МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА

Одесская национальная академия связи им. А.С.Попова

Кафедра высшей математики

Ю.И. Бурименко, О.В. Синявский

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Учебное пособие

Одесса 2012 УДК 519.21 БКК 22.17 План УМИ 2012 г.

Рекомендовано Министерством образования и науки Украины как учебное пособие для студентов высших учебных заведений (Письмо №1/11-2491 от 29 февраля 2010 г.) Рецензенты: заведующий кафедрой «Высшая и прикладная математика»

Одесского национального морского университета, доктор физико-математических наук, профессор И. Л. Андронов;

заведующий кафедрой «Менеджмент и маркетинг» Одесской государственной академии строительства и архитектуры, доктор экономических наук, профессор М. П. Сахацкий.

Бурименко Ю. И. Элементы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов: Учебное пособие для высших учебных заведений / Ю. И. Бурименко, О. В. Синявский. – Одесса, 2012 – 100 с.

ISBN-978-966-7598-85- В пособии изложены основные понятия, теоремы и методы теории вероятностей и математической статистики. Кратко описаны случайные процессы. Большое количество типовых примеров, упражнений, вопросов для самоконтроля позволяют активно усвоить изложенный материал, пользоваться пособием на практических занятиях и при самостоятельной работе.

Рекомендуется для студентов гуманитарных специальностей высших учебных заведений (менеджеров, экономистов, социологов и др.).

ISBN-978-966-7598-85- Редактор Л. А. Кодрул Компьютерная верстка Е. С. Корнейчук Издательство ОНАС им. А. С. Попова (свидетельство ДК № 3633 от 27. 11. 2009 г.) Сдано в набор 14.06.2012. Подписано к печати 23.11. Формат 60х90/16. Тираж 100.

Усл. печ. л. 6,0. Усл. авт. печ. л. 6,25. Заказ № 5008.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Одесской национальной академии связи им. А. С. Попова г. Одесса, ул. Ковалевского, 5.

Тел. (048) 70-50- © Бурименко Ю.И., © Синявский О.В., 2012 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Элементы комбинаторики

1.2. Предмет теории вероятностей. Основные понятия

1.3. Операции над событиями. Алгебра событий

1.4. Вероятность события, ее определение

1.5. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения и сложения вероятностей

1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса (формула вероятности гипотез)......... 1.7. Схема и формула Бернулли. Предельные случаи формулы Бернулли

1.8. Случайные величины

1.9. Функция распределения вероятностей случайной величины

1.10. Закон распределения функции от одной случайной величины

1.11. Числовые характеристики случайных величин

1.12. Неравенства Чебышева и закон больших чисел

Вопросы для самоконтроля

РАЗДЕЛ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд

2.2. Эмпирическая функция распределения

2.3. Точечная оценка неизвестных параметров по выборке

2.4. Интервальные оценки неизвестных параметров

2.5. Проверка статистических гипотез

2.6. Дисперсионный анализ

2.7. Элементы корреляции

2.8. Понятие случайного процесса. Некоторые типы случайных процессов

Вопросы для самоконтроля

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ И РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица 1. Значения функции Лапласа

Таблица 2. Значения t,k – критерия Стьюдента

Таблица 3. 2 – распределение (распределение Пирсона)

Таблица 4. F – распределение (Фишера)

Таблица 5. Функция плотности вероятности нормального распределения

Таблица 6. Функция распределения нормального закона

Таблица 7. Распределение Пуассона

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, в которых предусмотрено изучение элементов теории вероятностей и математической статистики в объеме до 108 часов.

Для усвоения материала пособия достаточно знания математического аппарата в объеме обычной программы по высшей математике (до 320 часов).

Пособие знакомит с основными понятиями и некоторыми методами теории вероятностей и математической статистики, знание которых необходимо во многих областях техники, экономики, управления.

Теория вероятностей, зародившись в процессе анализа азартных игр, давно перешагнула этот рубеж развития, став наукой о случае, случайных событиях и процессах.

Задачи математической статистики связаны с разработкой методов сбора и обработки статистических данных различных явлений, опытов, экспериментов, процессов технического, производственного, социальноэкономического и другого характера с целью получения научно достоверных знаний о них.

';

Пособие имеет следующую структуру.

Раздел теории вероятностей включает двенадцать тем.

Раздел математической статистики – восемь.

Подразделы включают:

основные понятия, теоремы и формулы;

методические указания;

задачи для самостоятельного решения.

Примеры, приводимые в тексте пособия, играют важную роль в разъяснении и усвоении основных понятий. Их рекомендуется разбирать подробно. Пособие ориентирует студента на активное и творческое усвоение материала.

Объём пособия определён исходя из 32 ч. аудиторных занятий, 49 ч.

самостоятельной работы студента и замены приблизительно 50% существующих учебников для гуманитарных специальностей.

1.1. Элементы комбинаторики Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Большинство комбинаторных задач могут быть решены с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, причём первые и вторые способы не совпадают, то любой из указанных объектов «или А, или В» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения. Если некоторый объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора второй объект B можно выбрать m способами, то оба объекта «А и В» в указанном порядке можно выбрать nm способами.

Существуют четыре схемы выбора m элементов из множества состоящего из n элементов: с учётом порядка, без учёта порядка, с возвращением и без возвращения.

Сочетание есть неупорядоченная выборка элементов из некоторого множества S. Размещение есть упорядоченная выборка элементов из некоторого множества S.

