«Кафедра общей и теоретической физики МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Под редакцией А.А. Бирюкова Самара Издательство Самаpский унивеpситет 2011 ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра общей и теоретической физики

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Утверждено редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия Под редакцией А.А. Бирюкова Самара Издательство Самаpский унивеpситет 2011 УДК 534 ББК 22.213 Б 64 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. А. Ф. Крутов Б 64 Бирюков, А.А.

Механические колебания: учеб. пособие/А.А. Бирюков, Э.Н. Воробьева, И.Н. Семчинова; под ред. А.А.Бирюкова.

– Самара: Издательство "Самарский университет", 2011. – с. 167.

В учебном пособии представлены физические основы механических колебаний. Оно состоит из теоретической части, в которой последовательно изложены понятия и законы колебательных процессов, рассмотрены свободные, затухающие и вынужденные колебания и практической части, содержащей четыре лабораторные работы по циклу механических колебаний.

Предназначено для студентов, получающих степень бакалавра и магистра физического факультета по специальности 010400 Физика, а также может быть использовано студентами естественнонаучных и технических специальностей высших учебных заведений.

УДК ББК 22. Авторы: А. А. Бирюков, Э. Н. Воробьева, И.Н. Семчинова c Бирюков А.А., Воробьева Э. Н., Семчинова И. Н., c Самарский госуниверситет, c Оформление. Издательство Самарский университет, Учебное издание Бирюков Александр Александрович, Воробьева Эмма Николаевна, Семчинова Инна Николаевна Механические колебания Учебное пособие Под редакцией А. А. Бирюкова Редактор Т.И. Кузнецова Компьютерная верстка, макет Э.Н. Воробьевой Подписано в печать Формат 6084/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ.л.

Гарнитура Times New Roman. Тираж 100 экз. Заказ № Издательство Самарский университет, 443011, г.Самара, ул.Акад.Павлова,1, тел: (846)334-54-23.

Отпечатано на УОП СамГУ Оглавление Введение............................................................. Глава 1. Свободные незатухающие колебания....................... 1.1. Определение свободных или собственных колебаний........... 1.2. Свободные колебания без учета сил сопротивления............ 1.3. Энергия осциллятора.......................................... 1.4. Графическое представление колебаний........................ 1.5. Сложение гармонических колебаний, происходящих по одной прямой.............................................. 1.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний............. 1.7. Гармонический (спектральный) анализ колебаний............ Глава 2. Затухающие колебания.................................... 2.1. Затухающие колебания при действии сил сопротивления, прямо пропорциональных скорости........................... 2.2. Основные характеристики затухающих колебаний............ 2.3. Графическое представление затухающих колебаний.......... 2.4. Затухающие колебания при действии на осциллятор постоянной силы трения....................................... 2.5. Условный критерий затухания колебаний..................... 3.1. Уравнение вынужденных колебаний........................... 3.2. Анализ амплитуд и фаз вынужденных колебаний............. 3.3. Графики зависимости амплитуд и сдвига фаз от частоты.... 3.5. Анализ различия вынужденных колебаний в зависимости от соотношения частот и 0.......................... 3.6. Добротность осциллятора и ширина резонансной кривой..... 3.7. Спектральный анализ вынужденных колебаний.............. 4.1. Свободные нелинейные колебания............................. 4.2. Нелинейные вынужденные колебания......................... 4.5. Устойчивость колебательной системы........................ 4.6. Детерменированные и хаотические системы.................. Лабораторные работы Лабораторная работа 1. Математический маятник............... Лабораторная работа 2. Пружинный маятник.................... Лабораторная работа 3. Определение ускорения свободного Лабораторная работа 4. Исследования колебаний Одна из основных задач физики определить, как изменяются свойства или поведение объектов с течением времени. Для решения такой задачи необходимо использовать законы, позволяющие это сделать.

Нахождение таких законов другая важнейшая задача физики. В зависимости от вида объектов законы, описывающие их изменения с течением времени, делятся на динамические (детерминированные) и вероятностные (статистические). Чтобы предсказать поведение объектов с течением времени, необходимо задать определенные физические величины, знание которых в начальный момент времени t0 позволяет с использованием динамических законов однозначно предсказать состояние системы в любой момент времени t > t0. Эти величины называются начальными условиями. Результат применения динамических законов к системам однозначно зависит от начальных условий. Поэтому такие системы и стали называть динамическими в отличие от систем, подчиняющихся вероятностным законам. Поведение вероятностных систем с течением времени перестает быть зависимым от начального состояния. Так, распределение молекул по скоростям в молекулярной системе с течением времени становится всегда распределением Максвелла, оно не зависит от того, как распределены были молекулы в начальный момент времени.

Изменение состояния системы с течением времени называют процессами или ее эволюцией. Эволюция может происходить по законам разной природы в зависимости от выбора динамических систем. Динамические системы делят на механические, электрические, оптические.

Процессы, по которым изменяются физические величины, характеризующие состояние системы, могут быть самыми разнообразными.

В дальнейшем будут рассматриваться процессы, называемые колебательными. Роль колебательных движений в нашей жизни трудно переоценить. По высказыванию академика Л.И. Мандельштама, если "вы посмотрите историю физики, то увидите, что главные открытия по существу были колебательными". Целые разделы физики и техники посвящены только колебательным процессам (акустика, радиофизика, оптика и др.).

По природе различают колебания механические, электрические, оптические. Общим для колебательных процессов различной природы является аналогия математических уравнений, описывающих их эволюцию. Поэтому изучая колебания одной природы, можно делать вывод о свойствах колебаний другой природы. В работе рассматриваются только механические колебания. Однако теорию и выводы, полученные в работе, можно использовать для других видов колебаний. Поэтому, изучая механические колебания, вы тем самым изучаете основы электромагнитных и оптических колебаний.

Механические процессы подчиняются динамическим законам Ньютона. Состояние динамической механической системы определяется разным числом физических величин в зависимости от выбора механической модели. Для материальной точки это ее координаты (x, y, z) и скорость v (vx, vy, vz ).

Механическим колебательным движением можно назвать движение, при котором тело отклоняется то в одну, то в другую сторону от некоторого положения, положения равновесия. Такое движение тело может совершать, если на него будут действовать силы, изменяющиеся по направлению и величине. Колеблющееся тело с наложенными на него связями называют колебательной системой, или осциллятором.

Существует много видов колебательных движений.

1. В зависимости от времени отклонения колебательной системы в разные стороны от положения равновесия различают периодические и непериодические колебания. Для определения этих колебаний введем понятие полного колебания. Ввести общее определение одного колебания вряд ли возможно, но на частных примерах его можно дать. Например, осциллятор совершает одно полное колебание, если отклоненный от положения равновесия на максимальную величину и имеющий скорость, равную 0, он возвращается в ту же сторону и имеет максимальное отклонение и скорость, равную 0; или осциллятор совершает одно полное колебание, если выйдя из состояния равновесия с определенным направлением скорости, вновь возвращается в положение равновесия с тем же направлением скорости.

Колебания называются периодическими, если каждое полное колебание совершается за одно и тоже время (рис.1). Колебания будут непериодическими, если полные колебания будут совершаться за разное время (рис. 2).

Периодические колебания могут быть очень разными. Их возможные развертки во времени представлены на рис. 1. Особую роль в физике играют колебания, при которых координаты меняются по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими (рис. 1, г) колебаниями.

2. Колебания называются линейными и нелинейными в зависимости от динамических уравнений, описывающих их движения. Колебания называются линейными, если описываются с точки зрения математики линейными уравнениями, и нелинейными, если описываются нелинейными уравнениями.

3. Колебания разделяют на свободные и вынужденные с точки зрения взаимодействия системы с внешней средой, т. е. с телами, не входящими в колебательную систему (сила сопротивления при этом не рассматривается как внешняя сила).

4. Свободные колебания разделяются на затухающие и незатухающие. Затухающие свободные колебания это такие колебания, при которых колебательная система взаимодействует с окружающей средой только силами сопротивления. Незатухающие свободные колебания это такие колебания, при которых силами сопротивления можно пренебречь.

5. Вынужденные колебания это колебания, которые происходят под действием внешних сил. Силы могут быть периодическими или непериодическими.

6. По энергетическому принципу свободные колебания делятся на консервативные и неконсервативные. В первом случае энергия при колебаниях сохраняется, во втором случае энергия тратится на работу против сил сопротивления.

Объединяя деления колебаний по разным признакам, получим разные виды колебаний.

Например, периодические вынужденные колебания; периодические линейные и нелинейные колебания и т. д.

Глава 1. Свободные незатухающие колебания 1.1. Определение свободных или собственных колебаний Из всех механических колебательных движений для упрощения рассуждений будем рассматривать только такие колебательные движения, при которых положение тела определяется одной степенью свободы, т. е.

для описания положения тела в пространстве достаточно только одной координаты.

В положении равновесия колебательной системы силы, действующие в ней, уравновешены. Чтобы вывести эту систему из положения равновесия, необходимо внешнее воздействие, то есть воздействие тела, не входящего в колебательную систему. В результате внешнего воздействия колебательная система получает энергию.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии колебательной системе, и в дальнейшем внешние силы на систему не действуют.

1.2. Свободные колебания без учета сил сопротивления 1.2.1. Уравнения, описывающие механические колебательные движения При рассмотрении колебаний будем считать, что силами трения и сопротивления можно пренебречь. Такие колебания называются свободными, незатухающими. Колеблющееся тело можно моделировать либо как материальную точку, либо как абсолютно твердое тело.

После выведения осциллятора из положения равновесия колебания происходят под действием внутренних сил F или моментов внутренних сил M, возникающих в колебательной системе и возвращающих ее к положению равновесия.

Если колеблющееся тело моделируется как материальная точка, то колебания осциллятора подчиняются второму закону Ньютона где m – масса колеблющегося тела, a – его ускорение, F – равнодействующая сила, действующая на материальную точку.

Если колеблющееся тело моделируется как абсолютно твердое тело, то колебания тела подчиняются уравнению моментов вращательного движения Здесь J – момент инерции колеблющейся системы относительно оси вращения, M – момент сил, действующих в системе, – угловое ускорение колеблющегося тела.

При рассмотрении колебаний тел с одной степенью свободы, законы динамики (1.1) и (1.2) можно записать в проекции на ось x, совпадающей с прямой, по которой движется материальная точка, или на ось z, совпадающей с осью вращения для абсолютно твердого тела. За начало отсчета оси x принимают положение устойчивого равновесия осциллятора.

где x – координата колеблющегося тела.

где – угол отклонения абсолютно твердого тела от положения равновесия.

