадает до нуля к ее краям, схематично это изображено на рис. 8.

Однако, в формуле (41) интенсивность излучения зависит только от одной частоты, т.е. линия в спектре должна быть бесконечно тонкой.

Каковы причины появления толщины у спектральной линии? Видимо, амплитудой колебаний, не совсем верно для излучающих сред.

Как видно из рис. 9 наличие толщины линии в спектре связано с появлением зависимости I() интенсивности излучения от частоты. Откуда появляется эта зависимость? По формуле (41) интенсивность зависит от времени I(t), нас же интересует зависимость от частоты I(). Перейти от временной зависимости функции f(t) к частотной можно с помощью преобразования Фурье:

F[] ( 0 ), т.е. бесконечно тонкую линию в спектре.

Попробуем найти «правильный» закон изменения диполя. Будем исходить из того, что излучателем является атом водорода. Электрон в атоме совершающим колебания. Колеблющийся диполь излучает, но излучение должно сопровождаться уменьшением энергии атома, т.е. амплитуда колебаний диполя должна уменьшаться, и время излучения будет конечным. Уменьшение энергии за счет излучения можно представить как потери, связанные с движением диполя, т.е. как результат действия «силы трения». Уравнение, описывающее колебания с частотой 0 с учетом силы трения, известно и для диполя будет иметь следующий вид: p p 0 p 0, где – коэффициент