В размещениях и сочетаниях можно как допускать, так и не допускать повторений. Так, выбирая два из трех элементов а, b, с, получаем девять размещений с повторениями:

и шесть размещений без повторений:

Мы имеем также шесть сочетаний с повторениями:

и три сочетания без повторений:

Число размещений без повторений из n элементов по m – это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Теорема 1. Число размещений из n элементов по m элементов обозначается символом An и вычисляется по формуле Действительно, первый элемент можно выбрать n способами, т. е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n – 1 элементов n – 1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n – 2 способов четвертого – n – 3 способа, и, наконец, для последнего m-го элемента – (n – (m – 1)) способов. Таким образом, по правилу умножения существует n ( n 1)( n 2 )...( n m + 1) способов выбора m элементов из данных n элементов, т.е. An = n ( n 1)( n 2 )...( n m + 1).

При составлении размещений без повторений из п элементов по m мы получаем расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все п элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Такие расстановки называют перестановками из п элементов.

Следствие. Число перестановок обозначается через Pn. Формула для Pn получается из формулы для числа размещений без повторений.

В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. Итак, сочетаниями из n элементов по m элементов называют всевозможные размещения, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов.

Теорема 2. Число сочетаний, которые можно составить из n элементов по m элементов, обозначается через Cn и вычисляется по формуле Формула для числа сочетаний легко получается из выведенной ранее формулы для числа размещений. В самом деле, составим сначала все сочетания из n элементов по m элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все размещения из n элементов по m элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого такого сочетания можно сделать Pm перестановок, а число этих сочетаний равно Cn. Значит, справедлива формула PmCn = An. Отсюда Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов.

Теорема 3. Число всех размещений из n элементов по m элементов с повторениями обозначается символом Anm и вычисляется по формуле Действительно, первый элемент можно выбрать n способами. После этого первый элемент возвращается и выбирается второй элемент, который можно выбрать так же n способами и так далее до последнего m-го элемента, который можно выбрать теми же n способами. Таким образом, по правилу умножения существует n m способов выбора и Anm = n m.

Рассмотрим следующую задачу.

Имеются предметы k различных типов. Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа,..., nk элементов k-го типа?

Число элементов в каждой перестановке равно n = n1 + n2 +... + nk.

Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом n1 ! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют n2 !

перестановок элементов второго типа,.... nk ! перестановок элементов k-го типа.

Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом n1 !n2 !...nk ! способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из n1 !n2 !...nk ! одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, выражается таким равенством:

Теорема 4. Число перестановок с повторениями из n элементов обозначается символом Pn ( n1, n2,..., nk ) и вычисляется по формуле где n = n1 + n2 +... + nk.

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Теорема 5. Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями обозначается символом Cnm и вычисляется по формуле Зашифруем каждую такую комбинацию (выборку) с помощью нулей и единиц: для каждого типа (всего типов n) напишем столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделим друг от друга нулями (при этом если предметы какого-нибудь типа совсем не вошли в комбинацию, то запишем подряд два или большее число нулей). При этом мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, то есть m, а число нулей будет на 1 меньше, чем число типов предметов, то есть n – 1.

Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из m единиц и n – нулей. Различным комбинациям будут при этом соответствовать различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация. Итак, число Cnm m сочетаний элементов с повторениями из элементов n типов равно числу P ( m, n 1) перестановок с повторениями из n – 1 нулей и m единиц. А P ( m, n 1) = Типовые примеры 1. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек ?

Решение. Чтобы определить все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные трехэлементные подмножества множества, состоящего из семи элементов.

2. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

Решение. Искомое число способов равно 3. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова "математика"?

Решение. Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (n = 10 – число букв в слове) из элементов-букв множества A = {a, e, u, к, м, m}, причем k1 = 3, k2 = k3 = k3 = 1, k5 = k6 = 2. Следовательно, их 4. Сколько имеется костей в обычной игре «домино»?

Решение. Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по две из семи цифр множества {0,1,2,3,4,5,6}. Число всех 5. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2, 5, 7, 8?

Решение. Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е.

A45 = 45 = 1024.

Методические указания Элементы комбинаторики используются при вычислении числа способов, которыми можно получить тот или иной результат, т.е. при вычислении вероятности. Поэтому следует ясно представлять, когда надо применять ту или иную схему выбора: сочетания, размещения, с возвращением или без. Поэтому рекомендуется решить как можно больше комбинаторных задач.

Задачи для самостоятельного решения 1. Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно образовать из букв слова БУРАН? А если «слова» содержат не менее 2. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

3. Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

4. Из 10 мальчиков и 10 девочек спортивного класса для участия в эстафете надо составить три команды, каждая из которых состоит из мальчика и девочки. Сколькими способами это можно сделать?

5. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны?

6. В электричке 12 вагонов. Сколько существует способов размещения пассажиров, если в одном вагоне должно быть не более одного 7. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между участниками соревнования?

8. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

9. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом?

10. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом?

(Рассматривается только расположение сидящих относительно друг 11. 10 студентов, среди которых с. Федин и А. Шилов, случайным образом занимают очередь в библиотеку. Сколько имеется вариантов расстановки студентов, когда между Фединым и Шиловым окажутся 12. У одного школьника имеется 7 различных книг для обмена, а у другого – 16. Сколькими способами они могут осуществить обмен:

книга на книгу? Две книги на две книги?

13. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 14. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом — 5 и в третьем — 15. Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на хорошо и отлично. Сколькими способами могли быть поставлены им 16. Игральная кость (на ее 6 гранях нанесены цифры от 1 до 6) бросается 3 раза. Сколько существует вариантов выпадения очков в данном опыте? Напишите некоторые из них.

17. Сколькими способами можно распределить 6 различных подарков между четырьмя ребятишками?

18. Сколькими способами можно составить набор из 6 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

19. Группа учащихся из 8 человек отправляется в путешествие по Крыму.