Уравнения (1.3) и (1.4) линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. В зависимости от вида дифференциального уравнения, описывающего колебания, они разделяются на линейные и нелинейные 1.

Линейные уравнения решаются проще, чем нелинейные, поэтому колебания, подчиняющиеся линейным уравнениям, в настоящее время хорошо изучены.

1.2.2. Примеры линейных колебательных систем Колебательные системы могут быть самыми разными. Рассмотрим примеры наиболее распространенных видов осцилляторов.

1. Осциллятор груз массой m, скрепленный с пружиной, который может двигаться по горизонтальной прямой (рис. 1.1).

Дифференциальные уравнения, содержащие не более чем 1-ю степень некоторой переменной величины и первые степени ее первой, второй и т. д. производных, называются линейными относительно данной переменной и ее производных по времени. Линейные однородные дифференциальные уравнения имеют важное свойство: сумма двух любых решений уравнения также является его решением.

оно начнет совершать колебательные движения и проходит положение равновесия по инерции. Силы, действующие в системе, показаны на рис. 1.1.

Второй закон Ньютона для данной системы:

В проекции на ось x:

Модуль силы F где k – жесткость пружины, – растяжение или сжатие пружины. Если за начало отсчета выбрано положение равновесия, то = |x|.

Формула Fx = kx справедлива только при абсолютно упругих деформациях. Но на практике деформации не всегда абсолютно упругие, поэтому сила упругости в общем случае зависит от растяжения пружины нелинейно, и в этом случае колебания будут нелинейными.

В общем случае сила Fx может быть разложена в ряд Тейлора Коэффициенты F (x0), F (x0)/1!, F (x0)/2! и т. д. – постоянные величины, причем каждое следующее слагаемое меньше предыдущего.

Колебания происходят около положения равновесия, следовательно, можно положить x0 = 0. В этом случае разложение можно переписать в виде ряда (ряд Маклорена) или где k, b и c – постоянные коэффициенты.

Тогда уравнение колебания тела на пружине (1.6) запишется в виде:

При абсолютно упругих деформациях можно ограничиться только первым членом разложения. В этом случае сила упругости, возвращающая тело в положение равновесия, в проекции на ось x равна Fx = kx, т. е. сила прямо пропорциональна смещению от положения равновесия.

Получим уравнение линейных колебаний В табл. 1.1 указаны знаки проекций ускорений и силы упругости как функции x в различные моменты времени.

Примечание. Положения равновесия на рисунках в таблице показаны пунктирной линией.

Уравнение (1.7) поделим на массу колеблющегося тела m и запишем в виде Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Колебания такого осциллятора называются гармоническими.

2. Осциллятор однородный стержень массой m, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (физический маятник) (рис. 1.2). Стержень абсолютно твердое тело и его движение подчиняется уравнению (1.2) и в проекции на ось z уравнению (1.4).

где J – момент инерции стержня, r = 00 – расстояние от центра тяжести стержня до точки 0.

В табл. 1.2 показано, что при любом направлении движения маятника сохраняется знак "" в правой части уравнения (1.9).

Обозначим Тогда уравнение движения маятника (1.9) примет вид:

Уравнение (1.10) нелинейное, но sin можно разложить в ряд Тейлора Если угол мал, то всеми членами ряда, начиная со второго, можно пренебречь ввиду их малости, и тогда sin. В этом случае момент силы, возвращающий тело в положение равновесия, в проекции на ось z равен Mz = mgr. Он прямо пропорционален углу отклонения тела от положения равновесия, взятого со знаком минус. Уравнение (1.10) перепишется в виде Уравнение (1.11) линейное, и колебания маятника при малом угле отклонения гармонические.

Примечание. Положения равновесия на рисунках в таблице показаны пунктирной линией.

3. Осциллятор груз массой m, подвешенный на длинной нити (математический маятник) (рис. 1.3). Масса нити много меньше массы груза. Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Массой нити можно пренебречь. Если длина нити много больше размеров груза, то можно пренебречь его размерами.

4. Осциллятор сплошной однородный диск (рис. 1.4), подвешенный на упругой нити, укрепленной в центре диска, ОС – ось вращения диска. При закручивании нити на угол вокруг оси ОС возникает момент упругости M, модуль момента где D – коэффициент упругости нити.

Уравнение (1.14) будет линейным, а колебания гармоническими.

Вывод. Во всех рассмотренных случаях возникают либо силы, либо моменты сил, возвращающие колеблющееся тело в положение равновесия, прямо пропорциональные координатам, с помощью которых описывается положение тела. При сравнении уравнений (1.8), (1.11), (1.12) и (1.14) видно, что колебания всех четырех осцилляторов описываются одинаковыми уравнениями, отличающимися только выбором координат.

Это линейные дифференциальные уравнения второго порядка, так как в них одно слагаемое вторая производная от координаты, а другое прямо пропорционально координате. Но тогда и решения всех четырех уравнений должны быть одинаковыми с математической точки зрения и отличаться только выбором координаты.

Колебания, происходящие под действием сил или моментов сил, прямо пропорциональных координатам, с помощью которых описывается положение колеблющегося тела, взятых с отрицательным знаком, называются свободными гармоническими колебаниями. Они описываются одинаковыми линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только одно уравнение (1.8).

1.2.3. Решение дифференциального уравнения, описывающего гармонические колебания Рассмотрим решение дифференциального уравнения, описывающего колебания упругого гармонического осциллятора (1.8). Выводы, полученные при этом, можно отнести ко всем гармоническим колебаниям.

Колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению. По 2-му закону Ньютона ускорение прямо пропорционально силе и, следовательно, ускорение также должно быть прямо пропорционально смещению, т. е. x и d2 x/dt2 должны выражаться через функцию, одинаково зависящую от времени. Кроме того, эта функция должна быть периодической. Этим требованиям соответствуют функции синуса и косинуса.

Поэтому решением уравнения (1.15) могут быть выражения:

Докажем, что это так.

Найдем первую и вторую производную от x1 и x2.

Подставим полученные значения второй производной и значения x1 и x в уравнение (1.15).

Получаем тождество, что и является доказательством верности обоих решений.

Так как уравнение линейное, то сумма решений уравнения тоже является решением данного уравнения, следовательно, x = x1 + x2 также будет решением уравнения (1.15).

Преобразуем полученное уравнение. Разделим и умножим правую часть равенства на выражение A2 + B При этом выполняются соотношения:

Поэтому можно положить, что уравнение (1.16) перепишется в виде Обозначим A2 + B 2 = C, тогда 1.2.4. Определение амплитуды, фазы, начальной фазы Найдем физический смысл C и. Максимальное значение синуса угла равно 1. Следовательно, |xmax| – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия называется амплитудой, обозначим ее A.

Угол характеризует начальное положение колеблющейся точки и называется начальной фазой колебания. Угол (t + ) характеризует положение точки в любой момент времени t и называется фазой колебания.

Фаза колебания зависит от времени t. Поэтому знание фазы колебаний позволяет определить положение колеблющейся точки x в любой момент времени.

1.2.5. Определение периода гармонических колебаний Синус угла функция периодическая, повторяющаяся через 2.

Пусть T – период колебаний. Периодом гармонических колебаний называется наименьшее время, через которое x примет то же значение при том же направлении скорости. Тогда можно записать Разность между фазами равна где называется циклической частотой, она равна числу колебаний за время 2 и измеряется в c1.

Найдем периоды колебаний осцилляторов, приведенных в пп. 1.2.2:

а) для колебаний упругого осциллятора (уравнение (1.8)) б) для физического маятника (уравнение (1.9)) в) для математического маятника (уравнение (1.12)) г) для крутильных колебаний (уравнение (1.14)) 1.2.6. Алгоритм нахождения периода гармонических колебаний Сформулируем некоторое правило, позволяющее вычислять период гармонических колебаний. Для этого необходимо:

1) схематично сделать чертеж колебательной системы в положении равновесия и изобразить силы, действующие на нее в этом положении;

2) мысленно вывести систему из положения равновесия на малую величину, сделать соответствующий рисунок и показать все силы, действующие на колеблющееся тело;

3) определить, как можно в условиях данных в задаче моделировать колеблющееся тело;

4) а) если положение осциллятора описывается с помощью одной изменяющейся координатой, например, координатой x, то нужно записать 2-й закон Ньютона и спроектировать его на эту ось;

б) если положение осциллятора определяется через угол отклонения от положения равновесия (абсолютно твердое тело), то необходимо записать основное уравнение вращательного движения и спроектировать его на ось, относительно которой вращается твердое тело;

5) силу или момент силы, возвращающих колеблющееся тело в положение равновесия, необходимо выразить через выбранную координату;

6) преобразовать полученные уравнения так, чтобы они были линейными и записать их в виде (1.8) или (1.12), (1.14) в зависимости от выбора модели;

7) после этого находить выражение для циклической частоты (как это было сделано в примерах 1 – 4, пп. 1.2.2), а затем для периода T (как это показано в пп. 1.2.5).

1.2.7. Связь амплитуды и начальной фазы с начальными условиями.

Покажем, что амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями x0 и v0 и свойствами самого осциллятора.

Пусть точка совершает гармонические колебания по закону Скорость колеблющейся точки Начальные условия (t = 0) Из выражений (1.18) найдем sin и cos Разделим (1.19) на (1.20) Выражение (1.21) определяет начальную фазу колебаний.

Возведем (1.19) и (1.20) в квадрат и сложим Из полученного выражения найдем амплитуду смещения A Выражения (1.21) и (1.22) показывают, что начальная фаза и амплитуда колебаний зависят от начальных условий (x0 и v0) и циклической частоты, которая определяется свойствами осциллятора.

1.2.8. Определение вида кинематических уравнений в зависимости от выбора начальных условий Если v0 = 0 (тело отклонили на x0 и отпустили без толчка), то A = = x0, т. е. амплитуда равна максимальному отклонению тела от положения равновесия и tg =, = /2 (см. формулы (1.22) и (1.21)), тогда уравнение колебательного движения будет иметь вид Скорость Если x0 = 0 (телу, находящемуся в положении равновесия, сообщили скорость v0, "толкнули"), то tg = 0, = 0, максимальное отклонение от положения равновесия определится начальной скоростью A = v0/, и уравнение колебательного движения Скорость 1.2.9. Решение дифференциального уравнения, описывающего колебания гармонического осциллятора, с использованием комплексных функций (2-й метод) Запишем уравнение, описывающее гармонические свободные колебания.

Анализ гармонических колебаний значительно упрощается, если решение уравнения (1.25) представить в форме где C и r – постоянные величины. Найдем первую и вторую производную от выражения (1.26) и подставим в уравнение (1.25) Так как Cert = 0, то уравнение (1.27) обращается в тождество, если Следовательно, решениями уравнения (1.25) будут где C1 и C2 – постоянные коэффициенты. Так как x действительное число, то C1 и C2 комплексные величины 2.

Общее решение Воспользуемся формулой Эйлера тогда Подставим (1.29) в решение дифференциального уравнения колебательного движения гармонического осциллятора (1.28) тогда подставим (1.31) в (1.30) Комплексным числом называется число, имеющее вещественную (действительную) (Re) и мнимую части. Общая форма комплексного числа b = + i. Число называется действительной частью комплексного числа b, а i – его мнимой частью.

Обозначим 2b = A, тогда Иногда решение (1.32) записывают в виде где за x принимают вещественную часть Re(x) выражения (1.33) 1.3.1. Полная механическая энергия осциллятора Полная механическая энергия системы E = Eп + Ek, где Eп – потенциальная энергия, Ek – кинетическая энергия. Примем за начало координат положение равновесия, тогда потенциальная энергия колеблющегося тела в положении равновесия будет равна нулю.

Подставим в выражения для кинетической и потенциальной энергии значение x и скорости v Полную энергию E получим, суммируя выражения (1.34) и (1.35) 1.3.2. Средние значения за период кинетической и потенциальной энергии осциллятора Докажем, что средняя кинетическая энергия осциллятора за период равна его средней потенциальной энергии.

Определение. Если некоторая величина непрерывно зависит от времени, то среднее значение этой величины < > в промежутке времени от t1 до t2 определяется по формуле Найдем среднее значение потенциальной энергии < Eп > за период T = t2 t1. Eп непрерывно зависит от времени.

Учтем, что и вычислим интеграл Следовательно, Аналогично вычислим среднюю кинетическую энергию:

Распишем cos2 (t + ) и вычислим интеграл Следовательно, Таким образом мы доказали, что за период гармонических колебаний средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии 1.4. Графическое представление колебаний 1.4.1. Метод векторных диаграмм Запишем уравнения для координаты x, скорости v и ускорения a как функции времени t Сравним фазы между скоростью и смещением и между ускорением и смещением. С этой целью выражения для x, v и a представим в виде Отсюда видно, что фаза скорости больше фазы смещения на /2, т. е.

скорость опережает смещение на /2. Фаза ускорения больше фазы смещения на, т. е. ускорение опережает смещение на. Период изменения x, v, a одинаковый.

Для изображения сдвига фаз между x, v и a удобно использовать "метод векторных диаграмм". В этом методе амплитуды смещения A, скорости vmax и ускорения amax принимаются за векторы.

к оси x (рис. 1.5). Мгновенные значения x, v и a на диаграмме изображаются через проекции соответствующих амплитуд на ось x (векторы амплитуд вращаются с одинаковой угловой скоростью относительно оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно чертежу против часовой стрелки).

1.4.2. Плоские диаграммы Плоскими диаграммами называют графики зависимости координаты x, скорости v, ускорения a от времени t. Эти величины выражаются через функции синуса или косинуса, угол которых зависит от времени t. Функции эти периодические с периодом 2. Период колебаний равен периоду T. Период 2 сопоставляется с периодом T. Поэтому при построении графиков время t удобно выражать в долях периода T и, следовательно, сопоставлять с углами, выраженными в радианах.

Для нахождения времени t, выраженного в долях периода T, соответствующего данному углу, можно воспользоваться диаграммой (рис. 1.6) При построении графиков, когда начальная фаза не равна нулю, необходимо найти значение времени t, соответствующее начальной фазе, в долях периода. Построить график синуса или косинуса, так как если бы = 0, и затем сдвинуть на момент вычисленного времени и, следовательно, ось x на это значение, приняв его за нулевой отсчет.

Например, пусть = /4, найдем соответствующее этому углу время t. Углу 2 соответствует время T, углу /4 время t. Следовательно, t = T /8. Построим график x = A sin t и сдвинем ось x на t = T /8. Это будет график функции x = A sin(t + /4) (рис. 1.7).

Примем для простоты = 0 и построим графики, показывающие, как меняются x, v и a (см. рис. 1.8) со временем. Время T соответствует сдвигу фазы на 2.

Запишем уравнения для кинетической энергии Ek и потенциальной энергии Eп как функции времени Период изменения Ek и Eп равен T /2 и Ek > 0 и Eп > 0, и их колебания происходят около среднего значения < Ek > или < Eп >. Чтобы построить график зависимости энергии от времени, представим Тогда Eп = 0, если cos 2t = +1, 2t = 2n, где n = 0, 1, 2,.... Найдем значения времени, при которых потенциальная энергия равна нулю.

Найдем значения времени, при которых потенциальная энергия максимальна.

Найдем соответствующие значения времени.

Отложив полученные значения Eп на графике функции Eп = Eп (t), получим график, изображенный на рис. 1.9. Колебания энергии будут происходить вокруг значения mA2 2 /4 с периодом в два раза меньшим, чем колебания осциллятора.

Аналогично можно построить график зависимости кинетической энергии Ek = Ek (t).

1.4.3. Фазовые диаграммы При построении фазовых диаграмм по оси абсцисс откладывается смещение x, по оси ординат скорость x. С течением времени изображаемая на диаграмме точка описывает кривую f (x, x) = 0, которая называется фазовой траекторией.

Фазовые диаграммы в принципе можно строить для любых видов движения. Построим фазовую диаграмму для гармонических колебаний.

или Возведем систему уравнений (1.38) в квадрат и сложим друг от друга начальным положением точки и скоростью ее движения по траектории. Для любых периодических движений фазовая траектория замкнутая кривая.

1.4.4. Спектральный метод представления гармонического движения чисто гармонических колебаний, непрерывных во времени, спектр состоит из 1.5. Сложение гармонических колебаний, происходящих 1.5.1. Сложение двух колебаний одинаковой частоты Осциллятор может участвовать в нескольких колебательных процессах. Например, тело может колебаться при действии на него двух пружин одинаковой жесткости. При действии одной пружины колебания происходили бы по закону При действии другой пружины колебания происходили бы по закону В результате одновременного действия на тело двух пружин колебания будут происходить по закону Для нахождения x удобно воспользоваться методом векторных диаграмм (рис. 1.12).

в проекции на ось x По теореме косинусов Результирующая амплитуда Найдем начальную фазу суммарного колебания.

Для момента t = 0 x = A cos, учитывая соотношение (1.41):

Проекция уравнения (1.40) на ось y:

Разделив (1.44) на (1.43) получим Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одной частоты, будет совершать гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Рассмотрим два случая 1) если разность фаз складываемых колебаний (21) = ±2n (n = = 0, 1, 2,...), тогда A = A1 + A2.

1.5.2. Биения Обычно очень трудно достигнуть случая, когда круговые частоты складываемых колебаний равны. Если складываются колебания одного направления, но их частоты незначительно отличаются друг от друга, то возникают колебания, называемые биениями.

ствием двух сил с разными мало отличимыми частотами, например, под действием двух пружин с разными коэффициентами упругости k1 и k2 (рис. 1.14).

Если бы колебания происходили под действием одной силы, то они происходили бы по закону если бы только под действием 2-й силы, то по закону Когда на тело действуют обе силы, то колебания будут происходить по закону Преобразуем правую часть выражения (1.46) так, чтобы вместо суммы получить произведение. Для этого к правой части выражения (1.46) прибавим и вычтем A1 sin(2t + 2).

x = A1[sin(1t + 1) + sin(2t + 2 )] + (A2 A1) sin(2t + 2 ).

Тогда В полученном выражении (1.47) 1-е слагаемое является произведением двух колебаний. Чтобы проанализировать, какое это будет колебание, положим, что A1 = A2. Тогда 2-е слагаемое будет равно 0 и Это колебание в общем случае не будет гармоническим колебанием, т. к. представляет собой произведение двух гармонических колебаний с разными частотами (1 + 2 )/2 и (1 2)/2. Но если частоты 1 и 2 мало отличаются между собой, то есть 1 и 2, то (1 + 2 )/2 1 или (1 + 2)/2 2, и тогда выражение (1.48) можно записать в виде Так как t мало изменяется со временем, то и выражение будет медленно меняться со временем, и уравнение (1.49) перепишется в виде Уравнение (1.51) можно рассматривать как гармоническое колебание с медленно изменяющейся со временем амплитудой B (уравнение (1.50)).

Такие колебания и будут биениями. Амплитуда B будет изменяться от 2A до 0. Период изменения амплитуды биения B от 2A до 2A или от до 0 называется периодом биения.

Частота изменения B в два раза больше частоты изменения косинуса, так как берется по модулю. Поэтому = 2/. Период же колебаний T = 2/. На рис. 1.15 изображен график таких колебаний при и 2, равных 0.

Если A1 = A2, то получается сложение двух гармонических колебаний с близкими частотами, происходящими по одной прямой. Амплитуда такого результирующего колебания также будет медленно изменяться ( > T ), но она никогда не будет обращаться в 0. На рис. 1.16 изображен график таких колебаний.

1.5.3. Сложение колебаний с кратными частотами Пусть осциллятор участвует в двух колебательных движениях, происходящих по одной прямой, но частота одного колебания в n раз больше частоты другого 2 = n1, где n – целое число, (например, жесткость второй пружины в n раз больше первой). Тогда за период 1-го колебания осциллятор должен совершить n периодов 2-го колебания. Очевидно, что через период T1 колебания должны повторяться, следовательно, результирующее колебание будет периодическим, но форма его не будет синусоидальной, т. е. колебание уже не будет гармоническим.

Для простоты начальные фазы примем равными нулю и A = B.

Чтобы получить график результирующего колебания x = x1 + x2, построим сначала графики x1(t) (рис. 1.17,а) и x2 (t) (рис. 1.17,б). Затем для выбранных моментов времени t нужно отложить значения x1 + x2, где x1 и x2 значения, соответствующие выбранному моменту времени на графиках x1 (t) и x2(t), и полученные точки соединить (рис. 1.17,в).

При сложении получим периодическое колебание, повторяющееся через период наиболее медленного колебания. Еще более сложные кривые получаются при сложении 3-х и более колебаний.

Частота, определяющая период результирующего колебания, называется основной частотой. Колебания, происходящие с основной частотой, называют 1-й гармоникой, а колебания с частотами n называются гармониками (2,3 и т. д.), или обертонами.

Различные периодические негармонические движения часто встречаются в природе. Если при сложении колебаний получается периодическое негармоническое колебание, то естественно предположить, что периодическое негармоническое движение можно представить как сумму гармонических движений, происходящих по одной прямой и имеющих кратные частоты.

1.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 1.6.1. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, имеющих одинаковые частоты Такая система имеет две степени свободы, и для описания колебаний этой системы необходимо знать две координаты x(t) и y(t).