Сколькими способами можно составить группу из учащихся 5- 20. Сколькими способами можно распределить 4 книги на трех полках книжного шкафа? Найти число способов расстановки книг на полках, если порядок их расположения на полке имеет значение.

21. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГОРА;

22. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы.

23. Сколькими способами можно распределить 16 видов товаров по трем магазинам, если в 1-й магазин надо доставить 9, во 2-й – 4, а в третий 1.2. Предмет теории вероятностей. Основные понятия Теория вероятностей занимается разработкой и изучением математических моделей случайных событий, носящих массовый характер и обладающих статистической устойчивостью параметров, характеризующих эти события.

Событием называется результат наблюдения, опыта, испытания. Чтобы событие произошло необходимо выполнение ряда условий – S.

События бывают достоверные (обозначается достоверное событие через U), невозможные (обозначается через V) и случайные.

Достоверное событие обязательно происходит при заданных условиях S опыта. Невозможные не происходят.

Случайным событием называется событие, которое при выполнении условий S может произойти или не произойти. Например, выпадение герба (решки) при однократном бросании монеты.

Случайные события подразделяются на:

Обозначаются случайные события заглавными буквами латинского алфавита А, В, С,....

элементарным событием или исходом и обозначается через. При опыте неизбежно наступает какой-то исход и только один. Исход – первичное (формально не определяемое) понятие. Множество всех возможных исходов опыта называется пространством элементарных событий и обозначается.

Введение пространства элементарных событий позволяет формально определить случайное событие – это любое множество исходов, т.е.

подмножество пространства. Исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятными для А ( A ).

Событие А наступает при опыте тогда и только тогда, когда наступают благоприятные для него исходы.

Очевидно, множество есть достоверное событие, пустое множество исходов () – невозможное, несовместные события не содержат общих благоприятных исходов.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте. Иначе события называются совместными.

События А1, А2..., Аn называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны.

Система случайных событий. Множество событий {А1, А2,..., Аn} называется системой событий, если это множество не содержит ни одной пары равных событий. Если все события в системе попарно несовместны, то она называется системой несовместных событий. Последняя называется полной системой, если ее элементы образуют достоверное событие U, т.е.

Литература [5, с. 7-15; 13, с. 12-29; 10, с. 21-30].

Типовые примеры 1. Одноразовое подбрасывание игральной кости.

При этом испытании множество исходов = {i}, где (i = «при подбрасывании выпала цифра i» (i = 1, 2,..., 6).

Событиями могут быть, например, следующие:

А = «выпало четное число»;

В = «выпало нечетное число»;

С = «выпало число, делящееся на 3».

События А, В и С выражаются через i и являются сложными (составными). Очевидно, что А происходит тогда и только тогда, когда имеют место исходы 2, или 4, или 6. В этом случае пишут Аналогично, В данном примере пространство элементарных событий состоит из шести элементов.

2. Физик-экспериментатор обстреливает некой элементарной частицей квадратный экран.

Исходами этого испытания будут попадания в точки квадрата. Введем на плоскости экрана прямоугольную систему координат хОу. Тогда множество всех исходов = (х, у) можно записать в виде Здесь множество исходов испытания несчетно. Сложные события могут определяться как любые подмножества квадрата. Например, А = «попадание частицы в замкнутый круг с центром в начале координат радиуса r» (r < а).

Методические указания Следует внимательно прочитать, возможно многократно, материал, указанный в рубрике «Литература», осмыслить приведенные в данном подразделе базовые понятия теории вероятностей, их прямую связь с реальными явлениями жизни. Для этого рекомендуется кроме внимательного рассмотрения приведенных типовых примеров, иллюстрирующих образование пространства элементарных событий и случайных событий, самостоятельно привести и зафиксировать в своем конспекте подобные два-три примера из сферы личных или профессиональных интересов.

Задачи для самостоятельного решения 1. Сколько элементарных событий может иметь место при двукратном подбрасывании игральной кости?

2. Сколько элементарных событий возникает при пятикратной стрельбе 3. Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространство .

Описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее двух 1.3. Операции над событиями. Алгебра событий Операции над событиями и их запись аналогичны принятым в операциях над множествами.

Запись i A означает, что і есть исход события А, а i A – что і не есть таковым.

Запись А В означает, что событие А влечет за собой событие В. Если A B, a B A, то события А и В называют равными (эквивалентными, равносильными) и записывают А = В.

Сумма событий А и В есть событие С, записывают С = А + В или С = A В, состоящее в наступлении либо А, либо В, либо обоих событий в одном опыте. Если события А и В определяются элементарными событиями, т.е. А = {і}, В = {і},то Разность событий А и В есть событие С = А – В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Произведение событий А и В есть событие С = А В или С = А В, состоящее в наступлении обоих событий. Если А = {і}, В = {і}, то событие С определяется общими элементарными событиями, входящими и в А, и в В.

Операции сложения и умножения событий обобщаются на произвольные (конечное или счетное) число событий {Ak }, k = 1, n :

Событие A есть противоположное событию А. Это событие означает, что событие А не происходит.

Приведем правила выполнения операций над событиями.

Эти правила легко проверяются с помощью кругов Эйлера. Например.

Алгебра событий. Система событий SА называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия:

Алгебра событий называется алгеброй, если из того, что An S A, n = 1,2,..., следует Литература [5, с. 11-14; 13, с. 18-27; 10, с. 21-26].

Типовые примеры 1. Пусть А, В и С – случайные события. Записать события, состоящие в том, что из А, В, С произошли (произошло):

б) по крайней мере одно событие;

в) только одно событие А;

г) событие А и В, и не произошло событие С.

б) произошли или А, или В, или С, или любые два из них, или все вместе, т.е. имеет место сумма событий D = А + В + С;

в) А – наступило, В и С – нет, т.е. произошли B и C, следовательно 2. При каких событиях А и В возможно равенство А + В = А?

Указанное равенство означает, что событие А включает в себя событие В.

3. Упростить выражение (А + В) (А + B ), где А и В – случайные события.

Используя свойства операций над событиями, получим Методические указания Приведенные литературные источники достаточно полно освещают вопросы этого подраздела. Для лучшего усвоения данного материала рекомендуется самостоятельно придумать два-три примера, ориентируясь при этом на приведенные типовые примеры.

Задачи для самостоятельного решения 1. Наудачу подбрасывается игральная кость. Пусть А = «выпало четное число»; В = «выпало число меньше трех». Описать события: A, B, 2. Из 25 студентов 20 увлекаются спортом (событие А), 9 – музыкой (событие В), 6 – музыкой и спортом (событие А В). С помощью кругов Эйлера выяснить, в чем состоят события А B, A В, A + B.

3. Упростить выражение для события 4. Совместны ли события А и A B ?

1.4. Вероятность события, ее определение Относительной частотой случайного события (статистической вероятностью) называется отношение числа (NA) случаев появления этого события к общему числу (N) произведенных испытаний – A.

В разных достаточно больших сериях испытаний отношение N A N, как показывают многочисленные опыты, обладает определенной устойчивостью, т.е. числовые значения указанного отношения группируются около некоторого постоянного числа. Например, английский математик Карл Пирсон подбрасывал монету 24000 раз. При этом герб выпал 12012 раз N A = = 0,5005.... Другие подобные испытания также дают значение N отношения N A N, близкое к 0,5.

Устойчивость относительной частоты может быть объяснена, только проявлением объективного свойства случайного события, заключающегося в определенной степени его возможности. Такая возможность количественно определяется понятием классическая вероятность.

Классической вероятностью случайного события А (обозначается Р(А)) называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, предположим таковых т, к общему числу элементарных событий п.

Тогда Геометрическая вероятность. Эта вероятность рассматривается в случае сложных событий, когда пространство элементарных событий содержит бесконечную последовательность исходов, а некое событие А интерпретируется как выбор наудачу точки из подмножества (А*) некоторого ограниченного множества (*) n-мерного евклидова пространства. В частном случае, это может быть отрезок, часть плоскости (см. пример 2 п. 1.2), пространства. В общем случае под геометрической вероятностью понимается число где µ A*, µ * – меры множества А* и * (на прямой – длины, на плоскости – площади, в пространстве – объемы).

Наиболее общее понятие вероятности, охватывающее приведенные выше, определенно при аксиоматическом построении теории вероятностей, осуществленное выдающимся математиком А.Н. Колмогоровым (1903-1987.) Числовая функция Р(А) определяется на алгебре событий S, являющейся -алгеброй (см. п. 1.3) следующим образом.

Говорят, что на -алгебре S задано распределение вероятностей, если каждому событию А S однозначно поставлено в соответствие число Р(А), называемое вероятностью события А так, что выполняются следующие условия (аксиомы теории вероятностей):

3. Если события Ai S (n = 1,2,...) попарно несовместны ( Ai A j = V, i j ; i,j = 1,2,...), то Совокупность трех объектов (, S, Р(А)), в которой S является -алгеброй, функция Р(А) удовлетворяет аксиомам теории вероятностей, называется вероятностным пространством.

Литература [5, с. 15-30; 13, с. 29-37; 10, с. 26-36].

Типовые примеры 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.

Куб имеет 12 ребер, на каждом из которых, очевидно, по 8 кубиков с двумя окрашенными сторонами. Поэтому число исходов, благоприятствующих извлечению кубика с двумя окрашенными сторонами (событие А) равно т = 8 12 = 96. Общее число исходов п = 1000. Отсюда 2. Студенческая группа, состоящая из 15 девушек и 12 юношей, выбирает по жребию трех представителей на профсоюзную конференцию. Какова вероятность того, что среди представителей окажутся две девушки и один юноша?

Общее число равновозможных исходов выбора по жребию n = C27 (число сочетаний из 27 по 3). Событие А = «выбор двух девушек и одного юноши»

содержит благоприятствующих исходов m = C15 C12, где C15 – число сочетаний из 15, по 2 определяет количество вариантов возможного выбора двух девушек, а C12 = 12 – выбора юношей. Их произведение и дает число благоприятствующих событию А исходов. Отсюда 3. Из промежутка [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству x 2 4 y 4 x.

Будем интерпретировать указанный выбор двух чисел как выбор наудачу точки М(х,у) из множества всех точек квадрата со стороной, равной двум.

Рассмотрим множество А*, представляющее собой точки квадрата (множество *), координаты которых удовлетворяют двойному неравенству Событие А = «два числа из [0, 2] удовлетворяют условию x 2 4 y 4 x »

происходит тогда и только тогда, когда точка М(х,у) принадлежит области А*.

По формуле (1.2) искомая вероятность равна отношению площади фигуры * к площади квадрата:

Методические указания Следует ясно представлять, что понятие вероятности является первичным, основным понятием, и в общем случае его нельзя определить через более простые понятия. Только в некоторых относительно простых схемах вероятность может быть вычислена непосредственно. Читателю рекомендуется самостоятельно, по аналогии с приведенными типовыми примерами придумать примеры, в которых вероятность события может быть вычислена по простой схеме.

Обратим внимание читателя на следующий интересный факт. Так, если Р(А)=1, то при классическом определении вероятности событие А – достоверно.