Пусть, например Найдем уравнение траектории колеблющегося тела. Для простоты рассуждений начало отсчета времени выбрано так, что начальная фаза колебаний вдоль оси x равна 0. Перепишем уравнение (1.53) в виде Из уравнения (1.52) найдем sin t и cos t и подставим в (1.54) Преобразуем полученное уравнение (1.55) и возведем его в квадрат После преобразований (1.56) получим уравнение траектории в явном виде Рассмотрим частные случаи:

а) пусть = 0 или. Тогда cos = ±1, sin = 0, и уравнение (1.57) перепишется в виде Это уравнение прямой, причем прямая проходит через начало координат и лежит либо в 1-м и 3-м квадранте, либо во 2-м и 4-м (рис. 1.19).

Тангенс угла наклона б) если = ±/2, то уравнение (1.57) будет иметь вид:

Это эллипс, главные оси которого направлены по осям координат (рис. 1.20). Двойной знак у указывает, что точка может двигаться по эллипсу по часовой стрелке и против часовой.

и получаем уравнение окружности. Найдем скорость точки при движении по окружности.

Возведем vx и vy в квадрат и сложим vx и vy т. е. скорость при движении точки остается постоянной.

Найдем ускорение точки Возведем (1.59) в квадрат и сложим a2 и a или, учитывая, что v = A Это нормальное ускорение.

Отсюда можно сделать вывод, что равномерное движение точки по окружности можно рассматривать как сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний точки с равными амплитудами и частотами.

1.6.2 Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, имеющих разные частоты 1 и В этом случае результирующее движение имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Рассмотрим сначала случай, когда частоты колебаний по разным осям относятся друг к другу как целые числа где x – циклическая частота колебания вдоль оси x, y – циклическая частота колебания вдоль оси y, m и n – любые целые числа.

Перейдя к периодам Tx и Ty, соотношение (1.60) можно записать Равенство (1.61) показывает, что за одно и то же время осциллятор совершит n колебаний вдоль оси x и m колебаний вдоль оси y.

Введем обозначения: A – амплитуда колебаний вдоль оси x, B – амплитуда колебаний вдоль оси y и запишем уравнения колебаний вдоль осей x и y При каждом колебании вдоль оси x осциллятор будет отклоняться от A до A, а при каждом колебании вдоль оси y осциллятор от B до При кратных отношениях частот траектория осциллятора будет вписываться в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам колебаний вдоль соответствующих осей.

За время nTx осциллятор n раз пройдет через положения A и m раз через положение B. Кроме того, вид траектории зависит от разности фаз колебаний = 1 2.

Допустим, что n = 1, m = 2, Tx/Ty = 2 и = /2. Тогда осциллятор за время t = Tx сделает одно полное колебание вдоль оси x (один раз пройдет через A) и два полных колебания вдоль оси y (два раза пройдет через B).

Траектория такого движения изображена на рис. 1.21,а.

При отношении частот 1/2 и разности фаз = 0 траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 1.21,б), по которой точка движется туда и обратно.

На рис. 1.22 приведены фигуры Лиссажу для отношения частот 1/ и различной разности фаз: а) = ; б) = ; в) =. На рис. 1. отношения частот 1/3, разности фаз: а) = 0; б) = ; в) =.

На рис. 1.24 отношение частот 2/3, разность фаз а) = 0; б) =.

По числу касаний траекторий сторон прямоугольника сразу можно определить отношение частот колебаний. Это часто используется на практике. Например, на рис. 1.23 отношение частот 1/3, а на рис. 1.24 – 2/3.

Если между частотами нет простого кратного отношения, то получаются области, сплошь заполненные траекторией движущейся точки.

1.7. Гармонический (спектральный) анализ колебаний Различные колебательные движения сложной формы (негармонические) можно разделить на периодические и непериодические.

1.7.1. Гармонический анализ периодических негармонических движений Пусть периодические движения описываются функцией (t), значения которой повторяются через период T, т. е. (t + T ) = (t). В математике доказывается, что такую периодическую негармоническую функцию (t) можно представить как сумму тригонометрических функций Такая сумма называется рядом Фурье3. Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком суммы в формуле (1.62) на a2 + b2, и введем обозначения (см. пп. 1.2.3) В этом случае Обозначим a2 + b2 = An, тогда выражение (1.62) с учетом (1.63) переn n пишется в виде An cos(nt n ) – это гармоническое колебание, поэтому, учитывая, что функция f (t) описывает негармонические колебания, можно сказать, что периодические негармонические колебания можно представить как сумму гармонических колебаний (гармоник или мод) с амплитудами A1, A2,..., An и частотами, кратнымим :, 2,..., n.

Процес нахождения амплитуд (A1, A2,..., An) или коэффициентов Фурье b0, an, bn (для всех n) для заданной периодической функции f (t) называется Фурье-анализом, или гармоническим анализом.

Разложение периодической функции в ряд Фурье не единственно возможное разложение, но разложение в ряд Фурье осуществляется особенно часто из-за удобства его использования на практике.

1.7.2. Нахождение коэффициентов Фурье Коэффициенты находятся по формулам где t1 – любой момент времени.

Чтобы найти an, надо умножить выражение (1.7.1) на cos kt dt, где k принимает такие же значения, что и n – от 0 до. Получим Проинтегрируем полученное уравнение по периоду от t1 до t1 + T или от 0 до T, что даст тот же результат.

Рассмотрим последовательно все интегралы в правой части полученного выражения.

Для вычисления остальных интегралов воспользуемся тригонометрическими соотношениями при n = k При k = n Рассмотрим интегралы:

При n = k При n = k При n = k В результате получаем Отсюда Для нахождения bn обе части уравнения (1.62) надо умножить на sin kt dt, воспользоваться вышеприведенными тригонометрическими соотношениями, а также проинтегрировать (вычисления проделать самостоятельно). В результате получим Для определения b0 надо проинтегрировать выражение (1.62) от 0 до T. Правая часть после интегрирования будет равна b0 T. Следовательно, Откуда 1.7.3. Пример разложения периодического негармонического колебательного движения в ряд Фурье Пусть осциллятор совершает колебательное движение, график которого x(t) представлен на рис. 1.26,а. Для удобства вычислений начало отсчета времени перенесем в точку 01 и интегрировать будем от T /2 до T /2. Это возможно, так как функция x(t) периодическая и непрерывная во времени. Разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

где = 2/T, T – период функции x(t).

На рис. 1.26,б представлена спектрограмма разложения рассматриваемой функции в ряд Фурье.

1.7.4. Гармонический анализ непериодических движений Непериодическое движение, описываемое функцией x = (t), так же как и периодическое, можно представить как сумму гармонических колебаний. При этом число колебаний, входящих в сумму, бесконечно велико, их частоты изменяются от 0 до, а амплитуды непрерывно распределены по определенному закону в зависимости от частоты. Поэтому непериодические движения будут выражаться не суммой ряда, а интегралом, называемом интегралом Фурье (или интегралом Коши – Фурье).

К интегралу Фурье можно перейти от ряда Фурье путем предельного перехода, устремив период T к. Функция x = (t) должна быть непрерывной и интегрируемой в интервале от до.

Пусть имеется периодическая функция x = (t) с периодом T, ее можно представить рядом Фурье где Чтобы перейти от суммы к интегралу в выражении (1.65), введем новую переменную, непрерывно меняющуюся от 0 до. Величину n0 или 2n/T0 представим как дискретные величины новой переменной. Приращение = n+1 n = 2/T0. При T 0.

Тогда где В последних выражениях вместо t ввели переменную u, в принципе равную t, чтобы при подстановке (1.66) не интегрировать эти выражения по t.

Полученное выражение (1.66) при определенных условиях можно преобразовать к виду (подобно тому как выражение (1.62) было преобразовано к выражению (1.66) для рядов Фурье). Функция S() характеризует распределение амплитуд по спектру.

Теперь нельзя говорить об определенных частотах, имеющих определенные амплитуды, т. к. спектр является сплошным. Можно говорить только о среднем значении амплитуды в некотором узком интервале частот (, + ). Это значение равно ординате кривой распределения в точке с абсциссой, умноженной на ширину частотного интервала. Для интервала = 0 амплитуда равна S() = 0, следовательно, равна 0 и энергия.

Пример. Рассмотрим импульс, представляющий собой нарастание отклонения до некоторой величины, постоянное отклонение на краткий промежуток времени и затем спадание до 0 (рис. 1.28,а).

Его можно представить как сумму бесконечного числа колебаний (т. е. через интеграл Фурье), частоты которых изменяются от 0 до. Спектр такого движения будет непрерывным.

Распределение амплитуды в таком спектре определяется выражением Средняя амплитуда A1, соответствующая интервалу частот = 2 1, равна заштрихованной площади S(1 ) (рис. 1.28,б).

При = 2n/, где n = 1, 2, 3,... амплитуда спектра равна 0. При частотах, когда 2/, S() = A, (sin /2 /2, так как угол /2 мал) т. е. не зависит от частоты.

Так как реальные колебания всегда ограничены во времени, то их нельзя считать строго периодическими. Спектральные линии, иногда рассматриваемые как монохроматические, в действительности всегда охватывают определенный интервал частот.

Чем ближе движение к гармоническому, тем уже ширина спектра. Потому в определенных случаях шириной полосы пренебрегают.

На рис. 1.29 изображены плоская диаграмма, записанная на экране осциллографа (а), и соответствующая ей спектрограмма (б).

Обычно для оценки монотонности вводят понятие о ширине спектральной линии.

За ширину спектральной линии условились принимать интервал частот 2, на котором функция распределения амплитуд S() уменьшается до 0,7 своего наибольшего значения.

При этом энергия (прямо пропорциональная квадрату амплитуды) уменьшается вдвое.

Между шириной спектра и длительностью процесса существует связь т. е. большая монотонность требует большой длительности.

Практический интерес представляет относительная ширина спектральной линии где соответствует максимуму функции распределения амплитуд. Чем меньше, тем ближе колебания к гармоническим, т. е. строго монотонным.

При описании собственных колебаний мы до сих пор пренебрегали силами сопротивления. Но обычно силами сопротивления пренебречь нельзя, и колебания являются затухающими. При этом первоначально сообщенная осциллятору энергия уменьшается, и в соответствии с формулами (1.36) и (1.37) амплитуда колебаний должна уменьшаться. Закон убывания амплитуды колебаний зависит от характера сил трения, действующих на осциллятор. Рассмотрим различные случаи затухающих колебаний в зависимости от сил сопротивления, действующих на колеблющееся тело.