При геометрическом подходе это заключение неверно. Действительно, выделяя в рассматриваемой области * любое подмножество меры нуль (на отрезке конечное или счетное число точек, части плоскости – линию и т.д.), мера оставшейся части области * будет по-прежнему равна мере всей области *.

Поэтому вероятность попадания точки в оставшуюся часть области будет равна единице. Однако, это событие не является достоверным, так как возможны попадания в выделенную часть области. Аналогично вероятность попадания точки в выделенную часть области * равна нулю, в то время как это событие является возможным. Этот факт следует учитывать при геометрическом подходе к определению вероятности.

Задачи для самостоятельного решения 1. Отдел технического контроля обнаружил в партии из 1000 изделий бракованных. Найти частоту изготовления бракованного и небракованного изделия.

2. В начале координат расположена подвижная точка. Каждую секунду она с равной вероятностью смещается по вертикали на единицу вниз либо вверх. Сколько времени точка будет находиться на положительной полуоси координат, если наблюдать за ней 30 с?

3. Одновременно наудачу подбрасывают две игральные кости и следят за событиями: А = «сумма выпавших чисел равна 7» и В = «сумма выпавших чисел равна 8». Что вероятнее: событие А или В?

4. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами линии электропередачи произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что обрыв произошел между 45-м и 50-м километрами линии?

1.5. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема Условной вероятностью события А называется вероятность его появления, вычисленная в предположении, что произошло событие В.

Обозначается – Р(А/В) или PA ( B ). События А и В независимы, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого, Вероятность произведения двух событий определяется по формуле Действительно, пусть k – число событий, благоприятствующих событию АВ, m – благоприятствующих А, n – число всех событий. Тогда P ( A ) =, доказывается P ( AB ) = P ( B ) P ( A / B ).

Эта формула обобщается на произведение п событий:

События А1, А2,..., Аn независимы в совокупности, если для любых т (т = 2,3,..., п) и любых kj (j = 1,2,...,n) 1 k1 < k 2 <... < k m n Вероятность суммы двух событий определяется по формуле Представим события А + В и В в виде суммы двух несовместных B A = B A B A + B = A + B A B (1.6). В справедливости этих формул можно наглядно убедиться с помощью кругов Эйлера.

Используя правила операций над событиями, нетрудно получить формулу для случая трех событий = Р(А) + Р(В) + Р(C) – P(ВС) – Р(АВ + АС) = = Р(А) + Р(В) + P(C) – P(BC) – P(AB) – Р(АС) + Р(АВС), которую легко обобщить на большее число событий.

Литература [5, с. 31-34; 13, с. 41-42; 10, с. 40-44].

Типовые примеры 1. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов.

Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя, соответственно, с вероятностью 0,3; 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность, если второй элемент не выходит из строя?

Искомая вероятность Р равна вероятности того, что все три элемента не выйдут из строя. В силу независимости отказа в работе каждого из этих трех элементов следует Р = (1 – 0,3)(1 – 0,4)(1 – 0,6) = 0,7 0,6 0,4 = 0,168.

Если второй элемент не выходит из строя, то 2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции есть брак, а 75% небракованных изделий – первый сорт.

Пусть событие А = «выбранное изделие небракованное», В = «выбранное изделие первосортное». Тогда очевидно Р(A) = 1 – 0,04 = 0,96; Р (В/А) = 0,75.

Искомая вероятность Р = Р(АВ) = 0,96 0,75 = 0,72.

3. В ящике находится п изделий, из которых т стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей хотя бы одна будет стандартной.

Обозначим через А искомое событие. Р(А) = 1 – Р( A ). A – среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной. Нестандартных деталей п-т, из которых k различных нестандартных деталей можно выбрать Cn m способами.

Общее число способов выбора из п деталей k различных равно Cn. Отсюда Методические указания Приведенные литературные источники достаточно полно освещают вопросы данной темы. При использовании формул умножения и сложения событий важно уяснить являются ли рассматриваемые события совместными или нет. Этот факт зачастую неявно выражается в условиях задачи. Следует также внимательно разобрать приведенные типовые примеры и попытаться самостоятельно поварьировать условия в них.

Задачи для самостоятельного решения 2. Вероятность выхода из строя k-го блока компьютера за время Т равна рk, (k = 1,2,...,n). Определить вероятность выхода из строя за указанный период хотя бы одного из п блоков, если работа всех блоков 3. Вероятность появления события А в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события А.

Определить вероятность того, что придется производить четвертый 4. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностью 0,012; 0,010; 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из 5. Слово «ПАПАXА» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешаны и из них извлекаются по очереди и раскладываются в ряд какие-то четыре. Какова вероятность получить таким путем слово «ПАПА»?

1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Пусть Ні. (i = 1, n ) – попарно несовместные события, составляющие полную систему событий и пусть известны P(Hі), условные вероятности Р(А/Hі). Тогда имеет место формула полной вероятности.

Действительно.

так как события AH i попарно несовместные, далее, применим теорему умножения вероятностей и получим формулу полной вероятности.

События {Ні} по отношению к событию А называются гипотезами.

Пусть выполнены предыдущие условия и стало известно, что событие А произошло. Тогда для нахождения (уточнения) условных вероятностей P(H i / A) пользуются формулой Байеса.

где Р(А) определяется по формуле (1.7).

Литература [5, с. 34-40; 13, с. 46-52; 10, с. 48-52].

Типовые примеры 1. Имеются три партии персональных компьютеров в количестве 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что компьютеры, приобретенные у разных фирм, проработают без ремонта заданное время, равны, соответственно, 0,7; 0,8; 0,9.

Какова вероятность того, что выбранный наудачу один из ста данных компьютеров проработает без ремонта заданное время?

Событие А = «выбранный компьютер проработает заданное время без ремонта». Пусть гипотезы Ні (і = 1, 2, 3) означают, что выбран наудачу компьютер из і-й партии. Все гипотезы Ні попарно несовместны и образуют полную группу. По классическому определению вероятности находим Из условия задачи следует P( A / H1 ) = 0,7, P( A / H 2 ) = 0,8, P( A / H 3 ) = 0,9. По формуле (1.7) находим 2. Передаваемая информация состоит из «0» и «1». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 цифры «0» и 1/3 цифры «1». Известно, что среди передаваемой информации «0» и «1» встречаются в отношении 5 : 3.

Определить вероятность того, что принята передаваемая информация, если: а) принята цифра «0»; б) принята цифра «1».

Обозначим событие А = «принята цифра «0»», В = «принята цифра «1»».

Имеет место две гипотезы: Н1 – передана цифра «0», Н2 – передана цифра «1».

По условию задачи Р(Н1)/Р(Н2) = 5 / 3. Кроме того, Р(Н1) + Р(Н2) = 1 – полная группа событий. Отсюда Р(Н1) = 5 / 8, Р(Н2) = 3 / 8. Из условия также следует Р(В / Н1) = 2 / 5 (искаженные помехами «1» воспринимаются как «0»), отсюда Р(А / Н2)= 3 / 5. Аналогично Вероятности событий А и В находим по формуле (1.7) Искомые вероятности, т.е. вероятность того, что принята цифра «0» при передачи «0» и принята «1» при передаче «1» будут равны Методические указания Следует обратить внимание на практическую значимость формул (1.7) и (1.8), содержательный смысл которых состоит в следующем. До появления события А вероятности Р(Ні) (і = 1, n ) гипотез Ні, непосредственно связанных с появлением события А, называют априорными или доопытными.

После наступления события А вероятность гипотез Р(Ні) можно переоценить, т.е. вычислить условные вероятности Р(Ні / А) по формуле (1.8).

Эти уточненные вероятности называются апостериорными (послеопытными).

Подобные задачи решаются по схеме:

выяснить, в чем состоит испытание;

событие, вероятность которого ищется, обозначить, например, буквой А;

составить множество попарно несовместных событий (гипотез {Ні});

вычислить вероятности Р(Ні) и Р(А / Ні) (і = 1, n );

по формуле (1.7) найти Р(А). Если известно, что событие А уже произошло, то по формуле (1.8) определить Р(Ні / А).

Задачи для самостоятельного решения 1. В студенческой группе 20 девушек и 10 юношей. К практическому занятию по теории вероятности не подготовились 4 девушки и юноши. Вызванный студент оказался неподготовленным. Какова вероятность, что отвечать был вызван юноша?

2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Найти вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой?

3. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

4. Определить вероятность того, что среди 1000 мобильных телефонов нет ни одного неисправного, если из взятых наудачу 100 телефонов все оказались исправными. Предполагается, что число неисправных телефонов из 1000 равновозможно от 0 до 5.

1.7. Схема и формула Бернулли. Предельные случаи В схеме Я. Бернулли (1654-1705) рассматривается серия п независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь два исхода: наступления некоторого события А или его ненаступления. При этом известна вероятность Р(А) = р (0 < р < 1). Она постоянна в серии испытаний. Числа п и р называются параметрами схемы Бернулли.

Вероятность Рn (т) (0 т п) наступления события А равно т раз при п независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли В самом деле. Вероятность события В, состоящего в том, что событие А в п независимых опытах появится т раз в первых т опытах и не появится (п – т) раз в остальных опытах (это событие B = 14 244 14 244 ) по теореме умножения вероятностей равна Вероятность появления события А т раз при n испытаниях, но в другом порядке будет такой же самой, т. е. p m q nm.

В n испытаниях событие А может наступить m раз в различном порядке.

Число таких вариантов равно числу сочетаний из п по т, т. е. Cn. Так как все эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных таких событий, что доказывает формулу (1.9).

Вероятности Pn (m) (т = 0,1,2,...,n) называются биномиальными, так как правая часть формулы (1.9) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона Отсюда следует, что сумма всех биноминальных вероятностей равна 1.

При больших п и т вычисления по формуле (1.9) связаны с немалыми сложностями (растет объем вычислений). В этом случае для нахождения вероятностей Pn (m ) целесообразно пользоваться приближенными формулами, которые дают при достаточно больших п сколь угодно малую относительную погрешность вычислений.

Из локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа следует Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа утверждает, что для схемы Бернулли при больших п и р (0;1) справедливо приближенное равенство Для вычислений по формуле (1.11) (интеграл в ней не вычисляется в элементарных функциях) используется функция Лапласа (интеграл вероятности).

обладающая свойствами:

Функция 0 ( x ) табулирована (см. табл. 1 приложения).

Из предельной теоремы Пуассона для схемы Бернулли, если п, Литература [5, с. 41-51; 13, с. 57-75; 10, с. 52-67].

Типовые примеры 1. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 0,6. Произведено выстрелов. Найти: а) вероятность того, что при этом будет ровно два попадания; б) наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Испытания (выстрелы по мишени) будем считать независимыми, а вероятность попадания в мишень неизменной. Тогда можно использовать в качестве модели схему Бернулли. По формуле (1.9) получаем Для определения наиболее вероятного числа попаданий т используется формула пр – q m0 пр + р. Откуда а соответствующая вероятность 2. В некотором производстве вероятность того, что отдельное изделие окажется бракованным постоянна и равна 0,005. Какова вероятность того, что в партии из 10 000 изделий бракованных будет не более 70?