2.1. Затухающие колебания при действии сил сопротивления, прямо пропорциональных скорости 2.1.1. Уравнения, описывающие затухающие колебания Наиболее простыми для математического описания и распространенными являются колебания, при которых сила сопротивления прямо пропорциональна скорости. Это справедливо при движении тел в жидкостях или газах с малыми скоростями.

Силой трения о поверхность пренебрегаем. В проекции на ось x или или Уравнение (2.2) линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решение в виде не может быть решением уравнения (2.2), так как оно превращается в тождество только при условии 2 = 0, т. е. если отсутствует сила сопротивления. Опыт показывает, что при наличии сил сопротивления амплитуда колебаний с течением времени уменьшается, и колебания прекращаются.

Примем, что амплитуда меняется по закону A = A0et. Такую зависимость амплитуды от времени можно получить, предположив, что ее уменьшение dA за время dt пропорционально этому изменению времени и мгновенному значению амплитуды Проинтегрируем полученное выражение за конечный промежуток времени t Тогда решение примет вид Найдем x, x x = A0(et sin(t + ) + et cos(t + )), x = A0(2et sin(t + ) et cos(t + ) et cos(t + ) и подставим x и x в уравнение (2.2) Выражение (2.5) должно обращаться в ноль в любой момент времени. Но sin(t + ) и cos(t + ) не могут одновременно обращаться в ноль, следовательно, выражение в скобках будет обращаться в ноль, если коэффициенты при sin(t + ) и cos(t + ) будут равны нулю Из второго уравнения системы (2.6) следует, что = ; из первого с учетом = получим Частота затухающих колебаний меньше, чем незатухающих, силы сопротивления всегда направлены против скорости движения осциллятора (при движении осциллятора к положению равновесия направление силы упругости F и силы сопротивления Fc противоположное. Поэтому осциллятор движется более медленно и приобретает меньшую скорость в положении равновесия. При движении от положения равновесия направления силы упругости и силы сопротивления совпадают, движение замедляется быстрее, и осциллятор остановится раньше).

Следовательно, решением уравнения (2.2) является Если 2 = 0 или 2 > 0, то колебания возникать не будут. Это следует из анализа выражения (2.7).

Решение дифференциального уравнения (2.2) можно получить иначе. Представим решение в виде Найдем x и x Подставим (2.9) – (2.11) в уравнение (2.2) Чтобы (2.9) было решением уравнения (2.2), выражение в скобках должно быть равно нулю Решая (2.12) относительно r, получим и, следовательно, можно представить через sin и cos с использованием равенства Эйлера (гл. 1, 1.2, пп. 1.2.9).

Общее решение После преобразований (2.13) (гл. 1, 1.2, пп. 1.2.9, переход от формулы (1.29) к (1.31)) получим б) если 2 > 0, или 2 = 0, то корни вещественные и в этих случаях колебательного движения не будет.

Поэтому при большом сопротивлении среды колебания не возникают выведенная из положения равновесия система возвращается в то же положение асимптотически.

Способ, которым приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий (от начальной скорости и от начального отклонения системы) и от коэффициента затухания.

Затухание может происходить по трем вариантам в зависимости от начальных значений x0 и v0:

а) если начальная скорость v0 и x0 одного знака, т. е. осциллятор отклонили от положения равновесия и толкнули от положения равновесия (рис. 2.3,а), то он сначала будет удаляться от положения равновесия с уменьшающейся скоростью. Когда его скорость достигнет 0, осциллятор начнет двигаться назад к положению равновесия. При этом его скорость будет возрастать, т. к. сначала возвращающая сила будет больше силы сопротивления. Сила сопротивления зависит от скорости и будет возрастать вместе с увеличением скорости, а возвращающая сила уменьшаться.

Сила сопротивления станет больше возрастающей силы, скорость маятника будет уменьшаться, и система начнет асимптотически приближаться к положению равновесия;

б) маятник отклонили от положения равновесия и толкнули в противоположную сторону, при этом скорость ему сообщили такую небольшую,что система вследствие действия большой силы трения не сможет пройти положение равновесия и будет асимптотически приближаться к положению равновесия. Знаки x0 и v0 противоположны (рис. 2.3,б);

в) колебательную систему отклонили от положения равновесия и толкнули в противоположную сторону с большой скоростью. Знаки x0 и v0 разные (рис. 2.3,в). В этом случае система пройдет через положение равновесия и будет в этом положении обладать какой-то еще скоростью, направленной от положения равновесия. После прохождения положения равновесия система будет отклоняться в ту же сторону, куда направлена скорость. Знаки x и v0 будут совпадать. Дальнейший процесс будет такой же, как процесс "а". Сравнивая все три графика, можно сказать, что график "в" только в первой части отличается от графика "а". График "а" после времени t2 аналогичен графику "б" и, следовательно, график "в" аналогичен графику "б" с момента t3.

2.2. Основные характеристики затухающих колебаний 2.2.1. Период и амплитуда Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими т.к. колебания не повторяются во времени. Однако и в этом случае говорят о периоде, понимая, например, под периодом промежутки времени, через которые смещения обращаются в ноль при одинаковом направлении скорости.

Термин "амплитуда", строго говоря, применим только к гармоническим колебаниям. Однако его применяют и к негармоническим колебаниям, понимая под амплитудой наибольшие значения, которые достигает соответствующая величина при колебаниях осциллятора в течение одного периода.

2.2.2. Логарифмический декремент затухания Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд через промежуток времени, равный периоду T.

Логарифмический декремент затухания характеризует изменение амплитуды затухающих колебаний за период T.

2.2.3. Уменьшение амплитуды в e раз A = A0 et – амплитуда колебаний в какой-то момент времени t, AN = A0e(t+N T ) – амплитуда колебаний через N колебаний и, следовательно, через время N T.

При N = 1 амплитуда уменьшается в e раз. = 1/N. Отсюда логарифмический декремент обратен числу периодов, за которые амплитуда уменьшается в e раз.

2.2.4. Время релаксации Время, за которое амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации Пусть A1 – амплитуда колебаний в момент времени t1, A2 – в момент времени t2, тогда Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по показательному закону An = A0et, поэтому теоретически амплитуда колебания будет стремиться к нулю при t, но практически колебания затухают за конкретный промежуток времени. При определении времени затухания принято считать, что колебания прекратились, если их амплитуда An уменьшилась до величины, сравнимой с ошибкой измерения. Обычно это амплитуда, равная 0,01 доли начальной амплитуды где – время затухания. Если = 0, 1, то можно считать, что колебания прекратятся через 40 – 50 колебаний. Причина отклонений начальных процессов от теоретических расчетов заключается в зависимости коэффициентов трения и коэффициентов сопротивления от скорости (рис. 2.4). При теоретических расчетах их берут постоянными величинами.

увеличиваются, стремясь к определенному пределу. Если колебания продолжаются так долго, что скорость делается как µ изменяется. Именно поэтому амплитуда будет убывать быстрее.

2.2.6. Среднее значение энергии осциллятора за период В любой момент времени полная энергия системы равна Найдем среднее значение энергии < E > осциллятора за период.

Средняя энергия за период равна сумме средней кинетической энергии и средней потенциальной энергии осциллятора Получим среднее значение кинетической энергии за период Найдем = x из выражения для x (2.8) (x)2 = A2 e2t[ 2 sin2 (t+)+ 2 cos2(t+)2 sin(t+) cos(t+)].

Среднее значение синуса и косинуса за период равно нулю. Преобразуем третье слагаемое. Оно равно нулю В гл. 1, 1.3, пп. 1.3.2 было показано, что за период Следовательно, Будем считать, что затухание за период мало, т. е. 0, тогда 0. Учитывая малость затухания, можно положить, что e2t не изменяется за период, тогда Из математики: среднее значение суммы равно сумме средних значений.

Учитывая, что 0 среднее значение кинетической энергии за период можно считать равным:

Вычислим среднее значение потенциальной энергии за период Подставим выражение для x (2.8) Среднее значение энергии осциллятора за период:

2.2.7. Потери механической энергии за период Потери механической энергии за период можно найти различными способами.

Первый способ. Вычислим среднюю мощность силы сопротивления за период Учитывая (2.17), запишем среднюю мощность за период в виде так как 2 0, 0, получим Потери энергии за период обозначим E тогда 2.2.8. Добротность осциллятора Добротность Q – одна из важнейших характеристик осциллятора.

Добротностью осциллятора называют отношение запасенной энергии к среднему значению энергии, теряемой за один период, умноженное на 2. Добротность осциллятора Q – безразмерная величина.

Подставив в (2.21) выражения для < E > (2.18) и < E > (2.20), получим Учитывая, что = 1/, где – время релаксации (гл. 2, 2.2, пп. 2.2.4), можно записать отсюда видно, что умножение отношения энергий на 2 в определении Q упрощает его выражение не меняя смысла. Чем больше Q, тем меньше потери энергии за период.

2.3. Графическое представление затухающих колебаний 2.3.1. Плоские диаграммы На рис. 2.5 изображены плоские диаграммы затухающих колебаний при различных значениях добротности Q осцилляторов. Чем меньше добротность, тем быстрее затухают колебания.

2.3.2. Фазовые диаграммы Для построения фазовой диаграммы найдем ее траекторию при малом затухании ( 0 ).

Это уравнение спирали, скручивающейся к центру (рис. 2.6). При этом изображающая точка пересекает положительную полуось абсцисс через период T.

Фазовые траектории при больших коэффициентах затухания показаны на рис. 2.7.

2.3.3 Гармонический анализ затухающих колебаний Затухающие свободные колебания в целом являются непериодическим процессом и поэтому их можно представить как сумму бесконечного ряда гармонических колебательных движений (интеграл Фурье).

Спектр таких колебаний будет непрерывным. Функция S(), определяющая распределение амплитуд, выразится кривой, изображенной на рис. 2.8,a.

Максимальное значение кривой S() совпадает с частотой затухающего колебания з, а в стороны от этой частоты амплитуда спадает. Это спадание тем более резко, чем меньше коэффициент затухания. Ширина кривой спектра на высоте, равной 1/ 2 от максимального значения S(), имеет величину порядка коэффициента затухания (см. рис. 2.8,б).

2.4. Затухающие колебания при действии на осциллятор Пусть на осциллятор, изображенный на рис. 2.1, действуют те же силы, но силой трения Fтр о поверхность пренебречь нельзя, а силой сопротивления среды Fc можно.

Запишем второй закон Ньютона Рассмотрим случай, когда F = k|x|. Начало координат оси x совпадает с положением недеформированной пружины.

В проекции на ось x Знак перед силой Fтр противоположен знаку проекции скорости vx на ось x.