Здесь можно воспользоваться формулой Бернулли. Тогда P (0 m 70) = C10000 (0,005) (0,995) Очевидно, что вычисления по этой формуле достаточно трудоемки.

Поэтому воспользуемся формулой (1.11). При этом т1 = 0, т2 = 70, n = 10000, р = 0,005, q = 0,995. Находим Пользуясь свойствами функции 0 ( x ) и ее табличными значениями находим:

3. Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 800 знаков, равна 0,005. Найти наиболее вероятное число сделанных ошибок в этом тексте и его вероятность.

Очевидно, можно применять схему Бернулли. Из формулы По формуле (1.12) с = пр = 4, получаем Заметим, что точная формула (1.9) дает P800 ( 4 ) 0,1959.

Методические указания Схема Бернулли – математическая модель реального явления. Для ее применения к решению задач необходимо выполнение условий:

проводимые испытания были независимы;

каждое испытание имело только два исхода;

вероятность появления интересующего события в каждом испытании При выборе расчетных формул следует руководствоваться такими соображениями:

1. Если число испытаний п достаточно велико и вероятность р (0; 1) не мала, а число npq > 10, то для нахождения величин Pn (m ) и Pn (m1 m m2 ) используется формулы (1.10) и (1.11) соответственно.

2. Если п достаточно велико, а вероятность р мала настолько, что число пр не велико (обычно р < 0,1; npq < 10), то для нахождения Pn (m ) удобна формула (1.12). При этих же предположениях и малом числе слагаемых в сумме Pn (m ) можно использовать формулу m = m Задачи для самостоятельного решения 1. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2.

Какова вероятность того, что из шести приобретенных билетов два 2. Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

3. Известно, что левши в среднем составляют 1% населения. Каковы шансы на то, что среди отобранных наудачу 200 человек окажутся 4. Учебник издан тиражом 100 000 экз. Вероятность того, что некоторые экземпляры будут сброшюрованы неправильно равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

5. Электростанция питает сеть из 10 000 потребителей. Вероятность того, что каждый потребитель в вечерние часы будет пользоваться электроэнергией равна 0,7. Определить вероятность того, что число одновременно подключенных к сети потребителей будет находится Дискретная случайная величина Рассмотрим пространство элементарных событий, элементам которого Определение. Дискретной случайной величиной называется функция (), определенная на множестве и принимающая дискретные вещественные или комплексные значения.

где в верхней строке стоят возможные значения случайной величины, а в нижней строке под каждым значением случайной величины стоит вероятность Рі = Р( = аі) того, что принимает это значение, называется распределением дискретной случайной величины, причем Литература [5, с. 58-65; 13, с. 64; 10, с. 73].

Типовые примеры 1. Пусть случайное событие А имеет вероятность P(А) = р. Назовем индикатором события А случайную величину IA, которая принимает только два значения нуль и один.

IA = 1 – означает, что событие А «произошло».

IA = 0 – означает, что событие А «не произошло».

Очевидно, что индикатор события А есть дискретная случайная величина с таблицей распределения.

2. Из урны, в которой лежат 2 белых и 8 черных шаров, последовательно вынимают шары до тех пор, пока не появится черный шар. Число вынутых при этом шаров есть дискретная случайная величина. Найти закон распределения ее вероятностей.

Возможными значениями величины являются числа 1, 2, 3.

р( = 1) – вероятность того, что будет вынут только один шар, т.е. первый шар – черный, тогда р( = 2) – вероятность того, что будет вынуты только два шара, т.е.

первый шар – белый, а второй – черный, тогда р( = 3) – вероятность того, что первый и второй шар будут белые, тогда Закон распределения количества вынутых шаров запишется 3. Выполняется стрельба по мишени до первого промаха, причем вероятность попадания в мишень при каждом выстреле одна и та же. – количество выполненных выстрелов до первого промаха в мишень есть случайная величина. Записать ее закон распределения.

Стрельба заканчивается на k-м выстреле, если k – 1 первых выстрела были успешны, а при k выстреле допущен промах. Тогда P( = k ) =, k = 1, 2,.... Полученная формула эквивалентна ряду распределения:

Особенность данной задачи состоит в том, что теоретически число испытаний может быть бесконечно большим, однако вероятность такого события стремится к нулю.

4. Монета подбрасывается четыре раза. Найти закон распределения числа появлений герба, если вероятность его появления при каждом подбрасывании.

– количество появлений герба при бросании монеты четыре раза может принимать значения 0;1; 2; 3,4.

p( = m) вычисляется по формуле для нашего случая n = 4, P = 0,5, q = 0,5, m = 0, 1, 2, 3, 4.

Таблица распределения величины выглядит следующим образом Методические указания Обратите внимание на то, что сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, что может служить косвенным критерием правильности решения задачи на определение ее закона распределения. Кроме того, закон распределения можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат строят точки M 1 ( x1, P ), M 2 ( x2, P2 ),..., M n ( xn, Pn ),..., где xi – возможные значения случайной величины, а Pi – соответствующие вероятности и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения для дискретной случайной величины.

Задачи для самостоятельного решения 1. Бросается игральная кость. Обозначим событие A = «число выпавших очков четно», B = «число выпавших очков делится на 3». Записать таблицу распределения IA, IB.

2. Из 28 костей домино случайно и равновероятно выбирается одна.

Найти закон распределения суммы очков на ее половинах.

3. Записать ряд распределения и построить многоугольник распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания при каждом броске 0,4.

4. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества.

Найти закон распределения случайного числа количества бракованных изделий, содержащихся в выборке и изобразить его Непрерывные случайные величины Определение. Величина называется непрерывной случайной величиной, если вероятность попадания ее значения в любой интервал (x1, х2) может быть представлена в виде при этом функция f ( x ) должна быть неотрицательна и нормирована условием Функция f ( x ) называется плотностью распределения величины.

Литература [5, с. 69-72; 13, с. 83-86; 10, с. 111-119].

Типовые примеры 1. Величина имеет плотность распределения Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значения из интервала 0;.

Из определения непрерывной случайной величины имеем:

2. Плотность вероятности случайной величины равна f ( x ) =, ( < x < + ). Найти а) коэффициент А; б) вероятность того, что в двух независимых наблюдениях примет значение меньше единицы.

а) Из условия нормирования f ( x ) имеем arctg e – вероятность того, что величина примет значение меньше единицы в одном испытании, тогда в двух независимых испытаниях вероятность этого события будет arctg e 0,6015.

3. Случайная величина называется распределенной нормально с параметрами а, ( > 0), если ее плотность Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1, х2), распределенной по нормальному закону, вычисляется по формуле Свойства функции 0 ( x ) приведены в п. 1.7.

4. Вычислить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами а, ( > 0) в интервале По таблице 0 ( 3) = 0,9973. Из этого соотношения практически достоверно следует, что значения случайной величины, распределенной нормально, находятся в интервале ( a 3 ; a + 3 ). Указанное утверждение носит название правила трех сигм для нормального распределения.

5. Для исследования количественных характеристик некоторых процессов (время обслуживания, ремонта, отказа оборудования, длительности телефонных разговоров и др.) применяют показательный (экспоненциальный) закон распределения. Плотность вероятности этого закона выражается зависимостью (см. рис. 1.2) где – плотность или интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.

Рис. 1.2 График плотности показательного распределения 6. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Методические указания Необходимо обратить особое внимание на изучение нормального закона распределения, его важность определяется тем, что к нему обычно приводят задачи связанные с распределением сумм большого числа случайных величин.

Задачи для самостоятельного решения 1. Плотность распределения задана формулой 2. Пусть все возможные значения случайной величины сосредоточены на интервале (; ) и плотность распределения ее постоянна. Записать f ( x ) и вероятность попадания величины в интервал (х1; х2),если x1 (; ), x2 (;).

3. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а = 0, = 1. Что больше 1.9. Функция распределения вероятностей случайной Определение. Функция F(x) называется функцией распределения вероятностей случайной величины, если ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, т.е.

Для непрерывной случайной величины где f ( x ) – плотность распределения вероятностей случайной величины.

Из этой формулы следует при условии кусочной непрерывности функции f ( x ).

Для дискретной случайной величины функция распределения вероятностей есть сумма вероятностей тех ее значений, которые меньше х.

Функция распределения имеет свойства:

Литература [5, с. 65-72; 13, с. 77-86; 10, с. 111-119].

Типовые примеры 1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей Записать F(x) случайной величины.

Из определения функции распределения имеем Для удобства записи таких функций введем функцию или 2. Рассмотреть функцию распределения для стандартного нормального закона (a = 0, = 1) записать ее через интеграл вероятности.

По определению или Методические указания Следует обратить внимание на то, что функция распределения случайной величины является ее исчерпывающей характеристикой.

Из определения функции распределения следует, что с ее помощью можно задавать как закон распределения дискретной случайной величины, так и непрерывной величины.

Задачи для самостоятельного решения 1. Плотность вероятности случайной величины равна f ( x ) = Ax 2 e x, (x > 0, 0 x < + ). Найти: а) коэффициент А; б) вычислить вероятность попадания в интервал 0;.

2. Функция распределения случайной величины задана формулой б) плотность вероятности f ( x ) ;

в) вероятность того, что величина попадет в отрезок [–1; 1].

3. Бросают три монеты:

а) построить закон распределения случайной величины по количеству выпавших при этом «решек», если вероятность появления «решки» на каждой монете.

б) записать функцию распределения F ( x ) величины, построить ее график.

4. Функция распределения случайной величины имеет вид:

а) найти плотность вероятности случайной величины.

б) построить график функции распределения F ( x ) и ее плотности f ( x ).

1.10. Закон распределения функции от одной случайной Под функцией ( ) случайной величины понимают такую случайную величину, которая принимает значение y = ( x ), когда величина принимает значение х. Основной задачей здесь является нахождение закона распределения вероятностей функции y = ( ) по закону распределения её аргумента.

Если случайная величина имеет закон распределения и y = ( ) монотонная функция от действительного аргумента х, тогда дискретная случайная величина = ( ) имеет закон распределения Если же функция y = ( ) не монотонная функция, то среди ее значений, могут быть равные. В этом случае столбцы с равными, значениями например, a = ( xi ), объединяют в один столбец и для вычисления P (( xi ) = a ) складывают вероятности, которые в распределении величины записаны в столбцах под хi.

Литература [5, с. 73-74; 13, с. 48-102; 9, с. 63-64].

Типовые примеры 1. Дискретная случайная величина имеет закон распределения Построить закон распределения случайной величины = sin.

Для непрерывной случайной величины ниже рассмотрим несколько примеров, после чего сформулируем правило нахождения закона распределения функции по известному закону распределения непрерывной величины.

Положим = a + b, если а > 0, то по определению функции распределения Для вычисления f ( x ) имеем откуда Поэтому на отрицательной полуоси f ( x ) = F' ( x ) = 0.

5. Рассмотрим немонотонную функцию y = x 2. Найдем F ( x ) и f ( x ) случайной величины = 2.