Перепишем уравнение Если начало координат переместить в точки x = ±Fтр /k, то уравнение (2.26) преобразуется к виду Это уравнение совпадает с уравнением для незатухающих колебаний, поэтому каждое движение между положительными и отрицательными максимальными значениями отклонений имеет синусоидальную форму и одинаковую частоту, однако центры таких движений лежат в точках, имеющих значения x = 0.

Рассмотрим подробнее движение осциллятора:

а) осциллятор движется вправо к положению равновесия (рис. 2.9).

В положении равновесия x = 0, т. е.

Поэтому колебания будут происходить около точки 01 (рис. 2.10);

б) при движении маятника влево направление скорости изменит свой знак на противоположный, и изменят свое направление сила трения и сила упругости (рис. 2.11).

Колебания будут происходить около точки 02 (рис. 2.12) Объединяя движение за период, получим график, показанный на рис. 2.13.

Работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком. В точках, где x = x1 max и x = x2 max (это точки поворота), скорость равна 0, и осциллятор обладает только потенциальной энергией. Следовательно, Преобразуя выражение (2.27), получим изменение амплитуды A1 за полпериода При движении за следующие полпериода T /2 в обратном направлении получим тот же результат Следовательно, изменение амплитуды за период:

Из этих рассуждений можно сделать вывод, что амплитуда при действии на колеблющееся тело постоянной силы трения изменяется по линейному закону (см.рис. 2.14,б).

Из-за уменьшения энергии амплитуда колебаний осциллятора будет уменьшаться и наступит момент, когда A d, тогда колебания прекратятся и сила трения скольжения перейдет в силу трения покоя.

На рис. 2.14,a заштрихованная область является полосой застоя.

2.5. Условный критерий затухания колебаний Колебания, затухающие по показательному закону, теоретически прекращаются при t =. Практически принято считать (конечно, совершенно условно), что колебания затухли, если их энергия уменьшилась в 100 раз, т. е. амплитуда в 10 раз. Запишем отношение амплитуд:

Определим число колебаний n, после которых амплитуда уменьшится в 10 раз.

Найдем десятичный логарифм выражения (2.28) Так как добротность осциллятора то, выразив частоту через добротность, получим Колебания можно (конечно, совершенно условно) считать незатухающими, пока амплитуда не упадет до 0,7 начального значения. Найдем в этом случае число колебаний n. Отношение амплитуд (t0 = 0) Заменив период T на частоту и выразив частоту через добротность, получим Время существования в этом случае незатухающих колебаний Глава 3. Вынужденные колебания Вынужденными колебаниями осциллятора называют такие колебания, которые происходят при действии на него внешней силы.

§ 3.1. Уравнение вынужденных колебаний 3.1.1. Уравнение вынужденных колебаний Рассмотрим вынужденные колебания пружинного горизонтального Второй закон Ньютона для такого осциллятора Будем рассматривать случай, когда сила сопротивления – сила вязкого трения Fc = µv, силой сухого трения можно пренебречь, сила упругости Fупр = k. За начало отсчета оси x примем положение равновесия.

В проекции на ось x получим Разделим уравнение (3.1) на m и введем обозначения Получим Уравнение (3.2) будет справедливо и для других осцилляторов, только будут изменяться значения физических величин, входящих в уравнение маятника. Например, для крутильных колебаний вместо переменной x нужно брать угол поворота, вместо силы – момент силы, меняющийся по закону M = M0 cos t, и вместо массы – момент инерции J.

Колебания происходят под действием трех сил: силы упругости, силы вязкого трения и внешней (вынуждающей) силы. Каждая сила оказывает определенное влияние на процесс колебания.

Левая часть уравнения (3.2) – это левая часть уравнения свободных затухающих колебаний. Поэтому колебания осциллятора в этом случае можно рассматривать как сумму двух колебаний, происходящих по одной прямой собственных и вынужденных. Но собственные колебания с течением времени затухнут, и останутся колебания под действием только вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3.2) состоит из решения дифференциального однородного уравнения с постоянными коэффициентами x1 = A0et cos(1t + ) и частного x2 решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению (3.2): x = x1 + x2. Первый член x1 с течением времени уменьшается, и им можно будет пренебречь через время x = x2.

3.1.2. Время релаксации, переходные процессы Сложное движение, возникающее вначале, называют переходным процессом, а время установления вынужденных колебаний называется временем релаксации. Экспериментальный график установления вынужденных колебаний изображен на рис. 3.2 (1 – колебания вынуждающей силы, 2 – затухающие колебания осциллятора, 3 – вынужденные колебания).

При прекращении действия периодической силы движение происходит в форме свободных затухающих колебаний с частотой, характерной для осциллятора.

В случае совпадения частот вынуждающей силы и собственных колебаний переходный процесс можно представить как сумму затухающих колебаний и вынужденных колебаний с одинаковыми периодами (рис.

3.3,б и рис. 3.2). Если частота вынуждающей силы не совпадает с собственной частотой осциллятора, то переходные колебания могут приобрести более сложную форму в зависимости от разности ( 0 ). Могут возникнуть биения. При этом амплитуда переходного периода может быть даже больше амплитуды установившегося движения, если затухание мало (рис. 3.3,а). Это приходится учитывать в практической деятельности.

3.1.3. Решение уравнения вынужденных колебаний Решение уравнения (3.2) можно находить по разному. Приведем два способа решения, дающие одинаковый результат, но во 2-м используются мнимые величины, а в 1-м нет.

Будем искать решение в виде где A – амплитуда колебаний, – частота вынуждающей (внешней) силы, – сдвиг фаз между смещением x и силой. Сдвиг фаз учитывает, что внешняя сила и смещения могут достигать максимального значения не одновременно.

Подставим решение в уравнение вынужденных колебаний (3.2). Для этого найдем x и x:

A 2 sin(t + ) + 2A cos(t + ) + A0 sin(t + ) = Чтобы выражение (3.3) было решением уравнения (3.2), полученное равенство (3.4) должно быть тождеством для любого момента времени.

Это может выполняться только при определенных условиях. Найдем их.

Разложим cos(t + ) и sin(t + ) Подставим в тождество Выражение (3.5) будет выполняться в любой момент времени, если коэффициенты при cos t и sin t будут равны нулю, так как sin t и cos t не могут одновременно обращаться в ноль. Имеем Из полученных выражений определим амплитуду A и фазу. Для этого второе уравнения системы (3.6) перепишем в виде:

Воспользуемся соотношением sin2 + cos2 = 1. Возведем полученное уравнение (3.7) в квадрат и учтем, что sin2 = 1 cos2.

Преобразуем выражение (3.8) и получим Найдем sin Найдем амплитуду A и фазу колебаний из первого уравнения системы (3.6), подставив в него sin, cos. В результате получим Как видно, A и зависят от, 0 и.

3.1.4. Решение уравнения вынужденных колебаний с использованием комплексных выражений Заменим член, характеризующий силу, выражением y = 0 eit, где 0 = F0/m.

Используя равенство Эйлера, y можно представить в виде Отсюда видно, что с выражением внешней силы совпадает вещественная часть y.

После замены получим уравнение Решение уравнения будем искать в виде где x0 может быть комплексным числом.

Подставим решение в уравнение (3.11), предварительно получив x Отсюда Выделим отдельно в выражении для x0 вещественную и мнимую часть.

Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение Вещественная часть Умножим x0 на сопряженное ему выражение x+ Сопоставляя это выражение с выражением (3.1.12), получим Отсюда Сопряженным выражением комплексного числа (a + bi) называется комплексное число (a bi).

(a + bi)(a bi) = a2 (bi)2 = a2 + b2.

3.2. Анализ амплитуд и фаз вынужденных колебаний 3.2.1. Амплитудные значения смещения, скорости и ускорения Значение амплитуды смещения Значение амплитуды скорости Значение амплитуды ускорения Амплитуды смещения скорости и ускорения по-разному зависят от частоты вынуждающей силы.

3.2.2. Максимальные значения амплитуд смещения, скорости и ускорения (резонанс) Найдем, при какой частоте внешней вынуждающей силы амплитуда смещения данного осциллятора будет максимальной. Для этого найдем минимальное значение подкоренного выражения для A (3.13) При минимальном значении подкоренного выражения (знаменателя) амплитуда будет максимальной. Частота, при которой амплитуда смещения достигает максимального значения, называется резонансной.

Если затухание мало, 0, то в случае резонанса 0. Следовательно, при малом затухании амплитуда вынужденных колебаний максимальна, если частота вынуждающей силы равна частоте собственных колебаний. Само явление возрастания амплитуды при частоте вынуждающей силы равной собственной частоте колебаний системы, называется явлением резонанса.

Явление резонанса можно наблюдать на простом примере. На нити, укрепленной горизонтально между двумя штативами, подвешены математических маятника (рис. 3.4).

максимальной амплитудой будет колебаться маятник, длина которого будет равна длине 4-го маятника. При этом все маятники будут колебаться с частотой 4-го маятника.

При малом затухании и при резонансе Следовательно, смещение при резонансе отстает по фазе от силы.

Вычислим максимальное значение амплитуды скорости. Для этого найдем при какой частоте подкоренное выражение уравнения (3.14) достигает минимального значения Следовательно, максимальная амплитуда скорости будет при = 0, и она не зависит от.

Сдвиг фаз при колебаниях между смещением и скоростью равен /2 (гл. 1, 1.4, пп. 1.4.1). При резонансе сдвиг фаз между вынуждающей силой и смещением равен /2. Следовательно, сдвиг фаз между вынуждающей силой и скоростью при резонансе Это значит, что направления вынуждающей силы и скорости при резонансе совпадают.

Максимальное значение амплитуды скорости получим, заменив на 0 в выражении (3.14) для амплитуды скорости Максимальное значение амплитуды v0 max определяется амплитудой вынуждающей силы и коэффициентом сопротивления среды.

Найдем максимальное значение амплитуды ускорения. Для этого найдем при какой частоте подкоренное выражение уравнения (3.15) достигает минимального значения так как 0 2 2 < 0, то > 0. Максимальное значение амплитуды ускорения наступает при частоте немного большей, чем собственная частота 0. При малом затухании частота вынужденных колебаний совпадает с собственной частотой осциллятора 0.

Максимальное значение амплитуды ускорения при резонансе получим, заменив на 0 в выражении для амплитуды ускорения (3.15).

Сдвиг фаз между смещением и ускорением всегда равен (гл. 1, 1.4, пп. 1.4.1). Поэтому сдвиг фаз между вынуждающей силой и ускорением = +. При резонансе = /2 + = /2, ускорение опережает вынуждающую силу на /2.

3.2.3. Значения амплитуд смещения, скорости и ускорения В полученных формулах для амплитуд смещения, скорости и ускорения (3.13) – (3.15) можно пренебречь в выражении (0 2 ) величиной 2, так как 0. При этом будем считать, что затухание мало, т. е.

1. В этом случае для амплитуды смещения получим Амплитуда смещения оказывается равна величине статического смещения, т. е. такого смещения, которое бы вызвала только сила F0.

Для определения сдвига фаз между вынуждающей силой и смещением воспользуемся формулой для tg (3.9) Фаза смещения вынужденных колебаний примерно совпадает с фазой вынуждающей силы.

2. Рассмотрим амплитуду скорости Сдвиг фаз между вынуждающей силой и скоростью 3. Амплитуда ускорения при 0 или Сдвиг фаз между вынуждающей силой и ускорением ускорение опережает вынуждающую силу на.

3.2.4. Значения амплитуд смещения, скорости и ускорения В выражениях для амплитуд смещения, скорости и ускорения (3.13) – (3.15) можно пренебречь величиной 0 в выражении (0 2 ), и будем считать, что 0.

1. Тогда амплитуда смещения:

Сдвиг фаз между вынуждающей силой и смещением из формулы для tg (3.9) при 2. Для амплитуды скорости Сдвиг фаз между вынуждающей силой и скоростью По фазе скорость противоположна вынуждающей силе.

3. Для амплитуды ускорения амплитуда ускорения будет стремиться к постоянной величине.

Сдвиг фаз между вынуждающей силой и ускорением ускорение совпадает по фазе с вынуждающей силой.

В табл. 3.1 сведены результаты полученных значений амплитуд и сдвиг фаз при малом затухании.

Соотн. Амплитуда Сдвиг фаз Амплитуда Сдвиг фаз Амплитуда Сдвиг фаз Найдем среднее значение выражения, для этого преобразуем произведение sin t cos(t + ) < sin t cos(t + ) >=< sin t(cos t · cos sin t · sin ) >= Из выражения (3.16) видно, что фаза играет важную роль. Подставим sin.

Среднее значение мощности при резонансе, когда затухание мало 3.5 Анализ различия вынужденных колебаний в зависимости от соотношения частот и 3.5.1. Частота вынуждающей силы много меньше собственной частоты, Учитывая значения разности фаз между смещением и вынуждающей силой, решение вынужденных колебаний представим в виде:

Найдем производные x, x и подставим решение в уравнение вынужденных колебаний (3.2) Получим, учитывая связь между частотами, что 1-е и 3-е слагаемое в левой части близки к нулю, поэтому В табл. 3.2 представлены знаки величин при различных временных интервалах.

Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид где k – момент сил трения, mg – момент силы тяжести. Так как функция M, нелинейна, это уравнение является нелинейным, и поэтому колебания будут нелинейными.

0 dt T ка при условии, что сила сопротивления отсутствует. Пока маятник не проходит через вертикальное положение, он соверE шает колебание, которое на фазовой плоскости будет изображаться полуокружностью. Проходя через положение равновесия вправо, маятник испытывает толчок вправо, идя влево, испытывает толчок влево, его имРис. 4. В действительности маятник испытывает трение в оси, трение поверхностей S1 и S2 о зубья ходового колеса, трение о воздух. В этом случае на фазовой диаграмме дуги окружностей должны быть заменены дугами скручивающихся спиралей.

Маятник в часах придет в колебательное движение, если его первоначально отклонить от положения равновесия. При этом колебания будут нарастать или затухать в зависимости от того, что берет верх:

толчки или трение. Если начальная амплитуда мала, то энергия, получаемая при толчке, превышает потери на трение, и маятник раскачивается. Если начальная амплитуда велика, то маятник уменьшает амплитуду, пока потери на трение не сравняются с энергией, сообщаемой при толчке. Каковы бы ни были начальные условия, колебания нарастают или затухают, стремясь к определенной амплитуде. В результате амплитуда колебаний не будет зависеть от начальных условий. Эти колебания изображаются на фазовой плоскости замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Он состоит в данном случае из двух дуг спиралей и двух прямых отрезков. Чем меньше затухание при свободном движении маятника, тем меньше колебания будут отличаться от синусоидальных колебаний с периодом T0 = 2. Независимость амплитуды автокоJ лебаний, установившихся в часах, от начальных условий легко проверить на опыте, запуская по-разному часы, сообщая маятнику в начальный момент большее или меньшее отклонение от положения равновесия.

Параметрическими колебаниями называются колебания, при которых параметры, характеризующие колебательную систему, изменяются в процессе колебаний. Параметрическими называют физические величины, от которых зависит период свободных колебаний. Для упругих колебаний тела, подвешенного на пружине, параметрами являются коэффициент упругости пружины и масса тела, для математического маятника длина нити маятника и ускорение свободного падения.

Незатухаюшие параметрические колебания возникают при периодическом изменении параметров колебательной системы. Примером незатухающих параметрических колебаний являются колебания математического маятника при периодическом изменении длины его нити.

Таким образом, за период маятника длина нити будет дважды удлинена и дважды укорочена, т. е. частота периодического изменения параметра будет вдвое больше частоты его собственных колебаний. При втягивании нити сила F совершает положительную работу, при увеличении длины нити сила F совершает отрицательную работу. Вычислим работу силы F за период.

За каждое подтягивание и опускание нити внешняя сила F производит против силы тяжести работу При подтягивании нити по второму закону Ньютона для движения тела по окружности где v0 – скорость при прохождении положения равновесия. Работа силы F1 > При опускании нити в крайних положениях центростремительное ускорение равно нулю, так как скорость равна нулю, и в проекции на радиус Если угол 0 мал, то, разложив cos в ряд и ограничиваясь первыми двумя слагаемыми, получим С учетом (4.29) можно записать Работа силы F в этом случае будет отрицательной W2 = F2 h;

Полная работа за подъем и опускание W = W1 + W2.

Выразим работу через кинетическую энергию системы при прохождении положения равновесия Учтем, что v0 = max ; max = 0; 2 = g/, тогда v0 = Работа за период будет равна WT = 2W Следовательно, работа, производимая внешней силой за период, будет положительной и пропорциональной энергии маятника. Поэтому энергия маятника и амплитуда колебаний маятника возрастают. Это явление по аналогии с вынужденными колебаниями называется резонансом.

Запишем где – коэффициент усиления, величина малая и постоянная Это соотношение такого же вида, как и при затухающих колебаниях, но в отличие от них оно > 0. Следовательно, амплитуда будет возрастать со временем по экспоненциальному закону. Все эти рассуждения проводились без учета силы сопротивления. Но в действительности существует сила сопротивления, вызывающая затухание колебаний. Поэтому коэффициент усиления должен превосходить некоторое минимальное значение, равное коэффициенту затухания.

Классическим примером параметрических колебаний является раскачивание на качелях. Если человек, качающийся на качелях, приседает в крайних положениях и выпрямляется в среднем положении, то его момент инерции будет изменяться, т. е. будет изменяться параметр, характеризующий колебания физического маятника с частотой, равной удвоенной частоте собственных физического маятника, и амплитуда колебаний будет возрастать.

4.5. Устойчивость колебательной системы Определение условий равновесного состояния различных систем играет очень большую роль на практике. Системы, для которых определяются условия равновесия, могут быть очень сложными, например, инженерные сооружения или движущийся транспорт. Выход систем из состояния равновесия чаще всего связан с возникновением колебательного движения. Рассмотрим условия равновесия для простых колебательных систем, колебательные движения которых описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями (см. гл. 1). Для таких систем существуют два вида равновесия устойчивое и неустойчивое. Если система находится в устойчивом состоянии равновесия, то при выведении ее из положения равновесия возникнут силы или моменты сил, возвращающие систему в положение равновесия. На рис. 4.12 показано устойчивое положение равновесия шарика: а) на легком стержне, б) на вогнутой поверхности.

Если система выходит из положения равновесия и возникают силы или моменты сил, движущие систему от положения равновесия, то такое состояние равновесия называется неустойчивым. На рис. 4.13 показано неустойчивое положение равновесия шарика: а) на легком стержне, б) на выгнутой поверхности. При этом необходимо учитывать, что отклонения систем от положения равновесия не должны превышать определенных значений.

На практике осуществляются как устойчивые положения равновесия, так и неустойчивые. Известны случаи, когда в целях обеспечения важных динамических характеристик (например, повышенной маневренности судна или самолета) допускают неустойчивость основного стационарного режима, стабилизируемого соответствующей системой управления их движением.

Исследование устойчивости состояния равновесия удобно рассматривать, используя метод фазовых траекторий. Рассмотрим подробнее фазовые траектории для различных видов колебаний:

а) свободные незатухающие колебания. Как это уже описывалось в гл.1, 1.4, пп. 1.4.2, фазовые траектории это окружности (рис. 4.14), радиус которых зависит от выбора начальных условий, они описываются дифференциальными уравнениями вида (1.39).

б) свободные затухающие колебания при малых коэффициентах затухания, описываемые дифференциальным уравнением (2.2). Фазовые траектории (см. гл. 2, 2.3, пп. 2.3.2) имеют форму спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат. Максимальные значения уменьшаются от оборота к обороту. Точка 0 тоже особая точка, но она общая для всех фазовых траекторий и соответствует состоянию устойчивого равновесия. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех фазовых спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (точка 0 – фокус, рис. 4.15,а).

Устойчивость особой точки типа фокуса связана с тем, что спираль закручивается по направлению движения. Если бы спираль раскручивалась (рис. 4.15,б), то направление движения должно было бы измениться на противоположное. В этом случае особая точка типа фокуса описывает неустойчивое состояние. Для этого в дифференциальном уравнении для затухающих колебаний знак плюс надо сменить на знак минус перед 2, Устойчивость связана с потерей энергии, т. е. сила трения препятствует движению, а неустойчивость с увеличением энергии.

Таким образом, особая точка типа фокуса, вообще говоря, может быть как устойчивой, так и неустойчивой, в отличие от особой точки типа центра, которая всегда устойчива;

в) затухающие негармонические апериодические движения при больших коэффициентах затухания. Фазовые траектории (см.гл. 2, 2.1, пп. 2.1.1) имеют параболическую форму (рис. 4.16).

Все фазовые траектории проходят через одну особую точку 0, называемую в этом случае узлом. Такой узел называется устойчивым, так как колеблющаяся система приходит к положению равновесия.

Если так же, как и в предыдущем случае, изменить направление на противоположное, то колеблющаяся система будет стремиться уйти от положения равновесия. это будет, если µ < 1 и, следовательно, < 0;

г) введем еще одну особую точку. Рассмотрим маятник на легком стержне, находящийся в состоянии неустойчивого равновесия (рис. 4.17). Допустим, что трение в Уравнение (4.30) линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Оно аналогично уравнению:

m kx = 0., Найдем уравнение для фазовой траектории исключим dt и и получим уравнение Состояние равновесия в этой системе только одно: x = 0, v = 0. Чтобы получить траекторию точки на фазовой плоскости, проинтегрируем уравнение (4.31). Получим Это семейство равносторонних гипербол (рис. 4.18), отнесенное к главным осям. При c = 0 получаются две асимптоты этого семейства. Это прямые которые проходят через начало координат.

Рассматривая направления движения точки, легко убедиться что, где бы ни находилась точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте v = k/m x, проходящей через 2 и 4 квадранты), она всегда в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, причем движение е будет не колебательным, а апериодическим. Следое вательно, состояние равновесия будет неустойчивым.

4.5.1. Параметрический портрет системы Обычно параметры реальной колебательной системы не остаются постоянными длительное время как по чисто эксплуатационным причинам в стационарных режимах, так и в связи с необходимостью управления системой.

Например, сила упругости при определенных амплитудах становится не пропорциональной растяжению, и модуль упругости k изменяется;

это встречается когда в качестве амортизаторов используется резина или кожа (рис. 4.19,а диаграмма на растяжения резины или кожи). Примером переменного модуля упругости являются балки, сделанные из чугуна или бетона (рис. 4.19,б диаграмма на растяжение чугуна).

Примерами реальных колебаний с изменяющими параметрами может служить уменьшение массы колебательной системы или отклонение рулей у судов и самолетов. В связи с этим является актуальной задачей изучение характера изменения фазовых траекторий системы в зависимости от ее параметров. Запишем уравнение затухающих колебаний (см.

гл. 2, 2.1, пп. 2.1.1) или Для таких колебаний параметрами являются µ/m = 2 и 0. Зависимость фазовых траекторий от параметров назовем параметрическим портретом системы. Представим решение уравнения (4.32) уравнения для затухающих колебаний в виде x = x0 eP t и подставим его в уравнение (4.32) откуда Рассмотрим различные случаи состояния системы в зависимости от ее параметров (рис. 4.20).

1. Фокальная устойчивость: 0 > 0; 2 < 0; 4 2 < 40.

Корень от дискриминанта отрицательное число, следовательно, P является комплексным числом, поэтому система совершает затухающие колебания. Это соответствует гармоническому вибратору с малым затуханием.

2. Фокальная неустойчивость: 0 > 0; 2 > 0; 4 2 > 40.

Корень от дискриминанта положительный. Колебания являются возрастающими и спираль раскручивается из начала. Примером такой системы является гармонический вибратор с положительной обратной связью или каким-нибудь иным механизмом, восполняющим потери энергии из-за трения.

3. Узловая устойчивость: 0 > 0; 2 < 0; 4 2 > 40.

Решения являются действительными, так что колебания становятся апериодическими с экспоненциальным убыванием x и v. Пример такой системы гармонический вибратор с сильным затуханием.

4. Узловая неустойчивость: 0 > 0; 2 > 0; 4 2 > 40.

Картина аналогична предыдущему случаю, но траектории расходятся из узла. Примером такой системы служит вибратор с сильной положительной обратной связью.

5. Седлообразная неустойчивость: 0 < 0.

Решения являются действительными: одно значение положительное, другое отрицательное. Положительное решение гарантирует неустойчивость, траектории обходят начальную точку и имеют приблизительно гиперболическую форму. Примером служит вибратор с отрицательной постоянной силой, например, мяч, установленный на вершине горы. Так как параметры в процессе колебаний могут изменяться, то колебательная система может переходить из одного вида, характеризующего колебательное движение, в другое.

4.6. Детерминированные и хаотические системы В физике долгое время системы и законы, описывающие их изменения, делились на детерменированные и статические. Детерменированными системами называются системы, в которых существует однозначная связь между причиной и следствием. Динамические системы считались строго детерменированными. Если для таких систем в момент t задать начальное состояние, определяемое значением координат и скоростей тел, входящих в систему, то оно позволит определить состояние системы в любой другой момент времени t > t0.

К хаотическим или статистическим системам относились системы, состоящие из огромного числа частиц, например, тела, состоящие из молекул или атомов, находящихся в хаотическом тепловом движении.

Классическим примером служит хаотическое движение броуновской частицы под ударами хаотически движущихся молекул. Движение броуновской частицы предсказать невозможно. Причиной этого является хаотическое движение огромного числа молекул.

Однако оказалось, что и в простых динамических системах обнаружилась непредсказуемость. Причем она носит принципиальный характер, от нее нельзя избавиться.

С ростом амплитуды он начинает периодически переходить из одной лунки в другую и. наконец, при дальнейшем увеличении внешней периодической силы число колебаний шарика в каждой лунке уже случайно, а последовательность этих чисел оказывается совершенно нерегулярной и не содержит никаких закономерностей. Движение становится хаотическим.

При этом установившееся хаотическое поведение в детерминированной системе с неустойчивыми индивидуальными движениями никак не зависит от неточности задания начальных условий.

Непредсказуемость, возникающая в динамических системах, называется динамическим хаосом. Колебательные системы относятся к таким динамическим системам.

Одним из важных понятий в теории динамических систем является понятие аттрактора. Среди характерных особенностей движений маятника важную роль играет его движение, к которому спустя некоторое время приходят любые его движения. Установившееся движение это предельное движение, которое асимптотически устанавливается в колебательной системе. При этом система изолируется от неконтролируемых или случайных воздействий. Если движение стремится к некоторому предельному движению, то и фазовая траектория, если она ограничена, будет стремиться к некоторой предельной. Эта предельная фазовая траектория называется аттрактором.

Рассмотрим возможные виды аттракторов.

1. Собственные колебания реального маятника практически всегда затухающие. Его траектория в фазовом пространстве приходит в некоторую точку (рис. 4.22,а). Эта неподвижная точка как бы притягивает близлежащие орбиты. Такая точка называется притягивающей точкой, или аттрактором. Если сообщить маятнику некоторый толчок, его орбита вернется в неподвижную точку.

2. Автоколебаниям в фазовом пространстве соответствует предельный цикл. Неважно, как маятник запущен в движение, в конце концов его фазовая траектория совпадает с предельным циклом. Такой предельный цикл также является аттрактором (рис. 4.22,б).

так называемому квазипериодическому. Квазипериодические колебания это колебания с Траектория навивается на тор в фазовом пространстве. Одна часть определяется времеРис. 4. большому кругу. Если движение состоит из более чем двух колебаний, то аттракторы могут быть многомерными торами.

Таким образом существует три вида аттракторов: для предсказуемых колебательных движений предельная точка (рис. 4.22,а); предельный цикл (рис. 4.22,б) и тор (рис. 4.23).

В колебательных системах, описываемых дифференциальными линейными уравнениями, хаотические движения не возникают. Любая хаотическая система должна иметь нелинейные элементы или свойства.

В механических системах нелинейность может возникнуть по разным причинам:

1. Наличие нелинейных упругих элементов.

2. Нелинейное затухание, подобное трению скольжения или покоя.

3. Наличие мертвого хода, зазора или билинейных пружин.

4. Наличие нелинейных граничных условий.

5. Силы, создаваемые нелинейными обратными связями в системах управления.

Нелинейные упругие эффекты могут быть связаны либо со свойствами вещества либо с геометрическими особенностями. Например, связь ки (рис. 4.25), плиты могут быть нелинейно связаны с приложенными силами и моментами сил. Элементы какой-либо конструкции могут быть линейно упругими, У двумерных дифференцируемых систем хаотические режимы не существуют. Наименьшая размерность фазового пространства, начиная с которой возможна хаотизация движений в гладкой (интегрируемой) динамической системе, равна 3. Если осциллятор совершает колебания вдоль одной прямой, то фазовая траектория определяется двумя величинами: координатой и скоростью. В такой системе хаотический режим не существует. Когда система описывается дифференциальным уравнением третьего порядка или системой трех дифференциальных уравнений первого порядка, то в ней возможно возникновение хаотических движений.

Если в системе переход от одного состояния к другому явно зависит от времени (система не автономна), то время вводят в качестве одной из координат фазового пространства. Такая система будет соответствовать возможностям возникновения хаотических колебаний.

Аттракторы, характеризующие хаотические колебания, более сложные, чем аттракторы устойчивых режимов колебания системы, рассмотренные раннее. Такие аттракторы стали называть странными аттракторами. Режим детерменированного хаоса тоже будет аттрактором в смысле определения предельной траектории в ограниченной области фазового пространства. Однако такой аттрактор имеет два существенных отличия: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Именно эти отличия и привели к необходимости назвать эти аттракторы странными.

В зависимости от вида уравнений, описывающих поведение колебательной системы, странные аттракторы могут выглядеть по-разному. На рис. 4.26,а просто аттрактор, на рис. 4.26,б странный аттрактор, состоящий из многооборотного предельного цикла, ветви которого достаточно близко подходят друг к другу.

Общей причиной хаотизации движений колебательной системы является потеря ими устойчивости и как следствие экспоненциальное разбегание близких фазовых траекторий, сочетающихся с их общей ограниченностью и некоторым их общим сжатием.

Пути возникновения хаоса могут быть разными. Стохастические колебания могут возбуждаться внешней периодической силой. Колебания, вызываемые внешней периодической силой, относятся к вынужденным колебаниям. Вынужденные колебания после затухания собственных колебаний происходят с частотой вынуждающей силы. Обычно чем больше амплитуда вынуждающей силы, тем шире область параметров системы, в которой происходит установление колебаний с частотой вынуждающей силы (синхронизация). Но в нелинейных колебательных системах, в которых частота колебаний существенно зависит от их энергии, возможны случаи, когда с ростом амплитуды периодического воздействия режим синхронизации разрушается, и нелинейный осциллятор под действием периодической силы начинает двигаться стохастически.

Возникновение хаотического движения может быть связано с изменением параметров системы в процессе колебаний. Причем изменение характера колебаний происходит не при плавном изменении параметров, путем скачкообразного их изменения.

Изменение характера движения системы на большом временном интервале при резком изменении одного или нескольких параметров называется бифуркацией, а значение параметров, при которых резко меняется характер движения системы, называется их бифуркационными значениями.

При бифуркациях фазовый портрет системы резко изменяется. При этом система переходит из одного состояния равновесия в другие состояния равновесия. На рис. 4.20 изображен параметрический портрет системы, совершающей затухающие колебания. Здесь указаны границы значений параметров 2 и 0, при которых рассматриваемая система переходит из одного состояния устойчивости или неустойчивости в другие состояния устойчивости или неустойчивости, то есть указаны границы бифуркаций, по которым можно определить бифуркационные значения.